Скорость заряженной частицы в электрическом поле. Осаждение частиц в электрическом поле. Заряженная частица в электростатическом поле

1. В данном вопросе мы ограничимся рассмотрением движения заряженной частицы в однородных постоянных полях.

В магнитном поле сила Лоренца будет иметь только одну магнитную составляющую

которая всегда перпендикулярна траектории движения и поэтому работы не совершает, а только искривляет траекторию, не изменяя величину скорости. Такого рода силы называются гироскопическими.

В общем случае скорость частицы составляет угол с вектором(рис. 3) и ее можно разложить на два вектора (параллельно и перпендикулярно вектору )

где , , а само движение частицы можно представить в виде наложения двух движений с этими скоростями.

Рассмотрим сначала движение частицы со скоростью , параллельной вектору магнитной индукции. В этом случае , и частица движется вдоль силовой линии магнитного поля.

Во втором движении со скоростью сила Лоренца не изменяется по величине и создает нормальное ускорение в плоскости, перпендикулярной вектору . Поэтому траектория такого движения пред-ставляет собой окружность радиуса r в этой плоскости. Условие движения по окружности, записанное на основе второго закона Ньютона,

позволяет найти радиус окружности и угловую скорость вращения частицы

которые называются циклотронным радиусом и циклотронной частотой.

Циклотронный радиус пропорционален импульсу частицы и обратно пропорционален величине ее заряда и магнитной индукции. Циклотронная частота обратно пропорциональна массе частицы и пропорциональна ее заряду и магнитной индукции.

Направления вращения частиц с положительным и отрицательным зарядом взаимно противоположны из-за различия в направлениях силы Лоренца (рис. 2). В векторной форме циклотронную частоту можно записать в виде формулы

Для положительно заряженной частицы направление угловой скорости противоположно направлению вектора , для отрицательно заряженной частицы – совпадает с вектором .

2. В общем случае, когда частица участвует во вращательном движении вокруг направления вектора и в поступательном параллельно силовой линии, результирующее движение частицы будет происходить по винтовой линии. Для положительно заряженных частиц винтовая линия соответствует левому винту, для отрицательно заряженных – правому (рис. 4). Если векторы и направлены противоположно друг другу, то наоборот.

Данное движение используется в системах, фокусирующих электронный пучок в электронно-лучевых трубках. Дело в том, что шаг винтовой линии, определяемый произведением и периода обращения ,

для электронов, вылетающих из электронной пушки под разными углами к оси пучка, не зависит от угла из-за его малости ().

Поэтому все электроны, вылетевшие из электронной пушки под небольшими, но разными углами соберутся в одной точке через период обращения. Шаг винтовой линии можно изменять, варьируя величину магнитной индукции, что позволяет осуществлять фокусировку электронного луча на экране электронно-лучевой трубки.

Выводы.

1) Сила, действующая на заряженную частицу со стороны магнитного поля, работы не совершает. Она вызывает вращательное движение частиц вокруг направления вектора магнитной индукции с угловой скоростью .

2) В общем случае заряженная частица движется по винтовой линии.

3. Магнитное поле двигающегося заряда

1. Пусть заряженная частица движется со скоростью относительно лабораторной системы отсчета K . В системе , которая движется вместе с частицей, магнитное поле отсутствует (), а электрическое поле описывается формулой

Это обычное электростатическое поле неподвижного точечного заряда.

В неподвижной системе отсчета , в соответствии с преобразованиями (5), (6), находим

Отсюда следует, что при медленных движениях заряженная частица создает в окружающем пространстве электрическое поле такое же, как неподвижная и магнитное с индукцией

При этом радиус-вектор проводится от заряда в точку наблюдения.

Проанализируем данное выражение. Величина вектора магнитной индукции

зависит обратно пропорционально квадрату расстояния от заряда до рассматриваемой точки поля, прямо пропорционально величине заряда и его скорости. Но пространственное распределение магнитной индукции вокруг заряда сложнее, чем для электрического поля.

В формулу магнитной индукции входит синус угла между направлениями скорости и радиус-вектора , проведенного от заряда в точку наблюдения (рис. 5).

Магнитная индукция обращается в нуль на линии, проходящей через заряд параллельно вектору скорости (), и максимальна в плоскости, проходящей через заряд перпендикулярно вектору ().

Направление вектора магнитной индукции перпендикулярно вектору скорости и радиус-вектору (рис. 5).

Если, сохраняя угол a и длину вектора, повернуть радиус-вектор вокруг вектора скорости, то его конец опишет окружность. В каждой точке этой окружности вектор будет направлен по касательной к ней. Следовательно, такая окружность будет являться линией вектора (силовой линией магнитного поля).

Опыт показывает, что для магнитного поля выполняется принцип суперпозиции полей

Магнитная индукция результирующего поля в некоторой точке равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых различными источниками в этой точке.

2. Рассмотрим теперь магнитное поле, создаваемое в произвольной точке бесконечно малым отрезком тонкого проводника длины , по которому идет ток силой I .

Величина называется элементом тока. Направление вектора совпадает с направлением тока. Так как сила тока по определению , где S является площадью поперечного сечения проводника, то элемент тока можно выразить через плотность тока , где является объемом выделенного участка проводника. Здесь учтено, что векторы и совпадают по направлению.

Все носители заряда, находящиеся в этом элементе тока, движутся упорядоченно со средней скоростью и создают в данной точке пространства одинаковую магнитную индукцию. Поэтому результирующую магнитную индукцию, создаваемую всеми носителями заряда в произвольной точке, можем получить, умножив число носителей в элементе тока , где n – концентрация носителей заряда в проводнике, на магнитную индукцию , создаваемую одним носителем в этой точке

Здесь плотность тока выражена через среднюю скорость упорядоченного движения носителей заряда. Радиус–вектор проводится от элемента тока в точку наблюдения.

Полученное выражение называется законом Био-Савара-Лапласа. Оно позволяет рассчитать магнитное поле любой системы проводников, используя принцип суперпозиции

Штрихованные переменные относятся к точке интегрирования.

Сравнение формул (8) и (9) показывает, что конфигурация и распределение в пространстве магнитных полей элемента тока и движущегося заряда идентичны (рис. 6). Величина вектора магнитной индукции, создаваемого элементом тока, пропорциональна величине элемента тока, синусу угла между направлением тока и направлением на точку наблюдения и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника до точки наблюдения

Элемент тока создает максимальную магнитную индукцию в плоскости, перпендикулярной элементу тока, и не создает на прямой, проходящей через элемент тока, параллельно вектору . Линии вектора напряженности – суть окружности вокруг этой прямой.

Выводы.

1) Магнитное поле движущегося заряда является следствием движения заряженной частицы и ее электрического поля.

2) Магнитное поле элемента тока и движущегося заряда имеют одинаковое распределение силовой характеристики в пространстве. Это обусловлено тем, что электрический ток представляет собой упорядоченное движение заряженных частиц.

3) Элемент тока и движущийся заряд создают максимальную магнитную индукцию в плоскости, перпендикулярной направлению движения зарядов. Силовые линии в обеих случаях представляют собой окружности, перпендикулярные касательной к траектории движения. Магнитное поле не создается на прямой, касательной к траектории движения зарядов.

4) Магнитная индукция обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда до точки наблюдения. Это обусловлено распределением в пространстве электрического поля заряженной частицы и преобразованием его в магнитное поле при движении.

