Video tutorial “Pojednostavljenje trigonometrijski izrazi» osmišljen je za razvoj vještina učenika u rješavanju trigonometrijskih problema korištenjem osnovnih trigonometrijskih identiteta. Tijekom video lekcije raspravlja se o vrstama trigonometrijskih identiteta i primjerima rješavanja problema pomoću njih. Korištenjem vizualnih pomagala učitelju je lakše postići ciljeve sata. Živopisna prezentacija gradiva potiče pamćenje važne točke. Korištenje animacijskih efekata i glasovnog snimanja omogućuje vam da u potpunosti zamijenite učitelja u fazi objašnjavanja gradiva. Dakle, korištenjem ovog vizualnog pomagala u nastavi matematike učitelj može povećati učinkovitost nastave.
Na početku video lekcije najavljuje se njezina tema. Zatim se prisjetimo ranije proučenih trigonometrijskih identiteta. Zaslon prikazuje jednakosti sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, gdje je t≠π/2+πk za kϵZ, ctg t=cos t/sin t, ispravno za t≠πk, gdje je kϵZ, tg t· ctg t=1, za t≠πk/2, gdje je kϵZ, nazvani osnovni trigonometrijski identiteti. Napominje se da se ti identiteti često koriste u rješavanju problema gdje je potrebno dokazati jednakost ili pojednostaviti izraz.
U nastavku razmatramo primjere primjene ovih identiteta u rješavanju problema. Prvo se predlaže razmatranje rješavanja problema pojednostavljivanja izraza. U primjeru 1 potrebno je pojednostaviti izraz cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Da bismo riješili primjer, prvo izvadimo zajednički faktor cos 2 t iz zagrada. Kao rezultat ove transformacije u zagradi se dobiva izraz 1- cos 2 t čija je vrijednost iz glavnog identiteta trigonometrije jednaka sin 2 t. Nakon transformacije izraza očito je da se još jedan zajednički faktor sin 2 t može izdvojiti iz zagrada, nakon čega izraz poprima oblik sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Iz istog osnovnog identiteta izvodimo vrijednost izraza u zagradama jednaku 1. Kao rezultat pojednostavljenja dobivamo cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.
U primjeru 2, izraz cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) treba pojednostaviti. Budući da brojnici oba razlomka sadrže izraz trošak, on se može izdvojiti iz zagrada kao zajednički faktor. Razlomci u zagradama tada se svode na zajednički nazivnik množenje (1- sint)(1+ sint). Nakon donošenja sličnih članova, brojnik ostaje 2, a nazivnik 1 - sin 2 t. Na desnoj strani ekrana prisjeća se osnovnog trigonometrijskog identiteta sin 2 t+cos 2 t=1. Pomoću njega nalazimo nazivnik razlomka cos 2 t. Nakon redukcije razlomka dobivamo pojednostavljeni oblik izraza cijena/(1- sint)+ cijena/(1+ sint)=2/trošak.
Zatim ćemo razmotriti primjere dokaza identiteta koji koriste stečena znanja o osnovnim identitetima trigonometrije. U primjeru 3 potrebno je dokazati identitet (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Desna strana ekrana prikazuje tri identiteta koja će biti potrebna za dokaz - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t i tg t=sin t/cos t s ograničenjima. Za dokazivanje identiteta prvo se otvaraju zagrade, nakon čega se formira produkt koji odražava izraz glavnog trigonometrijskog identiteta tg t·ctg t=1. Tada se prema identitetu iz definicije kotangensa transformira ctg 2 t. Kao rezultat transformacija dobiva se izraz 1-cos 2 t. Koristeći glavni identitet, pronalazimo značenje izraza. Dakle, dokazano je (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.
U primjeru 4 potrebno je pronaći vrijednost izraza tg 2 t+ctg 2 t ako je tg t+ctg t=6. Da biste izračunali izraz, prvo kvadrirajte desnu i lijevu stranu jednakosti (tg t+ctg t) 2 =6 2. Skraćena formula množenja prikazuje se na desnoj strani zaslona. Nakon otvaranja zagrada na lijevoj strani izraza formira se zbroj tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t za čiju transformaciju možete primijeniti jedan od trigonometrijskih identiteta tg t·ctg t=1 , čiji se oblik poziva na desnoj strani ekrana. Nakon transformacije dobije se jednakost tg 2 t+ctg 2 t=34. Lijeva strana jednakosti poklapa se s uvjetom zadatka, pa je odgovor 34. Zadatak je riješen.
Video lekcija "Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza" preporučuje se za korištenje na tradicionalnom školskom satu matematike. Materijal će također biti koristan učitelju koji ga provodi učenje na daljinu. U svrhu razvijanja vještina rješavanja trigonometrijskih problema.
DEKODIRANJE TEKSTA:
"Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza."
Jednakosti
1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kvadrat te plus kosinus kvadrat te jednako je jedan)
2)tgt =, za t ≠ + πk, kϵZ (tangens te jednak je omjeru sinusa te i kosinusa te s tim da te nije jednak pi za dva plus pi ka, ka pripada zet)
3)ctgt = , za t ≠ πk, kϵZ (kotangens te jednak je omjeru kosinusa te i sinusa te pri čemu te nije jednak pi ka, ka pripada zet).
4) tgt ∙ ctgt = 1 za t ≠ , kϵZ (umnožak tangensa te s kotangensom te jednak je jedan kada te nije jednako vrhu ka, podijeljeno s dva, ka pripada zet)
nazivaju se osnovni trigonometrijski identiteti.
Često se koriste za pojednostavljivanje i dokazivanje trigonometrijskih izraza.
Pogledajmo primjere korištenja ovih formula za pojednostavljenje trigonometrijskih izraza.
PRIMJER 1. Pojednostavite izraz: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (izraz a kosinus na kvadrat te minus kosinus četvrtog stupnja te plus sinus četvrtog stupnja te).
Riješenje. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t
(izvadimo zajednički faktor kosinus kvadrat te, u zagradama dobijemo razliku između jedinice i kvadrata kosinusa te, koji je jednak kvadratu sinusa te prema prvom identitetu. Dobivamo zbroj sinusa četvrte potencije te umnožak kosinus kvadrat te i sinus kvadrat te iznesemo izvan zagrada, u zagradama dobijemo zbroj kvadrata kosinusa i sinusa, koji je prema osnovnoj trigonometrijskoj identičnosti jednak jedinici. Kao rezultat dobivamo kvadrat sinusa te).
PRIMJER 2. Pojednostavite izraz: + .
(izraz je zbroj dva razlomka u brojniku prvog kosinusa te u nazivniku jedan minus sinus te, u brojniku drugog kosinusa te u nazivniku drugog plus sinus te).
