Natrag naprijed
Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati sve značajke prezentacije. Ako si zainteresiran ovaj posao, preuzmite punu verziju.
Voditelji:
- Mogutova Tatyana Mikhailovna
- Deryushkina Oksana Valerievna
Moto projekta:
“Ako želite naučiti plivati, onda hrabro uđite u vodu.
i ako želiš naučiti rješavati probleme, riješi ih."
D. Poya.
Izbor teme projekta nije slučajan. Metode za pronalaženje površine poligona nacrtanog na "ćelije" vrlo su zanimljiva tema.
Poznajemo različite načine rješavanja takvih zadataka: metodu zbrajanja, metodu oduzimanja itd.
Jako nas je zainteresirala ova tema, proučili smo dosta literature i, na našu veliku radost, pronašli smo još jednu metodu, metodu kakvu ne poznaje školski program, ali prekrasnu metodu! Izračun površine pomoću formule koju je izveo austrijski znanstvenik i matematičar Georg Pieck.
Odlučili smo proučiti Peakovu formulu uz pomoć koje je vrlo lako riješiti zadatke na pronalaženje površine!
Svrha studije
1. Proučavanje formule Pick.
2. Proširivanje znanja o raznovrsnosti problema na kariranom papiru, o tehnikama i metodama rješavanja tih problema.
Zadaci:
1. Odaberite materijal za istraživanje, odaberite glavne, zanimljive, razumljive informacije
2. Analizirati i sistematizirati primljene informacije
3. Izradite elektroničku prezentaciju rada kako biste prikupljeni materijal prezentirali učenicima iz razreda
4. Donijeti zaključke na temelju rezultata rada.
5. Odaberite najzanimljivije, ilustrativne primjere.
Metode istraživanja:
1. Simulacija
2. Izgradnja
3. Analiza i klasifikacija informacija
4. Usporedba, generalizacija
5. Proučavanje književnih i internetskih izvora
Georg Pieck je austrijski znanstvenik i matematičar. Pick je upisao sveučilište u Beču 1875. Svoj prvi rad objavio je sa 17 godina. Raspon njegovih matematičkih interesa bio je iznimno širok. 67 njegovih radova posvećeno je mnogim granama matematike, kao što su: linearna algebra, integralni račun, geometrija, funkcionalna analiza, teorija potencijala.
Općepoznati teorem pojavio se u zbirci Peakeovih radova 1899. godine.
Teorem je privukao dosta pažnje i počeo privlačiti divljenje zbog svoje jednostavnosti i elegancije.
Pickova formula, formula za izračunavanje površine poligona prikazanog na kariranom papiru, korisna je u rješavanju USE i OGE zadataka. Zato nas je jako zainteresirala.
Pickova formula je klasičan rezultat kombinatorne geometrije i geometrije brojeva.
Prema Pickovom teoremu, površina poligona jednaka je:
G: 2 + V – 1
G – broj čvorova rešetke na granici poligona
B je broj čvorova rešetke unutar poligona.
Prije svega, postavili smo zadatak: proučiti što su čvorovi rešetke i kako pravilno izračunati njihov broj. Ispalo je vrlo jednostavno. Navedimo nekoliko primjera.
Neka je dan proizvoljan trokut. Čvorovi na rubu prikazani su narančasto, čvorovi unutar prikazani su plavo. Pronalaženje čvorova i brojanje njihovog broja vrlo je jednostavno.
U ovom slučaju G = 15, V = 35
Primjer br. 2 Na granici se nalazi 18 čvorova, tj. G = 18, čvorovi unutra 20, V = 20.
I još jedan primjer. Zadan proizvoljni poligon. Brojimo čvorove na granici. Ima ih 14. Unutar poligona ima 43 čvora G = 14, V = 43.
Izvršili smo prvi zadatak!
Druga faza našeg rada: izračunavanje površina poligona.
Pogledajmo nekoliko primjera.
Primjer br. 1.
G = 14, B = 43, S = + 43 – 1 = 49
Primjer br. 2.
G = 11, B = 5, S = + 5 – 1 = 9,5
Primjer br. 3.
G = 15, B = 22, S = + 22 – 1 = 28,5
Primjer br. 4.
G = 8, B = 16, S = + 16 – 1 = 19
Primjer br. 5
G = 10, B = 30, S = + 30 – 1 = 34
Proveli smo samo 1-2 minute pregledavajući pet primjera. Izračunavanje površine pomoću Peakove formule nije samo brzo, već i vrlo jednostavno!
Ali suočili smo se s vrlo ozbiljnim pitanjem:
Može li se vjerovati Pickovom teoremu?
Dobivaju li se isti rezultati izračunavanjem površina različitim metodama?
