Definicija 1
Antiderivacija $F(x)$ za funkciju $y=f(x)$ na segmentu $$ je funkcija koja je diferencijabilna u svakoj točki ovog segmenta i za njenu derivaciju vrijedi sljedeća jednakost:
Definicija 2
Skup svih antiderivacija dane funkcije $y=f(x)$, definiran na određenom segmentu, naziva se neodređenim integralom dane funkcije $y=f(x)$. Neodređeni integral je označen simbolom $\int f(x)dx $.
Iz tablice derivacija i definicije 2 dobivamo tablicu osnovnih integrala.
Primjer 1
Provjerite valjanost formule 7 iz tablice integrala:
\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]
Razlikujmo desnu stranu: $-\ln |\cos x|+C$.
\[\lijevo(-\ln |\cos x|+C\desno)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]
Primjer 2
Provjerite valjanost formule 8 iz tablice integrala:
\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]
Razlikujmo desnu stranu: $\ln |\sin x|+C$.
\[\lijevo(\ln |\sin x|\desno)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]
Ispostavilo se da je derivacija jednaka integrandu. Stoga je formula točna.
Primjer 3
Provjerite valjanost formule 11" iz tablice integrala:
\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]
Razlikujmo desnu stranu: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.
\[\lijevo(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\desno)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\lijevo( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]
Ispostavilo se da je derivacija jednaka integrandu. Stoga je formula točna.
Primjer 4
Provjerite valjanost formule 12 iz tablice integrala:
\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \lijevo|\frac(a+x)(a-x) \desno|+ C,\, \, C=konst.\]
Razlikujmo desnu stranu: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.
$\lijevo(\frac(1)(2a) \ln \lijevo|\frac(a+x)(a-x) \desno|+C\desno)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \lijevo(\frac(a+x)(a-x) \desno)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Izvodnica se pokazala jednakom integrandu. Stoga je formula točna.
Primjer 5
Provjerite valjanost formule 13" iz tablice integrala:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]
Razlikujmo desnu stranu: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.
\[\lijevo(\arcsin \frac(x)(a) +C\desno)"=\frac(1)(\sqrt(1-\lijevo(\frac(x)(a) \desno)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]
Ispostavilo se da je derivacija jednaka integrandu. Stoga je formula točna.
Primjer 6
Provjerite valjanost formule 14 iz tablice integrala:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C ,\, \, C=konst.\]
Razlikujmo desnu stranu: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.
\[\lijevo(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\desno)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \lijevo(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \desno)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) \cdot \lijevo(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\desno)=\] \[ =\ frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt( x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]
Ispostavilo se da je derivacija jednaka integrandu. Stoga je formula točna.
Primjer 7
Pronađite integral:
\[\int \lijevo(\cos (3x+2)+5x\desno) dx.\]
Upotrijebimo teorem o integralu zbroja:
\[\int \lijevo(\cos (3x+2)+5x\desno) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]
Iskoristimo teorem o postavljanju konstantnog faktora izvan predznaka integrala:
\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]
Prema tablici integrala:
\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]
Pri računanju prvog integrala koristimo pravilo 3:
\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]
Stoga,
\[\int \lijevo(\cos (3x+2)+5x\desno) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]
Glavni integrali koje bi svaki student trebao znati
Navedeni integrali su baza, osnova temelja. Ove formule svakako treba zapamtiti. Kada računate složenije integrale, morat ćete ih stalno koristiti.
Obratite posebnu pozornost na formule (5), (7), (9), (12), (13), (17) i (19). Ne zaboravite dodati proizvoljnu konstantu C svom odgovoru prilikom integriranja!
