Mjera rotacijskog gibanja sustava je. Osnovna jednadžba za dinamiku rotacijskog gibanja. Moment impulsa i moment inercije

Trenutak moći F, djelujući na tijelo u odnosu na os rotacije

,

Gdje
- projekcija sile F na ravnini okomitoj na os rotacije; ja - snaga ramena F(najkraća udaljenost od osi rotacije do linije djelovanja sile).

Moment inercije oko osi rotacije:

a) materijalna točka

J= gosp 2 ,

Gdje T - točkasta masa; r - njegova udaljenost od osi rotacije;

b) diskretno čvrsto tijelo

Gdje
- težina i-ti element tijela; r i je udaljenost ovog elementa od osi rotacije; P - broj elemenata tijela;

c) čvrsto tijelo

Ako je tijelo homogeno, tj. njegova gustoća je dakle isti kroz cijeli volumen

dm= dV I

Gdje V- volumen tijela.

Momenti tromosti nekih tijela pravilnog geometrijskog oblika:

	Os oko koje se određuje moment tromosti	Formula momenta inercije
Homogena tanka šipka mase T i dužine l Tanki prsten, obruč, polumjerna cijev R i masa T, radijus zamašnjaka R i masa T, raspoređeni po obodu Okrugli homogeni disk (cilindar) polumjera R i masa T Homogena lopta mase T i radijus R	Prolazi kroz težište štapa okomito na štap Prolazi kroz kraj šipke okomito na šipku Prolazi središtem okomito na ravninu baze Prolazi središtem diska okomito na ravninu baze Prolazi kroz središte lopte	1/12ml 2

Steinerov teorem. Moment tromosti tijela oko proizvoljne osi

J= J 0 + ma 2 ,

Gdje J 0 - moment tromosti ovog tijela u odnosu na os koja prolazi kroz težište tijela paralelno s danom osi; A - udaljenost između osovina; m- tjelesna masa.

Moment rotacijskog tijela oko osi

L= J
.

Zakon održanja kutne količine gibanja

Gdje L ja - kutni moment i-tog tijela uključenog u sustav. Zakon očuvanja kutne količine gibanja za dva tijela koja međusobno djeluju

Gdje
- momenti tromosti i kutne brzine tijela prije međudjelovanja:
- iste vrijednosti nakon interakcije.

Zakon održanja kutne količine gibanja za jedno tijelo čiji se moment tromosti mijenja,

Gdje
- početni i završni momenti tromosti;
- početne i krajnje kutne brzine tijela.

Osnovna jednadžba za dinamiku rotacijskog gibanja krutog tijela u odnosu na fiksna os

M d t=d(J ), Gdje M- moment sile koji djeluje na tijelo tijekom vremena dt;

J - moment tromosti tijela;
- kutna brzina; J - trenutak impulsa.

Ako su moment sile i moment tromosti konstantni, onda se ova jednadžba piše kao

Mt=J
.

U slučaju konstantnog momenta tromosti osnovna jednadžba za dinamiku rotacijskog gibanja ima oblik

M=J, Gdje - kutno ubrzanje.

Rad stalnog momenta sile M, djelujući na rotirajuće tijelo

gdje je  kut zakreta tijela.

Trenutna snaga koja se razvija tijekom rotacije tijela

N= M
.

Kinetička energija rotirajućeg tijela

T=1/2 J.

Kinetička energija tijela koje se kotrlja po ravnini bez klizanja je

T== 1 / 2 mv 2 +l/2 J,

Gdje l / 2 mv 2 - kinetička energija translatornog gibanja tijela; v - brzina centra tromosti tijela; l/2 J, je kinetička energija rotacijskog gibanja tijela oko osi koja prolazi kroz središte tromosti.

Rad tijekom rotacije tijela i promjena njegove kinetičke energije povezani su relacijom

Neka neko tijelo pod utjecajem sile F koja djeluje u točki A dođe u rotaciju oko osi OO" (sl. 1.14).