(Izbacimo zajednički faktor kosinus te iz zagrada, au zagradama ga dovedemo do zajedničkog nazivnika, koji je umnožak jedan minus sinus te s jedan plus sinus te.
U brojniku dobivamo: jedan plus sinus te plus jedan minus sinus te, dajemo slične, brojnik je jednak dva nakon dovođenja sličnih.
U nazivniku možete primijeniti skraćenu formulu množenja (razlika kvadrata) i dobiti razliku jedinice i kvadrata sinusa te, koji prema osnovnom trigonometrijskom identitetu
jednak kvadratu kosinusa te. Nakon smanjenja za kosinus te dobivamo konačan odgovor: dva podijeljena s kosinusom te).
Pogledajmo primjere korištenja ovih formula pri dokazivanju trigonometrijskih izraza.
PRIMJER 3. Dokažite identičnost (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (umnožak razlike kvadrata tangenta te i sinusa te s kvadratom kotangensa te jednak je kvadratu sine te).
Dokaz.
Transformirajmo lijevu stranu jednakosti:
(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = sin 2 t
(Otvorimo zagrade; iz prethodno dobivenog odnosa poznato je da je umnožak kvadrata tangensa te i kotangensa te jednak jedan. Podsjetimo se da je kotangens te jednak omjeru kosinusa te i sinusa te, što znači da je kvadrat kotangensa omjer kvadrata kosinusa te i kvadrata sinusa te.
Nakon smanjenja za sinus kvadrat te dobivamo razliku između jedinice i kosinusa kvadrata te, koji je jednak sinus kvadratu te). Q.E.D.
PRIMJER 4. Odredite vrijednost izraza tg 2 t + ctg 2 t ako je tgt + ctgt = 6.
(zbroj kvadrata tangensa te i kotangensa te, ako je zbroj tangensa i kotangensa šest).
Riješenje. (tgt + ctgt) 2 = 6 2
tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36
tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36
tg 2 t + ctg 2 t = 36-2
tg 2 t + ctg 2 t = 34
Kvadrirajmo obje strane izvorne jednakosti:
(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (kvadrat zbroja tangensa te i kotangensa te jednak je šest na kvadrat). Prisjetimo se formule za skraćeno množenje: Kvadrat zbroja dviju veličina jednak je kvadratu prve plus dvostruki umnožak prve s drugom plus kvadrat druge. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Dobivamo tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (tangens na kvadrat te plus dvostruki umnožak tangensa te s kotangensom te plus kotangens na kvadrat te jednako trideset šest) .
Budući da je umnožak tangensa te i kotangensa te jednak jedan, tada je tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (zbroj kvadrata tangensa te i kotangensa te i dva jednak je trideset šest),
U transformacije identiteta trigonometrijski izrazi mogu se koristiti sljedeće algebarske tehnike: zbrajanje i oduzimanje istih članova; stavljanje zajedničkog faktora izvan zagrada; množenje i dijeljenje istom količinom; primjena formula za skraćeno množenje; odabir cijelog kvadrata; raspad kvadratni trinom po množiteljima; uvođenje novih varijabli za pojednostavljenje transformacija.
Kada pretvarate trigonometrijske izraze koji sadrže razlomke, možete koristiti svojstva proporcije, svođenja razlomaka ili svođenja razlomaka na zajednički nazivnik. Osim toga, možete koristiti odabir cijelog dijela razlomka, množenjem brojnika i nazivnika razlomka s istim iznosom, a također, ako je moguće, uzeti u obzir homogenost brojnika ili nazivnika. Ako je potrebno, razlomak možete prikazati kao zbroj ili razliku nekoliko jednostavnijih razlomaka.
Osim toga, pri primjeni svih potrebnih metoda za pretvaranje trigonometrijskih izraza, potrebno je stalno voditi računa o rasponu dopuštenih vrijednosti izraza koji se pretvaraju.
Pogledajmo nekoliko primjera.
Primjer 1.
Izračunajte A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π) /2) +
+
sin (3π/2 – x) sin (2x –5π/2)) 2
Riješenje.
Iz formula redukcije slijedi:
sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;
sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;
cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;
sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.
Odakle, na temelju formula za zbrajanje argumenata i glavnog trigonometrijskog identiteta, dobivamo
A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1
Odgovor: 1.
Primjer 2.
Pretvorite izraz M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ u umnožak.
Riješenje.
Iz formula za zbrajanje argumenata i formula za pretvaranje zbroja trigonometrijskih funkcija u umnožak nakon odgovarajućeg grupiranja imamo
M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =
2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =
2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =
2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =
2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =
4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).
Odgovor: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).
Primjer 3.
Pokažite da izraz A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) uzima jedan za sve x iz R i isto značenje. Pronađite ovu vrijednost.
Riješenje.
Evo dva načina za rješavanje ovog problema. Primjenom prve metode, izdvajanjem potpunog kvadrata i uporabom pripadajućih osnovnih trigonometrijskih formula, dobivamo
A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =
4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =
Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.
Rješavajući zadatak na drugi način, promatrajte A kao funkciju x iz R i izračunajte njegovu derivaciju. Nakon transformacija dobivamo
A´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =
Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =
Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =
Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.
Dakle, zbog kriterija konstantnosti funkcije diferencijabilne na intervalu, zaključujemo da
A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R. 
Odgovor: A = 3/4 za x € R.
Glavne tehnike za dokazivanje trigonometrijskih identiteta su:
A) svođenje lijeve strane identiteta na desnu kroz odgovarajuće transformacije;
b) svođenje desne strane identiteta na lijevu;
V) svođenje desne i lijeve strane identiteta na isti oblik;
G) svodeći na nulu razliku između lijeve i desne strane identiteta koji se dokazuje.
Primjer 4.
Provjerite je li cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).
Riješenje.
Transformirajući desnu stranu ovog identiteta pomoću odgovarajućih trigonometrijskih formula, imamo
4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =
2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =
2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =
2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.
Desna strana identiteta svodi se na lijevu.
Primjer 5.
Dokažite da je sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2 ako su α, β, γ unutarnji kutovi nekog trokuta.
Riješenje.
Uzimajući u obzir da su α, β, γ unutarnji kutovi nekog trokuta, dobivamo
α + β + γ = π i, prema tome, γ = π – α – β.
sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =
Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =
Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =
Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =
1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.
Izvorna jednakost je dokazana.
Primjer 6.
Dokažite da je potrebno i dovoljno da je sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0 da bi jedan od kutova α, β, γ trokuta bio jednak 60°.
Riješenje.
Uvjet ovog problema uključuje dokazivanje i nužnosti i dostatnosti.
Prvo dokažimo nužnost.
Može se pokazati da
sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).
Dakle, uzimajući u obzir da je cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, dobivamo da ako je jedan od kutova α, β ili γ jednak 60°, tada
cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 i, prema tome, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.
