Decimalni razlomak razlikuje se od običnog razlomka po tome što mu je nazivnik mjesna vrijednost.
Na primjer:
Decimalni razlomci su odvojeni od običnih razlomaka u poseban oblik, što je dovelo do vlastitih pravila za uspoređivanje, zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje tih razlomaka. U principu, možete raditi s decimalnim razlomcima koristeći pravila običnih razlomaka. Vlastita pravila za pretvorbu decimalnih razlomaka pojednostavljuju izračune, a pravila za pretvorbu običnih razlomaka u decimale i obrnuto služe kao poveznica između ovih vrsta razlomaka.
Pisanje i čitanje decimalnih razlomaka omogućuje vam da ih zapisujete, uspoređujete i izvodite operacije s njima prema pravilima vrlo sličnim pravilima za operacije s prirodnim brojevima.
Sustav decimalnih razlomaka i operacija s njima prvi put je zacrtan u 15. stoljeću. Samarkandski matematičar i astronom Džemšid ibn-Masudal-Kaši u knjizi “Ključ umjetnosti brojanja”.
Cijeli dio decimalnog razlomka odvaja se zarezom; u nekim zemljama (SAD) stavljaju točku. Ako decimalni razlomak nema cijeli dio, tada se broj 0 stavlja ispred decimalne točke.
Razlomku decimale s desne strane možete dodati bilo koji broj nula; to ne mijenja vrijednost razlomka. Razlomački dio decimale čita se na zadnjoj značajnoj znamenki.
Na primjer:
0,3 - tri desetine
0,75 - sedamdeset pet stotinki
0,000005 - petmilijunti dio.
Čitanje cijelog dijela decimale je isto što i prirodni brojevi.
Na primjer:
27,5 - dvadeset sedam...;
1,57 - jedan...
Nakon cijelog dijela decimalnog razlomka izgovara se riječ "cijelo".
Na primjer:
10.7 - deset zarez sedam
0,67 - nula zarez šezdeset sedam stotinki.
Decimalna mjesta su znamenke razlomka. Razlomački dio se ne čita znamenkama (za razliku od prirodnih brojeva), već kao cjelina, stoga je razlomački dio decimalnog razlomka određen posljednjom značajnom znamenkom s desne strane. Sustav mjesta razlomačkog dijela decimale je nešto drugačiji od sustava prirodnih brojeva.
- 1. znamenka nakon zauzeća - desetinke znamenke
- 2. decimalno mjesto - stotinke
- 3. decimalno mjesto - tisućinke
- 4. decimalno mjesto - desettisućiti dio
- 5. decimalno mjesto - stotisućiti dio
- 6. decimala - milijunto mjesto
- Sedmo decimalno mjesto je desetmilijunto mjesto
- Osmo decimalno mjesto je stomilijunto mjesto
U izračunima se najčešće koriste prve tri znamenke. Veliki znamenkasti kapacitet razlomaka decimala koristi se samo u određenim granama znanja gdje se računaju infinitezimalne veličine.
Pretvaranje decimale u mješoviti razlomak sastoji se od sljedećeg: broj ispred decimalne točke zapisuje se kao cijeli dio mješovitog razlomka; broj iza decimalne zapete je brojnik njegovog razlomka, a u nazivnik razlomaka upišite jedinicu s onoliko nula koliko ima znamenki iza decimalne zapete.
3.4 Ispravan redoslijed
U prethodnom odjeljku usporedili smo brojeve prema njihovom položaju na brojevnoj crti. Ovaj dobar način uspoređivati brojeve u decimalnom zapisu. Ova metoda uvijek radi, ali je dugotrajna i nezgodna za svaki put kada trebate usporediti dva broja. Postoji još jedan dobar način da saznate koji je od dva broja veći.
Primjer A.
Pogledajmo brojeve iz prethodnog odjeljka i usporedimo 0,05 i 0,2.
Da biste saznali koji je broj veći, prvo usporedite njihove cijele dijelove. Oba broja u našem primjeru imaju jednak broj cijelih brojeva - 0. Usporedimo onda njihove desetine. Broj 0,05 ima 0 desetinki, a broj 0,2 ima 2 desetinke. Činjenica da broj 0,05 ima 5 stotinki nije bitna, jer desetinke određuju da je broj 0,2 veći. Tako možemo napisati:
Oba broja imaju 0 cijelih brojeva i 6 desetina, a još ne možemo odrediti koji je veći. Međutim, broj 0,612 ima samo 1 stoti dio, a broj 0,62 dva. Onda to možemo utvrditi
0,62 > 0,612
Činjenica da broj 0,612 ima 2 tisućinke nije bitna; to je još uvijek manje od 0,62.
