Nađi udaljenost od ravnine do luka. Udaljenost od točke do ravnine. Svođenje opće jednadžbe ravnine na normalni oblik

Neka bude avion . Nacrtajmo normalu
kroz ishodište koordinata O. Neka je zadano
– kutovi koje čini normala s koordinatnim osima.
. Neka – duljina normalnog segmenta
dok se ne presječe s ravninom. Pod pretpostavkom da su poznati kosinusi smjera normale , izvodimo jednadžbu ravnine .

Neka
) je proizvoljna točka na ravnini. Jedinični normalni vektor ima koordinate. Nađimo projekciju vektora
u normalu.

Od točke M pripada ravnini, dakle

Ovo je jednadžba zadane ravnine, tzv normalan .

Udaljenost od točke do ravnine

Neka se da avion ,M*
– točka u prostoru, d – njegova udaljenost od zrakoplova.

Definicija. Odstupanje bodova M* iz aviona se zove broj ( + d), Ako M* leži s druge strane ravnine gdje pokazuje pozitivan smjer normale , i broj (- d), ako se točka nalazi s druge strane ravnine:

Teorema. Neka avion s jediničnom normalom dana je normalnom jednadžbom:

Neka M*
– točka u prostoru Odstupanje t. M* iz ravnine dat je izrazom

Dokaz. Projekcija t.
* označavamo normalnim Q. Odstupanje točke M* iz ravnine je jednaka

Pravilo. Pronaći odstupanje T. M* iz ravnine, trebate zamijeniti koordinate t u normalnu jednadžbu ravnine. M* . Udaljenost od točke do ravnine je .

Svođenje opće jednadžbe ravnine na normalni oblik

Neka je ista ravnina definirana s dvije jednadžbe:

Opća jednadžba

Normalna jednadžba.

Budući da obje jednadžbe definiraju istu ravninu, njihovi su koeficijenti proporcionalni:

Kvadriramo prve tri jednakosti i zbrojimo ih:

Odavde ćemo pronaći – faktor normalizacije:

. (10)

Množenjem opće jednadžbe ravnine normalizirajućim faktorom dobivamo normalnu jednadžbu ravnine:

Primjeri problema na temu "Avion".

Primjer 1. Napravite jednadžbu ravnine prolazeći kroz datu točku
(2,1,-1) i paralelna s ravninom.

Riješenje. Normalno za ravninu :
. Budući da su ravnine paralelne, tada je normala također je normalna na željenu ravninu . Koristeći jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadanu točku (3), dobivamo za ravninu jednadžba:

Odgovor:

Primjer 2. Osnovica okomice spuštene iz ishodišta na ravninu , poanta je
. Pronađite jednadžbu ravnine .

Riješenje. Vektor
normalna je na ravninu . Točka M 0 pripada ravnini. Možete koristiti jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadanu točku (3):

Odgovor:

Primjer 3. Konstruirajte ravninu , prolazeći kroz točke

a okomito na ravninu :.

Stoga, za neku točku M (x, g, z) pripadao je avionu , potrebno je da tri vektora
bili komplanarni:

=0.

Ostaje otkriti determinantu i rezultirajući izraz dovesti u oblik opće jednadžbe (1).

Primjer 4. Avion dano općom jednadžbom:

Pronađite odstupanje točke
iz date ravnine.

Riješenje. Dovedimo jednadžbu ravnine u normalni oblik.

Zamijenimo koordinate točke u dobivenu normalnu jednadžbu M*.

Odgovor:
.

Primjer 5. Sječe li ravnina segment?

Riješenje. Rezati AB prešao ravninu, odstupanja I iz aviona moraju imati različite znakove:

Primjer 6. Sjecište triju ravnina u jednoj točki.

Sustav ima jedinstveno rješenje, dakle, tri ravnine imaju jednu zajedničku točku.

Primjer 7. Određivanje simetrala diedarskog kuta kojeg tvore dvije zadane ravnine.

