Ako dva pravca u prostoru imaju zajednička točka, tada kažemo da se te dvije linije sijeku. Na sljedećoj slici pravci a i b sijeku se u točki A. Pravci a i c se ne sijeku.

Bilo koje dvije ravne crte ili imaju samo jednu zajedničku točku ili nemaju nijednu zajedničku točku.

Paralelne linije

Dva pravca u prostoru nazivaju se paralelnima ako leže u istoj ravnini i ne sijeku se. Za označavanje paralelnih linija koristite posebnu ikonu - ||.

Oznaka a||b znači da je pravac a paralelan s pravcem b. Na gornjoj slici, pravci a i c su paralelni.

Teorem o paralelnim pravcima

Kroz bilo koju točku u prostoru koja ne leži na zadanom pravcu, prolazi pravac paralelan zadanom i, štoviše, samo jedan.

Prelaženje granica

Dvije linije koje leže u istoj ravnini mogu se sijeći ili biti paralelne. Ali u prostoru, dvije ravne linije ne moraju nužno pripadati ovoj ravnini. Mogu se nalaziti u dvije različite ravnine.

Očito je da se pravci koji se nalaze u različitim ravninama ne sijeku i nisu paralelni pravci. Dva pravca koji ne leže u istoj ravnini nazivaju se križanje ravnih linija.

Na sljedećoj slici prikazane su dvije prave a i b koje se sijeku i koje leže u različitim ravninama.

Test i teorem o kosim pravcima

Ako jedan od dva pravca leži u određenoj ravnini, a drugi pravac siječe tu ravninu u točki koja ne leži na prvom pravcu, tada se ti pravci sijeku.

Teorem o kosim pravcima: kroz svaki od dva pravca koji se sijeku prolazi ravnina paralelna s drugim pravcem, i to samo jedna.

Stoga smo razmotrili sve moguće slučajeve relativni položaj ravne linije u prostoru. Ima ih samo tri.

1. Pravci se sijeku. (Odnosno, imaju samo jednu zajedničku točku.)

2. Pravci su paralelni. (To jest, nemaju zajedničkih točaka i leže u istoj ravnini.)

3. Ravne linije se križaju. (Odnosno, nalaze se u različitim ravninama.)

U ovom ćemo članku prvo definirati kut između križnih linija i dati grafički prikaz. Zatim ćemo odgovoriti na pitanje: "Kako pronaći kut između križanja linija ako su koordinate vektora smjera ovih linija u pravokutni sustav koordinate"? Zaključno ćemo vježbati pronalaženje kuta između pravaca koji se sijeku pri rješavanju primjera i zadataka.

Navigacija po stranici.

Kut između pravaca koji se sijeku – definicija.

Određivanju kuta između ravnih linija koje se sijeku pristupit ćemo postupno.

Prvo se prisjetimo definicije kosih linija: dvije linije u trodimenzionalnom prostoru nazivaju se križanje, ako ne leže u istoj ravnini. Iz ove definicije slijedi da se pravci koji se sijeku ne sijeku, nisu paralelni i, štoviše, ne podudaraju se, inače bi obje ležale u određenoj ravnini.

Dajmo daljnje pomoćno obrazloženje.

Neka su u trodimenzionalnom prostoru zadane dvije crte a i b koje se sijeku. Konstruirajmo pravce a 1 i b 1 tako da budu paralelne s kosim pravcima a odnosno b i prolaze nekom točkom u prostoru M 1 . Tako dobivamo dvije prave koje se sijeku a 1 i b 1. Neka je kut između pravaca a 1 i b 1 koji se sijeku jednak kutu . Sada konstruirajmo pravce a 2 i b 2, paralelne s kosim pravcima a odnosno b, koji prolaze kroz točku M 2, različitu od točke M 1. Kut između pravaca a 2 i b 2 koji se sijeku bit će također jednak kutu. Ova tvrdnja je točna, jer će se pravci a 1 i b 1 podudarati s pravcima a 2 i b 2, redom, ako se izvrši paralelni prijenos, u kojem se točka M 1 pomiče u točku M 2. Dakle, mjera kuta između dviju ravnih linija koje se sijeku u točki M, odnosno paralelnih s danim pravcima koji se sijeku, ne ovisi o izboru točke M.

Sada smo spremni za definiranje kuta između linija koje se sijeku.

Definicija.

Kut između pravaca koji se sijeku je kut između dviju pravaca koje se sijeku i koje su paralelne s danim pravcima koji se sijeku.

Iz definicije proizlazi da kut između križnih pravaca također neće ovisiti o izboru točke M. Prema tome, kao točku M možemo uzeti bilo koju točku koja pripada jednom od presječnih pravaca.

Dajmo ilustraciju određivanja kuta između pravaca koji se sijeku.

