Korištenje zdravstvenog osiguranja u rješavanju problema povezano je s određenim poteškoćama. Stoga se između karakteristika gibanja i sila obično uspostavljaju dodatni odnosi koji su pogodniji za praktičnu primjenu. Takvi odnosi su opći teoremi dinamike. Oni, kao posljedice OMS-a, uspostavljaju odnose između brzine promjene nekih posebno uvedenih mjera kretanja i karakteristika vanjskih sila.
Teorem o promjeni količine gibanja. Uvedimo pojam vektora količine gibanja (R. Descartes) materijalna točka(Sl. 3.4):
I i = t V G (3.9)
Riža. 3.4.
Za sustav uvodimo koncept glavni vektor impulsa sustava kao geometrijski zbir:
Q = Y, m " V r
U skladu s OZMS: Xu, -^=i) ili X
R (E) .
Uzimajući u obzir da je /w, = const dobivamo: -Ym,!" = R (E),
ili u konačnom obliku
dO/di = A (E (3.11)
oni. prva derivacija po vremenu glavnog vektora količine gibanja sustava jednaka je glavnom vektoru vanjskih sila.
Teorem o gibanju centra mase. Središte mase sustava zove se geometrijska točka čiji položaj ovisi o T, itd. iz raspodjele masa /g/, u sustavu i određuje se izrazom za radijus vektor centra mase (sl. 3.5):
Gdje g s - radijus vektor centra mase.
Riža. 3.5.
Nazovimo = t s masom sustava. Nakon množenja izraza
primjenom (3.12) na nazivnik i diferenciranjem obje strane dobivenog
imat ćemo vrijednu jednakost: g s t s = ^t.U. = 0, ili 0 = t s U s.
Dakle, glavni vektor količine gibanja sustava jednak je umnošku mase sustava i brzine centra mase. Koristeći teorem o promjeni količine gibanja (3.11), dobivamo:
t s dU s / dí = A (E) , ili
Formula (3.13) izražava teorem o kretanju središta mase: središte mase sustava kreće se kao materijalna točka koja ima masu sustava, na koju djeluje glavni vektor vanjskih sila.
Teorem o promjeni kutne količine gibanja. Uvedimo pojam kutne količine gibanja materijalne točke kao vektorski proizvod njegov radijus vektor i impuls:
za oh = bl x da, (3.14)
Gdje za OI - kutni moment materijalne točke u odnosu na fiksnu točku OKO(Slika 3.6).
Sada odredimo kutni moment mehanički sustav kao geometrijski zbir:
K() = X ko, = ŠU, ? O-15>
Diferenciranjem (3.15) dobivamo:
Ґ sek--- X t i U. + g u x t i
S obzirom na to = U G U i x t i u i= 0, a formulom (3.2) dobivamo:
síK a /s1í̈ - í̈ 0 .
Na temelju drugog izraza u (3.6) konačno ćemo imati teorem o promjeni kutne količine gibanja sustava:
Prva vremenska derivacija momenta količine gibanja mehaničkog sustava u odnosu na nepomično središte O jednaka je glavnom momentu vanjskih sila koje djeluju na taj sustav u odnosu na isto središte.
Pri izvođenju relacije (3.16) pretpostavljeno je da OKO- fiksna točka. Međutim, može se pokazati da se u nizu drugih slučajeva oblik relacije (3.16) neće promijeniti, osobito ako je u ravninskom gibanju trenutna točka odabrana u središtu mase, trenutnom središtu brzina ili ubrzanja. Osim toga, ako je točka OKO poklapa s pokretnom materijalnom točkom, jednakost (3.16) zapisana za tu točku pretvorit će se u identitet 0 = 0.
Teorem o promjeni kinetičke energije. Kada se mehanički sustav kreće, mijenjaju se i "vanjska" i unutarnja energija sustava. Ako karakteristike unutarnje sile, glavni vektor i glavna točka, ne utječu na promjenu glavnog vektora i glavnog momenta broja ubrzanja, dakle unutarnje sile mogu se uključiti u procjene procesa energetsko stanje sustava. Stoga, kada se razmatraju promjene energije sustava, potrebno je uzeti u obzir kretanja pojedinih točaka, na koje također djeluju unutarnje sile.
Kinetička energija materijalne točke definirana je kao veličina
T^tuTsg. (3.17)
Kinetička energija mehaničkog sustava jednaka je zbroju kinetičkih energija materijalnih točaka sustava:
primijeti da T > 0.
