Diferencijalna jednadžba gibanja materijalna točka pod silom F može se prikazati u sljedećem vektorskom obliku:
Budući da masa točke m prihvaća kao konstanta, tada se može unijeti pod znakom izvedenice. Zatim
Formula (1) izražava teorem o promjeni količine gibanja točke u diferencijalni oblik: prva derivacija po vremenu količine gibanja točke jednaka je sili koja djeluje na točku.
U projekcijama na koordinatne osi (1) može se prikazati kao
Ako se obje strane (1) pomnože s dt, tada dobivamo drugi oblik istog teorema - teorem o momentu u diferencijalnom obliku:
oni. diferencijal količine gibanja točke jednak je elementarnom impulsu sile koja djeluje na točku.
Projiciranjem oba dijela (2) na koordinatne osi dobivamo
Integrirajući oba dijela (2) od nule do t (slika 1), imamo
gdje je brzina točke u trenutku t; - brzina pri t = 0;
S- impuls sile tijekom vremena t.
Izraz u obliku (3) često se naziva teorem o količini gibanja u konačnom (ili integralnom) obliku: promjena količine gibanja točke u bilo kojem vremenskom razdoblju jednaka je impulsu sile u istom vremenskom razdoblju.
U projekcijama na koordinatne osi ovaj se teorem može prikazati u sljedećem obliku:
Za materijalnu točku, teorem o promjeni količine gibanja u bilo kojem od oblika u biti se ne razlikuje od diferencijalnih jednadžbi gibanja točke.
Teorem o promjeni količine gibanja sustava
Količinu gibanja sustava nazvat ćemo vektorskom veličinom Q, jednaka geometrijskom zbroju (glavnom vektoru) količina gibanja svih točaka sustava.
Razmotrimo sustav koji se sastoji od n materijalne bodove. Sastavimo diferencijalne jednadžbe gibanja za ovaj sustav i zbrajamo ih član po član. Tada dobivamo:
Zadnji iznos po nekretninama unutarnje sile jednaka nuli. Osim,
Konačno nalazimo:
Jednadžba (4) izražava teorem o promjeni količine gibanja sustava u diferencijalnom obliku: vremenska derivacija količine gibanja sustava jednaka je geometrijskom zbroju svih vanjskih sila koje djeluju na sustav.
Pronađimo drugi izraz za teorem. Prepustite se trenutku t= 0 količina gibanja sustava je Q 0, iu trenutku vremena t 1 postaje jednaka P 1. Zatim, množenje obje strane jednakosti (4) sa dt i integrirajući, dobivamo:
Ili gdje:
(S- impuls sile)
budući da integrali s desne strane daju impulse vanjskih sila,
jednadžba (5) izražava teorem o promjeni količine gibanja sustava u integralnom obliku: promjena količine gibanja sustava u određenom vremenskom razdoblju jednaka je zbroju impulsa vanjskih sila koje djeluju na sustav u istom vremenskom razdoblju.
U projekcijama na koordinatne osi imat ćemo:
Zakon očuvanja količine gibanja
Iz teorema o promjeni količine gibanja sustava mogu se dobiti sljedeći važni korolari:
1. Neka je zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na sustav jednak nuli:
Tada iz jednadžbe (4) slijedi da u ovom slučaju Q = konst.
Tako, ako je zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na sustav jednak nuli, tada će vektor količine gibanja sustava biti konstantan po veličini i smjeru.
2. 01Neka su vanjske sile koje djeluju na sustav takve da je zbroj njihovih projekcija na neku os (na primjer Ox) jednak nuli:
Tada iz jednadžbi (4`) slijedi da u ovom slučaju Q = konst.
Tako, ako je zbroj projekcija svih vanjskih sila koje djeluju na bilo koju os jednak nuli, tada je projekcija količine gibanja sustava na tu os konstantna vrijednost.
Ovi rezultati izražavaju zakon očuvanja količine gibanja sustava. Iz njih slijedi da unutarnje sile ne mogu promijeniti ukupnu količinu gibanja sustava.
