Linearna funkcija naziva funkcija oblika y = kx + b, definiran na skupu svih realni brojevi. Ovdje k– nagib (realni broj), b – lažni izraz (pravi broj), x– nezavisna varijabla.
U posebnom slučaju, ako k = 0, dobivamo stalna funkcija y = b, čiji je graf ravna linija paralelna s osi Ox koja prolazi točkom s koordinatama (0; b).
Ako b = 0, tada dobivamo funkciju y = kx, koji je izravna proporcionalnost.
b – duljina segmenta, koja je odsječena ravnom linijom duž osi Oy, računajući od ishodišta.
Geometrijsko značenje koeficijenta k – kut nagiba ravno u pozitivnom smjeru osi Ox, smatrajući suprotno od kazaljke na satu.
Svojstva linearne funkcije:
1) Područje definiranja linearne funkcije je cijela realna os;
2) Ako k ≠ 0, tada je raspon vrijednosti linearne funkcije cijela realna os. Ako k = 0, tada se raspon vrijednosti linearne funkcije sastoji od broja b;
3) Parnost i neparnost linearne funkcije ovise o vrijednostima koeficijenata k I b.
a) b ≠ 0, k = 0, stoga, y = b – parno;
b) b = 0, k ≠ 0, stoga y = kx – neparan;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, stoga y = kx + b – funkcija općeg oblika;
d) b = 0, k = 0, stoga y = 0 – i parne i neparne funkcije.
4) Linearna funkcija nema svojstvo periodičnosti;
5) Sječne točke s koordinatnim osima:
Vol: y = kx + b = 0, x = -b/k, dakle (-b/k; 0)– točka presjeka s osi apscisa.
Oj: y = 0k + b = b, dakle (0; b)– točka presjeka s osi ordinata.
Napomena: Ako b = 0 I k = 0, zatim funkcija y = 0 ide na nulu za bilo koju vrijednost varijable X. Ako b ≠ 0 I k = 0, zatim funkcija y = b ne nestaje ni za jednu vrijednost varijable X.
6) Intervali konstantnosti predznaka ovise o koeficijentu k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b– pozitivno kada x iz (-b/k; +∞),
y = kx + b– negativno kada x iz (-∞; -b/k).
b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b– pozitivno kada x iz (-∞; -b/k),
y = kx + b– negativno kada x iz (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitivno u cijelom rasponu definicije,
k = 0, b< 0; y = kx + b negativan u cijelom rasponu definicije.
7) Intervali monotonosti linearne funkcije ovise o koeficijentu k.
k > 0, dakle y = kx + b povećava se kroz cijelu domenu definicije,
k< 0 , dakle y = kx + b opada u cijeloj domeni definicije.
8) Graf linearne funkcije je pravac. Za konstruiranje ravne linije dovoljno je poznavati dvije točke. Položaj ravne linije na koordinatnoj ravnini ovisi o vrijednostima koeficijenata k I b. Ispod je tablica koja to jasno ilustrira.
5. Monom Umnožak brojčanih i abecednih faktora naziva se. Koeficijent naziva se numerički faktor monoma.
6. Za pisanje monoma u standardni obrazac, potrebno: 1) Pomnožite brojčane faktore i stavite njihov umnožak na prvo mjesto; 2) Potencije s istim bazama pomnožite i dobiveni umnožak smjestite iza numeričkog faktora.
7. Polinom se naziva algebarski zbroj više monoma.
8. Za množenje monoma s polinomom, Trebate pomnožiti monom sa svakim članom polinoma i zbrojiti dobivene umnoške.
9. Za množenje polinoma polinomom, Potrebno je pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog polinoma i zbrojiti dobivene umnoške.
