Postoje određeni kanoni u matematici koji su bili, da tako kažem, temelj ili temelj cjelokupnog kasnijeg razvoja moderne matematike. Jedan od tih kanona s pravom se može smatrati Pitagorinim teoremom.
Tko još od školskih dana nije znao smiješnu formulaciju Pitagorinog poučka: "Pitagorine hlače su jednake u svim smjerovima." Pa, da, ispravno zvuči ovako: „kvadrat hipotenuze jednak zbroju kvadrati nogu", ali o hlačama se puno bolje pamti.
To se najjasnije vidi u trokutu sa stranicama 3-4-5. Ali ako pažljivo proučite upotrebu takvog trokuta u drevna povijest, onda možete primijetiti jednu zanimljivu stvar i zove se nikako drugačije nego .
Isti taj filozof i matematičar Pitagora sa Samosa iz Grčke, po kojem je ovaj teorem dobio ime, živio je prije otprilike 2,5 tisuće godina. Pa, naravno, biografija Pitagore koja je stigla do našeg vremena nije sasvim pouzdana, ali, ipak, poznato je da je Pitagora mnogo putovao u zemljama Istoka. Uključujući on je bio u Egiptu i Babilonu. U južnoj Italiji Pitagora je osnovao svoju poznatu "Pitagorinu školu", koja je odigrala vrlo važnu ulogu važna uloga, kako znanstveni tako i politički život drevna grčka. Od tada se, prema legendama Plutarha, Prokla i drugih poznatih matematičara tog vremena, vjerovalo da ovaj teorem nije bio poznat prije Pitagore te je zato po njemu i dobio ime.
Ali povijest kaže da to nije tako. Pogledajmo gdje je Pitagora bio i što je vidio prije nego što je formulirao svoj teorem. Afrika, Egipat. Beskrajan i monoton ocean pijeska, gotovo bez ikakve vegetacije. Rijetki grmovi biljaka, jedva primjetni tragovi deva. Vruća pustinja. Sunce se čak čini prigušenim, kao da je prekriveno ovim sveprisutnim sitnim pijeskom.
I odjednom, poput fatamorgane, poput vizije, na horizontu se pojavljuju strogi obrisi piramida, nevjerojatni u svojim idealnim geometrijskim oblicima, usmjereni prema užarenom suncu. Oni su nevjerojatni svojom ogromnom veličinom i savršenstvom oblika.
Najvjerojatnije ih je Pitagora vidio u drugačijem obliku od onoga kako sada izgledaju. Bile su to sjajne uglačane mase s jasnim rubovima naspram pozadine susjednih hramova s više stupova. Uz veličanstvene kraljevske piramide nalazile su se manje piramide: žene i rodbina faraona.
Moć faraona starog Egipta bila je neupitna. Faraoni su smatrani božanstvima i davane su im božanske počasti. Faraon-bog bio je arbitar sudbine naroda i njegov zaštitnik. Čak i nakon smrti, kult faraona bio je od ogromne važnosti. Mrtvi faraon je stoljećima čuvan, a divovske piramide građene su kako bi se sačuvalo faraonovo tijelo. Veličina, arhitektura i veličina ovih piramida još uvijek su nevjerojatni. Nisu uzalud ove građevine smatrane jednim od sedam svjetskih čuda.
U početku, svrha piramida nije bila samo grobnica faraona. Vjeruje se da su izgrađeni kao atributi moći, veličine i bogatstva Egipta. To su spomenici kulture tog vremena, spremišta povijesti zemlje i informacija o životu faraona i njegovog naroda, zbirka kućnih predmeta tog vremena. Osim toga, jasno je da su piramide imale određeni “znanstveni sadržaj”. Njihova orijentacija na tlu, njihov oblik, veličina i svaki detalj, svaki element bio je toliko pažljivo promišljen da su morali pokazati visoka razina znanja o kreatorima piramida. Očito je da su izgrađeni da traju tisućljećima, "zauvijek". I nije uzalud arapska poslovica koja kaže: "Sve na svijetu se boji vremena, a vrijeme se boji piramida."
njegovom analitički um Pitagora nije mogao ne primijetiti određeni uzorak u oblicima i geometrijskim dimenzijama piramida. Najvjerojatnije je to potaknulo Pitagoru da analizira te dimenzije, što je kasnije izrazio u svom poznatom teoremu, koji je danas temelj moderne geometrije.
Među brojnim piramidama koje su preživjele do danas Keopsova piramida zauzima posebno mjesto. Ako razmotrimo geometrijski model ove piramide i vratimo joj izvorni oblik, očito je da se njezin presjek sastoji od dva trokuta s unutarnjim kutom jednakim 51°50".
Sada je piramida krnja, ali to je uništavanje vremena, a ako je geometrijski vratimo u izvorni oblik, ispada da su stranice ovih trokuta jednake: baza CB = 116,58 m, visina AC = 148,28 m.
Omjer kateta y/x = 148,28/116,58 = 1,272. A ovo je tangens kuta od 51 stupanj 50 min. Ispada da je osnova trokuta ACB Keopsove piramide bio omjer AC/CB = 1,272. Takav pravokutni trokut nazvan "zlatni" pravokutni trokut.
Ispostavilo se da je glavna "geometrijska ideja" Keopsove piramide "zlatni" pravokutni trokut. Ali Kefrenova piramida je posebna po tom pitanju. Kut nagiba bočnih stranica ove piramide je 53°12, pri čemu je omjer kateta pravokutnog trokuta 4:3. Takav se trokut naziva "sveti" ili "egipatski" trokut. Prema mnogim poznatim povjesničarima, "egipatski" trokut u davna vremena dobio je posebno magično značenje. Tako je Plutarh napisao da su Egipćani usporedili prirodu svemira sa "svetim" trokutom: simbolično su uspoređivali okomitu nogu s mužem, bazu sa ženom, a hipotenuzu s onim što je rođeno od oboje.
Za egipatski trokut sa stranicama 3:4:5 vrijedi jednakost: 32 + 42 = 52, a to je poznati Pitagorin teorem. Nehotice se postavlja pitanje: nisu li egipatski svećenici htjeli ovjekovječiti taj omjer izgradnjom piramide na temelju trokuta 3:4:5. Kefrenova piramida jasna je potvrda da je slavni teorem bio poznat Egipćanima mnogo prije nego što ga je otkrio Pitagora.
