1) Prijelaz iz jednog Kartezijevog pravokutnog koordinatnog sustava na ravnini u drugi Kartezijev pravokutni sustav iste orijentacije i istog ishodišta.
Pretpostavimo da su na ravnini uvedena dva kartezijanska pravokutna koordinatna sustava xOy i sa zajedničkim podrijetlom OKO, koji imaju istu orijentaciju (Sl. 145). Označimo jedinične vektore osi Oh I OU respektivno, kroz i , te jedinične vektore osi i kroz i . Konačno, neka je kut od osi Oh do osi. Neka x I na– koordinate proizvoljne točke M u sustavu xOy, i i su koordinate iste točke M u sustavu.
Budući da kut od osi Oh vektoru jednaka , tada su koordinate vektora
Kut od osi Oh vektoru je jednako ; stoga su koordinate vektora jednake.
Formule (3) § 97 poprimaju oblik
Matrica prijelaza iz jednog kartezijana xOy pravokutni koordinatni sustav na drugi pravokutni sustav iste orijentacije ima oblik
Matrica se naziva ortogonalna ako je zbroj kvadrata elemenata koji se nalaze u svakom stupcu jednak 1, a zbroj proizvoda odgovarajućih elemenata različitih stupaca jednak nuli, tj. Ako
Dakle, prijelazna matrica (2) iz jednog pravokutnog koordinatnog sustava u drugi pravokutni sustav iste orijentacije je ortogonalna. Imajte na umu također da je determinanta ove matrice +1:
Obrnuto, ako je dana ortogonalna matrica (3) s determinantom jednakom +1, a na ravnini je uveden kartezijev pravokutni koordinatni sustav xOy, tada su na temelju relacija (4) vektori jedinični i međusobno okomiti, dakle, koordinate vektora u sustavu xOy jednaki su i , gdje je kut od vektora do vektora, a budući da je vektor jedinični i dobivamo iz vektora rotiranjem za , tada ili , ili .
Druga mogućnost je isključena, jer ako smo imali , onda nam je dano da .
To znači , i matrica A izgleda kao
oni. je matrica prijelaza iz jednog pravokutnog koordinatnog sustava xOy na drugi pravokutni sustav koji ima istu orijentaciju, a kut .
2. Prijelaz iz jednog Kartezijevog pravokutnog koordinatnog sustava na ravnini u drugi Kartezijev pravokutni sustav suprotne orijentacije i istog ishodišta.
Neka su na ravnini uvedena dva kartezijanska pravokutna koordinatna sustava xOy i sa zajedničkim podrijetlom OKO, ali imajući suprotnu orijentaciju, označimo kut od osi Oh do osi kroz (orijentaciju ravnine postavlja sustav xOy).
Budući da kut od osi Oh vektoru jednaka , tada su koordinate vektora jednake:
Sada je kut od vektora do vektora jednak (sl. 146), pa je kut od osi Oh vektoru jednaka (prema Chaslesovom teoremu za kutove) i stoga su koordinate vektora jednake:
I formule (3) § 97 poprimaju oblik
Prijelazna matrica
ortogonalna, ali joj je determinanta –1. (7)
Obrnuto, bilo koja ortogonalna matrica s determinantom jednakom –1 specificira transformaciju jednog pravokutnog koordinatnog sustava na ravnini u drugi pravokutni sustav s istim ishodištem, ali suprotnom orijentacijom. Dakle, ako su dva kartezijanska pravokutna koordinatna sustava xOy i imati zajednički početak, dakle
Gdje x, na– koordinate bilo koje točke u sustavu xOy; i su koordinate iste točke u sustavu, i
ortogonalna matrica.
Natrag ako
proizvoljna ortogonalna matrica, zatim relacije
izražava transformaciju Kartezijevog pravokutnog koordinatnog sustava u Kartezijev pravokutni sustav s istim podrijetlom; - koordinate u sustavu xOy jedinični vektor koji daje pozitivan smjer osi; - koordinate u sustavu xOy jedinični vektor koji daje pozitivan smjer osi.
koordinatni sustavi xOy i imaju istu orijentaciju, au ovom slučaju suprotnu.
