벡터, 그 속성 및 동작
벡터, 벡터를 사용한 동작, 선형 벡터 공간.
벡터는 유한한 수의 실수를 순서대로 모아 놓은 것입니다.
행위: 1. 벡터에 숫자를 곱합니다: 람다*벡터 x=(람다*x 1, 람다*x 2 ... 람다*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)
2. 벡터의 추가(동일 벡터 공간에 속함) 벡터 x + 벡터 y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)
3. 벡터 0=(0,0…0)---n E n – n차원(선형 공간) 벡터 x + 벡터 0 = 벡터 x
정리. n차원 선형 공간인 n 벡터의 시스템이 선형 종속이 되기 위해서는 벡터 중 하나가 다른 벡터의 선형 결합이면 충분합니다.
정리. 현상의 n차원 선형 공간에 대한 n+ 첫 번째 벡터의 집합입니다. 선형 의존적입니다.
벡터의 추가, 벡터의 숫자 곱셈. 벡터 빼기.
두 벡터의 합은 시작 부분이 벡터의 끝 부분과 일치하는 경우 벡터의 시작 부분에서 벡터 끝 부분으로 향하는 벡터입니다. 벡터가 기본 단위 벡터의 확장으로 제공되는 경우 벡터를 추가할 때 해당 좌표가 추가됩니다.
데카르트 좌표계의 예를 사용하여 이를 고려해 보겠습니다. 허락하다
그걸 보여주자
그림 3에서 알 수 있듯이 
유한한 수의 벡터의 합은 다각형 규칙(그림 4)을 사용하여 찾을 수 있습니다. 유한한 수의 벡터의 합을 구성하려면 각 후속 벡터의 시작 부분을 이전 벡터의 끝 부분과 결합하면 충분합니다. 첫 번째 벡터의 시작 부분과 마지막 벡터의 끝 부분을 연결하는 벡터를 구성합니다.
벡터 추가 작업의 속성:
이 표현식에서 m, n은 숫자입니다.
벡터 간의 차이를 벡터라고 합니다. 두 번째 항은 벡터의 방향은 반대지만 길이는 같은 벡터입니다.
따라서 벡터의 뺄셈 연산은 덧셈 연산으로 대체됩니다.
시작이 원점에 있고 점 A(x1, y1, z1)에서 끝나는 벡터를 점 A의 반경 벡터라고 하며 간단히 표시합니다. 좌표가 점 A의 좌표와 일치하므로 단위 벡터의 확장은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
A(x1, y1, z1) 지점에서 시작하여 B(x2, y2, z2) 지점에서 끝나는 벡터는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 
여기서 r 2는 점 B의 반경 벡터입니다. r 1 - 점 A의 반경 벡터.
따라서 단위 벡터의 벡터 확장은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
그 길이는 점 A와 B 사이의 거리와 같습니다
곱셈
따라서 평면 문제의 경우 벡터와 a = (ax; ay)와 숫자 b의 곱은 다음 공식으로 구할 수 있습니다.
a b = (ax b; ay b)
예 1. 벡터 a = (1; 2)의 곱을 3으로 구합니다.
3a = (3 1; 3 2) = (3; 6)
따라서 공간 문제의 경우 벡터 a = (ax; ay; az)와 숫자 b의 곱은 다음 공식으로 구됩니다.
a b = (ax b; ay b; az b)
예 1. 벡터 a = (1; 2; -5)의 곱을 2로 구합니다.
2a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)
벡터의 내적과 
벡터와 사이의 각도는 어디입니까? 그렇다면
스칼라 곱의 정의로부터 다음이 나옵니다. 
예를 들어 는 벡터 방향에 대한 벡터 투영의 크기입니다.
스칼라 제곱 벡터:
내적의 속성:
좌표의 내적
만약에 
저것 
벡터 사이의 각도
벡터 사이의 각도 - 이러한 벡터 방향 사이의 각도(최소 각도)입니다.