Ne zna se kako je to došlo do starih Egipćana, je li to zasluga njihovih znanstvenika ili dar izvana, nije isključeno da je to bio dar izvanzemaljske civilizacije, ali korištenje takvog trokuta dalo je Egipatski graditelji vrlo značajna i, u isto vrijeme, jednostavna prilika pri izgradnji tako golemih građevina moraju održavati točne geometrijske dimenzije. Uostalom, svojstva ovog trokuta su takva da je njegov kut između nogu jednak 90 stupnjeva. Odnosno, korištenjem takvog elementa moguće je osigurati preciznu okomitost spojnih elemenata i, naravno, cijele strukture, što potvrđuje arhitektura starog Egipta.
Nije lako dobiti pravi kut bez potrebnog alata. Ali ako koristite ovaj trokut, sve se ispostavlja prilično jednostavnim. Trebate uzeti obični konop, podijeliti ga na 12 jednakih dijelova i od njih napraviti trokut čije će strane biti jednake 3, 4 i 5 dijelova. Kut između stranica duljine 3 i 4 ispada da je pravi kut. Ovo je egipatski Pitagorin trokut.
U mnogim povijesnim spisima postoje tragovi da su jedinstvena svojstva "egipatskog trokuta" bila poznata i široko korištena mnogo stoljeća prije Pitagore i ne samo u Egiptu, već i daleko izvan njegovih granica: u Mezopotamiji, u staroj Kini, u Babilonu.
Čuvena staroegipatska poslovica „Radi kako se radi“, koja je preživjela do danas, sugerira da su sami Egipćani, koji su podizali ova građevinska remek-djela, bili jednostavni izvođači i nisu imali nikakvo posebno znanje, a sve su tajne bile skrivene od neupućeni. Uostalom, radove na izgradnji vodili su svećenici - pripadnici posebne privilegirane zatvorene kaste. Bili su čuvari drevnog znanja koje se držalo u tajnosti. Ali radoznali um velikog mislioca Pitagore uspio je odgonetnuti jednu od tih tajni.
Umove ljudi uvijek opsjedaju razni misteriji, a vjerojatno će tako uvijek i biti. , iako poznata čovječanstvu od pamtivijeka, još uvijek je jedna od do kraja riješenih misterija.
Uostalom, bez obzira što kažete, oblik egipatskog trokuta je jednostavan, au isto vrijeme skladan, na svoj način čak i lijep. I vrlo je lako raditi s njim. Da biste to učinili, možete koristiti najjednostavnije alate - ravnalo i kompas. Koristeći ovaj jednostavan element i njegov simetrični prikaz, možete dobiti lijepe, skladne figure. Ovo je malteški križ, i srednji dio Khafreove piramide, i fraktalni niz egipatskih trokuta koji se smanjuju - rastu u veličini u skladu s pravilom zlatnog presjeka. Ovo je nevjerojatno bogatstvo skladnih proporcija.
U svijetu ima još mnogo znatiželjnika koji kao luđaci izmišljaju perpetuum mobile, traže kvadraturu kruga, kamen mudraca i knjigu mrtvih. Najvjerojatnije su njihovi napori uzaludni, ali čak iu slučaju egipatskog trokuta jasno je da " jednostavne tajne„Ima ih još mnogo na zemlji.
Svaka znanost ima svoj temelj, na temelju kojeg se gradi sav njezin kasniji razvoj. Ovo je, naravno, Pitagorin teorem. Iz škole uče formulu: "Pitagorine hlače su jednake u svim smjerovima." Znanstveno zvuči malo manje rječito. Ovaj teorem je vizualno predstavljen u smislu stranica 3-4-5. Ovo je prekrasan egipatski trokut.
Priča
Poznati grčki matematičar i filozof Pitagora sa Samosa, koji je dao svoje ime teoremu, živio je prije 2,5 tisuće godina. Biografija ovog izvanrednog znanstvenika malo je proučavana, ali neki su preživjeli do danas.
Na zahtjev Talesa, radi proučavanja matematike i astronomije, 535. godine prije Krista odlazi na dugo putovanje u Egipat i Babilon. U Egiptu, među beskrajnim pustinjskim prostranstvima, vidio je veličanstvene piramide, zadivljujuće svojom ogromnom veličinom i vitkim geometrijskim oblicima. Vrijedno je napomenuti da ih je Pitagora vidio u malo drugačijem obliku od onog u kojem turisti sada vide. To su bile nezamislivo ogromne strukture za to vrijeme s jasnim, ravnim rubovima na pozadini susjednih manjih hramova za žene, djecu i drugu rodbinu faraona. Osim svoje izravne namjene (grobnica i čuvar svetog tijela faraona), piramide su građene i kao simboli veličine, bogatstva i moći Egipta.
I tako je Pitagora, tijekom pažljivog proučavanja tih struktura, uočio strogi obrazac u odnosu između veličina i oblika struktura. Keopsova piramida odgovara dimenzijama egipatskog trokuta, smatrana je svetom i imala je posebno magično značenje.
Keopsova piramida pouzdan je dokaz da su znanje o proporcijama egipatskog trokuta koristili Egipćani davno prije Pitagorinog otkrića.
Primjena
Oblik trokuta je najjednostavniji i najskladniji, s njim je lako raditi; za to će biti potrebni samo najjednostavniji alati - šestar i ravnalo.Gotovo je nemoguće konstruirati pravi kut bez upotrebe posebnih alata. Ali zadatak je uvelike pojednostavljen korištenjem znanja o egipatskom trokutu. Da biste to učinili, uzmite jednostavno uže, podijelite ga na 12 dijelova i savijte u obliku trokuta s omjerima 3-4-5. Kut između 3 i 4 bit će pravi. U dalekoj prošlosti ovaj su trokut aktivno koristili arhitekti i geodeti.
Recimo da imamo liniju na koju trebamo postaviti okomicu, tj. drugu liniju pod kutom od 90 stupnjeva u odnosu na prvu. Ili imamo kut (na primjer, kut sobe) i trebamo provjeriti je li jednak 90 stupnjeva.
Sve se to može učiniti samo metarskom trakom i olovkom.
Postoje dvije velike stvari, kao što su Egipatski trokut i Pitagorin teorem, koje će nam pomoći u tome.
