Poziva se funkcija F(x) diferencijabilna u zadanom intervalu X antiderivacija funkcije f(x), ili integral od f(x), ako za svaki x ∈X vrijedi sljedeća jednakost:
F " (x) = f(x). (8.1)
Pronalaženje svih antiderivacija za danu funkciju naziva se njeno integracija. Funkcija neodređenog integrala f(x) na zadanom intervalu X naziva se skup svih antiderivacijske funkcije za funkciju f(x); oznaka -
Ako je F(x) neka antiderivacija za funkciju f(x), tada je ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)
gdje je C proizvoljna konstanta.
Tablica integrala
Izravno iz definicije dobivamo glavna svojstva Ne određeni integral i popis tablični integrali:
1) d∫f(x)dx=f(x)
2) ∫df(x)=f(x)+C
3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)
4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx
Popis tabelarnih integrala
1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)
3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)
4.∫e x dx = e x + C
5.∫sin x dx = cosx + C
6.∫cos x dx = - sin x + C
7. = arctan x + C
8. = arcsin x + C
10. = - ctg x + C
Zamjena varijable
Za integraciju mnogih funkcija koristite metodu zamjene varijabli ili zamjene,što vam omogućuje redukciju integrala u tablični oblik.
Ako je funkcija f(z) kontinuirana na [α,β], funkcija z =g(x) ima kontinuiranu derivaciju i α ≤ g(x) ≤ β, tada
∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)
Štoviše, nakon integracije na desnoj strani treba izvršiti zamjenu z=g(x).
Da bismo to dokazali, dovoljno je originalni integral napisati u obliku:
∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).
Na primjer:
Metoda integracije po dijelovima
Neka su u = f(x) i v = g(x) funkcije koje imaju kontinuirano . Zatim, prema djelu,
d(uv))= udv + vdu ili udv = d(uv) - vdu.
Za izraz d(uv), antiderivacija će očito biti uv, tako da formula vrijedi:
∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)
Ova formula izražava pravilo integracija po dijelovima. On vodi integraciju izraza udv=uv"dx do integracije izraza vdu=vu"dx.
Neka, na primjer, želite pronaći ∫xcosx dx. Stavimo u = x, dv = cosxdx, dakle du=dx, v=sinx. Zatim
∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.
Pravilo integracije po dijelovima ima ograničeniji opseg od zamjene varijabli. Ali postoje čitave klase integrala, npr.
∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax i drugi, koji se izračunavaju precizno korištenjem integracije po dijelovima.
Određeni integral
Koncept određenog integrala uvodi se na sljedeći način. Neka je funkcija f(x) definirana na intervalu. Podijelimo segment [a,b] na n dijelovi po točkama a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 ,
x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i)
Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Poziva se suma oblika f(ξ i)Δ x i integralni zbroj, a njegova granica pri λ = maxΔx i → 0, ako postoji i konačna je, naziva se određeni integral funkcije f(x) od a do b i označen je:
F(ξ i)Δx i (8.5).
Funkcija f(x) u ovom slučaju se zove integrabilan na intervalu, nazivaju se brojevi a i b donja i gornja granica integrala.
Za određeni integral vrijede sljedeća svojstva:
4), (k = const, k∈R);
5)
6)
7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).
Posljednje svojstvo se zove teorem srednje vrijednosti.
Neka je f(x) neprekidan na . Tada na tom segmentu postoji neodređeni integral
∫f(x)dx = F(x) + C
i odvija se Newton-Leibnizova formula, povezujući određeni integral s neodređenim integralom:
F(b) - F(a). (8,6)
Geometrijska interpretacija: određeni integral je površina krivocrtnog trapeza omeđenog odozgo krivuljom y=f(x), ravnim linijama x = a i x = b i segmentom osi Vol.
Nepravilni integrali
Integrali s beskonačnim limitima i integrali diskontinuiranih (neomeđenih) funkcija nazivaju se ne svoj. Nepravilni integrali prve vrste - To su integrali preko beskonačnog intervala, definirani na sljedeći način:
(8.7)
Ako ta granica postoji i konačna je, tada se naziva konvergentni nepravilni integral od f(x) na intervalu [a,+ ∞), a poziva se funkcija f(x). integrabilan u beskonačnom intervalu[a,+ ∞). Inače se za integral kaže da je ne postoji ili se razilazi.
