Zbroj aritmetičke progresije.
Zbroj aritmetičke progresije je jednostavna stvar. I po značenju i po formuli. Ali na ovu temu ima svakakvih zadataka. Od osnovnog do sasvim solidnog.
Prvo, shvatimo značenje i formulu iznosa. A onda ćemo odlučiti. Za vlastito zadovoljstvo.) Značenje količine jednostavno je poput mukanja. Da biste pronašli zbroj aritmetičke progresije, samo trebate pažljivo zbrojiti sve njezine članove. Ako je ovih izraza malo, možete dodati bez ikakvih formula. Ali ako ima puno, ili puno... dodavanje je neugodno.) U ovom slučaju formula dolazi u pomoć.
Formula za iznos je jednostavna:
Hajde da shvatimo koja su slova uključena u formulu. Ovo će mnogo toga razjasniti.
S n - zbroj aritmetičke progresije. Rezultat zbrajanja svatkočlanova, sa prvi Po posljednji. To je važno. Točno se zbrajaju svičlanova u nizu, bez preskakanja ili preskakanja. I, upravo, počevši od prvi. U problemima kao što je pronalaženje zbroja trećeg i osmog člana ili zbroja od petog do dvadesetog člana, izravna primjena formule će razočarati.)
a 1 - prvičlan progresije. Ovdje je sve jasno, jednostavno je prvi broj reda.
a n- posljednjičlan progresije. Zadnji broj serije. Nije baš poznato ime, ali kada se primijeni na količinu, vrlo je prikladno. Onda ćete se i sami uvjeriti.
n - broj zadnjeg člana. Važno je razumjeti da u formuli ovaj broj poklapa se s brojem dodanih pojmova.
Definirajmo pojam posljednjičlan a n. Varljivo pitanje: koji će član biti zadnji ako je dano beskrajan aritmetička progresija?)
Za pouzdan odgovor potrebno je razumjeti elementarno značenje aritmetičke progresije i... pažljivo pročitati zadatak!)
U zadatku traženja zbroja aritmetičke progresije uvijek se (izravno ili neizravno) pojavljuje zadnji član, koje treba ograničiti. Inače, konačan, konkretan iznos jednostavno ne postoji. Za rješenje je svejedno je li zadana progresija: konačna ili beskonačna. Nije važno kako je zadan: niz brojeva ili formula za n-ti član.
Najvažnije je razumjeti da formula radi od prvog člana progresije do člana s brojem n. Zapravo, puni naziv formule izgleda ovako: zbroj prvih n članova aritmetičke progresije. Broj ovih prvih članova, t.j. n, određuje se isključivo zadatkom. U zadatku su sve ove vrijedne informacije često šifrirane, da... Ali nema veze, u primjerima ispod otkrivamo te tajne.)
Primjeri zadataka o zbroju aritmetičke progresije.
Kao prvo, korisne informacije:
Glavna poteškoća u zadacima koji uključuju zbroj aritmetičke progresije leži u ispravnom određivanju elemenata formule.
Pisci zadataka šifriraju upravo te elemente bezgraničnom maštom.) Ovdje je glavna stvar ne bojati se. Razumijevajući suštinu elemenata, dovoljno ih je jednostavno dešifrirati. Pogledajmo detaljno nekoliko primjera. Počnimo sa zadatkom temeljenim na stvarnom GIA.
1. Aritmetička progresija dana je uvjetom: a n = 2n-3,5. Pronađite zbroj njegovih prvih 10 članova.
Dobar posao. Jednostavno.) Što trebamo znati da bismo odredili iznos pomoću formule? Prvi član a 1, posljednji mandat a n, da broj posljednjeg člana n.
Gdje mogu dobiti broj posljednjeg člana? n? Da, tu, pod uvjetom! Kaže: nađi zbroj prvih 10 članova. Pa, s kojim će brojem biti? posljednji, deseti član?) Nećete vjerovati, njegov broj je deseti!) Stoga, umjesto a n zamijenit ćemo u formulu a 10, i umjesto toga n- deset. Ponavljam, broj posljednjeg člana poklapa se s brojem članova.
Ostaje utvrditi a 1 I a 10. To se lako izračuna pomoću formule za n-ti član, koja je dana u tekstu problema. Ne znate kako to učiniti? Prisustvujte prethodnoj lekciji, bez ove nema načina.
a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
a 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10.
Saznali smo značenje svih elemenata formule za zbroj aritmetičke progresije. Sve što ostaje je zamijeniti ih i prebrojati:
To je to. Odgovor: 75.
Još jedan zadatak temeljen na GIA. Malo kompliciranije:
2. Zadana je aritmetička progresija (a n), čija je razlika 3,7; a 1 =2,3. Pronađite zbroj njegovih prvih 15 članova.
Odmah napišemo formulu zbroja:
Ova formula nam omogućuje da pronađemo vrijednost bilo kojeg pojma prema njegovom broju. Tražimo jednostavnu zamjenu:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Ostaje zamijeniti sve elemente u formulu za zbroj aritmetičke progresije i izračunati odgovor:
Odgovor: 423.
Usput, ako je u formuli zbroja umjesto a n Jednostavno zamijenimo formulu za n-ti član i dobijemo:
Navedimo slične i dobijmo novu formulu za zbroj članova aritmetičke progresije:
 |
Kao što vidite, to ovdje nije potrebno n-ti pojam a n. U nekim problemima ova formula jako pomaže, da... Možete se sjetiti ove formule. Ili ga jednostavno možete prikazati u pravo vrijeme, kao ovdje. Uostalom, uvijek morate zapamtiti formulu za zbroj i formulu za n-ti član.)