3. Opća transformacija jednog Kartezijevog pravokutnog koordinatnog sustava na ravnini u drugi pravokutni sustav.
Na temelju točaka 1) i 2) ovoga stavka, kao i na temelju § 96, zaključujemo da ako se na ravnini uvedu pravokutni koordinatni sustavi xOy i , zatim koordinate x I na proizvoljna točka M ravnine u sustavu xOy s koordinatama iste točke M u sustavu povezuju relacije – koordinate ishodišta koordinatnog sustava u sustavu xOy.
Imajte na umu da stare i nove koordinate x, na i , vektori na opća transformacija Kartezijev pravokutni koordinatni sustav povezani su relacijama
u slučaju da sustavi xOy i imaju istu orijentaciju i odnose
u slučaju da ti sustavi imaju suprotnu orijentaciju, ili u obliku
ortogonalna matrica. Transformacije (10) i (11) nazivaju se ortogonalnima.
Poglavlje 1. Dodavanje. Transformacija Kartezijevih pravokutnih koordinata u ravnini i prostoru. Specijalni koordinatni sustavi u ravnini i prostoru.
Pravila za konstruiranje koordinatnih sustava na ravnini iu prostoru raspravljaju se u glavnom dijelu poglavlja 1. Primijećena je pogodnost korištenja pravokutnih koordinatnih sustava. U praktičnoj uporabi alata analitičke geometrije često se javlja potreba za transformacijom usvojenog koordinatnog sustava. To je obično diktirano razmatranjima pogodnosti: geometrijske slike su pojednostavljene, analitički modeli i algebarski izrazi koji se koriste u izračunima postaju jasniji.
Diktirana je konstrukcija i uporaba posebnih koordinatnih sustava: polarnog, cilindričnog i sfernog geometrijski smisao problem koji se rješava. Modeliranje pomoću posebnih koordinatnih sustava često olakšava razvoj i korištenje analitičkih modela u rješavanju praktičnih problema.
Rezultati dobiveni u dodatku 1. poglavlja koristit će se u linearnoj algebri, većina njih u matematička analiza i u fizici.
Transformacija Kartezijevih pravokutnih koordinata u ravnini i prostoru.
Pri razmatranju problema konstruiranja koordinatnog sustava na ravnini iu prostoru, primijećeno je da koordinatni sustav čine numeričke osi koje se sijeku u jednoj točki: potrebne su dvije osi na ravnini, tri u prostoru. U vezi s konstrukcijom analitičkih modela vektora, uvođenje operacije točkasti proizvod vektora i rješavanja zadataka geometrijskog sadržaja, pokazalo se da je najpoželjnija uporaba pravokutnih koordinatnih sustava.
Ako problem transformacije određenog koordinatnog sustava promatramo apstraktno, tada bi u općem slučaju bilo moguće dopustiti proizvoljno pomicanje koordinatnih osi u zadanom prostoru s pravom proizvoljnog preimenovanja osi.
Krenut ćemo od primarnog pojma referentni sustavi , prihvaćen u fizici. Promatranjem kretanja tijela otkriveno je da se kretanje izoliranog tijela ne može samo odrediti. Morate imati barem još jedno tijelo u odnosu na koje se promatra kretanje, odnosno promjena na njemu relativna odredbe. Za dobivanje analitičkih modela, zakona i gibanja ovom drugom tijelu je pridružen koordinatni sustav, kao referentni sustav, i to na način da je koordinatni sustav čvrsta !
Budući da proizvoljno kretanje čvrsta od jedne točke u prostoru do druge može se prikazati s dva neovisna kretanja: translacijskim i rotacijskim, tada su mogućnosti transformacije koordinatnog sustava ograničene na dva kretanja:
1). Paralelni prijenos: pratimo samo jednu točku – točku.
2). Zakretanje osi koordinatnog sustava u odnosu na točku: kao kruto tijelo.
Pretvaranje kartezijskih pravokutnih koordinata u ravnini.
