. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Pogledajte što je "CONDITIONAL EXTREME" u drugim rječnicima:

Neka je skup otvoren i funkcije zadane. Neka bude. Te se jednadžbe nazivaju jednadžbama ograničenja (terminologija je posuđena iz mehanike). Neka je funkcija definirana na G... Wikipedia

- (od lat. extremum extreme) vrijednost kontinuirane funkcije f (x), koja je ili maksimum ili minimum. Preciznije: funkcija f (x) koja je kontinuirana u točki x0 ima maksimum (minimum) u x0 ako postoji susjedstvo (x0 + δ, x0 δ) te točke,... ... Velika sovjetska enciklopedija

Ovaj izraz ima i druga značenja, pogledajte Ekstrem (značenja). Ekstrem (lat. extremum extreme) u matematici je maksimalna ili minimalna vrijednost funkcije na danom skupu. Točka u kojoj je dostignut ekstrem... ... Wikipedia

Funkcija koja se koristi u rješavanju problema o uvjetnom ekstremumu funkcija mnogih varijabli i funkcionala. Uz pomoć L. f. zapisani su potrebni uvjeti optimalnosti u problemima na uvjetnom ekstremumu. U ovom slučaju nije potrebno izražavati samo varijable... Matematička enciklopedija

Matematička disciplina posvećena pronalaženju ekstremnih (najvećih i najmanjih) vrijednosti funkcionala varijabli koje ovise o izboru jedne ili više funkcija. U i. prirodni je razvoj tog poglavlja... ... Velika sovjetska enciklopedija

Varijable uz pomoć kojih se konstruira Lagrangeova funkcija pri proučavanju problema na uvjetnom ekstremumu. Korištenje linearnih metoda i Lagrangeove funkcije omogućuje nam dobivanje potrebnih uvjeta optimalnosti u problemima koji uključuju uvjetni ekstrem na uniforman način... Matematička enciklopedija

Varijacijski račun je grana funkcionalne analize koja proučava varijacije funkcionala. Najtipičniji problem u varijacijskom računu je pronaći funkciju na kojoj dani funkcional postiže... ... Wikipedia

Grana matematike posvećena proučavanju metoda za pronalaženje ekstrema funkcionala koji ovise o izboru jedne ili više funkcija pod različitim vrstama ograničenja (faza, diferencijal, integral, itd.) nametnutih ovim... ... Matematička enciklopedija

Varijacijski račun je grana matematike koja proučava varijacije funkcionala. Najtipičniji problem u varijacijskom računu je pronaći funkciju na kojoj funkcional doseže ekstremnu vrijednost. Metode... ...Wikipedia

knjige

• Predavanja iz teorije upravljanja. Svezak 2. Optimalno upravljanje, V. Boss. Razmatraju se klasični problemi teorije optimalnog upravljanja. Izlaganje započinje osnovnim pojmovima optimizacije u konačnodimenzionalnim prostorima: uvjetni i bezuvjetni ekstrem,...

Definicija1: Kaže se da funkcija ima lokalni maksimum u točki ako postoji okolica točke takva da za bilo koju točku M s koordinatama (x, y) nejednakost vrijedi: . U ovom slučaju, tj. prirast funkcije< 0.

Definicija2: Kaže se da funkcija ima lokalni minimum u točki ako postoji okolina točke takva da za bilo koju točku M s koordinatama (x, y) nejednakost vrijedi: . U ovom slučaju, tj. prirast funkcije > 0.

Definicija 3: Točke lokalnog minimuma i maksimuma nazivaju se ekstremne točke.

Uvjetni ekstremi

Kod nalaženja ekstrema funkcije mnogih varijabli često se javljaju problemi vezani uz tzv uvjetni ekstrem. Ovaj se koncept može objasniti na primjeru funkcije dviju varijabli.

Neka su zadani funkcija i pravac L na površini 0xy. Zadatak je stati na crtu L pronaći takvu točku P(x, y), u kojoj je vrijednost funkcije najveća ili najmanja u usporedbi s vrijednostima te funkcije u točkama na liniji L, koji se nalazi u blizini točke P. Takve točke P se zovu uvjetne ekstremne točke funkcionira na liniji L. Za razliku od uobičajene točke ekstrema, vrijednost funkcije u uvjetnoj točki ekstrema uspoređuje se s vrijednostima funkcije ne u svim točkama njezinog susjedstva, već samo u onima koje leže na liniji L.