Sada zadatak u obliku kratke enkripcije):
3. Odredi zbroj svih pozitivnih dvoznamenkastih brojeva koji su višekratnici tri.
Wow! Ni prvi član, ni zadnji, ni napredak uopće... Kako živjeti!?
Morat ćete misliti svojom glavom i iz uvjeta izvući sve elemente zbroja aritmetičke progresije. Znamo što su dvoznamenkasti brojevi. Sastoje se od dva broja.) Koji će biti dvoznamenkasti broj prvi? 10, vjerojatno.) A zadnja stvar dvoznamenkasti broj? 99, naravno! Za njim će i troznamenkaste...
Višekratnici od tri... Hm... Ovo su brojevi djeljivi s tri, evo! Deset nije djeljivo s tri, 11 nije djeljivo... 12... je djeljivo! Dakle, nešto se pojavljuje. Već možete zapisati niz prema uvjetima problema:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Hoće li ovaj niz biti aritmetička progresija? Sigurno! Svaki pojam razlikuje se od prethodnog za striktno tri. Ako izrazu dodate 2 ili 4, recimo, rezultat, tj. novi broj više nije djeljiv s 3. Možete odmah odrediti razliku aritmetičke progresije: d = 3. Dobro će vam doći!)
Dakle, možemo sa sigurnošću zapisati neke parametre progresije:
Koji će biti broj? n zadnji član? Tko misli da je 99, kobno se vara... Brojke uvijek idu u nizu, ali naši članovi preskaču tri. Ne poklapaju se.
Ovdje postoje dva rješenja. Jedan način je za super marljive. Možete zapisivati progresiju, cijeli niz brojeva, prstom brojati članove.) Drugi način je za promišljene. Morate zapamtiti formulu za n-ti član. Primijenimo li formulu na naš problem, otkrit ćemo da je 99 trideseti član progresije. Oni. n = 30.
Pogledajmo formulu za zbroj aritmetičke progresije:
Gledamo i radujemo se.) Iz izjave problema izvukli smo sve što je potrebno za izračunavanje iznosa:
a 1= 12.
a 30= 99.
S n = S 30.
Ostaje samo elementarna aritmetika. Zamijenimo brojeve u formulu i izračunamo:
Odgovor: 1665
Još jedna vrsta popularne zagonetke:
4. S obzirom na aritmetičku progresiju:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Pronađite zbroj članova od dvadesetog do trideset i četvrtog.
Gledamo formulu za iznos i... uzrujavamo se.) Formula, da vas podsjetim, izračunava iznos iz prvečlan. A u zadatku treba izračunati zbroj od dvadesetog... Formula neće raditi.
Možete, naravno, napisati cijelu progresiju u nizu i dodati članove od 20 do 34. Ali... to je nekako glupo i dugo traje, zar ne?)
Postoji elegantnije rješenje. Podijelimo našu seriju u dva dijela. Prvi dio će biti od prvog mandata do devetnaestog. Drugi dio - od dvadeset do trideset četiri. Jasno je da ako izračunamo zbroj članova prvog dijela S 1-19, zbrojimo ga sa zbrojem članova drugog dijela S 20-34, dobivamo zbroj progresije od prvog člana do trideset četvrtog S 1-34. Kao ovo:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Iz ovoga možemo vidjeti da se nalazi zbroj S 20-34 može se izvršiti jednostavnim oduzimanjem
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Uzimaju se u obzir oba iznosa s desne strane iz prvečlan, tj. standardna formula zbroja sasvim je primjenjiva na njih. Započnimo?
Ekstrahiramo parametre progresije iz izjave problema:
d = 1,5.
a 1= -21,5.
Da bismo izračunali zbrojeve prvih 19 i prva 34 člana, trebat će nam 19. i 34. član. Izračunavamo ih pomoću formule za n-ti član, kao u problemu 2:
a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Ništa nije ostalo. Od zbroja 34 člana oduzmi zbroj 19 članova:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Odgovor: 262,5
Jedna važna napomena! Postoji vrlo koristan trik u rješavanju ovog problema. Umjesto izravnog obračuna što ti treba (S 20-34), brojali smo nešto što bi se činilo nepotrebnim - S 1-19. I onda su odredili S 20-34, odbacivanje nepotrebnog iz cjelovitog rezultata. Ova vrsta “finte ušima” često vas spašava u gadnim problemima.)
U ovoj smo lekciji razmatrali probleme za koje je dovoljno razumjeti značenje zbroja aritmetičke progresije. Pa, morate znati nekoliko formula.)
Prilikom rješavanja bilo kojeg problema koji uključuje zbroj aritmetičke progresije, preporučujem da odmah napišete dvije glavne formule iz ove teme.
Formula za n-ti član:
Ove formule će vam odmah reći što trebate tražiti iu kojem smjeru razmišljati kako biste riješili problem. Pomaže.
A sada zadaci za samostalno rješavanje.
5. Odredi zbroj svih dvoznamenkastih brojeva koji nisu djeljivi s tri.
Super?) Savjet je skriven u bilješci za problem 4. Pa, problem 3 će pomoći.
6. Aritmetička progresija dana je uvjetom: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Nađite zbroj njegovih prva 24 člana.
Neobično?) Ovo formula ponavljanja. O tome možete pročitati u prethodnoj lekciji. Nemojte zanemariti vezu, takvi se problemi često nalaze u Državnoj akademiji znanosti.
7. Vasya je uštedio novac za odmor. Čak 4550 rubalja! I odlučila sam najdražoj osobi (sebi) pokloniti nekoliko dana sreće). Živite lijepo ne uskraćujući sebi ništa. Potrošite 500 rubalja prvog dana, a svaki sljedeći dan potrošite 50 rubalja više od prethodnog! Dok ne ponestane novca. Koliko je dana sreće imao Vasya?
