Kako pronaći određeno rješenje DE približno koristeći niz? Integriranje diferencijalnih jednadžbi pomoću redova. Rješavanje diferencijalnih jednadžbi metodom potencijskih redova

potencijski nizovi.

Pomoću redova potencija moguće je integrirati diferencijalne jednadžbe.

Razmotrimo linearnu diferencijalnu jednadžbu oblika:

Ako se svi koeficijenti i desna strana ove jednadžbe rašire u redove potencija koji konvergiraju u određenom intervalu, tada postoji rješenje ove jednadžbe u nekoj maloj okolini nultočke koje zadovoljava početne uvjete.

Ovo se rješenje može prikazati nizom potencija:

Za pronalazak rješenja ostaje odrediti nepoznate konstante c i.

Ovaj problem se može riješiti metoda usporedbe nesigurnih koeficijenata. Zapisani izraz za željenu funkciju zamijenimo u izvornu diferencijalnu jednadžbu, izvodeći sve potrebne operacije s potencijskim redovima (diferenciranje, zbrajanje, oduzimanje, množenje itd.)

Zatim izjednačavamo koeficijente za jednaki stupnjevi X na lijevoj i desnoj strani jednadžbe. Kao rezultat toga, uzimajući u obzir početne uvjete, dobivamo sustav jednadžbi iz kojih sukcesivno određujemo koeficijente c i.

Imajte na umu da je ova metoda također primjenjiva na nelinearne diferencijalne jednadžbe.

Primjer. Pronađite rješenje jednadžbe s početnim uvjetima y(0)=1, y’(0)=0.

Rješenje jednadžbe ćemo tražiti u obliku

Zamjenjujemo dobivene izraze u izvornu jednadžbu:

Odavde dobivamo:

………………

Dobivamo zamjenom početnih uvjeta u izraze za željenu funkciju i njenu prvu derivaciju:

Na kraju dobivamo:

Postoji još jedna metoda za rješavanje diferencijalnih jednadžbi pomoću nizova. Zove se metoda sekvencijalnog razlikovanja.

Pogledajmo isti primjer. Rješenje diferencijalne jednadžbe tražit ćemo u obliku proširenja nepoznate funkcije u Maclaurinov red.

Ako su zadani početni uvjeti y(0)=1, y’(0)=0 zamijenimo u izvornu diferencijalnu jednadžbu, dobivamo to

Nakon zamjene dobivenih vrijednosti dobivamo:

Fourierov red.

(Jean Baptiste Joseph Fourier (1768. – 1830.) – francuski matematičar)

Trigonometrijski nizovi.

Definicija. Trigonometrijski nizovi zove niz oblika:

ili, ukratko,

Realni brojevi a i, b i nazivaju se koeficijenti trigonometrijskog niza.

Ako niz gore prikazanog tipa konvergira, tada je njegov zbroj periodična funkcija s periodom 2p, jer funkcije sin nx i cos nx također periodične funkcije s periodom 2p.

Neka trigonometrijski niz jednoliko konvergira na intervalu [-p; p], dakle na bilo kojem segmentu zbog periodičnosti, a njegov zbroj je jednak f(x).

Odredimo koeficijente ovog niza.

Za rješavanje ovog problema koristimo sljedeće jednakosti:

Valjanost ovih jednakosti slijedi iz njihove primjene na integrand trigonometrijske formule. Za više informacija pogledajte Integriranje trigonometrijskih funkcija.

Jer funkcija f(x) kontinuirana je na intervalu [-p; p], tada postoji integral

Ovaj rezultat je dobiven kao rezultat činjenice da.

Odavde dobivamo:

Slično, množimo izraz za proširenje funkcije u niz sa sin nx i integrirati u rasponu od -p do p.

Dobivamo:

Izraz za koeficijent a 0 je poseban slučaj za izražavanje koeficijenata a n.

Dakle, ako funkcija f(x)– svaka periodička funkcija perioda 2p, kontinuirana na intervalu [-p; p] ili s konačnim brojem točaka diskontinuiteta prve vrste na ovom segmentu, tada su koeficijenti

postoje i zovu se Fourierovi koeficijenti za funkciju f(x).

Definicija. U blizini Fouriera za funkciju f(x) naziva se trigonometrijski niz čiji su koeficijenti Fourierovi koeficijenti. Ako je Fourierov red funkcije f(x) konvergira njoj u svim svojim točkama kontinuiteta, tada kažemo da funkcija f(x) proširuje u Fourierov niz.

Dovoljni znakovi raščlanljivosti u Fourierov red.

Teorema. (Dirichletov teorem) Ako funkcija f(x) ima period 2p i na segmentu

[-p;p] je kontinuiran ili ima konačan broj točaka diskontinuiteta prve vrste, a segment

[-p;p] se može podijeliti na konačan broj segmenata tako da unutar svakog od njih funkcija f(x) bude monotona, tada Fourierov red za funkciju f(x) konvergira za sve vrijednosti x, i u točkama neprekidnosti funkcije f(x) njezin je zbroj jednak f(x), a u točkama diskontinuiteta njezin je zbroj jednak , tj. aritmetička sredina graničnih vrijednosti s lijeve i desne strane. U tom slučaju Fourierov red funkcije f(x) uniformno konvergira na bilo kojem segmentu koji pripada intervalu kontinuiteta funkcije f(x).

Naziva se funkcija f(x) za koju su zadovoljeni uvjeti Dirichletovog teorema po komadu monoton na segmentu [-p;p].

Teorema. Ako funkcija f(x) ima period 2p, osim toga, f(x) i njezina derivacija f’(x) – kontinuirane funkcije na intervalu [-p;p] ili imati konačan broj točaka diskontinuiteta prve vrste na tom intervalu, onda Fourierov red funkcije f(x) konvergira za sve vrijednosti x, au točkama kontinuiteta njegov zbroj je jednak f(x), a u točkama diskontinuiteta jednak je . U tom slučaju Fourierov red funkcije f(x) uniformno konvergira na bilo kojem segmentu koji pripada intervalu kontinuiteta funkcije f(x).

Funkcija koja zadovoljava uvjete ovog teorema naziva se komadno – glatko na segmentu [-p;p].

Proširenje neperiodične funkcije u Fourierov red.

Problem rastavljanja neperiodične funkcije u Fourierov red u načelu se ne razlikuje od raširivanja periodične funkcije u Fourierov red.

Recimo funkcija f(x) zadan je na intervalu i po komadu je monoton na tom intervalu. Razmotrimo proizvoljnu periodičku komadno monotonu funkciju f 1 (x) s točkom 2T ³ ïb-aï, koja se podudara s funkcijom f(x) na segmentu .

a - 2T a a b a+2T a + 4T x

Dakle funkcija f(x) je dodano. Sada funkcija f 1 (x) proširuje u Fourierov niz. Zbroj ovog niza u svim točkama segmenta podudara se s funkcijom f(x), one. možemo pretpostaviti da funkcija f(x) proširen u Fourierov niz na segmentu .

Dakle, ako je funkcija f(x) dana na intervalu jednakom 2p, ona se ne razlikuje od proširenja niza periodične funkcije. Ako je segment na kojem je funkcija zadana manji od 2p, tada se funkcija proširuje na interval (b, a + 2p) tako da su očuvani uvjeti za širenje u Fourierov red.

Općenito govoreći, u ovom slučaju nastavak zadane funkcije na segment (interval) duljine 2p može se izvesti na beskonačno mnogo načina, pa će zbrojevi dobivenih nizova biti različiti, ali će se podudarati sa zadanim funkcija f(x) na segmentu.

Fourierov red za parne i neparne funkcije.

Uočimo sljedeća svojstva parnih i neparnih funkcija:

2) Umnožak dvije parne i neparne funkcije je parna funkcija.

3) Umnožak parne i neparne funkcije je neparna funkcija.

Valjanost ovih svojstava može se lako dokazati na temelju definicije parnih i neparnih funkcija.

Ako je f(x) parna periodična funkcija s periodom 2p, koja zadovoljava uvjete širenja u Fourierov red, tada možemo napisati:

Stoga, za ravnomjerna funkcija Fourierov red je napisan:

Slično, dobivamo proširenje u Fourierov red za neparnu funkciju:

Primjer. Raširite u Fourierov red periodičku funkciju s periodom T = 2p na intervalu [-p;p].