Закрепляем навыки решения и визуализации дифференциальных уравнений на примере одного из самых распространенных эволюционных уравнений, вспоминаем о старом-добром Scilab и пытаемся понять, а надо ли оно нам… Под катом картинки (килобайт на семьсот)

Удостоверимся в свежести софта

julia>] (v1.0) pkg>update #успеете заварить чаю (v1.0) pkg> status Status `C:\Users\Игорь\.julia\environments\v1.0\Project.toml` AbstractPlotting v0.9.0 Blink v0.8.1 Cairo v0.5.6 Colors v0.9.5 Conda v1.1.1 DifferentialEquations v5.3.1 Electron v0.3.0 FileIO v1.0.2 GMT v0.5.0 GR v0.35.0 Gadfly v1.0.0+ #master (https://github.com/GiovineItalia/Gadfly.jl.git) Gtk v0.16.4 Hexagons v0.2.0 IJulia v1.14.1+ [`C:\Users\Игорь\.julia\dev\IJulia`] ImageMagick v0.7.1 Interact v0.9.0 LaTeXStrings v1.0.3 Makie v0.9.0+ #master (https://github.com/JuliaPlots/Makie.jl.git) MeshIO v0.3.1 ORCA v0.2.0 Plotly v0.2.0 PlotlyJS v0.12.0+ #master (https://github.com/sglyon/PlotlyJS.jl.git) Plots v0.21.0 PyCall v1.18.5 PyPlot v2.6.3 Rsvg v0.2.2 StatPlots v0.8.1 UnicodePlots v0.3.1 WebIO v0.4.2 ZMQ v1.0.0

и приступим к постановке задачи

Движение заряженных частиц в электромагнитном поле

На заряженую частицу с зарядом движущуюся в ЭМП со скоростью действует сила Лоренца: . Данная формула справедлива при ряде упрощений. Пренебрегая поправками на теорию относительности, считаем массу частицы постоянной, так что уравнение движения имеет вид:

Направим ось Y вдоль электрического поля, ось Z - вдоль магнитного поля и предположим для простоты, что начальная скорость частицы лежит в плоскости XY. В этом случае вся траектория частицы также будет лежать в этой плоскости. Уравнения движения примут вид:

Обезразмерим: . Звёздочками обозначены размерные величины, а - характерный размер рассматриваемой физической системы. Получим безразмерную систему уравнений движения заряженной частицы в магнитном поле:

Понизим порядок:

В качестве начальной конфигурации модели выберем: Тл, В/м, м/с. Для численного решения воспользуемся пакетом DifferentialEquations :

Код и графики

using DifferentialEquations, Plots pyplot() M = 9.11e-31 # kg q = 1.6e-19 # C C = 3e8 # m/s λ = 1e-3 # m function modelsolver(Bo = 2., Eo = 5e4, vel = 7e4) B = Bo*q*λ / (M*C) E = Eo*q*λ / (M*C*C) vel /= C A = syst(u,p,t) = A * u + # ODE system u0 = # start cond-ns tspan = (0.0, 6pi) # time period prob = ODEProblem(syst, u0, tspan) # problem to solve sol = solve(prob, Euler(), dt = 1e-4, save_idxs = , timeseries_steps = 1000) end Solut = modelsolver() plot(Solut)

Здесь используется метод Эйлера, для которого задаётся количество шагов. Также сохраняется в матрицу ответов не всё решение системы, а только 1 и 2 индексы, то есть координаты икс и игрек (скорости нам не нужны).

X = for i in eachindex(Solut.u)] Y = for i in eachindex(Solut.u)] plot(X, Y, xaxis=("X"), background_color=RGB(0.1, 0.1, 0.1)) title!("Траектория частицы") yaxis!("Y") savefig("XY1.png")#сохраним график в папку с проектом

Проверим результат. Введем вместо х новую переменную . Таким образом осуществляется переход в новую систему координат, движущуюся относительно исходной со скоростью u в направлении оси Х :

Если выбрать и обозначить , то система упростится:

Электрическое поле исчезло из последних равенств, и они представляют собой уравнения движения частицы, находящейся под действием однородного магнитного поля. Таким образом, частица в новой системе координат (х, у) должна двигаться по окружности. Так как эта новая система координат сама перемещается относительно исходной со скоростью , то результирующее движение частицы будет складываться из равномерного движения по оси X и вращения по окружности в плоскости XY . Как известно, траектория, возникающая при сложении таких двух движений, в общем случае представляет собой трохоиду . В частности, если начальная скорость равна нулю, реализуется простейший случай движения такого рода - по циклоиде .
Удостоверимся, что скорость дрейфа вышла действительно равной Е/В . Для этого:

• подпортим матрицу ответов, поставив вместо первого элемента (максимального) заведомо меньшее значение
• найдем номер максимального элемента во втором столбце матрицы ответов, который откладывается по ординате
• вычислим безразмерную скорость дрейфа, разделив значение абсциссы в максимуме на соответствующее значение времени

Y = -0.1 numax = argmax(Y) X / Solut.t

Out: 8.334546850446588e-5

B = 2*q*λ / (M*C) E = 5e4*q*λ / (M*C*C) E/B

Out: 8.333333333333332e-5
С точностью до седьмого порядка!
Для удобства определим функцию, принимающую параметры модели и подпись графика, которая будет также служить названием файла png , создаваемого в папке с проектом (работает в Juno/Atom и Jupyter). В отличии от Gadfly , где графики создавались в слоях , а потом выводились функцией plot() , в Plots, чтобы в одном фрейме наделать разных графиков, первый из них создается функцией plot() , а последующие добавляются использованием plot!() . Названия функций меняющих принимаемые объекты в Джулии принято оканчивать восклицательным знаком.

function plotter(ttle = "qwerty", Bo = 2, Eo = 4e4, vel = 7e4) Ans = modelsolver(Bo, Eo, vel) X = for i in eachindex(Ans.u)] Y = for i in eachindex(Ans.u)] plot!(X, Y) p = title!(ttle) savefig(p, ttle * ".png") end

При нулевой начальной скорости, как и предполагалось, получаем циклоиду :

plot() plotter("Zero start velocity", 2, 4e4, 7e4)

Получим траекторию частицы при занулении индукции, напряженности и при смене знака заряда. Напомню, что точка значит поочередное выполнение функции со всеми элементами массива

Упрятано

plot() plotter.("B занулено Е варьируется", 0, )

plot() plotter.("E занулено B варьируется", , 0)

q = -1.6e-19 # C plot() plotter.("Отрицательный заряд")

И посмотрим, как влияет на траекторию частицы изменение начальной скорости:

plot() plotter.("Варьирование скорости", 2, 5e4, )

Немного о Scilab

На Хабре уже есть достаточно информации о Сайлабе, например , поэтому ограничимся ссылками на Википедию и на домашнюю страницу .

От себя добавлю, про наличие удобного создания интерфейса с флажками кнопками и выводом графиков и довольно интересного инструмента визуального моделирования Xcos. Последний можно использовать, например, для моделирования сигнала в электротехнике:

Собственно, нашу задачу вполне можно решить и в Scilab:

Код и картинки

clear function du = syst(t, u, A, E) du = A * u + // ODE system endfunction function = modelsolver(Bo, Eo, vel) B = Bo*q*lambda / (M*C) E = Eo*q*lambda / (M*C*C) vel = vel / C u0 = // start cond-ns t0 = 0.0 tspan = t0:0.1:6*%pi // time period A = U = ode("rk", u0, t0, tspan, list(syst, A, E)) endfunction M = 9.11e-31 // kg q = 1.6e-19 // C C = 3e8 // m/s lambda = 1e-3 // m = modelsolver(2, 5e4, 7e4) plot(cron, Ans1) xtitle ("Безразмерные координаты и скорости","t","x, y, dx/dt, dy/dt"); legend ("x", "y", "Ux", "Uy"); scf(1)//создание нового графического окна plot(Ans1(1, :), Ans1(2, :)) xtitle ("Траектория частицы","x","y"); xs2png(0,"graf1");// можно сохранять графики в разных форматах xs2jpg(1,"graf2");// правда, работает через-раз

Информация по функции для решения дифуров ode . В принципе напрашивается вопрос

А зачем нам Julia?