Pogledajmo neke primjere:
· Fenomen vraćanja rolne. Ako pušku i metak smatramo jednim sustavom, tada će pritisak barutnih plinova tijekom hica biti unutarnja sila. Ta sila ne može promijeniti ukupni zamah sustava. Ali budući da barutni plinovi, djelujući na metak, pridaju mu određenu količinu gibanja usmjerenu prema naprijed, moraju istovremeno prenijeti i pušci istu količinu gibanja u obrnuti smjer. To će uzrokovati pomicanje puške unatrag, tj. povratak tzv. Slična pojava događa se prilikom pucanja iz pištolja (povratak).
· Rad propelera (elise). Propeler daje kretanje određenoj masi zraka (ili vode) duž osi propelera, odbacujući tu masu natrag. Ako bačenu masu i zrakoplov (ili brod) promatramo kao jedan sustav, tada sile međudjelovanja između propelera i okoline, kao unutarnje, ne mogu promijeniti ukupnu količinu gibanja tog sustava. Stoga, kada se masa zraka (vode) baci natrag, zrakoplov (ili brod) dobiva odgovarajuću brzinu prema naprijed tako da ukupna količina gibanja sustava koji se razmatra ostaje jednaka nuli, jer je bila nula prije početka kretanja .
Sličan učinak postiže se djelovanjem vesala ili kotača s lopaticama.
· Povratni pogon. U raketi (raketa) plinoviti produkti izgaranja goriva velikom brzinom izbacuju se iz otvora na repu rakete (iz mlaznice mlaznog motora). Sile pritiska koje djeluju u ovom slučaju bit će unutarnje sile i ne mogu promijeniti ukupni moment raketno-barutnog plinskog sustava. Ali budući da plinovi koji izlaze imaju određenu količinu gibanja usmjerenu unatrag, raketa dobiva odgovarajuću brzinu prema naprijed.
Teorem o momentima oko osi.
Razmotrimo materijalnu točku mase m, krećući se pod utjecajem sile F. Nađimo za to odnos između momenta vektora mV I F u odnosu na neku fiksnu os Z.
m z (F) = xF - yF (7)
Slično za vrijednost m(mV), ako se izvadi m bit će izvan zagrada
m z (mV) = m(xV - yV)(7`)
Uzimajući derivacije u odnosu na vrijeme s obje strane ove jednakosti, nalazimo
Na desnoj strani rezultirajućeg izraza, prva zagrada je jednaka 0, jer dx/dt=V i du/dt = V, druga zagrada prema formuli (7) jednaka je
mz(F), jer prema osnovnom zakonu dinamike:
Konačno ćemo imati (8)
Rezultirajuća jednadžba izražava teorem momenata oko osi: vremenska derivacija momenta količine gibanja točke u odnosu na bilo koju os jednaka je momentu sile koja djeluje u odnosu na istu os. Sličan teorem vrijedi za trenutke oko bilo kojeg središta O.
Koja se sastoji od n materijalne bodove. Izaberimo određenu točku iz ovog sustava M j s masom m j. Kao što je poznato, vanjske i unutarnje sile djeluju na ovu točku.
Primijenimo to na stvar M j rezultanta svih unutarnjih sila F j i a rezultanta svih vanjskih sila F j e(Slika 2.2). Za odabranu materijalnu točku M j(kao i za slobodnu točku) ispisujemo teorem o promjeni količine gibanja u diferencijalnom obliku (2.3):
Napišimo slične jednadžbe za sve točke mehaničkog sustava (j=1,2,3,…,n).
Slika 2.2
Zbrojimo sve dio po dio n jednadžbe:
∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)
d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)
Ovdje ∑m j ×V j =Q– količina gibanja mehaničkog sustava;
∑F j e = R e– glavni vektor svih vanjskih sila koje djeluju na mehanički sustav;
∑F j i = R i =0– glavni vektor unutarnjih sila sustava (prema svojstvu unutarnjih sila jednak je nuli).
Konačno, za mehanički sustav koji dobivamo
dQ/dt = Re. (2.11)
Izraz (2.11) je teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava u diferencijalnom obliku (u vektorskom izrazu): vremenska derivacija vektora količine gibanja mehaničkog sustava jednaka je glavnom vektoru svih vanjskih sila koje djeluju na sustav.
Projiciranjem vektorske jednakosti (2.11) na Kartezijeve koordinatne osi dobivamo izraze za teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava u koordinatnom (skalarnom) izrazu:
dQ x /dt = R x e;
dQ y /dt = R y e;
dQ z /dt = R z e, (2.12)
oni. vremenska derivacija projekcije količine gibanja mehaničkog sustava na bilo koju os jednaka je projekciji na tu os glavnog vektora svih vanjskih sila koje djeluju na taj mehanički sustav.
