Vektorsko umjetničko djelo je pseudovektor okomit na ravninu konstruiran od dva faktora, koji je rezultat binarne operacije "množenje vektora" nad vektorima u trodimenzionalnom euklidskom prostoru. Vektorski umnožak nema svojstva komutativnosti i asocijativnosti (on je antikomutativan) te je za razliku od skalarnog umnoška vektora vektor. Naširoko se koristi u mnogim inženjerskim i fizičkim aplikacijama. Na primjer, kutni moment i Lorentzova sila matematički se zapisuju kao vektorski produkt. Križni produkt koristan je za "mjerenje" okomitosti vektora - modul križnog produkta dvaju vektora jednak je produktu njihovih modula ako su okomiti, a smanjuje se na nulu ako su vektori paralelni ili antiparalelni.
Vektorski umnožak može se definirati na različite načine, a teoretski, u prostoru bilo koje dimenzije n, može se izračunati umnožak n-1 vektora, čime se dobiva jedan vektor okomit na sve njih. Ali ako je produkt ograničen na netrivijalne binarne produkte s vektorskim rezultatima, tada je tradicionalni vektorski produkt definiran samo u trodimenzionalnim i sedmodimenzionalnim prostorima. Rezultat vektorskog umnoška, poput skalarnog umnoška, ovisi o metrici euklidskog prostora.
Za razliku od formule za izračunavanje vektora skalarnog umnoška iz koordinata u trodimenzionalnom pravokutnom koordinatnom sustavu, formula za križni umnožak ovisi o orijentaciji pravokutnog koordinatnog sustava, odnosno, drugim riječima, njegovoj “kiralnosti”.
Definicija:
Vektorski produkt vektora a i vektora b u prostoru R3 je vektor c koji zadovoljava sljedeće zahtjeve:
duljina vektora c jednaka je umnošku duljina vektora a i b i sinusa kuta φ između njih:
|c|=|a||b|sin φ;
vektor c je okomit na svaki od vektora a i b;
vektor c je usmjeren tako da je trojka vektora abc desnokretna;
u slučaju prostora R7 traži se asocijativnost trojke vektora a, b, c.
Oznaka:
c===a × b
Riža. 1. Površina paralelograma jednaka je modulu vektorskog proizvoda
Geometrijska svojstva umnoška:
Nužan i dovoljan uvjet za kolinearnost dva vektora različita od nule je da je njihov vektorski produkt jednak nuli.
Modul višestrukih proizvoda jednaka površini S paralelogram konstruiran na vektorima svedenim na zajedničko ishodište a I b(vidi sliku 1).
Ako e- jedinični vektor okomit na vektore a I b i izabran tako da tri a,b,e- točno, i S je površina paralelograma konstruiranog na njima (svedena na zajedničko ishodište), tada vrijedi formula za vektorski proizvod:
= S e
sl.2. Volumen paralelopipeda pomoću vektora i skalarnog produkta vektora; isprekidane linije prikazuju projekcije vektora c na a × b i vektora a na b × c, prvi korak je pronaći skalarne produkte
Ako c- neki vektor, π
- bilo koja ravnina koja sadrži ovaj vektor, e- jedinični vektor koji leži u ravnini π
i ortogonalno na c,g- jedinični vektor okomit na ravninu π
a usmjerena tako da trojka vektora ekg je u pravu, onda za bilo kakvo ležanje u avionu π
vektor a formula je točna:
=Pr e a |c|g
gdje je Pr e a projekcija vektora e na a
|c|-modul vektora c
Kada koristite vektorske i skalarne produkte, možete izračunati volumen paralelopipeda izgrađenog na vektorima svedenim na zajedničko ishodište a, b I c. Takav produkt triju vektora naziva se mješoviti.
V=|a (b×c)|
Slika pokazuje da se ovaj volumen može pronaći na dva načina: geometrijski rezultat je sačuvan čak i kada se "skalarni" i "vektorski" produkti zamijene:
V=a×b c=a b×c
Veličina križnog umnoška ovisi o sinusu kuta između izvornih vektora, tako da se križni umnožak može percipirati kao stupanj "okomitosti" vektora, baš kao što se skalarni produkt može promatrati kao stupanj "paralelnosti ”. Vektorski umnožak dvaju jediničnih vektora jednak je 1 (jedinički vektor) ako su izvorni vektori okomiti, a jednak je 0 (nulti vektor) ako su vektori paralelni ili antiparalelni.
