Neka točke M 1, M 2, M 3 ne leže na istom pravcu. Kao što je poznato, tri takve točke jednoznačno određuju određenu ravninu p (slika 199).
Izvedimo jednadžbu ravnine R. Neka je M proizvoljna točka u prostoru. Očito je da točka M pripada ravnini R ako i samo ako vektori
\(\strelica prekodesno(M_(1)M)\), \(\strelica prekodesno(M_(1)M_2)\), \(\strelica prekodesno(M_(1)M_3)\) su komplanarne. Nužan i dovoljan uvjet za komplanarnost triju vektora je da je njihov mješoviti produkt jednak nuli (§ 23*, teorem 2). Stoga se jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri točke koje ne leže na istom pravcu može napisati na sljedeći način:
(\(\strelica udesno(M_(1)M)\), \(\strelica udesno(M_(1)M_2)\), \(\strelica udesno(M_(1)M_3)\)) = 0. (1)
Ako su točke M 1, M 2 i M 3 zadane koordinatama u nekom pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu, tada se jednadžba (1) može napisati u koordinatama.
Neka je M 1 ( x 1 ; g 1 ; z 1), M 2 ( x 2 ; na 2 ; z 2), M 3 ( x 3 ; na 3 ; z 3) - podaci o točki. Označimo koordinate proizvoljne točke M na ravnini p sa x, y I z. Nađimo koordinate vektora uključenih u jednadžbu (1):
\(\desna strelica(M_(1)M)\) = ( x - x 1 ; y - y 1 ; z - z 1),
\(\desna strelica(M_(1)M_2)\) = ( x 2 -x 1 ; g 2 -y 1 ; z 2 - z 1),
\(\desna strelica(M_(1)M_3)\) = ( x 3 -x 1 ; na 3 -y 1 ; z 3 - z 1).
Mješoviti umnožak triju vektora jednak je determinanti trećeg reda čiji pravci sadrže koordinate vektora. Stoga jednadžba (1) u koordinatama ima oblik
$$ \begin(vmatrix) x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end(vmatrix)= 0 \;\; (2)$$
Nađimo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri točke A ( A; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; S), koji A =/= 0, b =/= 0, c=/= 0. Te točke leže na koordinatnim osima (slika 200).
Pretpostavljajući u jednadžbi (2) x 1 = A, na 1 = 0, z 1 = 0, x 2 = 0, na 2 = b, z 2 = 0, x 3 = 0, na 3 = 0, z 3 = S, dobivamo
$$ \begin(vmatrix) x-a & y & z \\ -a & b & 0 \\ -a & 0 & c \end(vmatrix)=0 $$
Proširujući determinantu na elemente prvog reda, dobivamo jednadžbu
prije Krista(x - a) + acy + abz = 0
bcx + asu + abz = abc,
x / a + g / b + z / c = 1. (3)
Jednadžba (3) naziva se jednadžba ravnine u segmentima, budući da brojevi a, b I S označiti koje segmente ravnina odsijeca na koordinatnim osima.
Zadatak. Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točke M 1 (-1; 4; -1), M 2 (-13; 2; -10), M 3 (6; 0; 12). Pojednostavite dobivenu jednadžbu. Dobiti jednadžbu zadane ravnine u segmentima.
Jednadžba (2) u ovom slučaju se piše na sljedeći način:
$$ \begin(vmatrix) x+1 & y-4 & z+1 \\ -12 & -2 & -9 \\ 7 & -4 & 13 \end(vmatrix)=0 $$
Ovo je jednadžba ove ravnine. Proširujući determinantu duž prvog reda, dobivamo
62(x+ 1) +93(y- 4)+ 62 (z + 1) = 0,
2x + 3g + 2z - 12 = 0.
Dijeleći član po član s 12 i pomjerajući slobodni član jednadžbe na desnu stranu, dobivamo jednadžbu ove ravnine u segmentima
$$ \frac(x)(-6)+\frac(y)(4)+\frac(z)(6)=1 $$
Iz jednadžbe je jasno da ova ravnina odsijeca segmente na koordinatnim osima čije su duljine jednake 6, 4 i 6 osi Oh siječe ravninu u točki s negativnom apscisom, osi OU- u točki s pozitivnom ordinatom, osi Oz- u točki s pozitivnom primjenom.