Množenje obje strane jednakosti (2.12) sa dt, dobivamo teorem u drugom diferencijalnom obliku:
dQ = R e × dt = δS e, (2.13)
oni. diferencijalna količina gibanja mehaničkog sustava jednaka je elementarnom impulsu glavnog vektora (zbroju elementarnih impulsa) svih vanjskih sila koje djeluju na sustav.
Integriranje jednakosti (2.13) unutar vremenske promjene od 0 do t, dobivamo teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava u konačnom (integralnom) obliku (u vektorskom izrazu):
Q - Q 0 = S e,
oni. promjena količine gibanja mehaničkog sustava u konačnom vremenskom razdoblju jednaka je ukupnom impulsu glavnog vektora (zbroju ukupnih impulsa) svih vanjskih sila koje djeluju na sustav tijekom istog vremenskog razdoblja..
Projiciranjem vektorske jednakosti (2.14) na Kartezijeve koordinatne osi dobivamo izraze za teorem u projekcijama (u skalarnom izrazu):
oni. promjena projekcije količine gibanja mehaničkog sustava na bilo koju os u konačnom vremenskom razdoblju jednaka je projekciji na istu os ukupnog impulsa glavnog vektora (zbroja ukupnih impulsa) svih vanjskih sila. djelujući na mehanički sustav tijekom istog vremenskog razdoblja.
Iz razmatranog teorema (2.11) – (2.15) slijede sljedeće korolacije:
- Ako R e = ∑F j e = 0, To Q = konst– imamo zakon održanja vektora količine gibanja mehaničkog sustava: ako glavni vektor R e svih vanjskih sila koje djeluju na mehanički sustav jednak nuli, tada vektor količine gibanja tog sustava ostaje konstantan po veličini i smjeru i jednak svojoj početnoj vrijednosti Q 0, tj. Q = Q 0.
- Ako R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), To Q x = konst– imamo zakon očuvanja projekcije na os količine gibanja mehaničkog sustava: ako je projekcija glavnog vektora svih sila koje djeluju na mehanički sustav na bilo koju os jednaka nuli, tada je projekcija na istu os vektor količine gibanja ovog sustava bit će konstantna vrijednost i jednak projekciji na ovu os početnog vektora količine gibanja, tj. Q x = Q 0x.
Diferencijalni oblik teorema o promjeni količine gibanja materijalni sustav ima važne i zanimljive primjene u mehanici kontinuum. Iz (2.11) možemo dobiti Eulerov teorem.
Mjera količine kretanja mehaničko kretanje, ako mehaničko kretanje prelazi u mehaničko. Na primjer, mehaničko kretanje biljarske kugle (slika 22) prije udarca pretvara se u mehaničko kretanje kuglica nakon udarca. Za točku je količina gibanja jednaka umnošku.
Mjera sile u ovom slučaju je impuls sile
.
(9.1)
Moment određuje djelovanje sile 
tijekom određenog vremenskog razdoblja 
. Za materijalnu točku teorem o promjeni količine gibanja može se koristiti u diferencijalnom obliku 
(9.2) ili integralni (konačni) oblik 
.
(9.3)
Promjena količine gibanja materijalne točke u određenom vremenskom razdoblju jednaka je impulsu svih sila koje djeluju na točku tijekom istog vremena.
Slika 22
Pri rješavanju zadataka teorem (9.3) se češće koristi u projekcijama na koordinatne osi 
;
;
(9.4)
.
Pomoću teorema o promjeni količine gibanja točke moguće je riješiti zadatke u kojima na točku ili tijelo koje se giba translatorno djeluju stalne ili promjenljive sile koje ovise o vremenu, a zadane i tražene veličine uključuju vrijeme kretanje i brzine na početku i kraju kretanja. Zadaci koji koriste teorem rješavaju se sljedećim redoslijedom:
1. odabrati koordinatni sustav;
2. prikazati sve zadane (aktivne) sile i reakcije koje djeluju na točku;
3. zapisati teorem o promjeni količine gibanja točke u projekcijama na odabrane koordinatne osi;
4. odrediti potrebne količine.