10. Kroz bilo koje dvije točke možete povući ravnu liniju, i to samo kroz jednu.
11. Dvije ravne linije ili imaju samo jednu zajednička točka, ili nemaju dodirnih točaka.
12. Dva geometrijska lika nazivaju se jednakima ako se mogu spojiti preklapanjem.
13. Točka na odsječku koja ga dijeli popola, odnosno na dva jednaka odsječka, naziva se polovište odsječka.
14. Zraka koja izlazi iz vrha kuta i dijeli ga na dva dijela jednaki kutovi, naziva se simetrala kuta.
15. Zakrenuti kut je 180°.
16. Kut se naziva pravim ako je jednak 90°.
17. Kut se naziva šiljastim ako je manji od 90°, odnosno manji od pravog kuta.
18. Kut se naziva tupim ako je veći od 90°, ali manji od 180°, odnosno veći od pravog kuta, ali manji od ravnog kuta.
19. Dva kuta kojima je jedna stranica zajednička, a druga dva se nastavljaju jedan na drugi, nazivaju se susjednim.
20. Zbroj susjednih kutova je 180°.
21. Dva se kuta nazivaju okomitima ako su stranice jednog kuta nastavci stranica drugog.
22. Vertikalni kutovi su jednaki.
23. Dvije linije koje se sijeku nazivaju se okomitima (ili međusobno
okomito) ako tvore četiri prava kuta.
24. Dva pravca okomita na treći se ne sijeku.
25. Faktoriziraj polinom- znači predstaviti ga kao proizvod nekoliko monoma i polinoma.
26. Metode rastavljanja polinoma na faktore:
a) izbacivanje zajedničkog faktora iz zagrada,
b) korištenje skraćenih formula za množenje,
c) način grupiranja.
27. Da biste faktorirali polinom izuzimanjem zajedničkog faktora iz zagrada, trebate:
a) pronađite ovaj zajednički faktor,
b) izbaciti iz zagrada,
c) podijelite svaki član polinoma s tim faktorom i zbrojite dobivene rezultate.
Znakovi jednakosti trokuta
1) Ako su dvije stranice i kut između njih jednog trokuta redom jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.
2) Ako su stranica i dva susjedna kuta jednog trokuta redom jednaki stranici i dvama susjednim kutovima drugog trokuta, tada su ti trokuti sukladni.
3) Ako su tri stranice jednog trokuta redom jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.
Obrazovni minimum
1. Rastavljanje na faktore pomoću skraćenih formula za množenje:
a 2 – b 2 = (a – b) (a + b)
a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2)
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 – ab + b 2)
2. Formule skraćenog množenja:
(a + b) 2 =a 2 + 2ab + b 2
(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2
(a + b) 3 =a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3
3. Segment koji povezuje vrh trokuta sa središtem suprotne stranice naziva se medijan trokut.
4. Zove se okomica povučena iz vrha trokuta na pravac koji sadrži suprotnu stranicu visina trokut.
5. U jednakokračni trokut kutovi na bazi su jednaki.
6. U jednakokračnom trokutu simetrala povučena na osnovicu je središnja i visina.
7. Opseg nazvao geometrijski lik, koji se sastoji od svih točaka ravnine koje se nalaze na danoj udaljenosti od dane točke.
8. Segment koji povezuje središte s bilo kojom točkom na kružnici naziva se radius krug .
9. Isječak koji spaja dvije točke na kružnici naziva se akord.
Tetiva koja prolazi središtem kružnice naziva se promjer
10. Izravna proporcionalnost y = kx , Gdje X – nezavisna varijabla, Do – broj različit od nule ( Do – koeficijent proporcionalnosti).
11. Graf izravne proporcionalnosti je pravac koji prolazi kroz ishodište koordinata.
12. Linearna funkcija je funkcija koja se može dati formulom y = kx + b , Gdje X – nezavisna varijabla, Do I b - neki brojevi.
13. Graf linearne funkcije- ovo je ravna linija.
14 X – argument funkcije (neovisna varijabla)
na – vrijednost funkcije (ovisna varijabla)
15. Na b=0 funkcija poprima oblik y=kx, njegov graf prolazi kroz ishodište.
Na k=0 funkcija poprima oblik y=b, njegov graf je vodoravna linija koja prolazi točkom ( 0;b).
Podudarnost između grafova linearne funkcije i predznaka koeficijenata k i b
1. Dva pravca u ravnini nazivaju se paralelno, ako se ne sijeku.
Linearna funkcija je funkcija oblika y = kx + b, definirana na skupu svih realnih brojeva. Ovdje je k nagib (realni broj), b je presjek (realni broj), x je nezavisna varijabla.
U konkretnom slučaju, ako je k = 0, dobivamo konstantnu funkciju y = b, čiji je graf pravac paralelan s osi Ox koji prolazi točkom s koordinatama (0; b).