U ovoj lekciji ćemo pogledati kako koristiti odrednicu za stvaranje jednadžba ravnine. Ako ne znate što je determinanta, idite na prvi dio lekcije - "Matrice i determinante". Inače riskirate da ne razumijete ništa u današnjem materijalu.
Jednadžba ravnine pomoću tri točke
Zašto nam uopće treba jednadžba ravnine? Jednostavno je: znajući to, možemo lako izračunati kutove, udaljenosti i ostale gluposti u problemu C2. Općenito, ne možete bez ove jednadžbe. Stoga formuliramo problem:
Zadatak. U prostoru su dane tri točke koje ne leže na istom pravcu. Njihove koordinate:
M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);Morate napraviti jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz ove tri točke. Štoviše, jednadžba bi trebala izgledati ovako:
Ax + By + Cz + D = 0
gdje su brojevi A, B, C i D koeficijenti koje, zapravo, treba naći.
Pa, kako dobiti jednadžbu ravnine ako su poznate samo koordinate točaka? Najlakši način je zamijeniti koordinate u jednadžbu Ax + By + Cz + D = 0. Rezultat je sustav od tri jednadžbe koje je lako riješiti.
Mnogi studenti ovo rješenje smatraju izuzetno zamornim i nepouzdanim. Prošlogodišnji Jedinstveni državni ispit iz matematike pokazao je da je vjerojatnost računalne pogreške vrlo velika.
Stoga su najnapredniji učitelji počeli tražiti jednostavnija i elegantnija rješenja. I našli su ga! Istina, dobivena tehnika više se odnosi na višu matematiku. Osobno sam morao pročeprkati po cijelom Federalnom popisu udžbenika kako bih se uvjerio da imamo pravo koristiti ovu tehniku bez ikakvih opravdanja i dokaza.
Jednadžba ravnine preko determinante
Dosta tekstova, bacimo se na posao. Za početak, teorem o tome kako su determinanta matrice i jednadžba ravnine povezane.
Teorema. Neka su zadane koordinate tri točke kroz koje treba povući ravninu: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Tada se jednadžba ove ravnine može napisati preko determinante:
Kao primjer, pokušajmo pronaći par ravnina koje se stvarno pojavljuju u problemima C2. Pogledajte kako se sve brzo izračunava:
A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);
Sastavimo determinantu i izjednačimo je s nulom:
Proširujemo odrednicu:
a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;
Kao što vidite, prilikom izračunavanja broja d malo sam “pročešljao” jednadžbu kako bi varijable x, y i z bile u ispravnom nizu. To je sve! Jednadžba ravnine je spremna!
Zadatak. Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz točke:
A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);
Odmah zamijenimo koordinate točaka u determinantu:
Opet proširujemo odrednicu:
a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;
Dakle, opet je dobivena jednadžba ravnine! Opet, u zadnjem koraku smo morali promijeniti znakove u njemu kako bismo dobili "ljepšu" formulu. U ovom rješenju to uopće nije potrebno učiniti, ali se ipak preporučuje - da se pojednostavi daljnje rješenje problema.
Kao što vidite, sastavljanje jednadžbe ravnine sada je puno lakše. Zamijenimo točke u matricu, izračunamo determinantu - i to je to, jednadžba je spremna.
Ovo bi moglo završiti lekciju. Međutim, mnogi učenici stalno zaboravljaju što se nalazi unutar odrednice. Na primjer, koji redak sadrži x 2 ili x 3, a koji redak sadrži samo x. Da bismo ovo stvarno maknuli s puta, pogledajmo odakle dolazi svaki broj.
Odakle formula s determinantom?
Dakle, shvatimo odakle dolazi tako gruba jednadžba s determinantom. To će vam pomoći da ga zapamtite i uspješno primijenite.
Sve ravnine koje se pojavljuju u zadatku C2 definirane su s tri točke. Te su točke uvijek označene na crtežu ili čak naznačene izravno u tekstu problema. U svakom slučaju, za izradu jednadžbe morat ćemo zapisati njihove koordinate:
M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).
Razmotrimo drugu točku na našoj ravnini s proizvoljnim koordinatama:
T = (x, y, z)
Uzmite bilo koju točku iz prve tri (na primjer točku M) i povucite vektore iz nje u svaku od tri preostale točke. Dobijamo tri vektora:
MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).