Dokažimo sada adekvatnost navedeno stanje.
Ako je sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, tada je cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, pa stoga
ili cos (3α/2) = 0, ili cos (3β/2) = 0, ili cos (3γ/2) = 0.
Stoga,
ili 3α/2 = π/2 + πk, tj. α = π/3 + 2πk/3, 
odnosno 3β/2 = π/2 + πk, tj. β = π/3 + 2πk/3,
ili 3γ/2 = π/2 + πk,
oni. γ = π/3 + 2πk/3, gdje je k ϵ Z.
Iz činjenice da su α, β, γ kutovi trokuta, imamo
0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.
Prema tome, za α = π/3 + 2πk/3 ili β = π/3 + 2πk/3 ili
γ = π/3 + 2πk/3 od svih kϵZ samo je k = 0 prikladno.
Slijedi da je ili α = π/3 = 60°, ili β = π/3 = 60°, ili γ = π/3 = 60°.
Izjava je dokazana.
Još uvijek imate pitanja? Niste sigurni kako pojednostaviti trigonometrijske izraze?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!
web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.
Voronkova Olga Ivanovna
MBOU "Srednja škola"
br. 18"
Engels, Saratovska oblast.
Profesor matematike.
"Trigonometrijski izrazi i njihove transformacije"
Uvod……………………………………………………………………………………...3
Poglavlje 1 Klasifikacija zadataka o korištenju transformacija trigonometrijskih izraza …………………………………………………...5
1.1. Računski zadaci vrijednosti trigonometrijskih izraza……….5
1.2.Zadaci pojednostavljivanja trigonometrijskih izraza.... 7
1.3. Zadaci za pretvaranje brojčanih trigonometrijskih izraza.....7
1.4 Zadaci mješovitog tipa……………………………………………………….....9
Poglavlje 2. Metodički aspekti organizacije završnog ponavljanja teme „Transformacija trigonometrijskih izraza“………………………………11
2.1 Tematsko ponavljanje u 10. razredu………………………………………………………...11
Test 1…………………………………………………………………………………..12
Test 2…………………………………………………………………………………..13
Test 3…………………………………………………………………………………..14
2.2 Završno ponavljanje u 11. razredu………………………………………………………...15
Test 1…………………………………………………………………………………..17
Test 2…………………………………………………………………………………..17
Test 3…………………………………………………………………………………..18
Zaključak.…………………………………………………………………………………..19
Popis referenci…………………………………………………………..…….20
Uvod.
U današnjim uvjetima najvažnije je pitanje: "Kako možemo pomoći u uklanjanju nekih praznina u znanju učenika i upozoriti ih na moguće pogreške na Jedinstvenom državnom ispitu?" Da bi se riješio ovaj problem, potrebno je od učenika postići ne formalnu asimilaciju programskog materijala, već njegovo duboko i svjesno razumijevanje, razvoj brzine usmenih računanja i transformacija, kao i razvoj vještina rješavanja jednostavnih problema „u um." Učenike je potrebno uvjeriti da samo ako imaju aktivan stav, u učenju matematike, uz stjecanje praktičnih vještina i umijeća te njihovo korištenje, mogu računati na pravi uspjeh. Potrebno je iskoristiti svaku priliku za pripremu Jedinstvenog državnog ispita, uključujući izborne predmete u 10. i 11. razredu, te redovito pregledavati složene zadatke s učenicima, birajući najracionalniji način njihovog rješavanja na lekcijama i dodatnoj nastavi.Pozitivan rezultat upodručja rješavanja standardnih problema mogu postići ako učitelji matematike, stvaranjemdobra osnovna obuka učenika, tražiti nove načine rješavanja problema koji su nam se otvorili, aktivno eksperimentirati, primjenjivati suvremene obrazovne tehnologije, metode, tehnike koje stvaraju povoljne uvjete za učinkovito samoostvarenje i samoodređenje učenika u novim društvenim uvjetima.
Trigonometrija je sastavni dio školskog tečaja matematike. Dobro poznavanje i izražene vještine u trigonometriji dokaz su dovoljne razine matematičke kulture, neizostavnog uvjeta za uspješno studiranje matematike, fizike i niza tehničkih smjerova na fakultetu. disciplinama.
Relevantnost rada. Značajan udio maturanata iz godine u godinu pokazuje vrlo lošu pripremljenost u ovom važnom dijelu matematike, o čemu svjedoče rezultati prošlih godina (postotak završenih 2011. - 48,41%, 2012. - 51,05%), budući da analiza prolaznosti Jedinstveni državni ispit pokazao je da učenici rade mnogo pogrešaka pri rješavanju zadataka iz ovog dijela ili ih uopće ne rješavaju. U jednom državni ispit Trigonometrijska pitanja nalaze se u gotovo tri vrste zadataka. To uključuje rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi u zadatku B5, rad s trigonometrijskim izrazima u zadatku B7, te proučavanje trigonometrijskih funkcija u zadatku B14, kao i zadatak B12 koji sadrži formule koje opisuju fizikalne pojave i sadrži trigonometrijske funkcije. A ovo je samo dio zadataka B! Ali tu su i omiljene trigonometrijske jednadžbe s odabirom korijena C1, te “ne tako omiljeni” geometrijski zadaci C2 i C4.
Cilj rada. Analizirati Materijal za jedinstveni državni ispit zadatke B7, posvećene transformacijama trigonometrijskih izraza i razvrstati zadatke prema obliku prikaza u testovima.
Rad se sastoji od dva poglavlja, uvoda i zaključka. U uvodu se ističe relevantnost rada. Prvo poglavlje daje klasifikaciju zadataka o korištenju transformacija trigonometrijskih izraza u testu Zadaci Jedinstvenog državnog ispita(2012).
U drugom poglavlju govori se o organizaciji ponavljanja teme “Transformacija trigonometrijskih izraza” u 10. i 11. razredu te su izrađeni testovi za ovu temu.
Popis literature uključuje 17 izvora.
Poglavlje 1. Klasifikacija zadataka pomoću transformacija trigonometrijskih izraza.
U skladu sa standardom srednjeg (potpunog) obrazovanja i zahtjevima za stupanj pripremljenosti učenika, kodifikator zahtjeva sadrži zadatke o poznavanju osnova trigonometrije.
Učenje osnova trigonometrije bit će najučinkovitije kada:
osigurat će se pozitivna motivacija učenika za ponavljanje prethodno naučenog gradiva;
V obrazovni proces primijenit će se pristup usmjeren na osobu;
koristit će se sustav zadataka koji pomaže proširivanju, produbljivanju i usustavljivanju znanja učenika;
Koristit će se napredne pedagoške tehnologije.