Definirajmo snagu sile kao skalarni umnožak vektora sile i vektora brzine:
S velikim brojem materijalnih točaka uključenih u mehanički sustav, ili ako uključuje apsolutno kruta tijela (), koja ne kretanje naprijed, korištenje sustava diferencijalnih jednadžbi gibanja u rješavanju glavnog problema dinamike mehaničkog sustava pokazalo se praktički nemogućim. Međutim, kada se rješavaju mnogi inženjerski problemi, nema potrebe određivati kretanje svake točke mehaničkog sustava posebno. Ponekad je dovoljno izvući zaključke o najvažnijim aspektima procesa gibanja koji se proučava bez potpunog rješavanja sustava jednadžbi gibanja. Ovi nalazi iz diferencijalne jednadžbe gibanja mehaničkog sustava čine sadržaj općih teorema dinamike. Opći teoremi nas, prvo, oslobađaju potrebe da u svakom pojedinom slučaju provodimo one matematičke transformacije koje su zajedničke različitim problemima i provode se jednom zauvijek pri izvođenju teorema iz diferencijalnih jednadžbi gibanja. Drugo, opći teoremi daju vezu između općih agregiranih karakteristika gibanja mehaničkog sustava, koje imaju jasno fizičko značenje. ove Opće karakteristike, kao što su zamah, kutni zamah, kinetička energija mehanički sustav nazivaju se mjere gibanja mehaničkog sustava.
Prva mjera gibanja je količina gibanja mehaničkog sustava.
|
M k
|
Neka nam je dan mehanički sustav koji se sastoji od |
materijalne bodove 
.Položaj svake točke mase 
određena u inercijalnom referentnom okviru 
radijus vektor 
(Slika 13.1) .
Neka 
- brzina točka 
.Količina gibanja materijalne točke je vektorska mjera njezina gibanja, jednaka umnošku mase točke i njezine brzine:
.
Količina gibanja mehaničkog sustava je vektorska mjera njegovog gibanja, jednak zbroju količine kretanja njegovih točaka:
, (13.1)
Transformirajmo desnu stranu formule (23.1):
Gdje 
- masa cijelog sustava, 
- brzina centra mase.
Stoga, količina gibanja mehaničkog sustava jednaka je količini gibanja njegova središta mase ako je u njemu koncentrirana cjelokupna masa sustava:
.
Impulsna sila
Umnožak sile i elementarnog vremenskog intervala njezina djelovanja 
nazvan elementarni impuls sile.
Impuls moći 
kroz neko vremensko razdoblje naziva se integralom elementarnog impulsa sile
.
Teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava
Neka za svaku točku 
mehanički sustav djeluje kao rezultanta vanjskih sila 
a rezultanta unutarnjih sila 
.
Razmotrimo osnovne jednadžbe dinamike mehaničkog sustava
Zbrajanje jednadžbi (13.2) član po član za n bodova sustava, dobivamo
(13.3)
Prvi zbroj na desnoj strani jednak je glavnom vektoru 
vanjske sile sustava. Drugi zbroj je jednak nuli zbog svojstva unutarnjih sila sustava. Razmotrimo lijevu stranu jednakosti (13.3):
Dakle, dobivamo:
, (13.4)
ili u projekcijama na koordinatne osi
(13.5)
Jednadžbe (13.4) i (13.5) izražavaju teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava:
Vremenska derivacija količine gibanja mehaničkog sustava jednaka je glavnom vektoru svih vanjskih sila mehaničkog sustava.
Ovaj se teorem također može prikazati u integralnom obliku integracijom obje strane jednakosti (13.4) tijekom vremena unutar raspona od t 0 do t:
, (13.6)
Gdje 
, a integral s desne strane je impuls vanjskih sila za
vrijeme t-t 0 .
Jednakost (13.6) predstavlja teorem u integralnom obliku:
Prirast količine gibanja mehaničkog sustava tijekom konačnog vremena jednak je impulsu vanjskih sila tijekom tog vremena.
Teorem se također naziva teorem o količini gibanja.
U projekcijama na koordinatne osi, teorem će biti napisan kao:
Korolari (zakoni očuvanja količine gibanja)
1). Ako je glavni vektor vanjskih sila za razmatrano vremensko razdoblje jednak nuli, tada je količina gibanja mehaničkog sustava konstantna, tj. Ako 
,
.
2). Ako je projekcija glavnog vektora vanjskih sila na bilo koju os u promatranom vremenskom razdoblju nula, tada je projekcija momenta mehaničkog sustava na ovu os konstantna,
oni. Ako 
Da 
.
Opći teoremi dinamike- ovo je teorem o gibanju središta mase mehaničkog sustava, teorem o promjeni količine gibanja, teorem o promjeni glavne kutne količine gibanja (kinetičkog momenta) i teorem o promjeni kinetičke energije mehaničkog sustava.
Teorem o gibanju središta mase mehaničkog sustava
Teorem o gibanju centra mase.
Umnožak mase sustava i ubrzanja njegova središta mase jednak je vektorskom zbroju svih vanjskih sila koje djeluju na sustav:
.