Jednom kada se pronađu uzroci i ciljevi, potraga za inovativnim znanjem bit će prirodna posljedica. Treba biti optimist, ali to nije dovoljno. Uvjerenja se moraju pretvoriti u djela. Ako je moguće, ne u izoliranim akcijama. Ako je učionica jedini prostor koji trebate imati, morate ga mudro zauzeti i ostvariti ono o čemu ste nekada sanjali.
Podrijetlo geometrije je pomalo nejasno, kao jednog od mnogih znanja matematike, čije je otkriće nemoguće pripisati jednoj osobi. Međutim, smatra se da njezini počeci u Egiptu i najraniji dokazi moderne geometrije datiraju oko 600. pr.
Tako, Egipatski trokut je pravokutni trokut s omjerom svih stranica jednakim 3:4:5 (stranica 3: stranica 4: hipotenuza 5).
Egipatski trokut izravno je povezan s Pitagorinim poučkom - zbroj kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze (3*3 + 4*4 = 5*5).
Kako nam to može pomoći? Sve je vrlo jednostavno.
Zadatak br. 1. Morate konstruirati okomicu na ravnu liniju (na primjer, liniju pod kutom od 90 stupnjeva u odnosu na zid).
Unatoč svojoj važnosti u povijesnom i kulturnom kontekstu, geometrija nije dovoljno proučavana. Istovremeno, vještine koje će se razvijati kod učenika su zastarjele. Prema obrazovni prijedlog Santa Catarina glede nastave geometrije i kompetencija koje se moraju razviti kod učenika, mora se uzeti u obzir nekoliko čimbenika.
Proučavanje ili istraživanje fizičkog prostora i oblika. Orijentacija i vizualizacija te reprezentacija fizičkog prostora. Vizualizacija i razumijevanje geometrijski oblici. Imenovanje i prepoznavanje oblika prema njihovim karakteristikama. Klasifikacija predmeta prema obliku.
Korak 1. Da bismo to učinili, od točke br. 1 (gdje će biti naš kut), moramo na ovoj liniji izmjeriti bilo koju udaljenost koja je višekratnik tri ili četiri - to će biti naša prva noga (jednaka tri ili četiri dijela, respektivno ), dobivamo točku br. 2.
Da biste pojednostavili izračune, možete uzeti udaljenost, na primjer 2 m (ovo su 4 dijela od po 50 cm).
Proučavanje svojstava figura i odnosa među njima. Konstruiranje geometrijskih likova i modela. Konstruiranje i opravdavanje odnosa i prijedloga na temelju hipotetskog deduktivnog zaključivanja. Da bi se to postiglo, kompetencije vezane uz geometriju moraju se prenijeti iz druge godine osnovna škola vodeći računa o stupnju apsorpcije sadržaja učenika.
Prihvaćeno je i prihvaćeno u društvu da je princip "bavljenje matematikom rješavanje problema". U tom smislu, rješavanje problema predmet je istraživača i matematičara. Razumijevanje poteškoća s kojima se većina učenika suočava u ovoj životno važnoj aktivnosti veliki je izazov. Prvi je, naravno, točno razumijevanje problema. Za Lakatosa i Marconija, "problem je poteškoća, teoretska ili praktična, u spoznaji nečega od stvarnog značaja za što se mora pronaći rješenje", a ovo je razumijevanje temeljno za studente da rade na rješavanju problema.
Korak 2. Zatim iz iste točke br. 1 mjerimo 1,5 m (3 dijela od po 50 cm) prema gore (postavljamo približnu okomicu), povlačimo crtu (zeleno).
3. korak. Sada od točke br. 2 trebate staviti oznaku na zelenu liniju na udaljenosti od 2,5 m (5 dijelova po 50 cm). Sjecište ovih oznaka bit će naša točka br. 3.
Spajanjem točaka br. 1 i br. 3 dobivamo liniju okomitu na našu prvu liniju.
Prvo, može se reći da se rješavanje problema, kao strategija razvoja matematičkog obrazovanja, mora osloboditi tog osjećaja “nužnog zla” stvorenog beskonačnim popisom “problema” koji, u pravilu, na kraju svaku cjelinu programa nastavnik prezentira učenicima.
Tradicionalna uporaba problema, koja se svodi na primjenu i sistematizaciju znanja, izaziva neprijateljstvo i nezainteresiranost učenika, onemogućujući im da u potpunosti intelektualni razvoj. Pretjerano pripremanje definicija, metoda i demonstracija postaje rutinska i mehanička aktivnost u kojoj samo finalni proizvod. Nepoštivanje faza istraživanja i komunikacije logičko-matematičkih ideja ne dopušta izgradnju pojmova. Dakle, “matematičko znanje ne predstavlja učenika kao sustav pojmova koji mu omogućuje rješavanje mnogih problema, već kao beskrajan simboličan, apstraktan, nerazumljiv govor.”
Zadatak br. 2. Druga situacija je da postoji kut i morate provjeriti je li ravan.
Ovo je naš kutak. Mnogo je lakše provjeriti s velikim kvadratom. Što ako ga nema?
>>Geometrija: Egipatski trokut. Kompletne lekcije
Matematičko znanje se razvilo samo iz mnogih odgovora na mnoga pitanja postavljena kroz povijest. Kreativnost, kritički cenzus, znatiželja i zadovoljstvo bili su gorivo koje je potaknulo ovaj proces otkrivanja. Prema Paulu, shema rješavanja problema.
Sustavno korištenje ove sheme pomaže učeniku da organizira svoje mišljenje. Suočavanje njegove izvorne ideje rješenja s kolegama ili grupnim rješenjem potiče učenje, čime se ponovno naglašava uloga učitelja. Najraniji dokazi o začecima trigonometrije nastali su u Egiptu i Babilonu, iz izračunavanja odnosa između brojeva i između stranica sličnih trokuta.
Tema lekcije
Ciljevi lekcije
- Upoznajte nove definicije i prisjetite se nekih već proučenih.
- Produbite svoje znanje o geometriji, proučite povijest nastanka.
- Pin teorijsko znanje učenicima o trokutima u praktičnim aktivnostima.
- Upoznati učenike s egipatskim trokutom i njegovom primjenom u građevinarstvu.
- Naučiti primijeniti svojstva oblika pri rješavanju zadataka.
- Razvojni – razvijati pažnju učenika, ustrajnost, ustrajnost, logično mišljenje, matematički govor.
