В соответствии с
условиями сходимости этот ряд сходится во всех точках кроме точки t =
0,
где он равен полусумме левого и правого пределов в этой точке . Это действительно так, потому что .
6.5. Функции Бесселя
Бесселевыми или цилиндрическими функциями называются решения линейного дифференциального уравнения Бесселя
,
(6.13)
где z – комплексная переменная, ν – параметр, порядок, значок или индекс, также может быть произвольным комплексным числом.
В приложениях часто приходится рассматривать случай, когда ν = n – целое число. Под цилиндрическими функциями понимают следующие функции: функции Бесселя J ν (z ), функции Неймана N ν (z ), часто называемые функциями Вебера с обозначением Y ν (z ), и функции Ганкеля H ν (1) (z ), H ν (2) (z ). Названные функции при фиксированном являются аналитическими функциями z . Часто функции Бесселя приходится рассматривать при фиксированном z как функции значка ν . При этом она является целой функцией комплексной переменной ν .
Целой функцией называется
аналитическая функция, представимая всюду сходящимся рядом Тейлора .
Между функциями J ν (z ), N ν (z ) или Y ν (z ), H ν (1) (z ), H ν (2) (z ) имеют место зависимости, аналогичные формулам Эйлера:
; .
С физической точки зрения гармонические функции описывают незатухающие колебания постоянной частоты, в то время как функции Бесселя характеризуют слабозатухающий осциллирующий процесс, частота которого становится постоянной лишь в ассимптотике.
Отыскивая решение
уравнения (6.13) в виде обобщённого степенного ряда , где a
m
и a
– подлежащие определению
коэффициенты и значение параметра соответственно, получим два частных решения:
;
, (6.14)
которые при являются линейно независимыми и их линейная комбинация образует общее решение уравнения (6.13).
Если ν = n
, то
между функциями J
п
(z
) и J
–п
(z
) существует линейная зависимость вида .
Для получения общего решения уравнения (6.13) для ν = n и вводится функция Неймана
.
Функции J ν (z ) и N ν (z ) образуют фундаментальную линейно независимую систему решений уравнения Бесселя при любых значениях v , в том числе и при целых.
Функции Бесселя чисто мнимого аргумента (модифицированные функции Бесселя).
;
.
Входящие в эти выражения ряды и определяют модифицированные функции Бесселя
;
. (6.15)
То, что ряды (6.14) являются знакопеременными, а (6.15) – знакопостоянными определяет резкое различие в их поведении (см. рис.6.9 и рис.6.10, на которых представлены графики функций J n (x ) и I n (x ) соответственно).
.
В частности, при с учётом того, что ,
получим:
.
Три соседних по значку функций Бесселя связаны соотношением
.
(6.16)
Аналогичные формулы имеют место и для модифицированных функций Бесселя:
;
.
Из определения (6.15),
учитывая поведение гамма-функции при отрицательных целых значениях аргумента,
нетрудно показать, что I
-n
(x
) = I
n
(x
) и, следовательно, .
При полуцелом значке , где n
– целое число, функции
Бесселя выражаются через элементарные функции, так как выполняются соотношения и
, что
позволяет с помощью рекуррентного соотношения (6.16) определить и так далее.
Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида \[{x^2}y"" + xy" = \left({{x^2} - {v^2}} \right)y = 0\] называется уравнением Бесселя . Число \(v\) называется порядком уравнения Бесселя .
Данное дифференциальное уравнение было названо в честь немецкого математика и астронома Фридриха Вильгельма Бесселя , который подробно исследовал его и показал (в \(1824\) году), что решения уравнения выражаются через специальный класс функций, получивших название цилиндрических функций или функций Бесселя .
Конкретное представление общего решения зависит от числа \(v.\) Далее мы отдельно рассмотрим два случая:
Порядок \(v\) является нецелым числом;
Порядок \(v\) является целым числом.