Neka I - odstupanje neke točke
iz prve i druge ravnine.

Na jednoj simetrali (koja odgovara kutu u kojem se nalazi ishodište koordinata) ta su odstupanja jednaka po veličini i predznaku, a na drugoj su jednaka po veličini i suprotna po predznaku.

Ovo je jednadžba prve simetrale ravnine.

Ovo je jednadžba druge simetrale ravnine.

Primjer 8. Određivanje položaja dviju zadanih točaka I u odnosu na diedralne kutove koje čine te ravnine.

Neka
. Odredite: postoje točke u jednom, susjednim ili okomitim kutovima I .

A). Ako I ležati na jednoj strani i od , tada leže u istom diedralnom kutu.

b). Ako I ležati na jednoj strani i različito od , tada leže u susjednim kutovima.

V). Ako I ležati na suprotnim stranama I , tada leže u okomitim kutovima.

Koordinatni sustavi 3

Pravci u ravnini 8

Linije prvog reda. Ravno u avionu. 10

Kut između ravnih linija 12

Opća jednadžba linije 13

Nepotpuna jednadžba prvog stupnja 14

Jednadžba pravca “u segmentima” 14

Zajedničko proučavanje jednadžbi dvaju pravaca 15

Normalno na liniju 15

Kut između dviju ravnih linija 16

Kanonska jednadžba linije 16

Parametarske jednadžbe pravca 17

Normalna (normalizirana) jednadžba pravca 18

Udaljenost od točke do linije 19

Jednadžba olovke linija 20

Primjeri zadataka na temu “prava u ravnini” 22

Vektorski produkt vektora 24

Svojstva unakrsnog umnoška 24

Geometrijska svojstva 24

Algebarska svojstva 25

Izražavanje vektorskog umnoška preko koordinata faktora 26

Mješoviti umnožak tri vektora 28

Geometrijsko značenje mješoviti proizvod 28

Izražavanje mješovitog umnoška kroz vektorske koordinate 29

Primjeri rješavanja problema

, Natjecanje "Prezentacija za lekciju"

Klasa: 11

Prezentacija za lekciju

Natrag naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati sve značajke prezentacije. Ako si zainteresiran ovaj posao, preuzmite punu verziju.

Ciljevi:

generalizacija i sistematizacija znanja i vještina učenika;
razvoj sposobnosti analiziranja, uspoređivanja, donošenja zaključaka.

Oprema:

multimedijski projektor;
Računalo;
listovi s problemskim tekstovima

NAPREDOVANJE RAZREDA

I. Organizacijski trenutak

II. Faza ažuriranja znanja(slajd 2)

Ponavljamo kako se određuje udaljenost točke od ravnine

III. Predavanje(slajdovi 3-15)

U razredu ćemo pogledati razne načine pronalaženje udaljenosti od točke do ravnine.

Prva metoda: korak po korak računski

Udaljenost od točke M do ravnine α:
– jednaka udaljenosti do ravnine α od proizvoljne točke P koja leži na pravoj liniji a koja prolazi točkom M i paralelna je s ravninom α;
– jednaka je udaljenosti do ravnine α od proizvoljne točke P koja leži na ravnini β, koja prolazi točkom M i paralelna je s ravninom α.

Riješit ćemo sljedeće probleme:

№1. U kocki A...D 1 pronađite udaljenost od točke C 1 do ravnine AB 1 C.

Ostaje izračunati vrijednost duljine segmenta O 1 N.

№2. U pravilnoj šesterokutnoj prizmi A...F 1 kojoj su svi bridovi jednaki 1, pronađite udaljenost od točke A do ravnine DEA 1.

Sljedeća metoda: metoda volumena.

Ako je volumen piramide ABCM jednak V, tada se udaljenost od točke M do ravnine α koja sadrži ∆ABC izračunava po formuli ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Pri rješavanju zadataka koristimo jednakost obujma jednog lika, izraženu na dva različita načina.