Zadana funkcija je neparna, stoga Fourierove koeficijente tražimo u obliku:

Definicija. Fourierov red na ortogonalnom sustavu funkcija j 1 (x), j 2 (x), …,jn(x) nazivamo nizom oblika:

čiji su koeficijenti određeni formulom:

Gdje f(x)= je zbroj niza koji ravnomjerno konvergira na segment duž ortogonalnog sustava funkcija. f(x) – svaka funkcija koja je kontinuirana ili ima konačan broj točaka diskontinuiteta prve vrste na segmentu.

U slučaju ortonormiranog sustava funkcija, koeficijenti se određuju:

Kada koristite računalnu verziju “ Tečaj više matematike” moguće je pokrenuti program koji proširuje proizvoljnu funkciju u Fourierov niz.

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I ZNANOSTI REPUBLIKE KAZAHSTAN

Državno sveučilište Sjevernog Kazahstana

ih. M. Kozybaeva

Fakultet informacijskih tehnologija

Odjel za matematiku

Nastavni rad zaštićen

s ocjenom "___________"

"___"___________ 2013

glava odjel____________

A. Tadžigitov

TEČAJNI rad iz matematike

"INTEGRACIJA DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBI

KORIŠTENJE POTENCENIH NIZOVA"

VODITELJ: Valeeva M.B. ___________

Petropavlovsk 2013

ADAPTA

Berilgen kurstyk zhumysta qatarlarmen zhane diferencijali tendemelermen baylanysty theorylyk suraktar karastyrylgan. Diferencijali eңdemíң integraldauynn mysalDERy zhəne manңaғaz қatorlARDyң kөmímín ka dovoljnorylғan.

ANOTACIJA

U ovom predmetni rad razmatran teorijska pitanja vezane za serije i diferencijalne jednadžbe. Razmatraju se primjeri integriranja diferencijalnih jednadžbi pomoću potencijskih redova.

dani rad razmatra teorijska pitanja koja se odnose na redove i diferencijalne jednadžbe. postoje razmatrani primjeri integracijskih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi korištenjem potencijskih redova.

UVOD

OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA REDOVE I DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

1 redaka. Osnovni pojmovi. Neophodan znak konvergencije

2 Redovi potencija. Svojstva potencijskih redova

3 Taylor Row. serija Maclaurin

4 Diferencijalne jednadžbe

5 Integriranje diferencijalnih jednadžbi pomoću nizova

PRIMJERI KORIŠTENJA POTENCENIH NIZOVA U INTEGRACIJI DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBI

1 Airyjeva jednadžba

2 Besselova jednadžba

3 Primjeri integracije

4 Primjera integracije u Mapleu

ZAKLJUČAK

UVOD

Pojam "diferencijalna jednadžba" dolazi od Leibniza (1676., objavljen 1684.). Početak istraživanja diferencijalnih jednadžbi seže u doba Leibniza i Newtona, u čijim su radovima proučavani prvi problemi koji dovode do takvih jednadžbi. Leibniz, Newton, braća J. i I. Bernoulli razvili su metode za integriranje običnih diferencijalnih jednadžbi. Kao univerzalna metoda korištena su proširenja integrala diferencijalnih jednadžbi u potencijske redove.

Danas, široko uvođenje računalnih metoda u znanost, povezano s pojavom moćnih računalnih alata, zahtijeva preispitivanje važnosti različitih grana matematike, a posebno dijelova teorije običnih diferencijalnih jednadžbi. Trenutno je porastao značaj metoda za kvalitativno istraživanje rješenja diferencijalnih jednadžbi, kao i metoda za aproksimativno pronalaženje rješenja.

Rješenja mnogih diferencijalnih jednadžbi nisu izražena u elementarnim funkcijama ili kvadraturama. U tim se slučajevima koriste približne metode integriranja diferencijalnih jednadžbi. Jedna od takvih metoda je predstavljanje rješenja jednadžbe kao potencijski niz; zbroj konačnog broja članova ovog niza bit će približno jednak željenom rješenju. To određuje relevantnost odabrane teme istraživanja.

Svrha ovog rada: prikazati korištenje metode redova snaga u integraciji diferencijalnih jednadžbi.

Predmet istraživanja je proces integracije diferencijalnih jednadžbi metodom potencijskih redova.

Predmet proučavanja su oblici, metode i sredstva integriranja diferencijalnih jednadžbi potencijskim redovima.

U skladu s ciljem, glavni ciljevi ovog rada mogu se formulirati:

Ponoviti osnovne pojmove vezane uz redove i diferencijalne jednadžbe.

Analizirati metodu integriranja diferencijalnih jednadžbi korištenjem potencijskih redova.

Primijenite metodu potencija za rješavanje raznih problema.

Struktura rada: naslovna stranica, obrazac radnog zadatka, sažetak, sadržaj, uvod, glavni dio, zaključak, popis literature.

Glavni dio rada sastoji se od dva poglavlja. Prvo poglavlje otkriva koncepte redova, redova potencije, Taylorovih redova i diferencijalnih jednadžbi. U drugom poglavlju razmatraju se primjeri integracije diferencijalnih jednadžbi potencijskim redovima.

Za proučavanje teorijskog dijela rada korišteni su materijali iz nastavne literature i periodike navedene u popisu korištene literature.

Opseg rada: 26 str.

1. OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA REDOVE I DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

1.1 Redovi. Osnovni pojmovi. Neophodan znak konvergencije

U matematičkim primjenama, kao iu rješavanju nekih problema u ekonomiji, statistici i drugim područjima, razmatraju se zbrojevi s beskonačnim brojem članova. Ovdje ćemo dati definiciju što se podrazumijeva pod takvim iznosima.

Neka je dan beskonačan niz brojeva. Serije brojeva ili se jednostavno uz njega naziva izraz (zbir) oblika

,(1.1)

brojevi se nazivaju članovi niza – zajednički ili n-ti pojam red.

Za definiranje niza (1.1) dovoljno je odrediti funkciju prirodnog argumenta izračuna n-tog člana niza njegovim brojem

Primjer 1.1. Neka . Red

(1.2)

naziva se harmonički niz.

Iz članova niza (1.1) formiramo niz brojeva djelomični iznosi Gdje - zbroj prvih članova niza, koji se naziva n-ti djelomični zbroj, tj.

(1.3)

Niz brojeva s neograničenim povećanjem broja može:

) imaju konačnu granicu;

) nemaju konačnu granicu (granica ne postoji ili je jednaka beskonačnosti).

Niz (1.1) nazivamo konvergentnim ako niz njegovih parcijalnih suma (1.3) ima konačnu granicu, tj.

U tom slučaju broj se naziva zbroj niza (1.1) i zapisuje se

Niz (1.1) nazivamo divergentnim ako niz njegovih parcijalnih suma nema konačnu granicu. Divergentnom nizu nije dodijeljen zbroj.

Stoga je problem pronalaženja zbroja konvergentnog niza (1.1) ekvivalentan izračunavanju limita niza njegovih parcijalnih zbroja.

Dokaz teoreme proizlazi iz činjenice da , i ako

S je zbroj niza (1.1), dakle

Uvjet (1.4) je nužan, ali ne i dovoljan uvjet za konvergenciju niza. To jest, ako zajednički član niza teži nuli na , to ne znači da niz konvergira. Na primjer, za harmonijski niz (1.2)

međutim, razilazi se.

Korolar (dovoljan znak divergentnosti niza): ako zajednički član niza ne teži nuli, tada taj niz divergira.

Primjer 1.2. Ispitajte niz na konvergenciju

Za ovu seriju Stoga se ova serija razilazi.

1.1 1.2 Redovi potencija. Svojstva potencijskih redova

Redovi potencija su poseban slučaj funkcionalnih nizova.

Niz potencija je funkcionalni niz oblika

ovdje su konstantni realni brojevi koji se nazivaju koeficijenti nizova potencije;

Neki stalni broj;

Varijabla koja uzima vrijednosti iz skupa realnih brojeva.

