Koja se sastoji od n materijalne bodove. Izaberimo određenu točku iz ovog sustava M j s masom m j. Kao što je poznato, vanjske i unutarnje sile djeluju na ovu točku.
Primijenimo to na stvar M j rezultanta svega unutarnje sile F j i a rezultanta svih vanjskih sila F j e(Slika 2.2). Za odabranu materijalnu točku M j(kao za slobodnu točku) napišemo teorem o promjeni količine gibanja u diferencijalni oblik (2.3):
Napišimo slične jednadžbe za sve točke mehanički sustav (j=1,2,3,…,n).
Slika 2.2
Zbrojimo sve dio po dio n jednadžbe:
∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)
d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)
Ovdje ∑m j ×V j =Q– količina gibanja mehaničkog sustava;
∑F j e = R e– glavni vektor svih vanjskih sila koje djeluju na mehanički sustav;
∑F j i = R i =0– glavni vektor unutarnjih sila sustava (prema svojstvu unutarnjih sila jednak je nuli).
Konačno, za mehanički sustav koji dobivamo
dQ/dt = Re. (2.11)
Izraz (2.11) je teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava u diferencijalnom obliku (u vektorskom izrazu): vremenska derivacija vektora količine gibanja mehaničkog sustava jednaka je glavnom vektoru svih vanjskih sila koje djeluju na sustav.
Projiciranjem vektorske jednakosti (2.11) na Kartezijeve koordinatne osi dobivamo izraze za teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava u koordinatnom (skalarnom) izrazu:
dQ x /dt = R x e;
dQ y /dt = R y e;
dQ z /dt = R z e, (2.12)
oni. vremenska derivacija projekcije količine gibanja mehaničkog sustava na bilo koju os jednaka je projekciji na tu os glavnog vektora svih vanjskih sila koje djeluju na taj mehanički sustav.
Množenje obje strane jednakosti (2.12) sa dt, dobivamo teorem u drugom diferencijalnom obliku:
dQ = R e × dt = δS e, (2.13)
oni. diferencijalna količina gibanja mehaničkog sustava jednaka je elementarnom impulsu glavnog vektora (zbroju elementarnih impulsa) svih vanjskih sila koje djeluju na sustav.
Integriranje jednakosti (2.13) unutar vremenske promjene od 0 do t, dobivamo teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava u konačnom (integralnom) obliku (u vektorskom izrazu):
Q - Q 0 = S e,
oni. promjena količine gibanja mehaničkog sustava u konačnom vremenskom razdoblju jednaka je ukupnom impulsu glavnog vektora (zbroju ukupnih impulsa) svih vanjskih sila koje djeluju na sustav tijekom istog vremenskog razdoblja..
Projiciranjem vektorske jednakosti (2.14) na Kartezijeve koordinatne osi dobivamo izraze za teorem u projekcijama (u skalarnom izrazu):
oni. promjena projekcije količine gibanja mehaničkog sustava na bilo koju os u konačnom vremenskom razdoblju jednaka je projekciji na istu os ukupnog impulsa glavnog vektora (zbroja ukupnih impulsa) svih vanjskih sila. djelujući na mehanički sustav tijekom istog vremenskog razdoblja.
Iz razmatranog teorema (2.11) – (2.15) slijede sljedeće korolacije:
- Ako R e = ∑F j e = 0, To Q = konst– imamo zakon održanja vektora količine gibanja mehaničkog sustava: ako glavni vektor R e svih vanjskih sila koje djeluju na mehanički sustav jednak nuli, tada vektor količine gibanja tog sustava ostaje konstantan po veličini i smjeru i jednak svojoj početnoj vrijednosti Q 0, tj. Q = Q 0.
- Ako R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), To Q x = konst– imamo zakon očuvanja projekcije na os količine gibanja mehaničkog sustava: ako je projekcija glavnog vektora svih sila koje djeluju na mehanički sustav na bilo koju os jednaka nuli, tada je projekcija na istu os vektor količine gibanja ovog sustava bit će konstantna vrijednost i jednak projekciji na ovu os početnog vektora količine gibanja, tj. Q x = Q 0x.