PRIMJER 12.
Čekić težine G=2t pada s visine h=1m na obradak u vremenu t=0,01s i utiskuje dio (slika 23). Odrediti prosječnu silu pritiska čekića na radni predmet.
RIJEŠENJE.
1. Izradak je podložan sili gravitacije čekića 
i reakcija tla 
. Veličina reakcije potpore mijenja se tijekom vremena, pa razmotrimo njezinu prosječnu vrijednost 
.
2. usmjeriti koordinatnu os y okomito prema dolje i primijeniti teorem o promjeni količine gibanja točke u projekciji na tu os: 
, (1) gdje je 
-- brzina čekića na kraju udarca;
-- početna brzina čekića u trenutku kontakta s obratkom.
3. Za određivanje brzine 
Napravimo diferencijalnu jednadžbu gibanja čekića u projekciji na y-os:
.
(2)
Odvojimo varijable i integrirajmo jednadžbu (2) dvaput: 
;
;
. Integracijske konstante C 1, C 2 nalazimo iz početnih uvjeta. Pri t=0 V y =0, tada C1 =0; y=0, tada je C 2 =0. Prema tome, čekić se kreće prema zakonu 
, (3) i brzina čekića se mijenja prema zakonu 
. (4) Izrazimo vrijeme kretanja čekića iz (3) i zamijenimo ga u (4) 
;
.
(5)
4. Projekciju impulsa vanjskih sila na y-os nalazimo pomoću formule: 
. (6) Zamijenite (5) i (6) u (1): 
, odakle nalazimo reakciju nosača, a time i željeni pritisak čekića na radni predmet 
T.
Slika 24
DOgdje je M masa sustava, V c brzina centra mase. Teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava može se napisati u diferencijalnom i konačnom (integralnom) obliku: 
;
.
(9.7)
. (9.5) Količina gibanja sustava ili krutog tijela može se odrediti poznavanjem mase sustava i brzine središta mase 
,
(9.6)Promjena količine gibanja mehaničkog sustava u određenom vremenskom razdoblju jednaka je zbroju impulsa vanjskih sila koje djeluju u istom vremenu. Ponekad je prikladnije koristiti teorem o promjeni količine gibanja u projekciji na koordinatne osi 
;
(9.8)
.
(9.9)
Zakon o održanju količine gibanja kaže da u odsutnosti vanjskih sila, količina gibanja mehaničkog sustava ostaje konstantna. Djelovanje unutarnjih sila ne može promijeniti moment količine gibanja sustava. Iz jednadžbe (9.6) jasno je da kada 
,
.
Ako 
, To 
ili 
.
D
propeler ili propeler, mlazni pogon. Lignje se kreću u trzajima, izbacujući vodu iz mišićne vrećice poput vodenog topa (slika 25). Odbijena voda ima poznatu količina kretanja, usmjeren unatrag. Lignja dobiva odgovarajuću brzinu 
kretanje prema naprijed zbog reaktivne vučne sile 
, budući da prije lignje iskoči sila 
uravnotežena gravitacijom 
.
Primjena teorema o promjeni količine gibanja omogućuje nam isključivanje svih unutarnjih sila iz razmatranja.
PRIMJER 13.
Vitlo A s bubnjem polumjera r postavljeno je na željezničku platformu koja slobodno stoji na tračnicama (slika 26). Vitlo je dizajnirano za pomicanje tereta B mase m 1 duž platforme. Težina platforme s vitlom m 2. Bubanj vitla se okreće prema zakonu 
. U početnom trenutku sustav je bio mobilan. Zanemarujući trenje, pronađite zakon promjene brzine platforme nakon okretanja vitla.
R 
RIJEŠENJE.
1. Razmotrite platformu, vitlo i teret kao jedan mehanički sustav na koji djeluju vanjske sile: gravitacija tereta 
i platforme 
i reakcije 
I 
.
2. Budući da su sve vanjske sile okomite na os x, tj. 
, primjenjujemo zakon očuvanja momenta mehaničkog sustava u projekciji na x-os: 
. U početnom trenutku sustav je bio nepomičan, dakle, 
Izrazimo količinu gibanja sustava u proizvoljnom trenutku vremena. Platforma se kreće naprijed velikom brzinom 
, teret prolazi kroz složeno kretanje koje se sastoji od relativno kretanje duž platforme brzinom 
i prijenosno kretanje zajedno s platformom pri brzini 
., gdje 
. Platforma će se kretati u smjeru suprotnom od relativnog kretanja tereta.