Sila djeluje u ravnini okomitoj na os. Okomica p spuštena iz točke O (koja leži na osi) na smjer sile naziva se rame snage. Umnožak sile s krakom određuje modul momenta sile u odnosu na točku O:

M = Fp=Frsinα.

Trenutak moći je vektor određen vektorskim umnoškom radijus vektora točke primjene sile i vektora sile:

(3.1) Jedinica momenta sile je njutn metar (N m).

Smjer M se može pronaći pomoću pravila desnog vijka.

trenutak impulsa čestica je vektorski umnožak radijus vektora čestice i njezine količine gibanja:

ili u skalarnom obliku L = rPsinα

Ova veličina je vektorska i po smjeru se poklapa s vektorima ω.

§ 3.2 Moment tromosti. Steinerov teorem

Mjera tromosti tijela pri translatornom gibanju je masa. Tromost tijela tijekom rotacijskog gibanja ne ovisi samo o masi, već io njezinoj raspodjeli u prostoru u odnosu na os rotacije. Mjera tromosti pri rotacijskom gibanju je veličina tzvmoment tromosti tijela u odnosu na os rotacije.

Moment tromosti materijalne točke u odnosu na os rotacije, umnožak mase te točke i kvadrata njezine udaljenosti od osi naziva se:

I i =m i r i 2 (3.2)

Moment tromosti tijela u odnosu na os rotacije naziva se zbroj momenata tromosti materijalne bodove, od kojih se ovo tijelo sastoji:

(3.3)

U općem slučaju, ako je tijelo čvrsto i predstavlja skup točaka malih masa dm, moment tromosti se određuje integracijom:

(3.4)

Ako je tijelo homogeno i njegova gustoća
, zatim moment tromosti tijela

(3.5)

Moment tromosti tijela ovisi o tome oko koje osi ono rotira i kako je masa tijela raspoređena po volumenu.

Najlakše se određuje moment tromosti tijela koja imaju pravilan geometrijski oblik i jednoliku raspodjelu mase po volumenu.

Moment tromosti homogenog štapa u odnosu na os koja prolazi kroz središte tromosti i okomita na štap

(3.6)

Moment tromosti homogenog cilindra u odnosu na os koja je okomita na njegovu osnovicu i prolazi kroz središte tromosti,

(3.7)

Moment tromosti cilindra tankih stijenki ili obruč u odnosu na os koja je okomita na ravninu njegove baze i prolazi kroz središte,

(3.8)

Moment inercije lopta u odnosu na promjer

(3.9)

Pogledajmo primjer . Odredimo moment tromosti diska u odnosu na os koja prolazi kroz središte tromosti i okomita je na ravninu rotacije. Masa diska - m, polumjer - R.

Područje prstena (Sl. 3.2) zatvoreno između

r i r + dr, jednako je dS = 2πr·dr. Površina diska S = πR 2.

Stoga,
. Zatim

ili

Prema

Zadane formule za momente tromosti tijela dane su pod uvjetom da os rotacije prolazi kroz središte tromosti. Da biste odredili momente tromosti tijela u odnosu na proizvoljnu os, trebali biste koristiti Steinerov teorem : moment tromosti tijela u odnosu na proizvoljnu os rotacije jednak je zbroju momenta tromosti tijela u odnosu na os koja je paralelna sa zadanom i prolazi kroz središte mase tijela, i umnožak mase tijela s kvadratom udaljenosti između osi:

(3.11)

Jedinica momenta tromosti je kilogram metar na kvadrat (kg m 2).

Dakle, moment tromosti homogenog štapa u odnosu na os koja prolazi kroz njegov kraj, prema Steinerovom teoremu, jednak je

(3.12)

Sila trenja uvijek je usmjerena duž dodirne površine u smjeru suprotnom od kretanja. Ona je uvijek manja od sile normalnog pritiska.