Ovdje je M masa sustava:
;
a C je akceleracija središta mase sustava:
;
v C - brzina centra mase sustava:
;
r C - radijus vektor (koordinate) središta mase sustava:
;
- koordinate (u odnosu na fiksno središte) i mase točaka koje čine sustav.
Teorem o promjeni količine gibanja (momenta)
Količina gibanja (impulsa) sustava jednak je umnošku mase cijelog sustava i brzine njegovog središta mase ili zbroju momenta (zbroja impulsa) pojedinačnih točaka ili dijelova koji čine sustav:
.
Teorem o promjeni količine gibanja u diferencijalnom obliku.
Vremenska derivacija količine gibanja (momenta) sustava jednaka je vektorskom zbroju svih vanjskih sila koje djeluju na sustav:
.
Teorem o promjeni količine gibanja u integralnom obliku.
Promjena količine gibanja (momenta) sustava u određenom vremenskom razdoblju jednaka je zbroju impulsa vanjskih sila u istom vremenskom razdoblju:
.
Zakon očuvanja količine gibanja (momenta).
Ako je zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na sustav jednak nuli, tada će vektor količine gibanja sustava biti konstantan. To jest, sve njegove projekcije na koordinatnim osima zadržat će konstantne vrijednosti.
Ako je zbroj projekcija vanjskih sila na bilo koju os nula, tada će projekcija količine gibanja sustava na tu os biti konstantna.
Teorem o promjeni glavne kutne količine gibanja (teorem momenata)
Glavna kutna količina gibanja sustava u odnosu na dano središte O je veličina jednaka vektorskom zbroju kutne količine gibanja svih točaka sustava u odnosu na to središte:
.
Ovdje uglate zagrade označavaju križni umnožak.
Priloženi sustavi
Sljedeći teorem primjenjuje se na slučaj kada mehanički sustav ima fiksnu točku ili os koja je nepomična u odnosu na inercijalni referentni okvir. Na primjer, tijelo pričvršćeno sfernim ležajem. Ili sustav tijela koja se kreću oko fiksnog središta. To može biti i nepomična os oko koje se okreće tijelo ili sustav tijela. U ovom slučaju momente treba shvatiti kao momente impulsa i sila u odnosu na nepomičnu os.
Teorem o promjeni glavne kutne količine gibanja (teorem momenata)
Vremenska derivacija glavne kutne količine gibanja sustava u odnosu na neko nepomično središte O jednaka je zbroju momenata svih vanjskih sila sustava u odnosu na isto središte.
Zakon očuvanja glavne kutne količine gibanja (kutne količine gibanja).
Ako je zbroj momenata svih vanjskih sila primijenjenih na sustav u odnosu na određeno fiksno središte O jednak nuli, tada će glavni kutni moment sustava u odnosu na to središte biti konstantan. To jest, sve njegove projekcije na koordinatnim osima zadržat će konstantne vrijednosti.
Ako zbroj momenata vanjskih sila u odnosu na neke fiksna os jednak nuli, tada će kutni moment sustava u odnosu na ovu os biti konstantan.
Proizvoljni sustavi
Sljedeći teorem ima univerzalni karakter. Primjenjuje se i na fiksne i na pokretne sustave. Kod fiksnih sustava potrebno je voditi računa o reakcijama spojeva na fiksnim točkama. Razlikuje se od prethodnog teorema po tome što umjesto fiksne točke O treba uzeti središte mase C sustava.
Teorem momenata o središtu mase
Vremenska derivacija glavne kutne količine gibanja sustava u odnosu na središte mase C jednaka je zbroju momenata svih vanjskih sila sustava u odnosu na isto središte.
Zakon održanja kutne količine gibanja.
Ako je zbroj momenata svih vanjskih sila primijenjenih na sustav u odnosu na središte mase C jednak nuli, tada će glavni moment količine gibanja sustava u odnosu na to središte biti konstantan. To jest, sve njegove projekcije na koordinatnim osima zadržat će konstantne vrijednosti.
Moment inercije tijela
Ako tijelo rotira oko osi z s kutnom brzinom ω z, tada je njegov kutni moment (kinetički moment) u odnosu na os z određen formulom:
L z = J z ω z ,
gdje je J z moment tromosti tijela u odnosu na os z.
Moment tromosti tijela u odnosu na os z određuje se formulom:
,
gdje je h k udaljenost od točke mase m k do osi z.
Za tanak prsten mase M i polumjera R, ili cilindar čija je masa raspoređena po obodu,
J z = M R 2
.
Za čvrsti homogeni prsten ili cilindar,
.
Steiner-Huygensov teorem.
Neka je Cz os koja prolazi kroz centar mase tijela, Oz os koja je s njim paralelna. Tada su momenti tromosti tijela u odnosu na te osi povezani relacijom:
J Oz = J Cz + M a 2
,
gdje je M tjelesna težina; a je udaljenost između osi.