Analizirajući literaturu i internetske izvore o pripremi za Jedinstveni državni ispit, predložili smo jednu od mogućih klasifikacija zadataka B7 (KIM Jedinstveni državni ispit 2012-trigonometrija): računski zadacivrijednosti trigonometrijskih izraza; zadaci zapretvaranje numeričkih trigonometrijskih izraza; zadaci za pretvaranje literalnih trigonometrijskih izraza; zadaci mješovitog tipa.
1.1. Računski zadaci značenja trigonometrijskih izraza.
Jedan od najčešćih tipova jednostavnih trigonometrijskih problema je izračunavanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija iz vrijednosti jedne od njih:
a) Korištenje osnovnog trigonometrijskog identiteta i njegove posljedice.
Primjer 1
. Pronađite ako 
I 
.
Riješenje. 
, 
,
Jer , To 
.
Odgovor.
Primjer 2
. Pronaći 
, Ako 
i .
Riješenje. 
, 
, 
.
Jer , To 
.
Odgovor. .
b) Korištenje formula dvostrukog kuta.
Primjer 3
. Pronaći 
, Ako 
.
Riješenje. , 
.
Odgovor. 
.
Primjer 4
. Pronađite značenje izraza 
.
Riješenje. .
Odgovor. 
.
1. Pronaći , Ako
I 
. Odgovor. -0,2 2.
Pronaći , Ako 
I 
. Odgovor. 0.4
, Ako . Odgovor. -12.884.
Pronaći 
, Ako 
. Odgovor. -0,845.
Pronađite značenje izraza:
. Odgovor. 66.
Pronađite značenje izraza
.Odgovor. -191.2.Zadaci pojednostavljivanja trigonometrijskih izraza. Učenici bi trebali dobro razumjeti redukcijske formule jer će pronaći daljnju primjenu u geometriji, fizici i drugim srodnim disciplinama.
Primjer 5
.
Pojednostavite izraze 
.
Riješenje. .
Odgovor. 
.
Zadaci za samostalno rješavanje:
1. Pojednostavite izraz
.
Odgovor. 0.62.
Pronaći 
, Ako 
I. Odgovor. 10.563.
Pronađite značenje izraza 
, Ako 
.
Odgovor. 2 1.3. Zadaci za pretvaranje numeričkih trigonometrijskih izraza.
Prilikom vježbanja vještina zadataka za pretvorbu numeričkih trigonometrijskih izraza treba obratiti pozornost na poznavanje tablice vrijednosti trigonometrijskih funkcija, svojstava pariteta i periodičnosti trigonometrijskih funkcija.
a) Korištenje točnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija za neke kutove.
Primjer 6
. Izračunati 
.
Riješenje. 
.
Odgovor. 
.
b) Korištenje paritetnih svojstava trigonometrijske funkcije.
Primjer 7
. Izračunati 
.
Riješenje. .
Odgovor. 
V) Korištenje svojstava periodičnostitrigonometrijske funkcije.
Primjer 8
.
Pronađite značenje izraza 
.
Riješenje. .
Odgovor. 
.
Zadaci za samostalno rješavanje:
1. Pronađite značenje izraza
.
Odgovor. -40,52. Pronađite značenje izraza 
.
Odgovor. 17 3.
Pronađite značenje izraza 
.
Odgovor. 6
.
Odgovor. -24 
Odgovor. -641.4 Zadaci mješovitog tipa.
Obrazac za certifikacijski test ima vrlo značajne značajke, stoga je važno obratiti pozornost na zadatke koji se odnose na korištenje više trigonometrijskih formula istovremeno.
Primjer 9.
Pronaći 
, Ako 
.
Riješenje. 
.
Odgovor. 
.
Primjer 10
. Pronaći 
, Ako 
I 
.
Riješenje. .
Jer , To 
.
Odgovor. 
.
Primjer 11.
Pronaći 
, Ako .
Riješenje. , , 
, 
, 
, 
, 
.
Odgovor.
Primjer 12.
Izračunati 
.
Riješenje. .
Odgovor. 
.
Primjer 13.
Pronađite značenje izraza 
, Ako 
.
Riješenje. .
Odgovor. 
.
Zadaci za samostalno rješavanje:
1. Pronaći
, Ako 
.
Odgovor. -1,752. Pronaći
, Ako 
.
Odgovor. 33. Pronađite 
, Ako .Odgovor. 0,254. Pronađite značenje izraza 
, Ako 
.
Odgovor. 0.35. Pronađite značenje izraza 
, Ako 
.
Odgovor. 5Poglavlje 2. Metodički aspekti organizacije završnog ponavljanja teme “Transformacija trigonometrijskih izraza.”
Jedno od najvažnijih pitanja koja pridonose daljnjem poboljšanju akademske uspješnosti i postizanju dubljeg i trajnog znanja kod učenika je pitanje ponavljanja prethodno obrađenog gradiva. Praksa pokazuje da je u 10. razredu svrsishodnije organizirati tematsko ponavljanje; u 11. razredu - završno ponavljanje.
2.1. Tematska obnova u 10. razredu.
U procesu rada na matematičkom gradivu posebno veliki značaj stječe ponavljanje svake odrađene teme ili cijelog dijela kolegija.
Tematskim ponavljanjem usustavljuje se znanje učenika o temi u završnoj fazi njezina završetka ili nakon određenog odmora.
Za tematsko ponavljanje dodjeljuju se posebne lekcije u kojima se materijal jedne određene teme koncentrira i generalizira.
Ponavljanje na satu provodi se kroz razgovor uz široko uključivanje učenika u taj razgovor. Nakon toga učenici dobivaju zadatak ponoviti pojedinu temu i upozoravaju se da će se raditi probni rad.
Test na temu treba sadržavati sva glavna pitanja. Nakon obavljenog rada slijedi analiza karakteristične greške a ponavljanje je organizirano da ih eliminira.
Za satove tematskog ponavljanja nudimo razvijene ocjenjivački rad u obliku testova na temu “Transformacija trigonometrijskih izraza”.
Test br. 1
Test br. 2
Test br. 3
Tablica odgovora
Test
2.2. Završni pregled u 11. razredu.
Završno ponavljanje provodi se u završnoj fazi proučavanja glavnih pitanja kolegija matematike i provodi se u logičnoj vezi sa studijem obrazovni materijal za ovaj dio ili tečaj u cjelini.
Završno ponavljanje nastavnog gradiva ima sljedeće ciljeve:
1. Aktivacija cjelokupnog materijala tečaj razjasniti njegovu logičku strukturu i izgraditi sustav unutar predmetnih i međupredmetnih veza.
