U ovom ćemo članku pronaći odgovore na pitanja o tome kako napraviti projekciju točke na ravninu i kako odrediti koordinate te projekcije. U teoretskom dijelu oslonit ćemo se na pojam projekcije. Definirat ćemo pojmove i dati informacije ilustracijama. Učvrstimo stečeno znanje rješavanjem primjera.
Projekcija, vrste projekcije
Radi lakšeg pregledavanja prostornih figura koriste se crteži koji prikazuju te figure.
Definicija 1
Projekcija figure na ravninu– crtanje prostorne figure.
Očito, postoji niz pravila koja se koriste za izradu projekcije.
Definicija 2
Projekcija– postupak konstruiranja crteža prostornog lika u ravnini pomoću pravila konstruiranja.
Ravnina projekcije- ovo je ravnina u kojoj je slika izgrađena.
Korištenje određenih pravila određuje vrstu projekcije: središnji ili paralelno.
Poseban slučaj paralelnog projiciranja je okomito projiciranje ili ortogonalno: u geometriji se uglavnom koristi. Zbog toga se sam pridjev "okomit" često izostavlja u govoru: u geometriji se jednostavno kaže "projekcija figure" i pod tim se misli na konstruiranje projekcije metodom okomitog projiciranja. U posebnim slučajevima, naravno, može se dogovoriti nešto drugo.
Primijetimo činjenicu da je projekcija figure na ravninu u biti projekcija svih točaka te figure. Dakle, da bi se mogao proučavati prostorni lik na crtežu, potrebno je steći osnovnu vještinu projiciranja točke na ravninu. O čemu ćemo govoriti u nastavku.
Podsjetimo se da se u geometriji najčešće kada se govori o projekciji na ravninu misli na korištenje okomite projekcije.
Napravimo konstrukcije koje će nam omogućiti da dobijemo definiciju projekcije točke na ravninu.
Recimo da je zadan trodimenzionalni prostor, au njemu se nalaze ravnina α i točka M 1 koja ne pripada ravnini α. Nacrtaj ravnu liniju kroz zadanu točku M A okomito na zadanu ravninu α. Točku presjeka pravca a i ravnine α konstrukcijski označavamo kao H 1, ona će služiti kao osnovica okomice spuštene iz točke M 1 na ravninu α.
Ako je dana točka M 2 koja pripada zadanoj ravnini α, tada će M 2 služiti kao projekcija same sebe na ravninu α.
Definicija 3
- ovo je ili sama točka (ako pripada danoj ravnini), ili osnovica okomice spuštene iz dane točke na danu ravninu.
Određivanje koordinata projekcije točke na ravninu, primjeri
Neka su u trodimenzionalnom prostoru zadani: pravokutni koordinatni sustav O x y z, ravnina α, točka M 1 (x 1, y 1, z 1). Potrebno je pronaći koordinate projekcije točke M 1 na zadanu ravninu.
Rješenje očito slijedi iz gornje definicije projekcije točke na ravninu.
Označimo projekciju točke M 1 na ravninu α kao H 1 . Prema definiciji, H 1 je sjecišna točka zadane ravnine α i pravca a povučenog kroz točku M 1 (okomito na ravninu). Oni. Koordinate projekcije točke M1 koje su nam potrebne su koordinate točke presjeka pravca a i ravnine α.
Dakle, za pronalaženje koordinata projekcije točke na ravninu potrebno je:
Dobiti jednadžbu ravnine α (ako nije navedena). Ovdje će vam pomoći članak o vrstama jednadžbi ravnina;
Odrediti jednadžbu pravca a koji prolazi kroz točku M 1 i okomit je na ravninu α (proučiti temu o jednadžbi pravca koji prolazi kroz zadanu točku okomito na zadanu ravninu);
Odredi koordinate točke presjeka pravca a i ravnine α (članak - nalaženje koordinate točke presjeka ravnine i pravca). Dobiveni podaci bit će koordinate koje su nam potrebne za projekciju točke M 1 na ravninu α.
Pogledajmo teoriju s praktičnim primjerima.
Primjer 1
Odredite koordinate projekcije točke M 1 (- 2, 4, 4) na ravninu 2 x – 3 y + z - 2 = 0.
Riješenje
Kao što vidimo, dana nam je jednadžba ravnine, tj. nema potrebe sastavljati ga.