Je li teško?) Pomoći će dodatna formula iz 2. zadatka.
Odgovori (u neredu): 7, 3240, 6.
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)
Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.
Neki ljudi s oprezom tretiraju riječ "progresija", kao vrlo složen pojam iz grana više matematike. U međuvremenu, najjednostavnija aritmetička progresija je rad taksimetra (gdje još uvijek postoje). A razumijevanje suštine (a u matematici nema ništa važnije od "razumijevanja suštine") aritmetičkog niza nije tako teško, nakon analize nekoliko elementarnih koncepata.
Matematički niz brojeva
Numeričkim nizom obično se naziva niz brojeva od kojih svaki ima svoj broj.
a 1 je prvi član niza;
i 2 je drugi član niza;
i 7 je sedmi član niza;
i n je n-ti član niza;
Međutim, ne zanima nas proizvoljan skup brojeva i brojeva. Usredotočit ćemo se na numerički niz u kojem je vrijednost n-tog člana povezana s njegovim rednim brojem odnosom koji se može jasno matematički formulirati. Drugim riječima: brojčana vrijednost n-tog broja je neka funkcija od n.
a je vrijednost člana numeričkog niza;
n je njegov serijski broj;
f(n) je funkcija, gdje je redni broj u numeričkom nizu n argument.
Definicija
Aritmetičkom progresijom obično se naziva numerički niz u kojem je svaki sljedeći član veći (manji) od prethodnog za isti broj. Formula za n-ti član aritmetičkog niza je sljedeća:
a n - vrijednost tekućeg člana aritmetičke progresije;
a n+1 - formula sljedećeg broja;
d - razlika (određeni broj).
Lako je utvrditi da ako je razlika pozitivna (d>0), tada će svaki sljedeći član niza koji se razmatra biti veći od prethodnog i takva aritmetička progresija će biti rastuća.
Na grafikonu ispod lako je vidjeti zašto niz brojeva nazvano "povećanje".
U slučajevima kada je razlika negativna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Navedena vrijednost člana
Ponekad je potrebno odrediti vrijednost bilo kojeg proizvoljnog člana a n aritmetičke progresije. To se može učiniti sekvencijalnim izračunavanjem vrijednosti svih članova aritmetičke progresije, počevši od prvog do željenog. Međutim, ovaj put nije uvijek prihvatljiv ako je, na primjer, potrebno pronaći vrijednost pettisućitog ili osmomilijuntog člana. Tradicionalni izračuni će oduzeti puno vremena. Međutim, određena aritmetička progresija može se proučavati pomoću određenih formula. Postoji i formula za n-ti član: vrijednost bilo kojeg člana aritmetičke progresije može se odrediti kao zbroj prvog člana progresije s razlikom progresije, pomnožen s brojem željenog člana, umanjen za jedan.
Formula je univerzalna za povećanje i smanjenje progresije.
Primjer izračunavanja vrijednosti zadanog pojma
Riješimo sljedeći problem pronalaženja vrijednosti n-tog člana aritmetičke progresije.
Uvjet: postoji aritmetička progresija s parametrima:
Prvi član niza je 3;
Razlika u nizu brojeva je 1,2.
Zadatak: potrebno je pronaći vrijednost 214 članova
Rješenje: za određivanje vrijednosti zadanog pojma koristimo se formulom:
a(n) = a1 + d(n-1)
Zamjenom podataka iz izjave problema u izraz, imamo:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Odgovor: 214. član niza jednak je 258,6.
Prednosti ove metode izračuna su očite - cijelo rješenje ne zauzima više od 2 retka.
Zbroj zadanog broja članova
Vrlo često, u određenom aritmetičkom nizu, potrebno je odrediti zbroj vrijednosti nekih njegovih segmenata. Da biste to učinili, također nema potrebe izračunavati vrijednosti svakog izraza i zatim ih zbrajati. Ova metoda je primjenjiva ako je broj članova čiji zbroj treba pronaći mali. U drugim slučajevima prikladnije je koristiti sljedeću formulu.
Zbroj članova aritmetičke progresije od 1 do n jednak je zbroju prvog i n-tog člana, pomnožen s brojem člana n i podijeljen s dva. Ako u formuli vrijednost n-tog člana zamijenimo izrazom iz prethodnog stavka članka, dobivamo:
Primjer izračuna
Na primjer, riješimo problem sa sljedećim uvjetima:
Prvi član niza je nula;
Razlika je 0,5.
Zadatak zahtijeva određivanje zbroja članova niza od 56 do 101.
Riješenje. Upotrijebimo formulu za određivanje količine progresije:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Prvo odredimo zbroj vrijednosti 101 člana progresije zamjenom zadanih uvjeta našeg problema u formulu:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
Očito, da bi se saznao zbroj članova progresije od 56. do 101. potrebno je od S 101 oduzeti S 55.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Dakle, zbroj aritmetičke progresije za ovaj primjer je:
s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5
Primjer praktične primjene aritmetičke progresije
Na kraju članka vratimo se na primjer aritmetičkog niza danog u prvom odlomku – taksimetar (taksimetar). Razmotrimo ovaj primjer.
Ukrcaj u taksi (koji uključuje 3 km putovanja) košta 50 rubalja. Svaki sljedeći kilometar plaća se po stopi od 22 rublja/km. Dužina putovanja je 30 km. Izračunajte cijenu putovanja.
1. Odbacimo prva 3 km čija je cijena uključena u cijenu slijetanja.
30 - 3 = 27 km.
2. Daljnji izračun nije ništa drugo nego raščlanjivanje niza aritmetičkih brojeva.
Članski broj - broj prijeđenih kilometara (minus prva tri).
Vrijednost člana je zbroj.