Ako je b = 0, tada dobivamo funkciju y = kx, što je izravna proporcionalnost.
Geometrijsko značenje koeficijenta b je duljina odsječka koji pravac odsijeca duž osi Oy, računajući od ishodišta.
Geometrijsko značenje koeficijenta k je kut nagiba pravca prema pozitivnom smjeru osi Ox, računat u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
Svojstva linearne funkcije:
1) Područje definiranja linearne funkcije je cijela realna os;
2) Ako je k ≠ 0, tada je raspon vrijednosti linearne funkcije cijela realna os. Ako je k = 0, tada se raspon vrijednosti linearne funkcije sastoji od broja b;
3) Parnost i neparnost linearne funkcije ovise o vrijednostima koeficijenata k i b.
a) b ≠ 0, k = 0, dakle, y = b - parno;
b) b = 0, k ≠ 0, stoga je y = kx - neparan;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, stoga je y = kx + b funkcija općeg oblika;
d) b = 0, k = 0, stoga je y = 0 i parna i neparna funkcija.
4) Linearna funkcija nema svojstvo periodičnosti;
Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, dakle (-b/k; 0) je točka presjeka s osi apscisa.
Oy: y = 0k + b = b, dakle (0; b) je točka presjeka s ordinatom.
Napomena: Ako je b = 0 i k = 0, tada funkcija y = 0 nestaje za bilo koju vrijednost varijable x. Ako je b ≠ 0 i k = 0, tada funkcija y = b ne nestaje ni za jednu vrijednost varijable x.
6) Intervali konstantnosti predznaka ovise o koeficijentu k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b - pozitivno na x od (-b/k; +∞),
y = kx + b - negativno za x od (-∞; -b/k).
b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b - pozitivno na x od (-∞; -b/k),
y = kx + b - negativno za x od (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b je pozitivan u cijeloj domeni definicije,
k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Intervali monotonosti linearne funkcije ovise o koeficijentu k.
k > 0, stoga y = kx + b raste kroz cijelu domenu definicije,
k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
8) Graf linearne funkcije je pravac. Za konstruiranje ravne linije dovoljno je poznavati dvije točke. Položaj pravca na koordinatnoj ravnini ovisi o vrijednostima koeficijenata k i b. Ispod je tablica koja to jasno ilustrira, slika 1. (Slika 1)
Primjer: Razmotrimo sljedeću linearnu funkciju: y = 5x - 3.
3) Opća funkcija;
4) Neperiodički;
5) Točke sjecišta s koordinatnim osima:
Ox: 5x - 3 = 0, x = 3/5, stoga je (3/5; 0) točka presjeka s osi x.
Oy: y = -3, dakle (0; -3) je točka presjeka s ordinatom;
6) y = 5x - 3 - pozitivno za x iz (3/5; +∞),
y = 5x - 3 - negativno na x od (-∞; 3/5);
7) y = 5x - 3 raste kroz cijelu domenu definicije;
web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.
“Crteži za slajdove” - izborni predmet “Svijet multimedijskih tehnologija”. Crteži na slajdovima. C) crtež možete prenijeti tako da mišem uhvatite sredinu. Umetanje slika na slajd. Općinski obrazovna ustanova prosjek srednje škole Br. 5. 95% informacija osoba percipira kroz organe vida...
“Funkcije i njihovi grafovi” - 3. Tangentna funkcija. Trigonometrijski. Funkcija je definirana i kontinuirana na cijelom skupu realnih brojeva. Definicija: Numerička funkcija dana formulom y = cos x naziva se kosinus. 4.Kotangens funkcija. U točki x = a funkcija može i ne mora postojati. Definicija 1. Neka je funkcija y = f(x) definirana na intervalu.
"Funkcije više varijabli" - Najveća i najmanja vrijednost funkcije. Weierstrassov teorem. Unutarnje i rubne točke. Limit funkcije 2 varijable. Grafikon funkcije. Teorema. Kontinuitet. Ograničeno područje. Otvoreni i zatvoreni prostori. Derivati viših redova. Parcijalne derivacije. Djelomični inkrementi funkcije 2 varijable.