… если и так есть такие замечательные штуки как Scilab, Octave и Numpy, Scipy?
Про последние два не скажу - не пробовал. Да и вообще вопрос сложный, так что прикинем навскидку:

Scilab
На харде займет чуть больше 500 Мб, запускается быстро и сходу доступно и дифуросчитание, и графика и всё остальное. Хорош для начинающих: отличное руководство (по большей части локализованное), есть много книг на русском. Про внутренние ошибки уже было сказано и , и так как продукт очень нишевый, сообщество вялое, и дополнительные модули весьма скудны.

Julia
По мере добавления пакетов (особенно всякой питонщины а-ля Jupyter и Mathplotlib) разрастается от 376 Мб до вполне-таки шести с лишним гигабайт. Оперативку она тоже не щадит: на старте 132 Мб и после того, как в Юпитере намалевать графиков, до 1 ГБ спокойно дойдёт. Если работать в Juno , то всё почти как в Scilab : можно выполнять код сразу в интерпретаторе, можно печатать во встроенном блокноте и сохранять как файл, есть обозреватель переменных, журнал команд и интерактивная справка. Лично у меня вызывает возмущение отсутствие clear() , т. е. запустил я код, потом начал там поправлять и переименовывать, а старые переменные-то остались (в Юпитере нет обозревателя переменных).

Но всё это не критично. Scilab подходит вполне на первых парах, сделать лабу, курсач или посчитать чего промежуточного - очень даже подручный инструмент. Хоть здесь тоже есть поддержка параллельного вычисления и вызов сишных/фортрановских функций, для чего серьезного его использовать не получается. Большие массивы повергают его в ужас, чтоб задать многомерные, приходится заниматься всяким мракобесием , а вычисления за рамками классических задач вполне могут обронить всё вместе с операционкой.

И вот после всех этих болей и разочарований можно смело переходить на Julia , чтоб огрести ещё и здесь. Будем учиться дальше, благо комьюнити очень отзывчивое, проблемы утрясаются быстро, да и у Джулии есть еще много интересных особенностей, которые превратят процесс обучения в увлекательное путешествие!

1.5. Движение заряженных частиц в электрическом поле

1.5.1. Электрон, обладающий нулевой начальной скоростью, попадает в однородное электрическое поле напряжённостью Е = 200 кВ/м. Какое расстояние пролетит, предоставленный самому себе электрон за время t = 1 нс? Какой скорости он достигнет?

Решение

1. Определим величину силы Кулона, действующую на электрон массой m @ 1×10 -30 кг при попадании его в электрическое поле напряжённостью Е

где е @ 1,6×10 -19 Кл - заряд электрона.

2. Для электрона, который в рамках классических представлений считается частицей, справедлив второй закон Ньютона, посредствам которого можно найти ускорение частицы

Впечатляющая величина ускорения обусловлена весьма малой массой электрона и относительно большим значением силы.

3. Путь, пройденный электроном за заданный промежуток времени найдём, используя кинематические соотношения

. (3)

4. Скорость электрона в конце заданного промежутка времени определим из закона сохранения импульса

. (4)

1.5.2. Протон и электрон необходимо разогнать до скорости v = 30 Мм/с. Какую разность потенциалов они должны при этом пройти?

Решение

1. Работа по перемещению в электрическом поле заряда в соответствии с теоремой об изменении кинетической энергии равна

, (1)

где v1 и v2 - начальная и конечная скорость частицы, m - масса частицы. Если предположить, что разгон частиц начинается из состояния покоя, то уравнение (1) можно упростить

. (1)

2. Разность потенциалов, необходимая для разгона электрона, обладающего массой me @кг и зарядом е @ 1,6×10 -19 кг

. (2)

3. Разность потенциалов, необходимая для разгона до заданной скорости протона, имеющего массу mp @ 1,67×1кг и заряд p @ 1,6×1Кл

. (3)

1.5.3. Между катодом и анодом разность потенциалов составляет U = 90 В, расстояние равно r = 1 ×10 - 3 м. С каким ускорением а движется от катода к аноду электрон? За какое время он проходит расстояние r. Какова скорость электрона v в момент удара о поверхность анода? За какое время t электрон пролетает расстояние от катода до анода?

Решение

1. Воспользовавшись уравнением (1) предыдущей задачи, определим конечную скорость электрона перед ударом в анод

2. Запишем кинематические уравнения движения электрона и определим время полёта электрона от катода к аноду

3. Ускорение электрона определим из верхнего уравнения системы уравнений (2)

. (3)

1.5.4. Пылинка массой m = 1 ×10 - 12 кг, несущая на себе электрический заряд в пять электронов, прошла в вакууме ускоряющую разность потенциалов U = 3 10 6 В. Какова скорость и кинетическая энергия пылинки?

Решение

1. Изменение энергии пылинки, в соответствии с теоремой об изменении кинетической энергии равно работе сил электрического поля

2. Выразим энергию пылинки в электрон-вольтах

. (2)

3. Определим скорость пылинки

. (3)

1.5.5. Заряженная частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 0,6 МВ, приобрела скорость v = 5,4 Мм/с. Определить удельный заряд частицы (отношение заряда к массе).

Решение

1. Запишем теорему об изменении кинетической энергии частицы и определим удельный заряд

1.5.6. Протон, начальная скорость которого была равна v0 = 100 км/с, пройдя ускоряющее электрическое поле с напряжённостью Е = 300 В/см удвоил свою скорость. Какой путь прошёл протон, если вектор его скорости совпадал по направлению с вектором напряжённости?

Решение

1. Определим величину силы Кулона, действующей на протон, обладающий массой m = 1,67×1кг и зарядом е = +1,6 -19 Кл

2. Запишем теорему об изменении кинетической энергии протона при прохождении им электрического поля

, (2)

и определим, пройденный протоном путь s

. (3)

1.5.7. Бесконечная плоскость заряжена отрицательно с поверхностной плотностью s = 35,4 нКл/м2. В направлении силовой линии поля, созданного плоскостью движется электрон. На расстоянии y0 = 5 ×10 - 2 м электрон имел кинетическую энергию К = 80 эВ. На какое минимальное расстояние ymin электрон может приблизиться к плоскости?

Решение

2. Тормозная сила, действующая со стороны электрического поля на электрон

3. Электрон остановит своё движение в момент времени, когда работа кулоновской силы, тормозящей его движение, станет равной по величине начальной кинетической энергии, электрон, при этом пройдёт некоторое расстояние y

(4)

4. Расстояние до пластины в момент остановки электрона определится как

. (5)

1.5.8. Электрон, летевший горизонтально со скоростью v0 = 1,6 Мм/с, влетел в однородное электрическое поле с напряжённостью Е = 90 В/см, направленное вертикально. Определить вектор скорости электрона v через t = 1 нс?

Решение

1. В вертикальном электрическом поле на электрон будет действовать сила Кулона, которая обеспечивает ускорение, направленное по оси оy

, (1)

где е @ 1,6×1Кл - заряд электрона, m @ 1×1кг - масса электрона.

