Naziv znanosti "geometrija" prevodi se kao "mjerenje Zemlje". Nastao je naporima prvih drevnih upravitelja zemlje. I dogodilo se ovako: tijekom poplava svetog Nila, potoci vode ponekad su ispirali granice poljoprivrednih parcela, a nove granice možda se nisu podudarale sa starim. Seljaci su plaćali poreze u riznicu faraona proporcionalno veličini zemljišne parcele. U mjerenje površina obradivih površina u novim granicama nakon izlijevanja bile su uključene posebne osobe. Kao rezultat njihovih aktivnosti nastala je nova znanost koja se razvila u Drevna grčka. Tamo je dobio svoje ime i stekao gotovo moderan izgled. Kasnije je taj izraz postao međunarodni naziv za znanost o ravnim i volumetrijske figure Oh.
Planimetrija je grana geometrije koja se bavi proučavanjem ravnih figura. Druga grana znanosti je stereometrija, koja ispituje svojstva prostornih (volumetrijskih) figura. Takve brojke uključuju onu opisanu u ovom članku - cilindar.
Primjeri prisutnosti cilindričnih predmeta u Svakidašnjica obilje. Gotovo svi rotirajući dijelovi - osovine, čahure, rukavci, osovine itd. - imaju cilindrični (mnogo rjeđe - stožasti) oblik. Cilindar se također široko koristi u građevinarstvu: tornjevi, potporni stupovi, ukrasni stupovi. I također posuđe, neke vrste ambalaže, cijevi različitih promjera. I na kraju - poznati šeširi, koji su odavno postali simbol muške elegancije. Popis se nastavlja i nastavlja.
Definicija valjka kao geometrijskog lika
Cilindar (kružni cilindar) obično se naziva figura koja se sastoji od dva kruga, koji se po želji kombiniraju paralelnim prijevodom. Ovi krugovi su baze cilindra. Ali linije (ravni segmenti) koje povezuju odgovarajuće točke nazivaju se "generatori".
Važno je da su baze cilindra uvijek jednake (ako ovaj uvjet nije ispunjen, tada imamo - frustum, bilo što drugo, ali ne cilindar) i nalaze se u paralelnim ravninama. Segmenti koji spajaju odgovarajuće točke na kružnicama su paralelni i jednaki.
Skup beskonačnog broja konstituenata nije ništa više od bočna površina cilindar - jedan od elemenata ove geometrijske figure. Njegova druga važna komponenta su gore razmotreni krugovi. Nazivaju se bazama.
Vrste cilindara
Najjednostavniji i najčešći tip cilindra je kružni. Formiraju ga dva pravilna kruga koji djeluju kao baze. Ali umjesto njih mogu postojati druge figure.
Osnovice cilindara mogu činiti (osim krugova) elipse i druge zatvorene likove. Ali cilindar ne mora nužno imati zatvoren oblik. Na primjer, baza cilindra može biti parabola, hiperbola ili neka druga otvorena funkcija. Takav cilindar će biti otvoren ili raspoređen.
Prema kutu nagiba cilindri koji čine baze mogu biti ravni ili nagnuti. Za ravni cilindar, generatrise su strogo okomite na ravninu baze. Ako je ovaj kut različit od 90°, cilindar je nagnut.
Što je površina revolucije
Ravni kružni cilindar je bez sumnje najčešća rotacijska površina koja se koristi u inženjerstvu. Ponekad se iz tehničkih razloga koriste stožaste, sferne i neke druge vrste površina, ali 99% svih rotirajućih osovina, osi itd. izrađeni su u obliku cilindara. Kako bismo bolje razumjeli što je površina rotacije, možemo razmotriti kako je formiran sam cilindar.
Recimo da postoji određena ravna linija a, smješten okomito. ABCD je pravokutnik čija jedna stranica (odsječak AB) leži na pravcu a. Ako pravokutnik zakrenemo oko pravca, kao što je prikazano na slici, volumen koji će zauzimati dok se okreće bit će naše okretno tijelo - pravi kružni cilindar visine H = AB = DC i polumjera R = AD = BC.