Kada red potencija (1.5) poprimi oblik

(1.6)

Red potencije (1.5) naziva se red potencije; niz (1.6) je niz potencije Ako se varijabli zada bilo koja vrijednost, tada se red potencije (1.5) (ili (1.6)) pretvara u numerički. serije koje mogu konvergirati ili divergirati.

Područje konvergencije niza potencija skup je vrijednosti kod kojih niz potencija konvergira.

Teorem 1.2 (Abelov teorem): ako red snage (1.6) konvergira na onda on apsolutno konvergira za sve vrijednosti koje zadovoljavaju nejednakost, ali ako red (1.6) divergira na onda on divergira za sve vrijednosti koje zadovoljavaju nejednakost

Abelov teorem daje jasnu ideju o strukturi područja konvergencije niza snaga.

Teorem 1.3: područje konvergencije reda potencija (1.6) podudara se s jednim od sljedećih intervala:

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

gdje je neki nenegativan pravi broj ili

Broj se naziva polumjer konvergencije, interval se naziva interval konvergencije potencijskog reda (1.6).

Ako tada interval konvergencije predstavlja cijeli brojevni pravac

Ako tada interval konvergencije degenerira do točke

Napomena: ako je interval konvergencije za red potencije (1.2), tada - interval konvergencije za niz potencija (1.5).

Iz teorema 1.3 slijedi da je za praktično pronalaženje područja konvergencije reda snage (1.6) dovoljno pronaći njegov radijus konvergencije i razjasniti pitanje konvergencije tog niza na krajevima intervala konvergencije, tj. kod i

Polumjer konvergencije reda potencija može se pronaći pomoću jedne od sljedećih formula:

d'Alembertova formula:

Cauchyjeva formula:

Primjer 1.3. Nađite radijus konvergencije, interval konvergencije i područje konvergencije potencijskog niza

Nađimo radijus konvergencije ovog niza pomoću formule

U našem slučaju

Prema tome, interval konvergencije ovog niza ima oblik

Proučimo konvergenciju niza na krajevima intervala konvergencije.

koji se razilazi poput harmonijskog niza.

Kada se potencijski niz pretvori u niz brojeva

Ovo je izmjenični niz čiji se članovi smanjuju prema apsolutna vrijednost I

Stoga, prema Leibnizovom kriteriju, ovaj niz brojeva konvergira.

Dakle, interval je područje konvergencije zadanog reda potencija.

Red potencija (1.6) je funkcija definirana u intervalu konvergencije, tj.

Evo nekih svojstava funkcije:

Svojstvo 1. Funkcija je kontinuirana na bilo kojem segmentu koji pripada intervalu konvergencije

Svojstvo 2. Funkcija je diferencijabilna na intervalu i njezina se derivacija može pronaći diferenciranjem niza (1.6) po članu, tj.

za svakoga

Svojstvo 3. Neodređeni integral iz funkcije za sve može se dobiti član po član integracijom niza (1.6), tj.

za svakoga

Treba primijetiti da se s diferenciranjem po članu i integracijom niza potencija njegov radijus konvergencije ne mijenja, ali se njegova konvergencija na krajevima intervala može promijeniti.

Gornja svojstva vrijede i za redove potencija (1.5).

Primjer 1.4. Razmotrimo red potencije

Područje konvergencije ovog niza, kao što je prikazano u primjeru 1.3, je interval

Razlikujmo ovu seriju po pojam:

(1.7)

Proučimo ponašanje ovog niza na krajevima intervala konvergencije.

Ovaj brojčani niz divergira jer nije ispunjen nužni kriterij konvergencije

koja ne postoji.

Kada se potencijski red (1.7) pretvori u brojevni niz

koji također divergira jer nije zadovoljen nužni kriterij konvergencije.

Posljedično, područje konvergencije reda potencija dobivenog diferencijacijom po članu izvornog niza potencija se promijenilo i podudara se s intervalom .

1.3 Taylorov niz. serija Maclaurin

Neka je funkcija diferencijabilna beskonačan broj puta u okolini točke, tj. ima izvedenice bilo kojeg reda. Taylorov red funkcije u točki je potencijski red

(1.8)

U posebnom slučaju niz (1.8) naziva se Maclaurin red:

Postavlja se pitanje: U kojim se slučajevima Taylorov red za funkciju beskonačno mnogo puta diferenciranu u okolici točke podudara s funkcijom ?

Mogu postojati slučajevi kada Taylorov red funkcije konvergira, ali njegov zbroj nije jednak

Navedimo dovoljan uvjet za konvergenciju Taylorovog reda funkcije toj funkciji.

Teorem 1.4: ako je u intervalu funkcija ima derivacije bilo kojeg reda i sve su ograničene u apsolutnoj vrijednosti na isti broj, tj. tada Taylorov red ove funkcije konvergira za bilo koji od ovih intervala one. postoji jednakost

Kako bi se utvrdilo vrijedi li ova jednakost na krajevima intervala konvergencije, potrebna su posebna istraživanja.

Treba primijetiti da ako se funkcija proširi u potencijski red, tada je taj niz Taylorov (Maclaurinov) red ove funkcije, a to je proširenje jedinstveno.

1.4 Diferencijalne jednadžbe

Obični diferencijalna jednadžba n-ti red za funkciju argumenta naziva se relacija oblika

gdje je dana funkcija njegovih argumenata.

U nazivu ove klase matematičkih jednadžbi, izraz "diferencijal" naglašava da one uključuju derivacije (funkcije nastale kao rezultat diferencijacije); izraz "običan" označava da željena funkcija ovisi o samo jednom stvarnom argumentu.

Obična diferencijalna jednadžba ne mora eksplicitno sadržavati argument željene funkcije i bilo koje njezine derivacije, ali najveća derivacija mora biti uključena u jednadžbu n-tog reda.

Na primjer,

A) - jednadžba prvog reda;

B) - jednadžba trećeg reda.

Pri pisanju običnih diferencijalnih jednadžbi često se koristi oznaka za derivacije u smislu diferencijala:

U) - jednadžba drugog reda;

G) - jednadžba prvog reda koja, nakon dijeljenja s ekvivalentnim oblikom, tvori sljedeću jednadžbu:

Funkcija se naziva rješenjem obične diferencijalne jednadžbe ako se, kada se u nju zamijeni, pretvara u identitet.

Pronalaženje jednom ili onom metodom, npr. selekcijom, jedne funkcije koja zadovoljava jednadžbu ne znači njezino rješavanje. Rješavanje obične diferencijalne jednadžbe znači pronalaženje svih funkcija koje tvore identitet kada se zamijene u jednadžbu. Za jednadžbu (1.10), familija takvih funkcija formirana je pomoću proizvoljnih konstanti i naziva se opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe n-tog reda, a broj konstanti podudara se s redoslijedom jednadžbe: Opće rješenje ne mora biti biti eksplicitno razriješeno u odnosu na U ovom slučaju, rješenje se obično naziva općim integralom jednadžbe (1.10).

Dodjeljujući neke dopuštene vrijednosti svim proizvoljnim konstantama u općem rješenju ili u općem integralu, dobivamo određenu funkciju koja više ne sadrži proizvoljne konstante. Ova se funkcija naziva parcijalno rješenje ili parcijalni integral jednadžbe (1.10). Za pronalaženje vrijednosti proizvoljnih konstanti, a time i određenog rješenja, koriste se različiti dodatni uvjeti jednadžbe (1.10). Na primjer, takozvani početni uvjeti mogu se specificirati na:

Na desnim stranama početnih uvjeta (1.11) navedene su numeričke vrijednosti funkcije i derivacije, a ukupan broj početnih uvjeta jednak je broju definiranih proizvoljnih konstanti.

Problem pronalaženja određenog rješenja jednadžbe (1.10) na temelju početnih uvjeta naziva se Cauchyjev problem.

1.5 Integriranje diferencijalnih jednadžbi korištenjem nizova

U općem slučaju, pronalaženje točnog rješenja obične diferencijalne jednadžbe prvog reda (ODE) njenim integriranjem je nemoguće. Štoviše, to nije izvedivo za ODE sustav. Ova okolnost dovela je do stvaranja velikog broja približnih metoda za rješavanje ODE i njihovih sustava. Među aproksimativnim metodama mogu se razlikovati tri skupine: analitičke, grafičke i numeričke. Naravno, takva je klasifikacija u određenoj mjeri proizvoljna. Na primjer, grafička metoda Eulerove izlomljene linije temelj su jedne od metoda numeričkog rješavanja diferencijalne jednadžbe.