2. Поскольку проекция ускорения на ось ох равна нулю, то горизонтальное движение электрона будет протекать с начальной скоростью v0, т. е. vx = v0, а вертикальная составляющая скорости будет определяться уравнением

в рассматриваемом случае, с учётом уравнения (1):

3. Таким образом, через время t модуль скорости электрона будет равен

. (4)

. (5)

1.5.9. В плоский конденсатор влетает электрон со скоростью v0 = 2 Мм/с, направленной перпендикулярно вектору напряжённости электрического поля. На какое расстояние h сместится электрон к нижней обкладке конденсатора за время пролёта пластин конденсатора? Длина пластин составляет х = 5 см, расстояние между пластинами d = 2 см, разность потенциалов между обкладками U = 2 В.

Решение

1. Запишем кинематические уравнения движения электрона под действием постоянной силы Кулона F = eE= eU/d

2. Поскольку вдоль горизонтальной оси движение электрона происходит с постоянной скоростью, то время пролёта конденсатора можно определить как

3. Смещение электрона по вертикали, таким образом, можно представить следующим уравнением

4. Вертикальное ускорение электрона а определится посредствам второго закона Ньютона

. (4)

5. Подставим значение ускорения из уравнения (4) в уравнение (3)

. (5)

1.5.10. Протон и a - частица из состояния покоя проходят ускоряющее электрическое поле. В каком отношении будут находиться их скорости?

Решение

1. Как известно, a - частица состоит из двух протонов и двух нейтронов, поэтому заряд a - частицы в два раза больше заряда протона, т. е. qa = 2qp, а масса - в четыре раза больше, т. е. ma = 4 mp.

2. При прохождении частицами одинаковой разности потенциалов Dj силами поля будет совершаться работа и они будут приобретать соответствующую кинетическую энергию

. (1)

1.6. Электрический диполь. Свойства диэлектриков

1.6.2. Диполь c электрическим моментом р = 0,12 нКл ×м образован двумя точечными зарядами q. Определить напряжённость электрического поя Е и потенциал j в точках А и В, находящихся на расстоянии r = 8 см от центра диполя.

Решение

1. Определим напряжённость электрического поля диполя в точка А, которая отстоит от центра диполя на расстоянии r = 0,08 м, причём радиус-вектор r составляет с осью диполя угол a = p/2, т. е. cosa = 0

2. Потенциал в точке А

. (2)

https://pandia.ru/text/78/367/images/image042_0.gif" width="269" height="40">. (4)

1.6.3. Определить напряжённость Е и потенциал j электрического диполя с моментом р = 4 пКл ×м на расстоянии r = 0.1 м от центра диполя в направлении a = 600 с вектором электрического момента .

Решение

, (1)

https://pandia.ru/text/78/367/images/image046_0.gif" width="267" height="44">. (2)

1.6.4. Диполь с электрическим моментом р = 1 пКл ×м равномерно вращается с частотой n = 10 3 с - 1 относительно оси, проходящей через центр диполя перпендикулярно своему плечу. Получить закон изменения потенциала во времени для некой точки, отстоящей от центра диполя на расстоянии r = 1 см и лежащей в плоскости диполя. В начальный момент времени потенциал равен нулю j(0) = 0.

Решение

1. В данном случае вектор электрического момента, оставаясь постоянным по модулю, изменяет во времени своё положение, другими словами, величина угла a = f(t). Эти обстоятельства приводят к тому, что величина потенциала тоже станет зависимой от времени

. (1)

2. Определим амплитудное значение потенциала, которое будет иметь место при t = 0, когда cos(2pn0) = 1

. (2)

, (3)

и запишем уравнение потенциала, как функцию времени

Таким образом потенциал в точке А, расположенной в плоскости вращения диполя изменяется во времени по закону косинуса.

1.6.5. Электрический диполь с моментом р = 0,1 нКл ×м укреплён на упругой нити. Когда в пространстве, где находится диполь, было создано электрическое поле напряжённостью Е = 3 кВ/м перпендикулярное вектору момента, диполь повернулся на угол a = 300. Определить постоянную кручения нити z, равную моменту закручивающей силы, отнесённому к 1 рад.

1.6.6. Перпендикулярно плечу диполя с электрическим моментом р = 12 пКл ×м возбуждено однородное электрическое поле напряжённостью Е = 300 кВ/м. Под действием поля диполь начинает поворачиваться относительно оси, проходящей через его центр. Определить угловую скорость диполя w в момент прохождения им положения равновесия. Момент инерции диполя относительно оси, перпендикулярной плечу и проходящей через центр диполя равен J = 2 ×10 - 9 кг ×м2.

Решение

1. Кинетическая энергия вращательного движения определяется как

2. Механический момент, действующий на диполь в электрическом поле, равен

. (2)

3.Полная работа при повороте диполя в электрическом поле зависит от электрического момента и угла поворота

. (3)

4. При прохождении состояния равновесия a1 =0, a2 = p/2, т. к. электрическое поле в начальном положении диполя перпендикулярно его оси

1.6.7. Колба проекционной лампы заполненная криптоном, находящимся под давлением р = 20 МПа при температуре Т = 400 К помещена в электрическое поле напряжённостью Е = 2 МВ/м. Найти диэлектрическую проницаемость криптона и его поляризованность Р. Поляризуемость криптона принять равной a = 4,5 ×10 - 29 м3.

Решение

1. Диэлектрическая проницаемость e входит в уравнение Клаузиуса - Мосотти

где n - концентрация атомов криптона.

2. Концентрацию молекул газа определим из уравнения молекулярно-кинетической теории

, (2)

где kB = 1,4×1Дж/К - постоянная Больцмана.

3. Подставим значение n из уравнения (2) в уравнение (1)

4. Разрешим уравнение (3) относительно величины диэлектрической проницаемости e

. (3)

5. Величина поляризованности определяется в общем виде уравнением

где рi - дипольный момент, наведённый в i - м атоме, k - число атомов в объёме DV. При нахождении атомов в однородном электрическом поле все атомы имеют дипольные моменты, совпадающие по направлению и по величине, это даёт возможность от геометрического сложения в уравнении (4) перейти к алгебраическому

6. С другой стороны, отношение полного числа атомов к занимаемому ими объёму равно концентрации k/DV = n

8. Выразим напряжённость локального поля Е* через напряжённость внешнего поля Е, а концентрацию через давление и температуру

(8)

1.6.8. В близи атома на расстоянии r = 1 нм находится a - частица, представляющая собой дважды ионизированный атом гелия с зарядом 2| e|. Электрическое поле a - частицы индуцирует электрический момент атома р = 1 ×10 - 32 Кл ×м. Найти поляризуемость этого атома.

Решение

1. Поляризуемость a пропорциональна индуцированному электрическому моменту р и обратно пропорциональна напряжённости локального магнитного поля

2. В данном случае внешнее электрическое поле создаётся a - частицей, оно же, по сути, будет являться и локальным

3. Совместим уравнения (1) и (2)

. (3)

1.6.9. Вода имеет плотность r = 103 кг/м3 и показатель преломления n = 1,33. Определить электронную Поляризуемость aе молекул воды.

Решение

1. Электронная поляризуемость молекул определяется формулой Лоренц - Лорентца

, (1)

где m = 18×10 - 3 кг/моль, NA = 6×1023 моль - 1.

2. Разрешим уравнение (1) относительно aе

. (2)

. (3)

1.7. Электрическая ёмкость. Конденсаторы

1.7.1. Определить электрическую ёмкость С уединённого проводящего шара радиусом R = 1 м, погруженного в трансформаторное масло.

Решение

1. Диэлектрическая проницаемость керосина e = 2, ёмкость шара определяется уравнением

1.7.2. Найти электрическую ёмкость С проводящей сферы, погруженной в воду. Радиус сферы составляет R = 2 см.

Решение

1. Воспользуемся уравнением предыдущей задачи, с учётом значения диэлектрической проницаемости воды e =80

1.7.3. Определить электрическую ёмкость Земли, приняв её за шар радиусом R @ 6,4 ×105 м.