Nepravi integrali na intervalima (-∞,b] i (-∞, + ∞) definiraju se na sličan način:
Definirajmo pojam integrala neograničene funkcije. Ako je f(x) kontinuirana za sve vrijednosti x segment , osim točke c, u kojoj f(x) ima beskonačni diskontinuitet, tada nepravi integral druge vrste f(x) u rasponu od a do b iznos se zove:
ako te granice postoje i konačne su. Oznaka:
Primjeri integralnih izračuna
Primjer 3.30. Izračunajte ∫dx/(x+2).
Otopina. Označimo t = x+2, tada je dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.
Primjer 3.31. Nađi ∫ tgxdx.
Otopina.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Neka je t=cosx, tada je ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.
Primjer3.32 . Pronađite ∫dx/sinxOtopina.
Primjer3.33. pronaći .
Otopina. = .
Primjer3.34 . Pronađite ∫arctgxdx.
Otopina. Integrirajmo po dijelovima. Označimo u=arctgx, dv=dx. Tada je du = dx/(x 2 +1), v=x, odakle je ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; jer
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.
Primjer3.35 . Izračunajte ∫lnxdx.
Otopina. Primjenom formule integracije po dijelovima dobivamo:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Tada je ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.
Primjer3.36 . Izračunajte ∫e x sinxdx.
Otopina. Označimo u = e x, dv = sinxdx, tada je du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integral ∫e x cosxdx također integriramo po dijelovima: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. imamo:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Dobili smo relaciju ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, odakle je 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.
Primjer 3.37. Izračunajte J = ∫cos(lnx)dx/x.
Otopina. Kako je dx/x = dlnx, tada je J= ∫cos(lnx)d(lnx). Zamjenom lnx kroz t dolazimo do tabličnog integrala J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.
Primjer 3.38 . Izračunajte J = .
Otopina. S obzirom da je = d(lnx), zamijenimo lnx = t. Tada je J = 
.
Primjer 3.39
. Izračunajte integral J = 
.
Otopina. imamo: 
. Prema tome =
=
=.
unosi se ovako: sqrt(tan(x/2)).
A ako u prozoru s rezultatima kliknete na Prikaži korake u gornjem desnom kutu, dobit ćete detaljno rješenje.
Da bismo izračunali taj integral, moramo ga, ako je moguće, jednom ili drugom metodom svesti na tablični integral i tako pronaći željeni rezultat. U našem kolegiju razmotrit ćemo samo neke od najčešćih tehnika integracije i ukazati na njihovu primjenu na najjednostavnijim primjerima.
Najvažnije metode integracije su:
1) metoda izravne integracije (metoda proširenja),
2) metoda supstitucije (metoda uvođenja nove varijable),
3) način integracije po dijelovima.
I. Metoda izravne integracije
Problem nalaženja neodređenih integrala mnogih funkcija rješava se njihovim svođenjem na jedan od tabličnih integrala. 
∫(1-√x) 2 dx=∫(1-2√x+x)dx=∫dx-∫2√xdx+∫xdx=∫dx-2∫x dx+∫xdx=
Primjer 3. ∫sin 2 xdx
Kako je sin 2 x=(1-cos2x), onda
∫sin 2 xdx=(1-cos2x)dx=∫dx-∫cos2xd(2x)=x-sin2x+C
Primjer 4. ∫sinxcos3xdx
Budući da je sinxcos3x=(sin4x-sin2x), imamo
∫sinxcos3xdx=∫(sin4x-sin2x)dx=∫sin4xd(4x)-∫sin2xd(2x)=-cos4x+cos2x+C
Primjer 5. Odredite neodređeni integral: ∫cos(7x-3)dx
∫cos(7x-3)=∫cos(7x-3)d(7x-3)=sin(7x-3)+C
II. Metoda supstitucije (integracija promjenom varijable)
Ako funkcija x=φ(t) ima kontinuiranu derivaciju, tada u zadanom neodređenom integralu ∫f(x)dx uvijek možete ići na novu varijablu t pomoću formule
∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ"(t)dt
Zatim pronađite integral s desne strane i vratite se na izvornu varijablu. U tom slučaju, integral na desnoj strani ove jednakosti može se pokazati jednostavnijim od integrala na lijevoj strani ove jednakosti, ili čak tabličnim. Ova metoda pronalaženja integrala naziva se metoda promjene varijable.