Ovdje:
F- gravitacijska sila kojom se dva tijela međusobno privlače (Newton),
m 1- masa prvog tijela (kg),
m 2- masa drugog tijela (kg),
r- udaljenost između središta mase tijela (metar),
γ - gravitacijska konstanta 6,67 10 -11 (m 3 /(kg sec 2)),

Jakost gravitacijskog polja- vektorska veličina koja karakterizira gravitacijsko polje u određenoj točki i numerički je jednaka omjeru gravitacijske sile koja djeluje na tijelo postavljeno na ovu točku polja, na gravitacijsku masu ovog tijela:

12. U proučavanju mehanike krutog tijela koristili smo se konceptom apsolutno krutog tijela. Ali u prirodi nema apsolutno čvrstih tijela, jer... sva stvarna tijela pod utjecajem sila mijenjaju svoj oblik i veličinu, tj. deformiran.
Deformacija nazvao elastičan, ako nakon prestanka djelovanja vanjskih sila na tijelo tijelo povrati svoju prvobitnu veličinu i oblik. Deformacije koje ostaju u tijelu nakon prestanka djelovanja vanjskih sila nazivaju se plastični(ili rezidualni)

RAD I SNAGA

Rad sile.
Rad stalne sile koja djeluje na pravocrtno tijelo
, gdje je pomak tijela, je sila koja djeluje na tijelo.

Općenito, rad koji izvrši promjenjiva sila koja djeluje na tijelo koje se kreće uzduž krivocrtna putanja . Rad se mjeri u džulima [J].

Rad momenta sile koji djeluje na tijelo koje rotira oko nepomične osi, gdje je moment sile i je kut zakreta.
Općenito .
Rad tijela pretvara se u njegovu kinetičku energiju.
Vlast- ovo je rad po jedinici vremena (1 s): . Snaga se mjeri u vatima [W].

14.Kinetička energija- energija mehanički sustav, ovisno o brzini kretanja njegovih točaka. Često se oslobađa kinetička energija translatornog i rotacijskog gibanja.

Razmotrimo sustav koji se sastoji od jedne čestice i napišimo drugi Newtonov zakon:

Postoji rezultanta svih sila koje djeluju na tijelo. Pomnožimo jednadžbu skalarno s pomakom čestice. S obzirom na to, dobivamo:

Ako je sustav zatvoren, tj , i vrijednost

ostaje konstantan. Ova količina se zove kinetička energijačestice. Ako je sustav izoliran, tada je kinetička energija sastavni dio gibanja.

Za apsolutno kruto tijelo ukupna kinetička energija može se napisati kao zbroj kinetičke energije translatornog i rotacijskog gibanja:

Tjelesna masa

Brzina centra mase tijela

Moment inercije tijela

Kutna brzina tijela.

15.Potencijalna energija- skalarna fizikalna veličina koja karakterizira sposobnost određenog tijela (ili materijalne točke) da izvrši rad zbog svoje prisutnosti u polju djelovanja sila.

16. Istezanje ili sabijanje opruge dovodi do njenog skladištenja potencijalna energija elastična deformacija. Povratak opruge u ravnotežni položaj rezultira oslobađanjem pohranjene energije elastične deformacije. Veličina te energije je:

Potencijalna energija elastične deformacije..

- rad elastične sile i promjena potencijalne energije elastične deformacije.

17.konzervativne snage(potencijalne sile) – sile čiji rad ne ovisi o obliku putanje (ovisi samo o početnoj i krajnjoj točki djelovanja sila). Ovo implicira definiciju: konzervativne sile su one sile čiji je rad duž bilo koje zatvorene trajektorije jednak 0

Disipativne sile- sile pod čijim djelovanjem na mehanički sustav njegova ukupna mehanička energija opada (odnosno raspršuje se), pretvarajući se u druge, nemehaničke oblike energije, na primjer, u toplinu.

18. Rotacija oko fiksne osi To je gibanje krutog tijela kod kojeg dvije njegove točke ostaju nepomične tijekom cijelog gibanja. Pravac koji prolazi kroz te točke naziva se os rotacije. Sve ostale točke tijela gibaju se u ravninama okomitim na os rotacije, po kružnicama čija središta leže na osi rotacije.