Решение

1. Воспользуемся уравнением для электроёмкости шара

1.7.4. Два металлических шара радиусами R1 = 2 см и R2 = 6 см соединяют проводником с пренебрежимо малой ёмкостью и сообщают электрический заряд Q = 1 нКл. Определить поверхностную плотность зарядов.

Решение

1. Запишем уравнения электрической ёмкости шаров

2. Электрическая ёмкость шара определяется, как известно, величиной размещённого на нём заряда и потенциалом C = Q/j. Поскольку шары соединили безъемкостным проводником, то потенциал обоих шаров будет одинаков, а вот электрические ёмкости - разные

где Q1, Q2 и С1, С2 - заряды и электроёмкости шаров, соответственно.

3. В соответствии с законом сохранения заряда

4. Образуем систему уравнений, из которой можно найти заряд каждого шара

, (4)

, (5)

. (7)

https://pandia.ru/text/78/367/images/image086.gif" width="343" height="43">. (9)

1.7.5. Шар радиусом R1 = 6 см заряжен до потенциала j1 = 300 В, а шар радиусом R2 = 4 см до потенциала 500 В. Найти потенциал шаров после их соединения безъемкостным проводником.

Решение

1. Запишем уравнения, определяющие электрическую ёмкость шаров

2. Общая ёмкость шаров после соединения

3. Поскольку известны потенциалы шаров до их соединения, можно определить их заряды

4. Электрический заряд шаров после их соединения безъёмкостным проводником

5. Потенциал шаров после их соединения

1.7.6. Медное пушечное ядро, массой m = 10 кг вследствие трения при полёте о воздух приобрело электрический заряд, эквивалентный N = 1010 некомпенсированным элементарным зарядам. Определить электрическую ёмкость ядра и его потенциал.

Решение

1. Для определения электрической ёмкости пушечного ядра сферической формы необходимо знать его радиус, который можно найти по известной массе m и плотности меди r = 8,9×103 кг/м3

. (1)

2. Электрическая ёмкость медного пушечного ядра

3. Электрический потенциал ядра

. (3)

1.7.7. Заряженное проводящее тело сферической формы радиусом R = 2 см обладает электрической энергией W = 1 Дж. Определить потенциал этого тела.

Решение

1. Электрическая энергия и потенциал заряженного тела связаны следующим уравнением

1.7.8. Найти электрическую ёмкость С плоского конденсатора с площадью пластин s = 100 см2 и расстоянием между ними d = 0,1 мм заполненным слюдой с диэлектрической проницаемостью e = 7.

Решение

1. Электрическая ёмкость плоского конденсатора определяется уравнением

. (1)

1.7.9. Между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов U = 600 В, находятся два слоя диэлектриков: стекло толщиной d1 = 7 мм и эбонит толщиной d2 = 3 мм. Площадь каждой из пластин s = 200 см2. Определить электрическую ёмкость конденсатора С, смещение D, напряжённость Е и падение потенциала на каждом слое диэлектрика.

Решение

1. Примем диэлектрическую проницаемость стекла e1 = 7, проницаемость эбонита e2 = 3. Предложенную в задаче конструкцию можно рассматривать как два последовательно соединённых конденсатора, причём

, (1)

, (2)

2. Определим заряд конденсатора

3. Поверхностная плотность электрического заряда s, которая по величине совпадает со значением смещения D

. (5)

4. Поскольку С1 = С2 = 180 пФ, то j1 = j2 = 300 В, а для напряжённости поля Е можно записать следующие соотношения

. (6)

. (7)

1.7.10. Расстояние между пластинами плоского конденсатора d = 1,3 мм, площадь пластин составляет s = 20 см2. В пространстве между пластинами конденсатора расположены два слоя диэлектриков: слюда толщиной d1 = 0,7 мм и эбонита толщиной d2 = 0,3 мм. Определить электрическую ёмкость такого конденсатора.

Решение

1. Данную конструкцию электрической ёмкости можно рассматривать как три последовательно включённых конденсатора: один с диэлектриком из слюды, второй - из эбонита, третий с диэлектриком из воздуха.

2. Диэлектрическая проницаемость слюды e1 = 7, диэлектрическая проницаемость эбонита e2 = 3, диэлектрическая проницаемость воздуха e3 = 1.

3. Три последовательно соединённых конденсатора имеют общую ёмкость, определяемую уравнением

. (1)

4. Ёмкости отдельных конденсаторов соответственно равны

5. Сопоставим уравнения (1) и (2)

. (3)

6. Преобразуем последнее уравнение к более простому виду

, (4)

, (5)

. (6)

7. Поделим числитель и знаменатель уравнения (6) па произведение диэлектрических проницаемостей (e1e2e3)

, (7)

, (8)

8. Подставим в уравнение (8) заданные по условию задачи и справочные данные

1.7.11. На пластинах плоского конденсатора равномерно распределён электрический заряд плотностью s = 0,2 мкКл/м2. Расстояние между пластинами d = 1 мм. На сколько изменится разность потенциалов на обкладках конденсатора, если расстояние между пластинами увеличить в три раза.

Решение

1. Разность потенциалов на обкладках конденсатора и его заряд связаны следующим соотношением

2. При увеличении расстояния между обкладками изменяется ёмкость конденсатора и разность потенциалов между обкладками, другими словами

3. Определим разность потенциалов при измени расстояния между обкладками

1.7.12. Два кубика электрической ёмкостью С1 и С2 заряжены до потенциалов j1 и j2 соответственно. Определить ёмкость прямоугольной призмы, составленной из этих кубиков.

Решение

1. Поскольку соединяемые тела не представляют собой конденсаторы в классическом их понимании, то использовать для нахождения общей ёмкости формул последовательного или параллельного соединения не представляется возможным. В данном случае применимы законы сохранения заряда и энергии.

2. Запишем законы сохранения заряда и энергии

. (1)

3. Перепишем систему уравнений (1) с учётом значений зарядов кубиков и общей их энергии Wo

. (2)

4. Совместим уравнения системы (2)

, (3)

. (4)

1.7.13. На плоский конденсатор с парафиновым диэлектриком (e = 2) подано напряжение U = 4000 В. Расстояние между обкладками d = 2 мм. Определить поверхностную плотность зарядов s на обкладках.

Решение

1. Выразим электрическую ёмкость конденсатора через его электрические и геометрические параметры

2. Подставим в уравнение (1) заданные величины

. (2)

1.7.14. Плоский конденсатор представляет собой две круглые проводящие пластины радиусом r = 1 см, пространство между которыми заполнено винипластом с диэлектрической проницаемостью e = 3. Какой максимальный заряд Qmax должен быть на пластинах, чтобы при напряжённости электрического поля Е = 45 кВ/мм произошёл электрический пробой диэлектрика?

Решение

1. Для решения задачи воспользуемся уравнением (1) предыдущей задачи

. (3)

2. Разрешим уравнение (3) относительно заряда Q

1.7.14. Электростатические весы представляют собой устройство, в котором действие силы тяжести компенсируется силой притяжения между разноимённо заряженными пластинами, расположенными на расстоянии d = 1 мм. Какой добавочный груз нужно поместить на чашку весов, чтобы расстояние между пластинами сохранилось при зарядке конденсатора напряжением U = 1 кВ? Площадь пластин составляет s = 5 ×10 - 3 м2.