Primjer 7. ∫x√x-5dx
Da bismo se riješili korijena, postavili smo √x-5=t. Stoga je x=t 2 +5 i prema tome dx=2tdt. Vršeći zamjenu, dosljedno imamo:
∫x√x-5dx=∫(t 2 +5) 2tdt=∫(2t 4 +10t 2)dt=2∫t 4 dt+10∫t 2 dt=
Primjer 8. 
Od , onda imamo
Primjer 9. 
Primjer 10. ∫e -x 3 x 2 dx
Upotrijebimo zamjenu -x 3 =t. Tada imamo -3x 2 dx=dt i ∫e -x 3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x 3 +C
Primjer 11. 
Primijenimo zamjenu 1+sinx=t , zatim cosxdx=dt i
III. Metoda integracije po dijelovima
Metoda integracije po dijelovima temelji se na sljedećoj formuli:
∫udv=uv-∫vdu
gdje su u(x),v(x) kontinuirano diferencijabilne funkcije. Formula se naziva formula integracije po dijelovima. Ova formula pokazuje da integral ∫udv vodi do integrala ∫vdu, koji se može pokazati jednostavnijim od izvornog, ili čak tabličnim.
Primjer 12. Naći neodređeni integral ∫xe -2x dx
Rješavanje integrala je lak zadatak, ali samo za odabrane. Ovaj članak je za one koji žele naučiti razumjeti integrale, ali ne znaju ništa ili gotovo ništa o njima. Integral... Zašto je potreban? Kako to izračunati? Što su određeni i neodređeni integrali? Ako je jedina upotreba integrala za koju znate korištenje kukice za heklanje u obliku ikone integrala kako biste izvukli nešto korisno s teško dostupnih mjesta, onda dobrodošli! Saznajte kako rješavati integrale i zašto ne možete bez toga.
Proučavamo koncept "integralnog"
Integracija je bila poznata još u starom Egiptu. Naravno, ne u modernom obliku, ali ipak. Od tada su matematičari napisali mnogo knjiga o ovoj temi. Posebno su se istakli Newton I Leibniz , ali se bit stvari nije promijenila. Kako razumjeti integrale od nule? Nema šanse! Za razumijevanje ove teme i dalje će vam trebati osnovno znanje o osnovama matematičke analize. Informacije o , potrebne za razumijevanje integrala, već imamo na našem blogu.
Neodređeni integral
Neka nam bude neka funkcija f(x) .
Funkcija neodređenog integrala f(x) ova funkcija se zove F(x) , čija je derivacija jednaka funkciji f(x) .
Drugim riječima, integral je obrnuta derivacija ili antiderivacija. Usput, pročitajte kako u našem članku.
Antiderivacija postoji za sve neprekidne funkcije. Također, antiderivatu se često dodaje predznak konstante, jer se derivacije funkcija koje se razlikuju po konstanti podudaraju. Proces pronalaženja integrala naziva se integracija.
Jednostavan primjer:
Kako ne bi stalno računali antiderivacije elementarnih funkcija, zgodno ih je staviti u tablicu i koristiti gotove vrijednosti.
Kompletna tablica integrala za studente
Određeni integral
Kada govorimo o pojmu integrala, imamo posla s infinitezimalnim veličinama. Integral će vam pomoći izračunati površinu figure, masu neuniformnog tijela, prijeđenu udaljenost tijekom neravnomjernog kretanja i još mnogo toga. Treba imati na umu da je integral zbroj beskonačno velikog broja infinitezimalnih članova.
Kao primjer, zamislite graf neke funkcije. Kako pronaći područje figure ograničene grafom funkcije?
Korištenje integrala! Podijelimo krivuljasti trapez, ograničen koordinatnim osima i grafom funkcije, na infinitezimalne segmente. Na taj način će lik biti podijeljen u tanke stupce. Zbroj površina stupaca bit će površina trapeza. Ali zapamtite da će takav izračun dati približan rezultat. Međutim, što su segmenti manji i uži, izračun će biti točniji. Ako ih smanjimo do te mjere da duljina teži nuli, tada će zbroj površina segmenata težiti površini figure. Ovo je određeni integral koji se piše ovako:
Točke a i b nazivamo limesima integracije.