- Obrazovni - kroz lekciju, njegovati pažljiv odnos jedni prema drugima, usaditi sposobnost slušanja drugova, uzajamne pomoći i neovisnosti.
Ciljevi lekcije
- Provjerite vještine rješavanja problema učenika.
Plan učenja
- Uvod.
- Korisno je zapamtiti.
- Toegon.
Uvod
Jesu li u starom Egiptu poznavali matematiku i geometriju? Ne samo da su to znali, već su ga stalno koristili pri stvaranju arhitektonskih remek-djela, pa čak i... prilikom godišnjeg obilježavanja polja u kojima je poplavna voda uništila sve granice. Postojala je čak i posebna služba geodeta koja je brzo, geometrijskom tehnikom, obnavljala granice polja kada bi voda splasnula.
Akemski papirus je najopsežniji egipatski dokument o matematici koji je preživio do danas. Koji je bio u vlasti pisara Ahmesa. Babilonci su imali veliki interes za astronomiju, kako iz vjerskih razloga, tako i zbog povezanosti s kalendarom i sezonama sadnje. Nemoguće je proučavati Mjesečeve mijene, kardinalne točke i godišnja doba bez upotrebe trokuta, sustava mjernih jedinica i mjerila.
Ova studija je dalje podijeljena u dva dijela: ravninska trigonometrija i sferna trigonometrija. Primjena trigonometrije u razna područja egzaktne znanosti je nepobitna činjenica. Poznavanje ove istine je od temeljne važnosti za srednjoškolce, a profesor matematike je dužan obraditi ovu temu najbolji način, stvarajući potrebnu vezu u vezi budućih profesionalnih izbora. Trenutačno trigonometrija nije ograničena na proučavanje trokuta. Njegova primjena se proteže i na druga područja matematike kao što je "Analiza" i druga područja ljudska aktivnost, kao što su elektrika, mehanika, akustika, glazba, topografija, građevinarstvo itd.
Još je nepoznato kako ćemo nazvati našu mlađu generaciju koja odrasta na računalima koja nam omogućuju da ne učimo napamet tablicu množenja ili izvodimo druge elementarne matematičke izračune u glavi ili geometrijske konstrukcije. Možda ljudski roboti ili kiborzi. Grci su one koji nisu mogli dokazati jednostavan teorem bez vanjske pomoći nazivali neznalicama. Stoga ne čudi da su sam teorem, koji se naširoko koristio u primijenjenim znanostima, uključujući za označavanje polja ili gradnju piramida, stari Grci nazivali “magarećim mostom”. I vrlo su dobro poznavali egipatsku matematiku.
Napominje se, međutim, da je jedna od najvećih poteškoća s kojom se studenti susreću Srednja škola, o kojima se govori u Trigonometriji, povezuje se s činjenicom pamćenja formula. Međutim, nesjećanje bi zahtijevalo vrijeme za zaključivanje tijekom testova, što bi situaciju učinilo neizvedivom.
Ovdje predstavljamo neke od osnovnih odnosa i teorema povezanih s geometrijom i, preciznije, trigonometrijom. Podsjetimo se da uzroci, odnosno predstavljanje sinusa, kosinusa i tangensa vrijede za prethodno otkriveni trokut i ne moraju se ukrašavati ili uzimati, u pravilu, stoga se procjenjuje koncept, a ne memoriranje formule.
Korisno za zapamtiti
Trokut
Trokut pravocrtan, dio ravnine ograničen s tri ravna segmenta (stranice trokuta (u geometriji)), od kojih svaki ima jedan zajednički kraj u paru (vrhovi trokuta (u geometriji)). Trokut u kojem su duljine svih stranica jednake naziva se jednakostraničan, ili ispraviti, Trokut s dvije jednake strane - jednakokračan. Trokut se zove oštrokutni, ako su mu svi kutovi oštri; pravokutan- ako mu je jedan kut prav; tupokutan- ako mu je jedan kut tup. Trokut (u geometriji) ne može imati više od jednog pravog ili tupog kuta, jer je zbroj sva tri kuta jednak dvama pravim kutovima (180° ili, u radijanima, p). Površina trokuta (u geometriji) jednaka je ah/2, gdje je a bilo koja od stranica trokuta, uzeta kao njegova baza, a h je odgovarajuća visina. Za stranice trokuta vrijedi sljedeći uvjet: duljina svake od njih manja je od zbroja i veća od razlike duljina druge dvije stranice.
Glavna evolucija trigonometrijskih koncepata dogodila se nakon upotrebe trigonometrijskog ciklusa, koji se prije nazivao trigonometrijski krug. To su “koordinatne osi koje kao mjernu jedinicu imaju radijus orijentirane kružnice koja se podudara s koordinatnim središtem koordinatnih osi”.
Euler, rođen u Baselu, bio je jedan od najboljih i najproduktivnijih matematičara u povijesti, a svojim je gore navedenim doprinosima pristao koristiti jednu gredu za trigonometrijski ciklus. Dakle, "kako je ciklus orijentiran, svaka mjera stupnjeva odgovarat će jednoj točki u ciklusu."
Trokut- najjednostavniji mnogokut koji ima 3 vrha (kuta) i 3 stranice; dio ravnine omeđen s tri točke i tri odsječka koji spajaju te točke u parovima.
Pomoću ove definicije mogu se uspostaviti isti koncepti za sinus, kosinus i tangens kako slijedi. Pogledajmo lik sa strane gdje je prikazan trigonometrijski krug. To jest: kosinus pravokutnog trokuta jednak je susjednom kraku podijeljenom s hipotenuzom, a hipotenuza je suprotna od pravog kuta.
Podsjetimo se da je polumjer trigonometrijske kružnice 1, zaključuje se da su sinus i kosinus luka jednaki realni brojevi, koji variraju u realnom intervalu od -1 do. Mjerilo usvojeno na tangentnoj osi je isto kao i za apscisnu i ordinatnu os.
- Tri točke u prostoru koje ne leže na istoj pravoj liniji odgovaraju jednoj i samo jednoj ravnini.
- Bilo koji poligon može se podijeliti na trokute - taj se proces naziva triangulacija.
- Postoji odjeljak matematike koji je u potpunosti posvećen proučavanju zakona trokuta - Trigonometrija.