Pronađimo površine poligona pomoću Peakove formule i na uobičajeni način, pomoću geometrijskih formula i metoda dopunjavanja ili lomljenja na dijelove. Evo rezultata koje smo dobili:
Primjer br. 1.
Izračunajmo površinu poligona pomoću Peakove formule:
Izbrojimo čvorove na rubu i iznutra. G = 3, V = 6.
Izračunajmo površinu: S = 6 + - 1 = 6,5
Izgradimo mnogokut u pravokutnik. Površina pravokutnika je: 3 * 5 = 15, S? = = 3, S? = = 3, S = = 2,5
S = 15-3-3-2,5 = 6,5
Rezultat je isti.
Primjer br. 2.
G = 4, B = 9, S = 9 + - 1 = 10
Sagradimo ga u pravokutnik.
Površina pravokutnika je: 5 * 4 = 20, S 1 = 2 * 1 = 2, S 2 = 3,
S==2, S==1,5, S==2,5
Površina pravokutnika je
S = 20 – 2 – 3 – 2 – 1,5 – 2,5 = 10
Ponovno smo dobili iste rezultate.
Pogledajmo još jedan primjer.
Primjer br. 3
Izračunajmo površinu pomoću Peakove formule.
G = 5, B = 6, S = 6 + - 1 = 7,5
Izračunajmo površinu metodom dovršavanja.
Površina pravokutnika je 5 4 = 20
S 1 = 2 * 1 = 2, S 2 = = 1, S 3 = 2 * 1 = 2, S 4 = = 1, S 5 = = 1, S 6 = = 2,5
S = 20 – 2 -1– 2 – 1 – 1 – 2,5 – 3 = 7,5
Rezultat je isti.
U prezentaciji smo pogledali tri primjera, ali u stvarnosti smo pogledali mnogo različitih primjera. Rezultat je uvijek bio isti: izračunavanje površine pomoću formule Pick i drugih metoda daje isti rezultat.
Zaključak: Pickovoj formuli se može vjerovati! Daje točne rezultate.
Drago nam je!
I pred nama se pojavilo još jedno pitanje: koja je metoda izračuna najracionalnija, najprikladnija za korištenje?
Za odgovor na ovo pitanje dovoljno je upotrijebiti sav dosadašnji rad. No, pogledajmo još tri primjera koji će konačno odgovoriti na naše pitanje.
Primjer br. 2
Primjer br. 3
Pomoću Peakove formule lako je izračunati površinu poligona čak i najbizarnijeg oblika. Pogledajmo primjer:
Zaključak je jasan: najracionalniji način za izračunavanje površine poligona prikazanog na kariranom papiru: Pickova formula!
Pozivamo svakoga od vas da izračuna površinu poligona pomoću formule Peak:
Izračunajte broj čvorova na granici. Prikazani su žutom bojom.
Izračunajte broj čvorova unutar, crveno.
Zamijenite ga u formulu i navedite rezultat. Izračunali ste površinu za jednu minutu.
Dakle, Peakova formula ima brojne prednosti u odnosu na druge metode izračuna površina poligona na kariranom papiru:
Da biste izračunali površinu poligona, morate znati samo jednu formulu:
S = G:2 + V - 1.
Formulu Pick vrlo je lako zapamtiti.
Pika formula je vrlo praktična i jednostavna za korištenje.
Poligon čiju površinu treba izračunati može biti bilo kojeg oblika, čak i najbizarnijeg.
Pomoću formule Peak lako je ispuniti zadatke Jedinstvenog državnog ispita i Jedinstvenog državnog ispita.
Evo nekoliko primjera izračuna površine iz Mogućnosti jedinstvenog državnog ispita – 2015.
Odlučili smo učenike od 9. do 11. razreda naše škole naučiti koristiti formulu Peak. Održali smo festival “Formula Pika”.
Svi učenici su se s velikim zanimanjem upoznali s prezentacijom i naučili koristiti Pick formulu.
Za 30 minuta praktični rad učenici su završili veliki broj zadaci. Svaki je učenik dobio memorandum “Pica formula”.
Pomogli smo im da se pripreme za Jedinstveni državni ispit i Jedinstveni državni ispit!
Nakon mjesec dana rada proveli smo anketu među učenicima 9.-11.
Postavljena su sljedeća pitanja:
Pitanje 1:
Je li Pickova formula racionalan način za izračunavanje površine poligona?
“Da” - 100% studenata.
Pitanje #2:
Koristite li Pick formulu?
“Da” – 100% studenata
Naš rad nije bio uzaludan! Drago nam je!
Prezentaciju našeg projekta postavili smo na Internet. Mnogi pregledi i preuzimanja našeg rada.
Dizajnirali smo album “Peak Formula”. Učenici naše škole su ga stalno koristili, posebno u početku.