Bari Alibasov i grupa "Integral" Usput! Za naše čitatelje sada postoji popust od 10% na
Pravila za izračunavanje integrala za lutke
Svojstva neodređenog integrala
Kako riješiti neodređeni integral? Ovdje ćemo se osvrnuti na svojstva neodređenog integrala, što će nam biti korisno u rješavanju primjera.
- Derivacija integrala jednaka je integrandu:
- Konstanta se može izvući ispod znaka integrala:
- Integral zbroja jednak je zbroju integrala. Ovo vrijedi i za razliku:
Svojstva određenog integrala
- Linearnost:
- Predznak integrala se mijenja ako se granice integracije zamijene:
- Na bilo koji bodova a, b I S:
Već smo saznali da je određeni integral limit zbroja. Ali kako dobiti određenu vrijednost prilikom rješavanja primjera? Za to postoji Newton-Leibnizova formula:
Primjeri rješavanja integrala
U nastavku ćemo razmotriti nekoliko primjera pronalaženja neodređenih integrala. Predlažemo da sami shvatite zamršenost rješenja, a ako vam nešto nije jasno, postavite pitanja u komentarima.
Za učvršćivanje gradiva pogledajte video o tome kako se integrali rješavaju u praksi. Nemojte očajavati ako integral nije zadan odmah. Obratite se stručnoj službi za studente i svaki trostruki ili zakrivljeni integral po zatvorenoj plohi bit će u vašoj moći.
Proces rješavanja integrala u znanosti koja se zove matematika naziva se integracija. Pomoću integracije možete pronaći neke fizičke veličine: površinu, volumen, masu tijela i još mnogo toga.
Integrali mogu biti neodređeni i određeni. Razmotrimo oblik određenog integrala i pokušajmo razumjeti njegovo fizičko značenje. Predstavljen je u ovom obliku: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Posebnost pisanja određenog integrala iz neodređenog integrala je da postoje granice integracije a i b. Sada ćemo saznati zašto su potrebni i što određeni integral zapravo znači. U geometrijskom smislu, takav integral je jednak površini figure ograničene krivuljom f(x), pravcima a i b i osi Ox.
Sa slike 1 jasno je da je određeni integral isto područje koje je osjenčano sivom bojom. Provjerimo to na jednostavnom primjeru. Pronađimo površinu figure na donjoj slici pomoću integracije, a zatim je izračunajmo na uobičajeni način množenja duljine sa širinom.
Sa slike 2 jasno je da je $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Sada ih zamijenimo u definiciju integrala, dobivamo da je $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ Izvršimo provjeru na uobičajeni način. U našem slučaju, duljina = 3, širina figure = 1. $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ Kao što možete vidiš, sve savršeno pristaje.
Postavlja se pitanje kako riješiti neodređene integrale i koji je njihov smisao? Rješavanje takvih integrala je pronalaženje antiderivacijskih funkcija. Ovaj proces je suprotan od pronalaženja derivata. Za pronalaženje antiderivacije možete koristiti našu pomoć u rješavanju zadataka iz matematike ili trebate samostalno zapamtiti svojstva integrala i tablicu integracije najjednostavnijih elementarnih funkcija. Nalaz izgleda ovako: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(gdje je) F(x) $ antiderivacija $ f(x), C = const $.
Da biste riješili integral, trebate integrirati funkciju $ f(x) $ preko varijable. Ako je funkcija tablična, tada se odgovor piše u odgovarajućem obliku. Ako nije, onda se proces svodi na dobivanje tabularne funkcije iz funkcije $f(x)$ kroz lukave matematičke transformacije. Za to postoje različite metode i svojstva, koja ćemo dalje razmotriti.
Dakle, idemo sada izraditi algoritam za rješavanje integrala za lutke?
Algoritam za izračunavanje integrala
- Saznajmo definitivan integral ili ne.
- Ako je nedefinirano, trebate pronaći antiderivativnu funkciju $ F(x) $ integranda $ f(x) $ pomoću matematičkih transformacija koje vode do tabličnog oblika funkcije $ f(x) $.