Integriranje ODE-ova pomoću nizova potencije je približna analitička metoda, koja se obično primjenjuje na linearne jednadžbe najmanje drugog reda. Radi jednostavnosti, ograničili smo se na razmatranje linearne homogene ODE drugog reda s promjenjivim koeficijentima

(1.12)

Napomena: u obrascu se može prikazati prilično široka klasa funkcija

gdje su neke konstante. Taj se izraz naziva potencijski niz.

Pretpostavimo da se funkcije mogu proširiti u redove koji konvergiraju u intervalu:

Vrijedi sljedeći teorem (izostavljajući dokaz, donosimo samo njegovu formulaciju).

Teorem 1.5: ako funkcije imaju oblik (1.13), tada se bilo koje rješenje ODE-a (1.12) može prikazati kao red potencija koji konvergira na:

(1.14)

Ovaj teorem ne samo da omogućuje prikaz rješenja u obliku potencnog reda, već također, što je najvažnije, opravdava konvergenciju niza (1.14). Radi jednostavnosti, stavljamo (1.13) i (1.14) i tražimo rješenje ODE (1.12) u obliku

(1.15)

Zamjenom (1.15) u (1.12) dobivamo jednakost

Za ispunjenje (1.16) potrebno je da koeficijent za svaki stupanj bude jednak nuli.

Iz ovog uvjeta dobivamo beskonačni sustav linearnih algebarske jednadžbe

iz kojih se može sukcesivno pronaći ako se postave vrijednosti i (u slučaju Cauchyjevog problema za ODE (1.12) uključene su u početne uvjete ).

Ako su funkcije racionalne, tj.

gdje su polinomi, tada u blizini točaka u kojima ili rješenje u obliku potencnog niza ne mora postojati, a ako postoji, može divergirati posvuda osim u točki. Ovu okolnost poznavao je L. Euler, koji je razmatrao jednadžbu prvog reda

Ovu jednadžbu zadovoljava red potencije

Međutim, nije teško vidjeti da se ovaj niz razlikuje za sve

Rješenje ODE u obliku divergentnog reda potencija naziva se formalnim.

2. PRIMJERI KORIŠTENJA STEPENSKIH NIZOVA PRILIKOM INTEGRACIJE DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBI

Prozračna jednadžba

Rješenje Airyjeve jednadžbe

Trazit cemo u obliku reda potencija (1.15). Tada će jednakost (1.16) poprimiti oblik

Koeficijent za je jednak Prema tome, iz koeficijenta koji je jednak nuli, nalazimo da je koeficijent za jednak Odavde

Iz ove formule dobivamo

Slično nalazimo

Izgledi ostaju neizvjesni. Da bismo pronašli temeljni sustav rješenja, prvo smo postavili a zatim obrnuto. U prvom slučaju imamo

a u drugom

Na temelju teorema 1.5, ovi redovi su konvergentni posvuda na brojevnom pravcu

Funkcije se nazivaju Airy funkcije. Na velike vrijednosti asimptotsko ponašanje ovih funkcija opisuje se formulama

Grafikoni ovih funkcija prikazani su na slici 1.

Slika 1

S neograničenim porastom, nule bilo kojeg rješenja Airyjeve jednadžbe približavaju se neograničeno, što je vidljivo iz asimptotskog prikaza tih rješenja, ali uopće nije očito iz prikaza Airyjevih funkcija u obliku konvergentnih potencijskih redova. Iz toga proizlazi da je metoda traženja rješenja ODE pomoću niza, općenito govoreći, malo korisna pri rješavanju primijenjenih problema, a sam prikaz rješenja u obliku niza otežava analizu kvalitativnih svojstava dobivene otopine.

2.1 Besselova jednadžba

Linearna diferencijalna jednadžba s promjenjivim koeficijentima, koja ima oblik

nazvana Besselova jednadžba.

Rješenje jednadžbe (2.1) tražit ćemo u obliku generaliziranog reda potencija, tj. proizvodi određenog stupnja na stepskoj seriji:

(2.2)

Zamjenom generaliziranog niza potencije u jednadžbu (2.1) i izjednačavanjem koeficijenata za svaku potenciju na lijevoj strani jednadžbe s nulom, dobivamo sustav

Pretpostavljajući da iz ovog sustava nalazimo Neka Zatim iz druge jednadžbe sustava koju nalazimo i iz jednadžbe koja daje vrijednosti 3,5,7,..., zaključujemo da Za koeficijente s parnim brojevima dobivamo izraze

Zamjenom pronađenih koeficijenata u niz (2.2) dobivamo rješenje

gdje koeficijent ostaje proizvoljan.

Za sve se koeficijenti određuju na sličan način samo u slučaju kada nije jednak cijelom broju. Tada se rješenje može dobiti zamjenom vrijednosti u prethodnom rješenju sa:

Rezultirajući redovi snaga konvergiraju za sve vrijednosti , što se lako utvrđuje na temelju D'Alembertova testa. Rješenja i linearno su neovisna jer njihov omjer nije konstantan.

Rješenje pomnoženo s konstantom naziva se Besselova funkcija (ili cilindrična funkcija) reda prve vrste i označava se simbolom Rješenje se označava

Opće prihvaćeni izbor konstante uključuje gama funkciju, koja je određena nepravilnim integralom:

Stoga, opće rješenje jednadžba (2.1) kada nije jednaka cijelom broju, ima oblik gdje su i proizvoljne konstante.

2.2 Primjeri integracije

U slučajevima kada jednadžba zahtijeva rješavanje Cauchyjevog problema pod početnim uvjetom, rješenje se može tražiti pomoću Taylorovog niza:

pri čemu se daljnje derivacije nalaze uzastopnim diferenciranjem izvorne jednadžbe i supstitucijom u rezultat diferenciranja umjesto vrijednosti i svih ostalih pronađenih naknadnih derivacija. Slično, jednadžbe višeg reda mogu se integrirati pomoću Taylorovog niza.

Primjer 2.1. Približno integrirajte jednadžbu koristeći Taylorov niz uzimajući prvih šest različitih članova proširenja.

Iz jednadžbe početnih uvjeta nalazimo Diferenciranjem ove jednadžbe dobivamo sukcesivno

Vjerovanje i korištenje značenja dosljedno nalazimo da traženo rješenje ima oblik

Primjer 2.2. Pronađite prva četiri (različita od nule) člana proširenja. I

Zamjenom pronađenih vrijednosti u niz (2.3), dobivamo željeno rješenje s navedenom točnošću:

2.3 Primjeri integracije u Mapleu

Za pronalaženje analitičkih rješenja diferencijalnih jednadžbi u Mapleu upotrijebite naredbu dsolve(eq,var,options), gdje je eq diferencijalna jednadžba, var su nepoznate funkcije, options su parametri. Parametri mogu označavati metodu za rješavanje problema, na primjer, prema zadanim postavkama traži se analitičko rješenje: tip=točno. Kod sastavljanja diferencijalnih jednadžbi naredba diff služi za označavanje derivacije, npr. diferencijalna jednadžba se piše u obliku: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Da biste pronašli približno rješenje diferencijalne jednadžbe u obliku potencije, u naredbi dsolve trebate navesti parametar type=series (ili jednostavno series) nakon varijabli. Da bi se ukazao na redoslijed razlaganja, tj. Redoslijedu stupnja do kojeg se izvodi dekompozicija mora prethoditi definicija redoslijeda pomoću naredbe Order:=n.

Ako se traži opće rješenje diferencijalne jednadžbe u obliku proširenja niza snaga, tada će koeficijenti na potencijama pronađenog proširenja sadržavati nepoznate vrijednosti funkcije na nuli i njezine derivacije itd. Izraz dobiven u izlaznom retku imat će oblik sličan proširenju željenog rješenja u Maclaurinov niz, ali s drugačijim koeficijentima za potencije. Da bi se izoliralo određeno rješenje, moraju se specificirati početni uvjeti, itd., a broj tih početnih uvjeta mora se podudarati s redoslijedom odgovarajuće diferencijalne jednadžbe.

