Теорема об изменении кинетической энергии системы. Теорема об изменении кинетической энергии. В задаче принять

Если рассмотреть какую-нибудь точку системы с массой , имеющую скорость , то для этой точки будет

где и - элементарные работы действующих на точку внешних и внутренних сил. Составляя такие уравнения для каждой из точек системы и складывая их почленно, получим

. (2)

Равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме.

Если полученное выражение отнести к элементарному промежутку времени, в течение которого произошло рассматриваемое перемещение, можно получить вторую формулировку для дифференциальной формы теоремы: производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех внешних () и внутренних () сил, т.е.

Дифференциальными формами теоремы об изменении кинетической энергии можно воспользоваться для составления дифференциальных уравнений движения, но это делается достаточно редко, потому что есть более удобные приемы.

Проинтегрировав обе части равенства (2) в пределах, соответствующих перемещению системы из некоторого начального положения, где кинетическая энергия равна , в положение, где значение кинетической энергии становится равным , будемиметь

Полученное уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии в конечном виде: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

В отличие от предыдущих теорем, внутренние силы в уравнениях не исключаются. В самом деле, если и - силы взаимодействия между точками и системы (см. рис.51), то . Но при этом точка , может перемещаться по направлению к , а точка - по направлению к . Работа каждой из сил будет тогда положительной и сумма работ нулем не будет. Примером может служить явление отката. Внутренние силы (силы давления), действующие и на снаряд и на откатывающиеся части, совершают здесь положительную работу. Сумма этих работ, не равная нулю, и изменяет кинетическую энергию системы от величины в начале выстрела до величины конце.

Другой пример: две точки, соединенные пружиной. При изменении расстояния между точками упругие силы, приложенные к точкам, будут совершать работу. Но если система состоит из абсолютно твердых тел и связи между ними неизменяемые, не упругие, идеальные, то работа внутренних сил будет равна нулю и их можно не учитывать и вообще не показывать на расчетной схеме.

Рассмотрим два важных частных случая.

1) Неизменяемая система . Неизменяемой будем называть систему, в которой расстояния между точками приложения внутренних сил при движении системы не изменяются. В частности, такой системой является абсолютно твердое тело или нерастяжимая нить.

Рис.51

Пусть две точки и неизменяемой системы (pис.51), действующие друг на друга с силами и () имеют в данный момент скорости и . Тогда за промежуток времени dt эти точки совершат элементарные перемещения и , направленные вдоль векторов и . Но таккак отрезок является неизменяемым, то по известной теореме кинематики проекции векторов и , а, следовательно, и перемещений и на направление отрезка будут равны друг другу, т.е. . Тогда элементарные работы сил и будут одинаковы по модулю и противоположны по знаку и в сумме дадут нуль. Этот результат справедлив для всех внутренних сил при любом перемещении системы.

Отсюда заключаем, что для неизменяемой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и уравнения принимают вид

2) Система с идеальными связями . Рассмотрим систему, на которую наложены связи, не изменяющиеся со временем. Разделим все действующие на точки системы внешние и внутренние силы на активные и реакции связей. Тогда

где - элементарная работа действующих на k- ю точку системы внешних и внутренних активных сил, a - элементарная работа реакций наложенных на ту же точку внешних и внутренних связей.

Как видим, изменение кинетической энергии системы зависит от работы и активных сил и реакций связей. Однако можно ввести понятие о таких «идеальных» механических системах, у которых наличие связей не влияет на изменение кинетической энергии системы при ее движении. Для таких связей должно, очевидно, выполняться условие:

Если для связей, не изменяющихся со временем, сумма работ всех реакций при элементарном перемещении системы равна нулю, то такие связи называют идеальными. Для механической системы, на которую наложены только не изменяющиеся со временем идеальные связи, будем, очевидно, иметь

Таким образом, изменение кинетической энергии системы с идеальными, не изменяющимися со временем связями при любом ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении, приложенных к системе внешних и внутренних активных сил.