Rezultati projekta:
U procesu rada na projektu proučavali smo referentnu i znanstveno-popularnu literaturu o temi istraživanja.
- Proučavali smo Pickov teorem i naučili jednostavno i racionalno pronaći površine likova prikazanih na kariranom papiru.
- Proširili smo svoje znanje o rješavanju zadataka na kariranom papiru, sami odredili klasifikaciju proučavanih problema i uvjerili se u njihovu raznolikost.
- Održali smo festival "Formula Peak" za učenike 9-11, naučili smo ih pronaći područje pomoću ove formule. Odabrali smo mnogo zanimljivih primjera.
- Napravili smo elektroničku prezentaciju kako bismo pomogli našim vršnjacima.
- Osmislili smo album “Formula vrhunca” koji stalno koriste učenici škola.
Poziva vas da izvršite dva zadatka kako biste se uvjerili u racionalnost našeg rada.
Hvala na pozornosti!
Wikirječnik ima unos za "štuku" Štuka U ratovanju: Štuka je hladno oružje za probijanje, vrsta dugog koplja. Pikemen je vrsta pješaštva u europskim vojskama 16. stoljeća. početkom XVIII stoljeća. Pickelhelm (str... Wikipedia
Pickov teorem (kombinatorna geometrija)- V=7, G=8, V + G/2 − 1= 10 Pickov teorem je klasičan rezultat kombinatorne geometrije i geometrije brojeva. Površina poligona s cijelim brojem ... Wikipedia
Trokut- Ovaj pojam ima i druga značenja, pogledajte Trokut (značenja). Trokut (u euklidskom prostoru) je geometrijski lik sastavljen od tri segmenta koji spajaju tri točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji. Tri točkice,... ... Wikipedia
Trapez- Ovaj izraz ima i druga značenja, pogledajte Trapez (značenja). Trapezoid (od drugog grčkog τραπέζιον "stol"; ... Wikipedia
Četverokut- KVADAGONI ┌─────────────┼─────────────┐ nekonveksni konveksni samopresječni ... Wikipedia
Dijagonalno- Pravilni dijagonal na površini sfere. Dijagonal u geometriji je ... Wikipedia
Peterokut- Pravilni peterokut (pentagon) Peterokut je mnogokut s pet kutova. Svaki predmet ovog oblika također se naziva peterokut. Količina unutarnjeg ... Wikipedia
Šesterokut- Pravilni šesterokut Šesterokut je mnogokut sa šest uglova. Svaki predmet ovog oblika naziva se i šesterokut. Zbroj unutarnjih kutova konveksnog šesterokuta p ... Wikipedia
Dodekagon- Ispravan dvanaesterokut Dodekagon (grčki... Wikipedia
Pravokutnik- Pravokutnik je paralelogram čiji su svi kutovi pravi kutovi (jednaki 90 stupnjeva). Bilješka. U euklidskoj geometriji, da bi četverokut bio pravokutnik, dovoljno je da su mu najmanje tri kuta prava. Četvrti kut (zbog ... Wikipedije
knjige
- Matematički klub "Klokan". Broj 8. Matematika na kariranom papiru, . Broj je posvećen raznim zadacima i igrama vezanim uz list kariranog papira. Posebno se detaljno raspravlja o izračunavanju površine poligona čiji se vrhovi nalaze u...
Tekst rada je objavljen bez slika i formula.
Puna verzija Rad je dostupan u kartici "Radne datoteke" u PDF formatu
Uvod
Učenica sam 6. razreda. Geometriju sam počeo učiti prošle godine, jer u školi učim po udžbeniku “Matematika. Aritmetika. Geometrija” uredio E.A. Bunimovich, L.V. Kuznetsova, S.S. Minaeva i drugi.
Najviše pozornosti izazvale su teme „Površine likova“ i „Crtanje formula“. Primijetio sam da se mogu pronaći površine istih figura različiti putevi. U svakodnevnom životu često se susrećemo s problemom pronalaska prostora. Na primjer, pronađite područje poda koje ćete morati obojiti. Zanimljivo je jer da biste kupili potrebnu količinu tapeta za renoviranje, morate znati veličinu sobe, tj. površina zida. Izračunavanje površine kvadrata, pravokutnika i pravokutnog trokuta nije mi izazvalo nikakve poteškoće.
Zainteresiravši se za ovu temu, krenuo sam u potragu dodatni materijal na internetu. Kao rezultat mojih pretraga, naišao sam na Pickovu formulu - to je formula za izračunavanje površine poligona nacrtanog na kariranom papiru. Činilo mi se da je izračunavanje površine pomoću ove formule dostupno svakom učeniku. Zato sam odlučio dirigirati istraživački rad.
Relevantnost teme:
Ova tema je nadopuna i produbljivanje izučavanja kolegija geometrije.