Случай 1. Порядок \(v\) является нецелым числом
Полагая, что число \(v\) является нецелым и положительным, общее решение уравнения Бесселя можно записать в виде \ где \({C_1},\) \({C_2}\) − произвольные постоянные, а \({J_v}\left(x \right),\) \({J_{ - v}}\left(x \right)\) − функции Бесселя первого рода .
Функцию Бесселя первого рода можно представить в виде ряда, члены которого выражаются через так называемую гамма-функцию : \[{J_v}\left(x \right) = \sum\limits_{p = 0}^\infty {\frac{{{{\left({ - 1} \right)}^p}}}{{\Gamma \left({p + 1} \right)\Gamma \left({p + v + 1} \right)}}{{\left({\frac{x}{2}} \right)}^{2p + v}}} .\] Гамма-функция является расширением факториальной функции с множества целых на множество действительных чисел. В частности, она обладает следующими свойствами: \[ {\Gamma \left({p + 1} \right) = p!,}\;\; {\Gamma \left({p + v + 1} \right) = \left({v + 1} \right)\left({v + 2} \right) \cdots \left({v + p} \right)\Gamma \left({v + 1} \right).} \] Аналогичным образом записываются функции Бесселя первого рода отрицательного порядка (с индексом \(-v\)). Здесь мы предполагаем, что \(v > 0.\) \[{J_{ - v}}\left(x \right) = \sum\limits_{p = 0}^\infty {\frac{{{{\left({ - 1} \right)}^p}}}{{\Gamma \left({p + 1} \right)\Gamma \left({p - v + 1} \right)}}{{\left({\frac{x}{2}} \right)}^{2p - v}}} .\] Функции Бесселя вычисляются в большинстве математических пакетов. Для примера вид функций Бесселя первого рода порядка от \(v = 0\) до \(v = 4\) показан на рисунке \(1.\) Эти функции можно вычислить также и в MS Excel.
Случай 2. Порядок \(v\) является целым
Если порядок \(v\) дифференциального уравнения Бесселя является целым, то функции Бесселя первого рода \({J_v}\left(x \right)\) и \({J_{ - v}}\left(x \right)\) становятся зависимыми друг от друга. В этом случае общее решение уравнения будет описываться другой формулой: \ где \({Y_v}\left(x \right)\) − функция Бесселя второго рода . Иногда это семейство функций называют также функциями Неймана или функциями Вебера .
Функцию Бесселя второго рода \({Y_v}\left(x \right)\) можно выразить через функции Бесселя первого рода \({J_v}\left(x \right)\) и \({J_{ - v}}\left(x \right):\) \[{Y_v}\left(x \right) = \frac{{{J_v}\left(x \right)\cos \pi v - {J_{ - v}}\left(x \right)}}{{\sin \pi v}}.\] Графики функций \({Y_v}\left(x \right)\) для нескольких первых порядков \(v\) представлены выше на рисунке \(2.\)
Примечание : В действительности общее решение дифференциального уравнения Бесселя можно выразить через функции Бесселя первого и второго рода также и для случая нецелого порядка \(v.\)
Некоторые дифференциальные уравнения, приводимые к уравнению Бесселя
1. Еще одним хорошо известным уравнением данного класса является модифицированное уравнение Бесселя , которое получается из регулярного уравнения Бесселя заменой \(x\) на \(-ix.\) Это уравнение имеет вид: \[{x^2}y"" + xy" - \left({{x^2} + {v^2}} \right)y = 0.\] Решение данного уравнения выражается через так называемые модифицированые функции Бесселя первого и второго рода : \[ {y\left(x \right) = {C_1}{J_v}\left({ - ix} \right) + {C_2}{Y_v}\left({ - ix} \right) } = {{C_1}{I_v}\left(x \right) + {C_2}{K_v}\left(x \right),} \] где \({I_v}\left(x \right)\) и \({K_v}\left(x \right)\) обозначают модифицированные функции Бесселя, соответственно, первого и второго рода.2.