Napišimo kanonske jednadžbe pravca a koji prolazi točkom M 1 i okomit je na zadanu ravninu. U tu svrhu odredimo koordinate vektora usmjeravanja pravca a. Budući da je pravac a okomit na zadanu ravninu, vektor smjera pravca a je normalni vektor ravnine 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Tako, a → = (2, - 3, 1) – vektor smjera pravca a.
Sastavimo sada kanonske jednadžbe pravca u prostoru koji prolazi točkom M 1 (- 2, 4, 4) i ima vektor smjera a → = (2 , - 3 , 1) :
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1
Da bismo pronašli tražene koordinate, sljedeći korak je određivanje koordinata sjecišta pravca x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 i ravnine 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . U te svrhe krećemo od kanonske jednadžbe na jednadžbe dviju ravnina koje se sijeku:
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0
Kreirajmo sustav jednadžbi:
3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2
I riješimo to pomoću Cramerove metode:
∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5
Dakle, tražene koordinate zadane točke M 1 na zadanoj ravnini α bit će: (0, 1, 5).
Odgovor: (0 , 1 , 5) .
Primjer 2
U pravokutni sustav koordinate O x y z trodimenzionalnog prostora dane su točke A (0, 0, 2); B (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) i M 1 (-1, -2, 5). Potrebno je pronaći koordinate projekcije M 1 na ravninu A B C
Riješenje
Najprije napišemo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke:
x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0
Zapišimo to parametarske jednadžbe pravac a, koji će prolaziti točkom M 1 okomito na ravninu A B C. Ravnina x – 2 y + 2 z – 4 = 0 ima normalni vektor s koordinatama (1, - 2, 2), t.j. vektor a → = (1, - 2, 2) – vektor smjera pravca a.
Sada, imajući koordinate točke linije M 1 i koordinate vektora smjera ove linije, pišemo parametarske jednadžbe linije u prostoru:
Zatim odredimo koordinate sjecišta ravnine x – 2 y + 2 z – 4 = 0 i pravca
x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ
Da bismo to učinili, zamijenimo u jednadžbu ravnine:
x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ
Sada, koristeći parametarske jednadžbe x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ, nalazimo vrijednosti varijabli x, y i z za λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3
Tako će projekcija točke M 1 na ravninu A B C imati koordinate (- 2, 0, 3).
Odgovor: (- 2 , 0 , 3) .
Zasebno se zadržimo na pitanju pronalaženja koordinata projekcije točke na koordinatne ravnine i ravnine koje su paralelne s koordinatnim ravninama.
Neka su zadane točke M 1 (x 1, y 1, z 1) i koordinatne ravnine O x y, O x z i O y z. Koordinate projekcije te točke na te ravnine bit će redom: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) i (0, y 1, z 1). Razmotrimo i ravnine paralelne zadanim koordinatnim ravninama:
C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B
A projekcije date točke M 1 na te ravnine bit će točke s koordinatama x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 i - D A, y 1, z 1.
Pokažimo kako je dobiven ovaj rezultat.
Kao primjer definirajmo projekciju točke M 1 (x 1, y 1, z 1) na ravninu A x + D = 0. Ostali slučajevi su slični.
Zadana ravnina je paralelna s koordinatnom ravninom O y z i i → = (1, 0, 0) je njen normalni vektor. Isti vektor služi kao vektor smjera pravca okomitog na O y z ravninu. Tada će parametarske jednadžbe pravca povučenog kroz točku M 1 i okomitog na zadanu ravninu imati oblik:
x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1
Nađimo koordinate sjecišta ovog pravca i zadane ravnine. Zamijenimo prvo jednakosti u jednadžbu A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 i dobijemo: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1
Zatim izračunavamo tražene koordinate koristeći parametarske jednadžbe ravne linije s λ = - D A - x 1:
x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1
Odnosno, projekcija točke M 1 (x 1, y 1, z 1) na ravninu bit će točka s koordinatama - D A, y 1, z 1.
Primjer 2
Potrebno je odrediti koordinate projekcije točke M 1 (- 6, 0, 1 2) na koordinatnu ravninu O x y i na ravninu 2 y - 3 = 0.
Riješenje
Koordinatna ravnina O x y će odgovarati nepotpuno opća jednadžba ravnina z = 0. Projekcija točke M 1 na ravninu z = 0 imat će koordinate (- 6, 0, 0).