Moment inercije- skalarna fizikalna veličina, mjera tromosti pri rotacijskom gibanju oko osi, kao što je masa tijela mjera njegove tromosti pri translatornom gibanju. Karakterizira ga raspodjela masa u tijelu: moment tromosti jednak je zbroju umnožaka elementarnih masa s kvadratom njihovih udaljenosti od baze (točke, pravca ili ravnine).

Moment tromosti mehaničkog sustava u odnosu na fiksnu os ("aksijalni moment tromosti") je količina J a, jednak zbroju djela masa svih n materijalne točke sustava kvadratima njihovih udaljenosti od osi:

,

§ m i- težina ja ta točka,

§ r i- udaljenost od ja th točka na os.

Aksijalni moment inercije tijelo J a je mjera tromosti tijela u rotacijskom gibanju oko osi, kao što je masa tijela mjera njegove tromosti u translatornom gibanju.

,

§ - masa malog elementa volumena tijela,

Osnovni koncepti.

Trenutak moći u odnosu na os rotacije - to je vektorski umnožak radijus vektora i sile.

(1.14)

Moment sile je vektor , čiji se smjer određuje pravilom gimleta (desni vijak) ovisno o smjeru sile koja djeluje na tijelo. Moment sile usmjeren je duž osi rotacije i nema određenu točku primjene.

Numerička vrijednost ovog vektora određena je formulom:

M=r F grijeh (1.15),

gdje je  - kut između radijus vektora i smjera sile.

Ako =0 ili  , trenutak snage M=0, tj. sila koja prolazi kroz os rotacije ili koincidira s njom ne uzrokuje rotaciju.

Najveći modul momenta nastaje ako sila djeluje pod kutom  =  /2 (M 0) ili  =3  /2 (M 0).

Korištenje koncepta poluge d- ovo je okomica spuštena iz središta rotacije na liniju djelovanja sile), formula za moment sile ima oblik:

, Gdje
(1.16)

Pravilo momenata sila(uvjet ravnoteže tijela s fiksnom osi rotacije):

Da bi tijelo s nepomičnom osi rotacije bilo u ravnoteži, potrebno je da algebarski zbroj momenata sila koje djeluju na to tijelo bude jednak nuli.

 M ja =0 (1.17)

SI jedinica za moment sile je [Nm]

Tijekom rotacijskog gibanja tromost tijela ne ovisi samo o njegovoj masi, već io njegovoj raspodjeli u prostoru u odnosu na os rotacije.

Tromost tijekom rotacije karakterizira moment tromosti tijela u odnosu na os rotacije J.

Moment inercije Materijalna točka u odnosu na os rotacije je vrijednost jednaka umnošku mase točke i kvadrata njezine udaljenosti od osi rotacije:

J  =m   r  2 (1.18)

Moment tromosti tijela u odnosu na os je zbroj momenata tromosti materijalnih točaka koje čine tijelo:

J= m   r  2 (1.19)

Moment tromosti tijela ovisi o njegovoj masi i obliku, kao i o izboru osi rotacije. Za određivanje momenta tromosti tijela u odnosu na određenu os koristi se Steiner-Huygensov teorem:

J=J 0 +m d 2 (1.20),

Gdje J 0 – moment tromosti oko paralelne osi koja prolazi kroz središte mase tijela, d – udaljenost između dvije paralelne osi . Moment tromosti u SI mjeri se u [kgm 2 ]

Moment tromosti tijekom rotacijskog gibanja ljudskog tijela određuje se eksperimentalno i približno izračunava pomoću formula za cilindar, okruglu šipku ili kuglu.