To možemo ilustrirati slikom:
|
0,612 | |||
 |
0,62 | |||
Da biste odredili koji je od dva broja u decimalnom zapisu veći, potrebno je učiniti sljedeće:
1. Usporedi cijele dijelove. Broj čiji je cijeli dio veći bit će veći.
2 . Ako su cijeli dijelovi jednaki, usporedite desetine. Broj s više desetina bit će veći.
3 . Ako su desetinke jednake, usporedite stotinke. Broj koji ima više stotinki bit će veći.
4 . Ako su stotinke jednake, usporedite tisućinke. Broj koji ima više promila bit će veći.
Decimalni razlomak mora sadržavati zarez. Brojčani dio razlomka koji se nalazi lijevo od decimalne točke naziva se cijeli dio; desno - razlomak:
5.28 5 - cijeli broj 28 - razlomak
Razlomački dio decimale sastoji se od decimalna mjesta(decimalna mjesta):
- desetine - 0,1 (jedna desetina);
- stotinke - 0,01 (jedna stotinka);
- tisućinke - 0,001 (tisućinka);
- desettisućiti - 0,0001 (jedan desettisućiti);
- stotisućinke - 0,00001 (stotisućinke);
- milijunti dio - 0,000001 (jedan milijunti dio);
- desetmilijunti dio - 0,0000001 (jedan desetmilijunti dio);
- stomilijunti dio - 0,00000001 (stomilijunti dio);
- milijarditi dio - 0,000000001 (milijarditi dio), itd.
- pročitajte broj koji čini cijeli dio razlomka i dodajte riječ " cijeli";
- pročitati broj koji čini razlomački dio razlomka i dodati naziv najmanje značajne znamenke.
Na primjer:
- 0,25 - nula točka dvadeset pet stotinki;
- 9.1 - devet zarez jedna desetina;
- 18.013 - osamnaest zarez trinaest tisućitih;
- 100,2834 - sto zarez dvije tisuće osamsto trideset četiri desettisućinke.
Pisanje decimala
Snimiti decimal, potrebno:
- zapišite cijeli dio razlomka i stavite zarez (broj koji označava cijeli dio razlomka uvijek završava riječju " cijeli");
- napiši razlomački dio razlomka na način da zadnja znamenka padne u željenu znamenku (ako u određenim decimalnim mjestima nema značajnih znamenki, one se zamjenjuju nulama).
Na primjer:
- dvadeset zarez devet - 20,9 - u ovom primjeru sve je jednostavno;
- pet zarez jedan stoti - 5.01 - riječ "stoti" znači da nakon decimalne točke trebaju biti dvije znamenke, ali budući da broj 1 nema deseto mjesto, zamjenjuje se nulom;
- nula točka osamsto osam tisućinki - 0,808;
- tri zareza i petnaest desetina - takav decimalni razlomak ne može se zapisati, jer je došlo do pogreške u izgovoru razlomka - broj 15 sadrži dvije znamenke, a riječ "desetine" podrazumijeva samo jednu. Točno bi bilo tri zarez i petnaest stotinki (ili tisućinki, desettisućinki itd.).
Usporedba decimala
Usporedba decimalnih razlomaka provodi se slično usporedbi prirodnih brojeva.
- prvo se uspoređuju cijeli dijelovi razlomaka - veći će biti onaj decimalni razlomak čiji je cijeli dio veći;
- ako su cijeli dijelovi razlomaka jednaki, usporedite razlomke malo po malo, slijeva na desno, počevši od decimalne točke: desetinke, stotinke, tisućinke itd. Usporedba se provodi do prvog odstupanja - veći će biti onaj decimalni razlomak koji ima veću nejednaku znamenku u odgovarajućoj znamenki razlomka. Na primjer: 1,2 8 3 > 1,27 9, jer na mjestu stotinki prvi razlomak ima 8, a drugi 7.
U ovom članku ćemo pogledati temu " uspoređujući decimale" Prvo raspravimo opći princip usporedba decimalnih razlomaka. Nakon toga ćemo odgonetnuti koji su decimalni razlomci jednaki, a koji nejednaki. Zatim ćemo naučiti odrediti koji je decimalni razlomak veći, a koji manji. Da bismo to učinili, proučit ćemo pravila za usporedbu konačnih, beskonačnih periodičnih i beskonačnih neperiodičnih razlomaka. Cijelu teoriju ćemo dati primjerima s detaljnim rješenjima. Zaključno, zadržimo se na usporedbi decimalnih ulomaka s prirodnim brojevima, običnim ulomcima i mješoviti brojevi.