Riješimo sljedeći problem:

№3. Brid AD piramide DABC okomit je na ravninu osnovice ABC. Odredite udaljenost od A do ravnine koja prolazi središtima bridova AB, AC i AD, ako.

Prilikom rješavanja problema koordinatna metoda udaljenost od točke M do ravnine α može se izračunati pomoću formule ρ(M; α) = , gdje je M(x 0; y 0; z 0), a ravnina je dana jednadžbom ax + by + cz + d = 0

Riješimo sljedeći problem:

№4. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite udaljenost od točke A 1 do ravnine BDC 1.

Uvedimo koordinatni sustav s ishodištem u točki A, y-os će ići duž ruba AB, x-os duž ruba AD, a z-os duž ruba AA 1. Tada su koordinate točaka B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Napravimo jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz točke B, D, C 1.

Tada je – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Prema tome, ρ =

Sljedeća metoda koja se može koristiti za rješavanje problema ove vrste je metoda problema podrške.

Primjena ovu metodu sastoji se u primjeni poznatih referentnih problema, koji su formulirani kao teoremi.

Riješimo sljedeći problem:

№5. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite udaljenost od točke D 1 do ravnine AB 1 C.

Razmotrimo aplikaciju vektorska metoda.

№6. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite udaljenost od točke A 1 do ravnine BDC 1.

Dakle, pogledali smo različite metode koje se mogu koristiti za rješavanje ove vrste problema. Izbor jedne ili druge metode ovisi o specifičnom zadatku i vašim željama.

IV. Grupni rad

Pokušajte riješiti problem na različite načine.

№1. Brid kocke A...D 1 jednak je . Odredi udaljenost od vrha C do ravnine BDC 1.

№2. U pravilnom tetraedru ABCD s bridom odredite udaljenost točke A od ravnine BDC

№3. U pravilnoj trokutastoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1 čiji su svi bridovi jednaki 1, pronađite udaljenost od A do ravnine BCA 1.

№4. U pravilnoj četverokutnoj piramidi SABCD, čiji su svi bridovi jednaki 1, nađite udaljenost od A do ravnine SCD.

V. Sažetak lekcije, domaća zadaća, odraz

Uvjeti paralelnosti i okomitosti

1°. Uvjet koplanarnosti dviju ravnina

Neka su date dvije ravnine:

A 1 x + B 1 g + C 1 z + D 1 = 0, n 1 = {A 1 ; B 1 ; C 1 } ≠ 0 ;(1)

A 2 x + B 2 g + C 2 z + D 2 = 0, n 2 = {A 2 ; B 2 ; C 2 } ≠ 0 .(2)

Kada su koplanarni (tj. paralelni ili podudarni)? Očito, to će biti slučaj ako i samo ako su njihovi normalni vektori kolinearni. Primjenom kriterija koplanarnosti dobivamo

Rečenica 1. Dvije ravnine su komplanarne ako i samo ako je umnožak njihovih normalnih vektora jednak nultom vektoru:

[n 1 , n 2 ] = 0 .

2°. Uvjet podudarnosti dviju ravnina

Prijedlog 2. Ravnine (1) i (2) se podudaraju ako i samo ako su sva četiri njihova koeficijenta proporcionalna, tj. postoji broj λ takav da

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 , D 2 = λ D 1 . (3)

Dokaz. Neka su zadovoljeni uvjeti (3). Tada se jednadžba druge ravnine može napisati na sljedeći način:

λ A 1 x + λ B 1 g + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

λ ≠ 0, inače bi bilo A 2 = B 2 = C 2 = D 2 = 0, što je u suprotnosti s uvjetom n 2 ≠ 0 . Stoga je posljednja jednadžba ekvivalentna jednadžbi (1), što znači da se dvije ravnine podudaraju.