Sada sastavimo kvadratnu matricu od ovih vektora i izjednačimo njenu determinantu s nulom. Koordinate vektora postat će redovi matrice - i dobit ćemo samu determinantu koja je navedena u teoremu:
Ova formula znači da je volumen paralelopipeda izgrađenog na vektorima MN, MK i MT jednak nuli. Dakle, sva tri vektora leže u istoj ravnini. Konkretno, proizvoljna točka T = (x, y, z) je upravo ono što smo tražili.
Zamjena točaka i pravaca determinante
Determinante imaju nekoliko sjajnih svojstava koja ga čine još lakšim rješenje problema C2. Na primjer, nije nam važno s koje točke povlačimo vektore. Stoga sljedeće determinante daju istu jednadžbu ravnine kao i gornja:
Možete i zamijeniti retke determinante. Jednadžba će ostati nepromijenjena. Na primjer, mnogi ljudi vole napisati liniju s koordinatama točke T = (x; y; z) na samom vrhu. Molimo vas, ako vam odgovara:
Neke ljude zbunjuje činjenica da jedan od redaka sadrži varijable x, y i z, koje ne nestaju prilikom zamjene točaka. Ali ne smiju nestati! Zamjenom brojeva u determinantu, trebali biste dobiti ovu konstrukciju:
Zatim se determinanta proširuje prema dijagramu danom na početku lekcije i dobiva se standardna jednadžba ravnine:
Ax + By + Cz + D = 0
Pogledajte primjer. Posljednja je u današnjoj lekciji. Namjerno ću zamijeniti crte kako bih bio siguran da će odgovor dati istu jednadžbu ravnine.
Zadatak. Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz točke:
B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).
Dakle, razmatramo 4 točke:
B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).
Prvo, stvorimo standardnu determinantu i izjednačimo je s nulom:
Proširujemo odrednicu:
a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
To je to, dobili smo odgovor: x + y + z − 2 = 0.
Sada presložimo nekoliko redaka u determinanti i vidimo što će se dogoditi. Na primjer, napišimo redak s varijablama x, y, z ne na dnu, već na vrhu:
Ponovno proširujemo dobivenu determinantu:
a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
Dobili smo potpuno istu jednadžbu ravnine: x + y + z − 2 = 0. To znači da stvarno ne ovisi o redoslijedu redaka. Ostaje samo da zapišem odgovor.
Dakle, uvjereni smo da jednadžba ravnine ne ovisi o nizu pravaca. Možemo izvesti slične izračune i dokazati da jednadžba ravnine ne ovisi o točki čije koordinate oduzimamo od ostalih točaka.
U gore razmatranom problemu koristili smo točku B 1 = (1, 0, 1), ali bilo je sasvim moguće uzeti C = (1, 1, 0) ili D 1 = (0, 1, 1). Općenito, bilo koja točka s poznatim koordinatama koja leži na željenoj ravnini.
Može se odrediti na različite načine (jedna točka i vektor, dvije točke i vektor, tri točke itd.). Imajući to na umu, jednadžba ravnine može imati različite oblike. Također, pod određenim uvjetima, ravnine mogu biti paralelne, okomite, sijeku se itd. O tome ćemo govoriti u ovom članku. Naučit ćemo kako izraditi opću jednadžbu ravnine i više.
Normalni oblik jednadžbe
Recimo da postoji prostor R 3 koji ima pravokutni XYZ koordinatni sustav. Definirajmo vektor α koji će biti otpušten iz početne točke O. Kroz kraj vektora α povučemo ravninu P koja će biti okomita na njega.
Označimo proizvoljnu točku na P kao Q = (x, y, z). Označimo radijus vektor točke Q slovom p. U ovom slučaju duljina vektora α jednaka je r=IαI i Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).
Ovo je jedinični vektor koji je usmjeren na stranu, poput vektora α. α, β i γ su kutovi koji se tvore između vektora Ʋ i pozitivnih smjerova prostornih osi x, y, z. Projekcija bilo koje točke QϵP na vektor Ʋ je konstantna vrijednost koja je jednaka p: (p,Ʋ) = p(p≥0).