Jednadžba ravnine 2 y - 3 = 0 može se napisati kao y = 3 2 2. Sada samo zapišite koordinate projekcije točke M 1 (- 6, 0, 1 2) na ravninu y = 3 2 2:
6 , 3 2 2 , 1 2
Odgovor:(- 6 , 0 , 0) i - 6 , 3 2 2 , 1 2
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Položaj točke u prostoru može se odrediti njezinim dvjema ortogonalnim projekcijama, npr. horizontalnom i frontalnom, frontalnom i profilnom. Kombinacija bilo koje dvije ortogonalne projekcije omogućuje vam da saznate vrijednost svih koordinata točke, konstruirate treću projekciju i odredite oktant u kojem se nalazi. Pogledajmo nekoliko tipičnih problema iz tečaja nacrtne geometrije.
Za zadani složeni crtež točaka A i B potrebno je:
Odredimo najprije koordinate točke A koje se mogu napisati u obliku A (x, y, z). Horizontalna projekcija točke A - točka A", koja ima koordinate x, y. Povucimo okomice iz točke A" na osi x, y i pronađimo redom A x, A y. Koordinata x za točku A jednaka je duljini segmenta A x O sa znakom plus, jer A x leži u području pozitivnih vrijednosti osi x. Uzimajući u obzir mjerilo crteža, nalazimo x = 10. Y koordinata je jednaka duljini segmenta A y O s znakom minus, budući da t A y leži u području negativnih vrijednosti y os. Uzimajući u obzir mjerilo crteža, y = –30. Frontalna projekcija točke A - točka A"" ima koordinate x i z. Spustimo okomicu s A"" na os z i pronađimo A z. Koordinata z točke A jednaka je duljini segmenta A z O s znakom minus, jer A z leži u području negativnih vrijednosti osi z. Uzimajući u obzir mjerilo crteža z = –10. Dakle, koordinate točke A su (10, –30, –10).
Koordinate točke B mogu se napisati kao B (x, y, z). Promotrimo horizontalnu projekciju točke B - točka B". Budući da leži na osi x, tada je B x = B" i koordinata B y = 0. Apscisa x točke B jednaka je duljini segmenta B x O sa znakom plus. Uzimajući u obzir mjerilo crteža x = 30. Frontalna projekcija točke B je t˝ ima koordinate x, z. Povucimo okomicu iz B"" na os z, pronalazeći B z. Primjena z točke B jednaka je duljini segmenta B z O s predznakom minus, jer B z leži u području negativnih vrijednosti osi z. Uzimajući u obzir mjerilo crteža, određujemo vrijednost z = –20. Dakle, koordinate B su (30, 0, -20). Sve potrebne konstrukcije prikazane su na slici ispod.
Konstrukcija projekcija točaka
Točke A i B u ravnini P 3 imaju sljedeće koordinate: A""" (y, z); B""" (y, z). U ovom slučaju, A"" i A""" leže na istoj okomici na os z, jer imaju zajedničku z koordinatu. Slično, B"" i B""" leže na zajedničkoj okomici na z os. Da bismo pronašli projekciju profila točke A, duž y-osi nacrtamo vrijednost odgovarajuće koordinate koju smo ranije pronašli. Na slici je to učinjeno pomoću kružnog luka radijusa A y O. Nakon toga povucite okomicu iz A y dok se ne siječe s okomicom vraćenom iz točke A"" na os z. Sjecište ovih dviju okomica određuje položaj A""".
Točka B""" leži na osi z, jer je y ordinata ove točke nula. Da biste pronašli projekciju profila točke B u ovom problemu, trebate samo povući okomicu iz B"" na os z. sjecište ove okomice s osi z je B """.
Određivanje položaja točaka u prostoru
Vizualno zamišljajući prostorni raspored, sastavljen od ravnina projekcija P 1, P 2 i P 3, položaja oktanata, kao i redoslijeda transformacije rasporeda u dijagrame, možete izravno utvrditi da se točka A nalazi u III oktantu. , a točka B leži u ravnini P 2.