Izraz za križni umnožak u Kartezijevim koordinatama
Ako dva vektora a I b definirane svojim pravokutnim kartezijevim koordinatama, ili točnije, predstavljene u ortonormiranoj bazi
a=(a x,a y,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
a koordinatni sustav desnokretan, tada njihov vektorski produkt ima oblik
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Da zapamtite ovu formulu:
i =∑ε ijk a j b k
Gdje ε ijk- simbol Levi-Civita.
Kut između vektora
Da bismo mogli uvesti pojam vektorskog umnoška dvaju vektora, prvo moramo razumjeti takav pojam kao što je kut između tih vektora.
Neka su nam dana dva vektora $\overline(α)$ i $\overline(β)$. Uzmimo neku točku $O$ u prostoru i iz nje iscrtajmo vektore $\overline(α)=\overline(OA)$ i $\overline(β)=\overline(OB)$, zatim kut $AOB$ nazvat ćemo kut između tih vektora (sl. 1).
Notacija: $∠(\overline(α),\overline(β))$
Pojam vektorskog produkta vektora i formula za pronalaženje
Definicija 1
Vektorski umnožak dvaju vektora je vektor okomit na oba zadana vektora, a njegova će duljina biti jednaka umnošku duljina tih vektora sa sinusom kuta između tih vektora, a također ovaj vektor s dva početna ima iste orijentacije kao Kartezijev koordinatni sustav.
Notacija: $\overline(α)h\overline(β)$.
Matematički to izgleda ovako:
- $|\overline(α)h\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin∠(\overline(α),\overline(β))$
- $\overline(α)h\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)h\overline(β)⊥\overline(β)$
- $(\overline(α)h\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ i $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ su isto orijentirani (sl. 2)
Očito, vanjski produkt vektora će biti jednak nultom vektoru u dva slučaja:
- Ako je duljina jednog ili oba vektora nula.
- Ako je kut između ovih vektora jednak $180^\circ$ ili $0^\circ$ (jer je u ovom slučaju sinus nula).
Da biste jasno vidjeli kako je pronađen vektorski produkt vektora, razmotrite sljedeće primjere rješenja.
Primjer 1
Pronađite duljinu vektora $\overline(δ)$, koja će biti rezultat vektorskog umnoška vektora, s koordinatama $\overline(α)=(0,4,0)$ i $\overline(β) =(3,0,0 )$.
Riješenje.
Oslikajmo ove vektore u kartezijevom koordinatnom prostoru (slika 3):
Slika 3. Vektori u Kartezijevom koordinatnom prostoru. Author24 - online razmjena studentskih radova
Vidimo da ti vektori leže na $Ox$ odnosno $Oy$ osi. Stoga će kut između njih biti $90^\circ$. Nađimo duljine ovih vektora:
$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$
$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$
Tada, prema definiciji 1, dobivamo modul $|\overline(δ)|$
$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$
Odgovor: 12 dolara.
Izračunavanje umnoška iz vektorskih koordinata
Definicija 1 odmah implicira metodu za pronalaženje vektorskog produkta za dva vektora. Budući da vektor osim vrijednosti ima i smjer, nemoguće ga je pronaći samo pomoću skalarne veličine. Ali osim toga, postoji i način da pronađemo vektore koji su nam zadani pomoću koordinata.
Neka su nam zadani vektori $\overline(α)$ i $\overline(β)$, koji će imati koordinate $(α_1,α_2,α_3)$ odnosno $(β_1,β_2,β_3)$. Tada se vektor križnog umnoška (odnosno njegove koordinate) može pronaći pomoću sljedeće formule:
$\overline(α)h\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$
Inače, proširenjem determinante dobivamo sljedeće koordinate
$\overline(α)h\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$
Primjer 2
Pronađite vektor vektorskog umnoška kolinearnih vektora $\overline(α)$ i $\overline(β)$ s koordinatama $(0,3,3)$ i $(-1,2,6)$.
Riješenje.
Upotrijebimo gore navedenu formulu. Dobivamo
$\overline(α)h\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k )=(12,-3,3)$
Odgovor: $(12,-3,3)$.