Neka su nam koordinatni sustavi na ravnini: , i . Koordinatni sustav dobiva se paralelnom translacijom sustava. Koordinatni sustav dobiva se zakretanjem sustava za kut , a za pozitivan smjer rotacije uzima se rotacija osi u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
Definirajmo za usvojenih sustava koordinira bazne vektore. Budući da je sustav dobiven paralelnim prijenosom sustava, tada za oba ova sustava prihvaćamo bazne vektore: , odnosno jedinične koji se po smjeru podudaraju s koordinatnim osima , . Za sustav ćemo kao bazne vektore uzeti jedinične vektore koji se po smjeru podudaraju s osima , .
Neka je zadan koordinatni sustav iu njemu definirana točka =. Pretpostavit ćemo da prije transformacije imamo koincidentne koordinatne sustave i . Primijenimo paralelnu translaciju na koordinatni sustav definiran vektorom. Potrebno je definirati transformaciju koordinata točke. Upotrijebimo vektorsku jednakost: = + , ili:
Ilustrirajmo transformaciju paralelnog prevođenja primjerom dobro poznatim u elementarnoj algebri.
Primjer D–1 : Dana je jednadžba parabole: = = . Reducirajte jednadžbu ove parabole na njezin najjednostavniji oblik.
Riješenje:
1). Iskoristimo tehniku ističući cijeli kvadrat : = , što se lako može prikazati kao: –3 = .
2). Primijenimo transformaciju koordinata - paralelni prijenos := . Nakon toga jednadžba parabole poprima oblik: . Ova se transformacija u algebri definira na sljedeći način: parabola = dobiva se pomakom najjednostavnije parabole udesno za 2, a gore za 3 jedinice.
Odgovor: najjednostavniji oblik parabole: .
Neka je zadan koordinatni sustav iu njemu definirana točka =. Pretpostavit ćemo da prije transformacije imamo koincidentne koordinatne sustave i . Primijenimo rotacijsku transformaciju na koordinatni sustav tako da u odnosu na svoj izvorni položaj, odnosno u odnosu na sustav, ispadne da je zakrenut za kut . Potrebno je definirati transformaciju koordinata točke = . Zapišimo vektor u koordinatnim sustavima i : = . (2) =1. Iz teorije pravaca drugog reda proizlazi da je dobivena najjednostavnija (kanonska!) jednadžba elipse.
Odgovor: najjednostavniji oblik zadanog retka: =1 – kanonska jednadžba elipsa.
Neka su na ravnini dana dva proizvoljna kartezijanska pravokutna koordinatna sustava. Prvi je određen početkom O i baznim vektorima ja j , drugi – centar OKO' i bazni vektori ja ’ j ’ .
Postavimo cilj izražavanja x y koordinata neke točke M u odnosu na prvi koordinatni sustav kroz x’ I g’ – koordinate iste točke u odnosu na drugi sustav.
primijeti da
Označimo koordinate točke O’ u odnosu na prvi sustav s a i b:
Proširimo vektore ja ’ I j ’ po osnovi ja j :
(*)
Osim toga, imamo: 
. Uvedimo ovdje ekspanziju vektora s obzirom na bazu ja
’
j
’
:
odavde 
Možemo zaključiti: bez obzira na dva proizvoljna kartezijanska sustava na ravnini, koordinate bilo koje točke na ravnini u odnosu na prvi sustav linearne su funkcije koordinata iste točke u odnosu na drugi sustav.
Najprije pomnožimo jednadžbu (*) skalarno s ja , zatim dalje j :
OKO 
označavamo s kut između vektora ja
I ja
’
. Koordinatni sustav ja
j
može se kombinirati sa sustavom ja
’
j
’
paralelnom translacijom i naknadnom rotacijom za kut . Ali ovdje je moguća i opcija luka: kut između osnovnih vektora ja
ja
’
također , te kut između baznih vektora j
’
j
’
jednako - . Ovi se sustavi ne mogu kombinirati s paralelnim prevođenjem i rotacijom. Također je potrebno promijeniti smjer osi na na suprotnost.
Iz formule (**) dobivamo u prvom slučaju:
U drugom slučaju
Formule za pretvorbu su:
Drugi slučaj nećemo razmatrati. Složimo se da oba sustava smatramo ispravnima.