Apsolutno je jasno da je točka uobičajenog ekstrema (također kažu bezuvjetni ekstrem) također je uvjetna točka ekstrema za bilo koji pravac koji prolazi ovom točkom. Obrnuto, naravno, nije točno: uvjetna točka ekstrema ne mora biti obična točka ekstrema. Dopustite mi da objasnim što sam rekao na jednostavnom primjeru. Graf funkcije je gornja hemisfera (prilog 3 (slika 3)).

Ova funkcija ima maksimum u ishodištu; vrh mu odgovara M hemisfere. Ako linija L postoji linija koja prolazi kroz točke A I U(njena jednadžba x+y-1=0), tada je geometrijski jasno da se za točke ovog pravca najveća vrijednost funkcije postiže u točki koja leži u sredini između točaka A I U. Ovo je točka uvjetnog ekstrema (maksimuma) funkcije na ovoj liniji; odgovara točki M 1 na hemisferi, a iz slike je jasno da ovdje ne može biti govora ni o kakvom običnom ekstremu.

Imajte na umu da u završnom dijelu problema nalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije u zatvorenom području, moramo pronaći ekstremne vrijednosti funkcije na granici ovog područja, tj. na nekoj liniji i time riješiti problem uvjetnog ekstrema.

Prijeđimo sada na praktično traženje uvjetnih točaka ekstrema funkcije Z= f(x, y) pod uvjetom da su varijable x i y povezane jednadžbom (x, y) = 0. Ovu relaciju ćemo nazvati jednadžba veze. Ako se iz jednadžbe sprezanja y može eksplicitno izraziti u smislu x: y=(x), dobivamo funkciju jedne varijable Z= f(x, (x)) = F(x).

Pronalaženjem vrijednosti x pri kojoj ova funkcija postiže ekstrem, a zatim iz jednadžbe veze određivanjem odgovarajućih vrijednosti y, dobivamo željene točke uvjetnog ekstremuma.

Dakle, u gornjem primjeru, iz relacijske jednadžbe x+y-1=0 imamo y=1-x. Odavde

Lako je provjeriti da z doseže maksimum pri x = 0,5; ali onda iz jednadžbe veze y = 0,5, te dobivamo upravo točku P, nadđenu iz geometrijskih razmatranja.

Problem uvjetnog ekstremuma može se vrlo jednostavno riješiti kada se jednadžba veze može prikazati parametarskim jednadžbama x=x(t), y=y(t). Zamjenom izraza za x i y u ovu funkciju ponovno dolazimo do problema nalaženja ekstremuma funkcije jedne varijable.

Ako jednadžba sprezanja ima složeniji oblik i nismo u mogućnosti eksplicitno izraziti jednu varijablu u terminima druge ili je zamijeniti parametarskim jednadžbama, tada zadatak pronalaženja uvjetnog ekstremuma postaje teži. I dalje ćemo pretpostaviti da je u izrazu funkcije z= f(x, y) varijabla (x, y) = 0. Ukupna derivacija funkcije z= f(x, y) jednaka je:

Gdje se derivacija y` nalazi pomoću pravila diferencijacije implicitne funkcije. U točkama uvjetnog ekstremuma, pronađena ukupna derivacija mora biti jednaka nuli; ovo daje jednu jednadžbu koja povezuje x i y. Budući da moraju zadovoljiti i jednadžbu sprezanja, dobivamo sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice

Pretvorimo ovaj sustav u mnogo prikladniji tako da prvu jednadžbu zapišemo u obliku proporcije i uvedemo novu pomoćnu nepoznanicu:

(znak minus ispred je radi praktičnosti). Iz ovih jednakosti lako je prijeći na sljedeći sustav:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

koja zajedno s jednadžbom veze (x, y) = 0 čini sustav triju jednadžbi s nepoznanicama x, y i.

Ove jednadžbe (*) najlakše je zapamtiti koristeći se sljedećim pravilom: kako bismo pronašli točke koje mogu biti točke uvjetnog ekstrema funkcije

Z= f(x, y) s jednadžbom veze (x, y) = 0, potrebno je formirati pomoćnu funkciju

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Gdje je neka konstanta i izradite jednadžbe za pronalaženje točaka ekstrema ove funkcije.

Navedeni sustav jednadžbi daje u pravilu samo potrebne uvjete, tj. nije svaki par vrijednosti x i y koji zadovoljava ovaj sustav nužno uvjetna točka ekstrema. Neću dati dovoljne uvjete za točke uvjetnog ekstrema; vrlo često konkretan sadržaj problema sam sugerira što je pronađena točka. Opisana tehnika rješavanja problema na uvjetnom ekstremumu naziva se metoda Lagrangeovih množitelja.