Prvi izraz u ovom problemu bit će jednak a 1 = 50 rubalja.
Razlika progresije d = 22 r.
broj koji nas zanima je vrijednost (27+1) člana aritmetičke progresije - očitanje brojila na kraju 27. kilometra je 27,999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Izračuni kalendarskih podataka za proizvoljno dugo razdoblje temelje se na formulama koje opisuju određene numeričke nizove. U astronomiji je duljina orbite geometrijski ovisna o udaljenosti nebeskog tijela od zvijezde. Osim toga, različiti nizovi brojeva uspješno se koriste u statistici i drugim primijenjenim područjima matematike.
Druga vrsta niza brojeva je geometrijska
Geometrijsku progresiju karakteriziraju veće stope promjene u usporedbi s aritmetičkom progresijom. Nije slučajno da se u politici, sociologiji i medicini, kako bi se prikazala velika brzina širenja određene pojave, na primjer, bolesti tijekom epidemije, kaže da se proces razvija geometrijskom progresijom.
N-ti član niza geometrijskih brojeva razlikuje se od prethodnog po tome što se množi s nekim konstantnim brojem - nazivnik, na primjer, prvi član je 1, nazivnik je odgovarajući jednak 2, zatim:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - vrijednost trenutnog člana geometrijske progresije;
b n+1 - formula sljedećeg člana geometrijske progresije;
q je nazivnik geometrijske progresije (konstantan broj).
Ako je graf aritmetičke progresije ravna linija, tada geometrijska progresija daje nešto drugačiju sliku:
Kao i u slučaju aritmetike, geometrijska progresija ima formulu za vrijednost proizvoljnog člana. Svaki n-ti član geometrijske progresije jednak je umnošku prvog člana i nazivnika progresije na potenciju n umanjenu za jedan:
Primjer. Imamo geometrijsku progresiju s prvim članom jednakim 3 i nazivnikom progresije jednakim 1,5. Nađimo 5. član progresije
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Zbroj zadanog broja članova također se izračunava pomoću posebne formule. Zbroj prvih n članova geometrijske progresije jednak je razlici između umnoška n-tog člana progresije i njegovog nazivnika i prvog člana progresije, podijeljen s nazivnikom umanjenim za jedan:
Ako se b n zamijeni pomoću formule koja je gore razmotrena, vrijednost zbroja prvih n članova niza brojeva koji se razmatra poprimit će oblik:
Primjer. Geometrijska progresija počinje s prvim članom jednakim 1. Nazivnik je postavljen na 3. Nađimo zbroj prvih osam članova.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Aritmetička progresija je niz brojeva u kojem je svaki broj veći (ili manji) od prethodnog za isti iznos.
Ova se tema često čini složenom i nerazumljivom. Indeksi slova, n-ti član progresije, razlika progresije - sve je to nekako zbunjujuće, da... Shvatimo značenje aritmetičke progresije i sve će odmah biti bolje.)
Pojam aritmetičke progresije.
Aritmetička progresija vrlo je jednostavan i jasan koncept. Imate li kakvih nedoumica? Uzalud.) Uvjerite se sami.
Napisat ću nedovršeni niz brojeva:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Možete li produžiti ovu seriju? Koji će brojevi doći nakon petice? Svi... uh..., ukratko, svi će shvatiti da će na red doći brojevi 6, 7, 8, 9 itd.
Zakomplicirajmo zadatak. Dajem vam nedovršeni niz brojeva:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Moći ćete uhvatiti uzorak, proširiti seriju i imenovati sedmi broj reda?
Ako ste shvatili da je ovaj broj 20, čestitamo! Ne samo da ste osjećali ključne točke aritmetičke progresije, ali i uspješno ih iskoristio u poslovanju! Ako niste shvatili, čitajte dalje.
Sada prevedimo ključne točke iz osjeta u matematiku.)
Prva ključna točka.
Aritmetička progresija bavi se nizovima brojeva. Ovo je u početku zbunjujuće. Navikli smo rješavati jednadžbe, crtati grafove i sve to... Ali ovdje produžujemo niz, nalazimo broj niza...
U redu je. Samo što su progresije prvo upoznavanje s novom granom matematike. Odjeljak se zove "Series" i radi posebno s nizovima brojeva i izraza. Naviknuti se na nešto.)
Druga ključna točka.
U aritmetičkoj progresiji svaki broj je različit od prethodnog u istom iznosu.
U prvom primjeru ta je razlika jedan. Koji god broj uzmete, jedan je veći od prethodnog. U drugom - tri. Bilo koji broj je tri veći od prethodnog. Zapravo, to je trenutak koji nam daje priliku da shvatimo obrazac i izračunamo sljedeće brojeve.
Treća ključna točka.
Ovaj trenutak nije upečatljiv, da... Ali je jako, jako bitan. Evo ga: Svaki broj progresije je na svom mjestu. Postoji prvi broj, postoji sedmi, postoji četrdeset peti itd. Ako ih nasumično pomiješate, uzorak će nestati. Nestat će i aritmetička progresija. Ono što je ostalo je samo niz brojeva.
To je cijela poanta.
Naravno, novi pojmovi i oznake pojavljuju se u novoj temi. Morate ih poznavati. Inače nećete razumjeti zadatak. Na primjer, morat ćete odlučiti nešto poput:
Zapišite prvih šest članova aritmetičke progresije (a n), ako je a 2 = 5, d = -2,5.
Nadahnjujuće?) Slova, neki indeksi... A zadatak, usput, ne može biti jednostavniji. Samo trebate razumjeti značenje pojmova i oznaka. Sada ćemo svladati ovu materiju i vratiti se zadatku.
Termini i oznake.
Aritmetička progresija je niz brojeva u kojem se svaki broj razlikuje od prethodnog u istom iznosu.