Oni. zaključak: bez obzira na dva desna koordinatna sustava, prvi od njih se može kombinirati s drugim paralelnom translacijom i naknadnom rotacijom oko ishodišta za određeni kut .
Formule paralelnog prijenosa: 
Formule rotacije osi: 
Inverzne pretvorbe:
Transformacija Kartezijevih pravokutnih koordinata u prostoru.
U prostoru, razmišljajući na sličan način, možemo napisati:
(***)
A za koordinate uzmite:
(****)
Dakle, bez obzira na dva proizvoljna koordinatna sustava u prostoru, x y z koordinate neke točke u odnosu na prvi sustav su linearne funkcije koordinata x’ g’ z’ iste točke u odnosu na drugi koordinatni sustav.
Množenje svake od jednakosti (***) skalarno sa ja ’ j ’ k ’ dobivamo:
U 
Pojasnimo geometrijsko značenje transformacijskih formula (****). Da biste to učinili, pretpostavite da oba sustava imaju zajednički početak: a
=
b
=
c
= 0
.
Uvedimo u obzir tri kuta koji u potpunosti karakteriziraju položaj osi drugog sustava u odnosu na prvi.
Prvi kut čine x-os i u-os, koja je sjecište ravnina xOy i x’Oy’. Smjer kuta je najkraći zavoj s osi x na y. Označimo kut s . Drugi kut je kut koji ne prelazi između osi Oz i Oz’. Konačno, treći kut je kut između u-osi i Ox’, mjeren od u-osi u smjeru najkraćeg zavoja od Ox’ do Oy’. Ti se kutovi nazivaju Eulerovi kutovi.
Transformacija prvog sustava u drugi može se prikazati kao slijed tri rotacije: za kut u odnosu na os Oz; kutom u odnosu na os Ox; a kutom u odnosu na Oz’ os.
Brojevi ij mogu se izraziti preko Eulerovih kutova. Ove formule nećemo zapisivati jer su glomazne.
Sama transformacija je superpozicija paralelne translacije i tri uzastopne rotacije kroz Eulerove kutove.
Svi ovi argumenti mogu se provesti za slučaj kada su oba sustava ljevičarski, odnosno različito usmjereni.
Ako imamo dva proizvoljna sustava, onda ih, općenito govoreći, možemo kombinirati paralelnom translacijom i jednom rotacijom u prostoru oko određene osi. Nećemo je tražiti.
Poglavlje I. Vektori u ravnini i prostoru
§ 13. Prijelaz iz jednog pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava u drugi
Ova tema Predlažemo da razmotrite dvije mogućnosti.
1) Prema udžbeniku I.I. Privalova "Analitička geometrija" (udžbenik za višu tehničku obrazovne ustanove 1966)
I.I. Privalov "Analitička geometrija"
§ 1. Problem transformacije koordinata.
Položaj točke na ravnini određen je dvjema koordinatama u odnosu na neki koordinatni sustav. Koordinate točke će se promijeniti ako odaberemo drugi koordinatni sustav.
Zadatak transformacije koordinata je tako da, znajući koordinate točke u jednom koordinatnom sustavu, pronađu njezine koordinate u drugom sustavu.
Taj problem ćemo riješiti ako uspostavimo formule koje povezuju koordinate proizvoljne točke u dva sustava, a koeficijenti tih formula će uključivati konstantne veličine koje određuju relativni položaj sustava.
Neka su dana dva kartezijanska koordinatna sustava xOy I XO 1 Y(Slika 68).
Položaj novog sustava XO 1 Y u odnosu na stari sustav xOy utvrdit će se ako su koordinate poznate A I b Novi početak O 1 po starom sistemu i kutu α između osi Oh I O 1 X. Označimo sa x I na koordinate proizvoljne točke M u odnosu na stari sustav, kroz X i Y koordinate iste točke u odnosu na novi sustav. Naš zadatak je osigurati stare koordinate x I na izraženo u terminima novih X i Y. Rezultirajuće transformacijske formule trebale bi očito uključivati konstante a, b I α .
Rješenje ovog općeg problema ćemo dobiti razmatranjem dva posebna slučaja.