외적(두 벡터의 외적) -이는 두 요소로 구성된 평면에 수직인 유사 벡터이며, 이는 3차원 유클리드 공간의 벡터에 대한 이진 연산 "벡터 곱셈"의 결과입니다. 곱은 가환적도 결합적도 아니며(반교환적) 벡터의 내적과 다릅니다. 많은 공학 및 물리학 문제에서 두 개의 기존 벡터에 수직인 벡터를 구성할 수 있어야 합니다. 벡터 곱이 이러한 기회를 제공합니다. 외적은 벡터의 수직성을 "측정"하는 데 유용합니다. 두 벡터의 외적 길이는 두 벡터가 수직인 경우 길이의 곱과 같고 벡터가 평행하거나 역평행인 경우 0으로 감소합니다.
외적은 3차원 공간과 7차원 공간에서만 정의됩니다. 스칼라 곱과 마찬가지로 벡터 곱의 결과는 유클리드 공간의 미터법에 따라 달라집니다.
3차원 직교 좌표계의 좌표에서 스칼라 곱 벡터를 계산하는 공식과 달리 외적 공식은 직교 좌표계의 방향, 즉 "카이랄성"에 따라 달라집니다.
벡터의 공선성.
0이 아닌 두 개의 벡터(0이 아님)가 평행선 또는 동일한 선에 있는 경우 이를 동일선상이라고 합니다. 허용 가능하지만 권장되지 않는 동의어는 "병렬" 벡터입니다. 동일선상 벡터는 동일한 방향("동방향") 또는 반대 방향(후자의 경우 "반공선형" 또는 "역평행"이라고도 함)일 수 있습니다.
벡터의 혼합곱( 가, 비, 다)- 벡터 a의 스칼라 곱과 벡터 b 및 c의 벡터 곱:
(a,b,c)=a ⋅(b ×c)
결과가 스칼라(보다 정확하게는 의사스칼라)이기 때문에 때때로 벡터의 삼중 내적이라고도 합니다.
기하학적 의미: 혼합 생성물의 모듈러스는 벡터에 의해 형성된 평행육면체의 부피와 수치적으로 동일합니다. (알파벳) .
속성
혼합 제품은 모든 인수와 관련하여 비대칭입니다. 즉, e. 두 가지 요소를 재배열하면 제품의 부호가 변경됩니다. 올바른 데카르트 좌표계(정규 직교 기반)의 혼합 곱은 벡터로 구성된 행렬의 행렬식과 같습니다.
왼쪽 데카르트 좌표계(정규 직교 기준)의 혼합 곱은 벡터로 구성된 행렬의 행렬식과 동일하며 마이너스 기호를 사용합니다.
특히,
두 벡터가 평행하면 세 번째 벡터와 함께 0과 같은 혼합 곱을 형성합니다.
세 개의 벡터가 선형 종속인 경우(즉, 동일 평면에 있고 동일한 평면에 있는 경우) 혼합된 곱은 0과 같습니다.
기하학적 의미 - 혼합 제품은 벡터에 의해 형성된 평행 육면체 (그림 참조)의 부피와 절대 값이 같습니다. 부호는 이 세 개의 벡터가 오른손잡이인지 왼손잡이인지에 따라 달라집니다.
벡터의 동일 평면성.
세 개의 벡터(또는 그 이상)가 공통 원점으로 축소되어 동일한 평면에 있는 경우 동일 평면이라고 합니다.
동일 평면성 속성
세 벡터 중 하나 이상이 0이면 세 벡터도 동일 평면에 있는 것으로 간주됩니다.
한 쌍의 동일선상 벡터를 포함하는 세 개의 벡터가 동일 평면상에 있습니다.
동일 평면 벡터의 혼합 제품입니다. 이는 세 벡터의 동일 평면성에 대한 기준입니다.
동일 평면 벡터는 선형 종속적입니다. 이는 동일 평면성의 기준이기도 합니다.
3차원 공간에서는 동일 평면에 있지 않은 3개의 벡터가 기초를 형성합니다.
선형 종속 벡터와 선형 독립 벡터입니다.
선형 종속 및 독립 벡터 시스템.정의. 벡터 시스템이 호출됩니다. 선형 종속, 영 벡터와 동일한 벡터의 중요하지 않은 선형 조합이 하나 이상 있는 경우. 그렇지 않으면, 즉 주어진 벡터의 사소한 선형 조합만이 널 벡터와 같으면 해당 벡터를 호출합니다. 선형독립.