Moment inercije osobe u odnosu na okomitu os rotacije, koja prolazi kroz središte mase (centar mase ljudskog tijela nalazi se u sagitalnoj ravnini malo ispred drugog sakralnog kralješka), ovisno o položaj osobe, ima sljedeće vrijednosti: kada stoji mirno - 1,2 kg m 2; s pozom "arabesque" - 8 kgm 2; u vodoravnom položaju – 17 kg  m 2.

Rad u rotacijskom kretanju nastaje kada tijelo rotira pod utjecajem vanjskih sila.

Elementarni rad sile pri rotacijskom gibanju jednak je umnošku momenta sile i elementarnog kuta rotacije tijela:

dA  =M   d (1.21)

Ako na tijelo djeluje više sila, tada se elementarni rad rezultante svih primijenjenih sila određuje formulom:

dA=M d (1.22),

Gdje M– ukupni moment svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo.

Kinetička energija rotirajućeg tijelaW Do ovisi o momentu tromosti tijela i kutnoj brzini njegove rotacije:

(1.23)

Kut impulsa (kutni moment) – veličina, brojčano jednak umnošku moment količine gibanja tijela po radijusu rotacije.

L=p r=m V r (1.24).

Nakon odgovarajućih transformacija, formulu za određivanje kutne količine gibanja možete napisati u obliku:

(1.25).

Zamah – vektor čiji je smjer određen pravilom desnog vijka. SI jedinica za kutnu količinu gibanja jekgm 2 /s

Osnovni zakoni dinamike rotacijskog gibanja.

Osnovna jednadžba za dinamiku rotacijskog gibanja:

Kutno ubrzanje tijela koje se rotacijsko giba izravno je proporcionalno ukupnom momentu svih vanjskih sila i obrnuto proporcionalno momentu tromosti tijela.

(1.26).

Ova jednadžba ima istu ulogu u opisivanju rotacijskog gibanja kao drugi Newtonov zakon za translatorno gibanje. Iz jednadžbe je jasno da pod djelovanjem vanjskih sila, što je veće kutno ubrzanje, to je manji moment tromosti tijela.

Drugi Newtonov zakon za dinamiku rotacijskog gibanja može se napisati u drugom obliku:

(1.27),

oni. prva derivacija kutne količine gibanja tijela u odnosu na vrijeme jednaka je ukupnom momentu svih vanjskih sila koje djeluju na određeno tijelo.

Zakon održanja kutne količine gibanja tijela:

Ako je ukupni moment svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo jednak nuli, tj.

 M  =0 , Zatim dL/dt=0 (1.28).

Stoga
ili
(1.29).

Ova tvrdnja predstavlja suštinu zakona o održanju kutne količine gibanja tijela, koji je formuliran na sljedeći način:

Kutna količina gibanja tijela ostaje konstantna ako je ukupni moment vanjskih sila koje djeluju na tijelo koje rotira jednak nuli.

Ovaj zakon vrijedi ne samo za apsolutno kruto tijelo. Primjer je umjetnički klizač koji izvodi rotaciju oko vertikalne osi. Pritiskom ruku klizač smanjuje moment inercije i povećava kutnu brzinu. Da bi usporio rotaciju, on, naprotiv, široko širi ruke; Zbog toga se povećava moment tromosti i smanjuje kutna brzina rotacije.

Zaključno, predstavljamo usporednu tablicu glavnih veličina i zakona koji karakteriziraju dinamiku translacijskih i rotacijskih kretanja.

Tablica 1.4.

Kretanje naprijed		Rotacijsko kretanje
Fizička količina	Formula	Fizička količina	Formula
		Moment inercije	J=m r 2
		Trenutak moći	M=Ž r, ako
Tjelesni impuls (količina pokreta)	p=m V	Impuls tijela	L=m V r; L=J
Kinetička energija		Kinetička energija
Mehanički rad		Mehanički rad	dA=Md
Osnovna jednadžba dinamike translatornog gibanja		Osnovna jednadžba za dinamiku rotacijskog gibanja	,
Zakon održanja količine gibanja tijela	ili Ako	Zakon održanja kutne količine gibanja tijela	ili  J    =konst, Ako