- Ako je definirano, trebate izvršiti korak 2, a zatim zamijeniti limite $ a $ i $ b $ u antiderivacijsku funkciju $ F(x) $. Koju formulu koristiti za to saznat ćete u članku “Newton-Leibnizova formula”.
Primjeri rješenja
Dakle, naučili ste kako riješiti integrale za lutke, primjeri rješavanja integrala su razvrstani. Naučili smo njihovo fizičko i geometrijsko značenje. Metode rješenja bit će opisane u drugim člancima.
Definicija. Metoda integracije, u kojoj se dani integral reducira na jedan ili više tabličnih integrala pomoću identičnih transformacija integranda (ili izraza integranda) i primjenom svojstava neodređenog integrala izravna integracija .
Često se tijekom izravne integracije koriste sljedeće diferencijalne transformacije (operacija “upisivanja ispod diferencijalnog predznaka”):
Na primjer. 1) ;
Pri izračunu ovih integrala koristili smo se formulama 1 i 2 tablice integrala koja je dana u nastavku.
Tablica osnovnih neodređenih integrala.
- Metoda integracije supstitucijom (zamjena varijable).
Metoda integracije supstitucijom uključuje uvođenje nove integracijske varijable. U tom se slučaju zadani integral svodi na novi integral, koji je tablični ili se na njega može svesti.
Ova metoda integracije temelji se na sljedećem teoremu:
Teorema. Neka je funkcija f(x) predstavljena u obliku: f(x)=g(j(x))×j¢(x), tada ako je G(u) antiderivacija za g(u), tada je G( j( x)) je antiderivacija od g(j(x)). Odnosno, postoji jednakost: .
Na primjer.
- Metoda integracije po dijelovima.
Integracija po dijelovima sastoji se od predstavljanja integranda nekog integrala kao umnoška dva faktora u i dv, a zatim pomoću formule integracije po dijelovima.
Teorema Neka su funkcije u(x) i v(x) diferencijabilne, tada vrijedi formula:
Budući da je u¢(x)dx=du, v¢(x)dx=dv, formula se može prepisati kao:
Na primjer.
Formula za integraciju po dijelovima može se koristiti nekoliko puta tijekom procesa rješavanja.
Na primjer
Na primjer
Krenimo s desne strane jednakosti na lijevu:
Neke vrste integrala koje je prikladno izračunati pomoću metode integracije po dijelovima:
| ; ; , gdje je P(x) polinom od x, k je određeni broj | u=P(x), dv – ostali faktori |
| ; ; ; ; | dv=P(x)dh, u – svi ostali faktori |
| ; , gdje su a i b neki brojevi | , dv – ostali faktori |
- Integriranje racionalnih razlomaka.
Definicija Racionalno nazvat ćemo razlomke oblika , gdje su P n (x), Q m (x) polinomi n-tog, odnosno m-tog stupnja po x. Najjednostavniji racionalni razlomci uključuju razlomke četiri vrste:
Gdje su A i a neki realni brojevi, najjednostavniji razlomak prvi tip;
– prosti razlomak drugi tip;
– prosti razlomak treći tip;
– prosti razlomak četvrti tip.
Razmotrimo integraciju razlomaka prva tri tipa.
3) Integracija najjednostavnijeg razlomka treće vrste provodi se u dva stupnja. Pogledajmo proces integracije na primjeru.
(izvodnicu nazivnika odabiremo u brojniku za naknadni unos pod predznakom razlike: (x 2 +2x+3)¢=2x+2)
Definicija Racionalni razlomci nazivaju se ispraviti ako je stupanj polinoma u brojniku manji od stupnja polinoma u nazivniku i pogrešno ako je stupanj polinoma u brojniku veći ili jednak stupnju polinoma u nazivniku.
U slučaju nepravilnog racionalnog razlomka moguće je izdvojiti cijeli dio. Da biste to učinili, polinom iz brojnika dijeli se s ostatkom s polinomom u nazivniku. Rezultirajući kvocijent bit će cijeli dio, a ostatak će biti brojnik novog pravilnog racionalnog razlomka. Na primjer, odaberimo cijeli dio: .
Dakle, integracija racionalnih razlomaka u oba slučaja svodi se na integraciju pravilnog racionalnog razlomka, koji nije uvijek najjednostavniji racionalni razlomak jedne od četiri vrste.