Proširenje u potencionski niz je tipa niza, pa ga za daljnji rad s tim nizom treba pretvoriti u polinom pomoću naredbe convert(%,polynom), a zatim odabrati desnu stranu dobivenog izraza s rhs( %) naredba.

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=1;

> dsolve((de,cond),y(x));

> y1:=desna(%):

> dsolve((de,cond),y(x),serija);

Napomena: vrsta rješenja diferencijalne jednadžbe u obliku niza je niz, pa se za daljnju upotrebu takvog rješenja (izračuni ili crtanje) mora pretvoriti u polinom pomoću naredbe convert.

stupanj serije diferencijalne jednadžbe

> pretvori (%, polinom): y2: = rhs (%):

> p1:=plot(y1, x=-3..3, debljina=2, boja=crna):

> p2:=crtež(y2, x=-3..3, stil linije=3, debljina=2, boja=crna):

> sa(crteži): prikaz(p1,p2);

Slika 2 pokazuje da se najbolja aproksimacija točnog rješenja potencijskim nizom postiže približno u intervalu

Slika 2

ZAKLJUČAK

Ciljevi postavljeni u predmetnom radu su u potpunosti ostvareni, riješeni su sljedeći zadaci:

Definirani su osnovni pojmovi povezani s redovima i diferencijalnim jednadžbama.

Razmatra se metoda integriranja diferencijalnih jednadžbi korištenjem potencijskih redova.

Problemi na ovoj temi su riješeni.

U ovom kolegiju gradivo je obrađeno i sistematizirano za korištenje studentima tijekom samostalno učenje metoda integriranja diferencijalnih jednadžbi korištenjem potencijskih redova. Razmatraju se pojmovi nizova i diferencijalnih jednadžbi. Približni izračuni provedeni su korištenjem serija.

Rad se može koristiti kao nastavno pomagalo za studente tehničkih i matematičkih specijalnosti.

Rezultati rada mogu poslužiti kao osnova za daljnja istraživanja.

POPIS KORIŠTENE LITERATURE

1 Tricomi F. Diferencijalne jednadžbe. Prijevod s engleskog. - M.: Bukinist, 2003. - 352 str.

Vlasova B. A., Zarubin B. S., Kuvyrkin G. N. Približne metode matematičke fizike: Udžbenik za sveučilišta. - M.: Izdavačka kuća MSTU im. N. E. Bauman, 2001. - 700 str.

Budak B. M. Fomin S. V. Višestruki integrali i redovi. - M.: Fizmatlit, 2002. - 512 str.

Demidovich B.P. Zbirka zadataka i vježbi u matematička analiza. - M.: Izdavačka kuća Mosk. Sveučilište CheRo, 2000. (monografija). - 624 s.

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I., itd. Sva viša matematika: Udžbenik. T. 3. - M.: Uredništvo izdavačke kuće URSS, 2005. - 240 str.

Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. I. i drugi: Viša matematika: Opći tečaj: Udžbenik. - M.: Viši. škola, 2000.- 351 str.

Malakhov A. N., Maksyukov N. I., Nikishkin V. A. Viša matematika. - M.: EAOI, 2008. - 315 str.

Markov L. N., Razmyslovich G. P. Viša matematika. Dio 2. Osnove matematičke analize i elementi diferencijalnih jednadžbi. - M.: Amalfeya, 2003. - 352 str.

Agafonov S. A., German A. D., Muratova T. V. Diferencijalne jednadžbe. - M.: Izdavačka kuća MSTU im. N.E. Bauman, 2004. - 352 str.

Coddington E. A., Levinson N. Teorija običnih diferencijalnih jednadžbi. - M.: Amalfeya, 2001. - 475 str.

Fikhtengolts G. M. Tijek diferencijalnog i integralni račun. T. 2. - M.: Fizmatlit, 2001. - 810 str.

Taylorova serija. serija Maclaurin

Neka je funkcija diferencijabilna beskonačan broj puta u okolini točke, tj. ima izvedenice bilo kojeg reda. Taylorov red funkcije u točki je potencijski red

U posebnom slučaju niz (1.8) naziva se Maclaurin red:

Postavlja se pitanje: U kojim se slučajevima Taylorov red za funkciju beskonačno mnogo puta diferenciranu u okolici točke podudara s funkcijom?

Mogu postojati slučajevi kada Taylorov red funkcije konvergira, ali njegov zbroj nije jednak

Navedimo dovoljan uvjet za konvergenciju Taylorovog reda funkcije toj funkciji.

Teorem 1.4: ako u nekom intervalu funkcija ima derivacije bilo kojeg reda i sve su ograničene u apsolutnoj vrijednosti istim brojem, tj. tada Taylorov red ove funkcije konvergira za bilo koji od ovih intervala, tj. postoji jednakost

Kako bi se utvrdilo vrijedi li ova jednakost na krajevima intervala konvergencije, potrebna su posebna istraživanja.

Treba primijetiti da ako se funkcija proširi u potencijski red, tada je taj niz Taylorov (Maclaurinov) red ove funkcije, a to je proširenje jedinstveno.

Diferencijalne jednadžbe

Obična diferencijalna jednadžba n-tog reda za funkciju argumenta je relacija oblika

gdje je dana funkcija njegovih argumenata.

Obična diferencijalna jednadžba ne mora eksplicitno sadržavati argument željene funkcije i bilo koje njezine derivacije, ali najveća derivacija mora biti uključena u jednadžbu n-tog reda.

Na primjer,

A) - jednadžba prvog reda;

B) - jednadžba trećeg reda.

Pri pisanju običnih diferencijalnih jednadžbi često se koristi oznaka za derivacije u smislu diferencijala:

B) - jednadžba drugog reda;

D) - jednadžba prvog reda koja, nakon dijeljenja s ekvivalentnim oblikom, tvori sljedeću jednadžbu:

Funkcija se naziva rješenjem obične diferencijalne jednadžbe ako se, kada se u nju zamijeni, pretvara u identitet.

Dodjeljujući neke dopuštene vrijednosti svim proizvoljnim konstantama u općem rješenju ili u općem integralu, dobivamo određenu funkciju koja više ne sadrži proizvoljne konstante. Ova se funkcija naziva parcijalno rješenje ili parcijalni integral jednadžbe (1.10). Za pronalaženje vrijednosti proizvoljnih konstanti, a time i određenog rješenja, raznih dodatni uvjeti na jednadžbu (1.10). Na primjer, takozvani početni uvjeti mogu se specificirati na:

Na desnim stranama početnih uvjeta (1.11) navedene su numeričke vrijednosti funkcije i derivacije, a ukupan broj početnih uvjeta jednak je broju definiranih proizvoljnih konstanti.

Problem pronalaženja određenog rješenja jednadžbe (1.10) na temelju početnih uvjeta naziva se Cauchyjev problem.

Integriranje diferencijalnih jednadžbi pomoću serija

U općem slučaju, pronalaženje točnog rješenja obične diferencijalne jednadžbe prvog reda (ODE) njenim integriranjem je nemoguće. Štoviše, to nije izvedivo za ODE sustav. Ova okolnost dovela je do stvaranja velikog broja približnih metoda za rješavanje ODE i njihovih sustava. Među aproksimativnim metodama mogu se razlikovati tri skupine: analitičke, grafičke i numeričke. Naravno, takva je klasifikacija u određenoj mjeri proizvoljna. Na primjer, grafička metoda Eulerovih izlomljenih linija je temelj jedne od metoda za numeričko rješavanje diferencijalne jednadžbe.

Napomena: u obrascu se može prikazati prilično široka klasa funkcija

gdje su neke konstante. Taj se izraz naziva potencijski niz.

Pretpostavimo da se funkcije mogu proširiti u redove koji konvergiraju u intervalu:

Vrijedi sljedeći teorem (izostavljajući dokaz, donosimo samo njegovu formulaciju).

Teorem 1.5: ako funkcije imaju oblik (1.13), tada se bilo koje rješenje ODE-a (1.12) može prikazati kao red potencija koji konvergira na:

Zamjenom (1.15) u (1.12) dobivamo jednakost

Za ispunjenje (1.16) potrebno je da koeficijent za svaki stupanj bude jednak nuli.