Vrste trokuta
Po vrsti kutova
Uzimajući u obzir sljedeći prikaz zakona grudi. Proporcije povezane s gore navedenim zakonom mliječne žlijezde određene su sljedećom definicijom. S obzirom na sljedeći prikaz kosinusnog zakona. Prema zakonu kosinusa, kao što je gore navedeno, trokut je svaka kvadratna mjera jedne stranice jednaka zbroju kvadrata mjera druge dvije strane minus dvostruki umnožak mjera tih stranica i kosinusa kut koji formiraju.
Svrha ovog poglavlja je razviti nastavni plan za sadržaj trigonometrije temeljen na problematizaciji, kontekstualizaciji i povijesnom istraživanju kako bi se omogućilo učenje učenika. Ističe se da se podrazumijeva da je plan treninga nužan uvjet za upravljanje obrazovni proces poučavanjem bilo kojeg sadržaja, naglašava se, kao što ćemo vidjeti u nastavku, sadržaj, ciljevi, razvoj plana, materijali koji bi trebali biti I kako vrednovati sadržaj koji bi trebao biti primijenjen.
Kako je zbroj kutova trokuta 180°, najmanje dva kuta u trokutu moraju biti šiljasta (manja od 90°). Razlikuju se sljedeće vrste trokuta:
- Ako su svi kutovi trokuta šiljasti, tada se trokut naziva šiljastokutnim;
- Ako je jedan od kutova trokuta tup (više od 90°), tada se trokut naziva tupokutnim;
- Ako je jedan od kutova trokuta prav (jednak 90°), tada se trokut naziva pravokutnim. Dvije stranice koje tvore pravi kut nazivaju se katete, a stranica nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza.
Prema broju jednakih strana
Na temelju tematskog projekta nastala je trigonometrija: problematizacija i kontekstualizacija. Kontekstualizirajte predmet pomoću trigonometrije povijesni pristup i istraživanje fizičkog prostora i oblika prisutnih u njemu okoliš. Omogućite učenicima da nauče osnove trigonometrije.
Prepoznajte područja u kojima se širi i utjecaj koji uzrokuje. Pružite studentima tehnike za olakšavanje razumijevanja, tumačenja i rješavanja problema. Sadržaj trigonometrije primijenit će se u skladu s materijalom dizajniranim za praćenje sadržaja, koji će slijediti sljedeće korake.
- Razmjerni trokut je onaj u kojem su duljine tri stranice u paru različite.
- Jednakokračni trokut je onaj u kojem su dvije stranice jednake. Ove strane se nazivaju bočne, a treća strana se naziva baza. U jednakokračnom trokutu osnovni kutovi su jednaki. Visina, medijana i simetrala jednakokračan trokut, spušteni na bazu, podudaraju se.
- Jednakostranični trokut je onaj u kojem su sve tri stranice jednake. U jednakostraničnom trokutu svi su kutovi jednaki 60°, a središta upisane i opisane kružnice se podudaraju.
Što se tiče istraživanja, to se može učiniti u grupama i podijeljeno po temama. Socijalizacija se može postići prezentacijom dostojnom kreativnosti i interesa svake skupine. Nakon prezentacije, nastavnik ih može rasporediti, dajući prioritet važnosti sadržaja.
Trigonometrija je grana matematike koja proučava trokute, posebno trokute u ravnini, gdje jedan od kutova trokuta iznosi 90 stupnjeva. Također posebno proučava odnose između stranica i kutova trokuta; Trigonometrijske funkcije i izračune na temelju njih. Trigonometrijski pristup ulazi u druga područja geometrije, kao što je proučavanje sfera pomoću sferne trigonometrije.
– pravokutni trokut s omjerom stranica 3:4:5. Zbroj ovih brojeva (3+4+5=12) od davnina se koristio kao jedinica množine pri konstruiranju pravih kutova pomoću užeta označenog čvorovima na 3/12 i 7/12 njegove duljine. Egipatski trokut korišten je u arhitekturi srednjeg vijeka za konstrukciju proporcionalnih shema.
Porijeklo trigonometrije je nepoznato. Trokut je geometrijski lik s tri strane i tri kuta. Da biste formirali trokut, jednostavno povežite sve tri točke segmentima ako nisu poravnate. Ispod su trokuti. Otvor blende dobiven dvjema linijama povezanim istom točkom naziva se kut, koji ima radijane kao međunarodni mjerni sustav, a vrlo je koristan i stupanj. U trokutima je zbroj njihovih unutarnjih kutova 180°.
Pravi kut označen je simbolom. U pravokutnom trokutu suprotna stranica pravog kuta naziva se hipotenuza. Neki autori smatraju da je Pitagora bio učenik Talesa, Eve, kada je rekao da je "bio pedeset godina mlađi od ovoga i živio je blizu Mileta, gdje je živio Tales". Boyer kaže da "iako neke od izjava tvrde da je Pitagora bio učenik Talesa, to jedva daje razliku od pola stoljeća između njegovih godina."
Pa odakle početi? Je li zbog ovoga: 3 + 5 = 8. a broj 4 je pola broja 8. Stani! Brojevi 3, 5, 8... Ne podsjećaju li na nešto vrlo poznato? Pa, naravno, oni su izravno povezani sa zlatnim rezom i uključeni su u takozvanu "zlatnu seriju": 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21
... U ovom nizu svaki sljedeći član jednak je zbroju prethodna dva: 1 + 1= 2. 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8
i tako dalje. Ispada da je egipatski trokut povezan sa zlatnim rezom? A jesu li stari Egipćani znali s čime imaju posla? Ali nemojmo brzati sa zaključcima. Potrebno je saznati više detalja.
Izraz "zlatni rez", prema nekima, prvi put je uveden u 15. stoljeću Leonardo da Vinci
. Ali sam “zlatni niz” postao je poznat 1202. godine, kada ga je talijanski matematičar prvi put objavio u svojoj “Knjizi brojanja” Leonardo iz Pise
. Nadimak Fibonacci. No, gotovo dvije tisuće godina prije njih bio je poznat zlatni rez Pitagora i njegovih učenika. Istina, zvao se drugačije, kao “podjela na prosječni i ekstremni omjer”. Ali egipatski trokut sa svojim "Zlatni omjer" bio je poznat još u davnim vremenima kada su u Egiptu građene piramide kada je Atlantida cvjetala.