Prvo, razmotrimo slučaj funkcije dviju varijabli. Uvjetni ekstrem funkcije $z=f(x,y)$ u točki $M_0(x_0;y_0)$ je ekstrem ove funkcije, postignut pod uvjetom da su varijable $x$ i $y$ u u blizini ove točke zadovoljavaju jednadžbu veze $\ varphi (x,y)=0$.

Naziv "uvjetni" ekstrem je zbog činjenice da je dodatni uvjet $\varphi(x,y)=0$ nametnut varijablama. Ako se jedna varijabla može izraziti iz jednadžbe veze kroz drugu, onda se problem određivanja uvjetnog ekstremuma svodi na problem određivanja uobičajenog ekstremuma funkcije jedne varijable. Na primjer, ako jednadžba veze implicira $y=\psi(x)$, tada zamjenom $y=\psi(x)$ u $z=f(x,y)$, dobivamo funkciju jedne varijable $z =f\lijevo (x,\psi(x)\desno)$. U općem slučaju, međutim, ova metoda je malo korisna, pa je potrebno uvođenje novog algoritma.

Lagrangeova metoda množenja za funkcije dviju varijabli.

Metoda Lagrangeovog množenja sastoji se od konstruiranja Lagrangeove funkcije za pronalaženje uvjetnog ekstrema: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametar $\lambda$ naziva se Lagrangeov multiplikator). Potrebni uvjeti za ekstremum navedeni su sustavom jednadžbi iz kojih se određuju stacionarne točke:

$$ \lijevo \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end(aligned) \desno.

Dovoljan uvjet iz kojeg se može odrediti priroda ekstremuma je predznak $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Ako je u stacionarnoj točki $d^2F > 0$, tada funkcija $z=f(x,y)$ ima uvjetni minimum u ovoj točki, ali ako je $d^2F< 0$, то условный максимум.

Postoji još jedan način da se odredi priroda ekstrema. Iz jednadžbe sprezanja dobivamo: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, stoga u bilo kojoj stacionarnoj točki imamo:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\lijevo(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\desno)+ F_(yy)^("")\lijevo(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\desno)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\lijevo(\varphi_(y)^(") \desno)^2)\cdot\lijevo(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \desno)$$

Drugi faktor (koji se nalazi u zagradama) može se prikazati u ovom obliku:

Elementi determinante $\left| označeni su crvenom bojom. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (niz)\right|$, što je Hessian Lagrangeove funkcije. Ako je $H > 0$, tada je $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, tj. imamo uvjetni minimum funkcije $z=f(x,y)$.

Napomena u vezi s zapisom determinante $H$. Pokaži sakrij

$$ H=-\lijevo|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ kraj(niza) \desno| $$

U ovoj situaciji, gore formulirano pravilo će se promijeniti na sljedeći način: ako je $H > 0$, tada funkcija ima uvjetni minimum, a ako je $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritam za proučavanje funkcije dviju varijabli za uvjetni ekstrem

1. Sastavite Lagrangeovu funkciju $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Riješite sustav $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \end(aligned) \right.$
3. Odredite prirodu ekstrema u svakoj od stacionarnih točaka iz prethodnog paragrafa. Da biste to učinili, upotrijebite jednu od sljedećih metoda:
   • Sastavite determinantu $H$ i saznajte njen predznak
   • Uzimajući u obzir jednadžbu sprezanja, izračunajte predznak $d^2F$

Lagrangeova metoda množenja za funkcije od n varijabli

Recimo da imamo funkciju $n$ varijabli $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ i $m$ jednadžbi sprezanja ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Označavajući Lagrangeove množitelje kao $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, sastavljamo Lagrangeovu funkciju:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Potrebni uvjeti za postojanje uvjetnog ekstremuma dati su sustavom jednadžbi iz kojih se nalaze koordinate stacionarnih točaka i vrijednosti Lagrangeovih množitelja:

$$\lijevo\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Ima li neka funkcija uvjetni minimum ili uvjetni maksimum u pronađenoj točki, kao i prije, možete saznati pomoću znaka $d^2F$. Ako je u pronađenoj točki $d^2F > 0$, tada funkcija ima uvjetni minimum, ali ako je $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Determinanta matrice $\left| \begin(niz) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, označeno crvenom bojom u matrici $L$, je Hessian Lagrangeove funkcije. Koristimo sljedeće pravilo:

• Ako su predznaci kutnih minora $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrice $L$ podudaraju se s predznakom $(-1)^m$, tada je stacionarna točka koja se proučava uvjetna minimalna točka funkcije $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Ako su predznaci kutnih minora $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ se izmjenjuju, a predznak minora $H_(2m+1)$ podudara se sa predznakom broja $(-1)^(m+1 )$, tada je stacionarna točka točka uvjetnog maksimuma funkcije $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Primjer br. 1

Pronađite uvjetni ekstrem funkcije $z(x,y)=x+3y$ pod uvjetom $x^2+y^2=10$.