Znajmo sada, naprotiv, da se te ravnine podudaraju. Tada su njihovi normalni vektori kolinearni, tj. postoji broj λ takav da je

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 .

Jednadžba (2) se sada može prepisati kao:

λ A 1 x + λ B 1 g + λ C 1 z + D 2 = 0.

Množenjem jednadžbe (1) s λ dobivamo ekvivalentnu jednadžbu prve ravnine (jer je λ ≠ 0):

λ A 1 x + λ B 1 g + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

Uzmimo neku točku ( x 0 , g 0 , z 0) iz prve (a time i druge) ravnine i zamijenite njene koordinate u posljednje dvije jednadžbe; dobivamo točne jednakosti:

λ A 1 x 0 + λ B 1 g 0 + λ C 1 z 0 + D 2 = 0 ;

λ A 1 x 0 + λ B 1 g 0 + λ C 1 z 0 + λ D 1 = 0.

Oduzimanjem donjeg od gornjeg, dobivamo D 2 − λ D 1 = 0, tj. D 2 = λ D 1,QED.

3°. Uvjet okomitosti dviju ravnina

Očito je za to potrebno i dovoljno da normalni vektori budu okomiti.

Prijedlog 3. Dvije su ravnine okomite ako i samo ako je skalarni produkt normalnih vektora nula:

(n 1 , n 2) = 0 .

Neka je dana jednadžba ravnine

Sjekira + Po + Cz + D = 0, n = {A; B; C} ≠ 0 ,

i točka M 0 = (x 0 , g 0 , z 0). Izvedimo formulu za udaljenost od točke do ravnine:

Uzmimo proizvoljnu točku Q = (x 1 , g 1 , z 1), koji leži u ovoj ravnini. Njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbu ravnine:

Sjekira 1 + Po 1 + Cz 1 + D = 0.

Napomenimo sada da tražena udaljenost d jednaka apsolutnoj vrijednosti vektorske projekcije na smjer vektora n (ovdje projekciju uzimamo kao numeričku veličinu, a ne kao vektor). Zatim primjenjujemo formulu za izračun projekcije:

Slična formula vrijedi i za udaljenost d od točke M 0 = (x 0 , g 0) ravnina na ravnu liniju zadanu općom jednadžbom Sjekira + Po + C = 0.

, Natjecanje "Prezentacija za lekciju"

Klasa: 11

Prezentacija za lekciju

Natrag naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati sve značajke prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ciljevi:

generalizacija i sistematizacija znanja i vještina učenika;
razvoj sposobnosti analiziranja, uspoređivanja, donošenja zaključaka.

Oprema:

multimedijski projektor;
Računalo;
listovi s problemskim tekstovima

NAPREDOVANJE RAZREDA

I. Organizacijski trenutak

II. Faza ažuriranja znanja(slajd 2)

Ponavljamo kako se određuje udaljenost točke od ravnine

III. Predavanje(slajdovi 3-15)

U ovoj lekciji ćemo pogledati različite načine kako pronaći udaljenost od točke do ravnine.

Prva metoda: korak po korak računski

Riješit ćemo sljedeće probleme:

№1. U kocki A...D 1 pronađite udaljenost od točke C 1 do ravnine AB 1 C.

Ostaje izračunati vrijednost duljine segmenta O 1 N.

№2. U pravilnoj šesterokutnoj prizmi A...F 1 kojoj su svi bridovi jednaki 1, pronađite udaljenost od točke A do ravnine DEA 1.

Sljedeća metoda: metoda volumena.

Riješimo sljedeći problem:

№3. Brid AD piramide DABC okomit je na ravninu osnovice ABC. Odredite udaljenost od A do ravnine koja prolazi središtima bridova AB, AC i AD, ako.

Riješimo sljedeći problem:

№4. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite udaljenost od točke A 1 do ravnine BDC 1.