Механическая система называется консервативной (энергия ее как бы законсервирована, не изменяется), если для нее имеет место интеграл энергии

или (3)

Это есть закон сохранения механической энергии: при движении системы в потенциальном поле механическая энергия ее (сумма потенциальной и кинетической) все время остается неизменной, постоянной.

Механическая система будет консервативной, если действующие на нее силы потенциальны, например сила тяжести, силы упругости. В консервативных механических системах с помощью интеграла энергии можно проводить проверку правильности составления дифференциальных уравнений движения. Если система консервативна, а условие (3) не выполняется, значит при составлении уравнений движения допущена ошибка.

Интегралом энергии можно воспользоваться для проверки правильности составления уравнений и другим способом, без вычисления производной. Для этого следует после проведения численного интегрирования уравнений движения вычислить значение полной механической энергии для двух различных моментов времени, например, начального и конечного. Если разница значений окажется сопоставимой с погрешностями вычислений, это будет свидетельствовать о правильности используемых уравнений.

Все предыдущие теоремы позволяли исключить из уравнений движения внутренние силы, но все внешние силы, в том числе и наперед неизвестные реакции внешних связей, в уравнениях сохранялись. Практическая ценность теоремы об изменении кинетической энергии состоит в том, что при не изменяющихся со временем идеальных связях она позволит исключить из уравнений движения все наперед неизвестные реакции связей.

Данная теорема устанавливает количественную взаимосвязь между работой силы (причиной) и кинетической энергией материальной точки (следствием).

Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости

. (43)

Кинетическая энергия характеризует то механическое действие силы, которое может превратиться в другие виды энергии, например, в тепловую.

Работой силы на данном перемещении называется характеристика того действия силы, которое приводит к изменению модуля скорости.

Элементарная работа силы определяется как скалярное произведение вектора силы на элементарный вектор перемещения в точке ее приложения

, (44)

где
- элементарное перемещение.

Модуль элементарной работы определяется формулой

где  - угол между вектором силы и вектором элементарного перемещения; - проекция вектора силы на касательную.

Полная работа на некотором конечном перемещении определяется интегралом

. (46)

Из (46) следует, что полная работа может быть вычислена в двух случаях, когда сила постоянная или зависит то перемещения.

При F =const получаем
.

При решении задач часто удобно пользоваться аналитическим способом вычисления силы

где F x , F y , F z – проекции силы на координатные оси.

Докажем следующую теорему.

Теорема : Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равно работе силы, действующей на точку, на том же перемещении.

Пусть материальная точка M массы m движется под действием силы F из положения M 0 в положение M 1 .

ОУД:
. (47)

Введем подстановку
и спроектируем (47) на касательную

. (48)

Разделяем в (48) переменные и интегрируем

В результате получим

. (49)

Уравнение (49) доказывает сформулированную выше теорему.

Теоремой удобно пользоваться, когда среди заданных и искомых параметров присутствуют масса точки, ее начальная и конечная скорость, силы и перемещение.

Вычисление работы характерных сил.

1. Работа силы тяжести вычисляется как произведение модуля силы на перемещение точки ее приложения по вертикали

. (50)

При перемещении вверх работа положительная, при перемещении вниз – отрицательная.

2. Работа упругой силы пружины F =-cx равна

, (51)

где x 0 – начальное удлинение (сжатие) пружины;

x 1 – конечное удлинение (сжатие) пружины.

Работа силы тяжести и упругой силы не зависят от траектории перемещения их точек приложения. Такие силы, работа которых не зависит от траектории, называются потенциальными силами .

3. Работа силы трения .

Так как сила трения всегда направлена в сторону, противоположную направлению перемещения, то ее работа равна

Работа силы трения всегда отрицательная . Силы работа которых всегда отрицательна, называются диссипативными .

Кинетическая энергия механической системы - это сумма кинетических энергий всех ее материальных точек:

Вычислим дифференциал от выражения кинетической энергии и выполним некоторые простые преобразования:

Опуская промежуточные значения и применяя ранее введенный для обозначения элементарной работы символ , запишем:

Итак, дифференциал кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на точки системы. В этом и состоит содержание теоремы об изменении кинетической энергии.