U općenitijem slučaju:
,
gdje je tenzor tromosti tijela.
Ovdje je vektor povučen iz središta mase tijela u točku mase m k.
Teorem o promjeni kinetičke energije
Neka tijelo mase M izvodi translatorno i rotacijsko gibanje kutnom brzinom ω oko neke osi z. Tada se kinetička energija tijela određuje formulom:
,
gdje je v C brzina gibanja centra mase tijela;
J Cz je moment tromosti tijela u odnosu na os koja prolazi kroz središte mase tijela paralelno s osi rotacije. Smjer rotacijske osi može se mijenjati tijekom vremena. Ova formula daje trenutnu vrijednost kinetičke energije.
Teorem o promjeni kinetičke energije sustava u diferencijalnom obliku.
Diferencijal (prirast) kinetičke energije sustava tijekom nekog gibanja jednak je zbroju diferencijala rada na to gibanje svih vanjskih i unutarnjih sila koje djeluju na sustav:
.
Teorem o promjeni kinetičke energije sustava u integralnom obliku.
Promjena kinetičke energije sustava tijekom nekog gibanja jednaka je zbroju rada na tom gibanju svih vanjskih i unutarnjih sila koje djeluju na sustav:
.
Posao koji obavlja sila, je jednako skalarni proizvod vektori sile i infinitezimalni pomak točke njezine primjene:
,
odnosno umnožak apsolutnih vrijednosti vektora F i ds s kosinusom kuta između njih.
Rad koji izvrši moment sile, jednak je skalarnom umnošku vektora momenta i infinitezimalnog kuta rotacije:
.
d'Alembertov princip
Bit d'Alembertova principa je svođenje problema dinamike na probleme statike. Za to se pretpostavlja (ili je unaprijed poznato) da tijela sustava imaju određena (kutna) ubrzanja. Zatim se uvode inercijske sile i (ili) momenti inercijskih sila koji su po veličini jednaki i suprotnog smjera silama i momentima sila koje bi, prema zakonima mehanike, stvarale zadane akceleracije ili kutne akceleracije.
Pogledajmo primjer. Tijelo se translatorno giba i na njega djeluju vanjske sile. Nadalje pretpostavljamo da te sile stvaraju akceleraciju središta mase sustava. Prema teoremu o gibanju središta mase, središte mase tijela imalo bi istu akceleraciju da na tijelo djeluje sila. Zatim uvodimo silu inercije:
.
Nakon ovoga, problem dinamike:
.
;
.
Za rotacijsko kretanje učiniti isto. Neka tijelo rotira oko osi z i na njega djeluju vanjski momenti sile M e zk . Pretpostavljamo da ti momenti stvaraju kutnu akceleraciju ε z. Zatim uvodimo moment sila tromosti M I = - J z ε z. Nakon ovoga, problem dinamike:
.
Pretvara se u problem statike:
;
.
Princip mogućih kretanja
Za rješavanje problema statike koristi se princip mogućih pomaka. U nekim problemima daje više kratko rješenje nego sastavljanje jednadžbi ravnoteže. To posebno vrijedi za sustave s vezama (na primjer, sustave tijela povezanih nitima i blokovima) koji se sastoje od mnogo tijela
Princip mogućih kretanja.
Za ravnotežu mehaničkog sustava s idealnim vezama potrebno je i dovoljno da zbroj elementarnih radova svih aktivnih sila koje na njega djeluju za svako moguće kretanje sustava bude jednak nuli.
Moguće premještanje sustava- ovo je mali pokret u kojem se ne prekidaju veze nametnute sustavu.
Idealne veze- to su spojevi koji ne obavljaju rad kada se sustav kreće. Točnije, količina rada koju obavljaju same veze pri pomicanju sustava je nula.
Opća jednadžba dinamike (D'Alembert - Lagrangeov princip)
D'Alembert-Lagrangeov princip kombinacija je D'Alembertovog principa s principom mogućih gibanja. Odnosno, kod rješavanja dinamičkog problema uvodimo inercijske sile i problem svodimo na statički problem koji rješavamo na principu mogućih pomaka.
D'Alembert-Lagrangeov princip.
Kada se mehanički sustav s idealnim vezama giba, u svakom trenutku zbroj elementarnih radova svih primijenjenih aktivnih sila i svih inercijskih sila na bilo koje moguće kretanje sustava jednak je nuli:
.
Ova se jednadžba zove opća jednadžba zvučnici.
Lagrangeove jednadžbe
Generalizirane q koordinate 1, q 2, ..., q n je skup od n veličina koje jednoznačno određuju položaj sustava.
Broj generaliziranih koordinata n podudara se s brojem stupnjeva slobode sustava.
Generalizirane brzine su derivacije generaliziranih koordinata u odnosu na vrijeme t.
Generalizirane sile Q 1, Q 2, ..., Q n
.