Recimo odmah da ćemo ovdje govoriti samo o usporedbi pozitivnih decimalnih razlomaka (vidi pozitivne i negativne brojeve). Preostali slučajevi raspravljaju se u člancima usporedba racionalnih brojeva i usporedba realnih brojeva.
Navigacija po stranici.
Opći princip uspoređivanja decimalnih razlomaka
Na temelju ovog načela usporedbe izvedena su pravila za usporedbu decimalnih razlomaka koja omogućuju da se uspoređeni decimalni razlomci ne pretvaraju u obični razlomci. O ovim pravilima, kao i primjerima njihove primjene, raspravljat ćemo u sljedećim paragrafima.
Sličan princip se koristi za usporedbu konačnih decimalnih razlomaka ili beskonačnih periodičnih decimalnih razlomaka s prirodnim brojevima, običnim razlomcima i mješovitim brojevima: uspoređeni brojevi zamjenjuju se odgovarajućim običnim razlomcima, nakon čega se uspoređuju obični razlomci.
O usporedbe beskonačnih neperiodičnih decimala, onda se obično svodi na uspoređivanje konačnih decimalnih razlomaka. Da biste to učinili, razmotrite broj znakova uspoređenih beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka koji vam omogućuju da dobijete rezultat usporedbe.
Jednake i nejednake decimale
Prvo predstavljamo definicije jednakih i nejednakih decimalnih razlomaka.
Definicija.
Dva krajnja decimalna razlomka nazivaju se jednak, ako su im odgovarajući obični razlomci jednaki, inače se ti decimalni razlomci zovu nejednak.
Na temelju ove definicije lako je opravdati sljedeću tvrdnju: ako dodate ili odbacite nekoliko znamenki 0 na kraju danog decimalnog razlomka, dobit ćete decimalni razlomak jednak njemu. Na primjer, 0,3=0,30=0,300=…, i 140.000=140.00=140.0=140.
Doista, dodavanje ili odbacivanje nule na kraju decimalnog razlomka s desne strane odgovara množenju ili dijeljenju s 10 brojnika i nazivnika odgovarajućeg običnog razlomka. A znamo i osnovno svojstvo razlomka, koje kaže da množenje ili dijeljenje brojnika i nazivnika razlomka istim prirodnim brojem daje razlomak jednak izvornom. Ovo dokazuje da dodavanje ili odbacivanje nula s desne strane u razlomačkom dijelu decimale daje razlomak jednak izvornom.
Na primjer, decimalni razlomak 0,5 odgovara običnom razlomku 5/10, nakon dodavanja nule s desne strane, decimalni razlomak 0,50 odgovara običnom razlomku 50/100, i. Dakle, 0,5=0,50. Obrnuto, ako u decimalnom razlomku 0,50 odbacimo 0 s desne strane, tada dobivamo razlomak 0,5, pa od običnog razlomka 50/100 dolazimo do razlomka 5/10, ali 
. Prema tome, 0,50=0,5.
Prijeđimo na određivanje jednakih i nejednakih beskonačnih periodičnih decimalnih razlomaka.
Definicija.
Dva beskonačna periodična razlomka jednak, ako su odgovarajući obični razlomci jednaki; ako obični razlomci koji im odgovaraju nisu jednaki, onda su i uspoređeni periodički razlomci nejednak.
Iz ovu definiciju Slijede tri zaključka:
- Ako se zapisi periodičnih decimalnih razlomaka potpuno podudaraju, tada su takvi beskonačni periodički decimalni razlomci jednaki. Na primjer, periodične decimale 0,34(2987) i 0,34(2987) su jednake.
- Ako periode uspoređivanih decimalnih periodičnih razlomaka počinju s iste pozicije, prvi razlomak ima period 0, drugi ima period 9, a vrijednost znamenke koja prethodi točki 0 za jedan je veća od vrijednosti znamenke prethodna periodi 9, onda su takvi beskonačni periodični decimalni razlomci jednaki. Na primjer, periodični razlomci 8,3(0) i 8,2(9) su jednaki, a jednaki su i razlomci 141,(0) i 140,(9).