Iz ovog uvjeta dobivamo beskonačan sustav linearnih algebarskih jednadžbi

iz koje se može sukcesivno pronaći ako se postave vrijednosti i (u slučaju Cauchyjevog problema za ODE (1.12), one su uključene u početne uvjete).

Ako su funkcije racionalne, tj.

gdje su polinomi, tada u blizini točaka u kojima ili rješenje u obliku potencnog niza ne mora postojati, a ako postoji, može divergirati svugdje osim u točki. Ova okolnost je bila poznata već L. Euleru , koji je razmatrao jednadžbu prvog reda

Ovu jednadžbu zadovoljava red potencije

Međutim, nije teško vidjeti da se ovaj niz razlikuje za sve

Rješenje ODE u obliku divergentnog reda potencija naziva se formalnim.

Ministarstvo obrazovanja Republike Bjelorusije

Obrazovna ustanova

„Mogilevski državno sveučilište nazvan po A.A. Kulešova"

Zavod za MAiVT

Konstruiranje rješenja diferencijalnih jednadžbi pomoću nizova

Nastavni rad

Izvršio: student 3. godine B grupe

Fizičko-matematički fakultet

Yuskaeva Aleksandra Maratovna

Znanstveni voditelj:

Morozov Nikolaj Porfirijevič

MOGILJEV, 2010

Uvod

1. Diferencijalne jednadžbe viših redova

1.1. Pojam linearne diferencijalne jednadžbe n-tog reda

2. Integracija diferencijalnih jednadžbi nizovima

2.1. Integracija diferencijalnih jednadžbi korištenjem potencijskih redova.

2.2. Integracija diferencijalnih jednadžbi korištenjem generaliziranih potencijskih redova.

3. Posebni slučajevi korištenja generaliziranih potencijskih redova pri integraciji diferencijalnih jednadžbi.

3.1. Besselova jednadžba.

3.2. Hipergeometrijska jednadžba ili Gaussova jednadžba.

4. Primjena metode integriranja običnih diferencijalnih jednadžbi nizovima u praksi.

Zaključak

Književnost

Uvod

U općem slučaju nemoguće je pronaći točno rješenje obične diferencijalne jednadžbe prvog reda njezinim integriranjem. Štoviše, to nije izvedivo za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi. Ta je okolnost dovela do stvaranja velikog broja približnih metoda za rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi i njihovih sustava. Među aproksimativnim metodama mogu se razlikovati tri skupine: analitičke, grafičke i numeričke. Naravno, takva je klasifikacija u određenoj mjeri proizvoljna. Na primjer, grafička metoda Eulerovih izlomljenih linija je temelj jedne od metoda numeričkog rješavanja diferencijalne jednadžbe.

Integracija običnih diferencijalnih jednadžbi korištenjem potencijskih redova približna je analitička metoda koja se obično primjenjuje na linearne jednadžbe najmanje drugog reda.

Analitičke metode nalaze se u kolegiju diferencijalnih jednadžbi. Za jednadžbe prvog reda (sa separabilnim varijablama, homogene, linearne itd.), kao i za neke vrste jednadžbi višeg reda (na primjer, linearne s konstantni koeficijenti) moguće je analitičkim transformacijama dobiti rješenja u obliku formula.

Svrha rada je analizirati jedan od približnih analitičke metode, kao što je integracija običnih diferencijalnih jednadžbi pomoću nizova i njihova primjena na rješavanje diferencijalnih jednadžbi.

Diferencijalne jednadžbe višeg reda

Obična diferencijalna jednadžba n-tog reda je relacija oblika

gdje je F poznata funkcija svojih argumenata, definirana u određenoj domeni;

x - nezavisna varijabla;

y je funkcija varijable x koju treba odrediti;

y’, y”, …, y (n) - derivacije funkcije y.

U ovom slučaju, pretpostavlja se da je y (n) zapravo uključen u diferencijalnu jednadžbu. Bilo koji drugi argument funkcije F ne smije eksplicitno sudjelovati u ovom odnosu.

Svaka funkcija koja zadovoljava zadanu diferencijalnu jednadžbu naziva se njezino rješenje ili integral. Rješavanje diferencijalne jednadžbe znači pronalaženje svih njezinih rješenja. Ako je za traženu funkciju y moguće dobiti formulu koja daje sva rješenja zadane diferencijalne jednadžbe i samo ona, tada kažemo da smo pronašli njezino opće rješenje, odnosno opći integral.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe n-tog reda sadrži n proizvoljnih konstanti c 1, c 2,..., c n i ima oblik.

1.1. Pojam linearne diferencijalne jednadžben-ti red

Diferencijalna jednadžba n-tog reda naziva se linearnom ako je prvog stupnja u odnosu na skup veličina y, y’, ..., y (n). Dakle, linearna diferencijalna jednadžba n-tog reda ima oblik:

gdje su poznate kontinuirane funkcije od x.

Ova se jednadžba naziva nehomogena linearna jednadžba ili jednadžba s desnom stranom. Ako je desna strana jednadžbe identički jednaka nuli, tada linearna jednadžba naziva se homogena diferencijalna linearna jednadžba i ima oblik

Ako je n jednako 2, tada dobivamo linearnu jednadžbu drugog reda, koja će biti zapisana kao: Kao i linearna jednadžba n-tog reda, jednadžba drugog reda može biti homogena () i nehomogena.

Integracija diferencijalnih jednadžbi nizovima.

Rješenja obične diferencijalne jednadžbe iznad prvog reda s promjenjivim koeficijentima nisu uvijek izražena kroz elementarne funkcije, a integracija takve jednadžbe rijetko se svodi na kvadrature.

2.1. Integracija diferencijalnih jednadžbi korištenjem potencijskih redova.

Najčešća metoda integriranja ovih jednadžbi je prikazati željeno rješenje u obliku reda snaga. Razmotrimo jednadžbe drugog reda s promjenjivim koeficijentima

Napomena1. U obliku se može prikazati prilično široka klasa funkcija

gdje su neke konstante. Taj se izraz naziva potencijski niz. Ako su njegove vrijednosti jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije za bilo koji x iz intervala (x 0 - T; x 0 + T), tada se takav niz naziva konvergentnim u ovom intervalu.

Pretpostavimo da su funkcije a(x), b(x) analitičke funkcije jednadžbe (2.1) na intervalu (x 0 - T; x 0 + T), T > 0, tj. proširuju se u redove potencija:

Vrijedi sljedeći teorem (izostavljajući dokaz, donosimo samo njegovu formulaciju).

Teorem_1. Ako funkcije a(x), b(x) imaju oblik (2.2), tada se svako rješenje y(x) obične diferencijalne jednadžbe (2.1) može prikazati kao konvergentno kao |x - x 0 |< Т степенного ряда:

Ovaj teorem ne samo da omogućuje prikaz rješenja u obliku potencnog reda, već također, što je najvažnije, opravdava konvergenciju niza (2.3).

Algoritam za takav prikaz je sljedeći. Radi praktičnosti, stavimo x 0 = 0 u (2.2) i (2.3) i potražimo rješenje obične diferencijalne jednadžbe (2.1) u obliku

Zamjenom (2.4) u (2.1) dobivamo jednakost

Za ispunjenje (2.5) potrebno je da koeficijent za svaku potenciju x bude jednak nuli. Iz ovog uvjeta dobivamo beskonačan sustav linearnih algebarskih jednadžbi

………………………………………….

…………………………………………………………………. .

Iz rezultirajućeg beskonačnog sustava linearnih algebarskih jednadžbi može se sukcesivno pronaći, ..., ako se postave vrijednosti i (u slučaju Cauchyjevog problema za običnu diferencijalnu jednadžbu (2.1), mogu se uvesti početni uvjeti = , =).

Ako su funkcije a(x), b(x) racionalne, tj. , b , gdje su polinomi, tada u blizini točaka u kojima ili, rješenje u obliku reda potencija ne mora postojati, a ako postoji, može divergirati posvuda osim u točki x = 0. Ova okolnost je bio poznat L. Euleru, koji je razmatrao jednadžbu prvog reda

Ovu jednadžbu zadovoljava red potencije

Međutim, nije teško vidjeti da se ovaj niz razlikuje za sve. Rješenje obične diferencijalne jednadžbe u obliku divergentnog reda potencija naziva se formalnim.