1. Ishodište koordinata se mijenja, ali smjerovi osi ostaju nepromijenjeni ( α = 0).
2. Smjerovi osi se mijenjaju, ali ishodište koordinata ostaje nepromijenjeno ( a = b = 0).
§ 2. Prijenos ishodišta koordinata.
Neka su dana dva sustava kartezijevih koordinata s različitim ishodištima O I O 1 a isti smjerovi osi (slika 69).
Označimo sa A I b koordinate novog početka O 1 u starom sustavu i kroz x, y I x, Y-koordinate proizvoljne točke M u starom odnosno novom sustavu. Projiciranje točke M na os O 1 X I Oh, kao i točka O 1 po osi Oh, dolazimo na os Oh tri točkice Oh, Ah I R. Veličine segmenata OA, AR I ILI povezani su sljedećim odnosom:
| OA| + | AR | = | ILI |. (1)
Primijetivši da | OA| = A , | ILI | = x , | AR | = | O 1 R 1 | = x, jednakost (1) prepisujemo u obliku:
A + x = x ili x = x + A . (2)
Slično, projektiranje M i O 1 na osi ordinata dobivamo:
g = Y + b (3)
Tako, stara koordinata je jednaka novoj plus koordinata novog ishodišta prema starom sustavu.
Iz formula (2) i (3) nove koordinate se mogu izraziti preko starih:
x = x - a , (2")
Y = y - b . (3")
§ 3. Rotacija koordinatnih osi.
Neka su dana dva kartezijanska koordinatna sustava s istim ishodištem OKO a različiti smjerovi osi (slika 70).
Neka α postoji kut između osi Oh I OH. Označimo sa x, y I X, Y koordinate proizvoljne točke M u starom i novom sustavu:
x = | ILI | , na = | PM | ,
x= | ILI 1 |, Y= | P 1 M |.
Razmotrimo isprekidanu liniju ILI 1 MP i uzeti njegovu projekciju na os Oh. Uz napomenu da je projekcija izlomljene crte jednaka projekciji završnog segmenta (poglavlje I, § 8) imamo:
ILI 1 MP = | ILI |. (4)
S druge strane, projekcija izlomljene crte jednaka je zbroju projekcija njezinih karika (poglavlje I, § 8); stoga će jednakost (4) biti zapisana na sljedeći način:
itd ILI 1+ pr P 1 M+ pr MP= | ILI | (4")
Budući da je projekcija usmjerenog segmenta jednaka njegovoj veličini pomnoženoj s kosinusom kuta između osi projekcija i osi na kojoj segment leži (poglavlje I, § 8), tada
itd ILI 1 = x cos α
itd P 1 M = Y cos (90° + α ) = - Y grijeh α ,
pr MP= 0.
Stoga nam jednakost (4") daje:
x = x cos α - Y grijeh α . (5)
Slično, projiciranje iste polilinije na os OU, dobivamo izraz za na. Zapravo, imamo:
itd ILI 1+ pr P 1 M+ pr MP= str ILI = 0.
Primijetivši to
itd ILI 1 = x cos( α - 90°) = x grijeh α ,
itd P 1 M = Y cos α ,
pr MP = - g ,
imat će:
x grijeh α + Y cos α - g = 0,
g = x grijeh α + Y cos α . (6)
Iz formula (5) i (6) dobivamo nove koordinate x I Y izražen kroz stari x I na , ako jednadžbe (5) i (6) riješimo s obzirom na x I Y.
Komentar. Formule (5) i (6) mogu se dobiti različito.
Od sl. 71 imamo:
x = ILI = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ - OM grijeh α grijeh φ ,
na = RM = OM sin ( α + φ ) = OM grijeh α cos φ + OM cos α grijeh φ .
Budući da (poglavlje I, § 11) OM cos φ = x, OM grijeh φ =Y, To
x = x cos α - Y grijeh α , (5)
g = x grijeh α + Y cos α . (6)
§ 4. Opći slučaj.
Neka su dana dva kartezijanska koordinatna sustava s različitim ishodištima i različitim smjerovima osi (slika 72).