Druga opcija za rješavanje ovog problema je metoda izuzetaka. Na primjer, koordinate točke A su (10, -30, -10). Pozitivna apscisa x omogućuje nam da prosudimo da se točka nalazi u prva četiri oktanta. Negativna y-ordinata označava da je točka u drugom ili trećem oktantu. Konačno, negativna primjena z označava da se točka A nalazi u trećem oktantu. Sljedeća tablica jasno ilustrira gore navedeno razmišljanje.
| oktanti | Koordinatni znakovi | ||
| x | g | z | |
| 1 | + | + | + |
| 2 | + | – | + |
| 3 | + | – | – |
| 4 | + | + | – |
| 5 | – | + | + |
| 6 | – | – | + |
| 7 | – | – | – |
| 8 | – | + | – |
Koordinate točke B (30, 0, -20). Budući da je ordinata točke B nula, ta se točka nalazi u ravnini projekcije P 2. Pozitivna apscisa i negativna aplikata t B pokazuju da se nalazi na granici trećeg i četvrtog oktanta.
Konstrukcija vizualne slike točaka u sustavu ravnina P 1, P 2, P 3
Frontalnom izometrijskom projekcijom izgradili smo prostorni raspored III oktanta. To je pravokutni triedar, čija su lica ravnine P 1, P 2, P 3, a kut (-y0x) je 45º. U ovom sustavu, segmenti duž x, y, z osi bit će iscrtani u prirodnoj veličini bez izobličenja.
Počnimo konstruirati vizualnu sliku točke A (10, -30, -10) s njezinom horizontalnom projekcijom A". Stavljajući je na os apscisa i ordinata odgovarajuće koordinate, pronađite točke A x i A y. Sjecište okomica vraćenih iz A x odnosno A y na osi x i y određuje položaj točke A." Postavljanjem od A" paralelno s osi z prema njegovim negativnim vrijednostima segment AA" , čija je duljina 10, nalazimo položaj točke A.
Vizualna slika tj. B (30, 0, -20) se konstruira na sličan način - u ravnini P 2 duž x i z osi potrebno je ucrtati odgovarajuće koordinate. Sjecište okomica rekonstruiranih iz B x i B z odredit će položaj točke B.
Pronaći oštar kut između dijagonala paralelograma izgrađenog na vektorima
5) Odredite koordinate vektora c, usmjerenog duž simetrale kuta između vektora a i b, ako je vektor c = 3 korijena iz 42. a=(2;-3;6), b=(-1;2; -2)
Nađimo jedinični vektor e_a kosmjeran s a:
slično e_b = b/|b|,
tada će željeni vektor biti usmjeren na isti način kao i vektorski zbroj e_a+e_b jer (e_a+e_b) je dijagonala romba koja je simetrala njegovog kuta.
Označimo (e_a+e_b)=d,
Nađimo jedinični vektor koji je usmjeren duž simetrale: e_c = d/|d|
Ako |c| = 3*sqrt(42), tada c = |c|*e_c. To je sve.
Pronaći linearna ovisnost između ova četiri nekoplanarna vektora: p=a+b; q=b-c; r=a-b+c; s=b+(1/2)*c
Iz prve tri jednakosti pokušajte izraziti "a,b,c" u terminima "p,q,r" (počnite dodavanjem druge i treće jednadžbe). Zatim zamijenite `b` i `c` u posljednjoj jednadžbi s izrazima koje ste pronašli u smislu `p,q,r`.
13) Nađite jednadžbu ravnine koja prolazi točkama A(2, -1, 4) i B(3, 2, -1) okomito na ravninu x + y + 2z – 3 = 0. Tražena jednadžba ravnine ima oblik: Ax + By + Cz + D = 0, vektor normale na ovu ravninu (A, B, C). Vektor (1, 3, -5) pripada ravnini. Zadana nam ravnina, okomita na željenu, ima vektor normale (1, 1, 2). Jer točke A i B pripadaju objema ravninama, a ravnine su međusobno okomite, tada je vektor normale (11, -7, -2). Jer točka A pripada traženoj ravnini, tada njezine koordinate moraju zadovoljavati jednadžbu te ravnine, tj. 11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0; D = -21. Ukupno dobijemo jednadžbu ravnine: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.
14) Jednadžba ravnine koja prolazi kroz pravac paralelan s vektorom.
Neka željena ravnina prolazi kroz ravnu liniju (x-x1)/a1 = (y-y1)/b1 = (z-z1)/c1 paralelnu s ravnom linijom (x-x2)/a2 = (y-y2) /b2 = (z -z2)/c2.