Određivanje kuta između pravaca koji se sijeku.

Budući da je kut između pravaca koji se sijeku određen preko kuta između pravaca koji se sijeku, nalaženje kuta između pravaca koji se sijeku svodi se na pronalaženje kuta između odgovarajućih pravaca koji se sijeku u trodimenzionalnom prostoru.

Bez sumnje, metode koje se proučavaju na nastavi geometrije u Srednja škola. Odnosno, nakon što ste dovršili potrebne konstrukcije, možete povezati željeni kut s bilo kojim kutom poznatim iz stanja, na temelju jednakosti ili sličnosti figura, u nekim će slučajevima pomoći kosinusni teorem, a ponekad dovodi do rezultata definicija sinusa, kosinusa i tangensa kuta pravokutni trokut.

Međutim, vrlo je prikladno riješiti problem pronalaženja kuta između križnih linija pomoću koordinatne metode. To ćemo razmotriti.

Neka se Oxyz uvede u trodimenzionalni prostor (iako u mnoge probleme morate sami ući).

Postavimo si zadatak: pronaći kut između križnih pravaca a i b koji odgovaraju nekoj jednadžbi pravca u prostoru u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz.

Idemo to riješiti.

Uzmimo proizvoljnu točku u trodimenzionalnom prostoru M i pretpostavimo da kroz nju prolaze pravci a 1 i b 1 paralelni s sijecanjem pravaca a odnosno b. Tada je traženi kut između pravaca a i b koji se sijeku jednak kutu između pravaca koji se sijeku a 1 i b 1 po definiciji.

Dakle, samo trebamo pronaći kut između pravaca a 1 i b 1 koji se sijeku. Da bismo primijenili formulu za određivanje kuta između dva pravca koji se sijeku u prostoru, moramo znati koordinate vektora smjera pravaca a 1 i b 1.

Kako ih možemo dobiti? I to vrlo jednostavno. Definicija vektora smjera ravne crte omogućuje nam da tvrdimo da se skupovi vektora smjera paralelnih pravaca podudaraju. Stoga se vektori smjera pravaca a 1 i b 1 mogu uzeti kao vektori smjera I prave a i b redom.

Tako, Kut između dva pravca a i b koji se sijeku izračunava se po formuli
, Gdje I su vektori smjera pravaca a i b.

Formula za određivanje kosinusa kuta između pravaca koji se križaju a i b imaju oblik .

Omogućuje vam da pronađete sinus kuta između križnih linija ako je poznat kosinus: .

Ostaje još analizirati rješenja primjera.

Primjer.

Odredite kut između križnih pravaca a i b koji su u Oxyz pravokutnom koordinatnom sustavu definirani jednadžbama I .

Riješenje.

Kanonske jednadžbe ravne crte u prostoru omogućuju vam da odmah odredite koordinate vektora usmjeravanja ove ravne crte - one su dane brojevima u nazivnicima razlomaka, tj. . Parametarske jednadžbe pravca u prostoru također omogućuju da se odmah zapišu koordinate vektora pravca - one su jednake koeficijentima ispred parametra, tj. - izravni vektor . Dakle, imamo sve potrebne podatke za primjenu formule po kojoj se izračunava kut između pravaca koji se sijeku:

Odgovor:

Kut između zadanih pravaca koji se sijeku jednak je .

Primjer.

Odredite sinus i kosinus kuta između križnih pravaca na kojima leže bridovi AD i BC piramide ABCD, ako su poznate koordinate njezinih vrhova: .

Riješenje.

Vektori smjera križanja pravaca AD i BC su vektori i . Izračunajmo njihove koordinate kao razliku odgovarajuće koordinate krajnje i početne točke vektora:

Prema formuli možemo izračunati kosinus kuta između navedenih križnih linija:

Sada izračunajmo sinus kuta između križnih linija:

Odgovor:

Zaključno ćemo razmotriti rješenje zadatka u kojem je potrebno pronaći kut između križnih pravaca, a pravokutni koordinatni sustav unijeti samostalno.

Primjer.

Zadan je pravokutni paralelopiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, koji ima AB = 3, AD = 2 i AA 1 = 7 jedinica. Točka E leži na rubu AA 1 i dijeli ga u omjeru 5 prema 2, računajući od točke A. Odredite kut između pravaca BE i A 1 C koji se križaju.

Riješenje.

Budući da rebra pravokutni paralelopiped ako je jedan vrh međusobno okomit, tada je zgodno uvesti pravokutni koordinatni sustav i koordinatnom metodom odrediti kut između naznačenih križnih pravaca preko kuta između vektora smjera tih pravaca.

Uvedimo pravokutni koordinatni sustav Oxyz na sljedeći način: ishodište neka se poklapa s vrhom A, os Ox poklapa s pravcem AD, os Oy s pravcem AB, a os Oz s pravcem AA 1.