Proučavanje ove teme pomoći će vam da se bolje pripremite za olimpijade i ispite.
Cilj rada:
Upoznajte se s Peak formulom.
Ovladati tehnikama donošenja odluka geometrijski problemi koristeći Pickovu formulu.
Usustaviti i sažeti teoretsko i praktično gradivo.
Ciljevi istraživanja:
Provjerite učinkovitost i izvedivost korištenja formule pri rješavanju problema.
Naučite primijeniti Peak formulu u problemima različite složenosti.
Usporedite probleme riješene Pick formulom i tradicionalnom metodom.
Glavni dio
1.1. Povijesna referenca
Georg Alexander Pieck - austrijski matematičar, rođen 10. kolovoza 1859. godine. One je bio nadareno dijete, podučavao ga je njegov otac, koji je vodio privatni institut. U dobi od 16 godina Georg je završio školu i upisao se na Sveučilište u Beču. S 20 godina dobio je pravo predavati fiziku i matematiku. Njegova formula za određivanje površine poligonske mreže donijela mu je svjetsku slavu. Svoju formulu objavio je u članku 1899. godine. Postao je popularan kada ga je poljski znanstvenik Hugo Steinhaus uključio u publikaciju matematičkih snimaka iz 1969. godine.
Georg Pieck školovao se na Sveučilištu u Beču i obranio doktorat 1880. godine. Nakon što je doktorirao, imenovan je asistentom Ernesta Macha na Sveučilištu Scherl-Ferdinand u Pragu. Tamo je postao učitelj. U Pragu ostaje do umirovljenja 1927., a potom se vraća u Beč.
Pick je predsjedao odborom na njemačkom sveučilištu u Pragu koji je imenovao Einsteina za profesora na odjelu za matematičku fiziku 1911. godine.
Izabran je za člana Češke akademije znanosti i umjetnosti, ali je isključen nakon što su nacisti zauzeli Prag.
Kad su nacisti 12. ožujka 1938. ušli u Austriju, vratio se u Prag. U ožujku 1939. nacisti su napali Čehoslovačku. 13. srpnja 1942. Pieck je deportiran u logor Theresienstadt, koji su nacisti osnovali u sjevernoj Češkoj, gdje je umro dva tjedna kasnije u dobi od 82 godine.
1.2. Istraživanje i dokazivanje
Svoj istraživački rad započeo sam pitanjem: koja područja figura mogu pronaći? Mogao bih stvoriti formulu za izračunavanje površine raznih trokuta i četverokuta. Ali što je s pet-, šest- i općenito poligonima?
Tijekom mog istraživanja na raznim stranicama, vidio sam rješenja za probleme koji uključuju izračunavanje površine pet-, šest- i drugih poligona. Formula koja omogućuje rješavanje ovih problema nazvana je Pickova formula. Ovako izgleda :S =B+G/2-1, Gdje U- broj čvorova koji leže unutar poligona, G- broj čvorova koji leže na granici poligona. Posebnost ove formule je da se može koristiti samo za poligone nacrtane na kariranom papiru.
Svaki takav mnogokut može se lako podijeliti u trokute s vrhovima u čvorovima rešetke i koji ne sadrže čvorove ni unutar ni sa strane. Može se pokazati da su površine svih ovih trokuta jednake i jednake ½, pa je stoga površina mnogokuta jednaka polovici njihovog broja T.
Da bismo pronašli taj broj, označimo s n broj stranica mnogokuta, s U- broj čvorova unutar njega, kroz G- broj čvorova na stranama, uključujući vrhove. Ukupni zbroj kutova svih trokuta je 180°. T.
Nađimo sada zbroj na drugi način.
Zbroj kutova s vrhom u bilo kojem unutarnjem čvoru je 2,180°, tj. ukupni zbroj kutova je 360°. U; ukupni zbroj kutova za čvorove na stranicama, ali ne i na vrhovima je ( G-n) 180°, a zbroj kutova na vrhovima poligona bit će jednak ( G- 2)180°. Tako, T= 2.180°. B+(G-n)180°+(n -2)180 °. Otvaranjem zagrada i dijeljenjem s 360° dobivamo formulu za površinu S mnogokuta, poznatu kao Pickova formula.
2. Praktični dio
Odlučio sam testirati ovu formulu na zadacima iz zbirke OGE-2017. Uzimao probleme pri izračunavanju površine trokuta, četverokuta i peterokuta. Odlučio sam usporediti odgovore, rješavajući na dva načina: 1) dodao sam figure u pravokutnik i oduzeo površinu od površine dobivenog pravokutnika pravokutni trokuti; 2) primijenio Pick formulu.