PRIMJER 14.
RIJEŠENJE.
1. Primijenimo teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava u projekciji na x-os. Budući da su sve vanjske sile koje djeluju na sustav okomite, onda 
, Zatim 
, gdje 
.
(1)
2. Izrazimo projekciju količine gibanja na x-os za mehanički sustav koji razmatramo 
,
t 2) (S-u metrima, t-u sekundama), (slika 26). Odrediti brzinu ploče u trenutku t 1 = 1s, koristeći teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava.Gdje 
,
-- količina gibanja ploče odnosno opterećenja. 
;
, Gdje 
--apsolutna brzina tereta D. Iz jednakosti (1) slijedi da je K 1x + K 2x =C 1 ili m 1 u x +m 2 V Dx =C 1. (2) Za određivanje V Dx, razmotrite kretanje tereta D kao složeno, smatrajući njegovo gibanje relativno u odnosu na ploču, a gibanje same ploče prenosivim, tada 
,
(3)
; ili u projekciji na x os: 
. (4) Zamijenimo (4) u (2): 
. (5) Integracijsku konstantu C 1 odredimo iz početnih uvjeta: pri t=0 u=u 0 ; (m 1 +m 2)u 0 =C 1. (6) Zamjenom vrijednosti konstante C 1 u jednadžbu (5) dobivamo 
m/s.
Količina gibanja sustava, kao vektorska veličina, određena je formulama (4.12) i (4.13).
Teorema. Derivacija količine gibanja sustava u odnosu na vrijeme jednaka je geometrijskom zbroju svih vanjskih sila koje na njega djeluju.
U projekcijama Kartezijevih osi dobivamo skalarne jednadžbe.
Možete napisati vektor
(4.28)
i skalarne jednadžbe
Koji izražavaju teorem o promjeni količine gibanja sustava u integralnom obliku: promjena količine gibanja sustava u određenom vremenskom razdoblju jednaka je zbroju impulsa u istom vremenskom razdoblju. Pri rješavanju zadataka češće se koriste jednadžbe (4.27).
Zakon očuvanja količine gibanja
Teorem o promjeni kutne količine gibanja
Teorem o promjeni kutne količine gibanja točke u odnosu na središte: vremenska derivacija kutne količine gibanja točke u odnosu na nepomično središte jednaka je vektorskom momentu sile koja djeluje na točku u odnosu na isto središte.
ili 
(4.30)
Uspoređujući (4.23) i (4.30), vidimo da su momenti vektora i povezani istom ovisnošću kao što su povezani vektori i sami (sl. 4.1). Projiciramo li jednakost na os koja prolazi središtem O, dobivamo
(4.31)
Ova jednakost izražava teorem o kutnom momentu točke u odnosu na os.
|
(4.32)
Projiciramo li izraz (4.32) na os koja prolazi središtem O, dobivamo jednakost koja karakterizira teorem o promjeni kutne količine gibanja u odnosu na os.
(4.33)
Zamjenom (4.10) u jednakost (4.33) možemo zapisati diferencijalnu jednadžbu rotacijskog krutog tijela (kotača, osovine, vratila, rotora itd.) u tri oblika.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Stoga je preporučljivo koristiti teorem o promjeni kinetičkog momenta za proučavanje gibanja krutog tijela, što je vrlo često u tehnici, njegova rotacija oko nepomične osi.
Zakon očuvanja kutne količine gibanja sustava
1. Neka u izrazu (4.32) .
Tada iz jednadžbe (4.32) slijedi da je, tj. ako je zbroj momenata svih vanjskih sila primijenjenih na sustav u odnosu na određeno središte jednak nuli, tada će kinetički moment sustava u odnosu na to središte biti numerički i usmjereno konstantan.
2. Ako je , tada . Dakle, ako je zbroj momenata vanjskih sila koje djeluju na sustav u odnosu na određenu os jednak nuli, tada će kinetički moment sustava u odnosu na tu os biti konstantna vrijednost.
Ovi rezultati izražavaju zakon održanja kutne količine gibanja.