Razmotrimo moguće kretanje sustava pri kojem će koordinata q k primiti kretanje δq k. Preostale koordinate ostaju nepromijenjene. Neka je δA k rad vanjskih sila tijekom takvog gibanja. Zatim
δA k = Q k δq k , odn
.
Ako se pri mogućem gibanju sustava sve koordinate mijenjaju, tada rad vanjskih sila tijekom takvog gibanja ima oblik:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Tada su generalizirane sile parcijalne derivacije rada na pomacima:
.
Za potencijalne snage s potencijalom Π,
.
Lagrangeove jednadžbe- ovo su jednadžbe gibanja mehaničkog sustava u generaliziranim koordinatama:
Ovdje je T kinetička energija. To je funkcija generaliziranih koordinata, brzina i, moguće, vremena. Stoga je njegova parcijalna derivacija također funkcija generaliziranih koordinata, brzina i vremena. Zatim, morate uzeti u obzir da su koordinate i brzine funkcije vremena. Stoga, da biste pronašli ukupnu derivaciju s obzirom na vrijeme, morate primijeniti pravilo diferenciranja složena funkcija:
.
Reference:
S. M. Targ, Kratki tečaj teorijska mehanika," postdiplomske studije“, 2010.
Često je moguće identificirati važne značajke gibanja mehaničkog sustava bez pribjegavanja integriranju sustava diferencijalnih jednadžbi gibanja. To se postiže primjenom općih teorema dinamike.
5.1. Osnovni pojmovi i definicije
Vanjske i unutarnje sile. Svaka sila koja djeluje na točku u mehaničkom sustavu nužno je ili aktivna sila ili reakcija sprezanja. Cijeli skup sila koje djeluju na točke sustava možemo različito podijeliti u dvije klase: vanjske sile i unutarnje sile (indeksi e i i - od latinskih riječi externus - vanjski i internus - unutarnji). Vanjske sile su one koje na točke sustava djeluju iz točaka i tijela koja nisu dio promatranog sustava. Sile međudjelovanja između točaka i tijela razmatranog sustava nazivaju se unutarnjim.
Ova podjela ovisi o tome koje materijalne točke i tijela istraživač uključuje u razmatrani mehanički sustav. Ako proširimo sastav sustava uključivanjem dodatnih točaka i tijela, tada neke sile koje su bile vanjske za prethodni sustav mogu postati unutarnje za prošireni sustav.
Svojstva unutarnjih sila. Budući da su te sile sile međudjelovanja između dijelova sustava, one ulaze u cjelovit sustav unutarnjih sila u “dvoje”, organizirane u skladu s aksiomom akcija-reakcija. Svaka takva "dvojka" ima jake strane
glavni vektor i glavni moment oko proizvoljnog središta jednaki su nuli. Budući da se kompletan sustav unutarnjih sila sastoji samo od “dvojki”, onda
1) glavni vektor sustava unutarnjih sila je nula,
2) glavni moment sustava unutarnjih sila u odnosu na proizvoljnu točku jednak je nuli.
Masa sustava je aritmetički zbroj masa mk svih točaka i tijela koja čine sustav:
Centar mase(središte tromosti) mehaničkog sustava je geometrijska točka C čiji su radijus vektor i koordinate određeni formulama
gdje su radijus vektori i koordinate točaka koje tvore sustav.
Za kruto tijelo koje se nalazi u jednoličnom gravitacijskom polju, položaji centra mase i centra gravitacije se podudaraju; u ostalim slučajevima to su različite geometrijske točke.
Zajedno s inercijalnim referentnim sustavom često se istovremeno razmatra i neinercijalni referentni sustav koji se giba translatorno. Njegove koordinatne osi (Königove osi) odabrane su tako da se ishodište C stalno poklapa sa središtem mase mehaničkog sustava. U skladu s definicijom, centar mase je nepomičan u Koenigovim osima i nalazi se u ishodištu koordinata.
Moment tromosti sustava u odnosu na os je skalarna veličina jednaka zbroju umnožaka masa mk svih točaka sustava s kvadratima njihovih udaljenosti od osi:
Ako je mehanički sustav kruto tijelo, za pronalaženje 12 možete koristiti formulu
gdje je gustoća, volumen koji tijelo zauzima.
Teorijska mehanika je dio mehanike koji izlaže osnovne zakone mehaničkog gibanja i mehaničkog međudjelovanja materijalnih tijela.
Teorijska mehanika je znanost koja proučava kretanje tijela u vremenu (mehanička gibanja). Služi kao osnova za druge grane mehanike (teorija elastičnosti, čvrstoća materijala, teorija plastičnosti, teorija mehanizama i strojeva, hidroaerodinamika) i mnoge tehničke discipline.
Mehaničko kretanje je promjena tijekom vremena međusobni položaj u prostoru materijalnih tijela.