Ova količina se zove . Pogledajmo detaljnije ovaj koncept.
Razlika aritmetičke progresije.
Razlika aritmetičke progresije je iznos za koji bilo koji broj progresije više prethodni.
Jedna važna točka. Molimo obratite pozornost na riječ "više". Matematički, to znači da je svaki broj progresije dodavanjem razlika aritmetičke progresije u odnosu na prethodni broj.
Za izračunavanje, recimo drugi brojevi serije, trebate prvi broj dodati upravo ta razlika aritmetičke progresije. Za izračun peti- razlika je nužna dodati Do Četvrta, dobro, itd.
Razlika aritmetičke progresije Može biti pozitivan, tada će se svaki broj u nizu pokazati stvarnim više od prethodnog. Ova progresija se zove povećavajući se. Na primjer:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Ovdje se dobiva svaki broj dodavanjem pozitivan broj, +5 na prethodni.
Razlika može biti negativan, tada će svaki broj u nizu biti manje od prethodnog. Ova progresija se zove (nećete vjerovati!) smanjujući se.
Na primjer:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Ovdje se također dobiva svaki broj dodavanjem na prethodni, ali već negativan broj, -5.
Usput, kada radite s progresijom, vrlo je korisno odmah odrediti njegovu prirodu - povećava li se ili smanjuje. To uvelike pomaže pri donošenju odluke, uočavanju grešaka i ispravljanju prije nego što bude prekasno.
Razlika aritmetičke progresije obično se označava slovom d.
Kako pronaći d? Jako jednostavno. Potrebno je oduzeti od bilo kojeg broja u nizu prethodni broj. Oduzeti. Usput, rezultat oduzimanja naziva se "razlika".)
Definirajmo npr. d za povećanje aritmetičke progresije:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Uzimamo bilo koji broj u nizu koji želimo, na primjer 11. Od njega oduzimamo prethodni broj oni. 8:
Ovo je točan odgovor. Za ovu aritmetičku progresiju razlika je tri.
Možeš uzeti bilo koji broj progresije, jer za određenu progresiju d-uvijek isto. Makar negdje na početku reda, makar u sredini, makar bilo gdje. Ne možete uzeti samo prvi broj. Jednostavno zato što je prvi broj nijedan prethodni.)
Usput, znajući to d=3, pronalaženje sedmog broja ove progresije je vrlo jednostavno. Petom broju dodamo 3 - dobijemo šesti, to će biti 17. Šestom broju dodamo tri, dobijemo sedmi broj - dvadeset.
Idemo definirati d za silaznu aritmetičku progresiju:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Podsjećam vas da, bez obzira na znakove, odrediti d potrebno s bilo kojeg broja oduzeti prethodni. Odaberite bilo koji broj progresije, na primjer -7. Njegov prethodni broj je -2. Zatim:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Razlika aritmetičke progresije može biti bilo koji broj: cijeli broj, razlomak, iracionalan, bilo koji broj.
Ostali pojmovi i oznake.
Svaki broj u nizu se zove član aritmetičke progresije.
Svaki član progresije ima svoj broj. Brojke su strogo redom, bez trikova. Prvi, drugi, treći, četvrti itd. Na primjer, u progresiji 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvi član, pet je drugi, jedanaest je četvrti, dobro, razumijete...) Molimo vas da jasno razumijete - sami brojevi može biti apsolutno bilo što, cijelo, razlomak, negativno, što god, ali numeriranje brojeva- strogo u redu!
Kako napisati progresiju u općem obliku? Nema problema! Svaki broj u nizu napisan je kao slovo. Za označavanje aritmetičke progresije obično se koristi slovo a. Broj člana označen je indeksom dolje desno. Pojmove pišemo odvojene zarezom (ili točkom i zarezom), ovako:
1, 2, 3, 4, 5, .....
a 1- ovo je prvi broj, a 3- treći itd. Ništa otmjeno. Ovaj niz se može ukratko napisati ovako: (a n).
Progresije se događaju konačno i beskonačno.
Ultimativno progresija ima ograničen broj članova. Pet, trideset osam, svejedno. Ali to je konačan broj.
Beskonačno progresija - ima beskonačan broj članova, kao što možete pretpostaviti.)
Konačnu progresiju kroz niz možete napisati ovako, sa svim terminima i točkom na kraju:
1, 2, 3, 4, 5.
Ili ovako, ako ima puno članova:
a 1, a 2, ... a 14, a 15.
U kratkom unosu morat ćete dodatno navesti broj članova. Na primjer (za dvadeset članova), ovako:
(a n), n = 20
Beskonačna progresija može se prepoznati po elipsi na kraju retka, kao u primjerima u ovoj lekciji.
Sada možete rješavati zadatke. Zadaci su jednostavni, čisto radi razumijevanja značenja aritmetičke progresije.
Primjeri zadataka o aritmetičkoj progresiji.
Pogledajmo detaljno gore navedeni zadatak:
1. Ispišite prvih šest članova aritmetičke progresije (a n), ako je a 2 = 5, d = -2,5.
Zadatak prevodimo na razumljiv jezik. Dana je beskonačna aritmetička progresija. Drugi broj ove progresije je poznat: a 2 = 5. Razlika u progresiji je poznata: d = -2,5. Moramo pronaći prvi, treći, četvrti, peti i šesti član ove progresije.