정리(선형 종속 기준). 선형 공간의 벡터 시스템이 선형 종속이 되기 위해서는 이들 벡터 중 적어도 하나가 다른 벡터의 선형 결합이면 충분합니다.
1) 벡터 중에 영 벡터가 하나 이상 있으면 벡터의 전체 시스템은 선형 종속입니다.
실제로, 예를 들어 , 이라고 가정하면, 우리는 중요하지 않은 선형 조합 을 갖게 됩니다.▲
2) 벡터 중 일부가 선형 종속 시스템을 형성하면 전체 시스템이 선형 종속 시스템이 됩니다.
실제로, 벡터 , 가 선형 종속적이라고 가정합니다. 이는 영 벡터와 동일한 중요하지 않은 선형 조합이 있음을 의미합니다. 그런데 가정해보면 
, 우리는 또한 영 벡터와 동일한 중요하지 않은 선형 조합을 얻습니다.
2. 기초 및 치수. 정의. 선형 독립 벡터 시스템 
벡터 공간이라고 불린다. 기초의 임의의 벡터가 이 시스템 벡터의 선형 조합으로 표현될 수 있는 경우 이 공간의 각 벡터에는 실수가 있습니다 
이러한 평등이 유지됩니다. 벡터 분해기초와 숫자에 따라 호출됩니다 기저를 기준으로 한 벡터의 좌표(또는 기초에) .
정리(기저에 대한 확장의 고유성에 관한). 공간의 모든 벡터는 기저로 확장될 수 있습니다. 유일한 방법으로, 즉 기저의 각 벡터의 좌표 확실하게 결정됩니다.
우리가 소개한 벡터에 대한 선형 연산다양한 표현이 가능하도록 벡터량이러한 작업에 대해 설정된 속성을 사용하여 변환합니다.
주어진 벡터 집합 a 1, ..., an n을 기반으로 다음 형식의 표현식을 만들 수 있습니다.
여기서 a 1, ..., n은 임의의 실수입니다. 이 표현은 벡터의 선형 조합 1, ..., n. 숫자 α i, i = 1, n은 다음을 나타냅니다. 선형 결합 계수. 벡터 집합이라고도 합니다. 벡터 시스템.
벡터의 선형 조합이라는 개념이 도입되면서 주어진 벡터 a 1, ..., an n 시스템의 선형 조합으로 작성될 수 있는 벡터 세트를 설명하는 문제가 발생합니다. 또한 선형 결합 형태의 벡터 표현이 존재하는 조건과 그러한 표현의 고유성에 대한 자연스러운 질문이 있습니다.
정의 2.1.벡터 a 1, ..., n이 호출됩니다. 선형 종속, 다음과 같은 계수 세트 α 1 , ... , α n 이 있는 경우
α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)
그리고 이들 계수 중 적어도 하나는 0이 아닙니다. 지정된 계수 세트가 존재하지 않으면 벡터가 호출됩니다. 선형독립.
α 1 = ... = α n = 0이면 분명히 α 1 a 1 + ... + α n a n = 0입니다. 이를 염두에 두고 다음과 같이 말할 수 있습니다. 벡터 a 1, ... 및 n은 등식(2.2)에 따라 모든 계수 α 1 , ... , α n 이 0과 같다면 선형 독립입니다.
다음 정리는 새로운 개념이 "종속성"(또는 "독립성")이라는 용어로 불리는 이유를 설명하고 선형 종속성에 대한 간단한 기준을 제공합니다.
정리 2.1.벡터 a 1, ... 및 n, n > 1이 선형 종속이 되기 위해서는 그 중 하나가 다른 벡터의 선형 결합이면 충분합니다.
✔ 필요성. 벡터 a1, ..., n이 선형 종속적이라고 가정해 보겠습니다. 선형 종속성의 정의 2.1에 따르면 왼쪽의 등식(2.2)에는 0이 아닌 계수(예: α 1)가 하나 이상 있습니다. 평등의 왼쪽에 첫 번째 항을 남겨두고 평소와 같이 부호를 변경하여 나머지 항을 오른쪽으로 이동합니다. 결과 평등을 α 1로 나누면 다음을 얻습니다.
a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n
저것들. 벡터 a 1을 나머지 벡터 a 2, ..., an n의 선형 조합으로 표현합니다.