“3D crteži na asfaltu” - Kurt je svoje prve radove počeo stvarati sa 16 godina u Santa Barbari, gdje je postao ovisan o uličnoj umjetnosti. 3D crteži na asfaltu. Kurt Wenner jedan je od najpoznatijih uličnih umjetnika koji crta 3D crteže na asfaltu običnim bojicama. SAD. Kurt Wenner je kao mladić radio kao ilustrator za NASA-u, gdje je kreirao početne slike budućih svemirskih letjelica.
“Funkcija teme” - Ako učenici rade drugačije, onda bi nastavnik trebao raditi s njima drugačije. Potrebno je otkriti ne ono što učenik ne zna, nego ono što on zna. Generalizacija. Sinteza. Rezultati jedinstvenog državnog ispita u matematici. Izborni program nastave. Udruga. Obrazovno-tematski plan (24 sata). Analogija. Ako učenik nadmaši učitelja, to je učiteljeva sreća.
Svojstva i grafički zadaci kvadratna funkcija izazvati, kako praksa pokazuje, ozbiljne poteškoće. To je prilično čudno, jer oni uče kvadratnu funkciju u 8. razredu, a zatim kroz prvo tromjesečje 9. razreda "muče" svojstva parabole i grade njezine grafove za razne parametre.
To je zbog činjenice da kada učenici prisiljavaju konstruirati parabole, oni praktički ne posvećuju vrijeme "čitanju" grafikona, odnosno ne vježbaju razumijevanje informacija dobivenih sa slike. Očigledno se pretpostavlja da će, nakon konstruiranja desetak ili dva grafikona, pametan učenik sam otkriti i formulirati odnos između koeficijenata u formuli i izgled grafika. U praksi to ne funkcionira. Za takvu generalizaciju potrebno je ozbiljno iskustvo u matematičkim mini-istraživanjima, što većina učenika devetog razreda, naravno, ne posjeduje. U međuvremenu, Državni inspektorat predlaže određivanje znakova koeficijenata pomoću rasporeda.
Od školaraca nećemo zahtijevati nemoguće i jednostavno ćemo ponuditi jedan od algoritama za rješavanje takvih problema.
Dakle, funkcija forme y = ax 2 + bx + c zove se kvadratna, njen graf je parabola. Kao što naziv govori, glavni pojam je sjekira 2. To jest A ne smije biti jednak nuli, preostali koeficijenti ( b I S) može biti jednaka nuli.
Pogledajmo kako predznaci njezinih koeficijenata utječu na izgled parabole.
Najjednostavnija ovisnost za koeficijent A. Većina školaraca samouvjereno odgovara: „ako A> 0, tada su grane parabole usmjerene prema gore, a ako A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.
y = 0,5x 2 - 3x + 1
U ovom slučaju A = 0,5
A sada za A < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
U ovom slučaju A = - 0,5
Utjecaj koeficijenta S Također je prilično lako pratiti. Zamislimo da želimo pronaći vrijednost funkcije u točki X= 0. Zamijenite nulu u formulu:
g = a 0 2 + b 0 + c = c. Ispostavilo se da y = c. To jest S je ordinata točke presjeka parabole s osi y. Obično je ovu točku lako pronaći na grafikonu. I odredite nalazi li se iznad nule ili ispod. To jest S> 0 ili S < 0.
S > 0:
y = x 2 + 4x + 3
S < 0
y = x 2 + 4x - 3
Prema tome, ako S= 0, tada će parabola nužno prolaziti kroz ishodište:
y = x 2 + 4x
Teže s parametrom b. Točka u kojoj ćemo ga pronaći ovisi ne samo o b ali i iz A. Ovo je vrh parabole. Njegova apscisa (koordinata osi X) nalazi se formulom x u = - b/(2a). dakle, b = - 2ax in. Odnosno, postupamo na sljedeći način: nalazimo vrh parabole na grafu, određujemo znak njegove apscise, odnosno gledamo desno od nule ( x in> 0) ili lijevo ( x in < 0) она лежит.
Međutim, to nije sve. Također moramo obratiti pozornost na predznak koeficijenta A. Odnosno, pogledajte kamo su usmjerene grane parabole. I tek nakon toga, prema formuli b = - 2ax in odrediti znak b.
Pogledajmo primjer:
Grane su usmjerene prema gore, što znači A> 0, parabola siječe os na ispod nule, tj S < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Dakle b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, S < 0.