Tada je vektor normale ravnine vektorski umnožak vektora smjera ovih pravaca:
Neka koordinate vektorski proizvod(A; B; C). Tražena ravnina prolazi točkom (x1;y1;z1). Vektor normale i točka kroz koju ravnina prolazi jednoznačno određuju jednadžbu željene ravnine:
A·(x-x1) + B·(y-y1) + C·(z-z1) = 0
17) Nađite jednadžbu pravca koji prolazi točkom A(5, -1) okomito na pravac 3x - 7y + 14 = 0.
18) Napišite jednadžbu za ravnu liniju koja prolazi točkom M okomito na zadanu ravninu M(4,3,1) x+3y+5z-42=0
(x - x0) / n = (y - y0) / m = (z - z0) / p
M(x0,y0,z0) - vaša točka M(4,3,1)
(n, m, p) - usmjeravajući vektor ravne linije, također poznat kao normalni vektor za danu površinu (1, 3, 5) (koeficijenti za varijable x,y,z u jednadžbi ravnine)
Nađi projekciju točke na ravninu
Točka M(1,-3,2), ravnina 2x+5y-3z-19=0
Bit će konstruirano kada se okomica na danu ravninu koja prolazi kroz točku obnovi i kada se konstruira točka presjeka okomice s ravninom:
Ravno i ravno;
Presjek pravca s ravninom
Ona će biti konstruirana kada se na zadanu ravninu obnovi okomica, spusti s točke na ravninu i konstruira sjecišna točka okomice s ravninom. Ove se konstrukcije izvode kada se udaljenost od točke do ravnine određuje metodom pravokutnog trokuta.
Dane projekcije: bodova A(A`, A") i avion α (αH, αV). Pronađite udaljenost od točke A Gornja traka α metodom pravokutnog trokuta.
HTML kod tablice, primjeri
U grafičkom radu br. 2, problem br. 4 konstruiran je za dvije točke segmenta EF: Grafički rad 2
Konstruirajte dijagram točke B simetrične A u odnosu na ravnu liniju m
Evo jednog od mnogih načina za rješavanje ovog problema.
1. Koristimo kosu projekciju s pravcem S paralelnim sa zadanom ravnicom m:
a) Nacrtajte pravac n kroz točku A i pronađite tragove nH, mH i nV, mV;
b) pronaći tragove ravnine α iz tragova paralelnih pravaca njezinih generatora nH, mH i nV, mV;
c) pronađite tragove kH i kV pravca k simetričnog u odnosu na pravac m na istim tragovima ravnine α.
2. Kroz točku A povučemo ravninu β okomitu na paralelne pravce m, n i k ravnine α:
a) Kroz točku A povučemo horizontalnu i frontalnu ravninu ravnine β;
b) Pronađite tragove horizontalne i frontalne ravnine β;
c) Povlačimo tragove ravnine β kroz tragove njezine horizontale h i frontale f.
3. Pronađite točku B u kojoj pravac k susreće ravninu β:
a) Odredi presjek 1 - 2 ravnine α i β;
b) Pronađite željenu točku B u sjecištu pravca 1-2 s pravcem k.
PROJECIRANJE TOČKE NA DVIJE PROJEKCIJSKE RAVNINE
Formiranje segmenta ravne linije AA 1 može se prikazati kao rezultat kretanja točke A u bilo kojoj ravnini H (slika 84, a), a formiranje ravnine kao kretanje segmenta ravne linije AB (Sl. 84, b).
Točka - glavna geometrijski element linija i ploha, stoga proučavanje pravokutne projekcije predmeta počinje konstrukcijom pravokutnih projekcija točke.
U prostoru diedralnog kuta koji tvore dvije okomite ravnine - frontalna (vertikalna) ravnina projekcija V i vodoravna ravnina projekcija H, postavljamo točku A (slika 85, a).
Sjecište ravnina projekcija je ravna crta koja se naziva os projekcije i označava se slovom x.
V ravnina je ovdje prikazana kao pravokutnik, a H ravnina kao paralelogram. Nagnuta stranica ovog paralelograma obično je nacrtana pod kutom od 45° u odnosu na njegovu horizontalnu stranu. Duljina nagnute stranice uzima se jednakom 0,5 njezine stvarne duljine.
Iz točke A spuštene su okomice na ravnine V i H. Točke a" i a sjecišta okomica s ravninama projekcija V i H su pravokutne projekcije točke A. Lik Aaa x a" u prostoru je pravokutnik. Bočna os ovog pravokutnika na vizualnoj slici smanjena je 2 puta.