U slučaju rotacijskog krutog tijela iz jednakosti (4.34) slijedi da, ako je , onda . Odavde dolazimo do sljedećih zaključaka:
Ako je sustav nepromjenjiv (apsolutno kruto tijelo), tada se, prema tome, i kruto tijelo rotira oko fiksne osi s konstantom kutna brzina.
Ako je sustav promjenjiv, tada . S povećanjem (tada se pojedini elementi sustava udaljavaju od osi rotacije) kutna brzina opada, jer , a pri smanjenju raste, pa je tako kod promjenjivog sustava uz pomoć unutarnjih sila moguće mijenjati kutnu brzinu.
Drugi zadatak D2 ispitni rad posvećena je teoremu o promjeni kutne količine gibanja sustava u odnosu na os.
Problem D2
Homogena horizontalna platforma (kružna polumjera R ili pravokutna sa stranicama R i 2R, gdje je R = 1,2 m) mase kg rotira kutnom brzinom oko okomite osi z, udaljene od središta mase C platforme na udaljenost OC = b (Slika E2.0 – D2.9, tablica D2); Dimenzije za sve pravokutne platforme prikazane su na sl. D2.0a (pogled odozgo).
U trenutku vremena, teret D mase kg počinje se kretati duž platforme (pod utjecajem unutarnjih sila) prema zakonu, gdje je s izražen u metrima, t - u sekundama. U isto vrijeme, par sila s momentom M (određen u njutonometrima; na M< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Odredite, zanemarujući masu osovine, ovisnost t.j. kutna brzina platforme u funkciji vremena.
Na svim slikama je teret D prikazan u poziciji u kojoj je s > 0 (kada je s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.
Upute. Zadatak D2 – primijeniti teorem o promjeni kutne količine gibanja sustava. Pri primjeni teorema na sustav koji se sastoji od platforme i tereta, kutni moment sustava u odnosu na os z određuje se kao zbroj momenata platforme i tereta. Treba uzeti u obzir da je apsolutna brzina tereta zbroj relativne i prijenosne brzine, tj. . Prema tome, količina kretanja ovog tereta 
. Zatim možete koristiti Varignonov teorem (statika), prema kojem ; ti se momenti računaju na isti način kao i momenti sila. Rješenje je detaljnije objašnjeno u primjeru D2.
Prilikom rješavanja problema korisno je na pomoćnom crtežu prikazati pogled na platformu odozgo (od kraja z), kao što je to učinjeno na sl. D2.0, a – D2.9, a.
Moment tromosti ploče mase m u odnosu na os Cz, okomitu na ploču i prolazi kroz njezino središte mase, jednak je: za pravokutnu ploču sa stranicama i
;
Za okruglu ploču radijusa R
| Broj uvjeta | b | s = F(t) | M |
| R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 | -0,4 0,6 0,8 10 t 0,4 -0,5t -0,6t 0,8t 0,4 0,5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Primjer D2. Homogena horizontalna platforma (pravokutnik sa stranicama 2l i l), koja ima masu, kruto je pričvršćena na vertikalnu osovinu i rotira s njom oko osi z s kutnom brzinom (Sl. E2a ). U trenutku vremena na vratilo počinje djelovati moment M, usmjeren suprotno ; istovremeno teret D masa koja se nalazi u rovu AB u točki S, počinje se kretati po žlijebu (pod utjecajem unutarnjih sila) po zakonu s = CD = F(t).
Zadano je: m 1 = 16 kg, t 2= 10 kg, l= 0,5 m, = 2, s = 0,4t 2 (s - u metrima, t - u sekundama), M= kt, Gdje k=6 Nm/s. Odrediti: - zakon promjene kutne brzine platforme.
Riješenje. Razmotrimo mehanički sustav koji se sastoji od platforme i tereta D. Za određivanje w primjenjujemo teorem o promjeni kutne količine gibanja sustava u odnosu na os z:
(1)
Oslikajmo vanjske sile koje djeluju na sustav: gravitacijsku silu reakcije i moment M. Kako su sile i paralelne s osi z, a reakcije sijeku tu os, njihovi momenti u odnosu na os z jednaki su nula. Zatim, uzimajući u obzir smjer koji je trenutno pozitivan (tj. suprotno od kazaljke na satu), dobivamo 
a jednadžba (1) će imati ovaj oblik.