Integral konstante
∫ A d x = A x + C (1)Integracija funkcije snage
Naime, bilo je moguće ograničiti se samo na formule (5) i (7), ali ostali integrali iz ove skupine pojavljuju se toliko često da vrijedi malo obratiti pozornost na njih.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
Integrali eksponencijalnih funkcija i hiperboličkih funkcija
Naravno, formula (8) (možda najprikladnija za pamćenje) može se smatrati poseban slučaj formule (9). Formule (10) i (11) za integrale hiperboličkog sinusa i hiperboličkog kosinusa lako se izvode iz formule (8), no bolje je jednostavno zapamtiti te relacije.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Osnovni integrali trigonometrijskih funkcija
Pogreška koju učenici često čine je da brkaju predznake u formulama (12) i (13). Imajući na umu da je derivacija sinusa jednaka kosinusu, iz nekog razloga mnogi ljudi vjeruju da je integral funkcije sinx jednak cosx. Ovo nije istina! Integral od sinusa jednak je "minus kosinus", ali integral od cosx jednak je "samo sinus":
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)
Integrali koji se svode na inverzne trigonometrijske funkcije
Formula (16), koja vodi do arktangensa, prirodno je poseban slučaj formule (17) za a=1. Slično, (18) je poseban slučaj (19).
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
Složeniji integrali
Također je poželjno zapamtiti ove formule. Također se koriste prilično često, a njihov je rezultat prilično zamoran.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)
Opća pravila integracije
1) Integral zbroja dviju funkcija jednak zbroju odgovarajući integrali: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Integral razlike dviju funkcija jednak je razlici odgovarajućih integrala: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Konstanta se može uzeti iz predznaka integrala: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Lako je vidjeti da je svojstvo (26) jednostavno kombinacija svojstava (25) i (27).
4) Integral od složena funkcija, Ako unutarnja funkcija je linearan: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Ovdje je F(x) antiderivacija za funkciju f(x). Imajte na umu: ova formula radi samo kada je unutarnja funkcija Ax + B.
Važno: ne postoji univerzalna formula za integral umnoška dviju funkcija, kao ni za integral razlomka:
∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (trideset)
To, naravno, ne znači da se frakcija ili produkt ne mogu integrirati. Samo što svaki put kad vidite integral kao što je (30), morat ćete izmisliti način da se "borite" protiv njega. U nekim slučajevima će vam pomoći integracija po dijelovima, u drugima ćete morati napraviti promjenu varijable, a ponekad mogu pomoći čak i "školske" formule iz algebre ili trigonometrije.
Jednostavan primjer izračunavanja neodređenog integrala
Primjer 1. Odredite integral: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xPoslužimo se formulama (25) i (26) (integral zbroja ili razlike funkcija jednak je zbroju ili razlici odgovarajućih integrala. Dobivamo: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
Podsjetimo se da se konstanta može izbaciti iz predznaka integrala (formula (27)). Izraz se pretvara u oblik
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
Sada se samo poslužimo tablicom osnovnih integrala. Morat ćemo primijeniti formule (3), (12), (8) i (1). Integrirajmo se funkcija snage, sinus, eksponencijal i konstanta 1. Ne zaboravimo dodati proizvoljnu konstantu C na kraju:
3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Nakon elementarne transformacije dobivamo konačan odgovor:
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Testirajte se diferenciranjem: uzmite derivaciju dobivene funkcije i uvjerite se da je jednaka izvornom integrandu.
Zbirna tablica integrala
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | x | +C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) |
Tablicu integrala (II. dio) preuzmite s ove poveznice
Ako studirate na fakultetu, ako imate poteškoća s višom matematikom (matematička analiza, linearna algebra, teorija vjerojatnosti, statistika), ako trebate usluge kvalificiranog nastavnika, idite na stranicu nastavnika više matematike. Zajedno ćemo riješiti vaše probleme!
Moglo bi vas također zanimati
Rješavanje integrala je lak zadatak, ali samo za odabrane. Ovaj članak je za one koji žele naučiti razumjeti integrale, ali ne znaju ništa ili gotovo ništa o njima. Integral... Zašto je potreban? Kako to izračunati? Ono što je sigurno i neodređeni integral s?