S = 18-1,5-4,5 = 12 i S = 7+12/2-1= 12
S = 24-9-3 = 12 i S = 7+12/2-1 = 12
S = 77-7,5-12-4,5-4 =49 i S = 43+14/2-1 = 49
Usporedbom rezultata zaključujem da obje formule daju isti odgovor. Pronalaženje površine figure pomoću Pickove formule pokazalo se bržim i lakšim jer je bilo manje izračuna. Lakoća rješenja i ušteda vremena na izračunima bit će mi korisni u budućnosti prilikom polaganja OGE.
To me potaknulo da provjerim mogućnost primjene formule Pick na složenije figure.
S = 0 + 4/2 -1 = 1
S = 5+11/2-1 = 9,5
S = 4+16/2-1 = 1
Zaključak
Peak formula je jednostavna za razumijevanje i korištenje. Prvo, dovoljno je znati brojati, dijeliti s 2, zbrajati i oduzimati. Drugo, možete pronaći područje složene figure bez trošenja puno vremena. Treće, ova formula radi za bilo koji poligon.
Nedostatak je što je Pick formula primjenjiva samo za figure koje su nacrtane na kariranom papiru i čiji vrhovi leže na čvorovima kariranog papira.
Siguran sam da prilikom polaganja završnih ispita problemi s izračunavanjem površine figura neće izazvati poteškoće. Uostalom, Peak formula mi je već poznata.
Bibliografija
Bunimovich E.A., Dorofeev G.V., Suvorova S.B. i dr. Matematika. Aritmetika. Geometrija. 5. razred: obrazovni. za opće obrazovanje organizacije s prid. po elektronu nosač - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 2014.- 223, str. : ilustr. - (Kugle).
Bunimovich E.A., Kuznetsova L.V., Minaeva S.S. i dr. Matematika. Aritmetika. Geometrija. 6. razred: obrazovni. za opće obrazovanje organizacije-5. izd.-M .: Obrazovanje, 2016.-240 str. : ilustr.- (Sfere).
Vasiljev N.B. Oko formule Pick. //Kvant.- 1974.-br.2. -str.39-43
Rassolov V.V. Problemi iz planimetrije. / 5. izdanje, rev. I dodatno - M.: 2006.-640s.
I.V. Jaščenko OGE. Matematika: standardne opcije ispita: O-39 36 opcija - M.: Nakladnička kuća za nacionalno obrazovanje, 2017. -240 str. - (OGE. FIPI-škola).
“Riješit ću OGE”: matematika. Sustav treninga Dmitrija Guščina. OGE-2017: zadaci, odgovori, rješenja [Elektronički izvor]. Način pristupa: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (datum pristupa 02.04.2017.)
Izračunavanje površine figure.
Metoda odabira
Rad učenika 5B razreda MBOU srednje škole br. 23 u Irkutsku
Balsukova Aleksandra
Voditelj: Khodyreva T.G.
2014
Izračunavanje površine figure. Metoda odabira
Predmet proučavanja : zadaci na kariranom papiru
Predmet proučavanja : problemi za izračunavanje površine poligona na kariranom papiru, metode i tehnike za njihovo rješavanje.
Metode istraživanja : usporedba, generalizacija, analogije, proučavanje literature i internetskih izvora, analiza informacija.
Svrha studije:
odabrati glavne, zanimljive, razumljive informacije
Analizirati i sistematizirati primljene informacije
Pronađite različite metode i tehnike za rješavanje problema na kariranom papiru
provjeriti formule za izračunavanje površina geometrijskih likova pomoću formule Pick
Izraditi elektroničku prezentaciju rada za prezentaciju prikupljene građe
Geometrija je najmoćnije sredstvo za izoštravanje naših mentalnih sposobnosti i osposobljavanje za ispravno razmišljanje i zaključivanje.
(G. Galileo)
Relevantnost teme
Strast prema matematici često počinje razmišljanjem o problemu. Dakle, kada proučavate temu "Područje poligona", postavlja se pitanje postoje li problemi koji se razlikuju od problema koji se raspravljaju u udžbeniku. Takvi problemi uključuju probleme na kariranom papiru. Koja je posebnost ovakvih zadataka, postoje li posebne metode i tehnike rješavanja zadataka na kariranom papiru. Na satu matematike učiteljica nas je upoznala sa zanimljivom metodom izračuna poligona. Počeo sam proučavati literaturu i internetske izvore o ovoj temi. Čini se da se nešto fascinantno može naći na kariranoj plohi, odnosno na beskrajnom komadu papira, poredanom u jednake kvadrate. Ispostavilo se da su zadaci povezani s kariranim papirom vrlo raznoliki. Naučio sam kako izračunati površinu poligona nacrtanih na kariranom papiru. Za mnoge zadatke ne postoji karirani papir opće pravilo rješenja, specifične metode i tehnike. To je njihovo svojstvo koje određuje njihovu vrijednost za razvoj ne određene akademske sposobnosti ili vještine, već općenito sposobnosti mišljenja, promišljanja, analize, traženja analogija, odnosno ovi zadaci razvijaju misaone sposobnosti u najširem smislu.