Radi jasnoće, zapisat ću niz prema uvjetima problema. Prvih šest članova, gdje je drugi član pet:
1, 5, 3, 4, 5, 6,....
a 3 = a 2 + d
Zamjena u izraz a 2 = 5 I d = -2,5. Ne zaboravite na minus!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Treći mandat se pokazao manjim od drugog. Sve je logično. Ako je broj veći od prethodnog negativan vrijednost, što znači da će sam broj biti manji od prethodnog. Progresija se smanjuje. U redu, uzmimo to u obzir.) Računamo četvrti član naše serije:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Dakle, izračunati su termini od trećeg do šestog. Rezultat je sljedeća serija:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Ostaje pronaći prvi član a 1 prema poznatoj drugoj. Ovo je korak u drugom smjeru, ulijevo.) Dakle, razlika aritmetičke progresije d ne treba dodavati a 2, A oduzeti:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
To je to. Odgovor na zadatak:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Usput bih želio napomenuti da smo ovaj zadatak riješili ponavljajući put. Ova strašna riječ znači samo potragu za članom progresije prema prethodnom (susjednom) broju. U nastavku ćemo pogledati druge načine rada s progresijom.
Iz ovog jednostavnog zadatka može se izvući jedan važan zaključak.
Zapamtiti:
Ako znamo barem jedan član i razliku aritmetičke progresije, možemo pronaći bilo koji član ove progresije.
Sjećaš li se? Ovaj jednostavan zaključak omogućuje vam rješavanje većine problema školskog tečaja na ovu temu. Svi se zadaci vrte oko tri glavna parametra: član aritmetičke progresije, razlika progresije, broj člana progresije. Svi.
Naravno, sva prethodna algebra nije otkazana.) Nejednakosti, jednadžbe i druge stvari pridružene su progresiji. Ali prema samoj progresiji- sve se vrti oko tri parametra.
Kao primjer, pogledajmo neke popularne zadatke na ovu temu.
2. Zapišite konačnu aritmetičku progresiju kao niz ako je n=5, d = 0,4 i a 1 = 3,6.
Ovdje je sve jednostavno. Sve je već dano. Treba zapamtiti kako se broje članovi aritmetičke progresije, prebrojati ih i zapisati. Preporučljivo je ne propustiti riječi u uvjetima zadatka: "konačno" i " n=5". Da ne brojiš dok ne pomodriš skroz.) U ovoj progresiji ima samo 5 (pet) članova:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Ostaje da zapišemo odgovor:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Još jedan zadatak:
3. Odrediti hoće li broj 7 biti član aritmetičke progresije (a n), ako a 1 = 4,1; d = 1,2.
Hmm... Tko zna? Kako nešto odrediti?
Kako-kako... Zapišite progresiju u obliku niza i vidite hoće li tu biti sedmica ili ne! Mi računamo:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Sada se jasno vidi da nas je tek sedam provukao se između 6,5 i 7,7! Sedam nije ušao u naš niz brojeva, pa stoga sedam neće biti član dane progresije.
Odgovor: ne.
A ovdje je problem temeljen na stvarnoj verziji GIA:
4. Ispisano je nekoliko uzastopnih članova aritmetičke progresije:
...; 15; X; 9; 6; ...
Evo niza napisanog bez kraja i početka. Nema brojeva članova, nema razlike d. U redu je. Za rješavanje problema dovoljno je razumjeti značenje aritmetičke progresije. Pogledajmo i vidimo što je moguće znati iz ove serije? Koja su tri glavna parametra?
Članski brojevi? Ovdje nema niti jednog broja.
Ali tri su broja i – pozor! - riječ "dosljedan" u stanju. To znači da su brojevi strogo u redu, bez praznina. Ima li dvoje u ovom redu? susjedni poznati brojevi? Da imam! To su 9 i 6. Dakle, možemo izračunati razliku aritmetičke progresije! Oduzmi od šest prethodni broj, tj. devet:
Ostaju samo sitnice. Koji će broj biti prethodni za X? Petnaest. To znači da se X može lako pronaći jednostavnim zbrajanjem. Dodajte razliku aritmetičke progresije na 15:
To je sve. Odgovor: x=12
Sljedeće probleme rješavamo sami. Napomena: ovi se problemi ne temelje na formulama. Čisto da bismo razumjeli značenje aritmetičke progresije.) Samo zapišemo niz brojeva i slova, pogledamo i shvatimo.
5. Nađite prvi pozitivni član aritmetičke progresije ako je a 5 = -3; d = 1,1.
6. Poznato je da je broj 5,5 član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 = 1,6; d = 1,3. Odredite broj n ovog člana.
7. Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji a 2 = 4; a 5 = 15,1. Pronađite 3.
8. Ispisano je nekoliko uzastopnih članova aritmetičke progresije:
...; 15.6; X; 3.4; ...
Pronađite član progresije označen slovom x.
9. Vlak je krenuo sa stanice, ravnomjerno povećavajući brzinu za 30 metara u minuti. Kolika će biti brzina vlaka za pet minuta? Odgovorite u km/sat.
10. Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji a 2 = 5; a 6 = -5. Pronađite 1.
Odgovori (u neredu): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Je li sve uspjelo? nevjerojatno! U sljedećim lekcijama možete svladati aritmetičku progresiju na višoj razini.
Nije li sve uspjelo? Nema problema. U posebnom odjeljku 555 svi su ti problemi razvrstani dio po dio.) I, naravno, opisana je jednostavna praktična tehnika koja odmah ističe rješenje takvih zadataka jasno, jasno, na prvi pogled!
Inače, u slagalici vlaka postoje dva problema o koja se ljudi često spotiču. Jedan je isključivo u smislu progresije, a drugi je opći za bilo kakve probleme iz matematike, a također i fizike. Ovo je prijevod dimenzija iz jedne u drugu. Pokazuje kako te probleme treba rješavati.
U ovoj smo lekciji pogledali elementarno značenje aritmetičke progresije i njene glavne parametre. Ovo je dovoljno za rješavanje gotovo svih problema na ovu temu. Dodati d na brojke, napiši niz, sve će se riješiti.