2. Produbljivanje i po mogućnosti proširivanje znanja studenata o glavnim temama kolegija u procesu ponavljanja.
U kontekstu obveznog polaganja ispita iz matematike za sve maturante, postupno uvođenje Jedinstvenog državnog ispita prisiljava nastavnike na novi pristup pripremi i izvođenju nastave, uzimajući u obzir potrebu da se osigura da svi učenici ovladaju obrazovnim materijal na osnovna razina, kao i priliku da motivirani studenti zainteresirani za postizanje visokih bodova za upis na sveučilište dinamično napreduju u savladavanju gradiva na naprednoj i visokoj razini.
Tijekom lekcija završne ponavljanja možete razmotriti sljedeće zadatke:
Primjer 1 . Izračunajte vrijednost izraza.Riješenje. =
= = 
=
=
=
=0,5.
Odgovor. 0,5. Primjer 2.
Navedite najveću vrijednost cijelog broja koju izraz može prihvatiti 
.
Riješenje. Jer 
može uzeti bilo koju vrijednost koja pripada segmentu [–1; 1], zatim 
uzima bilo koju vrijednost segmenta [–0,4; 0,4], dakle . Izraz ima jednu cjelobrojnu vrijednost – broj 4.
.
Rješenje: Upotrijebimo formulu za faktoring zbroja kubova: . Imamo
Imamo: 
.
Odgovor: 1
Primjer 4.
Izračunati 
.
Riješenje. .
Odgovor: 0,28
Za završne lekcije ponavljanja nudimo razvijene testove na temu "Transformacija trigonometrijskih izraza."
Unesite najveći cijeli broj koji ne prelazi 1
Zaključak.
Proradivši odgovarajuće metodička literatura o ovoj temi možemo zaključiti da sposobnost i vještine rješavanja problema vezanih uz trigonometrijske transformacije u školskom tečaju matematike vrlo je važan.
U tijeku rada izvršena je klasifikacija zadataka B7. Razmotreno trigonometrijske formule najčešće korišten u CMM-ovima u 2012. Navedeni su primjeri zadataka s rješenjima. Razvijeni su diferencirani testovi za organiziranje ponavljanja i sistematiziranje znanja u pripremi za Jedinstveni državni ispit.
Preporučljivo je nastaviti započeti posao razmatranjem rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi u zadatku B5, proučavanje trigonometrijskih funkcija u zadatku B14, zadaci B12 koji sadrže formule koje opisuju fizikalne pojave i sadrže trigonometrijske funkcije.
Zaključno, želio bih napomenuti da je učinkovitost polaganje Jedinstvenog državnog ispita uvelike je određena time koliko je učinkovito organiziran proces obuke na svim razinama obrazovanja, sa svim kategorijama učenika. A ako uspijemo učenicima usaditi samostalnost, odgovornost i spremnost na učenje kroz cijeli život, tada ćemo ne samo ispuniti nalog države i društva, nego i povećati vlastito samopoštovanje.
Ponavljanje nastavnog gradiva zahtijeva od učitelja kreativni rad. Mora osigurati jasnu vezu između vrsta ponavljanja i implementirati duboko promišljen sustav ponavljanja. Ovladati vještinom organiziranja ponavljanja zadatak je učitelja. O njegovom rješenju uvelike ovisi snaga znanja učenika.
Književnost.
Vygodsky Ya.Ya., Priručnik elementarne matematike. -M.: Nauka, 1970.
Problemi povećane težine u algebri i počeci analize: Udžbenik za 10.-11. razred srednje škole / B.M. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnicin, S.I. Schwartzburd. – M.: Obrazovanje, 1990.
Primjena osnovnih trigonometrijskih formula na transformaciju izraza (10. razred) // Festival pedagoških ideja. 2012-2013.
Koryanov A.G. , Prokofjev A.A. Pripremamo dobre i odlične učenike za Jedinstveni državni ispit. - M.: Pedagoško sveučilište“Prvi rujan”, 2012.- 103 str.
Kuznjecova E.N. Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi različitim metodama (priprema za Jedinstveni državni ispit). 11. razred. 2012-2013.
Kulanin E. D. 3000 natjecateljskih zadataka iz matematike. 4. izdanje, točno. i dodatni – M.: Rolf, 2000.
Mordkovich A.G. Metodološki problemi proučavajući trigonometriju u Srednja škola// Matematika u školi. 2002. br. 6.
Pichurin L.F. O trigonometriji i ne samo o njoj: -M. Prosvjeta, 1985
Reshetnikov N.N. Trigonometrija u školi: -M. : Pedagoško sveučilište “Prvi rujan”, 2006, lx 1.
Šabunjin M.I., Prokofjev A.A. Matematika. Algebra. Počeci matematičke analize Profilna razina: udžbenik za 10. razred - M.: BINOM. Laboratorij znanja, 2007. (monografija).
Obrazovni portal za pripremu za jedinstveni državni ispit.
Priprema za jedinstveni državni ispit iz matematike „Oh, ova trigonometrija! http://festival.1september.ru/articles/621971/
Projekt "Matematika? Lako!!!" http://www.resolventa.ru/
Odjeljci: Matematika
Klasa: 11
Lekcija 1
Predmet: 11. razred (priprema za Jedinstveni državni ispit)
Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza.
Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi. (2 sata)
Ciljevi:
- Usustaviti, generalizirati, proširiti znanja i vještine učenika vezane uz korištenje trigonometrijskih formula i rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi.
Oprema za lekciju:
Struktura lekcije:
- Organizacijski trenutak
- Testiranje na prijenosnim računalima. Rasprava o rezultatima.
- Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza
- Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi
- Samostalni rad.
- Sažetak lekcije. Obrazloženje domaće zadaće.
1. Organizacijski trenutak. (2 minute.)
Nastavnik pozdravlja publiku, najavljuje temu sata, podsjeća ih da su prethodno dobili zadatak ponoviti trigonometrijske formule i priprema učenike za provjeru znanja.
2. Ispitivanje. (15 min + 3 min rasprave)
Cilj je provjeriti poznavanje trigonometrijskih formula i sposobnost njihove primjene. Svaki učenik na svom stolu ima prijenosno računalo s verzijom testa.
Može postojati bilo koji broj opcija, dat ću primjer jedne od njih:
I opcija.
Pojednostavite izraze:
a) osnovni trigonometrijski identiteti
1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;
b) formule zbrajanja
3. sin5x - sin3x;
c) pretvaranje umnoška u zbroj
6. 2sin8y cos3y;
d) formule dvostrukog kuta
7. 2sin5x cos5x;
e) formule za polukutove
e) formule za trokute
g) univerzalna supstitucija
h) smanjenje stepena
16. cos 2 (3x/7);
Učenici svoje odgovore vide na prijenosnom računalu pored svake formule.
Rad se trenutno provjerava računalom. Rezultati se prikazuju na velikom ekranu kako bi ih svi mogli vidjeti.