Poravnajmo H ravnine s V ravninom rotirajući V oko linije presjeka x ravnina. Rezultat je sveobuhvatan crtež točke A (Sl. 85, b)
Kako bi se pojednostavio složeni crtež, granice projekcijskih ravnina V i H nisu naznačene (slika 85, c).
Okomice povučene iz točke A na ravnine projekcija nazivaju se pravcima projekcije, a osnovice tih pravaca - točke a i a" - nazivaju se projekcijama točke A: a" je frontalna projekcija točke A, a je horizontalna projekcija točke A. točke A.
Pravac a" a naziva se okomiti pravac projekcijske veze.
Mjesto projekcije točke na složenom crtežu ovisi o položaju te točke u prostoru.
Ako točka A leži na vodoravnoj ravnini projekcija H (sl. 86, a), tada se njegova vodoravna projekcija a podudara s danom točkom, a frontalna projekcija a" nalazi se na osi. Kada se točka B nalazi na frontalnoj ravnina projekcija V, njena frontalna projekcija se poklapa s ovom točkom, a horizontalna projekcija leži na osi x, a frontalne projekcije na osi x se podudaraju s tom točkom točaka A, B i C prikazano je na slici 86, b.
PROJECIRANJE TOČKE NA TRI PROJEKCIJSKE RAVNINE
U slučajevima kada je nemoguće zamisliti oblik predmeta iz dvije projekcije, on se projicira na tri projekcijske ravnine. U ovom slučaju uvodi se profilna projekcijska ravnina W, okomita na ravnine V i H. Vizualni prikaz sustava triju projekcijskih ravnina dan je na sl. 87, a.
Bridovi trostranog kuta (sjecišta ravnina projekcija) nazivaju se osi projekcija i označavaju se x, y i z. Sjecište osi projekcija naziva se početak osi projekcija i označava se slovom O. Pustimo okomicu iz točke A na ravninu projekcije W i označavajući osnovicu okomice slovom “a” dobiti projekciju profila točke A.
Da bi se dobio složeni crtež točke A, ravnine H i W se kombiniraju s ravninom V, rotirajući ih oko osi Ox i Oz. Sveobuhvatan crtež točke A prikazan je na sl. 87, b i c.
Odsječke projiciranih pravaca iz točke A na ravnine projekcija nazivamo koordinatama točke A i označavamo ih: x A, y A i z A.
Na primjer, koordinata z A točke A, jednaka segmentu a"a x (sl. 88, a i b), je udaljenost od točke A do horizontalne ravnine projekcije H. Koordinata y točke A, jednaka segment aa x, udaljenost je od točke A do frontalne ravnine projekcija V. Koordinata x A, jednaka segmentu aa y - udaljenost od točke A do ravnine profila projekcija W.
Dakle, udaljenost između projekcije točke i osi projekcije određuje koordinate točke i ključ je za čitanje njezina složenog crteža. Iz dviju projekcija točke mogu se odrediti sve tri koordinate točke.
Ako su zadane koordinate točke A (npr. x A = 20 mm, y A = 22 mm i z A = 25 mm), tada se mogu konstruirati tri projekcije te točke.
Da biste to učinili, od ishodišta koordinata O u smjeru osi Oz, koordinata z A je položena prema gore, a koordinata y A dolje od krajeva odloženih segmenata - točaka a z i a y (Sl . 88, a) - nacrtajte ravne linije paralelne s osi Ox i položite ih na segmente jednake koordinati A. Rezultirajuće točke a" i a su frontalna i horizontalna projekcija točke A.
Koristeći dvije projekcije a" i a točke A, možete konstruirati njegovu profilnu projekciju na tri načina:
1) iz ishodišta koordinata O nacrtajte pomoćni luk s radijusom Oa y jednakim koordinatima (sl. 87, b i c), iz dobivene točke a y1 nacrtajte ravnu liniju paralelnu s osi Oz i položite izvan segmenta jednakog z A;
2) iz točke a y nacrtajte pomoćnu ravnu liniju pod kutom od 45 ° prema osi Oy (slika 88, a), dobijete točku a y1 itd.;
3) iz ishodišta koordinata O nacrtajte pomoćnu ravnu liniju pod kutom od 45 ° na os Oy (slika 88, b), dobijete točku a y1 itd.