Mehanička interakcija- ovo je interakcija uslijed koje se mijenja mehaničko kretanje ili se mijenja međusobni položaj dijelova tijela.
Statika krutog tijela
Statika je dio teorijske mehanike koji se bavi problemima ravnoteže čvrstih tijela i transformacije jednog sustava sila u drugi, njemu ekvivalentan.
- Osnovni pojmovi i zakoni statike
- Apsolutno kruto tijelo(čvrsto tijelo, tijelo) je materijalno tijelo, udaljenost između bilo koje točke u kojem se ne mijenja.
- Materijalna točka je tijelo čije se dimenzije, prema uvjetima zadatka, mogu zanemariti.
- Slobodno tijelo- ovo je tijelo čije kretanje nema ograničenja.
- Neslobodno (vezano) tijelo je tijelo čije je kretanje podložno ograničenjima.
- Veze– to su tijela koja sprječavaju kretanje dotičnog objekta (tijela ili sustava tijela).
- Komunikacijska reakcija je sila koja karakterizira djelovanje veze na čvrsto tijelo. Ako silu kojom čvrsto tijelo djeluje na vezu smatramo akcijom, tada je reakcija veze reakcija. U tom slučaju na spoj djeluje sila - djelovanje, a na čvrsto tijelo reakcija spoja.
- Mehanički sustav je skup međusobno povezanih tijela ili materijalnih točaka.
- Čvrsto može se smatrati mehaničkim sustavom čiji se položaji i udaljenosti između točaka ne mijenjaju.
- Sila je vektorska veličina koja karakterizira mehaničko djelovanje jednog materijalnog tijela na drugo.
Silu kao vektor karakterizira točka primjene, smjer djelovanja i apsolutna vrijednost. Jedinica za modul sile je Newton. - Linija djelovanja sile je pravac duž kojeg je usmjeren vektor sile.
- Fokusirana moć– sila primijenjena u jednoj točki.
- Distribuirane sile (raspodijeljeno opterećenje)- to su sile koje djeluju na sve točke volumena, površine ili dužine tijela.
Distribuirano opterećenje određeno je silom koja djeluje po jedinici volumena (površina, duljina).
Dimenzija raspodijeljenog opterećenja je N/m 3 (N/m 2, N/m). - Vanjska sila je sila koja djeluje iz tijela koje ne pripada mehaničkom sustavu koji se razmatra.
- Unutarnja snaga je sila koja djeluje na materijalnu točku mehaničkog sustava iz druge materijalne točke koja pripada sustavu koji se razmatra.
- Sustav sila je skup sila koje djeluju na mehanički sustav.
- Ravni sustav sila je sustav sila čije linije djelovanja leže u istoj ravnini.
- Prostorni sustav sila je sustav sila čiji pravci djelovanja ne leže u istoj ravnini.
- Sustav konvergentnih sila je sustav sila čije se linije djelovanja sijeku u jednoj točki.
- Proizvoljni sustav sila je sustav sila čije se linije djelovanja ne sijeku u jednoj točki.
- Sustavi ekvivalentnih sila- to su sustavi sila čija zamjena jedna s drugom ne mijenja mehaničko stanje tijela.
Prihvaćena oznaka: . - Ravnoteža- to je stanje u kojem tijelo pod djelovanjem sila ostaje nepomično ili se giba jednoliko pravocrtno.
- Uravnoteženi sustav sila- ovo je sustav sila koji djelovanjem na slobodno čvrsto tijelo ne mijenja njegovo mehaničko stanje (ne izbacuje ga iz ravnoteže).
. - Rezultantna sila je sila čije je djelovanje na tijelo ekvivalentno djelovanju sustava sila.
. - Trenutak moći je veličina koja karakterizira rotacijsku sposobnost sile.
- Par sila je sustav dviju paralelnih sila jednake veličine i suprotno usmjerenih.
Prihvaćena oznaka: .
Pod utjecajem para sila tijelo će izvoditi rotacijsko gibanje. - Projekcija sile na os- ovo je segment zatvoren između okomica povučenih od početka i kraja vektora sile na ovu os.
Projekcija je pozitivna ako se smjer segmenta poklapa s pozitivnim smjerom osi. - Projekcija sile na ravninu je vektor na ravnini, zatvoren između okomica povučenih s početka i kraja vektora sile na tu ravninu.
- Zakon 1 (zakon inercije). Izolirana materijalna točka miruje ili se giba jednoliko i pravocrtno.
Jednoliko i pravocrtno gibanje materijalne točke je gibanje po inerciji. Stanje ravnoteže materijalne točke i krutog tijela shvaća se ne samo kao stanje mirovanja, već i kao gibanje po inerciji. Za čvrsto tijelo postoje različite vrste gibanje po inerciji, na primjer, jednolika rotacija krutog tijela oko nepomične osi. - Zakon 2. Kruto tijelo je u ravnoteži pod djelovanjem dviju sila samo ako su te sile jednake po veličini i usmjerene u suprotnim smjerovima duž zajedničke linije djelovanja.