적절. 예를 들어, 첫 번째 벡터 a 1은 나머지 벡터의 선형 조합으로 표현될 수 있습니다. a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. 모든 항을 오른쪽에서 왼쪽으로 옮기면 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0을 얻습니다. 즉, 벡터 a 1, ..., an n과 계수 α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n의 선형 결합, 다음과 같습니다. 제로 벡터.이 선형 결합에서 모든 계수가 0인 것은 아닙니다. 정의 2.1에 따르면 벡터 a 1, ... 및 n은 선형 종속입니다.
선형 의존성에 대한 정의와 기준은 두 개 이상의 벡터가 존재함을 암시하도록 공식화되었습니다. 그러나 하나의 벡터의 선형 의존성에 대해서도 이야기할 수 있습니다. 이 가능성을 실현하려면 "벡터는 선형 종속이다" 대신 "벡터 시스템은 선형 종속이다"라고 말해야 합니다. "하나의 벡터 시스템은 선형 종속적입니다"라는 표현은 이 단일 벡터가 0이라는 것을 의미한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다(선형 결합에는 계수가 하나만 있고 0이 되어서는 안 됩니다).
선형 의존성의 개념은 간단한 기하학적 해석을 가지고 있습니다. 다음 세 가지 진술은 이 해석을 명확하게 합니다.
정리 2.2.두 벡터는 다음과 같은 경우에만 선형 종속입니다. 동일선상.
✔ 벡터 a와 b가 선형 종속이면 그 중 하나(예: a)는 다른 벡터를 통해 표현됩니다. 일부 실수 λ에 대한 a = λb입니다. 정의 1.7에 따르면 공장숫자당 벡터, 벡터 a와 b는 동일선상에 있습니다.
이제 벡터 a와 b가 동일선상에 있다고 가정합니다. 둘 다 0이면 선형 종속임이 분명합니다. 왜냐하면 이들의 선형 조합이 0 벡터와 같기 때문입니다. 이들 벡터 중 하나가 0이 아니라고 가정합니다(예: 벡터 b). 벡터 길이의 비율을 λ로 표시하겠습니다: λ = |a|/|b|. 동일선상 벡터는 다음과 같습니다. 단방향또는 반대 방향. 후자의 경우 λ의 부호를 변경합니다. 그런 다음 정의 1.7을 확인하면 a = λb임을 확신합니다. 정리 2.1에 따르면 벡터 a와 b는 선형 종속입니다.
비고 2.1.선형 의존성 기준을 고려하여 두 벡터의 경우 입증된 정리는 다음과 같이 다시 공식화될 수 있습니다. 두 벡터 중 하나가 숫자로 다른 벡터의 곱으로 표현되는 경우에만 두 벡터가 동일선상에 있습니다. 이는 두 벡터의 공선성에 대한 편리한 기준입니다.
정리 2.3.세 개의 벡터는 다음과 같은 경우에만 선형 종속입니다. 동일 평면상의.
← 세 개의 벡터 a, b, c가 선형 종속이면 정리 2.1에 따라 그 중 하나(예: a)는 다른 벡터의 선형 결합입니다: a = βb + γc. 점 A에서 벡터 b와 c의 원점을 결합해 보겠습니다. 그러면 벡터 βb, γс는 점 A와 점을 따라 공통 원점을 갖게 됩니다. 평행사변형 규칙에 따르면 그 합은 다음과 같습니다.저것들. 벡터 a는 원점이 A인 벡터이고 끝, 이는 구성요소 벡터를 기반으로 하는 평행사변형의 꼭지점입니다. 따라서 모든 벡터는 동일한 평면, 즉 동일 평면에 있습니다.