Također sam saznao da se takvi zadaci razmatraju u materijalima za testiranje i mjerenje Državne akademije znanosti i Jedinstvenog državnog ispita. Stoga smatram proučavanje ovog materijala korisnim za njegovu primjenu ne samo u budućnosti obrazovni proces, ali i za rješavanje nestandardnih olimpijadnih zadataka.
2.Pojam područja
Kvadrat- numeričke karakteristike dvodimenzionalnih geometrijski lik, pokazujući veličinu ove figure. Povijesno gledano, izračun površine nazivao se . Lik koji ima površinu naziva se na kvadrat .
Područje ravne figure u smislu geometrije
1. Kvadrat-mjera ravnog lika u odnosu na standardni lik, koji je kvadrat sa stranicom jednakom jedinici duljine.
2. Kvadrat- numerička karakteristika koja se pripisuje ravnim figurama određene klase (na primjer, poligoni). Površina kvadrata čija je stranica jednaka jedinici duljine, uzima se kao jednaka jedinici površine
3. Kvadrat- pozitivna veličina čija numerička vrijednost ima sljedeća svojstva:
Jednake figure imaju jednake površine;
Ako je lik podijeljen na dijelove koji su jednostavni likovi (to jest, oni koji se mogu podijeliti na konačan broj ravnih trokuta), tada je površina ove figure jednaka zbroju površina njegovih dijelova;
Površina kvadrata sa stranicom jednakom jednoj mjernoj jedinici jednaka je jedinici.
Dakle, možemo zaključiti da površina nije specifična veličina, već samo daje neku uvjetnu karakteristiku bilo koje ravne figure. Da biste pronašli područje proizvoljne figure, morate odrediti koliko kvadrata sa stranom jednakom jedinici duljine sadrži. Na primjer, uzmite pravokutnik u koji kvadratni centimetar stane točno 6 puta. To znači da je površina pravokutnika 6 cm 2.
Izbor površine kvadrata sa stranicom jednakom mjernoj jedinici kao minimalne mjerne jedinice svih površina nije slučajan. To je rezultat dogovora među ljudima koji je nastao tijekom “prirodne” stoljetne selekcije. Osim toga, bilo je i drugih prijedloga za mjernu jedinicu. Tako je, na primjer, predloženo da se kao takva jedinica uzme površina jednakostraničnog trokuta (tj. bilo koja ravna figura može se prikazati kao "zbroj" određenog broja jednakostraničnog trokuta), što bi dovelo do promjena brojčane zastupljenosti površina.
Tako su se formule za izračunavanje površina pojavile u matematici, a čovjek ih nije odmah shvatio - ovo mnogi znanstvenici koji žive u različitim epohama i različite zemlje. (Netočne formule nisu našle mjesta u znanosti i nestale su u zaboravu). Prave formule nadopunjavale su se, ispravljale i potvrđivale tijekom tisuća godina dok do nas nisu stigle u svom modernom ruhu.
Ista stvar mjerenje površine sastoji se od usporedbe površine dane figure s površinom figure koja se uzima kao mjerna jedinica. Kao rezultat usporedbe dobiva se određeni broj - brojčana vrijednost površine dane figure. Ovaj broj pokazuje koliko je puta površina date figure veća (ili manja) od površine figure koja se uzima kao jedinica površine.
T 
Dakle, možemo zaključiti da je površina umjetna veličina koju je čovjek povijesno uveo za mjerenje nekog svojstva ravnog lika. Potreba za unosom takve vrijednosti uvjetovana je sve većom potrebom da se zna koliki je određeni teritorij, koliko je žitarica potrebno da se zasije polje ili da se izračuna podna površina za ukrašavanje ukrasnih pločica.
Pickova formula
Za procjenu površine poligona na kariranom papiru dovoljno je izbrojati koliko ćelija taj poligon pokriva (površinu ćelije uzimamo kao jednu). Točnije, akoS je površina poligona, B je broj ćelija koje leže u potpunosti unutar poligona, a G je broj ćelija koje imaju unutrašnjost. Razmotrit ćemo samo takve poligone čiji svi vrhovi leže u čvorovima kariranog papira - one kod kojih linije mreže poligona sijeku barem jednu zajedničku točku.
Površina bilo kojeg trokuta nacrtanog na kariranom papiru može se lako izračunati tako da se predstavi kao zbroj ili razlika površina pravokutnih trokuta i pravokutnika čije stranice slijede linije mreže koje prolaze kroz vrhove nacrtanog trokuta.