Da bi se dokazao teorem o egipatskom trokutu, potrebno je upotrijebiti segment poznate duljine A-A1 (slika). Služit će vam kao mjerilo, mjerna jedinica, te će vam omogućiti određivanje duljine svih stranica trokuta. Tri odsječka A-A1 jednake su dužine najmanjoj stranici trokuta BC, čiji je omjer 3. A četiri odsječka A-A1 jednake su duljine drugoj stranici, čiji je omjer izražen brojem 4. I, konačno , duljina treće strane jednaka je pet segmenata A -A1. A onda je, kako kažu, stvar tehnike. Na papiru ćemo nacrtati segment BC, koji je najmanja stranica trokuta. Zatim iz točke B s polumjerom jednakim isječku s omjerom 5 šestarom nacrtajte kružni luk, a iz točke C povucite kružni luk s polumjerom jednaka duljini segment s omjerom 4. Ako sada sjecište lukova spojimo linijama s točkama B i C, tada ćemo dobiti pravokutni trokut s omjerom stranica 3:4:5.
Q.E.D.
Egipatski trokut koristili su geodeti i arhitekti u arhitekturi srednjeg vijeka za konstruiranje proporcionalnih shema i konstruiranje pravih kutova. Egipatski trokut je najjednostavniji (i prvi poznati) od Heronovih trokuta - trokuta s cijelim brojem stranica i površina.
Egipatski trokut - misterij antike
Svatko od vas zna da je Pitagora bio veliki matematičar koji je dao neprocjenjiv doprinos razvoju algebre i geometrije, ali je još veću slavu stekao zahvaljujući svom teoremu.
A Pitagora je otkrio teorem o egipatskom trokutu u vrijeme kada je slučajno posjetio Egipat. Dok je bio u ovoj zemlji, znanstvenik je bio fasciniran sjajem i ljepotom piramida. Možda je upravo to bio poticaj koji ga je izložio ideji da je neki specifičan uzorak jasno vidljiv u oblicima piramida.
Povijest otkrića
Egipatski trokut dobio je ime zahvaljujući Helenima i Pitagori, koji su bili česti gosti u Egiptu. I to se dogodilo otprilike u 7-5 stoljeću prije Krista. e.
Čuvena Keopsova piramida zapravo je pravokutni poligon, ali se Kefrenova piramida smatra svetim egipatskim trokutom.
Stanovnici Egipta uspoređivali su prirodu egipatskog trokuta, kako je napisao Plutarh, s obiteljskim ognjištem. U njihovim tumačenjima moglo se čuti da je u ovom geometrijskom liku njegov okomiti krak simbolizirao muškarca, baza figure vezana uz ženski princip, a hipotenuzi piramide dodijeljena je uloga djeteta.
A već iz teme koju ste proučavali, dobro vam je poznato da je omjer stranica ove figure 3:4:5 i, prema tome, da nas to vodi do Pitagorinog teorema, budući da je 32 + 42 = 52.
A ako uzmete u obzir da u podnožju Kefrenove piramide leži egipatski trokut, onda možemo zaključiti, ljudi drevni svijet znao poznati teorem mnogo prije nego što ga je formulirao Pitagora.
Glavna značajka egipatskog trokuta najvjerojatnije je bio njegov neobičan omjer stranica, koji je bio prvi i najjednostavniji od Heronovih trokuta, budući da su i stranice i njegova površina bili cijeli brojevi.
Značajke egipatskog trokuta
Sada pogledajmo pobliže razlikovna obilježja Egipatski trokut:
Prvo, kao što smo već rekli, sve njegove stranice i površina sastoje se od cijelih brojeva;
Drugo, prema Pitagorinom teoremu znamo da je zbroj kvadrata kateta jednak kvadratu hipotenuze;
Treće, uz pomoć takvog trokuta možete mjeriti prave kutove u prostoru, što je vrlo zgodno i potrebno pri izgradnji struktura. A zgodno je to što znamo da je ovaj trokut pravokutan.
Četvrto, kao što također već znamo, čak i ako nema odgovarajućih mjernih instrumenata, ovaj se trokut može lako konstruirati pomoću jednostavnog užeta.
Primjena egipatskog trokuta
U davnim stoljećima egipatski trokut bio je vrlo popularan u arhitekturi i građevinarstvu. To je bilo posebno potrebno ako je za izgradnju pravi kut korišteno uže ili uže.
Uostalom, poznato je da je polaganje pravog kuta u prostoru prilično težak zadatak, pa su poduzetni Egipćani izmislili zanimljiv način konstruiranja pravog kuta. Za te potrebe uzeli su uže, na kojem su čvorovima označili dvanaest jednakih dijelova, a zatim su od tog užeta savili trokut, sa stranicama koje su bile jednake 3, 4 i 5 dijelova, i na kraju, bez ikakvih problema. , dobili su pravokutni trokut. Zahvaljujući tako složenom alatu, Egipćani su s velikom preciznošću mjerili zemlju za poljoprivredne radove, gradili kuće i piramide.
Ovako je posjet Egiptu i proučavanje njegovih karakteristika Egipatska piramida potaknuo je Pitagoru da otkrije svoj teorem, koji je, usput rečeno, uvršten u Guinnessovu knjigu rekorda kao teorem koji ima najviše dokaza.
Trokutasti Reuleaux kotači
Kotač- okrugli (u pravilu), slobodno rotirajući ili fiksirani na osi diska, dopuštajući tijelu postavljenom na njega da se kotrlja, a ne klizi. Kotač se široko koristi u raznim mehanizmima i alatima. Široko se koristi za prijevoz robe.
Kotač značajno smanjuje energiju potrebnu za pomicanje tereta na relativno ravnoj površini. Kod uporabe kotača rad se odvija protiv sile trenja kotrljanja, koja je u uvjetima umjetne ceste znatno manja od sile trenja klizanja. Kotači mogu biti čvrsti (na primjer, par kotača željezničkog vagona) i sastoje se od sasvim velika količina dijelovi, na primjer, kotač automobila uključuje disk, naplatak, gumu, ponekad zračnicu, pričvrsne vijke itd. Istrošenost automobilskih guma gotovo je riješen problem (ako su kutovi kotača pravilno postavljeni). Moderne gume prijeđe preko 100.000 km. Neriješen problem je trošenje guma na kotačima aviona. Kada stacionarni kotač dođe u kontakt s betonskom površinom piste pri brzini od nekoliko stotina kilometara na sat, guma se troši enormno.