Diferencijalni oblik teorema o promjeni količine gibanja materijalni sustav ima važne i zanimljive primjene u mehanici kontinuum. Iz (2.11) možemo dobiti Eulerov teorem.
Pogled: ovaj članak je pročitan 14066 puta
Pdf Odaberite jezik... Ruski Ukrajinski Engleski
Cijeli materijal se preuzima iznad, nakon odabira jezika
Količina kretanja
Impuls materijalne točke - vektorska količina, jednak umnošku masu točke njezinim vektorom brzine.
Mjerna jedinica za količinu gibanja je (kg m/s).
Moment mehaničkog sustava - vektorska veličina jednaka geometrijskom zbroju (glavnom vektoru) količine gibanja mehaničkog sustava jednaka je umnošku mase cijelog sustava i brzine njegova središta mase.
Kada se tijelo (ili sustav) giba tako da mu centar mase miruje, tada je količina gibanja tijela jednaka nuli (npr. rotacija tijela oko fiksna os prolazeći kroz centar mase tijela).
Kada složeno kretanje, količina gibanja sustava neće karakterizirati rotacijski dio gibanja pri rotaciji oko središta mase. Odnosno, količina gibanja karakterizira samo translatorno gibanje sustava (zajedno sa središtem mase).
Impulsna sila
Impuls sile karakterizira djelovanje sile u određenom vremenskom razdoblju.
Impuls sile tijekom konačnog vremenskog razdoblja definira se kao integralni zbroj odgovarajućih elementarnih impulsa.
Teorem o promjeni količine gibanja materijalne točke
(u diferencijalnim oblicima e ):
Vremenska derivacija količine gibanja materijalne točke jednaka je geometrijskom zbroju sila koje djeluju na točke.
(V integralni oblik ):
Promjena količine gibanja materijalne točke u određenom vremenskom razdoblju jednaka je geometrijskom zbroju impulsa sila koji djeluju na točku tijekom tog vremenskog razdoblja.
Teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava
(u diferencijalnom obliku ):
Vremenska derivacija količine gibanja sustava jednaka je geometrijskom zbroju svih vanjskih sila koje djeluju na sustav.
(u integralnom obliku ):
Promjena količine gibanja sustava u određenom vremenskom razdoblju jednaka je geometrijskom zbroju impulsa vanjskih sila koje djeluju na sustav u tom vremenskom razdoblju.
Teorem omogućuje isključivanje očito nepoznatih unutarnjih sila iz razmatranja.
Teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava i teorem o gibanju središta mase dva su različita oblika istog teorema.
Zakon očuvanja količine gibanja sustava
- Ako je zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na sustav jednak nuli, tada će vektor količine gibanja sustava biti konstantan po smjeru i veličini.
- Ako je zbroj projekcija svih vanjskih sila koje djeluju na bilo koju proizvoljnu os jednak nuli, tada je projekcija količine gibanja na tu os konstantna vrijednost.
zaključke:
- Zakoni očuvanja pokazuju da unutarnje sile ne mogu promijeniti ukupnu količinu gibanja sustava.
- Teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava ne karakterizira rotacijsko gibanje mehaničkog sustava, već samo translatorno.
Naveden je primjer: Odredite količinu gibanja diska određene mase ako su poznati njegova kutna brzina i veličina.
Primjer proračuna čeličnog zupčanika
Primjer proračuna cilindričnog zupčanika. Proveden je izbor materijala, proračun dopuštenih naprezanja, proračun kontaktne i savojne čvrstoće.
Primjer rješavanja problema savijanja grede
U primjeru su konstruirani dijagrami poprečnih sila i momenata savijanja, pronađen je opasan presjek i odabran je I-nosač. Problem je analizirao konstrukciju dijagrama pomoću diferencijalnih ovisnosti, provedeno komparativna analiza različiti presjeci grede.