Gornja jednadžba ima smisla kada je p=0. Jedino što će ravnina P u ovom slučaju sijeći točku O (α=0), koja je ishodište koordinata, a jedinični vektor Ʋ oslobođen iz točke O bit će okomit na P, unatoč svom smjeru, što znači da je vektor Ʋ određen s točnim predznakom. Prethodna jednadžba je jednadžba naše ravnine P, izražena u vektorskom obliku. Ali u koordinatama to će izgledati ovako:
P je ovdje veće ili jednako 0. Pronašli smo jednadžbu ravnine u prostoru u normalnom obliku.
Opća jednadžba
Ako jednadžbu u koordinatama pomnožimo bilo kojim brojem koji nije jednak nuli, dobit ćemo jednadžbu ekvivalentnu ovoj, koja definira upravo tu ravninu. Izgledat će ovako:
Ovdje su A, B, C brojevi koji su istovremeno različiti od nule. Ova se jednadžba naziva općom jednadžbom ravnine.
Jednadžbe ravnina. Posebni slučajevi
Jednadžba u općem obliku može se modificirati ako postoje dodatni uvjeti. Pogledajmo neke od njih.
Pretpostavimo da je koeficijent A 0. To znači da je ova ravnina paralelna sa zadanom osi Ox. U tom slučaju će se promijeniti oblik jednadžbe: Vu+Cz+D=0.
Slično, oblik jednadžbe će se promijeniti pod sljedećim uvjetima:
- Prvo, ako je B = 0, tada će se jednadžba promijeniti u Ax + Cz + D = 0, što će ukazivati na paralelizam s osi Oy.
- Drugo, ako je C=0, tada će se jednadžba transformirati u Ax+By+D=0, što će ukazivati na paralelnost s danom osi Oz.
- Treće, ako je D=0, jednadžba će izgledati kao Ax+By+Cz=0, što će značiti da ravnina siječe O (ishodište).
- Četvrto, ako je A=B=0, onda će se jednadžba promijeniti u Cz+D=0, što će se pokazati paralelnim s Oxy.
- Peto, ako je B=C=0, tada jednadžba postaje Ax+D=0, što znači da je ravnina s Oyz paralelna.
- Šesto, ako je A=C=0, tada će jednadžba imati oblik Vu+D=0, to jest, prijavit će paralelizam s Oxz.
Vrsta jednadžbe u segmentima
U slučaju kada su brojevi A, B, C, D različiti od nule, oblik jednadžbe (0) može biti sljedeći:
x/a + y/b + z/c = 1,
u kojem je a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.
Kao rezultat toga dobivamo Vrijedno je napomenuti da će ova ravnina presijecati os Ox u točki s koordinatama (a,0,0), Oy - (0,b,0) i Oz - (0,0,c). ).
Uzimajući u obzir jednadžbu x/a + y/b + z/c = 1, nije teško vizualno zamisliti položaj ravnine u odnosu na zadani koordinatni sustav.
Koordinate normalnog vektora
Vektor normale n na ravninu P ima koordinate koje su koeficijenti opće jednadžbe te ravnine, odnosno n (A, B, C).
Da bi se odredile koordinate normale n, dovoljno je poznavati opću jednadžbu zadane ravnine.
Kada koristite jednadžbu u segmentima, koja ima oblik x/a + y/b + z/c = 1, kao i kada koristite opću jednadžbu, možete napisati koordinate bilo kojeg normalnog vektora zadane ravnine: (1 /a + 1/b + 1/ sa).
Vrijedno je napomenuti da normalni vektor pomaže u rješavanju raznih problema. Najčešći su zadaci koji uključuju dokazivanje okomitosti ili paralelnosti ravnina, zadaci određivanja kutova između ravnina ili kutova između ravnina i ravnina.
Vrsta jednadžbe ravnine prema koordinatama točke i vektora normale
Vektor n različit od nule okomit na zadanu ravninu naziva se normalom za zadanu ravninu.
Pretpostavimo da su u koordinatnom prostoru (pravokutni koordinatni sustav) zadani Oxyz:
- točka Mₒ s koordinatama (xₒ,yₒ,zₒ);
- nulti vektor n=A*i+B*j+C*k.
Potrebno je izraditi jednadžbu za ravninu koja će prolaziti točkom Mₒ okomito na normalu n.
Odaberemo bilo koju proizvoljnu točku u prostoru i označimo je M (x y, z). Neka radijus vektor bilo koje točke M (x,y,z) bude r=x*i+y*j+z*k, a radijus vektor točke Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Točka M će pripadati zadanoj ravnini ako je vektor MₒM okomit na vektor n. Napišimo uvjet ortogonalnosti koristeći skalarni produkt:
[MₒM, n] = 0.