Označimo sa A I b koordinate novog početka OKO, po starom sistemu, kroz α - kut rotacije koordinatnih osi i, konačno, kroz x, y I X, Y- koordinate proizvoljne točke M prema starom, odnosno novom sustavu.
Izraziti x I na kroz x I Y, uvedimo pomoćni koordinatni sustav x 1 O 1 g 1, čiji će se početak smjestiti u novi početak OKO 1, i uzmite smjerove osi da se podudaraju sa smjerovima starih osi. Neka x 1 i g 1 označavaju koordinate točke M u odnosu na ovaj pomoćni sustav. Prelazeći sa starog koordinatnog sustava na pomoćni, imamo (§ 2):
x = x 1 + a , y = y 1 +b .
x 1 = x cos α - Y grijeh α , g 1 = x grijeh α + Y cos α .
Zamjena x 1 i g 1 u prethodnim formulama s njihovim izrazima iz zadnjih formula konačno nalazimo:
x = x cos α - Y grijeh α + a
g = x grijeh α + Y cos α + b (ja)
Formule (I) sadrže oboje poseban slučaj formule §§ 2 i 3. Dakle, sa α = 0 formule (I) pretvaraju se u
x = x + A , g = Y + b ,
i kada a = b = 0 imamo:
x = x cos α - Y grijeh α , g = x grijeh α + Y cos α .
Iz formula (I) dobivamo nove koordinate x I Y izražen kroz stari x I na , ako su jednadžbe (I) rješive u odnosu na x I Y.
Uočimo vrlo važno svojstvo formula (I): one su linearne u odnosu na x I Y, tj. oblika:
x = AX + BY + C, g = A 1 X+B 1 Y+C 1 .
Lako je provjeriti jesu li nove koordinate x I Y izrazit će se kroz staro x I na također formulama prvog stupnja glede x I u.
G.N.Yakovlev "Geometrija"
§ 13. Prijelaz iz jednog pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava u drugi
Odabirom pravokutnog kartezijevog koordinatnog sustava uspostavlja se korespondencija jedan na jedan između točaka ravnine i uređenih parova realni brojevi. To znači da svaka točka u ravnini odgovara jednom paru brojeva, a svaki uređeni par realnih brojeva odgovara jednoj točki.
Izbor jednog ili drugog koordinatnog sustava nije ni na koji način ograničen i određen je u svakom konkretnom slučaju samo razmatranjima pogodnosti. Često se isti skup mora razmatrati u različitim koordinatnim sustavima. Ista točka u različitim sustavima očito ima različite koordinate. Skup točaka (osobito kružnica, parabola, pravac) u različitim koordinatnim sustavima dan je različitim jednadžbama.
Otkrijmo kako se koordinate točaka na ravnini transformiraju pri prelasku iz jednog koordinatnog sustava u drugi.
Neka su na ravnini dana dva pravokutna koordinatna sustava: O, i J i o", i J" (Slika 41).
Prvi sustav s početkom u točki O i baznim vektorima ja I j dogovorimo se da ga nazovemo starim, drugim - s početkom u točki O" i baznim vektorima ja" I j" - novi.
Položaj novog sustava u odnosu na stari smatrat će se poznatim: neka točka O" u starom sustavu ima koordinate ( a;b ), vektor ja" oblici s vektorom ja kutak α . Kutak α Brojimo u smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu.
Promotrimo proizvoljnu točku M. Označimo njezine koordinate u starom sustavu s ( x;y ), u novom - kroz ( x";y" ). Naš zadatak je utvrditi odnos između stare i nove koordinate točke M.
Spojimo u parove točke O i O", O" i M, O i M. Koristeći pravilo trokuta dobivamo
OM > = oo" > + O"M > . (1)
Proširimo vektore OM> i oo"> baznim vektorima ja I j , i vektor O"M> baznim vektorima ja" I j" :
OM > = x ja+ g j , oo" > = a ja+b j , O"M > = x" ja"+y" j "
Sada se jednakost (1) može napisati na sljedeći način:
x ja+ g j = (a ja+b j ) + (x" ja"+y" j "). (2)
Novi bazni vektori ja" I j" proširuju se prema starim baznim vektorima ja I j na sljedeći način:
ja" =cos α ja + grijeh α j ,
j" =cos( π / 2 + α ) ja +grijeh( π / 2 + α ) j = - grijeh α ja +cos α j .