Primjer rješavanja problema torzije vratila
Zadatak je ispitati čvrstoću čelične osovine pri zadanom promjeru, materijalu i dopuštenom naprezanju. Tijekom rješavanja konstruiraju se dijagrami momenta, posmičnih naprezanja i kutova uvijanja. Vlastita težina osovine se ne uzima u obzir
Primjer rješavanja zadatka napetost-stlačenje štapa
Zadatak je ispitivanje čvrstoće čelične šipke pri zadanim dopuštenim naprezanjima. Tijekom rješavanja konstruiraju se dijagrami uzdužnih sila, normalan stres i kretanja. Vlastita težina štapa nije uzeta u obzir
Primjena teorema o održanju kinetičke energije
Primjer rješavanja zadatka pomoću teorema o održanju kinetičke energije mehaničkog sustava
Određivanje brzine i ubrzanja točke pomoću zadanih jednadžbi gibanja
Primjer rješavanja zadatka određivanja brzine i ubrzanja točke pomoću zadanih jednadžbi gibanja
Određivanje brzina i ubrzanja točaka krutog tijela tijekom planparalelnog gibanja
Primjer rješavanja zadatka određivanja brzina i ubrzanja točaka krutog tijela tijekom planparalelnog gibanja
Određivanje sila u šipkama ravne rešetke
Primjer rješavanja problema određivanja sila u šipkama ravne rešetke metodom Ritter i metodom rezanja čvorova
Primjena teorema o promjeni kutne količine gibanja
Primjer rješavanja zadatka pomoću teorema o promjeni kutne količine gibanja za određivanje kutna brzina tijelo koje rotira oko nepomične osi.
Promotrimo sustav koji se sastoji od materijalnih točaka. Skladajmo za ovaj sustav diferencijalne jednadžbe kretanja (13) i zbrojite ih pojam po pojam. Onda dobivamo
Posljednji zbroj, zbog svojstva unutarnjih sila, jednak je nuli. Osim,
Napokon nalazimo
Jednadžba (20) izražava teorem o promjeni količine gibanja sustava u diferencijalnom obliku: vremenska derivacija količine gibanja sustava jednaka je geometrijskom zbroju svih vanjskih sila koje djeluju na sustav. U projekcijama na koordinatne osi bit će:
Pronađimo drugi izraz za teorem. Neka je u trenutku vremena količina gibanja sustava jednaka i u trenutku postaje jednaka . Zatim, množenjem obje strane jednakosti (20) i integracijom, dobivamo
budući da integrali s desne strane daju impulse vanjskih sila.
Jednadžba (21) izražava teorem o promjeni količine gibanja sustava u integralnom obliku: promjena količine gibanja sustava u određenom vremenskom razdoblju jednaka je zbroju impulsa koji djeluju na sustav vanjskih sila tijekom isto vremensko razdoblje.
U projekcijama na koordinatne osi bit će:
Istaknimo vezu između dokazanog teorema i teorema o gibanju središta mase. Budući da , dakle, supstituirajući tu vrijednost u jednakost (20) i uzimajući u obzir da dobivamo , tj. jednadžbu (16).
Prema tome, teorem o gibanju središta mase i teorem o promjeni količine gibanja sustava u biti su dva različita oblika istog teorema. U slučajevima kada se proučava gibanje krutog tijela (ili sustava tijela), bilo koji od ovih oblika može se koristiti jednako, a jednadžba (16) je obično praktičnija za korištenje. Za kontinuirani medij (tekućina, plin) pri rješavanju zadataka obično koriste teorem o promjeni količine gibanja sustava. Ovaj teorem također ima važne primjene u teoriji udara (vidi Poglavlje XXXI) iu proučavanju mlazni pogon(vidi § 114).
Opći teoremi o dinamici sustava tijela. Teoremi o kretanju središta mase, o promjeni količine gibanja, o promjeni glavne kutne količine gibanja, o promjeni kinetičke energije. D'Alembertova načela i mogući pokreti. Opća jednadžba dinamike. Lagrangeove jednadžbe.
SadržajPosao koji obavlja sila, je jednako skalarni proizvod vektori sile i infinitezimalni pomak točke njezine primjene:
,
odnosno umnožak apsolutnih vrijednosti vektora F i ds s kosinusom kuta između njih.
Rad koji izvrši moment sile, jednak je skalarnom umnošku vektora momenta i infinitezimalnog kuta rotacije:
.
d'Alembertov princip
Bit d'Alembertova principa je svođenje problema dinamike na probleme statike. Za to se pretpostavlja (ili je unaprijed poznato) da tijela sustava imaju određena (kutna) ubrzanja. Zatim se uvode inercijske sile i (ili) momenti inercijskih sila koji su po veličini jednaki i suprotnog smjera silama i momentima sila koje bi, prema zakonima mehanike, stvarale zadane akceleracije ili kutne akceleracije.