벡터 a, b, c가 동일 평면상에 있다고 가정합니다. 이들 벡터 중 하나가 0이면 다른 벡터의 선형 결합이 될 것이 분명합니다. 선형 조합의 모든 계수를 0으로 만드는 것으로 충분합니다. 따라서 세 벡터가 모두 0이 아니라고 가정할 수 있습니다. 호환 가능 시작했다이 벡터들은 공통점 O에 있습니다. 그 끝을 각각 점 A, B, C로 둡니다(그림 2.1). 점 C를 통해 점 O, A, O, B의 쌍을 통과하는 선과 평행한 선을 그립니다. 교차점을 A" 및 B"로 지정하면 평행사변형 OA"CB"를 얻습니다. 따라서 OC" = OA"입니다. + OB". 벡터 OA"와 0이 아닌 벡터 a = OA는 동일선상에 있으므로 두 번째 벡터에 실수를 곱하여 얻을 수 있습니다. α:OA" = αOA. 마찬가지로 OB" = βOB, β ∈ R. 결과적으로 OC" = α OA. + βOB를 얻습니다. 즉, 벡터 c는 벡터 a와 b의 선형 조합입니다. 정리 2.1에 따르면 벡터 a, b, c는 선형 종속입니다.
정리 2.4.네 개의 벡터는 모두 선형 종속입니다.
✔ 정리 2.3과 동일한 방식으로 증명을 수행합니다. 임의의 4개 벡터 a, b, c 및 d를 고려해보세요. 4개의 벡터 중 하나가 0이거나 그 중에 2개의 동일선상 벡터가 있거나 4개의 벡터 중 3개가 동일 평면에 있는 경우 이 4개의 벡터는 선형 종속입니다. 예를 들어 벡터 a와 b가 동일선상에 있는 경우 0이 아닌 계수를 사용하여 선형 조합 αa + βb = 0을 만든 다음 나머지 두 벡터를 이 조합에 추가하여 0을 계수로 사용할 수 있습니다. 0이 아닌 계수가 있는 0과 동일한 4개 벡터의 선형 조합을 얻습니다.
따라서 선택된 4개의 벡터 중에서 0인 벡터가 없고, 동일선상에 있는 벡터가 없으며, 동일 평면에 있는 벡터가 없다고 가정할 수 있습니다. 공통 시작점으로 점 O를 선택하면 벡터 a, b, c, d의 끝이 일부 점 A, B, C, D가 됩니다(그림 2.2). 점 D를 통해 평면 OBC, OCA, OAB에 평행한 세 개의 평면을 그리고 A", B", C"를 각각 직선 OA, OB, OS와 이들 평면의 교차점으로 둡니다. 우리는 다음을 얻습니다. 평행육면체 OA" C "B" C" B"DA"이고 벡터 a, b, c는 꼭지점 O에서 나오는 가장자리에 있습니다. 사변형 OC"DC"는 평행사변형이므로 OD = OC" + OC " 차례로, 세그먼트 OC"는 대각선 평행사변형 OA"C"B"이므로 OC" = OA" + OB" 및 OD = OA" + OB" + OC" 입니다.
벡터 OA ≠ 0 및 OA" , OB ≠ 0 및 OB" , OC ≠ 0 및 OC" 쌍은 동일선상에 있으므로 계수 α, β, γ를 선택하는 것이 가능합니다. OA" = αOA , OB" = βOB 및 OC" = γOC. 최종적으로 OD = αOA + βOB + γOC를 얻습니다. 결과적으로 OD 벡터는 다른 세 개의 벡터를 통해 표현되며 정리 2.1에 따라 네 개의 벡터는 모두 선형 종속적입니다.
형태의 표현 ~라고 불리는 벡터의 선형 조합 A 1 , A 2 ,...,A n확률로 람 1, 람 2 ,..., 람 n.
벡터 시스템의 선형 의존성 결정
벡터 시스템 A 1 , A 2 ,...,A n~라고 불리는 선형 종속, 0이 아닌 숫자 집합이 있는 경우 람 1, 람 2 ,..., 람 n, 여기서 벡터의 선형 조합은 λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n 0 벡터와 같음, 즉 방정식 시스템은 다음과 같습니다. 0이 아닌 솔루션이 있습니다.
숫자 세트 람 1, 람 2 ,..., 람 n 숫자 중 하나 이상이면 0이 아닙니다. 람 1, 람 2 ,..., 람 n 제로와는 다릅니다.