Дифференциальное уравнение Эйри
, известное в астрономии и физике, записывается в виде:
\
Его также можно свести к уравнению Бесселя. Решение уравнения Эйри выражается через функции Бесселя дробного порядка \(\pm \large\frac{1}{3}\normalsize:\)
\[
{y\left(x \right) }
= {{C_1}\sqrt x {J_{\large\frac{1}{3}\normalsize}}\left({\frac{2}{3}i{x^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}} \right) + {C_2}\sqrt x {J_{ - \large\frac{1}{3}\normalsize}}\left({\frac{2}{3}i{x^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}} \right).}
\]
3.
Дифференциальное уравнение вида
\[{x^2}y"" + xy" + \left({{a^2}{x^2} - {v^2}} \right)y = 0\]
отличается от уравнения Бесселя лишь множителем \({a^2}\) перед \({x^2}\) и имеет общее решение в следующем виде:
\
4.
Похожее дифференциальное уравнение
\[{x^2}y"" + axy" + \left({{x^2} - {v^2}} \right)y = 0\]
также сводится к уравнению Бесселя
\[{x^2}z"" + xz" + \left({{x^2} - {n^2}} \right)z = 0\]
с помощью подстановки
\
Здесь параметр \({n^2}\) обозначает
\[{n^2} = {v^2} + \frac{1}{4}{\left({a - 1} \right)^2}.\]
В результате, общее решение данного дифференциального уравнения определяется формулой
\.\]
Специальные функции Бесселя широко используются в решении задач математической физики, например, при исследовании
распространения волн;
теплопроводности;
колебаний мембран
Для того чтобы перейти к решению задачи о колебаниях круглой мембраны, мы предварительно должны познакомиться с функциями Бесселя. Функции Бесселя являются решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами
Это уравнение называется уравнением Бесселя. И само уравнение, и его решения встречаются не только в задаче о колебаниях круглой мембраны, по и в очень большом числе других задач.
Параметр k, входящий в уравнение (10.1), может, вообще говоря, принимать любые положительные значения. Решения уравнения при заданном k называются бесселевыми функциями порядка k (иногда их называют цилиндрическими функциями). Мы рассмотрим детально лишь наиболее простые случаи, когда и так как в дальнейшем изложении нам встретятся только бесселевы функции нулевого и первого порядков.
Для общего изучения бесселевых функций мы отсылаем читателя к специальным руководствам (см., например, ; α = 0 − Γ (α) π (2 x) α ; α > 0 , {\displaystyle Y_{\alpha }(x)\rightarrow \left\{{\begin{matrix}{\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\mbox{;}}\quad \alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha)}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\mbox{;}}\quad \alpha >0\end{matrix}}\right.,}
где γ {\displaystyle \gamma } - постоянная Эйлера - Маскерони (0,5772…), а Γ {\displaystyle \Gamma } - гамма-функция Эйлера . Для больших аргументов ( x ≫ | α 2 − 1 / 4 | {\displaystyle x\gg |\alpha ^{2}-1/4|} ) формулы выглядят так:
J α (x) → 2 π x cos (x − α π 2 − π 4) , {\displaystyle J_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right),} Y α (x) → 2 π x sin (x − α π 2 − π 4) . {\displaystyle Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right).}Гипергеометрический ряд
Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию :
J α (z) = (z / 2) α Γ (α + 1) 0 F 1 (α + 1 ; − z 2 / 4) . {\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}(\alpha +1;-z^{2}/4).}Таким образом, при целых α {\displaystyle \alpha } функция Бесселя однозначная аналитическая , а при нецелых - многозначная аналитическая .
Производящая функция
Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно:
e z 2 (w − 1 w) = ∑ n = − ∞ + ∞ J n (z) w n . {\displaystyle e^{{\frac {z}{2}}\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(z)w^{n}.}