U ovom slučaju, kao rezultat rotacije figure - pravokutnika - dobiva se cilindar. Rotacijom trokuta možete dobiti stožac, rotacijom polukruga - loptu itd.
Površina cilindra
Da bi se izračunala površina običnog pravog kružnog valjka, potrebno je izračunati površine baza i bočnih ploha.
Prvo, pogledajmo kako se izračunava bočna površina. Ovo je umnožak opsega cilindra i visine cilindra. Opseg je pak jednak dvostrukom umnošku univerzalnog broja P polumjerom kruga.
Poznato je da je površina kruga jednaka proizvodu P po kvadratnom radijusu. Dakle, dodavši formule za područje određivanja bočne površine s dvostrukim izrazom za područje baze (postoje ih dvije) i izvršiti jednostavnu algebarske transformacije, dobivamo konačni izraz za određivanje površine cilindra.
Određivanje volumena figure
Volumen cilindra određuje se prema standardnoj shemi: površina baze pomnožena je s visinom.
Dakle, konačna formula izgleda ovako: željena vrijednost je definirana kao umnožak visine tijela s univerzalnim brojem P a kvadratom polumjera baze.
Mora se reći da je dobivena formula primjenjiva na rješavanje najneočekivanijih problema. Na isti način kao i volumen cilindra, na primjer, određuje se volumen električne instalacije. Ovo može biti potrebno za izračunavanje mase žica.
Jedina razlika u formuli je da umjesto radijusa jednog cilindra postoji promjer žice žice podijeljen na pola i broj niti u žici pojavljuje se u izrazu N. Također, umjesto visine, koristi se dužina žice. Na taj način se volumen "cilindra" izračunava ne samo po jednoj, već i po broju žica u pletenici.
Takvi izračuni često su potrebni u praksi. Uostalom, značajan dio spremnika za vodu izrađen je u obliku cijevi. I često je potrebno izračunati volumen cilindra čak iu kućanstvu.
Međutim, kao što je već spomenuto, oblik cilindra može biti drugačiji. A u nekim slučajevima potrebno je izračunati koliki je volumen nagnutog cilindra.
Razlika je u tome što se površina baze ne množi s duljinom generatrixa, kao u slučaju ravnog cilindra, već s udaljenosti između ravnina - okomitog segmenta izgrađenog između njih.
Kao što je vidljivo sa slike, takav segment jednak umnošku duljina generatrise sinusom kuta nagiba generatrise prema ravnini.
Kako izgraditi razvijanje cilindra
U nekim slučajevima potrebno je izrezati snop cilindra. Na donjoj slici prikazana su pravila prema kojima se konstruira praznina za izradu cilindra zadane visine i promjera.
Imajte na umu da je crtež prikazan bez šavova.
Razlike između skošenog cilindra
Zamislimo određeni ravni cilindar, s jedne strane omeđen ravninom okomitom na generatore. Ali ravnina koja omeđuje cilindar s druge strane nije okomita na generatore i nije paralelna s prvom ravninom.
Na slici je prikazan ukošeni cilindar. Avion A pod određenim kutom, različitim od 90° prema generatorima, siječe lik.
Takav geometrijski oblikčešće se u praksi susreću u obliku cjevovodnih spojeva (koljena). Ali postoje čak i zgrade izgrađene u obliku ukošenog cilindra.
Geometrijske karakteristike kosog cilindra
Nagib jedne od ravnina ukošenog cilindra malo mijenja postupak izračuna i površine takve figure i njenog volumena.
Tijelo rotacije Tijelo nastalo kao rezultat rotacije pravca oko pravca nazivamo.
CILINDAR
Valjak (kružni cilindar) je tijelo koje se sastoji od dvije kružnice koje ne leže u istoj ravnini i spojene su paralelnom translacijom, te svih segmenata koji spajaju odgovarajuće točke tih kružnica. Kružnice se nazivaju osnovicama valjka, a odsječci koji spajaju odgovarajuće točke opsega kružnica nazivaju se tvornice valjka.