Svojstva vektorskog produkta vektora
Za proizvoljna miješana tri vektora $\overline(α)$, $\overline(β)$ i $\overline(γ)$, kao i $r∈R$, vrijede sljedeća svojstva:
Primjer 3
Odredite površinu paralelograma čiji vrhovi imaju koordinate $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ i $(3,8,0) $.
Riješenje.
Prvo, zamislimo ovaj paralelogram u koordinatnom prostoru (slika 5):
Slika 5. Paralelogram u koordinatnom prostoru. Author24 - online razmjena studentskih radova
Vidimo da su dvije strane ovog paralelograma konstruirane pomoću kolinearnih vektora s koordinatama $\overline(α)=(3,0,0)$ i $\overline(β)=(0,8,0)$. Koristeći četvrto svojstvo, dobivamo:
$S=|\overline(α)h\overline(β)|$
Nađimo vektor $\overline(α)h\overline(β)$:
$\overline(α)h\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$
Stoga
$S=|\overline(α)h\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$
Očito, u slučaju vektorskog produkta, bitan je redoslijed kojim su vektori uzeti, štoviše,
Također, izravno iz definicije slijedi da za bilo koji skalarni faktor k (broj) vrijedi sljedeće:
Umnožak kolinearnih vektora jednak je nultom vektoru. Štoviše, umnožak dvaju vektora jednak je nuli ako i samo ako su kolinearni. (U slučaju da je jedan od njih nulti vektor, potrebno je zapamtiti da je nulti vektor kolinearan svakom vektoru po definiciji).
Vektorski proizvod ima raspodjelna svojina, to je
Izražavanje vektorskog umnoška preko koordinata vektora.
Neka su dana dva vektora
(kako pronaći koordinate vektora iz koordinata njegovog početka i kraja - vidi članak Točkasti umnožak vektora, točka Alternativna definicija točkastog umnoška ili izračunavanje točkastog umnoška dvaju vektora zadanih njihovim koordinatama.)
Zašto vam je potreban vektorski proizvod?
Postoji mnogo načina za korištenje križnog produkta, na primjer, kao što je gore napisano, izračunavanjem križnog produkta dvaju vektora možete saznati jesu li kolinearni.
Ili se može koristiti kao način za izračunavanje površine paralelograma konstruiranog od ovih vektora. Na temelju definicije, duljina rezultirajućeg vektora je površina zadanog paralelograma.
Također postoji veliki broj primjena u elektricitetu i magnetizmu.Online kalkulator vektorskih proizvoda.
Da biste pomoću ovog kalkulatora pronašli skalarni umnožak dva vektora, potrebno je redom unijeti koordinate prvog vektora u prvi, a drugog u drugi redak. Koordinate vektora mogu se izračunati iz koordinata njihovog početka i kraja (vidi članak Točkasti umnožak vektora, stavka Alternativna definicija točkastog umnoška ili izračunavanje točkastog umnoška dvaju vektora zadanih njihovim koordinatama.)
U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije operacije s vektorima: vektorski produkt vektora I mješoviti produkt vektora (odmah link za one kojima treba). U redu je, ponekad se dogodi da za potpunu sreću, osim toga skalarni produkt vektora, potrebno je sve više i više. Ovo je vektorska ovisnost. Može se činiti da ulazimo u džunglu analitičke geometrije. To je pogrešno. U ovom dijelu više matematike uglavnom ima malo drva, osim možda dovoljno za Pinokija. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - teško da je kompliciraniji od istog skalarni proizvod, bit će čak i manje tipičnih zadataka. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, u što će se mnogi uvjeriti ili su se već uvjerili, jest NE POGRIJEŠITI U RAČUNANJU. Ponavljajte kao čaroliju i bit ćete sretni =)
Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munje na horizontu, nema veze, počnite s lekcijom Vektori za lutke obnoviti ili ponovno steći osnovno znanje o vektorima. Pripremljeniji čitatelji mogu se selektivno upoznati s informacijama; pokušao sam prikupiti što cjelovitiju zbirku primjera koji se često nalaze u praktičnom radu
Što će vas odmah usrećiti? Kad sam bio mali, znao sam žonglirati s dvije, pa i tri lopte. Dobro je ispalo. Sada uopće nećete morati žonglirati, jer ćemo razmisliti samo prostorni vektori, a ravni vektori s dvije koordinate bit će izostavljeni. Zašto? Tako su se rodile ove akcije - vektor i mješoviti umnožak vektora definirani su i rade u trodimenzionalnom prostoru. Već je lakše!