Решение

1. Определим силу Кулона, действующую на положительно заряженную пластину

2. С другой стороны, заряд конденсатора можно выразить через его ёмкость и разность потенциалов между обкладками

3. Подставим значение заряда из уравнения (2) в уравнение (1)

4. Определим массу перегрузка m для уравновешивания весов

1.7.15. Электростатические весы устроены так, что одна из пластин конденсатора укреплена неподвижно, а вторая соединена с пружиной с коэффициентом жёсткости k. Площадь обкладок конденсатора равна s. Определить удлинение пружины D l при сообщении пластинам равных по модулю и противоположных по знаку зарядов Q.

Решение

1. Воспользовавшись уравнением (1) предыдущей задачи, определим величину силы, возникающей при взаимодействии разноимённо заряженных пластин

2. Притяжение пластин будет сопровождаться удлинением пружины на величину Dl и возникновением силы упругости Fу = k×Dl, другими словами

. (2)

1.7.16. В плоском переменном конденсаторе ёмкость изменяется путём увеличения расстояния между пластинами. Какую работу совершает источник тока, к которому подключены пластины, если ёмкость меняется от С1 до С2, а заряд конденсатора остаётся равным Q?

Решение

1. Как было показано в предыдущих задачах, разноимённо заряженные пластины притягиваются с силой

2. При элементарном изменении расстояния между пластинами на dу ёмкость конденсатора изменяется на dC, при этом внешним источником энергии, каковым является батарея, совершается элементарная работа

полная работа при изменении расстояния от d1 до d2 определится как

3. Разрешим уравнения (2) относительно зарядов и определим их разность

, (3)

1.7.18. Пластины плоского воздушного конденсатора несут заряды + 3 Q и – Q. Определить разность потенциалов между пластинами, если расстояние между ними d, а их площадь - s.

Решение

1. Будем исходить из того, что напряжённость электрического поля между двумя параллельными заряженными пластинами определяется уравнением

где https://pandia.ru/text/78/367/images/image151.gif" width="165" height="40">. (2)

, (3)

1.7.19. Плоский воздушный конденсатор погружают в жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью e2 двумя способами, показанными на рисунке. Во сколько раз, при этом, меняется ёмкость конденсатора.

Решение

1. Когда в жидкий диэлектрик погружена половина площади обоих пластин, то такой сложный конденсатор можно рассматривать как две электрические ёмкости, соединённые параллельно

где e1 = 1 - диэлектрическая проницаемость воздуха, e2 - диэлектрическая проницаемость жидкого диэлектрика.

2. Изменение ёмкости для рассмотренного выше случая составит

где С0 = e0e1s/d - электрическая ёмкость воздушного конденсатора.

3. При погружении в диэлектрик одной пластины образуется сложная ёмкость, которую можно представить в виде двух последовательно соединённых конденсаторов С2,1 и С2,2

, (3)

4. Отношение ёмкостей в этом случае определится уравнением

. (6)

1.7.20. В отсутствии силы тяжести плоский воздушный конденсатор с пластинами площадью s и расстоянием между ними d1 подключён к источнику с электродвижущей силой e. К нижней пластине плотно прижата проводящая пластина массой m и толщиной d. С какой скоростью пластина ударится о верхнюю обкладку, если её отпустить?

Решение

1. На проводящей пластине, прижатой к нижней обкладке, индуцируется электрическое поле, причём отрицательные заряды будут концентрироваться со стороны нижней обкладки, а положительные - на противоположной. Так как пластина прижата плотно к обкладке и расположение её несимметрично, то часть электронов обкладки перейдёт на пластину, заряд которой можно определить как

, (1)

где С = e0s/(d1 – d2) - ёмкость воздушного конденсатора, образованного металлической пластиной и верхней обкладкой, e* - ЭДС источника тока.

2. Отрицательно заряженная металлическая пластина будет притягиваться к верхней положительно заряженной обкладке конденсатора. Вследствие второго закона Ньютона, наличие силы, действующей на массу, должно неминуемо привести к её движению. Движение пластины описывается законом сохранения энергии, в частности, теоремой об изменении кинетической энергии. Работа, совершаемая силами электрического поля равна изменению кинетической энергии пластины. С учётом неподвижности пластины в начальный момент времени, сказанное выше, можно представить следующим образом

, (2)

откуда скорость пластины в момент достижения верхней обкладки определится уравнением

. (3)

1.7.21. Во сколько раз изменится ёмкость плоского воздушного конденсатора с пластинами площадью s1 и расстоянием между ними d1, если параллельно обкладкам внести парафиновую пластину площадью s2 = s1/2 и толщиной d2 = d1/2?

Решение

1. В данном случае, при внесении пластины, ёмкость можно представить как три конденсатора, с последовательным и параллельным включением. Электроёмкость конденсатора, образованного пластинами и воздушным промежутком определяется как

2. При внесении пластины с воздушным промежутком над ней представляет собой два последовательно соединённых конденсатора С2,1 и С2,2, и параллельную ёмкость С2,3

1.7.23. Определить ёмкость конденсаторного соединения, ели С1 = С2 = С3 = С4 = С5 = 1 мкФ

Решение

1. Так как все конденсаторы задействованные в рассматриваемой схеме одинаковые, то потенциалы точек 2 и 4 будут тоже одинаковыми, а это значит, что при подключении батареи к источнику тока конденсатор С5 заряжаться не будет. В этой связи приведенную схему можно упростить.

2. В отсутствии конденсатора С5 схема представляет собой комбинацию последовательного и параллельного включения

. (2)

3. По условию задачи все ёмкости одинаковые по величине, поэтому введём обозначение С1 = С2 = С3 = С4 = С, тогда

Если частица, обладающая зарядом е, движется в пространстве, где имеется электрическое поле с напряжённостью E то на неё действует сила eE. Если, кроме электрического, имеется магнитное поле, то на частицу действует ещё сила Лоренца, равная e , где u - скорость движения частицы относительно поля, B - магнитная индукция. Поэтому согласно второму закону Ньютона уравнение движения частиц имеет вид:

Написанное векторное уравнение распадается на три скалярных уравнения, каждое из которых описывает движение вдоль соответствующей координатной оси.

В дальнейшем мы будем интересоваться только некоторыми частными случаями движения. Предположим, что заряженные частицы, двигавшиеся первоначально вдоль оси Х со скоростью попадают в электрическое поле плоского конденсатора.

Если зазор между пластинами мал по сравнению с их длиной, то краевыми эффектами можно пренебречь и считать электрическое поле между пластинами однородным. Направляя ось Y параллельно полю, мы имеем: . Так как магнитного поля нет, то. В рассматриваемом случае на заряженные частицы действует только сила со стороны электрического поля, которая при выбранном направлении координатных осей целиком направлена по оси Y. Поэтому траектория движения частиц лежит в плоскости XY и уравнения движения принимают вид:

Движение частиц в этом случае происходит под действием постоянной силы и подобно движению горизонтально брошенного тела в поле тяжести. Поэтому ясно без дальнейших расчетов, что частицы будут двигаться по параболам.

Вычислим угол , на который отклонится пучок частиц после прохождения через конденсатор. Интегрируя первое из уравнений (3.2), находим:

Интеграция второго уравнения даёт:

Так как при t=0 (момент вступления частицы в конденсатор) u(y)=0, то c=0, и поэтому

Отсюда получаем для угла отклонения:

Мы видим, что отклонение пучка существенно зависит от величины удельного заряда частиц e/m

§ 72. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

Представим себе заряд , движущийся в однородноммагнитном поле со скоростью v, перпендикулярной к В. Магнитная сила сообщает заряду перпендикулярное к скорости ускорение

(см. формулу (43.3); угол между v и В прямой). Это ускорение изменяет лишь направление скорости, величина же скорости остается неизменной. Следовательно, и ускорение (72.1) будет постоянным по величине. При этих условиях заряженная частица движется равномерно по окружности, радиус которой определяется соотношением Подставив сюда значение (72.1) дляи решив получившееся уравнение относительно R, получим

Итак, в случае, когда заряженная частица движется в однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости, в которой происходит движение, траектория частицы является окружностью. Радиус этой окружностизависит от скорости частицы, магнитной индукции поля и отношения заряда частицы к ее массе. Отношениеназывается удельным зарядом.