- U srpnju 2001. godine primljen je inovativni patent za kotač sa sljedećim tekstom: "okrugla naprava koja se koristi za prijevoz robe." Ovaj je patent izdan Johnu Kaou, odvjetniku iz Melbournea, koji je želio pokazati nesavršenosti australskog patentnog prava.
- Francuska tvrtka Michelin je 2009. godine razvila serijski automobilski kotač Active Wheel s ugrađenim električnim motorima koji pokreću kotač, oprugu, amortizer i kočnicu. Dakle, ovi kotači čine nepotrebnim sljedeće sustave auto: motor, spojka, mjenjač, diferencijal, pogon i poluosovine.
- Godine 1959. Amerikanac A. Sfredd dobio je patent za četvrtasti kotač. Lako je hodao kroz snijeg, pijesak, blato i svladavao rupe. Suprotno strahovima, automobil na takvim kotačima nije "šepao" i postizao je brzine do 60 km/h.
Franz Relo(Franz Reuleaux, 30. rujna 1829. - 20. kolovoza 1905.) - njemački inženjer strojarstva, predavač na Royal Berlinu Tehnička akademija, koji je kasnije postao i njezin predsjednik. Prvi je 1875. razvio i skicirao osnovne principe strukture i kinematike mehanizama; bavio se problemima estetike tehničkih predmeta, industrijskim dizajnom, u svojim nacrtima dao veliki značaj vanjski oblici strojeva. Reuleauxa se često naziva ocem kinematike.
Pitanja
- Što je trokut?
- Vrste trokuta?
- Što je posebno u vezi s egipatskim trokutom?
- Gdje se koristi egipatski trokut? > Matematika 8.r
Izgradnja pomoću egipatskog trokuta je drevna metoda koju još uvijek aktivno koriste moderni graditelji. Ime je dobio zahvaljujući drevnim egipatskim građevinama, iako je poznato da njegova povijest počinje puno prije tog razdoblja.
Ali, najvjerojatnije, svojstva jedinstvene figure nisu bila cijenjena u to vrijeme sve dok se nije pojavio Pitagora, koji je mogao analizirati i procijeniti graciozne oblike figure.
Egipatski trokut poznat je od davnina. Bio je i ostao popularan u građevinarstvu i arhitekturi već stoljećima.
Vjeruje se da je veliki grčki matematičar Pitagora sa Samosa stvorio geometrijsku strukturu. Zahvaljujući njemu danas možemo koristiti sva svojstva geometrijske konstrukcije na području strukture.
Rađanje ideje
Matematičar je na ideju došao nakon putovanja u Afriku na zahtjev Talesa, koji je Pitagori dao zadatak da prouči matematiku i astronomiju tih mjesta. U Egiptu, među beskrajnom pustinjom, naišao je na veličanstvene građevine koje su ga zadivile svojom veličinom, gracioznošću i ljepotom.
Treba napomenuti da su prije više od dvije i pol tisuće godina piramide bile nešto drugačije - ogromne, s jasnim rubovima. Pažljivo proučavajući moćne građevine, kojih je bilo dosta, budući da su pored divova bili manji hramovi izgrađeni za djecu, žene i drugu rodbinu faraona, to mu je dalo ideju.
Zahvaljujući svojim matematičkim sposobnostima, Pitagora je uspio odrediti uzorak u oblicima piramide, a njegova sposobnost analize i donošenja zaključaka dovela je do stvaranja jedne od najznačajnijih teorija u povijesti geometrije.
Iz povijesti
Jesu li u starom Egiptu poznavali geometriju i matematiku? Naravno da. Život Egipćana bio je usko povezan sa znanošću. Svoje znanje redovito su koristili prilikom obilježavanja polja i stvaranja arhitektonskih remek-djela. Postojala je čak i služba geodeta koji su primjenjivali geometrijska pravila prilikom obnavljanja međa.
Trokut je dobio ime zahvaljujući Helenima, koji su često posjećivali Egipat u 7.-5. stoljeću. PRIJE KRISTA. Vjeruje se da je prototip figure bio Keopsova piramida, karakteriziran savršenim proporcijama. Njeno mjesto u povijesti je posebno. Ako pogledate presjek, možete vidjeti dva trokuta, čiji je unutarnji kut 51°50'.
Struktura
Zadatak je puno lakši ako koristite kutomjer ili trokut. No, ranije su korišteni samo konopci i užad, podijeljeni u segmente. Zahvaljujući oznakama na užetu, bilo je moguće precizno ponovno stvoriti pravokutnu figuru. Graditelji su kutomjer i kutnik zamijenili užetom, za kojega su čvorovima označili 12 dijelova i presavili trokut s segmentima 3,4,5. Pravi kut je dobiven bez poteškoća. Ovo znanje pomoglo je u stvaranju mnogih struktura, uključujući piramide.
Zanimljivo je da su prije starog Egipta na ovaj način gradili u Kini, Babilonu i Mezopotamiji.
Svojstva egipatske trokutaste figure pokoravaju se istini - kvadrat hipotenuze jednak je kvadratima dviju kateta. Ovaj Pitagorin teorem svima je poznat iz škole. Na primjer, pomnožimo 5x5 i dobijemo hipotenuzu jednaku broju 25. Kvadrati obiju stranica su 16 i 9, što daje zbroj 25.
Zahvaljujući ovim svojstvima, trokut je pronašao primjenu u građevinarstvu. Možete uzeti bilo koji dio kako biste nacrtali ravnu liniju pod uvjetom da njezina duljina mora biti višekratnik pet. Nakon toga uočite jedan brid i iz njega povucite crtu višekratnik četiri, a s druge crtu višekratnik tri. U tom slučaju, svaki segment mora imati najmanje četiri i tri duljine. Presijecajući se, tvore jedan pravi kut od 90 stupnjeva. Ostali kutovi su 53,13 i 36,87 stupnjeva.
Koje alternative postoje?
Kako stvoriti pravi kut
Najbolja opcija napraviti pravi kut je uporaba kutnika ili kutomjera. To će vam omogućiti da pronađete potrebne proporcije uz minimalne troškove. No, glavna točka egipatskog trokuta je njegova svestranost zbog mogućnosti stvaranja figure bez ičega pri ruci.
Sve može biti korisno u ovom pitanju, čak i tiskane publikacije. Svaka knjiga ili čak časopis uvijek ima omjer širine i visine koji čini pravi kut. Tiskarski strojevi uvijek rade precizno tako da se rola umetnuta u stroj reže pod proporcionalnim kutovima.