Također, nakon završetka rada, točni odgovori se prikazuju na prijenosnim računalima učenika. Svaki učenik vidi gdje je pogriješio i koje formule treba ponoviti.
3. Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza. (25 min.)
Cilj je ponoviti, uvježbati i učvrstiti korištenje osnovnih trigonometrijskih formula. Rješavanje problema B7 s Jedinstvenog državnog ispita.
U ovoj fazi preporučljivo je podijeliti razred u grupe jakih učenika (samostalan rad uz naknadnu provjeru znanja) i slabih učenika koji rade s nastavnikom.
Zadatak za jake učenike (unaprijed pripremljen u tiskanom obliku). Glavni naglasak je na formulama smanjenja i dvostrukog kuta, prema Jedinstvenom državnom ispitu 2011.
Pojednostavite izraze (za jake učenike):
U isto vrijeme nastavnik radi sa slabijim učenicima, raspravlja i rješava zadatke na ekranu pod diktatom učenika.
Izračunati:
5) sin(270º - α) + cos (270º + α)
6) 
Pojednostaviti:
Došlo je vrijeme za razgovor o rezultatima rada jakosne skupine.
Odgovori se pojavljuju na ekranu, a također se pomoću video kamere prikazuju radovi 5 različitih učenika (svakom po jedan zadatak).
Slaba skupina vidi stanje i način rješenja. Rasprava i analiza su u tijeku. Korištenje tehnička sredstva događa se brzo.
4. Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi. (30 min.)
Cilj je ponoviti, sistematizirati i generalizirati rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi te zapisati njihove korijene. Rješenje problema B3.
Svaka trigonometrijska jednadžba, kako god je riješili, vodi do najjednostavnije.
Prilikom rješavanja zadatka učenici trebaju obratiti pozornost na zapisivanje korijena jednadžbi posebnih slučajeva i opći pogled i na izboru korijena u posljednjoj jednadžbi.
Riješite jednadžbe:
Zapišite najmanji pozitivni korijen kao odgovor.
5. Samostalni rad (10 min.)
Cilj je provjeriti stečene vještine, identificirati probleme, pogreške i načine otklanjanja istih.
Studentu se nudi višerazinski rad po izboru.
Opcija "3"
1) Odredite vrijednost izraza 
2) Pojednostavite izraz 1 - sin 2 3α - cos 2 3α
3) Riješite jednadžbu 
Opcija za "4"
1) Odredite vrijednost izraza
2) Riješite jednadžbu 
Zapišite najmanji pozitivni korijen u svoj odgovor.
Opcija za "5"
1) Nađi tanα ako 
2) Pronađite korijen jednadžbe 
Zapišite najmanji pozitivni korijen kao odgovor.
6. Sažetak lekcije (5 min.)
Nastavnik sumira činjenicu da su tijekom sata ponavljali i učvršćivali trigonometrijske formule i rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.
Domaća zadaća se zadaje (unaprijed pripremljena u tiskanom obliku) uz slučajnu provjeru na sljedećem satu.
Riješite jednadžbe:
9) 
10) 
U odgovoru označite najmanji pozitivni korijen.
Lekcija 2
Predmet: 11. razred (priprema za Jedinstveni državni ispit)
Metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi. Izbor korijena. (2 sata)
Ciljevi:
- Generalizirati i usustaviti znanja o rješavanju trigonometrijskih jednadžbi različitih vrsta.
- Poticati razvoj matematičkog mišljenja učenika, sposobnosti zapažanja, uspoređivanja, generaliziranja i klasificiranja.
- Poticati učenike na prevladavanje poteškoća u procesu mentalne aktivnosti, na samokontrolu i introspekciju svojih aktivnosti.
Oprema za lekciju: KRMu, prijenosna računala za svakog učenika.
Struktura lekcije:
- Organizacijski trenutak
- Rasprava d/z i sebe. rad s prošle lekcije
- Pregled metoda rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.
- Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi
- Izbor korijena u trigonometrijskim jednadžbama.
- Samostalni rad.
- Sažetak lekcije. Domaća zadaća.
1. Organizacijski trenutak (2 min.)
Nastavnik pozdravlja publiku, najavljuje temu sata i plan rada.
2. a) Analiza domaća zadaća(5 minuta.)
Cilj je provjeriti izvršenje. Jedan rad se prikazuje na ekranu pomoću video kamere, ostali se selektivno prikupljaju za provjeru nastavnika.
b) Analiza samostalan rad(3 min.)
Cilj je analizirati pogreške i ukazati na načine za njihovo prevladavanje.
Odgovori i rješenja su na ekranu; učenici imaju unaprijed zadane radove. Analiza se odvija brzo.
3. Prikaz metoda rješavanja trigonometrijskih jednadžbi (5 min.)
Cilj je prisjetiti se metoda rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.
Pitajte učenike koje metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi poznaju. Naglasite da postoje tzv. osnovne (često korištene) metode:
- zamjena varijable,
- faktorizacija,
- homogene jednadžbe,
a postoje i primijenjene metode:
- pomoću formula za pretvaranje zbroja u umnožak i umnoška u zbroj,
- prema formulama za smanjenje stupnja,
- univerzalna trigonometrijska supstitucija
- uvođenje pomoćnog kuta,
- množenje nekim trigonometrijska funkcija.
Također treba podsjetiti da se jedna jednadžba može riješiti na različite načine.
4. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi (30 min.)
Cilj je generalizirati i konsolidirati znanje i vještine o ovoj temi, pripremiti se za rješenje C1 iz Jedinstvenog državnog ispita.
Smatram da je uputno rješavati jednadžbe za svaku metodu zajedno s učenicima.
Učenik diktira rješenje, nastavnik ga zapisuje na tablet, a cijeli proces se prikazuje na ekranu. To će vam omogućiti da se brzo i učinkovito prisjetite prethodno obrađenog materijala u svoje pamćenje.
Riješite jednadžbe:
1) zamjena varijable 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0
2) faktorizacija 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0
3) homogene jednadžbe sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0
4) pretvaranje zbroja u produkt cos5x + cos7x = cos(π + 6x)
5) pretvaranje umnoška u zbroj 2sinx sin2x + cos3x = 0
6) smanjenje stupnja sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5
7) univerzalna trigonometrijska supstitucija sinx + 5cosx + 5 = 0.
Pri rješavanju ove jednadžbe treba uočiti da korištenjem ovu metodu dovodi do sužavanja raspona definicije, budući da su sinus i kosinus zamijenjeni s tg(x/2). Stoga prije ispisivanja odgovora treba provjeriti jesu li brojevi iz skupa π + 2πn, n Z konji ove jednadžbe.