Найдем время Т, затрачиваемое частицей на один оборот. Для этого разделим длину окружности на скорость частицы v. В результате получим

Из (72.3) следует, что период обращения частицы не зависит от ее скорости, он определяется только удельным зарядом частицы и магнитной индукцией поля.

Выясним характер движения заряженной частицы в случае, когда ее скорость образует с направлением однородного магнитного поля угол а, отличный от прямого. Разложим вектор v на две составляющие; - перпендикулярную к В и- параллельную В (рис. 72.1). Модули этих составляющих равны

Магнитная сила имеет модуль

и лежит в плоскости, перпендикулярной к В. Создаваемое этой силой ускорение является для составляющей нормальным.

Составляющая магнитной силы в направлении В равна нулю; поэтому повлиять на величину эта сила не может. Таким образом, движение частицы можно представить как наложение двух движений: 1) перемещения вдоль направления В с постоянной скоростьюи 2) равномерного движения поокружности в плоскости, перпендикулярной к вектору В. Радиус окружности определяется формулой (72.2) с заменой v на .Траектория движения представляет собой винтовую линию, ось которой совпадает с направлением В (рис. 72.2). Шаг линии можно найти, умноживна определяемый формулой (72.3) период обращения Т:

Направление, в котором закручивается траектория, зависит от знака заряда частицы. Если заряд положителен, траектория закручивается против часовой стрелки. Траектория, по которой движется отрицательно заряженная частица, закручивается по часовой стрелке (предполагается, что мы смотрим на траекторию вдоль направления В; частица при этом летит от нас, если и на нас, если).

16. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле. Применение электронных пучков в науке и технике: электронная и ионная оптика, электронный микроскоп. Ускорители заряженных частиц.

Введём понятие элементарной частицы как объекта , механическое состояние которого полностью описывается заданием трех координат и трех компонент скорости его движения как целого. Изучению взаимодействий элементарных частиц с э.м. полем предпошлем некоторые общие соображения, относящиеся к понятию “частицы” в релятивистской механике.

Взаимодействие частиц друг с другом описывается (и описывалось до теории относительности) с помощью понятия силового поля. Каждая частица создает вокруг себя поле. На всякую другую частицу, находящуюся в этом поле, действует сила. Это касается как заряженных частиц, взаимодействующих с э.м. полем, так и не имеющих заряда массивных частиц, находящихся в гравитационном поле.

В классической механике поле являлось лишь некоторым способом описания взаимодействия частиц как физического явления . Положение вещей существенным образом меняется в теории относительности из-за конечной скорости распространения поля. Силы, действующие в данный момент на частицу, определяются их расположением в предшествующее время . Изменение положения одной из частиц отражается на других частицах лишь спустя некоторый промежуток времени. Поле становится физической реальностью, через посредство которой осуществляется взаимодействие частиц . Мы не можем говорить о непосредственном взаимодействии частиц, находящихся на расстоянии друг от друга. Взаимодействие может происходить в каждый момент лишь между соседними точками пространства (близкодействие). Поэтому можно говорить о взаимодействии частицы с полем и о последующем взаимодействии поля с другой частицей .

В классической механике можно ввести понятие абсолютно твердого тела , которое ни при каких условиях не может быть деформировано. Однако в невозможности существования абсолютно твердого тела легко убедиться с помощью следующего рассуждения, основанного на теории относительности.

Пусть твердое тело внешним воздействием в какой-нибудь одной его точке приводится в движение. Если бы тело было абсолютно твердым , то все его точки должны были бы прийти в движение одновременно с той, которая подверглась воздействию. (В противном случае тело должно было бы деформироваться). Теория относительности, однако, делает это невозможным, так как воздействие от данной точки передается к остальным с конечной скоростью, а потому все точки тела не могут одновременно начать двигаться. Поэтому под абсолютно твердым телом следует подразумевать тело, все размеры которого остаются неизменными в системе отсчета, где оно покоится.

Из сказанного выше вытекают определенные выводы, относящиеся к рассмотрению элементарных частиц . Очевидно, что в релятивистской механике частицам, которые мы рассматриваем как элементарные , нельзя приписывать конечных размеров. Другими словами, в пределах строгой специальной теории относительности элементарные частицы не должны иметь конечных размеров и, следовательно, должны рассматриваться как точечные.

17. Собственные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение собственных электромагнитных колебаний и его решение.

Электромагнитными колебаниями называются периодические изменения напряженности Е ииндукции В.

Электромагнитными колебаниями являются радиоволны, микроволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновские лучи, гамма-лучи.

В неограниченном пространстве или в системах с потерями энергии(диссипативных) возможны собственные Э. к. с непрерывным спектром частот.

18. Затухающие электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний и его решение. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания. Добротность.

лектромагнитные затухающие колебания возникают в электромагнитной колебательной систему , называемой LCR – контур (Рисунок 3.3).

Рисунок 3.3.

Дифференциальное уравнение получим с помощью второго закона Кирхгофа для замкнутого LCR – контура: сумма падений напряжения на активном сопротивлении (R) и конденсаторе (С) равна ЭДС индукции, развиваемой в цепи контура:

коэффициент затухания

Это дифференциальное уравнение, описывающее колебания заряда конденсатора. Введем обозначения: Величину β также как и в случае механических колебаний называют коэффициентом затухания , а ω 0 – собственной циклической частотой колебаний. С введенными обозначениями уравнение (3.45) примет вид (3.47) Уравнение (3.47) полностью совпадает с дифференциальным уравнением гармонического осциллятора с вязким трением (формула (4.19) из раздела "Физические основы механики"). Решение этого уравнения описывает затухающие колебания вида q(t) = q 0 e -bt cos(wt + j) (3.48) где q 0 – начальный заряд конденсатора, ω = – циклическая частота колебаний, φ – начальная фаза колебаний. На рис. 3.17 показан вид функции q(t). Такой же вид имеет и зависимость напряжения на конденсаторе от времени, так как U C = q/C.

ДЕКРЕМЕНТ ЗАТУХАНИЯ

(от лат. decrementum - уменьшение, убыль) (логарифмический декремент затухания) - количественнаяхарактеристика быстроты затухания колебаний в линейной системе; представляет собой натуральныйлогарифм отношения двух последующих максимальных отклонений колеблющейся величины в одну и ту жесторону. T. к. в линейной системе колеблющаяся величина изменяется по закону (где постоянная величина- коэф. затухания) и два последующих наиб. отклонения в одну сторону X 1 и X 2 (условно наз. "амплитудами" колебаний) разделены промежутком времени (условно наз. "периодом" колебаний), то, а Д. з..

Так, напр., для механич. колебат. системы, состоящей из массы т, удерживаемой в положении равновесияпружиной с коэф. упругости k и испытывающей трение силой F T , пропорциональной скорости v (F Т =-bv, гдеb - коэф. пропорциональности), Д. з.

При малом затухании . Аналогично для электрич. контура, состоящего изиндуктивностиL , активного сопротивления R и ёмкости С, Д. з.

.

При малом затухании .

Для нелинейных систем закон затухания колебаний отличен от закона , т. е. отношение двухпоследующих "амплитуд" (и логарифм этого отношения) не остаётся постоянным; поэтому Д. з. не имееттакого определ. смысла, как для систем линейных.