Ove dvije sile nazivaju se ravnotežom.
Općenito, sile se nazivaju uravnoteženima ako čvrsto tijelo na koje te sile djeluju miruje. - Zakon 3. Bez narušavanja stanja (riječ "stanje" ovdje označava stanje gibanja ili mirovanja) krutog tijela, mogu se dodavati i odbacivati sile ravnoteže.
Posljedica. Bez narušavanja stanja čvrstog tijela, sila se može prenijeti duž svoje linije djelovanja na bilo koju točku tijela.
Dva sustava sila nazivaju se ekvivalentnima ako se jedan od njih može zamijeniti drugim bez narušavanja stanja čvrstog tijela. - Zakon 4. Rezultanta dviju sila primijenjenih u jednoj točki, primijenjenih u istoj točki, jednaka je po veličini dijagonali paralelograma konstruiranog na tim silama i usmjerena je duž ove
dijagonale.
Apsolutna vrijednost rezultante je: - Zakon 5 (zakon jednakosti akcije i reakcije). Sile kojima dva tijela djeluju jedno na drugo jednake su veličine i usmjerene u suprotnim smjerovima duž iste ravne crte.
Treba imati na umu da akcijski- sila primijenjena na tijelo B, I protivljenje- sila primijenjena na tijelo A, nisu uravnoteženi, jer se primjenjuju na različita tijela. - Zakon 6 (zakon skrućivanja). Ravnoteža nečvrstog tijela nije poremećena kada se skrutne.
Ne treba zaboraviti da su uvjeti ravnoteže, koji su nužni i dovoljni za čvrsto tijelo, nužni, ali nedovoljni za odgovarajuće nečvrsto tijelo. - Zakon 7 (zakon emancipacije od veza). Neslobodno čvrsto tijelo može se smatrati slobodnim ako je mentalno oslobođeno veza, zamjenjujući djelovanje veza odgovarajućim reakcijama veza.
- Veze i njihove reakcije
- Glatka površina ograničava kretanje normalno na potpornu površinu. Reakcija je usmjerena okomito na površinu.
- Zglobni pokretni nosač ograničava kretanje tijela normalno na referentnu ravninu. Reakcija je usmjerena normalno na površinu nosača.
- Zglobni fiksni nosač suprotstavlja se svakom gibanju u ravnini okomitoj na os rotacije.
- Zglobni bestežinski štap suprotstavlja se kretanju tijela duž linije štapa. Reakcija će biti usmjerena duž linije štapa.
- Slijepa brtva suprotstavlja se svakom kretanju i rotaciji u ravnini. Njegovo djelovanje može se zamijeniti silom predstavljenom u obliku dvije komponente i para sila s momentom.
Kinematika
Kinematika- dio teorijske mehanike koji se bavi opć geometrijska svojstva mehaničko kretanje kao proces koji se odvija u prostoru i vremenu. Objekti koji se kreću smatraju se geometrijskim točkama ili geometrijskim tijelima.
- Osnovni pojmovi kinematike
- Zakon gibanja točke (tijela)– to je ovisnost položaja točke (tijela) u prostoru o vremenu.
- Putanja točke– ovo je geometrijski položaj točke u prostoru tijekom njezina kretanja.
- Brzina točke (tijela)– to je karakteristika promjene u vremenu položaja točke (tijela) u prostoru.
- Ubrzanje točke (tijela)– to je karakteristika promjene brzine točke (tijela) u vremenu.
- Određivanje kinematičkih karakteristika točke
- Putanja točke
U vektorskom referentnom sustavu putanja je opisana izrazom: .
U koordinatnom referentnom sustavu putanja je određena zakonom gibanja točke i opisana je izrazima z = f(x,y)- u prostoru, odn y = f(x)- u avionu.
U prirodni sustav Referentna putanja je unaprijed postavljena. - Određivanje brzine točke u vektorskom koordinatnom sustavu
Kada se zadaje kretanje točke u vektorskom koordinatnom sustavu, omjer kretanja i vremenskog intervala naziva se prosječna vrijednost brzine u tom vremenskom intervalu: .
Uzimajući vremenski interval beskonačnim mala veličina, unesite vrijednost brzine ovaj trenutak vrijeme (vrijednost trenutne brzine):
.
Vektor Prosječna brzina je usmjeren duž vektora u smjeru gibanja točke, vektor trenutne brzine usmjeren je tangencijalno na putanju u smjeru gibanja točke.
Zaključak: brzina točke je vektorska veličina jednaka vremenskoj derivaciji zakona gibanja.