Jedan od najupečatljivijih i najrazumljivijih primjera korištenja ove metode integracije su Airyeve jednadžbe ili

Sva rješenja ove jednadžbe cijele su funkcije od x. Zatim ćemo tražiti rješenje Airyjeve jednadžbe u obliku potencijskog reda (2.4). Tada jednakost (2.5) poprima oblik

Postavimo koeficijent pri svakoj potenciji x jednak nuli. imamo

……………………………

Koeficijent za nulti stupanj od x jednak je 2y 2. Prema tome, y 2 = 0. Tada iz jednakosti koeficijenta nuli nalazimo = . Koeficijent je jednak. Odavde.

Iz ove formule dobivamo

Izgledi ostaju neizvjesni. Da bismo pronašli temeljni sustav rješenja, prvo postavljamo = 1, = 0, a zatim obrnuto. U prvom slučaju imamo

a u drugom

Na temelju teorema_1, ovi su nizovi konvergentni posvuda na brojevnoj liniji.

Funkcije i nazivaju se Airy funkcije. Za velike vrijednosti x, asimptotsko ponašanje ovih funkcija opisano je sljedećim formulama i.

Grafikoni ovih funkcija prikazani su na sl. 2.1. Nalazimo da se s neograničenim porastom x, nulte točke bilo kojeg rješenja Airyjeve jednadžbe približavaju jedna drugoj neograničeno, što je također vidljivo iz asimptotskog prikaza tih rješenja, ali uopće nije očito iz prikaza Airyjevih funkcija u oblik konvergentnog niza potencija. Iz toga slijedi da je metoda traženja rješenja obične diferencijalne jednadžbe nizom, općenito govoreći, malo korisna u rješavanju primijenjenih problema, a sam prikaz rješenja u obliku niza otežava analizu kvalitativna svojstva dobivene otopine.

2.2. Integracija diferencijalnih jednadžbi korištenjem generaliziranih potencijskih redova.

Dakle, ako su u jednadžbi (2.1) funkcije a(x), b(x) racionalne, tada se točke u kojima ili zovu singularne točke jednadžbe (2.1).

Za jednadžbu drugog reda

u kojoj su a(x), b(x) analitičke funkcije u intervalu |x - x 0 |< а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

U blizini singularne točke x = x 0 rješenja u obliku potencnog reda ne moraju postojati; u tom slučaju rješenja se moraju tražiti u obliku generaliziranog potencnog reda:

gdje λ i, …, () treba odrediti.

Teorem_2. Da bi jednadžba (2.6) imala barem jedno posebno rješenje u obliku generaliziranog potencijskog reda (2.7) u okolici singularne točke x = x 0, dovoljno je da ta jednadžba ima oblik

To su konvergentni redovi potencija, a koeficijenti nisu istodobno jednaki nuli, jer inače točka x = x 0 nije posebna točka i postoje dva linearno neovisna rješenja, holomorfna u točki x = x 0 . Štoviše, ako niz (2,7”) uključen u koeficijente jednadžbe (2,7’) konvergira u području | x - x 0 |< R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.

Razmotrimo jednadžbu (2.6) za x > 0. Zamjenom izraza (2.7) za x 0 = 0 u ovu jednadžbu, imamo

Izjednačavajući koeficijente na potencijama x s nulom, dobivamo rekurentni sustav jednadžbi:

……..........................……………………………………………. (2.8)

gdje je naznačeno

Budući da, tada λ mora zadovoljiti jednadžbu

koja se naziva jednadžba definiranja. Neka su korijeni ove jednadžbe. Ako razlika nije cijeli broj, tada je za svaki cijeli broj k > 0, što znači da je navedenom metodom moguće konstruirati dva linearno neovisna rješenja jednadžbe (2.6):

Ako je razlika cijeli broj, tada pomoću gornje metode možete konstruirati jedno rješenje u obliku generaliziranog niza. Poznavajući ovo rješenje, pomoću formule Liouville-Ostrogradsky, možete pronaći drugo linearno neovisno rješenje:

Iz iste formule slijedi da se rješenje može tražiti u obliku

(broj A može biti jednak nuli).

Posebni slučajevi korištenja generaliziranih redova potencija pri integraciji diferencijalnih jednadžbi.

3.1. Besselova jednadžba.

Besselova jednadžba jedna je od najvažnijih diferencijalnih jednadžbi u matematici i njezinim primjenama. Rješenja Besselove jednadžbe, koja čine njezin temeljni sustav funkcija, nisu elementarne funkcije. Ali oni su prošireni u nizove snaga, čiji se koeficijenti izračunavaju prilično jednostavno.

Razmotrimo Besselovu jednadžbu u općem obliku:

Mnogi problemi matematičke fizike svode se na ovu jednadžbu.

Budući da se jednadžba ne mijenja kada se x zamijeni s -x, dovoljno je uzeti u obzir nenegativne vrijednosti x. Jedina singularna točka je x=0. Definirajuća jednadžba koja odgovara x=0 je, . Ako je 0, tada definirajuća jednadžba ima dva korijena: i. Nađimo rješenje dana jednadžba u obliku generaliziranog reda potencija

tada, zamjenom y, y" i y" u izvornu jednadžbu, dobivamo

Stoga, smanjujući za, imamo

Da bi ova jednakost vrijedila identično, koeficijenti moraju zadovoljavati jednadžbe

Nađimo rješenje koje odgovara korijenu definirajuće jednadžbe λ = n. Zamjenom λ = n u posljednje jednakosti vidimo da možemo uzeti bilo koji broj osim nule, broj = 0, a za k = 2, 3, ... imamo

Dakle, za sve m = 0, 1, 2, … .

Dakle, svi koeficijenti su pronađeni, što znači da će rješenje jednadžbe (3.1) biti napisano u obliku

Predstavimo funkciju

zove se Eulerova gama funkcija. Uzimajući u obzir što i što za cijele brojeve, a također odabirom proizvoljne konstante, bit će zapisano u obliku

naziva se Besselova funkcija prve vrste n-tog reda.

Drugo partikularno rješenje Besselove jednadžbe, linearno neovisno, traženo u obliku

Jednadžbe za određivanje at imaju oblik

Pod pretpostavkom da nađemo

Prema konvenciji, n nije cijeli broj, pa se svi koeficijenti s parnim brojevima jedinstveno izražavaju kroz:

dakle,

Uz pretpostavku da predstavljamo y 2 (x) u obliku

naziva se Besselova funkcija prve vrste s negativnim indeksom.

Stoga, ako n nije cijeli broj, tada su sva rješenja izvorne Besselove jednadžbe linearne kombinacije Besselove funkcije i: .

3.2. Hipergeometrijska jednadžba ili Gaussova jednadžba.

Hipergeometrijska jednadžba (ili Gaussova jednadžba) je jednadžba oblika

gdje su α, β, γ realni brojevi.

Točke su singularne točke jednadžbe. Obje su pravilne, budući da su u blizini tih točaka koeficijenti Gaussove jednadžbe zapisane u normalnom obliku

može se prikazati kao generalizirani red potencije.

Uvjerimo se u ovo za jednu točku. Doista, primijetivši to

jednadžba (3.2) se može napisati kao

Ova jednadžba je poseban slučaj jednadžbe

i ovdje je točka x=0 pravilna singularna točka Gaussove jednadžbe.

Konstruirajmo temeljni sustav rješenja Gaussove jednadžbe u blizini singularne točke x=0.

Definirajuća jednadžba koja odgovara točki x=0 ima oblik

Njegovi korijeni, a njihova razlika nije cijeli broj.

Stoga je u blizini singularne točke x=0 moguće konstruirati temeljni sustav rješenja u obliku generaliziranih potencijskih redova

od kojih prvi odgovara nultom korijenu definirajuće jednadžbe i običan je potencijski red, tako da je rješenje holomorfno u blizini singularne točke x=0. Drugo rješenje je očito neholomorfno u točki x=0. Najprije konstruirajmo određeno rješenje koje odgovara nultom korijenu definirajuće jednadžbe.