Budući da je MₒM = r-rₒ, vektorska jednadžba ravnine izgledat će ovako:
Ova jednadžba može imati i drugi oblik. Za to se koriste svojstva skalarnog umnoška, a lijeva strana jednadžbe se transformira. = - . Označimo li ga s c, dobivamo sljedeću jednadžbu: - c = 0 ili = c, koja izražava stalnost projekcija na vektor normale radijus vektora zadanih točaka koje pripadaju ravnini.
Sada možemo dobiti koordinatni oblik pisanja vektorske jednadžbe naše ravnine = 0. Budući da je r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, i n = A*i+B *j+S*k, imamo:
Ispada da imamo jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz točku okomitu na normalu n:
A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.
Vrsta jednadžbe ravnine prema koordinatama dviju točaka i vektora kolinearnog na ravninu
Definirajmo dvije proizvoljne točke M′ (x′,y′,z′) i M″ (x″,y″,z″), kao i vektor a (a′,a″,a‴).
Sada možemo napraviti jednadžbu za danu ravninu koja će prolaziti kroz postojeće točke M′ i M″, kao i kroz bilo koju točku M s koordinatama (x, y, z) paralelnim sa danim vektorom a.
U ovom slučaju, vektori M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) i M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) moraju biti koplanarni s vektorom a=(a′,a″,a‴), što znači da je (M′M, M″M, a)=0.
Dakle, naša jednadžba ravnine u prostoru će izgledati ovako:
Vrsta jednadžbe ravnine koja siječe tri točke
Recimo da imamo tri točke: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), koje ne pripadaju istom pravcu. Potrebno je napisati jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadane tri točke. Teorija geometrije tvrdi da ovakva ravnina stvarno postoji, ali je jedina i jedinstvena. Budući da ova ravnina siječe točku (x′,y′,z′), oblik njene jednadžbe će biti sljedeći:
Ovdje su A, B, C različiti od nule u isto vrijeme. Također, navedena ravnina siječe još dvije točke: (x″,y″,z″) i (x‴,y‴,z‴). U tom smislu moraju biti ispunjeni sljedeći uvjeti:
Sada možemo stvoriti homogeni sustav s nepoznanicama u, v, w:
U našem slučaju, x, y ili z je proizvoljna točka koja zadovoljava jednadžbu (1). S obzirom na jednadžbu (1) i sustav jednadžbi (2) i (3), sustav jednadžbi prikazan na gornjoj slici zadovoljava vektor N (A,B,C), koji nije trivijalan. Zato je determinanta ovog sustava jednaka nuli.
Jednadžba (1) koju smo dobili je jednadžba ravnine. Prolazi točno kroz 3 točke, a to je lako provjeriti. Da bismo to učinili, moramo proširiti našu determinantu na elemente u prvom redu. Iz postojećih svojstava determinante proizlazi da naša ravnina istovremeno siječe tri početno zadane točke (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Odnosno, riješili smo zadatak koji nam je dodijeljen.
Diedralni kut između ravnina
Diedralni kut je prostorna geometrijska figura koju čine dvije poluravnine koje izlaze iz jedne ravne crte. Drugim riječima, to je dio prostora koji je ograničen ovim poluravnima.
Recimo da imamo dvije ravnine sa sljedećim jednadžbama:
Znamo da su vektori N=(A,B¹,C) i N¹=(A¹,B¹,C¹) okomiti na zadane ravnine. S tim u vezi, kut φ između vektora N i N¹ jednak je kutu (diedaru) koji se nalazi između ovih ravnina. Točkasti produkt ima oblik:
NN¹=|N||N¹|cos φ,
upravo zato
cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).
Dovoljno je uzeti u obzir da je 0≤φ≤π.
Naime, dvije ravnine koje se sijeku tvore dva kuta (diedra): φ 1 i φ 2. Njihov zbroj je jednak π (φ 1 + φ 2 = π). Što se tiče njihovih kosinusa, njihove apsolutne vrijednosti su jednake, ali se razlikuju u predznaku, odnosno cos φ 1 = -cos φ 2. Ako u jednadžbi (0) A, B i C zamijenimo redom brojevima -A, -B i -C, tada će jednadžba koju dobijemo odrediti istu ravninu, jedinu, kut φ u jednadžbi cos φ= NN 1 /|. N||N 1 | zamijenit će se s π-φ.