Izvedeno svojstvo: derivacija bilo koje veličine u odnosu na vrijeme određuje brzinu promjene te količine. - Određivanje brzine točke u koordinatnom referentnom sustavu
Stopa promjene koordinata točke:
.
Modul brzine pune točke pri pravokutni sustav koordinate će biti jednake:
.
Smjer vektora brzine određen je kosinusima smjernih kutova:
,
gdje su kutovi između vektora brzine i koordinatnih osi. - Određivanje brzine točke u prirodnom referentnom sustavu
Brzina točke u prirodnom referentnom sustavu definirana je kao derivacija zakona gibanja točke: .
Prema prethodnim zaključcima, vektor brzine usmjeren je tangencijalno na putanju u smjeru kretanja točke i u osi je određen samo jednom projekcijom.
- Kinematika krutog tijela
- U kinematici krutih tijela rješavaju se dva glavna problema:
1) postavljanje pokreta i određivanje kinematičkih karakteristika tijela u cjelini;
2) određivanje kinematičkih karakteristika točaka tijela. - Translatorno gibanje krutog tijela
Translatorno gibanje je gibanje pri kojem pravac povučen kroz dvije točke tijela ostaje paralelan sa svojim prvobitnim položajem.
Teorema: tijekom translatornog gibanja sve točke tijela gibaju se istim putanjama i u svakom trenutku imaju istu veličinu i smjer brzine i akceleracije.
Zaključak: translatorno gibanje krutog tijela određeno je kretanjem bilo koje njegove točke, pa se stoga zadatak i proučavanje njegovog gibanja svodi na kinematiku točke. - Rotacijsko gibanje krutog tijela oko nepomične osi
Rotacijsko gibanje krutog tijela oko nepomične osi je gibanje krutog tijela kod kojeg dvije točke koje pripadaju tijelu ostaju nepomične za cijelo vrijeme gibanja.
Položaj tijela određen je kutom zakreta. Mjerna jedinica za kut je radijan. (Radijan je središnji kut kruga čija je duljina luka jednaka polumjeru; ukupni kut kruga sadrži 2π radijan.)
Zakon rotacijskog gibanja tijela oko nepomične osi.
Kutnu brzinu i kutnu akceleraciju tijela određujemo metodom diferenciranja:
— kutna brzina, rad/s;
— kutno ubrzanje, rad/s².
Ako secirate tijelo ravninom okomitom na os, odaberite točku na osi rotacije S i proizvoljna točka M, zatim točka M opisat će oko točke S polumjer kruga R. Tijekom dt postoji elementarna rotacija kroz kut , i točka M pomicat će se duž putanje udaljenost
.
Modul linearne brzine:
.
Ubrzanje točke M s poznatom putanjom, određuju ga njegove komponente:
,
Gdje
.
Kao rezultat toga dobivamo formule
tangencijalno ubrzanje:
;
normalno ubrzanje:
.
Dinamika
Dinamika je grana teorijske mehanike koja proučava mehaničko kretanje materijalna tijela ovisno o uzrocima koji ih uzrokuju.
- Osnovni pojmovi dinamike
- Inercija- ovo je svojstvo materijalnih tijela da održavaju stanje mirovanja ili uniformnosti pravocrtno kretanje dok vanjske sile ne promijene ovo stanje.
- Težina je kvantitativna mjera tromosti tijela. Jedinica mase je kilogram (kg).
- Materijalna točka- ovo je tijelo s masom čije se dimenzije zanemaruju pri rješavanju ovog problema.
- Središte mase mehaničkog sustava- geometrijska točka čije su koordinate određene formulama:
Gdje m k , x k , y k , z k— masa i koordinate k- ta točka mehaničkog sustava, m— masa sustava.
U jednoličnom gravitacijskom polju položaj središta mase poklapa se s položajem težišta. - Moment tromosti materijalnog tijela u odnosu na os je kvantitativna mjera tromosti tijekom rotacijskog gibanja.
Moment tromosti materijalne točke u odnosu na os jednak je umnošku mase točke i kvadrata udaljenosti točke od osi:
.
Moment tromosti sustava (tijela) u odnosu na os jednak je aritmetički zbroj momenti tromosti svih točaka:
- Sila tromosti materijalne točke je vektorska veličina jednaka po modulu umnošku mase točke i modula akceleracije i usmjerena suprotno od vektora akceleracije:
- Sila tromosti materijalnog tijela je vektorska veličina koja je po modulu jednaka umnošku mase tijela i modula akceleracije centra mase tijela i usmjerena suprotno od vektora akceleracije centra mase: ,
gdje je akceleracija centra mase tijela. - Elementarni impuls sile je vektorska veličina, jednak umnošku vektor sile za beskonačno malo vrijeme dt:
.
Ukupni impuls sile za Δt jednak je integralu elementarnih impulsa:
. - Elementarni rad sile je skalarna veličina dA, jednak skalarnom proi