Geometrijska interpretacija ovog problema je sljedeća: potrebno je pronaći najveću i najmanju vrijednost aplikate ravnine $z=x+3y$ za točke njezinog sjecišta s cilindrom $x^2+y ^2=10$.

Donekle je teško izraziti jednu varijablu kroz drugu iz jednadžbe sprezanja i zamijeniti je u funkciju $z(x,y)=x+3y$, pa ćemo koristiti Lagrangeovu metodu.

Označavajući $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, sastavljamo Lagrangeovu funkciju:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\djelomični x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Napišimo sustav jednadžbi za određivanje stacionarnih točaka Lagrangeove funkcije:

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \kraj (poravnano)\desno.$$

Ako pretpostavimo $\lambda=0$, tada prva jednadžba postaje: $1=0$. Rezultirajuća kontradikcija pokazuje da je $\lambda\neq 0$. Pod uvjetom $\lambda\neq 0$, iz prve i druge jednadžbe imamo: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Zamjenom dobivenih vrijednosti u treću jednadžbu dobivamo:

$$ \lijevo(-\frac(1)(2\lambda) \desno)^2+\lijevo(-\frac(3)(2\lambda) \desno)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \lijevo[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(poravnano) \desno.\\ \begin(poravnano) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\kraj(poravnano) $$

Dakle, sustav ima dva rješenja: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ i $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Otkrijmo prirodu ekstrema u svakoj stacionarnoj točki: $M_1(1;3)$ i $M_2(-1;-3)$. Da bismo to učinili, izračunavamo determinantu $H$ u svakoj točki.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\lijevo| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \lijevo| \begin(niz) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(niz) \right|= 8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(niz) \right| $$

U točki $M_1(1;3)$ dobivamo: $H=8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(niz) \right|= 8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(niz) \right|=40 > 0$, tako da na točka $M_1(1;3)$ funkcija $z(x,y)=x+3y$ ima uvjetni maksimum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Slično, u točki $M_2(-1,-3)$ nalazimo: $H=8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(niz) \right|= 8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(niz) \right|=-40$. Od $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Napominjem da je umjesto izračunavanja vrijednosti determinante $H$ u svakoj točki mnogo prikladnije proširiti je u općem obliku. Kako ne bih zatrpao tekst detaljima, ovu metodu ću sakriti ispod bilješke.

Zapisivanje determinante $H$ u općem obliku. Pokaži sakrij

$$ H=8\cdot\lijevo|\begin(niz)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(niz)\desno| =8\cdot\lijevo(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\desno) =-8\lambda\cdot\lijevo(y^2+x^2\desno). $$

U principu, već je očito koji predznak ima $H$. Kako se niti jedna od točaka $M_1$ ili $M_2$ ne poklapa s ishodištem, tada je $y^2+x^2>0$. Stoga je predznak $H$ suprotan predznaku $\lambda$. Možete dovršiti izračune:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\lijevo((-3)^2+(-1)^2\desno)=-40. \kraj(poravnano) $$

Pitanje o prirodi ekstremuma u stacionarnim točkama $M_1(1;3)$ i $M_2(-1;-3)$ može se riješiti bez upotrebe determinante $H$. Nađimo predznak $d^2F$ u svakoj stacionarnoj točki:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\desno) $$

Napominjem da oznaka $dx^2$ znači upravo $dx$ podignuto na drugu potenciju, tj. $\lijevo(dx \desno)^2$. Stoga imamo: $dx^2+dy^2>0$, dakle, s $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ dobivamo $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Odgovor: u točki $(-1;-3)$ funkcija ima uvjetni minimum, $z_(\min)=-10$. U točki $(1;3)$ funkcija ima uvjetni maksimum, $z_(\max)=10$

Primjer br. 2

Pronađite uvjetni ekstrem funkcije $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ pod uvjetom $x+y=0$.

Prva metoda (Lagrangeova metoda množitelja)

Označavajući $\varphi(x,y)=x+y$, sastavljamo Lagrangeovu funkciju: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \lijevo \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0 \kraj (poravnano) \desno.