Ova operacija, baš kao i skalarni umnožak, uključuje dva vektora. Neka to budu neprolazna slova.
Sama akcija označen sa na sljedeći način: . Postoje i druge opcije, ali ja sam navikao vektorski produkt vektora označavati na ovaj način, u uglatim zagradama s križićem.
I to odmah pitanje: ako je unutra skalarni produkt vektora uključena su dva vektora, a ovdje se također množe dva vektora koja je razlika? Očita razlika je prije svega u REZULTATU:
Rezultat skalarnog produkta vektora je BROJ:
Rezultat umnoška vektora je VEKTOR: , tj. množimo vektore i opet dobivamo vektor. Zatvoreni klub. Zapravo, odatle i potječe naziv operacije. U različitoj obrazovnoj literaturi oznake se također mogu razlikovati;
Definicija unakrsnog umnoška
Prvo će biti definicija sa slikom, a zatim komentari.
Definicija: Vektorski proizvod nekolinearni vektori, uzeti ovim redom, pod nazivom VEKTOR, duljinašto je brojčano jednaka površini paralelograma, izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, a usmjeren je tako da baza ima pravu orijentaciju: 
Raščlanimo definiciju dio po dio, ovdje ima puno zanimljivih stvari!
Dakle, mogu se istaknuti sljedeće značajne točke:
1) Izvorni vektori, označeni crvenim strelicama, prema definiciji nije kolinearna. Bit će prikladno razmotriti slučaj kolinearnih vektora malo kasnije.
2) Uzimaju se vektori po strogo određenom redoslijedu: – "a" se množi s "be", a ne "biti" s "a". Rezultat vektorskog množenja je VEKTOR, koji je označen plavom bojom. Ako vektore pomnožimo obrnutim redoslijedom, dobivamo vektor jednake duljine i suprotnog smjera (boja maline). Odnosno, jednakost je istinita 
.
3) Sada se upoznajmo s geometrijskim značenjem vektorskog produkta. Ovo je vrlo važna točka! DULJINA plavog vektora (a time i grimiznog vektora) brojčano je jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram osjenčan crno.
Bilješka : crtež je shematski i, naravno, nominalna duljina vektorskog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.
Prisjetimo se jedne od geometrijskih formula: Površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica i sinusa kuta između njih. Stoga, na temelju gore navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DULJINE vektorskog produkta:
Naglašavam da se formula odnosi na DUŽINU vektora, a ne na sam vektor. Koje je praktično značenje? A značenje je da se u problemima analitičke geometrije područje paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:
Dobijmo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena točkasta linija) dijeli ga na dva jednaka trokuta. Stoga se područje trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći pomoću formule:
4) Jednako važna činjenica je da je vektor ortogonalan na vektore, tj 
. Naravno, suprotno usmjereni vektor (malinasta strelica) također je ortogonalna na izvorne vektore.
5) Vektor je usmjeren tako da osnova Ima pravo orijentacija. U lekciji o prijelaz na novu osnovu Govorio sam dovoljno detaljno o ravninska orijentacija, a sada ćemo shvatiti što je prostorna orijentacija. Objasnit ću ti na prstima desna ruka. Mentalno kombinirajte kažiprst s vektorom i srednji prst s vektorom. Domali prst i mali prst pritisnite ga na dlan. Kao rezultat palac– vektorski produkt će izgledati gore. Ovo je desno orijentirana baza (to je ova na slici). Sada promijenite vektore ( kažiprst i srednji prst) na nekim mjestima, kao rezultat će se palac okrenuti, a vektorski proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je također desno orijentirana osnova. Možda imate pitanje: koja osnova ima lijevu orijentaciju? "Dodijeliti" istim prstima lijeva ruka vektora, te dobiti lijevu bazu i lijevu orijentaciju prostora (u ovom slučaju palac će se nalaziti u smjeru donjeg vektora). Slikovito govoreći, ove baze “izvijaju” ili usmjeravaju prostor u različitim smjerovima. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, orijentacija prostora mijenja se najobičnijim zrcalom, a ako "izvučete reflektirani objekt iz zrcala", onda u općem slučaju to neće biti moguće kombinirati s "originalom". Usput, držite tri prsta do ogledala i analizirajte odraz ;-)
...kako je dobro da sada znaš desno i lijevo orijentirani baze, jer su izjave nekih predavača o promjeni orijentacije zastrašujuće =)
Umnožak kolinearnih vektora
Definicija je detaljno raspravljena, ostaje nam otkriti što se događa kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu postaviti na jednu ravnu liniju i naš se paralelogram također "presavija" u jednu ravnu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerirati paralelogram je jednak nuli. Isto slijedi iz formule - sinus nula ili 180 stupnjeva jednak je nuli, što znači da je površina nula
Dakle, ako , onda 
I 
. Napominjemo da je sam vektorski produkt jednak nultom vektoru, ali u praksi se to često zanemaruje i piše da je i on jednak nuli.