Tada je – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Prema tome, ρ =

Sljedeća metoda koja se može koristiti za rješavanje problema ove vrste je metoda problema podrške.

Primjena ove metode sastoji se u korištenju poznatih referentnih problema, koji su formulirani kao teoremi.

Riješimo sljedeći problem:

№5. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite udaljenost od točke D 1 do ravnine AB 1 C.

Razmotrimo aplikaciju vektorska metoda.

№6. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite udaljenost od točke A 1 do ravnine BDC 1.

Dakle, pogledali smo različite metode koje se mogu koristiti za rješavanje ove vrste problema. Izbor jedne ili druge metode ovisi o specifičnom zadatku i vašim željama.

IV. Grupni rad

Pokušajte riješiti problem na različite načine.

№1. Brid kocke A...D 1 jednak je . Odredi udaljenost od vrha C do ravnine BDC 1.

№2. U pravilnom tetraedru ABCD s bridom odredite udaljenost točke A od ravnine BDC

№3. U pravilnoj trokutastoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1 čiji su svi bridovi jednaki 1, pronađite udaljenost od A do ravnine BCA 1.

№4. U pravilnoj četverokutnoj piramidi SABCD, čiji su svi bridovi jednaki 1, nađite udaljenost od A do ravnine SCD.

V. Sažetak sata, domaća zadaća, refleksija

Ovaj članak govori o određivanju udaljenosti od točke do ravnine. Analizirajmo metodu koordinata koja će nam omogućiti da pronađemo udaljenost od dana točka trodimenzionalni prostor. Da bismo to potvrdili, pogledajmo primjere nekoliko zadataka.

Udaljenost od točke do ravnine nalazi se pomoću poznate udaljenosti od točke do točke, pri čemu je jedna od njih zadana, a druga je projekcija na zadanu ravninu.

Kad je u prostoru određena točka M 1 s ravninom χ, tada se kroz točku može povući pravac okomit na ravninu. H 1 je njihova zajednička točka presjeka. Iz ovoga dobivamo da je isječak M 1 H 1 okomica povučena iz točke M 1 na ravninu χ, gdje je točka H 1 osnovica okomice.

Definicija 1

Udaljenost od dane točke do osnovice okomice povučene iz dane točke na danu ravninu naziva se.

Definicija se može napisati u različitim formulacijama.

Definicija 2

Udaljenost od točke do ravnine je duljina okomice povučene iz dane točke na danu ravninu.

Udaljenost od točke M 1 do ravnine χ određuje se na sljedeći način: udaljenost od točke M 1 do ravnine χ bit će najmanja od dane točke do bilo koje točke na ravnini. Ako se točka H 2 nalazi u ravnini χ i nije jednaka točki H 2, tada dobivamo pravokutni trokut tip M 2 H 1 H 2 , koji je pravokutan, gdje se nalazi krak M 2 H 1, M 2 H 2 – hipotenuza. To znači da slijedi M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 smatra se nagnutom, koja je povučena iz točke M 1 na ravninu χ. Imamo da je okomica povučena iz dane točke na ravninu manja od nagnute povučene iz točke na danu ravninu. Pogledajmo ovaj slučaj na donjoj slici.

Udaljenost od točke do ravnine - teorija, primjeri, rješenja

Postoji niz geometrijski problemi, čija rješenja moraju sadržavati udaljenost od točke do ravnine. Mogu postojati različiti načini da se to identificira. Za rješavanje upotrijebite Pitagorin poučak ili sličnost trokuta. Kada je prema uvjetu potrebno izračunati udaljenost od točke do ravnine, navedeno u pravokutni sustav koordinate trodimenzionalnog prostora rješavaju se koordinatnom metodom. Ovaj odlomak govori o ovoj metodi.

Prema uvjetima zadatka imamo da je zadana točka u trodimenzionalnom prostoru s koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) s ravninom χ, potrebno je odrediti udaljenost od M 1 do ravnina χ. Za rješavanje ovog problema koristi se nekoliko metoda rješenja.