Budući da je masa točke konstantna, a njezino ubrzanje, jednadžba koja izražava osnovni zakon dinamike može se prikazati u obliku
Jednadžba istovremeno izražava teorem o promjeni količine gibanja točke u diferencijalnom obliku: vremenski derivat momenta količine gibanja točke jednaka je geometrijskom zbroju sila koje djeluju na točku.
Integrirajmo ovu jednadžbu. Neka masa bude točka m, krećući se pod utjecajem sile (slika 15), ima u trenutku t=0 brzina, a trenutno t 1-brzinski.
sl.15
Pomnožimo onda obje strane jednakosti i uzmemo od njih određeni integrali. U ovom slučaju, s desne strane, gdje se integracija odvija tijekom vremena, granice integrala će biti 0 i t 1, a lijevo, gdje je integrirana brzina, granice integrala će biti odgovarajuće vrijednosti brzine i . Budući da je integral od jednak , tada kao rezultat dobivamo:
.
Integrali s desne strane predstavljaju impulse aktivne snage. Dakle, konačno ćemo imati:
.
Jednadžba izražava teorem o promjeni količine gibanja točke u konačnom obliku: promjena količine gibanja točke u određenom vremenskom razdoblju jednaka je geometrijskom zbroju impulsa svih sila koje djeluju na točku u istom vremenskom razdoblju ( riža. 15).
Pri rješavanju problema često se umjesto vektorskih jednadžbi koriste projekcijske jednadžbe.
U slučaju pravocrtnog gibanja koje se događa duž osi Oh teorem je izražen prvom od ovih jednadžbi.
Pitanja za samotestiranje
Formulirajte osnovne zakone mehanike.
Koja se jednadžba naziva temeljnom jednadžbom dinamike?
Koja je mjera tromosti čvrstih tijela pri translatornom gibanju?
Ovisi li težina tijela o položaju na Zemlji?
Koji se referentni sustav naziva inercijskim?
Na koje tijelo djeluje inercijalna sila materijalne točke i koji su njen modul i smjer?
Objasnite razliku između pojmova "tromost" i "sila tromosti"?
Na koja tijela djeluje inercijalna sila, kako je usmjerena i po kojoj formuli se može izračunati?
Što je princip kinetostatike?
Koji su moduli i smjerovi tangencijalne i normalne sile tromosti materijalne točke?
Kako se zove tjelesna težina? Što je SI jedinica za masu?
Koja je mjera tromosti tijela?
Zapiši osnovni zakon dinamike u vektorskom i diferencijalnom obliku?
Na materijalnu točku djeluje stalna sila. Kako se kreće točka?
Koliko će ubrzati točka ako na nju djeluje sila jednaka dvostrukoj sili teže?
Nakon sudara dviju materijalnih točaka s masama m 1 =6 kg i m 2 =24 kg prva točka je dobila ubrzanje od 1,6 m/s. Kolika je akceleracija koju prima druga točka?
Pri kojem je gibanju materijalne točke njezina tangencijalna sila tromosti jednaka nuli, a pri kojem je normalna?
Koje se formule koriste za izračunavanje modula rotacijske i centrifugalne sile tromosti točke koja pripada čvrsto tijelo, rotira oko fiksne osi?
Kako je formuliran osnovni zakon dinamike točke?
Dajte formulaciju zakona neovisnosti o djelovanju sila.
Napiši diferencijalne jednadžbe gibanja materijalne točke u vektorskom i koordinatnom obliku.
Formulirajte bit prvog i drugog glavnog problema dinamike točke.
Navedite uvjete iz kojih stalne integracije diferencijalne jednadžbe gibanja materijalne točke.
Koje se jednadžbe dinamike nazivaju prirodnim jednadžbama gibanja materijalne točke?
Koja su dva glavna problema dinamike točke koja se rješavaju pomoću diferencijalnih gibanja materijalne točke?
Diferencijalne jednadžbe gibanja slobodne materijalne točke.
Kako se određuju konstante pri integraciji diferencijalnih jednadžbi gibanja materijalne točke?
Određivanje vrijednosti proizvoljnih konstanti koje se pojavljuju pri integriranju diferencijalnih jednadžbi gibanja materijalne točke.
Koje su zakonitosti slobodnog pada tijela?