Budući da je paralelna translacija gibanje, osnovice valjka su jednake. Budući da pri paralelnom prijenosu ravnina prelazi u paralelnu ravninu, osnovice valjka leže u paralelnim ravninama. Kako se pri paralelnoj translaciji točke pomaknu duž paralelnih pravaca za istu udaljenost, tada su generatori valjka paralelni i jednaki. Površina cilindra sastoji se od osnovne i bočne površine.
Polumjer valjka je polumjer njegove baze. Visina valjka je udaljenost između ravnina njegovih baza. Os valjka je ravna crta koja prolazi kroz središta baza.
Cilindar se naziva ravnim ako su njegovi generatori okomiti na ravnine baza. Razmotrit ćemo samo desni kružni cilindar, nazivajući ga jednostavno cilindrom radi kratkoće.
Cilindar se može dobiti rotiranjem pravokutnika oko jedne njegove stranice. Na slici je prikazan valjak dobiven rotacijom pravokutnika ABCD oko stranice AB. U ovom slučaju, bočna površina cilindra nastaje rotacijom stranice CD, a baza - rotacijom stranica BC i AD.
Sekcije cilindra
1) Ako rezna ravnina prolazi kroz os cilindra, tada je presjek pravokutnik (vidi sliku), čije su dvije stranice generatrise, a druge dvije su promjeri baza cilindra. Ovaj odjeljak naziva se aksijalni.
Počnimo online nova tema, a kad stignem napravit ćemo test i test na temu "Gibanje i vektori".
- Počinjemo se upoznavati s novom klasom geometrijskih tijela - tijelima revolucije. Prvi predstavnik ove klase s kojim se susrećemo je cilindar.
- Zašto se cilindar naziva tijelom rotacije?
C cilindar, dobiven rotacijom pravokutnika oko jedne od njegovih stranica.
- Cilindar se sastoji od dva kruga i mnogo segmenata.
- Cilindarje geometrijsko tijelo koje se sastoji od dvije jednake kružnice smještene u paralelnim ravninama i skupa segmenata koji povezuju odgovarajuće točke tih kružnica.
- Definicije elemenata cilindra:
Osnove cilindra– jednake kružnice smještene u paralelnim ravninama
Visina cilindra- Ovo razmak između ravnina njegovih baza.
Os cilindra- ovo je ravna linija koja prolazi kroz središta baze cilindra (os cilindra je os rotacije cilindra).
Aksijalni presjek cilindra– presjek valjka ravninom koja prolazi kroz os valjka (osni presjek valjka je ravnina simetrije valjka). svi aksijalni presjeci cilindar - jednaki pravokutnici
Generator cilindra- ovo je segment koji povezuje točku na krugu gornje baze s odgovarajućom točkom na krugu donje baze. Sve generatrise su paralelne s osi rotacije i imaju istu duljinu, jednaku visini cilindra.
Pri rotaciji oko osi nastaje generatrisa cilindrabočna (cilindrična) površina cilindra.
Radijus cilindraje polumjer njegove baze.
Ravni cilindar- Ovo je cilindar čije su generatrise okomite na bazu.
Jednaki cilindar– cilindar čija je visina jednaka promjeru (prikaži jednak cilindar: Upotrijebite gumb s ikonom ruke kako biste model vratili u interaktivni način rada i promijenili vrijednosti visine i polumjera predloženog modela tako da ).
- Izvođenje formule za bočnu površinu.
Razvijenost bočne površine cilindra je pravokutnik sa stranicamaH I C, Gdje Hje visina cilindra, iC– duljina opsega baze. Dobijmo formule za izračunavanje površina bočnihS b i puni S n površina: S b = H · C= 2π RH, S n = S b + 2 S= 2π R(R + H).
- R.S/ Ako nekoga zanima, pokušajte slijediti link i pogledati elektronički izvor o cilindru Prvo na stranici instalirajte OMS modul na svoje računalo i preuzmite modul. Na stolu koji se pojavi kliknite igraj. A zatim redom pregledajte sve stranice.