Da biste izračunali površinu takvog poligona, možete koristiti sljedeći teorem:
Teorema . Neka - broj cjelobrojnih točaka unutar poligona, - broj cijelih točaka na njegovoj granici, - njegovo područje. Onda je poštenoPickova formula:
Primjer. Za poligon na sliciL = 7 (crvene točkice), 9 (zelene točkice) paS = 7+ 9/2 -1 = 10,5 kvadratnih jedinica.
Pickov teorem- klasičan rezultat I .
Površina trokuta s vrhovima u čvorovima i koji ne sadrži čvorove ni unutar ni na stranama (osim vrhova) je 1/2. Ova činjenica.
3. Povijest
Pickovu formulu otkrio je austrijski matematičar Georg Alexander (1859-1942) godine. . U dobi od 16 godina Georg je završio školu i ušao u. S 20 godina dobio je pravo predavati fiziku i matematiku. Godine 1884. Peake je otišao za Do . Tamo je upoznao još jednog Kleinovog učenika,. Kasnije se 1885. vratio u, gdje je proveo ostatak svoje znanstvene karijere.
Georg Pieck bio je prijatelj s Einsteinom. Peake i Einstein nisu imali samo zajedničke znanstvene interese, već su imali i strast prema glazbi. Pick, koji je svirao u kvartetu sastavljenom od sveučilišnih profesora, uveo je Einsteina u znanstvena i glazbena društva u Pragu.
Peakeov raspon matematičkih interesa bio je iznimno širok. Konkretno, oni su stariji od 50 godina znanstveni radovi. Pickov teorem za izračunavanje površine poligona, koji je otkrio 1899., postao je široko poznat. U Njemačkoj je ovaj teorem uključen u školske udžbenike.
4.Primjene Pickove formule
Pickova formula se koristi ne samo za izračunavanje površina poligona, već i za rješavanje mnogih problema na razini olimpijade.
Neki primjeri korištenja Pick formule pri rješavanju problema:
1) Šahovski kralj hodao je oko ploče od 8 × 8 ćelija, obilazeći svaku
polje kuće točno jednom i zadnjim potezom vraćajući se na original
polje. Isprekidana linija koja uzastopno povezuje središta polja koja
prošao kralja, nema samosjecišta. Koje područje može
ograničiti ovu isprekidanu liniju? (Stranica ćelije je 1.)
Iz Peakove formule odmah slijedi da je područje ograničeno lo-
mana, jednaka 64/2 − 1 = 31; ovdje su čvorovi rešetke središta 64
polja i po uvjetu sva leže na granici poligona. Tako
Dakle, iako takvih kraljevih "putanja" ima dosta, sve su
vezani poligoni jednakih površina.
Zadaci iz kontrolne - mjerni materijali GIA i Jedinstveni državni ispit
Zadatak B3
Pronađite površinu figure prikazane na kariranom papiru s veličinom ćelije od 1 cm 1 cm (vidi sliku). Odgovor navedite u kvadratnim centimetrima.
4. Zaključak
Tijekom istraživačkog procesa proučavao sam referentnu i znanstveno-popularnu literaturu. Saznao sam da je problem pronalaženja površine poligona s vrhovima u čvorovima mreže potaknuo austrijskog matematičara Piecka da dokaže izvanrednu Pieckovu formulu 1899. godine.
Kao rezultat svog rada, proširio sam svoje znanje o rješavanju zadataka na kariranom papiru, odredio sam za sebe klasifikaciju proučavanih problema i uvjerio se u njihovu raznolikost.
Naučila sam izračunati površine mnogokuta nacrtanih na kariranom papiru. Razmotreni zadaci imaju drugačija razina poteškoće - od jednostavnih do olimpijada. Svatko među njima može pronaći zadatke izvedive razine složenosti, počevši od kojih će se moći prijeći na rješavanje težih.
Došao sam do zaključka da je tema koja me zanima dosta raznolika, problemi na kariranom papiru raznoliki, a različite su i metode i tehnike njihova rješavanja. Stoga smo odlučili nastaviti raditi u tom smjeru.
5. Korištena literatura:
1. Vasil’ev N. B. Oko formule Pick // Quantum. - 1974. - br.12
2. K o k e P r a s o l o v V. V. Zadaci iz planimetrije. - M.: MTsNMO, 2006.t e r G.S.M. Uvod u geometriju. - M.: Znanost, 1966
3. Roslova L.O., Sharygin I.F. Mjerenja. – M.: Izdavačka kuća. " Otvoreni svijet“, 2005.
Internet resursi:
:
Povratne informacije za rad
“Izračunavanje površina ravnih figura. Odaberite način"
Razmatranje ove teme će se poboljšati kognitivnu aktivnost učenika koji će naknadno početi uviđati sklad crteža na nastavi geometrije i prestat će doživljavati geometriju (i matematiku općenito) kao dosadnu znanost.