Nakon rješavanja sustava dobivamo: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ i $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Imamo dvije stacionarne točke: $M_1(0;0)$ i $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Otkrijmo prirodu ekstremuma u svakoj stacionarnoj točki pomoću determinante $H$.

$$H=\lijevo| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \lijevo| \begin(niz) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(niz) \right|=-10-18y $$

U točki $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, stoga u ovoj točki funkcija ima uvjetni maksimum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Istražujemo prirodu ekstrema u svakoj točki koristeći drugu metodu, temeljenu na predznaku $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Iz jednadžbe veze $x+y=0$ imamo: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Budući da je $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, tada je $M_1(0;0)$ uvjetna točka minimuma funkcije $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Slično, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Drugi način

Iz jednadžbe veze $x+y=0$ dobivamo: $y=-x$. Zamjenom $y=-x$ u funkciju $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ dobivamo neku funkciju varijable $x$. Označimo ovu funkciju kao $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Time smo problem nalaženja uvjetnog ekstremuma funkcije dviju varijabli sveli na problem određivanja ekstremuma funkcije jedne varijable.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ y_1=-x_1=0;\\x_2=\frac(10)(9); y_2=-x_2=-\frac(10)(9).

Dobili smo točke $M_1(0;0)$ i $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Daljnja istraživanja poznata su iz tečaja diferencijalnog računa funkcija jedne varijable. Ispitivanjem predznaka $u_(xx)^("")$ u svakoj stacionarnoj točki ili provjerom promjene predznaka $u_(x)^(")$ u pronađenim točkama, dobivamo iste zaključke kao kada rješavanje prve metode. Na primjer, provjerit ćemo znak $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Budući da je $u_(xx)^("")(M_1)>0$, tada je $M_1$ točka minimuma funkcije $u(x)$, a $u_(\min)=u(0)=0 $ . Budući da $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Vrijednosti funkcije $u(x)$ za dani uvjet veze podudaraju se s vrijednostima funkcije $z(x,y)$, tj. pronađeni ekstremi funkcije $u(x)$ su traženi uvjetni ekstremi funkcije $z(x,y)$.

Odgovor: u točki $(0;0)$ funkcija ima uvjetni minimum, $z_(\min)=0$. U točki $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ funkcija ima uvjetni maksimum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Razmotrimo još jedan primjer u kojem ćemo razjasniti prirodu ekstrema određivanjem predznaka $d^2F$.

Primjer br. 3

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije $z=5xy-4$ ako su varijable $x$ i $y$ pozitivne i zadovoljavaju jednadžbu sprezanja $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Sastavimo Lagrangeovu funkciju: $F=5xy-4+\lambda \lijevo(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \desno)$. Nađimo stacionarne točke Lagrangeove funkcije:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \lijevo \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ x > 0; y > 0. \kraj (poravnano) \desno.

Sve daljnje transformacije provode se uzimajući u obzir $x > 0; \; y > 0$ (ovo je specificirano u izjavi problema). Iz druge jednadžbe izražavamo $\lambda=-\frac(5x)(y)$ i zamjenjujemo pronađenu vrijednost u prvu jednadžbu: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Zamjenom $x=2y$ u treću jednadžbu dobivamo: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Kako je $y=1$, onda je $x=2$, $\lambda=-10$. Određujemo prirodu ekstrema u točki $(2;1)$ na temelju predznaka $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Budući da je $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, tada:

$$ d\lijevo(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\desno)=0; \; d\lijevo(\frac(x^2)(8) \desno)+d\lijevo(\frac(y^2)(2) \desno)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

U principu, ovdje možete odmah zamijeniti koordinate stacionarne točke $x=2$, $y=1$ i parametar $\lambda=-10$, dobivajući:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \lijevo(-\frac(dx)(2) \desno)-10\cdot \lijevo(-\frac(dx) (2) \desno)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Međutim, u drugim problemima na uvjetnom ekstremumu može postojati nekoliko stacionarnih točaka. U takvim slučajevima, bolje je predstaviti $d^2F$ u općem obliku, a zatim zamijeniti koordinate svake od pronađenih stacionarnih točaka u dobiveni izraz:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \lijevo(-\frac(xdx)(4y) \desno)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\lijevo(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \desno)\cdot dx^2 $$

Zamjenom $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, dobivamo:

$$ d^2 F=\lijevo(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \desno)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Budući da je $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Odgovor: u točki $(2;1)$ funkcija ima uvjetni maksimum, $z_(\max)=6$.

U sljedećem ćemo dijelu razmotriti primjenu Lagrangeove metode za funkcije većeg broja varijabli.