- HVALA SVIMA.
Konsolidacija
Zadatak br. 1. Izračunajte bočnu i ukupnu površinu valjka polumjera 3 cm i visine 5 cm (pi i odgovor zaokružite na cijele brojeve).
2. Visina cilindra jeh, radijus bazeR. Pronađite površinu poprečnog presjeka ravnine povučene paralelno s osi cilindra na udaljenostia od nje.
Domaća zadaća: 522, 524, 526.
Naziv znanosti "geometrija" prevodi se kao "mjerenje Zemlje". Nastao je naporima prvih drevnih upravitelja zemlje. I dogodilo se ovako: tijekom poplava svetog Nila, potoci vode ponekad su ispirali granice poljoprivrednih parcela, a nove granice možda se nisu podudarale sa starim. Seljaci su plaćali poreze u riznicu faraona proporcionalno veličini zemljišne parcele. U mjerenje površina obradivih površina u novim granicama nakon izlijevanja angažirane su posebne osobe. Kao rezultat njihovih aktivnosti nastala je nova znanost koja se razvila u staroj Grčkoj. Tamo je dobio svoje ime i stekao gotovo moderan izgled. Kasnije je pojam postao međunarodni naziv za znanost o ravnim i trodimenzionalnim figurama.
Planimetrija je grana geometrije koja se bavi proučavanjem ravnih figura. Druga grana znanosti je stereometrija, koja ispituje svojstva prostornih (volumetrijskih) figura. Takve brojke uključuju onu opisanu u ovom članku - cilindar.
Brojni su primjeri prisutnosti cilindričnih predmeta u svakodnevnom životu. Gotovo svi rotirajući dijelovi - osovine, čahure, rukavci, osovine itd. - imaju cilindrični (mnogo rjeđe - stožasti) oblik. Cilindar se također široko koristi u građevinarstvu: tornjevi, potporni stupovi, ukrasni stupovi. A osim posuđa, neki vrste ambalaže, cijevi raznih promjera. I na kraju - poznati šeširi, koji su odavno postali simbol muške elegancije. Popis se nastavlja i nastavlja.
Definicija valjka kao geometrijskog lika
Cilindar (kružni cilindar) obično se naziva figura koja se sastoji od dva kruga, koji se po želji kombiniraju paralelnim prijevodom. Ovi krugovi su baze cilindra. Ali linije (ravni segmenti) koje povezuju odgovarajuće točke nazivaju se "generatori".
Bitno je da su osnovice valjka uvijek jednake (ako taj uvjet nije ispunjen, onda imamo krnji stožac, nešto drugo, ali ne valjak) i da su u paralelnim ravninama. Segmenti koji spajaju odgovarajuće točke na kružnicama su paralelni i jednaki.
Skup beskonačnog broja generatrisa nije ništa više od bočne površine cilindra - jedan od elemenata ovog geometrijski lik. Njegova druga važna komponenta su gore razmotreni krugovi. Nazivaju se bazama.
Vrste cilindara
Najjednostavniji i najčešći tip cilindra je kružni. Formiraju ga dva pravilna kruga koji djeluju kao baze. Ali umjesto njih mogu postojati druge figure.
Osnovice cilindara mogu činiti (osim krugova) elipse i druge zatvorene likove. Ali cilindar ne mora nužno imati zatvoren oblik. Na primjer, baza cilindra može biti parabola, hiperbola ili neka druga otvorena funkcija. Takav cilindar će biti otvoren ili raspoređen.
Prema kutu nagiba cilindri koji čine baze mogu biti ravni ili nagnuti. Za ravni cilindar, generatrise su strogo okomite na ravninu baze. Ako je ovaj kut različit od 90°, cilindar je nagnut.
Što je površina revolucije
Ravni kružni cilindar je bez sumnje najčešća rotacijska površina koja se koristi u inženjerstvu. Ponekad se iz tehničkih razloga koriste stožaste, sferne i neke druge vrste površina, ali 99% svih rotirajućih osovina, osi itd. izrađeni su u obliku cilindara. Kako bismo bolje razumjeli što je površina rotacije, možemo razmotriti kako je formiran sam cilindar.