Po kojim se zakonitostima odvijaju horizontalna i vertikalna gibanja tijela bačenog pod kutom u odnosu na horizont u prostoru? Koja je putanja njegovog gibanja i pod kojim kutom tijelo ima najveći domet leta?
Kako izračunati impuls promjenljive sile u konačnom vremenskom razdoblju?
Kako se zove moment količine gibanja materijalne točke?
Kako izraziti elementarni rad sile kroz elementarni put točke primjene sile i kako - kroz prirast lučne koordinate te točke?
Pri kojim je pomacima rad sile teže: a) pozitivan, b) negativan, c) nula?
Kako izračunati snagu sile koja djeluje na materijalnu točku koja kutnom brzinom rotira oko nepomične osi?
Formulirajte teorem o promjeni količine gibanja materijalne točke.
Pod kojim uvjetima se količina gibanja materijalne točke ne mijenja? Pod kojim uvjetima se njegova projekcija na neku os ne mijenja?
Dajte formulaciju teorema promjene kinetička energija materijalna točka u diferencijalnom i konačnom obliku.
Kako se naziva kutna količina gibanja materijalne točke u odnosu na: a) središte, b) os?
Kako je formuliran teorem o promjeni kutne količine gibanja točke u odnosu na središte iu odnosu na os?
Pod kojim uvjetima kutna količina gibanja točke u odnosu na os ostaje nepromijenjena?
Kako se određuju kutni momenti materijalne točke u odnosu na središte i u odnosu na os? Kakav je odnos među njima?
Na kojem je mjestu vektora količine gibanja materijalne točke njezin moment u odnosu na os jednak nuli?
Zašto putanja materijalne točke koja se giba pod utjecajem središnje sile leži u istoj ravnini?
Koje se gibanje točke naziva pravocrtnim? Napiši diferencijalnu jednadžbu za pravocrtno gibanje materijalne točke.
Napiši diferencijalne jednadžbe ravninskog gibanja materijalne točke.
Koje je gibanje materijalne točke opisano Lagrangeovim diferencijalnim jednadžbama prve vrste?
U kojim slučajevima se materijalna točka naziva neslobodnom i koje su diferencijalne jednadžbe gibanja te točke?
Dati definicije stacionarnih i nestacionarnih, holonomnih i neholonomnih veza.
Koje se veze nazivaju bilateralnim? Jednostrano?
Što je bit principa oslobađanja od veza?
Kakav oblik imaju diferencijalne jednadžbe gibanja neslobodne materijalne točke u Lagrangeovom obliku? Što se zove Lagrangeov multiplikator?
Dajte formulaciju Coriolisovog dinamičkog teorema.
Što je bit Galileo-Newtonovog principa relativnosti?
Navedite gibanja kod kojih je Coriolisova inercijalna sila jednaka nuli.
Koji modul i koji smjer imaju prijenosna i Coriolisova inercijalna sila?
Koja je razlika između diferencijalne jednadžbe relativna i apsolutna gibanja materijalne točke?
Kako se određuju prijenosna i Coriolisova inercijska sila u različitim slučajevima prijenosnog gibanja?
Što je bit principa relativnosti klasične mehanike?
Koji se referentni sustavi nazivaju inercijskim?
Koji je uvjet za relativno mirovanje materijalne točke?
U kojim točkama Zemljina površina gravitacija je najveća i najmanja vrijednost?
Čime se objašnjava odstupanje tijela koja padaju prema istoku?
U kojem smjeru se tijelo bačeno okomito otkloni?
Žlica se spušta u okno uz ubrzanje A=4 m/s 2. Gravitacija kante G=2 kN. Odredite silu napetosti užeta koje podupire kadu?
Dvije materijalne točke gibaju se pravocrtno stalnim brzinama 10 i 100 m/s. Možemo li reći da na te točke djeluju ekvivalentni sustavi sila?
1) nemoguće je;
Na dvije materijalne točke mase 5 i 15 kg djeluju jednake sile. Usporedite brojčane vrijednosti ubrzanja ovih točaka?
1) ubrzanja su ista;
2) ubrzanje točke mase 15 kg tri puta je manje od ubrzanja točke mase 5 kg.
Mogu li se dinamički problemi riješiti pomoću jednadžbi ravnoteže?