Poseban slučaj je vektorski produkt vektora sa samim sobom:
Pomoću vektorskog umnoška možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora, a mi ćemo između ostalog analizirati i ovaj problem.
Za rješavanje praktičnih primjera možda će vam trebati trigonometrijska tablica pronaći vrijednosti sinusa iz njega.
Pa, zapalimo vatru:
Primjer 1
a) Odredite duljinu vektorskog umnoška vektora ako 
b) Odredite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako 
Riješenje: Ne, ovo nije tipfeler, namjerno sam napravio iste početne podatke u rečenicama. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!
a) Prema stanju, trebate pronaći duljina vektor (križni produkt). Prema odgovarajućoj formuli:
Odgovor:
Ako ste upitani o duljini, tada u odgovoru navodimo dimenziju - jedinice.
b) Prema stanju, trebate pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma brojčano je jednaka duljini vektorskog proizvoda:
Odgovor:
Napominjemo da se u odgovoru uopće ne govori o vektorskom produktu; područje figure, prema tome, dimenzija je kvadratna jedinica.
Uvijek gledamo ŠTO trebamo pronaći prema stanju i na temelju toga formuliramo čisto odgovor. Možda se čini kao bukvalizam, ali među nastavnicima ima dosta bukvalista, a zadatak ima dobre šanse da bude vraćen na doradu. Iako se ne radi o nekoj pretjeranoj zamjerki - ako je odgovor netočan, stječe se dojam da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili nije shvatila bit zadatka. Ovu točku uvijek treba držati pod kontrolom pri rješavanju bilo kojeg problema iz više matematike, ali i iz drugih predmeta.
Gdje je nestalo veliko slovo "en"? U principu se moglo dodatno priložiti rješenju, ali da bih skratio unos, nisam to napravio. Nadam se da svi to razumiju i da je to oznaka za istu stvar.
Popularan primjer za DIY rješenje:
Primjer 2
Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima ako 
Formula za pronalaženje površine trokuta kroz vektorski proizvod navedena je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor su na kraju lekcije.
U praksi, zadatak je stvarno vrlo čest; trokuti vas općenito mogu mučiti.
Za rješavanje ostalih problema trebat će nam:
Svojstva vektorskog produkta vektora
Već smo razmotrili neka svojstva vektorskog produkta, ali ću ih uključiti u ovaj popis.
Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj vrijede sljedeća svojstva:
1) U drugim izvorima informacija ova stavka obično nije istaknuta u svojstvima, ali je vrlo važna u praktičnom smislu. Pa neka bude.
2) 
– svojstvo se također raspravlja gore, ponekad se zove antikomutativnost. Drugim riječima, bitan je redoslijed vektora.
3) – asocijativni odn asocijativni zakoni vektorskog produkta. Konstante se mogu lako premjestiti izvan vektorskog produkta. Stvarno, što bi tamo trebali raditi?
4) – raspodjela odn distributivni zakoni vektorskog produkta. Nema problema ni s otvaranjem zagrada.
Za demonstraciju, pogledajmo kratki primjer:
Primjer 3
Pronađite ako 
Riješenje: Uvjet ponovno zahtijeva pronalaženje duljine vektorskog produkta. Naslikajmo našu minijaturu: 
(1) Prema asocijativnim zakonima, konstante uzimamo izvan opsega vektorskog produkta.
(2) Konstantu pomaknemo izvan modula, a modul “pojede” znak minus. Dužina ne može biti negativna.
(3) Ostalo je jasno.