Dakle, tražit ćemo određeno rješenje jednadžbe (3.2) u obliku

Zamjenom (3.3) u (3.2) dobivamo

Izjednačujući slobodni član s nulom, dobivamo.

Neka bude, onda ćemo shvatiti.

Izjednačujući koeficijent at s nulom, nalazimo:

Dakle, traženo partikularno rješenje ima oblik:

Niz s desne strane naziva se hipergeometrijski niz, jer kada je α=1, β=γ prelazi u geometrijsku progresiju

Prema teoremu_2, red (3.4) konvergira kao |x|<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).

Drugo posebno rješenje ima oblik:

Umjesto traženja metode neodređenih koeficijenata, zamijenit ćemo željenu funkciju u Gaussovoj jednadžbi pomoću formule

Dobivamo Gaussovu jednadžbu

u kojoj ulogu parametara α, β i γ imaju i.

Stoga, konstruiranjem parcijalnog rješenja ove jednadžbe koje odgovara nultom korijenu definirajuće jednadžbe i njegovom zamjenom u (3.6), dobivamo drugo parcijalno rješenje ove Gaussove jednadžbe u obliku:

Opće rješenje Gaussove jednadžbe (3.2) bit će:

Koristeći konstruirani temeljni sustav rješenja Gaussove jednadžbe u okolici singularne točke x=0, lako se može konstruirati temeljni sustav rješenja te jednadžbe u okolici singularne točke x=1, koja je također pravilna singularna točka.

U tu svrhu prenijet ćemo singularnu točku x = 1 koja nas zanima u točku t = 0 i zajedno s njom singularnu točku x = 0 u točku t = 1 pomoću linearne zamjene nezavisne varijable x = 1 - t.

Provodeći ovu zamjenu u ovoj Gaussovoj jednadžbi, dobivamo

Ovo je Gaussova jednadžba s parametrima. Ima u susjedstvu |t|<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений

Vraćajući se na varijablu x, tj. postavljajući t = 1 - x, dobivamo temeljni sustav rješenja izvorne Gaussove jednadžbe u blizini točke | x - 1|< 1 особой точки х = 1

Opće rješenje Gaussove jednadžbe (3.2) u području bit će

Primjena metode integriranja običnih diferencijalnih jednadžbi nizovima u praksi.

Primjer_1. (br. 691) Izračunajte prvih nekoliko koeficijenata niza (do koeficijenta pri x 4 uključivo) s početnim uvjetima

Iz početnih uvjeta slijedi da Nađimo sada preostale koeficijente:

Primjer_2. (br. 696) Izračunajte prvih nekoliko koeficijenata niza (do koeficijenta pri x 4 uključivo) s početnim uvjetima

Rješenje: Rješenje jednadžbe ćemo tražiti u obliku

Zamjenjujemo dobivene izraze u izvornu jednadžbu:

Predstavljanjem desne strane u obliku niza potencija i izjednačavanjem koeficijenata za iste potencije x na obje strane jednadžbe, dobivamo:

Kako je prema uvjetu potrebno izračunati koeficijente niza do koeficijenta pri x 4 uključivo, dovoljno je izračunati koeficijente.

Iz početnih uvjeta slijedi da je i 2. Nađimo sada preostale koeficijente:

Prema tome, rješenje jednadžbe bit će napisano u obliku

Primjer_3. (br. 700) Naći linearno neovisna rješenja u obliku potencijskih redova jednadžbe. Ako je moguće, izrazite zbroj dobivenog niza pomoću elementarnih funkcija.

Otopina. Rješenje jednadžbe ćemo tražiti u obliku niza

Dvaput diferencirajući ovaj niz i zamjenjujući ga u ovu jednadžbu, dobili smo

Napišimo prvih nekoliko članova niza u dobivenoj jednadžbi:

Izjednačavanjem koeficijenata pri jednakim potencijama x s nulom, dobivamo sustav jednadžbi za određivanje:

………………………………….

Iz ovih jednadžbi nalazimo

Pretpostavimo da će tada samo koeficijenti biti različiti od nule. Shvaćamo to

Konstruirano je jedno rješenje jednadžbe

Drugo rješenje, linearno neovisno o pronađenom, dobivamo pretpostavkom. Tada će samo koeficijenti biti različiti od nule:

Nizovi koji predstavljaju i konvergiraju za bilo koju vrijednost x i su analitičke funkcije. Dakle, sva rješenja izvorne jednadžbe su analitičke funkcije za sve vrijednosti x. Sva rješenja su izražena formulom, gdje su C 1, C 2 proizvoljne konstante:

Budući da se zbroj rezultirajućeg niza može lako izraziti pomoću elementarnih funkcija, bit će zapisan kao:

Primjer_4. (br. 711) Riješite jednadžbu 2x 2 y" + (3x - 2x 2)y" - (x + 1)y = 0.

Otopina. Točka x = 0 je pravilna singularna točka ove jednadžbe. Sastavljamo definirajuću jednadžbu: njezini korijeni su λ 1 = 1/2 i λ 2 = - 1. Rješenje izvorne jednadžbe koje odgovara korijenu λ = λ 1 tražimo u obliku

Zamjenom i u izvornu jednadžbu, imamo

Odavde, smanjujući za, dobivamo

Izjednačavanjem koeficijenata na istim potencijama od x, imamo jednadžbe za određivanje:

Postavljajući y 0 = 1, nalazimo

dakle,

Rješenje izvorne jednadžbe koje odgovara korijenu λ = λ 2 tražimo u obliku

Zamjenom ovog izraza u izvornu jednadžbu i izjednačavanjem koeficijenata na istim potencijama od x, dobivamo ili stavljajući y 0 = 1, nalazimo

Opće rješenje izvorne jednadžbe zapisujemo u obliku gdje su i proizvoljne konstante.

Zaključak

Rješavanje jednadžbi koje sadrže nepoznate funkcije i njihove izvodnice na potenciju veću od prve ili na neki složeniji način često je vrlo teško.

Posljednjih godina takve diferencijalne jednadžbe privlače sve veću pozornost. Budući da su rješenja jednadžbi često vrlo složena i teško ih je prikazati jednostavnim formulama, značajan dio moderne teorije posvećen je kvalitativnoj analizi njihova ponašanja, tj. razvoj metoda koje omogućuju da se, bez rješavanja jednadžbe, kaže nešto značajno o prirodi rješenja kao cjeline: na primjer, da su sva ograničena, da imaju periodičnu prirodu, ili da na određeni način ovise o koeficijenti.

Tijekom rada na kolegiju provedena je analiza metode integracije diferencijalnih jednadžbi pomoću potencijskih i generaliziranih potencijskih redova.

Književnost:

Matveev N.V. Metode integriranja običnih diferencijalnih jednadžbi. Ed. 4., rev. i dodatni Minsk, “Najviši. škola”, 1974. - 768 str. s bolesnim.
Agafonov S.A., njemački A.D., Muratova T.V. Diferencijalne jednadžbe: Udžbenik. za sveučilišta / Ed. prije Krista Zarubina, A.P. Kriščenko. - 3. izd., stereotip. -M.: Izdavačka kuća MSTU im. N.E. Bauman, 2004. - 352 str.
Bugrov Ya. S., Nikolsky S. M. Viša matematika. T.3: Diferencijalne jednadžbe. Višestruki integrali. Redovi. Funkcije kompleksne varijable: Udžbenik. za sveučilišta: U 3 sveska / Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky; Ed. V. A. Sadovnichy. — 6. izd. stereotip. — M.: Bustard, 2004. —— 512 str.: ilustr.
Samoleinko A. M., Krivosheya S. A., Perestyuk N. A. Diferencijalne jednadžbe: primjeri i problemi. Udžbenik dodatak. - 2. izdanje, revidirano. - M.: Viši. škola, 1989. - 383 str.: ilustr.
Filippov A.F. Zbirka zadataka o diferencijalnim jednadžbama. Udžbenik priručnik za sveučilišta. - M.: Fizmatizd, 1961. - 100 str.: ilustr.

preuzimanje: Nemate pristup preuzimanju datoteka s našeg poslužitelja.