Заметим, что сумма работ внутренних сил системы в общем случае не равна нулю. Она обращается в нуль только в некоторых частных случаях: когда системой служит абсолютно твердое тело; система абсолютно твердых тел, взаимодействующих при помощи не-деформируемых элементов (идеальных шарниров, абсолютно твердых стержней, нерастяжимых нитей и т.п.). По этой причине теорема об изменении кинетической энергии является единственной из общих теорем динамики, которая учитывает эффект действия внутренних сил.

Можно интересоваться изменением кинетической энергии не за бесконечно малый промежуток времени, как это делается выше, а за некоторый конечный промежуток времени . Тогда при помощи интегрирования можно получить:

Здесь - значения кинетической энергии соответственно в моменты времени - суммы полных работ внешних и внутренних сил за рассматриваемый промежуток времени.

Полученное равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии в конечной (интегральной) форме, которая может быть сформулирована так: изменение кинетической энергии при переходе механической системы из одного положения в другое равно сумме полных работ всех внешних и внутренних сил.

Кинетическая энергия механической системы складывается из кинетических энергий всех её точек:

Дифференцируя каждую часть этого равенства по времени, получим

Воспользовавшись основным законом динамики для к -й точки системы m k 2i k = Fj., приходим к равенству

Скалярное произведение силы F на скорость v точки её приложения называют мощностью силы и обозначают Р :

Используя это новое обозначение, представим (11.6) в следующем виде:

Полученное равенство выражает дифференциальную форму теоремы об изменении кинетической энергии: скорость изменения кинетической энергии механической системы равна сумме jмощностей всех действующих на систему cm.

Предс тавив производную f в (8.5) в форме дроби -- и выполнив

затем разделение переменных, получим:

где dT - дифференциал кинетической энергии, т.е. её изменение за бесконечно малый промежуток времени dr, dr k = k dt - элементарное перемещение к- й точки системы, т.е. перемещение за время dt.

Скалярное произведение силы F на элементарное перемещение dr точки её приложения называют элементарной работой силы и обозначают dA:

Используя свойства скалярного произведения можно представить элементарную работу силы также в виде

Здесь ds = dr - длина дуги траектории точки приложения силы, соответствующая её элементарному перемещению с/г; а - угол между направлениями вектора силы F и вектора элементарного перемещения c/r; F„ F y , F, - проекции вектора силы F на декартовы оси; dx, dy, dz - проекции на декартовы оси вектора элементарного перемещения с/г.

С учетом обозначения (11.9) равенство (11.8) можно представить в следующей форме:

т.е. дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех сил, действующих на систему. Это равенство, так же как и (11.7), выражает дифференциальную форму теоремы об изменении кинетической энергии, но отличается от (11.7) тем, что использует не производные, а бесконечно малые приращения - дифференциалы.

Выполняя почленное интегрирование равенства (11.12), получаем

где в качестве пределов интегрирования использованы: 7 0 - кинетическая энергия системы в момент времени? 0 ; 7) - кинетическая энергия системы в момент времени t x .

Определенные интегралы по временному отрезку или A(F):

Замечание 1. Для вычисления работы иногда удобнее использовать не дуговую параметризацию траектории M(s), а координатную M(x{t), у(/), z(f)). В этом случае для элементарной работы естественно взять представление (11.11), а криволинейный интеграл представить в виде:

С учетом обозначения (11.14) работы на конечном перемещении равенство (11.13) принимает вид

и представляет собой конечную форму теоремы об изменении кинетической энергии механической системы.

Теорема 3. Изменение кинетической энергии механической системы при её перемещении из начального положения в конечное равно сумме работ всех сил, действующих на точки системы на этом перемещении.