Ako je jedina upotreba integrala za koju znaš da kukicom u obliku ikone integrala izvlačiš nešto korisno s teško dostupnih mjesta, onda dobrodošli! Doznaj kako rješavati najjednostavnije i ostale integrale i zašto se bez toga u matematici ne može.
Proučavamo koncept « sastavni »
Integracija je bila poznata još u Drevni Egipt. Naravno, ne u modernom obliku, ali ipak. Od tada su matematičari napisali mnogo knjiga o ovoj temi. Posebno su se istakli Newton I Leibniz , ali se bit stvari nije promijenila.
Kako razumjeti integrale od nule? Nema šanse! Da biste razumjeli ovu temu i dalje ćete trebati osnovno razumijevanje osnova. matematička analiza. Informacije o , potrebne za razumijevanje integrala, već imamo na našem blogu.
Neodređeni integral
Neka nam bude neka funkcija f(x) .
Funkcija neodređenog integrala f(x) ova funkcija se zove F(x) , čija je derivacija jednaka funkciji f(x) .
Drugim riječima, integral je obrnuta derivacija ili antiderivacija. Usput, pročitajte kako u našem članku.
Antiderivat postoji za sve kontinuirane funkcije. Također, antiderivatu se često dodaje predznak konstante, jer se derivacije funkcija koje se razlikuju po konstanti podudaraju. Proces pronalaženja integrala naziva se integracija.
Jednostavan primjer:
Da ne bi stalno kalkulirali antiderivati elementarne funkcije, prikladno ih je sažeti u tablicu i koristiti gotove vrijednosti.
Kompletna tablica integrala za studente
Određeni integral
Kada govorimo o pojmu integrala, imamo posla s infinitezimalnim veličinama. Integral će vam pomoći izračunati površinu figure, masu nehomogenog tijela, prijeđenu udaljenost neravnomjerno kretanje put i još mnogo toga. Treba imati na umu da je integral beskonačna suma velika količina infinitezimalni pojmovi.
Kao primjer, zamislite graf neke funkcije.
Kako pronaći područje figure ograničene grafom funkcije? Korištenje integrala! Podijelimo krivuljasti trapez, ograničen koordinatnim osima i grafom funkcije, na infinitezimalne segmente. Na taj način će lik biti podijeljen u tanke stupce. Zbroj površina stupaca bit će površina trapeza. Ali zapamtite da će takav izračun dati približan rezultat. Međutim, što su segmenti manji i uži, izračun će biti točniji. Ako ih smanjimo do te mjere da duljina teži nuli, tada će zbroj površina segmenata težiti površini figure. Ovo je određeni integral koji se piše ovako:
Točke a i b nazivamo limesima integracije.
« Sastavni »
Usput! Za naše čitatelje sada postoji popust od 10% na
Pravila za izračunavanje integrala za lutke
Svojstva neodređenog integrala
Kako riješiti neodređeni integral? Ovdje ćemo se osvrnuti na svojstva neodređenog integrala, što će nam biti od koristi pri rješavanju primjera.
- Derivacija integrala jednaka je integrandu:
- Konstanta se može izvući ispod znaka integrala:
- Integral zbroja jednak je zbroju integrala. Ovo vrijedi i za razliku:
Svojstva određenog integrala
- Linearnost:
- Predznak integrala se mijenja ako se granice integracije zamijene:
- Na bilo koji bodova a, b I S:
Već smo saznali da je određeni integral limit zbroja. Ali kako dobiti određenu vrijednost prilikom rješavanja primjera? Za to postoji Newton-Leibnizova formula:
Primjeri rješavanja integrala
U nastavku ćemo razmotriti neodređeni integral i primjere s rješenjima. Predlažemo da sami shvatite zamršenost rješenja, a ako vam nešto nije jasno, postavite pitanja u komentarima.
Za učvršćivanje gradiva pogledajte video o tome kako se integrali rješavaju u praksi. Nemojte očajavati ako integral ne dobijete odmah. Obratite se stručnoj službi za studente i svaki trostruki ili zakrivljeni integral po zatvorenoj plohi bit će u vašoj moći.