Prvi način

Ova se metoda temelji na pronalaženju udaljenosti od točke do ravnine pomoću koordinata točke H 1, koje su osnovica okomice iz točke M 1 na ravninu χ. Zatim morate izračunati udaljenost između M 1 i H 1.

Za rješavanje problema na drugi način upotrijebimo normalnu jednadžbu zadane ravnine.

Drugi način

Po uvjetu imamo da je H 1 osnovica okomice koja je spuštena iz točke M 1 na ravninu χ. Zatim odredimo koordinate (x 2, y 2, z 2) točke H 1. Potrebna udaljenost od M 1 do ravnine χ nalazi se formulom M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, gdje je M 1 (x 1, y 1, z 1) i H 1 (x 2, y 2, z 2). Da biste riješili, morate znati koordinate točke H 1.

Imamo da je H 1 presječna točka ravnine χ s pravcem a, koji prolazi kroz točku M 1 koja se nalazi okomito na ravninu χ. Iz toga slijedi da je potrebno sastaviti jednadžbu za pravac koji prolazi kroz zadanu točku okomito na zadanu ravninu. Tada ćemo moći odrediti koordinate točke H 1. Potrebno je izračunati koordinate točke presjeka pravca i ravnine.

Algoritam za određivanje udaljenosti od točke s koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) do ravnine χ:

Definicija 3

nacrtati jednadžbu pravca a koji prolazi točkom M 1 i istovremeno
okomito na χ ravninu;
pronaći i izračunati koordinate (x 2 , y 2 , z 2 ) točke H 1, koje su točke
presjek pravca a s ravninom χ;
izračunajte udaljenost od M 1 do χ pomoću formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Treći način

U zadanom pravokutnom koordinatnom sustavu O x y z nalazi se ravnina χ, tada dobivamo normalnu jednadžbu ravnine oblika cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. Odavde dobivamo da je udaljenost M 1 H 1 s točkom M 1 (x 1 , y 1 , z 1) povučena na ravninu χ, izračunata formulom M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p . Ova formula je valjana jer je ustanovljena zahvaljujući teoremu.

Teorema

Ako je točka M 1 (x 1, y 1, z 1) dana u trodimenzionalnom prostoru, koja ima normalnu jednadžbu ravnine χ oblika cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, tada se izračunavanje udaljenosti od točke do ravnine M 1 H 1 dobiva iz formule M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, budući da je x = x 1, y = y 1 , z = z 1.

Dokaz

Dokaz teorema svodi se na pronalaženje udaljenosti od točke do pravca. Odavde dobivamo da je udaljenost od M 1 do χ ravnine modul razlike numeričke projekcije radijus vektora M 1 s udaljenosti od ishodišta do χ ravnine. Tada dobivamo izraz M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Vektor normale ravnine χ ima oblik n → = cos α, cos β, cos γ, a duljina mu je jednaka jedinici, n p n → O M → je numerička projekcija vektora O M → = (x 1, y 1 , z 1) u smjeru određenom vektorom n → .

Primijenimo formulu za izračunavanje skalarnih vektora. Tada dobivamo izraz za nalaženje vektora oblika n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , budući da je n → = cos α , cos β , cos γ · z i O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Koordinatni oblik pisanja imat će oblik n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , zatim M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorem je dokazan.

Odavde dobivamo da se udaljenost od točke M 1 (x 1, y 1, z 1) do ravnine χ izračunava zamjenom cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 u lijeva strana normalne jednadžbe ravnine umjesto x, y, z koordinata x 1, y 1 i z 1, vezano uz točku M 1, uzimajući apsolutna vrijednost dobivenu vrijednost.

Pogledajmo primjere određivanja udaljenosti od točke s koordinatama do zadane ravnine.