- Bilo koja dva druga periodična razlomka nisu jednaka. Evo primjera nejednakih beskonačnih periodičnih decimalnih razlomaka: 9,0(4) i 7,(21), 0,(12) i 0,(121), 10,(0) i 9,8(9).
Ostaje da se pozabavimo jednaki i nejednaki beskonačni neperiodični decimalni razlomci. Kao što je poznato, takvi decimalni razlomci se ne mogu pretvoriti u obične razlomke (takvi decimalni razlomci predstavljaju iracionalne brojeve), stoga se usporedba beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka ne može svesti na usporedbu običnih razlomaka.
Definicija.
Dvije beskonačne neperiodične decimale jednak, ako se njihovi zapisi potpuno podudaraju.
Ali postoji jedno upozorenje: nemoguće je vidjeti "gotov" zapis beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka, stoga je nemoguće biti siguran u potpunu slučajnost njihovih zapisa. Kako biti?
Pri usporedbi beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka uzima se u obzir samo konačan broj predznaka razlomaka koji se uspoređuju, što omogućuje izvođenje potrebnih zaključaka. Tako se usporedba beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka svodi na usporedbu konačnih decimalnih razlomaka.
Ovakvim pristupom možemo govoriti o jednakosti beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka samo do dotične znamenke. Navedimo primjere. Beskonačne neperiodične decimale 5,45839... i 5,45839... jednake su najbližim stotisućinkama, budući da su konačne decimale 5,45839 i 5,45839 jednake; neperiodični decimalni razlomci 19,54... i 19,54810375... jednaki su najbližoj stotini, jer su jednaki razlomcima 19,54 i 19,54.
Ovim se pristupom sasvim sigurno utvrđuje nejednakost beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka. Na primjer, beskonačne neperiodične decimale 5,6789... i 5,67732... nisu jednake, jer su razlike u njihovim oznakama očite (konačne decimale 5,6789 i 5,6773 nisu jednake). Beskonačne decimale 6,49354... i 7,53789... također nisu jednake.
Pravila za uspoređivanje decimalnih razlomaka, primjeri, rješenja
Nakon utvrđivanja činjenice da su dva decimalna razlomka nejednaka, često treba otkriti koji je od tih razlomaka veći, a koji manji od drugog. Sada ćemo pogledati pravila za usporedbu decimalnih razlomaka, omogućujući nam da odgovorimo na postavljeno pitanje.
U mnogim slučajevima dovoljno je usporediti cijele dijelove decimalnih razlomaka koji se uspoređuju. Istina je sljedeće pravilo za usporedbu decimala: veći je decimalni razlomak čiji je cijeli dio veći, a manji je decimalni razlomak čiji je cijeli dio manji.
Ovo pravilo vrijedi i za konačne i za beskonačne decimalne razlomke. Pogledajmo rješenja primjera.
Primjer.
Usporedite decimale 9,43 i 7,983023….
Riješenje.
Očito, ove decimale nisu jednake. Cjelobrojni dio konačnog decimalnog razlomka 9,43 jednak je 9, a cijeli broj beskonačnog neperiodičnog razlomka 7,983023... jednak je 7. Kako je 9>7 (vidi usporedbu prirodnih brojeva), onda je 9,43>7,983023.
Odgovor:
9,43>7,983023 .
Primjer.
Koji je decimalni razlomak 49,43(14) i 1045,45029... manji?
Riješenje.
Cjelobrojni dio periodičnog razlomka 49,43(14) manji je od cijelog dijela beskonačnog neperiodičnog decimalnog razlomka 1045,45029..., dakle, 49,43(14)<1 045,45029… .
Odgovor:
49,43(14) .
Ako su cijeli dijelovi decimalnih razlomaka koji se uspoređuju jednaki, onda da biste saznali koji je od njih veći, a koji manji, morate usporediti razlomke. Usporedba frakcijskih dijelova decimalnih frakcija provodi se malo po malo- iz kategorije desetina u niže.
Prvo, pogledajmo primjer usporedbe dva decimalna razlomka.
Primjer.
Usporedite krajnje decimale 0,87 i 0,8521.
Riješenje.
Cjelobrojni dijelovi ovih decimalnih razlomaka su jednaki (0=0), pa prelazimo na uspoređivanje razlomačkih dijelova. Vrijednosti desetinki su jednake (8=8), a vrijednost stotinki razlomka je za 0,87 veća od vrijednosti stotinki razlomka 0,8521 (7>5). Prema tome, 0,87>0,8521.