Jednadžba okomite ravnine
Ravnine između kojih je kut od 90 stupnjeva nazivaju se okomitima. Koristeći gore prikazani materijal, možemo pronaći jednadžbu ravnine okomite na drugu. Recimo da imamo dvije ravnine: Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Možemo reći da će biti okomite ako je cosφ=0. To znači da je NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.
Jednadžba paralelne ravnine
Dvije ravnine koje nemaju zajedničkih točaka nazivaju se paralelnim.
Uvjet (njihove jednadžbe su iste kao u prethodnom paragrafu) je da vektori N i N¹, koji su okomiti na njih, budu kolinearni. To znači da su ispunjeni sljedeći uvjeti proporcionalnosti:
A/A¹=B/B¹=C/C¹.
Ako su uvjeti proporcionalnosti prošireni - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,
to ukazuje da se ove ravnine podudaraju. To znači da jednadžbe Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 opisuju jednu ravninu.
Udaljenost do ravnine od točke
Recimo da imamo ravninu P, koja je dana jednadžbom (0). Potrebno je pronaći udaljenost do nje od točke s koordinatama (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Da biste to učinili, morate dovesti jednadžbu ravnine P u normalan oblik:
(ρ,v)=r (r≥0).
U ovom slučaju, ρ (x,y,z) je radijus vektor naše točke Q koja se nalazi na P, p je duljina okomice P koja je otpuštena iz nulte točke, v je jedinični vektor koji se nalazi u pravac a.
Razlika ρ-ρº radijus vektora neke točke Q = (x, y, z), koja pripada P, kao i radijus vektor date točke Q 0 = (xₒ, uₒ, zₒ) je takav vektor, apsolutna vrijednost čija je projekcija na v jednaka udaljenosti d koju treba pronaći od Q 0 = (xₒ,uₒ,zₒ) do P:
D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ali
(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =r-(ρ 0 ,v).
Tako ispada
d=|(ρ 0 ,v)-r|.
Tako ćemo pronaći apsolutnu vrijednost dobivenog izraza, odnosno željeni d.
Koristeći jezik parametara, dobivamo očito:
d=|Ahₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+V²+S²).
Ako je dana točka Q 0 s druge strane ravnine P, poput ishodišta koordinata, tada između vektora ρ-ρ 0 i v postoji dakle:
d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-r>0.
U slučaju kada se točka Q 0 zajedno s ishodištem koordinata nalazi na istoj strani od P, tada je stvoreni kut šiljasti, tj.
d=(ρ-ρ 0 ,v)=r - (ρ 0 , v)>0.
Kao rezultat toga, ispada da u prvom slučaju (ρ 0 ,v)>r, u drugom (ρ 0 ,v)<р.
Tangentna ravnina i njezina jednadžba
Ravnina tangente na površinu u točki dodira Mº je ravnina koja sadrži sve moguće tangente na krivulje povučene kroz ovu točku na površini.
S ovom vrstom jednadžbe površine F(x,y,z)=0, jednadžba tangentne ravnine u tangentnoj točki Mº(xº,yº,zº) izgledat će ovako:
F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.
Ako navedete površinu u eksplicitnom obliku z=f (x,y), tada će tangentna ravnina biti opisana jednadžbom:
z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).
Presjek dviju ravnina
U koordinatnom sustavu (pravokutnom) nalazi se Oxyz, zadane su dvije ravnine P′ i P″ koje se sijeku i ne poklapaju. Budući da je svaka ravnina koja se nalazi u pravokutnom koordinatnom sustavu određena općom jednadžbom, pretpostavit ćemo da su P′ i P″ dani jednadžbama A′x+B′y+C′z+D′=0 i A″x +B″y+ ″z+D″=0. U ovom slučaju imamo normalu n′ (A′,B′,C′) ravnine P′ i normalu n″ (A″,B″,C″) ravnine P″. Budući da naše ravnine nisu paralelne i ne podudaraju se, ti vektori nisu kolinearni. Koristeći se jezikom matematike, ovaj uvjet možemo napisati na sljedeći način: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Neka pravac koji leži na sjecištu P′ i P″ označimo slovom a, u ovom slučaju a = P′ ∩ P″.