Zamjena pronađenih izraza za ja" I j" u formulu (2), dobivamo vektorsku jednakost
x ja+ g j = a ja+b j + X"(cos α ja + grijeh α j ) + y"(-grijeh α ja +cos α j )
ekvivalentno dvjema numeričkim jednakostima:
|
x = a + X" cos α
- y" grijeh α
, |
Formule (3) daju tražene izraze za stare koordinate x I na pokazuje kroz svoje nove koordinate X" I y". Da bi se pronašli izrazi za nove koordinate kroz stare, dovoljno je riješiti sustav jednadžbi (3) s obzirom na nepoznanice X" I y".
Dakle, koordinate točaka pri pomicanju ishodišta koordinata u točku ( A; b ) i zakretanje osi za kut α transformiraju se prema formulama (3).
Ako se mijenja samo ishodište koordinata, a smjerovi osi ostaju isti, tada, uz pretpostavku u formulama (3) α = 0, dobivamo
Formule (5) nazivaju se formule rotacije.
Zadatak 1. Neka su koordinate novog početka u starom sustavu (2; 3), a koordinate točke A u starom sustavu (4; -1). Pronađite koordinate točke A u novi sustav, ako smjerovi osi ostanu isti.
Prema formulama (4) imamo
Odgovor. A(2;-4)
Zadatak 2. Neka su koordinate točke P u starom sustavu (-2; 1), au novom sustavu, čiji su pravci osi isti, koordinate te točke (5; 3). Pronađite koordinate novog početka u starom sustavu.
A Iz formula (4) dobivamo
|
-
2= a + 5 |
gdje A = - 7, b = - 2.
Odgovor. (-7; -2).
Zadatak 3. Koordinate točke A u novom sustavu (4; 2). Nađite koordinate te točke u starom sustavu ako je ishodište ostalo isto, a koordinatne osi starog sustava su zakrenute za kut α = 45°.
Pomoću formula (5) nalazimo
Zadatak 4. Koordinate točke A u starom sustavu (2 √3 ; - √3 ). Pronađite koordinate te točke u novom sustavu ako je ishodište starog sustava pomaknuto u točku (-1;-2), a osi zakrenute za kut α = 30°.
Prema formulama (3) imamo
Nakon što smo riješili ovaj sustav jednadžbi za X" I y", pronašli smo: X" = 4, y" = -2.
Odgovor. A (4; -2).
Zadatak 5. Dana je jednadžba pravca na = 2x - 6. Pronađite jednadžbu istog pravca u novom koordinatnom sustavu koji je dobiven iz starog sustava zakretanjem osi za kut. α = 45°.
Formule rotacije u ovom slučaju imaju oblik
Zamjena pravca u jednadžbi na = 2x - 6 starih varijabli x I na novo, dobivamo jednadžbu
√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,
koji nakon pojednostavljenja poprima oblik y" = x" / 3 - 2√2
Tema 5. Linearne transformacije.
Koordinatni sustavimenovati metodu koja omogućuje jednoznačno određivanje položaja točke u odnosu na neke pomoću brojeva geometrijski lik. Primjeri uključuju koordinatni sustav na ravnoj liniji - koordinatnoj osi i pravokutne kartezijeve koordinatne sustave, odnosno u ravnini iu prostoru.
Prijeđimo iz jednog xy koordinatnog sustava na ravnini u drugi sustav, tj. Otkrijmo kako su povezani Kartezijeve koordinate ista točka u ova dva sustava.
Razmotrimo prvo paralelni prijenos pravokutni kartezijev koordinatni sustav xy, tj. slučaj kada su osi i novog sustava paralelne s odgovarajućim osima x i y starog sustava i imaju s njima iste smjerove.
Ako su poznate koordinate točaka M (x; y) i (a; b) u sustavu xy, tada (slika 15) u sustavu točka M ima koordinate: .