Odgovor:
0,87>0,8521 .
Ponekad, kako bi se usporedili zadnji decimalni razlomci s različitim brojem decimalnih mjesta, razlomcima s manje decimalnih mjesta mora se dodati broj nula s desne strane. Prilično je zgodno izjednačiti broj decimalnih mjesta prije nego počnete uspoređivati konačne decimalne razlomke dodavanjem određenog broja nula desno od jednog od njih.
Primjer.
Usporedite završne decimale 18.00405 i 18.0040532.
Riješenje.
Očito je da su ovi razlomci nejednaki, jer su im oznake različite, ali istovremeno imaju jednake cjelobrojne dijelove (18 = 18).
Prije bitne usporedbe razlomaka tih razlomaka izjednačavamo broj decimalnih mjesta. Da bismo to učinili, dodamo dvije znamenke 0 na kraju razlomka 18,00405 i dobijemo jednak decimalni razlomak 18,0040500.
Vrijednosti decimalnih mjesta razlomaka 18.0040500 i 18.0040532 jednake su do stotisućinki, a vrijednost milijuntog mjesta razlomka 18.0040500 manja je od vrijednosti odgovarajućeg mjesta razlomka 18.0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .
Odgovor:
18,00405<18,0040532 .
Pri usporedbi konačnog decimalnog razlomka s beskonačnim, konačni razlomak zamjenjuje se jednakim beskonačnim periodičnim razlomkom s periodom 0, nakon čega se vrši usporedba po znamenkama.
Primjer.
Usporedite konačnu decimalu 5,27 s beskonačnom neperiodičnom decimalom 5,270013... .
Riješenje.
Cijeli dijelovi ovih decimalnih razlomaka su jednaki. Vrijednosti desetih i stotih znamenki ovih razlomaka su jednake, a kako bismo izvršili daljnju usporedbu, konačni decimalni razlomak zamijenimo jednakim beskonačnim periodičnim razlomkom s periodom 0 oblika 5,270000.... Do pete decimale vrijednosti decimalnih mjesta 5,270000... i 5,270013... su jednake, a na petoj decimali imamo 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .
Odgovor:
5,27<5,270013… .
Usporedba beskonačnih decimalnih razlomaka također se provodi po mjestima, a završava čim se ispostavi da su vrijednosti nekih znamenki različite.
Primjer.
Usporedite beskonačne decimale 6.23(18) i 6.25181815….
Riješenje.
Cijeli dijelovi ovih razlomaka su jednaki, a jednake su i vrijednosti na desetinkama. A vrijednost stotinke periodičnog razlomka 6.23(18) manja je od stotinke beskonačnog neperiodičnog decimalnog razlomka 6.25181815..., dakle, 6.23(18)<6,25181815… .
Odgovor:
6,23(18)<6,25181815… .
Primjer.
Koja je od beskonačnih periodičnih decimala 3,(73) i 3,(737) veća?
Riješenje.
Jasno je da je 3,(73)=3,73737373... i 3,(737)=3,737737737... . Na četvrtom decimalnom mjestu usporedba po bitovima završava, jer tu imamo 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .
Odgovor:
3,(737) .
Usporedite decimale s prirodnim brojevima, razlomcima i mješovitim brojevima.
Rezultat usporedbe decimalnog razlomka s prirodnim brojem može se dobiti usporedbom cjelobrojnog dijela zadanog razlomka sa zadanim prirodnim brojem. U tom slučaju periodične razlomke s periodima 0 ili 9 prvo treba zamijeniti njima jednakim konačnim decimalnim razlomcima.
Istina je sljedeće pravilo za usporedbu decimalnih razlomaka i prirodnih brojeva: ako je cijeli dio decimalnog razlomka manji od zadanog prirodnog broja, tada je cijeli razlomak manji od tog prirodnog broja; ako je cjelobrojni dio razlomka veći ili jednak zadanom prirodnom broju, tada je razlomak veći od zadanog prirodnog broja.
Pogledajmo primjere primjene ovog pravila usporedbe.
Primjer.
Usporedite prirodni broj 7 s decimalnim razlomkom 8,8329….
Riješenje.
Budući da je dati prirodni broj manji od cijelog dijela danog decimalnog razlomka, tada je taj broj manji od danog decimalnog razlomka.
Odgovor:
7<8,8329… .
Primjer.
Usporedi prirodni broj 7 i decimalni razlomak 7.1.