Tada točka B ima koordinate, točka E - (po potrebi pogledajte članak), točka A 1 -, a točka C -. Iz koordinata tih točaka možemo izračunati koordinate vektora i . Imamo , .

Ostaje primijeniti formulu za pronalaženje kuta između linija koje se sijeku pomoću koordinata vektora smjera:

Odgovor:

Bibliografija.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrija. Udžbenik za 10-11 razred srednje škole.
Pogorelov A.V., Geometrija. Udžbenik za razrede 7-11 u općeobrazovnim ustanovama.
Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Viša matematika. Svezak prvi: elementi linearne algebre i analitičke geometrije.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitička geometrija.

KRIŽANJE RAVNICA Veliki enciklopedijski rječnik

prelaženje granica- prave u prostoru koje ne leže u istoj ravnini. * * * SJECANJE RAVNICA SJECANJE RAVNICA, ravnih linija u prostoru koje ne leže u istoj ravnini... enciklopedijski rječnik

Prelaženje granica- prave u prostoru koje ne leže u istoj ravnini. Kroz linearnu točku mogu se povući paralelne ravnine, a udaljenost među linearnim točkama je jednaka najkraćoj udaljenosti između točaka prave... Velika sovjetska enciklopedija

KRIŽANJE RAVNICA- prave u prostoru koje ne leže u istoj ravnini. Kut između S. str. bilo koji od kutova između dvaju paralelnih pravaca koji prolaze kroz proizvoljnu točku u prostoru. Ako su a i b vektori smjera S. p., tada je kosinus kuta između S. p. Matematička enciklopedija

KRIŽANJE RAVNICA- ravne linije u prostoru koje ne leže u istoj ravnini... Prirodna znanost. enciklopedijski rječnik

Paralelne linije- Sadržaj 1 U euklidskoj geometriji 1.1 Svojstva 2 U geometriji Lobačevskog ... Wikipedia

Ultraparalelne ravne linije- Sadržaj 1 U euklidskoj geometriji 1.1 Svojstva 2 U geometriji Lobačevskog 3 Vidi također... Wikipedia

RIEMANNOVA GEOMETRIJA- eliptična geometrija, jedna od neeuklidskih geometrija, tj. geometrijska, teorija temeljena na aksiomima, čiji su zahtjevi drugačiji od zahtjeva aksioma euklidske geometrije. Za razliku od euklidske geometrije u R. g.... ... Matematička enciklopedija

Relativni položaj dviju linija u prostoru.

Relativni položaj dviju linija u prostoru karakteriziraju sljedeće tri mogućnosti.

Pravci leže u istoj ravnini i nemaju zajedničkih točaka – paralelnih pravaca.

Pravci leže u istoj ravnini i imaju jednu zajedničku točku – pravci se sijeku.

U prostoru se dvije prave mogu nalaziti i tako da ne leže ni u jednoj ravnini. Takve se linije nazivaju kosi (ne sijeku se ili su paralelne).

PRIMJER:

ZADATAK 434 Trokut ABC leži u ravnini, a

Trokut ABC leži u ravnini, ali točka D nije u toj ravnini. Točke M, N i K redom su polovišta duži DA, DB i DC

Teorema. Ako jedan od dva pravca leži u određenoj ravnini, a drugi siječe tu ravninu u točki koja ne leži na prvom pravcu, tada se ti pravci sijeku.

Na sl. 26 pravac a leži u ravnini, a pravac c siječe se u točki N. Pravci a i c se sijeku.

Teorema. Kroz svaki od dva pravca koji se sijeku prolazi samo jedna ravnina paralelna s drugim pravcem.

Na sl. 26 sijeku se pravci a i b. Nacrtana je pravac i nacrtana je ravnina (alfa) || b (u ravnini B (beta) naznačena je pravac a1 || b).

Teorem 3.2.

Dvije linije paralelne s trećom su paralelne.

Ovo svojstvo se zove tranzitivnost paralelizam linija.

Dokaz

Neka su pravci a i b istovremeno paralelni s pravcem c. Pretpostavimo da a nije paralelan s b, tada pravac a siječe pravac b u nekoj točki A, koja po uvjetu ne leži na pravcu c. Prema tome, imamo dva pravca a i b koji prolaze kroz točku A, ne leže na danom pravcu c, a istovremeno su s njim paralelni. Ovo je u suprotnosti s aksiomom 3.1. Teorem je dokazan.

Teorem 3.3.

Kroz točku koja ne leži na zadanom pravcu može se povući jedan i samo jedan pravac paralelan sa zadanim.