Pregledala profesorica matematike
Khodyreva Tatyana Georgievna
Ova će tema biti zanimljiva učenicima od 10. do 11. razreda kao dio njihove pripreme za Jedinstveni državni ispit. Pickova formula može se koristiti pri izračunavanju površine figure prikazane na kariranom papiru (ovaj zadatak predložen je u ispitnim materijalima za Jedinstveni državni ispit).
Tijekom nastave
“Tema matematike je tako ozbiljna
da je korisno ne propustiti priliku
neka bude malo zabavno"
(B. Pascal)
Učitelj, nastavnik, profesor: Postoje li zadaci koji su neobični i nisu slični zadacima iz školskih udžbenika? Da, ovo su problemi na kariranom papiru. Takvi zadaci postoje u kontroli i mjerenju Materijali za jedinstveni državni ispit. Koja je posebnost takvih zadataka, kojim se metodama i tehnikama rješavaju problemi na kariranom papiru? U ovoj lekciji ćemo istražiti probleme s kariranim papirom koji uključuju pronalaženje površine nacrtane figure i naučiti kako izračunati površinu poligona nacrtanih na kariranom komadu papira.
Učitelj, nastavnik, profesor: Predmet proučavanja bit će zadaci na kariranom papiru.
Predmet našeg istraživanja bit će problemi izračunavanja površine poligona na kariranom papiru.
A svrha studije bit će Peak formula.
B - broj cjelobrojnih točaka unutar poligona
G - broj cjelobrojnih točaka na rubu poligona
Ovo je prikladna formula s kojom možete izračunati površinu bilo kojeg poligona bez samosjecišta s vrhovima u čvorovima kariranog papira.
Tko je Peak? Peak Georg Alexandrov (1859-1943) - austrijski matematičar. Otkrio je formulu 1899.
Učitelj, nastavnik, profesor: Formulirajmo hipotezu: površina figure, izračunata pomoću formule Pick, jednaka je površini figure, izračunate pomoću geometrijskih formula.
Prilikom rješavanja zadataka na kariranom papiru trebat će nam geometrijska mašta i prilično jednostavne informacije koje znamo:
Površina pravokutnika jednaka je umnošku susjednih stranica.
Površina pravokutnog trokuta jednaka je polovici umnoška stranica koje tvore pravi kut.
Učitelj, nastavnik, profesor:Čvorovi mreže su točke u kojima se linije mreže sijeku.
Unutarnji čvorovi poligona su plavi. Čvorovi na granicama poligona su smeđi.
Razmotrit ćemo samo one poligone čiji svi vrhovi leže u čvorovima kariranog papira.
Učitelj, nastavnik, profesor: Provedimo istraživanje za trokut. Prvo, izračunajmo površinu trokuta pomoću formule Peak.
U + G/2 − 1 , Gdje U G— broj cijelih točaka na granici poligona.
B = 34, G = 15,
U + G/2 − 1 = 34 + 15 :2 − 1 = 40, 5 Odgovor: 40,5
Učitelj, nastavnik, profesor: Sada izračunajmo površinu trokuta pomoću geometrijskih formula. Površina bilo kojeg trokuta nacrtanog na kariranom papiru može se lako izračunati tako da se predstavi kao zbroj ili razlika površina pravokutnih trokuta i pravokutnika čije stranice slijede linije mreže koje prolaze kroz vrhove nacrtanog trokuta. Učenici računaju u svojim bilježnicama. Zatim provjerite njihove rezultate izračunima na ploči.
Učitelj, nastavnik, profesor: Usporedite rezultate istraživanja i donesite zaključak. Otkrili smo da je površina figure, izračunata pomoću formule Pick, jednaka površini figure, izračunate pomoću geometrijskih formula. Dakle, hipoteza se pokazala točnom.
Zatim, nastavnik predlaže izračunavanje površine "vašeg" proizvoljnog poligona pomoću geometrijskih formula i formule Pick i usporedbu rezultata. Možete se “poigrati” s Pickovom formulom na web stranici matematičkih studija.
Na kraju članka predlaže se jedan od radova na temu "Izračunavanje površine proizvoljnog poligona pomoću formule Pick".
Više nprimjer:
Površina poligona s cjelobrojnim vrhovima je U + G/2 − 1 , Gdje U je broj cijelih točaka unutar poligona, i G— broj cijelih točaka na granici poligona.
B = 10, G = 6,
U + G/2 − 1 = 10 + 6 :2 − 1 = 12 ODGOVOR: 12
Učitelj, nastavnik, profesor: Predlažem vašoj pozornosti da riješite sljedeće probleme:
Odgovor: 12
Odgovor: 13
Odgovor: 9
Odgovor: 11.5
Odgovor: 4
|