Razmotrimo neki polinom Q(x). Neka je broj a korijen ovog polinoma, tada je Q(x)=(x-a)Q 1 (x), gdje je Q 1 (x) polinom stupnja 1 manjeg od stupnja Q(x). Broj a može biti korijen višestrukosti k, tada je Q(x) = (x-a) do Q 2 (x), gdje je Q 2 (x) polinom stupnja k manjeg od stupnja Q(x). Osim toga, polinom Q(x), uz realne korijene, može imati kompleksan korijen a+bi, tada će kompleksni broj a-bi također biti korijen Q(x). U ovom slučaju Q(x)=(x 2 +px+q)Q 3 (x), gdje je x 2 +px+q=(x-(a+bi))(x-(a-bi)). Ako su navedeni kompleksni brojevi korijeni višestrukosti m, tada je Q(x)=(x 2 +px+q) m Q 4 (x).
Dakle, bilo koji polinom Q(x) može se predstaviti kao:
Q(x)=(x-a 1) do 1 (x-a 2) do 2 ...(x-a n) k n (x 2 +p 1 x+q 1) m 1 (x 2 +p 2 x+ q 2) m 2 …(x 2 +p s x+q s) m s.
Teorema. Svaki pravi racionalni razlomak može se prikazati kao zbroj najjednostavnijih racionalnih razlomaka vrsta 1-4.
Na primjer. Razmotrimo algoritam za predstavljanje pravilnog racionalnog razlomka kao zbroja najjednostavnijih racionalnih razlomaka tipova 1-4.
Budući da su nazivnici razlomaka jednaki, očito je da i brojnici moraju biti jednaki, a ta je jednakost moguća ako su koeficijenti jednaki za iste potencije x-a. Dakle, zamjena njihovih vrijednosti umjesto neodređenih koeficijenata A, B, C: .
Na primjer Pronađite integral.
Integrand je nepravi racionalni razlomak. Nakon dijeljenja brojnika nazivnikom s ostatkom dobivamo: .
Rastavimo pravi racionalni razlomak na najjednostavnije razlomke koristeći metodu neodređenih koeficijenata:
Slijedi da Rješavanjem dobivenog sustava linearnih jednadžbi dobivamo Tada , odnosno = ;
Naći ćemo ga zasebno
Dakle, .
- Integracija trigonometrijskih funkcija.
1. Neka je potrebno pronaći , gdje je R neka funkcija
Pri pronalaženju takvih integrala često je korisno koristiti univerzalnu trigonometrijsku zamjenu: . Uz njegovu pomoć uvijek možete ići od integrala trigonometrijske funkcije do integrala racionalne funkcije:
H=2arctgt, .
2. Ako je funkcija R(sinx, cosx) neparna u odnosu na sinx, to jest, R(-sinx, cosx)=- R(sinx, cosx), tada upotrijebite zamjenu cosx=t;
3. Ako je funkcija R(sinx, cosx) neparna u odnosu na cosx, odnosno R(sinx, -cosx)=- R(sinx, cosx), tada upotrijebite zamjenu sinx=t;
4. Ako je funkcija R(sinx, cosx) parna u odnosu na sinx i cosx, tj. R(-sinx, -cosx)=R(sinx, cosx), tada upotrijebite zamjenu tgx=t; ista zamjena vrijedi u slučaju .
Na primjer.
Na primjer Nađi integral. Integrand je paran u odnosu na sinx, tada koristimo zamjenu tgx=t.
5. Da biste pronašli integrale oblika, koristite sljedeće tehnike:
a) ako je n neparan cijeli broj, tada upotrijebite zamjenu sinx=t;
b) ako je m neparan cijeli broj, onda se koristi zamjena sosx=t;
c) ako su m i n nenegativni parni cijeli brojevi, tada se koriste formule redukcije reda; ; ;
d) ako je m+n paran negativan cijeli broj, tada upotrijebite zamjenu tgx=t.
Na primjer. .
Na primjer.. ; svode se na integrale trigonometrijskih funkcija korištenjem sljedećih supstitucija:
a) za integral, supstitucija x=a×sint;
b) za integral, supstitucija x=a×tgt;
c) za integral, zamjena .