a je pravac koji se sastoji od skupa svih točaka (zajedničkih) ravnina P′ i P″. To znači da koordinate bilo koje točke koja pripada liniji a moraju istovremeno zadovoljiti jednadžbe A′x+B′y+C′z+D′=0 i A″x+B″y+C″z+D″=0 . To znači da će koordinate točke biti djelomično rješenje sljedećeg sustava jednadžbi:
Kao rezultat, ispada da će (općenito) rješenje ovog sustava jednadžbi odrediti koordinate svake od točaka pravca, koji će djelovati kao sjecište P′ i P″, i odrediti ravnu liniju a u Oxyz (pravokutnom) koordinatnom sustavu u prostoru.
Da bismo dobili opću jednadžbu ravnine, analizirajmo ravninu koja prolazi kroz datu točku.
Neka postoje tri koordinatne osi koje su nam već poznate u prostoru - Vol, Joj I Oz. Držite list papira tako da ostane ravan. Ravnina će biti sam list i njegov nastavak u svim smjerovima.
Neka P proizvoljna ravnina u prostoru. Svaki vektor okomit na njega naziva se normalni vektor na ovaj avion. Naravno, govorimo o vektoru različitom od nule.
Ako je poznata bilo koja točka na ravnini P i neki normalni vektor na nju, onda je ta dva uvjeta ravnina u prostoru potpuno definirana(kroz zadanu točku možete povući jednu ravninu okomitu na zadani vektor). Opća jednadžba ravnine bit će:
Dakle, uvjeti koji definiraju jednadžbu ravnine su. Da dobiješ sebe jednadžba ravnine, koji imaju gornji oblik, uzeti u avion P proizvoljan točka M s promjenjivim koordinatama x, g, z. Ova točka pripada ravnini samo ako vektor okomito na vektor(Sl. 1). Za to je, prema uvjetu okomitosti vektora, potrebno i dovoljno da skalarni produkt tih vektora bude jednak nuli, tj.
Vektor je određen uvjetom. Koordinate vektora nalazimo pomoću formule 
:
.
Sada, koristeći formulu skalarnog produkta vektora 
, izražavamo skalarni produkt u koordinatnom obliku:
Od točke M(x; y; z) odabran proizvoljno na ravnini, tada posljednju jednadžbu zadovoljavaju koordinate bilo koje točke koja leži na ravnini P. Za bod N, ne leži na datoj ravnini, tj. jednakost (1) je povrijeđena.
Primjer 1. Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi točkom i okomita je na vektor.
Riješenje. Upotrijebimo formulu (1) i pogledajmo je ponovno:
U ovoj formuli brojevi A , B I C vektorske koordinate i brojeve x0 , g0 I z0 - koordinate točke.
Izračuni su vrlo jednostavni: te brojeve zamijenimo formulom i dobijemo
Množimo sve što treba pomnožiti i zbrajamo samo brojeve (koji nemaju slova). Proizlaziti:
.
Pokazalo se da je tražena jednadžba ravnine u ovom primjeru izražena općom jednadžbom prvog stupnja s obzirom na varijabilne koordinate x, y, z bilo kojoj točki na ravnini.
Dakle, jednadžba oblika
nazvao jednadžba opće ravnine .
Primjer 2. Konstruirajte u pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu ravninu zadanu jednadžbom 
.
Riješenje. Za konstrukciju ravnine potrebno je i dovoljno poznavati bilo koje tri njezine točke koje ne leže na istoj pravoj liniji, npr. točke presjeka ravnine s koordinatnim osima.
Kako pronaći te točke? Da biste pronašli točku sjecišta s osi Oz, trebate zamijeniti nule za X i Y u jednadžbi danoj u izjavi problema: x = g= 0. Stoga dobivamo z= 6. Dakle, data ravnina siječe os Oz u točki A(0; 0; 6) .
Na isti način nalazimo točku presjeka ravnine s osi Joj. Na x = z= 0 dobivamo g= −3, odnosno točku B(0; −3; 0) .
I konačno, nalazimo točku presjeka naše ravnine s osi Vol. Na g = z= 0 dobivamo x= 2, odnosno točku C(2; 0; 0) . Na temelju tri točke dobivene u našem rješenju A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) i C(2; 0; 0) konstruirajte zadanu ravninu.