Recimo da postoji određena ravna linija a, smješten okomito. ABCD je pravokutnik čija jedna stranica (odsječak AB) leži na pravcu a. Ako pravokutnik zakrenemo oko pravca, kao što je prikazano na slici, volumen koji će zauzimati dok se okreće bit će naše okretno tijelo - pravi kružni cilindar visine H = AB = DC i polumjera R = AD = BC.
U ovom slučaju, kao rezultat rotacije figure - pravokutnika - dobiva se cilindar. Rotacijom trokuta možete dobiti stožac, rotacijom polukruga - loptu itd.
Površina cilindra
Da bi se izračunalo površina običnog ravnog kružnog cilindra, potrebno je izračunati površine baza i bočnih ploha.
Prvo, pogledajmo kako se izračunava bočna površina. Ovaj posao opseg do visine cilindra. Opseg je pak jednak dvostrukom umnošku univerzalnog broja P polumjerom kruga.
Poznato je da je površina kruga jednaka proizvodu P po kvadratnom radijusu. Dakle, zbrajanjem formula za površinu bočne plohe s dvostrukim izrazom za površinu baze (ima ih dvije) i izvođenjem jednostavnih algebarskih transformacija, dobivamo konačni izraz za određivanje površine cilindra.
Određivanje volumena figure
Volumen cilindra određuje se prema standardnoj shemi: površina baze pomnožena je s visinom.
Dakle, konačna formula izgleda ovako: željena vrijednost je definirana kao umnožak visine tijela s univerzalnim brojem P a kvadratom polumjera baze.
Mora se reći da je dobivena formula primjenjiva na rješavanje najneočekivanijih problema. Na isti način kao i volumen cilindra, na primjer, određuje se volumen električne instalacije. Ovo može biti potrebno za izračunavanje mase žica.
Jedina razlika u formuli je da umjesto radijusa jednog cilindra postoji promjer žice žice podijeljen na pola i broj niti u žici pojavljuje se u izrazu N. Također, umjesto visine, koristi se dužina žice. Na taj način se volumen "cilindra" izračunava ne samo po jednoj, već i po broju žica u pletenici.
Takvi izračuni često su potrebni u praksi. Uostalom, značajan dio spremnika za vodu izrađen je u obliku cijevi. I često je potrebno izračunati volumen cilindra čak iu kućanstvu.
Međutim, kao što je već spomenuto, oblik cilindra može biti drugačiji. A u nekim slučajevima potrebno je izračunati koliki je volumen nagnutog cilindra.
Razlika je u tome što se površina baze ne množi s duljinom generatrixa, kao u slučaju ravnog cilindra, već s udaljenosti između ravnina - okomitog segmenta izgrađenog između njih.
Kao što se može vidjeti sa slike, takav segment jednak je umnošku duljine generatrixa i sinusa kuta nagiba generatrixa prema ravnini.
Kako izgraditi razvijanje cilindra
U nekim slučajevima potrebno je izrezati snop cilindra. Na donjoj slici prikazana su pravila prema kojima se konstruira praznina za izradu cilindra zadane visine i promjera.
Imajte na umu da je crtež prikazan bez šavova.
Razlike između skošenog cilindra
Zamislimo određeni ravni cilindar, s jedne strane omeđen ravninom okomitom na generatore. Ali ravnina koja omeđuje cilindar s druge strane nije okomita na generatore i nije paralelna s prvom ravninom.
Na slici je prikazan ukošeni cilindar. Avion A pod određenim kutom, različitim od 90° prema generatorima, siječe lik.
Ovaj geometrijski oblik se u praksi češće nalazi u obliku cjevovodnih spojeva (koljena). Ali postoje čak i zgrade izgrađene u obliku ukošenog cilindra.
Geometrijske karakteristike kosog cilindra
Nagib jedne od ravnina ukošenog cilindra malo mijenja postupak izračuna i površine takve figure i njenog volumena.