Neka odsječak OM duljine ρ tvori kut s osi i. Tada (sl. 16) segment OM čini kut s osi x i koordinate točke M u sustavu xy su jednake 
, 
.
S obzirom da su u sustavu koordinate točke M jednake i , dobivamo
Okretanjem za kut "u smjeru kazaljke na satu" dobivamo: 
Problem 0.54. Odredite koordinate točke M(-3; 7) u novom koordinatnom sustavu x / y / čije se ishodište 0 / nalazi u točki (3; -4), a osi su paralelne s osima starog koordinatnom sustavu i imaju iste pravce kao oni.
Riješenje. Zamijenimo poznate koordinate točaka M i O / u formule: x / = x-a, y / = y-b.
Dobivamo: x / = -3-3 = -6, y / = 7-(-4) = 11. Odgovor: M/ (-6; 11).
§2. Koncept linearna transformacija, njegova matrica.
Ako svakom elementu x skupa X, prema nekom pravilu f, odgovara jedan i samo jedan element y skupa Y, tada kažemo da je zadano prikaz f skupa X u skup Y, a skup X je pozvan domena definicije prikaz f . Ako konkretno elementu x 0 Î X odgovara element y 0 Î Y, tada piše y 0 = f (x 0). U ovom slučaju poziva se element y 0 put element x 0 i element x 0 - prototip element na 0. Poziva se podskup Y 0 skupa Y koji se sastoji od svih slika skup značenja prikaz f.
Ako u preslikavanju f različiti elementi skupa X odgovaraju različitim elementima skupa Y, tada se preslikavanje f naziva reverzibilan.
Ako je Y 0 = Y, tada se preslikavanje f naziva preslikavanjem skupa X na setY.
Invertibilno preslikavanje skupa X na skup Y naziva se jedan na jedan.
Posebni slučajevi koncepta preslikavanja skupa u skup su koncept numerička funkcija i koncept geometrijsko preslikavanje.
Ako preslikavanje f na svaki element skupa X pridružuje jedan element istog skupa X, tada se takvo preslikavanje naziva transformacija postavlja X.
Neka je zadan skup n-dimenzionalnih vektora linearnog prostora L n.
Transformacija f n-dimenzionalnog linearnog prostora L n naziva se linearni transformacija ako
za bilo koje vektore iz L n i bilo koje realne brojeve α i β. Drugim riječima, transformacija se naziva linearnom ako se linearna kombinacija vektora transformira u linearnu kombinaciju njihovih slika s istim koeficijenti.
Ako je vektor zadan u određenoj bazi i transformacija f je linearna, tada je po definiciji , gdje su slike baznih vektora.
Stoga je linearna transformacija potpuno definiran, ako su dane slike baznih vektora razmatranog linearnog prostora:
(12)
Matrica 
u kojoj je k-ti stupac koordinatni stupac vektora 
u osnovi, tzv matrica linearni transformacija f u ovoj osnovi.
Determinanta det L naziva se determinanta transformacije f, a Rg L rang linearne transformacije f.
Ako je matrica linearne transformacije nesingularna, tada je i sama transformacija nesingularna. Pretvara prostor L n jedan na jedan u sebe, tj. svaki vektor iz L n je slika svog jedinstvenog vektora.
Ako je matrica linearne transformacije singularna, tada je i sama transformacija singularna. Pretvara linearni prostor L n u neki njegov dio.
Teorema.Kao rezultat primjene linearne transformacije f s matricom L na vektor 
ispada da je vektor 
takav da .
Brojevi napisani u zagradi su koordinate vektora prema bazi:
|
Po definiciji operacije množenja matrice sustav (13) može se zamijeniti matricom
jednakost 
, što je i trebalo dokazati.
Primjerilinearne transformacije.
1. Istezanje duž x-osi za k 1 puta, a duž y-osi za k 2 puta na xy ravnini određeno je matricom i formule za transformaciju koordinata imaju oblik: x / = k 1 x; y / = k 2 y.
2. Zrcalna refleksija u odnosu na os y na ravninu xy određena je matricom, a formule transformacije koordinata imaju oblik: x / = -x, y / = y.