Drevni inženjeri smislili su mnogo načina za izgradnju egipatskog trokuta i uvijek su štedjeli resurse.
Stoga je najjednostavniji i najrašireniji način gradnje bio geometrijski lik pomoću običnog užeta. Konac je uzet i izrezan na 12 jednakih dijelova, od kojih je postavljena figura s proporcijama 3, 4 i 5.
Kako stvoriti druge kutove?
Egipatski trokut ne može se podcijeniti u građevinskom svijetu. Njegova svojstva su svakako korisna, ali bez mogućnosti konstruiranja kutova različitog stupnja u konstrukciji to je nemoguće. Da biste formirali kut od 45 stupnjeva, trebat će vam okvir ili baguette, koji su piljeni pod kutom od 45 stupnjeva i povezani jedni s drugima.
Važno! Da biste dobili željeni nagib, morat ćete posuditi list papira iz tiskane publikacije i saviti ga. Linije savijanja će proći kroz kut. Rubovi moraju biti povezani.
Možete dobiti 60 stupnjeva koristeći dva trokuta od 30 stupnjeva. Najčešće se koristi za izradu ukrasnih elemenata.
Mali trikovi
Egipatski trokut 3x4x5 relevantan je za male kuće. Ali što ako je kuća 12x15?
Da biste to učinili, trebate konstruirati pravokutni trokut čije su noge jednake 12 i 15 m Korijen od zbroja 12x12 i 15x15. Kao rezultat, dobivamo 19,2 m. Koristeći konop, konopac, konopac, vojni kabel, izmjerimo 12, 15 i 19,2 m na tim mjestima i stavimo preše.
Zatim morate razvući trokut na pravo mjesto i postaviti 3 potporne točke u koje ćete zabiti klinove. Četvrta točka može se dobiti bez dodirivanja krajeva nogu. Da biste to učinili, točka pravog kuta je bačena dijagonalno i sve je spremno.
Na primjer, postoji područje gdje je potreban pravi kut - za prostor za kuhinjski element, raspored pločica i druge aspekte. Bilo bi lijepo uzeti u obzir takva pitanja prilikom polaganja, ali stvarnost je drugačija i ne nailazite uvijek na glatke zidove i prave kutove. Ovdje je koristan egipatski trokut s omjerom 3:4:5, ili, ako je potrebno, 1,5:2:2,5.
Mora se uzeti u obzir debljina svjetionika, greške, neravnine na zidovima itd. Trokut se crta metrom i kredom. Ako su oznake male, tada možete koristiti list, jer su izrezani pod pravilnim kutovima.
Egipatski trokut naširoko je korišten u građevinarstvu čak 2,5 stoljeća. I danas je ponekad potrebno koristiti ovu tehniku, u nedostatku potrebnih alata, za dobivanje pravih kutova. Svojstva ove figure su jedinstvena, što jamči preciznost u arhitekturi i gradnji, koja se ne može izbjeći. Lako se obrađuje, oblik mu je skladan i lijep. Do danas radoznali umovi pokušavaju razotkriti misterij egipatskog trokuta.
Slavni matematičar Pitagora došao je do mnogo različitih otkrića, ali za većinu ljudi koji se ne bave redovito algebrom i geometrijom, on je poznat po svom teoremu. Znanstvenik ju je otkrio dok je boravio u Egiptu, gdje je bio očaran ljepotom i elegancijom piramida, a to mu je pak dalo ideju da se u njihovim oblicima može pronaći određeni obrazac.
Povijest otkrića
Egipatski trokut svoje ime duguje Helenima, koji su često posjećivali Egipat u 7.-5. stoljeću prije Krista. e., među njima je bio i Pitagora. Osnova Keopsove piramide je pravokutni poligon, i
Kefrenove piramide su takozvani egipatski trokut, koji su stari nazivali svetim. Plutarh je napisao da su stanovnici Egipta povezivali prirodu s ovom geometrijskom figurom: okomita noga simbolizirala je muškarca, baza ženu, a hipotenuza dijete. Omjer širine i visine u njemu je 3:4:5, a to vodi do Pitagorinog poučka, budući da je 3 2 x 4 2 = 5 2. Dakle, činjenica da egipatski trokut leži u podnožju Kefrenove piramide sugerira da je poznati teorem bio poznat stanovnicima starog svijeta i prije nego što ga je Pitagora formulirao. Posebnom značajkom ove figure smatra se i to što je, zahvaljujući ovom omjeru stranica, prvi i najjednostavniji od Heronovih trokuta, budući da su njegove stranice i površina cijeli brojevi.
Primjena
Egipatski trokut popularan je u arhitekturi i građevinarstvu od davnina.
Uglavnom se koristio za konstruiranje pravih kutova pomoću užeta ili užeta podijeljenog na 12 dijelova. Koristeći oznake na takvom užetu, bilo je moguće vrlo precizno stvoriti pravokutnu figuru, čije bi noge služile kao vodiči za postavljanje pravog kuta strukture. Poznato je da su se takva svojstva ove geometrijske figure koristila ne samo u starom Egiptu, već i mnogo prije toga u Kini, Babilonu i Mezopotamiji. Egipatski trokut također je korišten za stvaranje proporcionalnih struktura u srednjem vijeku.
Kutovi
Omjer širine i visine ovog trokuta je 3:4:5 što rezultira time da je pravokutni trokut, tj. jedan kut ima 90 stupnjeva, a druga dva 53,13 i 36,87 stupnjeva. Pravi kut je kut između stranica čiji je omjer 3:4.
Dokaz
S nekim jednostavnim izračunima možete dokazati da je trokut pravokutan. Ako slijedimo teorem obrnut od onoga koji je stvorio Pitagora, tj. ako je zbroj kvadrata dviju stranica jednak kvadratu treće, onda je pravokutan, a budući da njegove stranice vode do jednakosti 3 2 x 4 2 = 5 2, dakle, pravokutan je.
Ukratko, valja napomenuti da se egipatski trokut, čija su svojstva čovječanstvu poznata već stoljećima, i danas koristi u arhitekturi. To uopće ne čudi, jer ova metoda jamči točnost, što je vrlo važno tijekom izgradnje. Osim toga, vrlo je jednostavan za korištenje, što također čini proces uvelike lakšim. Sve prednosti korištenja ove metode testirane su stoljećima i ostale su popularne do danas.