Dokaz

Neka je (AB) zadan pravac, C točka koja ne leži na njemu. Pravac AC dijeli ravninu na dvije poluravnine. Točka B leži u jednoj od njih. U skladu s aksiomom 3.2 moguće je od poluge C A oduzeti kut (ACD). jednak kutu(CAB), na drugu poluravninu. ACD i CAB su jednaki unutarnje poprečno ležeći s pravcima AB i CD i sekantom (AC). Tada, prema teoremu 3.1 (AB) || (CD). Uzimajući u obzir aksiom 3.1. Teorem je dokazan.

Svojstvo paralelnih pravaca dano je sljedećim teoremom, suprotno teoremu 3.1.

Teorem 3.4.

Ako su dva paralelna pravca presječena trećim pravcem, tada su unutarnji kutovi koji se sijeku jednaki.

Dokaz

Neka je (AB) || (CD). Pretpostavimo da je ACD ≠ BAC. Kroz točku A povučemo ravnu liniju AE tako da je EAC = ACD. Ali tada, prema teoremu 3.1 (AE ) || (CD ), a prema uvjetu – (AB ) || (CD). U skladu s teoremom 3.2 (AE ) || (AB). To je u suprotnosti s teoremom 3.3 prema kojem se kroz točku A koja ne leži na pravcu CD može povući jedinstveni pravac paralelan s njom. Teorem je dokazan.

Slika 3.3.1.

Na temelju ovog teorema lako se mogu opravdati sljedeća svojstva.

Ako su dva paralelna pravca presječena trećim, tada su im odgovarajući kutovi jednaki.

Ako dva paralelna pravca siječe treći pravac, tada je zbroj unutarnjih jednostraničkih kutova 180°.

Korolar 3.2.

Ako je pravac okomit na jedan od paralelnih pravaca, onda je okomit i na drugi.

Koncept paralelizma omogućuje nam uvođenje sljedećeg novog koncepta, koji će biti potreban kasnije u 11. poglavlju.

Dvije zrake su tzv jednako usmjereni, ako postoji pravac takav da su, prvo, okomite na ovaj pravac, i drugo, zrake leže u istoj poluravnini u odnosu na ovaj pravac.

Dvije zrake su tzv suprotno usmjerena, ako je svaka od njih jednako usmjerena zrakom koja je komplementarna drugoj.

Označit ćemo jednako usmjerene zrake AB i CD: a suprotno usmjerene zrake AB i CD -

Slika 3.3.2.

Znak križanja linija.

Ako jedan od dva pravca leži u određenoj ravnini, a drugi pravac siječe tu ravninu u točki koja ne leži na prvom pravcu, tada se ti pravci sijeku.

Slučajevi međusobnog rasporeda linija u prostoru.

Postoje četiri različita slučaja rasporeda dviju linija u prostoru:

– ravno križanje, tj. ne leže u istoj ravnini;

– prave se sijeku, tj. leže u istoj ravnini i imaju jednu zajedničku točku;

– paralelne linije, tj. leže u istoj ravnini i ne sijeku se;

- linije se podudaraju.

Dobijmo karakteristike ovih slučajeva relativnog položaja linija danih kanonskim jednadžbama

Gdje - točke koje pripadaju pravcima I prema tome, a— vektori smjera (sl. 4.34). Označimo savektor koji povezuje zadane točke.

Sljedeće karakteristike odgovaraju gore navedenim slučajevima relativnog položaja linija:

– ravni i križni vektori nisu komplanarni;

– pravci i vektori koji se sijeku su koplanarni, ali vektori nisu kolinearni;

– direktni i paralelni vektori su kolinearni, ali vektori nisu kolinearni;

– ravni i koincidentni vektori su kolinearni.

Ovi se uvjeti mogu napisati pomoću svojstava mješovitih i vektorski proizvodi. Podsjetimo se da se mješoviti produkt vektora u desnom pravokutnom koordinatnom sustavu nalazi po formuli:

a determinanta presijeca je nula, a njezin drugi i treći red nisu proporcionalni, tj.
– ravne i paralelne druga i treća crta odrednice su proporcionalne, tj. a prve dvije crte nisu proporcionalne, tj.

– prave i sve linije determinante se poklapaju i proporcionalne su, tj.

Dokaz testa zakrivljene linije.

Ako jedan od dva pravca leži u ravnini, a drugi siječe tu ravninu u točki koja ne pripada prvom pravcu, tada se ta dva pravca sijeku.

Dokaz

Neka a pripada α, b siječe α = A, A ne pripada a (crtež 2.1.2). Pretpostavimo da se pravci a i b ne sijeku, odnosno da se sijeku. Tada postoji ravnina β kojoj pripadaju pravci a i b. U toj ravnini β leže pravac a i točka A. Kako pravac a i točka A izvan nje određuju jednu ravninu, tada je β = α. Ali b pokreće β i b ne pripada α, stoga je jednakost β = α nemoguća.