Замечание 2. В правой части равенства (11.16) учитываются работы всех сил , действующих на систему, как внешних, так и внутренних. Тем не менее существуют такие механические системы, для которых суммарная работа всех внутренних сил равна нулю. Эго гак называемые неизменяемые системы , у которых расстояния между взаимодействующими материальными точками не меняются. Например, система твердых тел, связанных шарнирами без трения или гибкими нерастяжимыми нитями. Для таких систем в равенстве (11.16) достаточно учесть лишь работы внешних сил, т.е. теорема (11.16) принимает вид:

Доказанная в § 89 теорема справедлива для любой из точек системы. Следовательно, если рассмотреть какую-нибудь точку системы с массой имеющую скорость то для этой точки будет

где - элементарные работы действующих на точку внешних и внутренних сил. Составляя такие уравнения для каждой из точек системы и складывая их почленно, найдем, что

Равенство (49) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. Проинтегрировав обе части этого равенства в пределах, соответствующих перемещению системы из некоторого начального положения, где кинетическая энергия равна в положение, где значение кинетической энергии становится равным , получим

Это уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии в другой (интегральной) форме: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

В отличие от предыдущих теорем внутренние силы в уравнениях (49) или (50) не исключаются. В самом деле, если - силы взаимодействия между точками системы (рис. 309), то

Но при этом точка может перемещаться по направлению к а точка - по направлению к Работа каждой из сил будет тогда положительной и сумма работ нулем не будет. Например, при выстреле (см. задачу 127 в § 112) силы давления пороховых газов, являющиеся для системы снаряд - откатывающиеся части внутренними, совершают работу и сообщают скорости телам системы.

Рассмотрим два важных частных случая.

1. Неизменяемая система. Неизменяемой будем называть механическую систему, в которой расстояние между каждыми двумя взаимодействующими точками остается во все время движения постоянным.

Рассмотрим две точки неизменяемой системы действующие друг на друга с силами (см. рис. 309). Тогда, поскольку при движении отрезка должно быть (см. § 55), то и так как - соответственно скорости и элементарные перемещения точек Кроме того, . В результате для суммы элементарных работ этих сил получим

Же получится и для всех других взаимодействующих точек системы. В итоге приходим к выводу, что в случае неизменяемой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и уравнения (49) или (50) принимают вид

2. Система с идеальными связями. Рассмотрим систему, на которую наложены связи, не изменяющиеся со временем. Разделим все действующие на точки системы внешние и внутренние силы на активные и реакции связей. Тогда уравнение (49) можно представить в виде

где - элементарная работа действующих на точку системы внешних и внутренних активных сил, а - элементарная работа реакций, наложенных на ту же точку внешних и внутренних связей.

Если для связей, не изменяющихся со временем, сумма работ всех реакций при элементарном перемещении системы равна нулю, то такие связи являются идеальными Укажем ряд известных нам видов идеальных связей.

В § 89 было установлено, что если связью является неподвижная поверхность (или кривая), трением о которую можно пренебречь, то при скольжении тел вдоль такой поверхности (кривой) работа реакции N равна нулю. Затем в § 122 показано, что если пренебречь деформациями, то при качении без скольжения тела по шероховатой поверхности работа нормальной реакции N и силы трения (т. е. касательной составляющей реакции) равна нулю. Далее, работа реакции R шарнира (см. рис. 10 и 11), если пренебречь трением, будет также равна нулю, поскольку точка приложения силы R при любом перемещении системы остается неподвижной. Наконец, если на рис. 309 материальные точки рассматривать как связанные жестким (нерастяжимым) стержнем то силы будут реакциями стержня; работа каждой из этих реакций при перемещении системы не равна нулю, но сумма этих работ по доказанному дает нуль. Таким образом, все перечисленные связи можно с учетом сделанных оговорок считать идеальными.

Для механической системы, на которую наложены только не изменяющиеся со временем идеальные связи, будет

Таким образом, изменение кинетической энергии системы с идеальными, не изменяющимися со временем связями при любом ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении приложенных к системе внешних и внутренних активных сил.

Все предыдущие теоремы позволяли исключить из уравнений движения внутренние силы, но все внешние силы, в том числе и наперед неизвестные реакции внешних связей, в уравнениях сохранялись. Практическая ценность теоремы об изменении кинетической энергии состоит в том, что при не изменяющихся со временем идеальных связях она позволяет исключить из уравнений движения все наперед неизвестные реакции связей.