벡터 시스템의 선형 독립 결정
예제 29.1벡터 시스템 A 1 , A 2 ,...,A n~라고 불리는 선형독립, 이들 벡터의 선형 결합인 경우 λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n숫자의 0 집합에 대해서만 0 벡터와 같습니다. 람 1, 람 2 ,..., 람 n , 즉 방정식 시스템은 다음과 같습니다. A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ독특한 제로 솔루션이 있습니다.
벡터 시스템이 선형 종속인지 확인
해결책:
1. 우리는 방정식 시스템을 구성합니다:
2. Gauss 방법을 사용하여 해결합니다.. 시스템의 Jordanano 변환은 표 29.1에 나와 있습니다. 계산할 때 시스템의 오른쪽은 0과 같고 조던 변환 중에 변경되지 않으므로 기록되지 않습니다.
3. 표의 마지막 세 행에서 원래 시스템과 동등한 해결된 시스템을 기록합니다.체계:
4. 우리는 시스템의 일반적인 솔루션을 얻습니다.:
5. 귀하의 재량에 따라 자유 변수 x 3 =1의 값을 설정한 후, 우리는 0이 아닌 특정 솔루션을 얻습니다. X=(-3,2,1).
답: 따라서 0이 아닌 숫자 집합(-3,2,1)의 경우 벡터의 선형 조합은 0 벡터 -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ와 같습니다. 따라서, 벡터 시스템 선형 종속.
벡터 시스템의 속성
부동산 (1)
벡터 시스템이 선형 종속이면 벡터 중 적어도 하나는 다른 벡터의 관점에서 확장되고, 반대로 시스템의 벡터 중 적어도 하나가 다른 벡터의 관점에서 확장되면 벡터 시스템은 선형 종속적입니다.
부동산 (2)
벡터의 하위 시스템이 선형 종속이면 전체 시스템도 선형 종속입니다.
부동산 (3)
벡터 시스템이 선형 독립이면 해당 하위 시스템도 선형 독립입니다.
부동산 (4)
0 벡터를 포함하는 모든 벡터 시스템은 선형 종속입니다.
부동산 (5)
m차원 벡터 시스템은 벡터 개수 n이 해당 차원(n>m)보다 큰 경우 항상 선형 종속입니다.
벡터 시스템의 기초
벡터 시스템의 기초 A 1 , A 2 ,..., An 이러한 하위 시스템 B 1 , B 2 ,...,B r 이라고 합니다.(각 벡터 B 1,B 2,...,B r 은 벡터 A 1, A 2,..., An 중 하나입니다.) 이는 다음 조건을 충족합니다.
1. B 1 ,B 2 ,...,Br선형 독립 벡터 시스템;
2. 모든 벡터 AJ 시스템 A 1 , A 2 ,..., An 은 벡터 B 1 , B 2 ,..., B r 을 통해 선형으로 표현됩니다.아르 자형- 기저에 포함된 벡터의 수.
정리 29.1 벡터 시스템의 단위 기반.m차원 벡터 시스템이 m개의 서로 다른 단위 벡터 E 1 E 2 ,..., E m을 포함하는 경우 이는 시스템의 기초를 형성합니다.
벡터 시스템의 기초를 찾는 알고리즘
벡터 A 1 ,A 2 ,...,A n 시스템의 기초를 찾으려면 다음이 필요합니다.
- 벡터 시스템에 해당하는 동종 방정식 시스템을 만듭니다. A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
- 이 시스템을 가져와
선형 의존성과 벡터 독립성
선형 종속 및 독립 벡터 시스템의 정의
정의 22
n-벡터와 숫자 집합으로 구성된 시스템을 만들어 보겠습니다. 
, 그 다음에
(11)
주어진 벡터 시스템과 주어진 계수 세트의 선형 결합이라고 합니다.
정의 23
벡터 시스템 
그러한 계수 세트가 있는 경우 선형 종속이라고 합니다. 
, 그 중 적어도 하나는 0이 아닙니다. 따라서 주어진 벡터 시스템과 이 계수 세트의 선형 결합은 0 벡터와 같습니다.
허락하다 
, 그 다음에
정의 24 (시스템의 한 벡터를 다른 벡터의 선형 조합으로 표현함으로써)
벡터 시스템 
이 시스템의 벡터 중 적어도 하나가 이 시스템의 나머지 벡터의 선형 조합으로 표시될 수 있는 경우 선형 종속이라고 합니다.