Добро́тность - параметр колебательной системы, определяющий ширину резонанса и характеризующий, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний. Обозначается символом от англ. quality factor .

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

19. Вынужденные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний и его решение. Резонанс.

Вынужденными электромагнитными колебаниями называют периодические изменения силы тока и напряжения в электрической цепи, происходящие под действием переменной ЭДС от внешнего источника. Внешним источником ЭДС в электрических цепях являются генераторы переменного тока, работающие на электростанциях.

Чтобы в реальной колебательной системе осуществлять незатухающие колебания, надо компенсировать каким-либо потери энергии. Такая компенсация возможна, если использовать какой-либо периодически действующего фактора X(t), который изменяется по гармоническому закону: При рассмотрении механических колебаний, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила (1) С учетом (1) закон движения для пружинного маятника (формула (9) предыдущего раздела) запишется как Используя формулу для циклической частоты свободных незатухающих колебаний прижинного маятника и (10) предыдущего раздела, получим уравнение (2) При рассмотрении электрического колебательный контура роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя соответсвующим образом периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение (3) Тогда дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в простейшем контуре, используя (3), можно записать как Зная формулу циклической частоты свободных колебаний колебательного контура и формулу предыдущего раздела (11), придем к дифференциальному уравнению (4) Колебания, которые возникают под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями . Уравнения (2) и (4) приведем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению (5) причем далее мы будем применять его решение для вынужденных колебаний в зависимости от конкретного случая (x 0 если механические колебания равно F 0 /m, в случае электромагнитных колебаний - U m /L). Решение уравнения (5) будет равно (как известно из курса дифференциальных уравнений) сумме общего решения (5) однородного уравнения (1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение ищем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения (5) на комплексную переменную х 0 e iωt: (6) Частное решение данного уравнения будем искать в виде Подставляя выражение для s и его производных (и) в выражение (6), найдем (7) Поскольку это равенство должно быть верным для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Значит η=ω. Учитывая это, из формулы (7) найдем величину s 0 и умножим ее числитель и знаменатель на (ω 0 2 - ω 2 - 2iδω) Это комплексное число представим в экспоненциальной форме: где (8) (9) Значит, решение уравнения (6) в комплексной форме будет иметь вид Его вещественная часть, которая является решением уравнения (5), равна (10) где А и φ определяются соответственно формулами (8) и (9). Следовательно, частное решение неоднородного уравнения (5) равно (11) Решение уравнения (5) есть сумма общего решения однородного уравнения (12) и частного решения уравнения (11). Слагаемое (12) играет значительную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, которое определяется равенством (8). Графически вынужденные колебания изображены на рис. 1. Значит, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, которые определяются уравнениями (8) и (9), также зависят от ω .

Рис.1

Запишем выражения (10), (8) и (9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что ω 0 2 = 1/(LC) и δ = R/(2L) : (13) Продифференцировав Q=Q m cos(ωt–α) по t, получим силу тока в контуре при установившихся колебаниях: (14) где (15) Уравнение (14) может быть записано как где φ = α – π/2 - сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (3)). В соответствии с уравнением (13) (16) Из (16) следует, что ток отстает по фазе от напряжения (φ>0), если ωL>1/(ωС), и опережает напряжение (φ<0), если ωL<1/(ωС). Выражения (15) и (16) можно также вывести с помощью векторной диаграммы. Это будет осуществлено далее для переменных токов.

Резона́нс (фр. resonance , от лат. resono «откликаюсь») - явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при совпадении частотысобственных колебаний с частотой колебаний вынуждающей силы. Увеличение амплитуды - это лишь следствие резонанса, а причина - совпадение внешней (возбуждающей) частоты с некоторой другой частотой, определяемой из параметров колебательной системы, таких как внутренняя (собственная) частота, коэффициент вязкости и т. п. Обычно резонансная частота не сильно отличается от собственной нормальной, но далеко не во всех случаях можно говорить об их совпадении.

20. Электромагнитные волны. Энергия электромагнитной волны. Плотность потока энергии. Вектор Умова-Пойнтинга. Интенсивность волны.

ЭЛЕКТРОМАГНИ́ТНЫЕ ВО́ЛНЫ, электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве сконечной скоростью, зависящей от свойств среды. Электромагнитной волной называютраспространяющееся электромагнитное поле (см . ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ).

Пусть частица массой m и с зарядом e влетает со скоростью v в электрическое поле плоского конденсатора. Длина конденсатора x, напряженность поля равна Е. Смещаясь в электрическом поле вверх, электрон пролетит через конденсатор по криволинейной траектории и вылетит из него, отклонившись от первоначального направления на y. Под действием силы поля, F=eE=ma частица движется ускоренно по вертикали, поэтому

Время движения частицы вдоль оси ох с постоянной скоростью . Тогда . А это есть уравнение параболы. Т.о. заряженная частица движется в электрическом поле по параболе.

3. Частица в магнитном поле Рассмотрим движение заряженной частицы в магнитном поле напряженностью Н. Силовые линии поля изображены точками и направлены перпендикулярно к плоскости рисунка (к нам).

Движущаяся заряженная частица представляет собой электрический ток. Поэтому магнитное поле отклоняет частицу вверх от ее первоначального направления движения (направление движения электрона противоположно направлению тока)

Согласно формуле Ампера сила, отклоняющая частицу на любом участке траектории равна

Ток , где t-время, за которое заряд e проходит по участку l. Поэтому

Учитывая, что , получим

Сила F называется лоренцевой силой. Направления F, v и H взаимно перпендикулярны. Направление F можно определить по правилу левой руки.

Будучи перпендикулярна скорости , лоренцева сила изменяет только направление скорости движения частицы, не изменяя величины этой скорости. Отсюда следует, что:

1. Работа силы Лоренца равна нулю, т.е. постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей (не изменяет кинетической энергии частицы)

Напомним, что в отличие от магнитного поля электрическое поле изменяет энергию и величину скорости движущейся частицы.

2. Траектория частицы является окружностью, на которой частицу удерживает лоренцева сила, играющая роль центростремительной силы.

Радиус r этой окружности определим, приравнивая между собой лоренцеву и центростремительную силы:

Т.о. радиус окружности, по которой движется частица, пропорционален скорости частицы и обратно пропорционален напряженности магнитного поля.

Период обращения частицы T равен отношению длины окружности S к скорости частицы v:6

Учитывая выражение для r, получим Следовательно, период обращения частицы в магнитном поле не зависит от ее скорости.

Если в пространстве, где движется заряженная частица, создать магнитное поле, направленное под углом к ее скорости , то дальнейшее движение частицы представит собой геометрическую сумму двух одновременных движений: вращения по окружности со скоростью в плоскости, перпендикулярной силовым линиям, и перемещения вдоль поля со скоростью . Очевидно, что результирующая траектория частицы окажется винтовой линией

4. Электромагнитные счетчики скорости крови

Принцип действия электромагнитного счетчика основан на движении электрических зарядов в магнитном поле. В крови имеется значительное количество электрических зарядов в виде ионов.

Предположим, что некоторое количество однозарядных ионов движется внутри артерии со скоростью . Если артерию поместить между полюсами магнита, ионы будут двигаться в магнитном поле.

Для направлений и B, показанных на рис.1., магнитная сила действующая на положительно заряженные ионы направлена вверх, а сила , действующая на отрицательно заряженные ионы, направлена вниз. Под влиянием этих сил ионы движутся к противоположным стенкам артерии. Эта поляризация артериальных ионов создает поле E(рис.2), эквивалентное однородному полю плоского конденсатора. Тогда разность потенциалов в артерии U(диаметр которой d) связан с Е формулой