8) uvođenje pomoćnog kuta √3sinx + cosx - √2 = 0
9) množenje nekom trigonometrijskom funkcijom cosx cos2x cos4x = 1/8.
5. Izbor korijena trigonometrijskih jednadžbi (20 min.)
Budući da u uvjetima oštre konkurencije pri upisu na fakultete samo rješavanje prvog dijela ispita nije dovoljno, većina studenata treba obratiti pozornost na zadatke drugog dijela (C1, C2, C3).
Stoga je cilj ove faze lekcije prisjetiti se prethodno proučenog materijala i pripremiti se za rješavanje problema C1 iz Jedinstvenog državnog ispita 2011.
Postoje trigonometrijske jednadžbe u kojima trebate odabrati korijene kada ispisujete odgovor. To je zbog nekih ograničenja, na primjer: nazivnik razlomka nije jednak nuli, izraz ispod korijena čak stupanj je nenegativan, izraz pod znakom logaritma je pozitivan, itd.
Takve se jednadžbe smatraju jednadžbama povećane složenosti i in verzija Jedinstvenog državnog ispita nalaze se u drugom dijelu, odnosno C1.
Riješite jednadžbu:
Razlomak je jednak nuli ako je tada 
pomoću jedinični krug odaberimo korijene (vidi sliku 1)
Slika 1.
dobivamo x = π + 2πn, n Z
Odgovor: π + 2πn, n Z
Na ekranu je odabir korijena prikazan u krugu na slici u boji.
Umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli, a luk ne gubi svoje značenje. Zatim
Koristeći jedinični krug, odabiremo korijene (vidi sliku 2)
Slika 2.
5) 
Idemo na sustav:
U prvoj jednadžbi sustava napravimo zamjenu log 2 (sinx) = y, tada dobijemo jednadžbu 
, vratimo se sustavu
koristeći jedinični krug odabiremo korijene (vidi sliku 5),
Slika 5.
6. Samostalni rad (15 min.)
Cilj je konsolidirati i provjeriti asimilaciju materijala, identificirati pogreške i naznačiti načine za njihovo ispravljanje.
Rad je ponuđen u tri verzije, unaprijed pripremljene u tiskanom obliku, na izbor učenika.
Jednadžbe možete rješavati na bilo koji način.
Opcija "3"
Riješite jednadžbe:
1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0
2) sin2x = √3cosx
Opcija za "4"
Riješite jednadžbe:
1) cos2x = 11sinx - 5
2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0
Opcija za "5"
Riješite jednadžbe:
1) 2sinx - 3cosx = 2
2) 
7. Sažetak lekcije, domaća zadaća (5 min.)
Nastavnik rezimira lekciju i još jednom skreće pozornost da se trigonometrijska jednadžba može riješiti na više načina. Najviše Najbolji način da bi se postigao brzi rezultat, to je onaj koji pojedini učenik najbolje nauči.
Prilikom pripreme za ispit potrebno je sustavno ponavljati formule i metode za rješavanje jednadžbi.
Dijele se domaće zadaće (unaprijed pripremljene u tiskanom obliku) i komentiraju metode rješavanja nekih jednadžbi.
Riješite jednadžbe:
1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x
2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0
3) 4sin 2 x + sin2x = 3
4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x = 0
5) cos3x cos6x = cos4x cos7x
6) 4sinx - 6cosx = 1
7) 3sin2x + 4 cos2x = 5
8)cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8)cos15x
9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0
10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0
11) 
Odjeljci: Matematika
Klasa: 11
Lekcija 1
Predmet: 11. razred (priprema za Jedinstveni državni ispit)
Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza.
Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi. (2 sata)
Ciljevi:
- Usustaviti, generalizirati, proširiti znanja i vještine učenika vezane uz korištenje trigonometrijskih formula i rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi.
Oprema za lekciju:
Struktura lekcije:
- Organizacijski trenutak
- Testiranje na prijenosnim računalima. Rasprava o rezultatima.
- Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza
- Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi
- Samostalni rad.
- Sažetak lekcije. Obrazloženje domaće zadaće.
1. Organizacijski trenutak. (2 minute.)
Nastavnik pozdravlja publiku, najavljuje temu sata, podsjeća ih da su prethodno dobili zadatak ponoviti trigonometrijske formule i priprema učenike za provjeru znanja.
2. Ispitivanje. (15 min + 3 min rasprave)
Cilj je provjeriti poznavanje trigonometrijskih formula i sposobnost njihove primjene. Svaki učenik na svom stolu ima prijenosno računalo s verzijom testa.
Može postojati bilo koji broj opcija, dat ću primjer jedne od njih:
I opcija.
Pojednostavite izraze:
a) osnovni trigonometrijski identiteti
1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;
b) formule zbrajanja
3. sin5x - sin3x;
c) pretvaranje umnoška u zbroj
6. 2sin8y cos3y;
d) formule dvostrukog kuta
7. 2sin5x cos5x;
e) formule za polukutove
e) formule za trokute
g) univerzalna supstitucija
h) smanjenje stepena
16. cos 2 (3x/7);
Učenici svoje odgovore vide na prijenosnom računalu pored svake formule.
Rad se trenutno provjerava računalom. Rezultati se prikazuju na velikom ekranu kako bi ih svi mogli vidjeti.
Također, nakon završetka rada, točni odgovori se prikazuju na prijenosnim računalima učenika. Svaki učenik vidi gdje je pogriješio i koje formule treba ponoviti.
3. Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza. (25 min.)
Cilj je ponoviti, uvježbati i učvrstiti korištenje osnovnih trigonometrijskih formula. Rješavanje problema B7 s Jedinstvenog državnog ispita.
U ovoj fazi preporučljivo je podijeliti razred u grupe jakih učenika (samostalan rad uz naknadnu provjeru znanja) i slabih učenika koji rade s nastavnikom.
Zadatak za jake učenike (unaprijed pripremljen u tiskanom obliku). Glavni naglasak je na formulama smanjenja i dvostrukog kuta, prema Jedinstvenom državnom ispitu 2011.
Pojednostavite izraze (za jake učenike):
U isto vrijeme nastavnik radi sa slabijim učenicima, raspravlja i rješava zadatke na ekranu pod diktatom učenika.
Izračunati:
5) sin(270º - α) + cos (270º + α)
6) 
Pojednostaviti:
Došlo je vrijeme za razgovor o rezultatima rada jakosne skupine.
Odgovori se pojavljuju na ekranu, a također se pomoću video kamere prikazuju radovi 5 različitih učenika (svakom po jedan zadatak).
Slaba skupina vidi stanje i način rješenja. Rasprava i analiza su u tijeku. Uz korištenje tehničkih sredstava to se događa brzo.
4. Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi. (30 min.)