Rješenje s prstima dobro funkcionira za vrlo kratke dijelove niza, kao u primjerima u ovoj lekciji. Ako je niz duži, izračuni postaju kompliciraniji. Na primjer, ako u problemu 9 u pitanju zamijenimo "pet minuta" na "trideset pet minuta" problem će se znatno pogoršati.)
A postoje i zadaci koji su jednostavni u biti, ali apsurdni u smislu izračuna, na primjer:
Dana je aritmetička progresija (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.
Pa što, hoćemo li zbrajati 1/6 mnogo, mnogo puta?! Možeš se ubiti!?
Možete.) Ako ne znate jednostavnu formulu kojom možete riješiti takve zadatke u minuti. Ova formula će biti u sljedećoj lekciji. I ovaj problem je tamo riješen. U minuti.)
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)
Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.
Aritmetička i geometrijska progresija
Teorijske informacije
Teorijske informacije
Aritmetička progresija |
Geometrijska progresija |
|
Definicija |
Aritmetička progresija a n je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu dodanom istom broju d (d- razlika u progresiji) |
Geometrijska progresija b n je niz brojeva različitih od nule, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom istim brojem q (q- nazivnik progresije) |
Formula ponavljanja |
Za svaki prirodni n |
Za svaki prirodni n |
Formula n-ti član |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Karakteristično svojstvo |  |
|
| Zbroj prvih n članova |  |
 |
Primjeri zadataka s komentarima
Vježba 1
U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 1 = -6, a 2
Prema formuli n-tog člana:
a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d
Po stanju:
a 1= -6, dakle a 22= -6 + 21 d .
Potrebno je pronaći razliku progresije:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
odgovor: a 22 = -48.
Zadatak 2
Nađi peti član geometrijske progresije: -3; 6;....
1. metoda (upotrebom formule n-člana)
Prema formuli za n-ti član geometrijske progresije:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Jer b 1 = -3,
2. metoda (koristeći rekurentnu formulu)
Budući da je nazivnik progresije -2 (q = -2), tada je:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
odgovor: b 5 = -48.
Zadatak 3
U aritmetičkoj progresiji ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Pronađite sedamdeset peti član ove progresije.
Za aritmetičku progresiju karakteristično svojstvo ima oblik 
.
Stoga:
.
Zamijenimo podatke u formulu:
Odgovor: 95.
Zadatak 4
U aritmetičkoj progresiji ( a n ) a n= 3n - 4. Nađite zbroj prvih sedamnaest članova.
Za pronalaženje zbroja prvih n članova aritmetičke progresije koriste se dvije formule:
.
Koji je od njih prikladniji za korištenje u ovom slučaju?
Po uvjetu je poznata formula za n-ti član izvorne progresije ( a n) a n= 3n - 4. Možete pronaći odmah i a 1, I a 16 bez pronalaska d. Stoga ćemo koristiti prvu formulu.
Odgovor: 368.
Zadatak 5
U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Pronađite dvadeset i drugi član progresije.
Prema formuli n-tog člana:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.
Pod uvjetom, ako a 1= -6, dakle a 22= -6 + 21d. Potrebno je pronaći razliku progresije:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
odgovor: a 22 = -48.
Zadatak 6
Zapisano je nekoliko uzastopnih članova geometrijske progresije:
Pronađite član progresije označen s x.
Pri rješavanju ćemo koristiti formulu za n-ti član b n = b 1 ∙ q n - 1 za geometrijske progresije. Prvi član progresije. Da biste pronašli nazivnik progresije q, trebate uzeti bilo koji od zadanih članova progresije i podijeliti ga s prethodnim. U našem primjeru, možemo uzeti i podijeliti sa. Dobijamo da je q = 3. Umjesto n, u formulu stavljamo 3, jer je potrebno pronaći treći član zadane geometrijske progresije.
Zamjenom pronađenih vrijednosti u formulu, dobivamo:
.
Odgovor: .
Zadatak 7
Od aritmetičkih progresija danih formulom n-tog člana odaberite onu za koju je zadovoljen uvjet a 27 > 9:
Budući da zadani uvjet mora biti zadovoljen za 27. član progresije, zamijenit ćemo 27 umjesto n u svakoj od četiri progresije. U 4. progresiji dobivamo:
.
Odgovor: 4.
Zadatak 8
U aritmetičkoj progresiji a 1= 3, d = -1,5. Navedite najveću vrijednost n za koju nejednakost vrijedi a n > -6.
Matematika ima svoju ljepotu, baš kao i slikarstvo i poezija.
Ruski znanstvenik, mehaničar N.E. Žukovski
Vrlo česti problemi na prijemnom ispitu iz matematike su problemi vezani uz pojam aritmetičke progresije. Da biste uspješno riješili takve probleme, morate dobro poznavati svojstva aritmetičke progresije i imati određene vještine u njihovoj primjeni.
Prisjetimo se najprije osnovnih svojstava aritmetičke progresije i predstavimo najvažnije formule, povezan s ovim pojmom.
Definicija. Niz brojeva, u kojem se svaki sljedeći pojam razlikuje od prethodnog istim brojem, naziva aritmetička progresija. U ovom slučaju brojnaziva razlika progresije.
Za aritmetičku progresiju vrijede sljedeće formule:
, (1)
Gdje . Formula (1) naziva se formulom općeg člana aritmetičke progresije, a formula (2) predstavlja glavno svojstvo aritmetičke progresije: svaki član progresije podudara se s aritmetičkom sredinom svojih susjednih članova i .
Imajte na umu da se upravo zbog ovog svojstva progresija koja se razmatra naziva "aritmetika".