Odgovor: 
Vrijeme je da dodamo još drva na vatru:
Primjer 4
Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima ako 
Riješenje: Pronađite površinu trokuta pomoću formule 
. Kvaka je u tome što su sami vektori "tse" i "de" predstavljeni kao zbrojevi vektora. Algoritam je ovdje standardan i pomalo podsjeća na primjere br. 3 i 4 lekcije Točkasti umnožak vektora. Radi jasnoće, podijelit ćemo rješenje u tri faze:
1) U prvom koraku izražavamo vektorski umnožak kroz vektorski umnožak, zapravo, izrazimo vektor pomoću vektora. Još nema riječi o duljinama!
(1) Zamijenite izraze vektora.
(2) Koristeći zakone distribucije otvaramo zagrade prema pravilu množenja polinoma.
(3) Koristeći asocijativne zakone, pomičemo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, koraci 2 i 3 mogu se izvoditi istovremeno.
(4) Prvi i zadnji član jednaki su nuli (nulti vektor) zbog svojstva nice. U drugom članu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog produkta:
(5) Predstavljamo slične uvjete.
Kao rezultat toga, pokazalo se da je vektor izražen kroz vektor, što je trebalo postići: 
2) U drugom koraku pronalazimo duljinu vektorskog produkta koji nam je potreban. Ova radnja je slična primjeru 3: 
3) Pronađite površinu traženog trokuta: 
Faze 2-3 rješenja mogle su se napisati u jednom redu.
Odgovor:
Razmatrani problem prilično je čest u testovima, evo primjera kako ga sami riješiti:
Primjer 5
Pronađite ako
Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije. Da vidimo koliko ste bili pažljivi kada ste proučavali prethodne primjere ;-)
Umnožak vektora u koordinatama
, navedeno u ortonormalnoj bazi, izražen formulom:
Formula je doista jednostavna: u gornji red determinante upišemo koordinatne vektore, u drugi i treći red “stavimo” koordinate vektora, te stavimo u strogom redu– prvo koordinate vektora “ve”, zatim koordinate vektora “double-ve”. Ako vektore treba pomnožiti drugačijim redoslijedom, redove treba zamijeniti: 
Primjer 10
Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
A)
b) 
Riješenje: Provjera se temelji na jednoj od izjava u ovoj lekciji: ako su vektori kolinearni, tada je njihov vektorski produkt jednak nuli (nulti vektor): 
.
a) Pronađite vektorski produkt: 
Dakle, vektori nisu kolinearni.
b) Pronađite vektorski produkt: 
Odgovor: a) nije kolinearan, b)
Ovdje su možda sve osnovne informacije o vektorskom produktu vektora.
Ovaj odjeljak neće biti jako velik, budući da postoji nekoliko problema u kojima se koristi mješoviti umnožak vektora. Zapravo, sve će ovisiti o definiciji, geometrijskom značenju i nekoliko radnih formula.
Mješoviti umnožak vektora je umnožak tri vektora:
Pa su se poredali kao vlak i jedva čekaju da ih se identificira.
Prvo, opet, definicija i slika:
Definicija: Mješoviti rad nekoplanarni vektori, uzeti ovim redom, nazvao volumen paralelopipeda, izgrađen na tim vektorima, opremljen znakom “+” ako je baza desna, i znakom “–” ako je baza lijevo.
Napravimo crtež. Nama nevidljive linije nacrtane su isprekidanim linijama: 
Uronimo u definiciju:
2) Uzimaju se vektori određenim redoslijedom, odnosno preuređivanje vektora u umnošku, kao što pretpostavljate, ne događa se bez posljedica.
3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, primijetit ću očitu činjenicu: mješoviti umnožak vektora je BROJ: . U obrazovnoj literaturi dizajn može biti malo drugačiji; ja sam navikao označavati mješoviti proizvod sa , a rezultat izračuna slovom "pe".
A-priorat mješoviti umnožak je obujam paralelopipeda, izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). To jest, broj je jednak volumenu danog paralelopipeda.
Bilješka : Crtež je shematski.
4) Nemojmo opet brinuti o konceptu orijentacije osnove i prostora. Značenje završnog dijela je da se glasnoći može dodati znak minus. Jednostavnim riječima, mješoviti proizvod može biti negativan: .
Izravno iz definicije slijedi formula za izračunavanje volumena paralelopipeda izgrađenog na vektorima.