Razmotrimo sada posebni slučajevi opće jednadžbe ravnine. To su slučajevi kada određeni koeficijenti jednadžbe (2) postanu nula.
1. Kada D= 0 jednadžba 
definira ravninu koja prolazi kroz ishodište, budući da su koordinate točke 0
(0; 0; 0) zadovoljavaju ovu jednadžbu.
2. Kada A= 0 jednadžba 
definira ravninu paralelnu s osi Vol, budući da je vektor normale ove ravnine okomit na os Vol(njegova projekcija na os Vol jednaka nuli). Isto tako, kada B= 0 avion 
paralelno s osi Joj, i kada C= 0 avion 
paralelno s osi Oz.
3. Kada A=D= 0 jednadžba definira ravninu koja prolazi kroz os Vol, budući da je paralelna s osi Vol (A=D= 0). Slično, ravnina prolazi kroz os Joj, a ravnina kroz os Oz.
4. Kada A=B= 0 jednadžba definira ravninu paralelnu s koordinatnom ravninom xOy, budući da je paralelan s osima Vol (A= 0) i Joj (B= 0). Slično, ravnina je paralelna s ravninom yOz, a avion je avion xOz.
5. Kada A=B=D= 0 jednadžba (ili z = 0) definira koordinatnu ravninu xOy, budući da je paralelna s ravninom xOy (A=B= 0) i prolazi kroz ishodište ( D= 0). Isto tako, jednadžba y = 0 u prostoru definira koordinatnu ravninu xOz, i jednadžba x = 0 - koordinatna ravnina yOz.
Primjer 3. Napravite jednadžbu ravnine P, prolazeći kroz os Joj i točka.
Riješenje. Dakle, ravnina prolazi kroz os Joj. Stoga se u njezinoj jednadžbi g= 0 i ova jednadžba ima oblik . Za određivanje koeficijenata A I C iskoristimo činjenicu da točka pripada ravnini P .
Stoga među njegovim koordinatama postoje one koje se mogu zamijeniti u jednadžbu ravnine koju smo već izveli (). Pogledajmo ponovno koordinate točke:
M0 (2; −4; 3) .
Među njima x = 2 , z= 3. Zamjenjujemo ih u opću jednadžbu i dobivamo jednadžbu za naš poseban slučaj:
2A + 3C = 0 .
Ostavi 2 A na lijevoj strani jednadžbe, pomaknite 3 C na desnu stranu i dobivamo
A = −1,5C .
Zamjena pronađene vrijednosti A u jednadžbu, dobivamo
ili .
Ovo je jednadžba potrebna u uvjetu primjera.
Riješite sami zadatak jednadžbe ravnine, a zatim pogledajte rješenje
Primjer 4. Definirajte ravninu (ili ravnine, ako ih je više) s obzirom na koordinatne osi ili koordinatne ravnine ako je ravnina(e) dana jednadžbom.
Rješenja tipičnih zadataka koji se javljaju tijekom kolokvija nalaze se u udžbeniku “Zadaci na ravnini: paralelnost, okomitost, presjek triju ravnina u jednoj točki”.
Jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri točke
Kao što je već rečeno, nužan i dovoljan uvjet za konstrukciju ravnine, osim jedne točke i vektora normale, jesu i tri točke koje ne leže na istom pravcu.
Neka su dane tri različite točke , i , koje ne leže na istoj liniji. Budući da navedene tri točke ne leže na istoj liniji, vektori nisu kolinearni, pa stoga bilo koja točka u ravnini leži u istoj ravnini s točkama, i ako i samo ako su vektori , i 
komplanaran, tj. tada i samo kada mješoviti proizvod ovih vektora jednaka nuli.
Korištenjem izraza za mješoviti umnožak u koordinatama dobivamo jednadžbu ravnine
(3)
Nakon otkrivanja determinante ova jednadžba postaje jednadžba oblika (2), tj. opća jednadžba ravnine.
Primjer 5. Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz tri zadane točke koje ne leže na istoj pravoj liniji:
i odrediti poseban slučaj opće jednadžbe pravca, ako se pojavi.
Riješenje. Prema formuli (3) imamo:
Jednadžba normalne ravnine. Udaljenost od točke do ravnine
Normalna jednadžba ravnine je njezina jednadžba, zapisana u obliku