진술 3
정의 23과 24는 동일합니다.
정의 25(제로 선형 조합을 통해)
벡터 시스템 
이 시스템의 제로 선형 결합이 모든 경우에만 가능하면 선형 독립이라고 합니다. 
0과 같습니다.
정의 26(시스템의 한 벡터를 다른 벡터의 선형 조합으로 표현할 수 없기 때문에)
벡터 시스템 
이 시스템의 벡터 중 하나도 이 시스템의 다른 벡터의 선형 조합으로 표현될 수 없는 경우 선형 독립이라고 합니다.
선형 종속 및 독립 벡터 시스템의 속성
정리 2 (벡터 시스템의 0 벡터)
벡터 시스템에 0 벡터가 있는 경우 시스템은 선형 종속입니다.
하자 
, 그 다음에 .
우리는 얻는다 
따라서 제로 선형 결합을 통한 선형 종속 벡터 시스템의 정의에 따라 (12)
시스템은 선형 종속적입니다.
정리 3 (벡터 시스템의 종속 하위 시스템)
벡터 시스템에 선형 종속 하위 시스템이 있는 경우 전체 시스템은 선형 종속입니다.
하자 
- 선형 종속 하위 시스템 
, 그 중 적어도 하나는 0이 아닙니다.
이는 정의 23에 따라 시스템이 선형 종속적임을 의미합니다.
정리 4
선형 독립 시스템의 모든 하위 시스템은 선형 독립입니다.
반대에서. 시스템이 선형 독립이고 선형 종속 하위 시스템을 갖습니다. 그러나 정리 3에 따르면 전체 시스템도 선형 종속적입니다. 모순. 결과적으로, 선형 독립 시스템의 하위 시스템은 선형 종속일 수 없습니다.
벡터 시스템의 선형 의존성과 독립성의 기하학적 의미
정리 5
두 개의 벡터 
그리고 
다음과 같은 경우에만 선형 종속입니다. 
.
필요성.
그리고 
- 선형 종속 
조건이 만족된다고 
. 그 다음에 
, 즉. 
.
적절.
선형 의존적입니다.
추론 5.1
0 벡터는 모든 벡터와 동일선상에 있습니다.
추론 5.2
두 벡터가 선형독립이 되기 위해서는 다음이 필요하고 충분합니다. 
동일선상에 있지 않았다 
.
정리 6
세 개의 벡터로 구성된 시스템이 선형 종속이 되기 위해서는 이들 벡터가 동일 평면에 있어야 하는 것이 필요하고 충분합니다. .
필요성.
- 선형 종속적이므로 하나의 벡터는 다른 두 벡터의 선형 결합으로 표현될 수 있습니다.
,
(13)
어디 
그리고 
. 평행사변형 법칙에 따르면 
변이 있는 평행사변형의 대각선이 있습니다 
, 그러나 평행사변형은 평평한 도형입니다 
동일 평면상의 
- 역시 동일 평면상에 있습니다.
적절.
- 동일 평면. 점 O에 세 개의 벡터를 적용해 보겠습니다.
씨
비`
– 선형 종속
추론 6.1
영 벡터는 모든 벡터 쌍과 동일 평면상에 있습니다.
추론 6.2
벡터의 경우 
선형 독립이므로 동일 평면에 있지 않은 것이 필요하고 충분합니다.
추론 6.3
평면의 모든 벡터는 동일한 평면의 두 비공선형 벡터의 선형 조합으로 표현될 수 있습니다.
정리 7
공간에 있는 네 개의 벡터는 모두 선형 종속적입니다. .
4가지 경우를 생각해 봅시다:
벡터를 통해 평면을 그린 다음, 벡터를 통해 평면을 그리고 벡터를 통해 평면을 그려보겠습니다. 그런 다음 벡터 쌍에 평행한 점 D를 통과하는 평면을 그립니다. ; 각기. 우리는 평면의 교차선을 따라 평행 육면체를 만듭니다. O.B. 1 디 1 씨 1 ABDC.
고려해 봅시다 O.B. 1
디 1
씨 1
– 평행사변형 규칙에 따라 구성한 평행사변형 
.