Pogledajmo primjer. Tijelo se translatorno giba i na njega djeluju vanjske sile. Nadalje pretpostavljamo da te sile stvaraju akceleraciju središta mase sustava. Prema teoremu o gibanju središta mase, središte mase tijela imalo bi istu akceleraciju da na tijelo djeluje sila. Zatim uvodimo silu inercije:
.
Nakon toga, problem dinamike:
.
;
.
Za rotacijsko gibanje postupite na isti način. Neka tijelo rotira oko osi z i na njega djeluju vanjski momenti sile M e zk . Pretpostavljamo da ti trenuci stvaraju kutno ubrzanjeε z . Zatim uvodimo moment sila tromosti M I = - J z ε z. Nakon toga, problem dinamike:
.
Pretvara se u problem statike:
;
.
Princip mogućih kretanja
Za rješavanje problema statike koristi se princip mogućih pomaka. U nekim problemima daje više kratko rješenje nego sastavljanje jednadžbi ravnoteže. To posebno vrijedi za sustave s vezama (na primjer, sustave tijela povezanih nitima i blokovima) koji se sastoje od mnogo tijela
Princip mogućih kretanja.
Za ravnotežu mehaničkog sustava s idealnim vezama potrebno je i dovoljno da zbroj elementarnih radova svih aktivnih sila koje na njega djeluju za svako moguće kretanje sustava bude jednak nuli.
Moguće premještanje sustava- ovo je mali pokret u kojem se ne prekidaju veze nametnute sustavu.
Idealne veze- to su spojevi koji ne obavljaju rad kada se sustav kreće. Točnije, količina rada koju obavljaju same veze pri pomicanju sustava je nula.
Opća jednadžba dinamike (D'Alembert - Lagrangeov princip)
D'Alembert-Lagrangeov princip kombinacija je D'Alembertovog principa s principom mogućih gibanja. Odnosno, kod rješavanja dinamičkog problema uvodimo inercijske sile i problem svodimo na statički problem koji rješavamo na principu mogućih pomaka.
D'Alembert-Lagrangeov princip.
Kada se mehanički sustav s idealnim vezama giba, u svakom trenutku zbroj elementarnih radova svih primijenjenih aktivnih sila i svih inercijskih sila na bilo koje moguće kretanje sustava jednak je nuli:
.
Ova se jednadžba zove opća jednadžba zvučnici.
Lagrangeove jednadžbe
Generalizirane q koordinate 1, q 2, ..., q n je skup od n veličina koje jednoznačno određuju položaj sustava.
Broj generaliziranih koordinata n podudara se s brojem stupnjeva slobode sustava.
Generalizirane brzine su derivacije generaliziranih koordinata u odnosu na vrijeme t.
Generalizirane sile Q 1, Q 2, ..., Q n
.
Razmotrimo moguće kretanje sustava pri kojem će koordinata q k primiti kretanje δq k. Preostale koordinate ostaju nepromijenjene. Neka je δA k rad vanjskih sila tijekom takvog gibanja. Zatim
δA k = Q k δq k , odn
.
Ako se pri eventualnom gibanju sustava sve koordinate mijenjaju, tada rad vanjskih sila tijekom takvog gibanja ima oblik:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Tada su generalizirane sile parcijalne derivacije rada na pomacima:
.
Za potencijalne snage s potencijalom Π,
.
Lagrangeove jednadžbe su jednadžbe gibanja mehaničkog sustava u generaliziranim koordinatama:
Ovdje T- kinetička energija. To je funkcija generaliziranih koordinata, brzina i, moguće, vremena. Stoga je njegova parcijalna derivacija također funkcija generaliziranih koordinata, brzina i vremena. Zatim, morate uzeti u obzir da su koordinate i brzine funkcije vremena. Stoga, da biste pronašli ukupnu derivaciju s obzirom na vrijeme, morate primijeniti pravilo diferenciranja složena funkcija:
.
Reference:
S. M. Targ, Kratki tečaj teorijska mehanika," postdiplomske studije“, 2010.