Cilj je ponoviti, sistematizirati i generalizirati rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi te zapisati njihove korijene. Rješenje problema B3.
Svaka trigonometrijska jednadžba, kako god je riješili, vodi do najjednostavnije.
Prilikom rješavanja zadatka učenici trebaju paziti na pisanje korijena jednadžbi posebnih slučajeva i općeg oblika te na odabir korijena u posljednjoj jednadžbi.
Riješite jednadžbe:
Zapišite najmanji pozitivni korijen kao odgovor.
5. Samostalni rad (10 min.)
Cilj je provjeriti stečene vještine, identificirati probleme, pogreške i načine otklanjanja istih.
Studentu se nudi višerazinski rad po izboru.
Opcija "3"
1) Odredite vrijednost izraza 
2) Pojednostavite izraz 1 - sin 2 3α - cos 2 3α
3) Riješite jednadžbu 
Opcija za "4"
1) Odredite vrijednost izraza
2) Riješite jednadžbu 
Zapišite najmanji pozitivni korijen u svoj odgovor.
Opcija za "5"
1) Nađi tanα ako 
2) Pronađite korijen jednadžbe 
Zapišite najmanji pozitivni korijen kao odgovor.
6. Sažetak lekcije (5 min.)
Nastavnik sumira činjenicu da su tijekom sata ponavljali i učvršćivali trigonometrijske formule i rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.
Domaća zadaća se zadaje (unaprijed pripremljena u tiskanom obliku) uz slučajnu provjeru na sljedećem satu.
Riješite jednadžbe:
9) 
10) 
U odgovoru označite najmanji pozitivni korijen.
Lekcija 2
Predmet: 11. razred (priprema za Jedinstveni državni ispit)
Metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi. Izbor korijena. (2 sata)
Ciljevi:
- Generalizirati i usustaviti znanja o rješavanju trigonometrijskih jednadžbi različitih vrsta.
- Poticati razvoj matematičkog mišljenja učenika, sposobnosti zapažanja, uspoređivanja, generaliziranja i klasificiranja.
- Poticati učenike na prevladavanje poteškoća u procesu mentalne aktivnosti, na samokontrolu i introspekciju svojih aktivnosti.
Oprema za lekciju: KRMu, prijenosna računala za svakog učenika.
Struktura lekcije:
- Organizacijski trenutak
- Rasprava d/z i sebe. rad s prošle lekcije
- Pregled metoda rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.
- Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi
- Izbor korijena u trigonometrijskim jednadžbama.
- Samostalni rad.
- Sažetak lekcije. Domaća zadaća.
1. Organizacijski trenutak (2 min.)
Nastavnik pozdravlja publiku, najavljuje temu sata i plan rada.
2. a) Analiza domaće zadaće (5 min.)
Cilj je provjeriti izvršenje. Jedan rad se prikazuje na ekranu pomoću video kamere, ostali se selektivno prikupljaju za provjeru nastavnika.
b) Analiza samostalnog rada (3 min.)
Cilj je analizirati pogreške i ukazati na načine za njihovo prevladavanje.
Odgovori i rješenja su na ekranu; učenici imaju unaprijed zadane radove. Analiza se odvija brzo.
3. Prikaz metoda rješavanja trigonometrijskih jednadžbi (5 min.)
Cilj je prisjetiti se metoda rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.
Pitajte učenike koje metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi poznaju. Naglasite da postoje tzv. osnovne (često korištene) metode:
- zamjena varijable,
- faktorizacija,
- homogene jednadžbe,
a postoje i primijenjene metode:
- pomoću formula za pretvaranje zbroja u umnožak i umnoška u zbroj,
- prema formulama za smanjenje stupnja,
- univerzalna trigonometrijska supstitucija
- uvođenje pomoćnog kuta,
- množenje nekom trigonometrijskom funkcijom.
Također treba podsjetiti da se jedna jednadžba može riješiti na različite načine.
4. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi (30 min.)
Cilj je generalizirati i konsolidirati znanje i vještine o ovoj temi, pripremiti se za rješenje C1 iz Jedinstvenog državnog ispita.
Smatram da je uputno rješavati jednadžbe za svaku metodu zajedno s učenicima.
Učenik diktira rješenje, nastavnik ga zapisuje na tablet, a cijeli proces se prikazuje na ekranu. To će vam omogućiti da se brzo i učinkovito prisjetite prethodno obrađenog materijala u svoje pamćenje.
Riješite jednadžbe:
1) zamjena varijable 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0
2) faktorizacija 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0
3) homogene jednadžbe sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0
4) pretvaranje zbroja u produkt cos5x + cos7x = cos(π + 6x)
5) pretvaranje umnoška u zbroj 2sinx sin2x + cos3x = 0
6) smanjenje stupnja sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5
7) univerzalna trigonometrijska supstitucija sinx + 5cosx + 5 = 0.
Prilikom rješavanja ove jednadžbe treba imati na umu da korištenje ove metode dovodi do sužavanja raspona definicije, jer su sinus i kosinus zamijenjeni s tg(x/2). Stoga prije ispisivanja odgovora treba provjeriti jesu li brojevi iz skupa π + 2πn, n Z konji ove jednadžbe.
8) uvođenje pomoćnog kuta √3sinx + cosx - √2 = 0
9) množenje nekom trigonometrijskom funkcijom cosx cos2x cos4x = 1/8.
5. Izbor korijena trigonometrijskih jednadžbi (20 min.)
Budući da u uvjetima oštre konkurencije pri upisu na fakultete samo rješavanje prvog dijela ispita nije dovoljno, većina studenata treba obratiti pozornost na zadatke drugog dijela (C1, C2, C3).
Stoga je cilj ove faze lekcije prisjetiti se prethodno proučenog materijala i pripremiti se za rješavanje problema C1 iz Jedinstvenog državnog ispita 2011.
Postoje trigonometrijske jednadžbe u kojima trebate odabrati korijene kada ispisujete odgovor. To je zbog nekih ograničenja, na primjer: nazivnik razlomka nije jednak nuli, izraz pod parnim korijenom je nenegativan, izraz pod znakom logaritma je pozitivan itd.
Takve se jednadžbe smatraju jednadžbama povećane složenosti i u verziji Jedinstvenog državnog ispita nalaze se u drugom dijelu, točnije C1.
Riješite jednadžbu:
Razlomak je jednak nuli ako je tada 
pomoću jedinične kružnice odabrat ćemo korijene (vidi sliku 1)
Slika 1.
dobivamo x = π + 2πn, n Z
Odgovor: π + 2πn, n Z
Na ekranu je odabir korijena prikazan u krugu na slici u boji.
Umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli, a luk ne gubi svoje značenje. Zatim
Koristeći jedinični krug, odabiremo korijene (vidi sliku 2)