OADD 1 – 평행사변형(평행육면체의 속성에서 유래)을 생각해 보세요. 
, 그 다음에
EMBED 방정식.3 .
정리 1 
그런 . 그 다음에 
, 정의에 따르면 벡터 시스템은 선형 종속입니다.
추론 7.1
공간에서 동일 평면이 아닌 세 벡터의 합은 공통 원점을 적용한 이 세 벡터를 기반으로 구축된 평행육면체의 대각선과 일치하는 벡터이며, 합 벡터의 원점은 이 세 벡터의 공통 원점과 일치합니다.
추론 7.2
공간에서 동일 평면이 아닌 3개의 벡터를 취하면 이 공간의 모든 벡터는 이 세 벡터의 선형 조합으로 분해될 수 있습니다.
벡터의 선형 의존성
다양한 문제를 해결할 때 원칙적으로 하나의 벡터가 아니라 동일한 차원의 특정 벡터 집합을 다루어야 합니다. 이러한 집합체를 다음과 같이 부릅니다. 벡터 시스템그리고 표시하다
정의.벡터의 선형 조합다음 형식의 벡터라고 합니다.
실수는 어디에 있습니까? 벡터는 벡터로 선형적으로 표현되거나 이러한 벡터로 분해된다고도 합니다.
예를 들어 , , 3개의 벡터가 주어진다고 가정해 보겠습니다. 각각 계수 2, 3, 4와의 선형 결합은 다음과 같습니다.
정의.벡터 시스템의 가능한 모든 선형 조합 집합을 이 시스템의 선형 범위라고 합니다.
정의. 0이 아닌 벡터의 시스템을 호출합니다. 선형 종속, 동시에 0이 아닌 숫자가 있는 경우 주어진 시스템과 표시된 숫자의 선형 결합은 0 벡터와 같습니다.
주어진 벡터 시스템의 마지막 동일성이 에 대해서만 가능한 경우 이 벡터 시스템을 호출합니다. 선형독립.
예를 들어, 두 벡터의 시스템은 선형 독립입니다. 두 벡터의 시스템이며 선형 종속적입니다.
벡터 시스템(19)을 선형 종속이라고 가정합니다. 계수가 가 되는 합(20)의 항을 선택하고, 나머지 항을 통해 표현해 보자.
이러한 등식에서 볼 수 있듯이 선형 종속 시스템(19)의 벡터 중 하나는 이 시스템의 다른 벡터로 표현되는 것으로 나타났습니다(또는 나머지 벡터로 확장됩니다).
선형 종속 벡터 시스템의 속성
1. 0이 아닌 하나의 벡터로 구성된 시스템은 선형독립입니다.
2. 영 벡터를 포함하는 시스템은 항상 선형 종속입니다.
3. 두 개 이상의 벡터를 포함하는 시스템은 벡터 중에 다른 벡터에 대해 선형으로 표현되는 벡터가 하나 이상 있는 경우에만 선형 종속입니다.
평면 위의 2차원 벡터의 경우 선형 관계의 기하학적 의미: 한 벡터가 다른 벡터를 통해 표현되면 다음과 같습니다. 이 벡터는 동일 선상에 있거나 평행선에 위치합니다.
세 벡터의 선형 의존성의 공간적 경우, 그들은 하나의 평면에 평행합니다. 동일 평면상의. 해당 요소로 이러한 벡터의 길이를 "수정"하여 그 중 하나가 다른 두 개의 합이 되거나 이를 통해 표현되는 것으로 충분합니다.
정리.공간에서 벡터를 포함하는 모든 시스템은 에서 선형 종속입니다.
예.벡터가 선형 종속인지 확인합니다.
해결책. 벡터 평등을 만들어 봅시다. 열 벡터 형식으로 작성하면 다음과 같습니다.
따라서 문제는 시스템 해결로 축소되었습니다.
가우스 방법을 사용하여 시스템을 풀어보겠습니다.
결과적으로 우리는 방정식 시스템을 얻습니다.
이는 무한한 수의 해를 가지며 그 중 0이 아닌 해가 하나 있을 것이 확실하므로 벡터는 선형 종속입니다.