Gornje formule (1) i (2) generaliziraju se kako slijedi:
(3)
Za izračun iznosa prvi uvjeti aritmetičke progresijeobično se koristi formula
(5) gdje je i .
Ako uzmemo u obzir formulu (1), onda iz formule (5) slijedi
Ako označimo , tada
Gdje . Kako je , formule (7) i (8) su generalizacija odgovarajućih formula (5) i (6).
posebno, iz formule (5) slijedi, Što
Većini učenika malo je poznato svojstvo aritmetičke progresije, formulirano kroz sljedeći teorem.
Teorema. Ako tada
Dokaz. Ako tada
Teorem je dokazan.
Na primjer , pomoću teorema, može se pokazati da
Prijeđimo na razmatranje tipičnih primjera rješavanja problema na temu "Aritmetička progresija".
Primjer 1. Neka bude. Pronaći .
Riješenje. Primjenom formule (6) dobivamo . Od i , tada ili .
Primjer 2. Neka bude tri puta veći, a kada se podijeli s kvocijentom, rezultat je 2, a ostatak je 8. Odredite i .
Riješenje. Iz uvjeta primjera slijedi sustav jednadžbi
Kako je , , i , tada iz sustava jednadžbi (10) dobivamo
Rješenje ovog sustava jednadžbi je i .
Primjer 3. Pronađite ako i .
Riješenje. Prema formuli (5) imamo ili . Međutim, koristeći svojstvo (9), dobivamo .
Od i , Zatim iz jednakosti slijedi jednadžba ili .
Primjer 4. Pronađite ako.
Riješenje.Prema formuli (5) imamo
Međutim, korištenjem teorema možemo pisati
Odavde i iz formule (11) dobivamo .
Primjer 5. Dano: . Pronaći .
Riješenje. Od tad. Međutim, dakle.
Primjer 6. Neka , i . Pronaći .
Riješenje. Koristeći formulu (9), dobivamo . Stoga, ako je , tada ili .
Od i onda ovdje imamo sustav jednadžbi
Rješavajući koji, dobivamo i .
Prirodni korijen jednadžbe je .
Primjer 7. Pronađite ako i .
Riješenje. Kako prema formuli (3) imamo da , onda sustav jednadžbi slijedi iz uvjeta problema
Ako zamijenimo izrazu drugu jednadžbu sustava, tada dobivamo ili .
Korijeni kvadratne jednadžbe su i .
Razmotrimo dva slučaja.
1. Neka , zatim . Od i , onda .
U ovom slučaju, prema formuli (6), imamo
2. Ako je , tada , i
Odgovor: i.
Primjer 8. Poznato je da i. Pronaći .
Riješenje. Uzimajući u obzir formulu (5) i uvjet primjera, pišemo i .
To podrazumijeva sustav jednadžbi
Ako pomnožimo prvu jednadžbu sustava s 2 i zatim je dodamo drugoj jednadžbi, dobit ćemo
Prema formuli (9) imamo. U tom smislu proizlazi iz (12. ili .
Od i , onda .
Odgovor: .
Primjer 9. Pronađite ako i .
Riješenje. Od , i pod uvjetom , onda ili .
Iz formule (5) poznato je, Što . Od tad.
Stoga , ovdje imamo sustav linearnih jednadžbi
Odavde dobivamo i . Uzimajući u obzir formulu (8), pišemo .
Primjer 10. Riješite jednadžbu.
Riješenje. Iz dane jednadžbe slijedi da je . Pretpostavimo da je , , i . U ovom slučaju .
Prema formuli (1) možemo napisati ili .
Budući da , tada jednadžba (13) ima jedini odgovarajući korijen .
Primjer 11. Pronađite najveću vrijednost pod uvjetom da i .
Riješenje. Budući da je , tada je razmatrana aritmetička progresija opadajuća. S tim u vezi, izraz poprima najveću vrijednost kada je broj minimalnog pozitivnog člana progresije.
Poslužimo se formulom (1) i činjenicom, to i . Tada dobivamo to ili .
Od , dakle ili . Međutim, u ovoj nejednakostinajveći prirodni broj, Zato .
Ako se vrijednosti , i zamijene u formulu (6), dobivamo .
Odgovor: .
Primjer 12. Odredi zbroj svih dvoznamenkastih prirodnih brojeva kojima pri dijeljenju s brojem 6 ostaje ostatak 5.
Riješenje. Označimo sa skup svih dvoznamenkastih prirodnih brojeva, tj. . Zatim ćemo konstruirati podskup koji se sastoji od onih elemenata (brojeva) skupa koji, kada se dijele s brojem 6, daju ostatak 5.
Jednostavan za postavljanje, Što . očito, da elementi skupaoblikuju aritmetičku progresiju, u kojem i .
Da bismo utvrdili kardinalnost (broj elemenata) skupa, pretpostavljamo da je . Budući da je i , to slijedi iz formule (1) ili . Uzimajući u obzir formulu (5), dobivamo .
Gornji primjeri rješavanja problema nikako se ne mogu smatrati iscrpnima. Ovaj je članak napisan na temelju analize suvremenih metoda rješavanja tipičnih problema na zadanu temu. Za dublje proučavanje metoda rješavanja problema povezanih s aritmetičkom progresijom, preporučljivo je pogledati popis preporučene literature.
1. Zbirka zadataka iz matematike za pristupnike fakultetima / Ed. MI. Scanavi. – M.: Mir i obrazovanje, 2013. – 608 str.
2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: dodatni dijelovi školskog programa. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 str.
3. Medynsky M.M. Kompletan tečaj elementarne matematike u zadacima i vježbama. Knjiga 2: Brojevni nizovi i progresije. – M.: Editus, 2015. – 208 str.
Još uvijek imate pitanja?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.