Primjer 1

Izračunajte udaljenost od točke s koordinatama M 1 (5, - 3, 10) do ravnine 2 x - y + 5 z - 3 = 0.

Riješenje

Riješimo problem na dva načina.

Prva metoda počinje izračunavanjem vektora smjera pravca a. Prema uvjetu, imamo da je dana jednadžba 2 x - y + 5 z - 3 = 0 jednadžba ravnine opći pogled, a n → = (2, - 1, 5) je normalni vektor zadane ravnine. Koristi se kao vektor smjera prave a koja je okomita na zadanu ravninu. Treba zapisati kanonska jednadžba pravac u prostoru koji prolazi kroz M 1 (5, - 3, 10) s vektorom smjera s koordinatama 2, - 1, 5.

Jednadžba će postati x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

Moraju se odrediti točke presjeka. Da biste to učinili, nježno kombinirajte jednadžbe u sustav kako biste prešli s kanonskih na jednadžbe dviju linija koje se sijeku. Ova točka uzmimo H 1. Shvaćamo to

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Nakon toga morate omogućiti sustav

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Okrenimo se pravilu rješenja Gaussovog sustava:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

Dobivamo da je H 1 (1, - 1, 0).

Izračunavamo udaljenost od zadane točke do ravnine. Uzimamo točke M 1 (5, - 3, 10) i H 1 (1, - 1, 0) i dobivamo

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

Drugo rješenje je prvo dovesti zadanu jednadžbu 2 x - y + 5 z - 3 = 0 u normalni oblik. Odredimo faktor normalizacije i dobijemo 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. Odavde izvodimo jednadžbu ravnine 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. Lijeva strana jednadžbe izračunava se zamjenom x = 5, y = - 3, z = 10, a trebate uzeti udaljenost od M 1 (5, - 3, 10) do 2 x - y + 5 z - 3 = 0 modulo. Dobijamo izraz:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Odgovor: 230.

Kada je χ ravnina određena jednom od metoda u odjeljku o metodama za određivanje ravnine, tada prvo trebate dobiti jednadžbu χ ravnine i izračunati potrebnu udaljenost bilo kojom metodom.

Primjer 2

U trodimenzionalnom prostoru zadaju se točke s koordinatama M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Izračunajte udaljenost od M 1 do ravnine A B C.

Riješenje

Prvo trebate napisati jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadane tri točke s koordinatama M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Slijedi da problem ima rješenje slično prethodnom. To znači da udaljenost od točke M 1 do ravnine A B C ima vrijednost 2 30.

Odgovor: 230.

Pronalaženje udaljenosti od zadane točke na ravnini ili do ravnine s kojom su paralelne pogodnije je primjenom formule M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Iz toga proizlazi da se normalne jednadžbe ravnina dobivaju u nekoliko koraka.

Primjer 3

Odredite udaljenost od zadane točke s koordinatama M 1 (- 3, 2, - 7) do koordinatne ravnine O x y z i ravnine zadane jednadžbom 2 y - 5 = 0.

Riješenje

Koordinatna ravnina O y z odgovara jednadžbi oblika x = 0. Za ravninu O y z je normalno. Stoga je potrebno zamijeniti vrijednosti x = - 3 u lijevu stranu izraza i uzeti apsolutnu vrijednost udaljenosti od točke s koordinatama M 1 (- 3, 2, - 7) do ravnine. Dobivamo vrijednost jednaku - 3 = 3.

Nakon transformacije normalna jednadžba ravnine 2 y - 5 = 0 poprimit će oblik y - 5 2 = 0. Zatim možete pronaći traženu udaljenost od točke s koordinatama M 1 (- 3, 2, - 7) do ravnine 2 y - 5 = 0. Zamjenom i računanjem dobivamo 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

Odgovor: Tražena udaljenost od M 1 (- 3, 2, - 7) do O y z ima vrijednost 3, a do 2 y - 5 = 0 ima vrijednost 5 2 - 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter