물리학에서 최소 작용의 원리. 최소작용의 원리. 테라핌의 작동 원리

운동법칙의 가장 일반적인 공식 기계 시스템소위 최소 작용 원리(또는 해밀턴의 원리)에 의해 제공됩니다. 이 원리에 따르면 모든 기계 시스템은 특정 기능을 특징으로 합니다.

또는 간단히 말해서 시스템의 동작은 다음 조건을 만족합니다.

시스템이 두 세트의 좌표 값(1)으로 특징지어지는 순간에 특정 위치를 차지하게 하고 시스템은 이러한 위치 사이에서 적분이 되는 방식으로 이동합니다.

가능한 가장 작은 값을 가졌습니다. 함수 L을 이 시스템의 라그랑주 함수라고 하며, 적분(2.1)을 동작이라고 합니다.

라그랑주 함수가 q와 q만 포함하고 더 높은 도함수는 포함하지 않는다는 사실은 기계적 상태가 좌표와 속도의 지정에 의해 완전히 결정된다는 위의 진술을 표현한 것입니다.

미분 방정식의 유도로 넘어 갑시다. 문제 해결적분의 최소값 결정(2.1). 수식 작성을 단순화하기 위해 먼저 시스템의 자유도가 1개이므로 하나의 함수만 정의해야 한다고 가정하겠습니다.

S가 최소값을 갖는 함수가 있다고 가정해 보겠습니다. 이는 다음 형식의 함수로 대체되면 S가 증가한다는 것을 의미합니다.

여기서는 전체 시간 간격에 걸쳐 작은 함수입니다(모든 비교 함수(2.2)가 동일한 값을 취해야 하기 때문에 함수의 변형이라고 합니다. 그러면 다음과 같아야 합니다.

q가 로 대체될 때 5의 변화는 다음과 같이 주어진다.

이러한 거듭제곱의 차이(적분함수에서)의 확장은 1차 항으로 시작됩니다. 필요조건 S)의 최소성은 이러한 용어 집합이 사라지는 것입니다. 이를 적분의 첫 번째 변형(또는 일반적으로 그냥 변형)이라고 합니다. 따라서 최소작용의 원리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

또는 다음을 변경하여:

두 번째 항을 부분별로 통합하여 다음을 얻습니다.

그러나 조건(2.3)으로 인해 이 식의 첫 번째 항이 사라집니다. 남은 것은 임의의 값에 대해 0과 같아야 하는 적분입니다. 이는 피적분 함수가 동일하게 사라지는 경우에만 가능합니다. 따라서 우리는 방정식을 얻습니다

여러 자유도가 있는 경우 최소 작용 원리에 따라 서로 다른 함수는 독립적으로 달라져야 하며 다음과 같은 형식의 방정식을 얻게 됩니다.

당신이 찾고 있는 것은 바로 이것들입니다 미분 방정식; 역학에서는 이를 라그랑주 방정식이라고 합니다. 주어진 기계 시스템의 라그랑주 함수가 알려진 경우 방정식 (2.6)은 가속도, 속도 및 좌표 간의 연결을 설정합니다. 즉, 시스템의 운동 방정식을 나타냅니다.

수학적 관점에서, 방정식 (2.6)은 s개의 알려지지 않은 함수에 대한 s개의 2차 방정식 시스템을 구성합니다. 일반 솔루션이러한 시스템에는 임의의 상수가 포함되어 있습니다. 이를 결정하고 이를 통해 기계 시스템의 움직임을 완전히 결정하려면 특정 시점에서 시스템 상태를 특징짓는 초기 조건을 알아야 합니다. 지금은예를 들어 모든 좌표와 속도의 초기 값에 대한 지식.

기계 시스템이 두 부분 A와 B로 구성되어 있고 각 부분이 닫혀 있으면 각각 라그랑주 함수로 다음과 같은 기능을 갖게 됩니다. 그러다가 극한에서 부품들 사이의 상호작용을 무시할 수 있을 정도로 부품이 분리되면 전체 시스템의 라그랑지 함수가 한계에 가까워지는 경향이 있다.

라그랑주 함수의 이러한 가산성 속성은 상호작용하지 않는 각 부분의 운동 방정식이 시스템의 다른 부분과 관련된 양을 포함할 수 없다는 사실을 표현합니다.

기계 시스템의 라그랑주 함수에 임의의 상수를 곱하는 것 자체가 운동 방정식에 영향을 주지 않는다는 것은 명백합니다.

여기에서 상당한 불확실성이 뒤따를 수 있는 것 같습니다. 다양한 격리된 기계 시스템의 라그랑주 함수에 다른 상수를 곱할 수 있습니다. 가산성의 속성은 이러한 불확실성을 제거합니다. 이는 모든 시스템의 라그랑주 함수에 동일한 상수를 동시에 곱하는 것만 허용하며, 이는 단순히 이 물리량의 측정 단위 선택에 있어서 자연스러운 임의성으로 귀결됩니다. 이 문제는 §4에서 다시 다루겠습니다.

다음과 같은 일반적인 언급이 필요합니다. 좌표와 시간 함수의 총 시간 미분으로 서로 다른 두 함수를 고려해 봅시다.

이 두 함수를 사용하여 계산된 적분(2.1)은 다음 관계에 의해 관련됩니다.

즉. 조건이 조건과 일치하고 운동 방정식의 형태가 변경되지 않도록 동작이 변경될 때 사라지는 추가 항에 의해 서로 다릅니다.

따라서 라그랑주 함수는 좌표 및 시간 함수의 전체 도함수를 추가할 때까지만 정의됩니다.

우리는 가장 주목할만한 것 중 하나를 간략하게 살펴 보았습니다. 물리적 원리- 최소작용의 원칙을 적용하고, 이에 모순되는 것처럼 보이는 예를 정했습니다. 이 기사에서는 이 원칙을 좀 더 자세히 살펴보고 이 예에서 어떤 일이 일어나는지 살펴보겠습니다.

이번에는 수학이 좀 더 필요합니다. 그러나 다시 한 번 기사의 주요 부분을 초등 수준에서 제시하려고 노력할 것입니다. 좀 더 엄격하고 복잡한 부분을 색상으로 강조하겠습니다. 기사의 기본 이해를 손상시키지 않으면서 건너뛸 수 있습니다.

경계 조건

우리는 가장 단순한 물체, 즉 어떤 힘도 작용하지 않는 공간에서 자유롭게 움직이는 공부터 시작하겠습니다. 알려진 바와 같이 이러한 공은 균일하고 직선적으로 움직입니다. 단순화를 위해 축을 따라 이동한다고 가정해 보겠습니다.

움직임을 정확하게 설명하기 위해 원칙적으로 초기 조건이 지정됩니다. 예를 들어, 초기 순간에 공은 좌표가 있는 지점에 있었고 속도는 이라고 지정됩니다. 이 형식으로 초기 조건을 설정한 후 공의 추가 이동을 명확하게 결정합니다. 일정한 속도, 그리고 그 순간의 위치는 초기 위치에 속도에 경과 시간을 곱한 값과 같습니다. . 이러한 초기 조건 설정 방법은 매우 자연스럽고 직관적으로 익숙합니다. 우리는 초기 순간에 공의 움직임에 대해 필요한 모든 정보를 지정했으며 그 움직임은 뉴턴의 법칙에 의해 결정됩니다.

그러나 이것이 공의 움직임을 지정하는 유일한 방법은 아닙니다. 또 다른 대안은 두 개의 다른 시간에 공의 위치를 설정하는 것입니다. 저것들. 이렇게 물어보세요:

1) 공이 한 지점(좌표 포함)에 있었던 순간
2) 그 순간 공이 (좌표로) 지점에 있었습니다.

“was at point”라는 표현은 공이 그 지점에 정지해 있었다는 의미는 아닙니다. 그 순간 그는 그 지점을 통과할 수 있었습니다. 이는 당시의 위치가 해당 지점과 일치했음을 의미합니다. 점에도 동일하게 적용됩니다.

이 두 가지 조건은 또한 공의 움직임을 고유하게 결정합니다. 그 움직임은 계산하기 쉽습니다. 두 조건을 모두 만족하려면 공의 속도는 당연히 이어야 합니다. 해당 순간의 공의 위치는 다시 초기 위치에 속도를 곱한 값과 경과 시간을 곱한 값과 같습니다.

문제가 발생한 상황에서는 초기 속도를 설정할 필요가 없었습니다. 조건 1)과 2)에서 유일하게 결정되었습니다.

두 번째 방법으로 조건을 설정하는 것은 이상해 보입니다. 왜 이런 형식으로 질문해야 하는지 불분명할 수 있습니다. 그러나 최소작용의 원리에서는 1)과 2)의 형태로 조건을 사용하는 것이지, 초기위치와 초기속도를 지정하는 형태는 아니다.

작업이 가장 적은 경로

이제 공의 실제 자유로운 움직임에서 조금 벗어나 다음과 같은 순전히 수학적 문제를 고려해 보겠습니다. 원하는 방식으로 수동으로 움직일 수 있는 공이 있다고 가정해 보겠습니다. 이 경우 1)과 2)의 조건을 충족해야 합니다. 저것들. 사이의 기간 동안 우리는 그것을 한 지점에서 다른 지점으로 옮겨야 합니다. 이것은 완전히 다른 방식으로 수행될 수 있습니다. 우리는 이러한 각 방법을 공의 이동 궤적이라고 부르며 공의 위치 대 시간의 함수로 설명할 수 있습니다. 공의 위치 대 시간 그래프에 이러한 궤적 중 몇 가지를 그려 보겠습니다.

예를 들어, (녹색 궤적)과 동일한 속도로 공을 움직일 수 있습니다. 또는 절반의 시간 동안 지점에 유지한 다음 두 배 속도(파란색 궤적)로 해당 지점으로 이동할 수 있습니다. 먼저 반대 방향으로 이동한 후 (갈색 궤적)으로 이동하면 됩니다. 앞뒤로 움직일 수 있습니다(빨간색 경로). 일반적으로 조건 1)과 2)가 충족된다면 원하는 대로 이동할 수 있습니다.

이러한 각 궤적에 대해 숫자를 연관시킬 수 있습니다. 우리의 예에서는 공에 작용하는 힘이 없을 때 이 숫자는 와 과 사이의 시간 간격에서 전체 이동 시간 동안 축적된 총 운동 에너지와 같습니다. 이를 작용이라고 합니다.

이 경우 "축적된"이라는 단어는 운동 에너지의미를 아주 정확하게 전달하지는 않습니다. 실제로 운동 에너지는 어디에도 축적되지 않으며, 축적은 궤적에 대한 동작을 계산하는 데에만 사용됩니다. 수학에는 그러한 축적에 대한 매우 좋은 개념이 있습니다. 즉 적분은 다음과 같습니다.
작업은 일반적으로 문자로 표시됩니다. 기호는 운동에너지를 의미한다. 이 적분은 동작이 에서 까지의 시간 간격에 걸쳐 공의 축적된 운동 에너지와 동일하다는 것을 의미합니다.

예를 들어, 질량이 1kg인 공을 가지고 몇 가지 경계 조건을 설정하고 두 개의 서로 다른 궤적에 대한 동작을 계산해 보겠습니다. 지점이 지점으로부터 1미터 거리에 있고, 시간은 시간에서 1초 떨어져 있다고 가정합니다. 저것들. 우리는 초기 순간에 지점에 있던 공을 축을 따라 1m 거리까지 1초 안에 이동해야 합니다.

첫 번째 예(녹색 궤적)에서는 공을 균일하게 이동했습니다. 동일한 속도로 m/s와 같아야 합니다. 매 순간 공의 운동 에너지는 = 1/2 J와 같습니다. 1초 안에 1/2 J의 운동 에너지가 축적됩니다. 저것들. 그러한 궤적에 대한 작용은 다음과 같습니다: J s.

이제 공을 한 지점에서 다른 지점으로 즉시 이동하지 말고 0.5초 동안 그 지점을 잡고 남은 시간 동안 균등하게 지점으로 이동해 보겠습니다. 전반 1/2초 동안 공은 정지해 있고 운동 에너지는 0입니다. 따라서 궤적의 이 부분의 작용에 대한 기여도 0입니다. 후반 0.5초 동안 우리는 공을 두 배의 속도인 m/s로 움직입니다. 운동 에너지는 = 2 J와 같습니다. 이 기간의 작용에 대한 기여는 2 J x 0.5초와 같습니다. 1J초 그러므로 그러한 궤적에 대한 총 작용은 Js와 같습니다.

마찬가지로, 우리가 제공한 경계 조건 1)과 2)를 갖는 다른 궤적은 이 궤적에 대한 동작과 동일한 특정 숫자에 해당합니다. 이러한 모든 궤적 중에서 작용이 가장 적은 궤적이 있습니다. 이 궤적이 녹색 궤적임을 증명할 수 있습니다. 등속운동공. 다른 궤적은 아무리 까다로워도 액션은 1/2 이상이 됩니다.

수학에서는 특정 숫자의 각 함수에 대한 이러한 비교를 함수라고 합니다. 우리와 유사한 물리학 및 수학 문제가 자주 발생합니다. 특정 함수의 값이 최소인 함수를 찾는 것입니다. 예를 들어, 규모가 큰 작업 중 하나는 역사적 의미수학의 발전은 바키스토크로네의 문제이기 때문이다. 저것들. 공이 가장 빠르게 굴러가는 곡선을 찾는다. 다시 말하지만, 각 곡선은 함수 h(x)로 표현될 수 있으며, 각 함수는 숫자(이 경우 공을 굴리는 시간)와 연관될 수 있습니다. 다시 말하지만, 문제는 함수의 값이 최소인 함수를 찾는 것입니다. 이러한 문제를 다루는 수학 분야를 변분법이라고 합니다.

최소 작용의 원리

위에서 논의한 예에는 두 가지 다른 방법으로 얻은 두 가지 특별한 궤적이 있습니다.

첫 번째 궤적은 물리 법칙으로부터 얻어지며 아무런 힘도 작용하지 않고 경계 조건이 1) 및 2) 형식으로 지정되는 자유 공의 실제 궤적에 해당합니다.

두 번째 궤적은 주어진 경계 조건 1)과 2)를 사용하여 궤적을 찾는 수학적 문제에서 얻어지며, 이에 대한 동작은 최소입니다.

최소작용의 원리는 이 두 궤도가 일치해야 한다는 것입니다. 즉, 경계조건 1)과 2)를 만족하는 방식으로 공이 움직였다는 것을 알면 반드시 동일한 경계를 갖는 다른 궤적에 비해 작용이 가장 작은 궤적을 따라 움직였다는 뜻이다. 정황.

누군가는 이것을 단순한 우연이라고 생각할 수도 있다. 균일한 궤적과 직선이 나타나는 문제가 많다. 그러나 최소작용의 원리는 매우 일반 원칙, 예를 들어 균일한 중력장에서 공의 움직임과 같은 다른 상황에서도 유효합니다. 이렇게하려면 운동 에너지를 운동 에너지와 운동 에너지의 차이로 대체하면됩니다. 잠재력. 이 차이를 라그랑지안 또는 라그랑지안 함수라고 하며, 이제 작용은 총 누적 라그랑지안과 동일해집니다. 실제로 라그랑주 함수에는 시스템의 동적 속성에 대해 필요한 모든 정보가 포함되어 있습니다.

균일한 중력장에서 공이 순간적으로 한 지점을 통과하고 순간적으로 한 지점에 도달하는 방식으로 공을 발사하면 뉴턴의 법칙에 따라 공은 포물선을 따라 날아갈 것입니다. 동작이 최소화되는 궤적과 일치하는 것은 이 포물선입니다.

따라서, 예를 들어 지구의 중력장과 같은 전위장에서 움직이는 물체의 경우 라그랑주 함수는 다음과 같습니다. 운동 에너지는 신체의 속도에 따라 달라지며 위치 에너지는 위치에 따라 달라집니다. 좌표 분석 역학에서 시스템의 위치를 결정하는 전체 좌표 세트는 일반적으로 하나의 문자로 표시됩니다. 중력장에서 자유롭게 움직이는 공의 경우 는 좌표를 의미하고 을 의미합니다.
어떤 양의 변화율을 나타내기 위해 물리학에서는 종종 이 양 위에 점을 찍습니다. 예를 들어 좌표의 변화율, 즉 몸이 그 방향으로 움직이는 속도를 나타낸다. 이러한 규칙을 사용하여 분석 역학에서 공의 속도는 다음과 같이 표시됩니다. 저것들. 속도 성분을 나타냅니다.
라그랑주 함수는 속도와 좌표에 의존하고 명시적으로 시간에 의존할 수도 있으므로(명시적으로 시간에 의존한다는 것은 공의 동일한 속도와 위치에 대해 서로 다른 시간에 값이 다르다는 것을 의미함) 다음의 동작은 일반적인 견해다음과 같이 쓰여졌다

항상 최소한은 아닙니다

그러나 이전 부분의 끝에서 우리는 최소 조치의 원칙이 분명히 작동하지 않는 예를 살펴보았습니다. 이를 위해 우리는 힘이 작용하지 않는 자유 공을 다시 가져와 그 옆에 스프링 벽을 배치했습니다.

점과 점이 일치하도록 경계조건을 설정합니다. 저것들. 그 순간과 그 순간 모두 공은 같은 지점에 있어야 합니다. 가능한 궤적 중 하나는 공이 가만히 서있는 것입니다. 저것들. 와 그 사이의 전체 기간 동안 그는 그 지점에 서게 될 것입니다. 이 경우 운동 에너지와 위치 에너지는 0과 같으므로 그러한 궤적에 대한 작용도 0과 같습니다.

엄밀히 말하면 위치 에너지는 0이 아니라 임의의 숫자로 간주될 수 있습니다. 공간의 여러 지점에서 위치 에너지의 차이가 중요하기 때문입니다. 그러나 위치 에너지 값을 변경해도 최소한의 동작으로 궤도 검색에는 영향을 미치지 않습니다. 단지 모든 궤적에 대해 액션 값이 동일한 숫자로 변경되고 최소 액션의 궤적이 최소 액션의 궤적으로 유지된다는 것입니다. 편의상 공의 위치 에너지를 0으로 선택하겠습니다.

동일한 경계 조건을 갖는 또 다른 가능한 물리적 궤적은 공이 먼저 오른쪽으로 날아가서 시간에 해당 지점을 통과하는 궤적입니다. 그런 다음 그는 스프링과 충돌하여 압축하고 스프링을 곧게 펴고 공을 뒤로 밀면 다시 지점을 지나 날아갑니다. 공이 벽에 튕겨져 그 순간 정확하게 지점을 통과하도록 속도를 선택할 수 있습니다. 이러한 궤적에 대한 작용은 기본적으로 지점과 벽 사이 및 뒤로 비행하는 동안 축적된 운동 에너지와 동일합니다. 공이 스프링을 압축하고 위치 에너지가 증가하는 일정 기간이 있으며, 이 기간 동안 위치 에너지는 동작에 부정적인 기여를 할 것입니다. 그러나 그러한 기간은 그리 길지 않으며 효과를 크게 감소시키지도 않습니다.

그림은 공의 움직임에 대해 물리적으로 가능한 두 가지 궤적을 모두 보여줍니다. 녹색 궤적은 정지한 공에 해당하고, 파란색 궤적은 스프링 벽에서 튀어나오는 공에 해당합니다.

그러나 그 중 단 하나, 즉 첫 번째 효과가 최소한으로 나타납니다! 두 번째 궤적에는 더 많은 동작이 있습니다. 이 문제에는 물리적으로 가능한 두 개의 궤적이 있고 최소한의 동작으로만 가능한 궤적이 있다는 것이 밝혀졌습니다. 저것들. 이 경우 최소작용의 원리는 작동하지 않습니다.

고정점

여기서 무슨 일이 일어나고 있는지 이해하기 위해 지금은 최소 동작의 원칙을 무시하고 일반적인 기능으로 넘어가겠습니다. 몇 가지 함수를 가져와 그래프를 그려보겠습니다.

그래프에서 나는 네 가지 특별한 점을 녹색으로 표시했습니다. 이 점들의 공통점은 무엇입니까? 함수 그래프가 공이 굴러갈 수 있는 실제 슬라이드라고 상상해 봅시다. 4개의 표시된 지점은 공을 정확하게 위치에 놓으면 특별합니다. 이 지점, 그러면 어느 곳에서도 굴러가지 않을 것입니다. 예를 들어 E 지점과 같은 다른 모든 지점에서는 가만히 서있을 수 없으며 아래로 미끄러지기 시작합니다. 이러한 점을 고정점이라고 합니다. 그러한 점을 찾는 것은 유용한 작업입니다. 함수의 최대값이나 최소값은 급격하게 끊어지지 않는 경우 반드시 고정점이어야 하기 때문입니다.

이러한 점을 더 정확하게 분류하면 점 A는 함수의 절대 최소값입니다. 그 값은 다른 함수 값보다 작습니다. B점은 최대값도 최소값도 아니며 안장점(Saddle Point)이라고 합니다. 점 C를 지역 최대값(Local maximum)이라고 합니다. 그 값은 함수의 이웃 지점보다 큽니다. 그리고 점 D는 지역 최소값입니다. 즉 그 값은 함수의 이웃 지점보다 작습니다.

이러한 점에 대한 검색은 수학적 분석이라는 수학 분야에서 수행됩니다. 그렇지 않은 경우에는 극미량 분석을 수행할 수 있기 때문에 때때로 극미량 분석이라고도 합니다. 관점에서 수학적 분석고정점은 하나의 특별한 속성을 가지고 있으며 그 덕분에 발견됩니다. 이 속성이 무엇인지 이해하려면 이 지점에서 아주 작은 거리에서 함수가 어떻게 보이는지 이해해야 합니다. 이를 위해 현미경을 사용하여 우리의 지점을 살펴보겠습니다. 그림은 다양한 배율의 다양한 지점 근처에서 기능이 어떻게 보이는지 보여줍니다.

매우 높은 배율(즉, 매우 작은 편차 x의 경우)에서 정지점은 정확히 동일하게 보이고 비정지점과 매우 다르다는 것을 알 수 있습니다. 이 차이점이 무엇인지 이해하기 쉽습니다. 정지점에서의 함수 그래프는 증가하면 완전히 수평선이 되고, 정지하지 않는 지점에서는 기울어진 선이 됩니다. 이것이 정지된 지점에 설치된 공이 굴러가지 않는 이유입니다.

정지점에 있는 함수의 수평성은 다르게 표현될 수 있습니다. 정지점에 있는 함수는 인수 자체의 변화와 비교해도 인수의 아주 작은 변화로도 실제로 변하지 않습니다. 변화가 작은 비정지점에서의 기능은 변화에 비례하여 변화합니다. 그리고 함수의 기울기가 클수록 가 있을 때 함수가 더 많이 변경됩니다. 실제로 함수가 증가할수록 문제의 지점에서 그래프의 접선과 점점 더 비슷해집니다.

엄격한 수학적 언어"함수는 아주 작은 변화가 있는 지점에서 실질적으로 변하지 않는다"라는 표현은 함수의 변화와 인수의 변화의 비율이 0이 될수록 0이 되는 경향이 있다는 것을 의미합니다.
$$display$$\lim_(Δx \to 0) \frac (Δy(x_0))(Δx) = \lim_(x \to 0) \frac (y(x_0+Δx)-y(x_0) )(Δx) = 0$$디스플레이$$

고정되지 않은 점의 경우 이 비율은 0이 아닌 숫자로 나타나는 경향이 있으며 이는 이 점에서 함수 기울기의 접선과 같습니다. 이 동일한 숫자를 주어진 지점에서 함수의 도함수라고 합니다. 함수의 도함수는 다음과 같은 경우 주어진 지점 주위에서 함수가 얼마나 빨리 변하는지 보여줍니다. 잔돈그녀의 주장. 따라서 정지점은 함수의 도함수가 0인 점입니다.

고정 궤적

고정점과 유사하게 고정 궤적의 개념을 소개할 수 있습니다. 각 궤적은 특정 작업 값에 해당한다는 점을 기억하세요. 어떤 숫자. 그런 다음 동일한 경계 조건을 가진 가까운 궤적의 경우 해당 동작 값이 정지 궤적 자체의 동작과 실질적으로 다르지 않은 궤적이 있을 수 있습니다. 이러한 궤적을 고정 궤적이라고 합니다. 즉, 정지 상태에 가까운 모든 궤적은 이 정지 상태 궤적에 대한 동작과 거의 다르지 않은 동작 값을 갖습니다.

다시 말하지만, 수학적 언어에서 "약간 다르다"는 정확한 의미는 다음과 같습니다. 필요한 경계 조건 1)과 2)를 갖는 함수에 대해 주어진 함수가 있다고 가정해 보겠습니다. 그리고 . 궤도가 정지되어 있다고 가정해보자.
끝에서 0 값을 취하도록 다른 함수를 사용할 수 있습니다. = = 0. 변수를 하나 선택하여 점점 더 작게 만들어 보겠습니다. 이 두 함수와 변수로부터 경계 조건을 만족하는 세 번째 함수를 구성할 수 있습니다. 감소함에 따라 함수에 해당하는 궤도는 점점 더 궤도에 가까워집니다.
더욱이, 고정 궤적의 경우 궤적에 대한 기능의 작은 값은 와 비교해도 기능의 값과 거의 다르지 않습니다. 저것들.
$$display$$\lim_(ε \to 0) \frac (S(x"(t))-S(x(t)))ε=\lim_(ε \to 0) \frac (S(x( t)+εg(t))-S(x(t)))ε = 0$$디스플레이$$

더욱이 이는 경계 조건 = = 0을 충족하는 모든 궤적에 대해 적용됩니다.
함수의 작은 변화로 함수의 변화(보다 정확하게는 함수의 변화에 비례하는 함수의 변화의 선형 부분)를 함수의 변형이라고 하며 로 표시합니다. "변이의 계산"이라는 이름은 "변이"라는 용어에서 유래되었습니다.
고정 궤적의 경우 기능의 변형입니다.
두 명의 수학자 오일러(Euler)와 라그랑주(Lagrange)는 고정 함수(최소 작용 원리뿐만 아니라 다른 많은 문제에 대해서도)를 찾는 방법을 발견했습니다. 함수가 작용 적분과 유사한 적분으로 표현되는 고정 함수는 현재 오일러-라그랑주 방정식이라고 불리는 특정 방정식을 충족해야 한다는 것이 밝혀졌습니다.

고정 원리

궤적에 대한 최소 동작이 있는 상황은 기능이 최소인 상황과 유사합니다. 궤적의 효과가 가장 적으려면 고정된 궤적이어야 합니다. 그러나 모든 고정 궤적이 최소 동작 궤적은 아닙니다. 예를 들어, 고정 궤도는 국지적으로 최소한의 영향을 미칠 수 있습니다. 저것들. 그 행동은 다른 이웃 궤도의 행동보다 적습니다. 그러나 멀리 떨어진 곳에는 작업이 더 적은 다른 궤적이 있을 수 있습니다.

실제 신체가 최소한의 동작으로도 반드시 궤도를 따라 움직일 수는 없다는 것이 밝혀졌습니다. 그들은 더 넓은 특수 궤적, 즉 고정 궤적을 따라 이동할 수 있습니다. 저것들. 신체의 실제 궤적은 항상 고정되어 있습니다. 따라서 최소작용의 원리를 정지작용의 원리라고 부르는 것이 더 정확합니다. 그러나 확립된 전통에 따르면 이는 최소 작용의 원리라고도 불리며, 이는 최소성뿐 아니라 궤적의 정지성도 의미합니다.

이제 우리는 일반적으로 교과서에 쓰여 있는 것처럼 고정 동작의 원리를 수학적 언어로 작성할 수 있습니다.
여기서는 일반화된 좌표입니다. 시스템의 위치를 고유하게 정의하는 변수 세트입니다.
- 일반화된 좌표의 변화율.
- 일반화된 좌표, 속도 및 시간에 따라 달라지는 라그랑주 함수.
- 시스템의 특정 궤적(예: )에 따라 달라지는 작업입니다.
시스템의 실제 궤적은 고정되어 있습니다. 그들에게는 행동의 변형이 있습니다.

공과 탄성 벽의 예로 돌아가면 이 상황에 대한 설명은 이제 매우 간단해집니다. 공이 시간과 시간 모두에서 한 지점에 도달해야 하는 주어진 경계 조건에서는 두 개의 고정된 궤적이 있습니다. 그리고 공은 실제로 이러한 궤적을 따라 움직일 수 있습니다. 궤적 중 하나를 명시적으로 선택하려면 공의 움직임에 부과하면 됩니다. 추가 조건. 예를 들어, 공이 벽에 부딪혀 튕겨져야 한다고 가정해 보겠습니다. 그러면 궤도가 명확하게 결정됩니다.

다음 부분에서 논의할 최소(보다 정확하게는 고정) 동작의 원리에서 몇 가지 놀라운 결과가 나옵니다.

그들은 그에게 복종하므로 이 원칙은 핵심 조항 중 하나입니다. 현대 물리학. 이를 통해 얻은 운동 방정식을 오일러-라그랑주 방정식이라고 합니다.

이 원리의 첫 번째 공식은 그 해에 P. Maupertuis에 의해 제시되었으며, 광학 및 기계에 적용할 수 있다는 점을 고려하여 그 보편적인 특성을 즉시 지적했습니다. 이 원리로부터 그는 빛의 반사와 굴절의 법칙을 도출했습니다.

이야기

Maupertuis는 우주의 완전성을 위해서는 자연의 특정 경제가 필요하며 불필요한 에너지 소비와 모순된다는 느낌에서 이 원칙을 얻었습니다. 자연스러운 움직임은 특정 양을 최소로 만드는 것과 같아야 합니다. 그가 해야 할 일은 이 가치를 찾는 것뿐이었고, 그는 계속해서 그렇게 했습니다. 이는 시스템 내에서 이동하는 기간(시간)에 두 배의 값을 곱한 값으로, 현재 이를 시스템의 운동 에너지라고 부릅니다.

오일러(in "Réflexions sur quelques loix générales de la nature", 1748)은 최소한의 행동 원칙을 채택하여 행동을 "노력"이라고 부릅니다. 정역학에서의 표현은 우리가 이제 위치 에너지라고 부르는 것에 해당하므로 정역학에서 최소 작용에 대한 설명은 평형 구성에 대한 최소 위치 에너지 조건과 동일합니다.

고전역학에서는

최소작용의 원리는 라그랑지안과 해밀턴 역학의 공식화의 기본이자 표준 기반이 됩니다.

먼저 구성을 살펴보면 다음과 같습니다. 라그랑주 역학. 자유도가 1인 물리적 시스템의 예를 사용하여 동작은 (일반화된) 좌표(자유도가 1인 경우 - 좌표 1개)에 대해 함수라는 점, 즉 다음을 통해 표현된다는 점을 상기해 보겠습니다. 생각할 수 있는 함수의 각 버전은 특정 숫자, 즉 동작과 연관됩니다(이 의미에서 함수로서의 동작은 주어진 함수가 잘 정의된 숫자를 계산하도록 허용하는 규칙이라고 말할 수 있습니다. 액션이라고 합니다.) 작업은 다음과 같습니다.

일반화된 좌표, 시간에 대한 1차 도함수, 그리고 명시적으로 시간에 따른 시스템의 라그랑주는 어디에 있습니까? 시스템의 자유도가 더 큰 경우 라그랑지안은 다음에 따라 달라집니다. 더 일반화된 좌표그리고 그들의 첫 번째 파생 상품. 따라서 동작은 신체의 궤적에 따라 달라지는 스칼라 함수입니다.

동작이 스칼라라는 사실로 인해 일반화된 좌표로 쉽게 작성할 수 있으며, 가장 중요한 점은 시스템의 위치(구성)가 해당 동작에 의해 명확하게 특성화된다는 것입니다(예를 들어 데카르트 좌표 대신 극좌표가 될 수 있음). 좌표, 시스템 점 사이의 거리, 각도 또는 기능 등).

동작이 아무리 "야생적"이고 "부자연스럽다"고 하더라도 완전히 임의적인 궤적에 대해 동작을 계산할 수 있습니다. 그러나 고전 역학에서는 가능한 전체 궤적 중에서 신체가 실제로 이동할 수 있는 궤적은 하나만 있습니다. 고정 동작의 원리는 신체가 실제로 어떻게 움직일지에 대한 질문에 대한 답을 정확하게 제공합니다.

이는 시스템의 라그랑주 방정식이 주어지면 변형 미적분학을 사용하여 먼저 운동 방정식인 오일러-라그랑주 방정식을 얻은 다음 이를 풀어 몸체가 어떻게 움직이는지 정확하게 설정할 수 있음을 의미합니다. 이를 통해 역학 공식을 심각하게 일반화할 수 있을 뿐만 아니라 데카르트 좌표에 국한되지 않고 각 특정 문제에 대해 가장 편리한 좌표를 선택할 수 있어 가장 간단하고 쉽게 풀 수 있는 방정식을 얻는 데 매우 유용할 수 있습니다.

이 시스템의 해밀턴 함수는 어디에 있습니까? - (일반화된) 좌표, - 공액(일반화된) 충격은 주어진 각 순간에 시스템의 동적 상태를 함께 특징짓고, 각각은 시간의 함수로서 시스템의 진화(동작)를 특징짓습니다. 이 경우 해밀턴의 표준 방정식 형태로 시스템의 운동 방정식을 얻으려면 이렇게 작성된 동작을 모든 및 에 대해 독립적으로 변경해야 합니다.

문제의 조건에서 원칙적으로 운동 법칙을 찾는 것이 가능하다면 이는 자동으로 수행됩니다. 아니다이는 실제 운동 중에 고정된 값을 취하는 함수를 구성하는 것이 가능하다는 것을 의미합니다. 예를 들면 공동 운동이 될 것입니다. 전기요금전자기장 내 단극(자기 전하). 그들의 운동 방정식은 정지 작용의 원리로부터 도출될 수 없습니다. 마찬가지로 일부 해밀턴 시스템에는 이 원리에서 파생될 수 없는 운동 방정식이 있습니다.

예

사소한 예는 오일러-라그랑주 방정식을 통해 작동 원리의 사용을 평가하는 데 도움이 됩니다. 자유입자(질량 중그리고 속도 다섯) 유클리드 공간에서는 직선으로 움직인다. 이를 오일러-라그랑주 방정식을 사용하면 다음과 같이 극좌표로 표시할 수 있습니다. 전위가 없으면 라그랑주 함수는 단순히 운동 에너지와 같습니다.

직교 좌표계에서.

극좌표에서 운동 에너지, 즉 라그랑주 함수는 다음과 같습니다.

방정식의 반경 및 각도 구성 요소는 각각 다음과 같습니다.

이 두 방정식 풀기

다음은 모든 궤적 x(t)에 대한 무한 다중 기능 적분에 대한 조건부 표기법이며 플랑크 상수입니다. 원칙적으로 양자역학에서 진화 연산자를 연구할 때 지수의 작용은 그 자체로 나타나거나 나타날 수 있지만, 정확한 고전적(비양자) 유사성을 갖는 시스템의 경우에는 일반적인 클래식 액션.

충분히 큰 , 즉 허수 지수의 매우 빠른 진동에 대해 고전적 극한에서 이 표현을 수학적 분석하면 이 적분에서 가능한 모든 궤적의 압도적인 대다수가 극한(공식적으로 에서)에서 서로 상쇄된다는 것을 보여줍니다. 거의 모든 경로에는 위상 변이가 정확히 반대가 되어 기여도가 0이 되는 경로가 있습니다. 동작이 극한값(대부분의 시스템에서 최소값)에 가까운 궤적만 줄어들지 않습니다. 깨끗해요 수학적 사실복소 변수의 함수 이론에서; 예를 들어 고정상 방법이 이를 기반으로 합니다.

결과적으로 입자는 양자 역학의 법칙과 완전히 일치하여 모든 궤적을 따라 동시에 움직이지만 정상적인 조건에서는 고정된(즉, 고전적인) 궤적만 관찰된 값에 기여합니다. 부터 양자역학고에너지 한계에서 고전적으로 변환되면 이것이 다음과 같다고 가정할 수 있습니다. 행동의 정상성의 고전적 원리의 양자역학적 유도.

양자장 이론에서는

안에 양자 이론필드에서는 행동의 정상성 원리도 성공적으로 적용됩니다. 여기서 라그랑지 밀도에는 해당 양자장의 연산자가 포함됩니다. 본질적으로 (고전적인 한계와 부분적으로 준 고전적인 것을 제외하고) 행동의 정상성의 원리에 대해 말하는 것이 아니라 이러한 필드의 구성 또는 위상 공간의 궤적을 따른 파인만 통합에 대해 말하는 것이 더 정확하지만-사용 방금 언급한 라그랑지 밀도.

추가 일반화

보다 광범위하게, 액션은 구성 공간에서 실수 집합으로의 매핑을 정의하는 기능으로 이해되며 일반적으로 비로컬 액션이 원칙적으로 가능하기 때문에 적분일 필요는 없습니다. 이론적으로는. 더욱이 구성 공간은 비가환 기하학을 가질 수 있으므로 반드시 함수 공간일 필요는 없습니다.

이 원리를 처음 알았을 때 나는 일종의 신비주의적인 느낌을 받았습니다. 자연은 신비롭게 모든 것을 정리하는 것 같아요 가능한 방법시스템의 움직임을 파악하고 그 중에서 가장 좋은 것을 선택합니다.

오늘 저는 물리학의 가장 놀라운 원리 중 하나인 최소 작용의 원리에 대해 조금 이야기하고 싶습니다.

배경

갈릴레오 시대 이후로 어떤 힘에도 영향을 받지 않는 물체는 직선, 즉 최단 경로를 따라 움직이는 것으로 알려져 있습니다. 광선도 직선으로 이동합니다.

반사되면 빛은 가능한 가장 짧은 방법으로 한 지점에서 다른 지점으로 이동하는 방식으로 이동합니다. 그림에서 가장 짧은 경로는 녹색 경로가 되며 입사각은 다음과 같습니다. 각도와 같음반사. 예를 들어 빨간색과 같은 다른 경로는 더 길어집니다.

이는 단순히 거울 반대쪽에 있는 광선의 경로를 반사함으로써 쉽게 증명할 수 있습니다. 그림에서는 점선으로 표시되어 있습니다.

녹색 경로 ACB가 직선 ACB'로 바뀌는 것을 볼 수 있습니다. 그리고 빨간색 경로는 녹색 경로보다 긴 파선 ADB'로 변합니다.

1662년 피에르 페르마(Pierre Fermat)는 빛의 속도가 다음과 같다고 제안했습니다. 밀도가 높은 물질, 예를 들어 유리에서는 공기보다 적습니다. 이전에는 빛의 속도를 얻으려면 물질 내에서 빛의 속도가 공기 중에서보다 빨라야 한다는 데카르트의 설명이 일반적으로 받아들여졌습니다. 올바른 법굴절. 페르마에게는 빛이 희박한 매질에서보다 밀도가 높은 매질에서 더 빨리 움직일 수 있다는 가정이 부자연스러워 보였습니다. 따라서 그는 모든 것이 정반대라고 가정하고 놀라운 것을 증명했습니다. 이 가정을 통해 빛은 최소 시간 내에 목적지에 도달하는 방식으로 굴절됩니다.

이번에도 녹색은 광선이 실제로 이동하는 경로를 보여줍니다. 빨간색으로 표시된 경로는 가장 짧지만 가장 빠르지는 않습니다. 빛이 유리를 통과하는 경로가 더 길고 속도도 느리기 때문입니다. 가장 빠른 경로는 광선의 실제 경로입니다.

이 모든 사실은 자연이 합리적인 방식으로 행동하고 빛과 신체가 가장 최적의 방식으로 움직이며 가능한 한 적은 노력을 기울인다는 것을 암시했습니다. 그러나 이것이 어떤 종류의 노력인지, 어떻게 계산하는지 미스터리로 남아 있습니다.

1744년에 Maupertuis는 "작용"이라는 개념을 도입하고 입자의 실제 궤적이 입자의 작용이 최소화된다는 점에서 다른 것과 다르다는 원리를 공식화했습니다. 그러나 Maupertuis 자신은 이 조치의 의미에 대해 명확한 정의를 내릴 수 없었습니다. 최소 작용 원리에 대한 엄격한 수학적 공식은 이미 다른 수학자인 오일러(Euler), 라그랑주(Lagrange)에 의해 개발되었으며 마침내 윌리엄 해밀턴(William Hamilton)에 의해 제시되었습니다.

수학적 언어에서는 최소 작용의 원리가 매우 간략하게 공식화되지만 모든 독자가 사용된 표기법의 의미를 이해할 수는 없습니다. 나는 이 원리를 좀 더 명확하고 간단한 용어로 설명하고 싶습니다.

자유체

따라서 당신이 어느 시점에 차에 앉아 있고 주어진 순간에 있다고 상상해보십시오. 간단한 작업: 당신이 지점까지 차를 운전해야 할 때까지.

자동차 연료는 비싸므로 가능한 한 적게 사용하고 싶을 것입니다. 귀하의 자동차는 최신 슈퍼 기술을 사용하여 제작되었으며 원하는 만큼 빠르게 가속하거나 제동할 수 있습니다. 그러나 속도가 빠를수록 더 많은 연료를 소비하도록 설계되었습니다. 또한 연료 소비는 속도의 제곱에 비례합니다. 두 배 빠른 속도로 운전하면 같은 시간 동안 4배 더 많은 연료를 소비하게 됩니다. 속도 외에도 연료 소비는 물론 차량 중량의 영향을 받습니다. 자동차가 무거울수록 더 많은 연료를 소비합니다. 매 순간 우리 자동차의 연료 소비량은 동일합니다. 자동차의 운동에너지와 정확히 같습니다.

그렇다면 약속된 시간에 정확히 목적지에 도착하고 연료를 최대한 적게 사용하려면 어떻게 운전해야 할까요? 직선으로 가야한다는 것은 분명합니다. 이동 거리가 증가하더라도 연료 소비는 줄어들지 않습니다. 그런 다음 다른 전술을 선택할 수 있습니다. 예를 들어, 미리 해당 지점에 빠르게 도착하고 시간이 올 때까지 앉아서 기다릴 수 있습니다. 주행 속도에 따라 매 순간의 연료 소비량이 높아지지만 주행 시간도 단축됩니다. 아마도 전체 연료 소비는 그리 크지 않을 것입니다. 또는 같은 속도로 균등하게 운전하여 서두르지 않고 정확히 그 순간에 도착할 수 있습니다. 또는 부분적으로 빠르게 운전하고 부분적으로는 더 천천히 운전하십시오. 가장 좋은 방법은 무엇입니까?

가장 최적이고 경제적인 운전 방법은 정해진 시간에 정확히 목적지에 도착할 수 있도록 일정한 속도로 운전하는 것입니다. 다른 옵션을 선택하면 더 많은 연료가 소모됩니다. 여러 가지 예를 통해 직접 확인할 수 있습니다. 그 이유는 속도의 제곱에 비례하여 연료 소비가 증가하기 때문입니다. 따라서 속도가 증가할수록 주행시간이 감소하는 것보다 연료소비가 더 빨리 증가하게 되어 전체적인 연료소비도 증가하게 된다.

그래서 우리는 자동차가 매 순간의 운동에너지에 비례하여 연료를 소비한다면, 정해진 시간에 정확히 한 지점에서 다른 지점으로 이동하는 가장 경제적인 방법은 균일하고 직선으로 운전하는 것임을 알아냈습니다. 힘이 작용하지 않을 때 신체가 움직이는 방식. 다른 운전 방법을 사용하면 전체 연료 소비량이 높아집니다.

중력 분야에서는

이제 우리 차를 조금 개선해 봅시다. 제트 엔진을 부착해 어느 방향으로든 자유롭게 날 수 있도록 합시다. 일반적으로 디자인은 동일하게 유지되었으므로 연료 소비량은 다시 자동차의 운동 에너지에 엄격하게 비례했습니다. 이제 한 지점에서 한 지점에서 비행하여 특정 지점에 도착하는 작업이 주어진다면 가장 경제적 인 방법은 이전과 마찬가지로 끝내기 위해 균일하고 직선으로 비행하는 것입니다. 정확히 약속된 시간에 한 지점에 올라갔다. 이는 다시 3차원 공간에서 신체의 자유로운 움직임에 해당합니다.

그런데 최신 차종에는 특이한 장치가 탑재됐다. 이 장치는 말 그대로 무(無)에서 연료를 생산할 수 있습니다. 그러나 자동차의 높이가 높을수록 장치는 주어진 시간에 더 많은 연료를 생산하도록 설계되었습니다. 연료 생산량은 자동차가 현재 위치한 고도에 정비례합니다. 또한 자동차가 무거울수록 장치가 더 강력하게 설치되어 더 많은 연료가 생산되며 생산량은 자동차 무게에 정비례합니다. 이 장치는 연료 생산량이 (자유 낙하 가속도는 어디에서) 정확히 동일하도록 밝혀졌습니다. 자동차의 잠재적 에너지.

각 순간의 연료 소비량은 운동 에너지에서 자동차의 위치 에너지를 뺀 것과 같습니다(설치된 장치가 연료를 생산하고 소비하지 않기 때문에 위치 에너지를 뺀 값). 이제 가능한 한 효율적으로 지점 사이에서 자동차를 이동하는 작업이 더욱 어려워졌습니다. 이 경우 직선 등속 운동은 가장 효과적이지 않은 것으로 나타났습니다. 약간의 고도를 확보하고 잠시 거기에 머물면서 더 많은 연료를 소모한 다음 지점까지 하강하는 것이 더 최적인 것으로 나타났습니다. 올바른 비행 궤적을 사용하면 상승으로 인한 총 연료 생산량이 경로 길이를 늘리고 속도를 높이는 데 필요한 추가 연료 비용을 충당할 수 있습니다. 주의 깊게 계산해 보면 자동차의 가장 경제적인 방법은 지구의 중력장에서 돌이 날아가는 것과 똑같은 궤적과 속도로 포물선을 그리며 날아가는 것입니다.

여기서 명확히 할 가치가 있습니다. 물론, 다양한 방법으로 한 지점에서 돌을 던져서 그 지점에 맞힐 수 있습니다. 하지만 그 순간 그 지점에서 이륙하여 그 순간 정확히 그 지점에 도달하도록 던져야합니다. 우리 차에 가장 경제적 인 것은 바로 이러한 움직임입니다.

라그랑주 함수와 최소 작용 원리

이제 이 비유를 실제 사례로 옮길 수 있습니다. 육체. 신체의 연료 소비율과 유사한 것을 라그랑주 함수 또는 라그랑지안(라그랑주를 기리기 위해)이라고 하며 문자로 표시됩니다. 라그랑지안은 주어진 시간에 신체가 소비하는 "연료"의 양을 보여줍니다. 전위장에서 움직이는 물체의 경우 라그랑지안은 운동 에너지에서 위치 에너지를 뺀 것과 같습니다.

전체 이동 기간 동안 소비되는 총 연료량과 유사합니다. 전체 이동 기간에 걸쳐 누적된 라그랑지 값을 "작용"이라고 합니다.

최소 작용의 원리는 동작(움직임 궤적에 따라 다름)이 최소화되는 방식으로 신체가 움직이는 것입니다. 동시에 초기 조건과 최종 조건이 지정되어 있다는 점을 잊어서는 안 됩니다. 시간의 순간과 시간의 순간에 몸이 있는 곳.

이 경우, 신체가 반드시 균일한 중력장에서 움직일 필요는 없습니다. 우리는 이를 자동차에서 고려했습니다. 완전히 다른 상황을 고려할 수 있습니다. 신체는 탄성 밴드 위에서 진동하거나, 진자 위에서 흔들리거나, 태양 주위를 날 수 있습니다. 이 모든 경우 신체는 "총 연료 소비"를 최소화하는 방식으로 움직입니다. 행동.

시스템이 여러 개의 몸체로 구성된 경우 해당 시스템의 라그랑지안은 모든 몸체의 총 운동 에너지에서 모든 몸체의 총 위치 에너지를 뺀 것과 같습니다. 그리고 다시 말하면, 모든 몸체가 함께 움직이므로 그러한 움직임 동안 전체 시스템의 영향이 최소화됩니다.

그렇게 간단하지 않아요

사실 나는 몸이 항상 행동을 최소화하는 방식으로 움직인다고 말하면서 약간 속였습니다. 이는 많은 경우에 사실이지만, 조치가 분명히 미미하지 않은 상황을 생각해 볼 수 있습니다.

예를 들어, 공을 가져다가 빈 공간에 놓아보자. 그것으로부터 어느 정도 떨어진 곳에 탄성 벽을 배치할 것입니다. 일정 시간이 지난 후 공이 같은 위치에 있기를 원한다고 가정해 보겠습니다. 이러한 주어진 조건에서 공은 두 가지 다른 방식으로 움직일 수 있습니다. 첫째, 단순히 제자리에 머물 수 있습니다. 둘째, 벽쪽으로 밀어 넣을 수 있습니다. 공은 벽에 부딪혔다가 튕겨져 돌아옵니다. 정확한 시간에 돌아올 수 있는 속도로 밀 수 있다는 것은 분명합니다.

공의 이동에 대한 두 가지 옵션이 모두 가능하지만 두 번째 경우의 동작은 더 커집니다. 왜냐하면 이번에는 공이 0이 아닌 운동 에너지로 움직이기 때문입니다.

그러한 상황에서 유효하도록 최소 행동의 원칙을 어떻게 저장할 수 있습니까? 이에 대해 이야기하겠습니다.

그들은 그것에 복종하므로 이 원리는 현대 물리학의 핵심 조항 중 하나입니다. 이를 통해 얻은 운동 방정식을 오일러-라그랑주 방정식이라고 합니다.

이야기

고전역학에서는

최소작용의 원리는 라그랑지안과 해밀턴 역학의 공식화의 기본이자 표준 기반이 됩니다.

일반화된 좌표, 시간에 대한 1차 도함수, 그리고 명시적으로 시간에 따른 시스템의 라그랑주는 어디에 있습니까? 시스템의 자유도가 더 큰 경우 라그랑지안은 더 많은 수의 일반화된 좌표와 시간에 대한 1차 도함수에 의존합니다. 따라서 동작은 신체의 궤적에 따라 달라지는 스칼라 함수입니다.

문제의 조건에서 원칙적으로 운동 법칙을 찾는 것이 가능하다면 이는 자동으로 수행됩니다. 아니다이는 실제 운동 중에 고정된 값을 취하는 함수를 구성하는 것이 가능하다는 것을 의미합니다. 예를 들어 전자기장에서 전하와 단극(자기 전하)의 공동 이동이 있습니다. 그들의 운동 방정식은 정지 작용의 원리로부터 도출될 수 없습니다. 마찬가지로 일부 해밀턴 시스템에는 이 원리에서 파생될 수 없는 운동 방정식이 있습니다.

예

직교 좌표계에서.

극좌표에서 운동 에너지, 즉 라그랑주 함수는 다음과 같습니다.

방정식의 반경 및 각도 구성 요소는 각각 다음과 같습니다.

이 두 방정식 풀기

충분히 큰 , 즉 허수 지수의 매우 빠른 진동에 대해 고전적 극한에서 이 표현을 수학적 분석하면 이 적분에서 가능한 모든 궤적의 압도적인 대다수가 극한(공식적으로 에서)에서 서로 상쇄된다는 것을 보여줍니다. 거의 모든 경로에는 위상 변이가 정확히 반대가 되어 기여도가 0이 되는 경로가 있습니다. 동작이 극한값(대부분의 시스템에서 최소값)에 가까운 궤적만 줄어들지 않습니다. 이것은 복소 변수의 함수 이론에서 나온 순전히 수학적 사실입니다. 예를 들어 고정상 방법이 이를 기반으로 합니다.

결과적으로 입자는 양자 역학의 법칙과 완전히 일치하여 모든 궤적을 따라 동시에 움직이지만 정상적인 조건에서는 고정된(즉, 고전적인) 궤적만 관찰된 값에 기여합니다. 양자역학은 고에너지의 한계에서 고전역학으로 변환되기 때문에 다음과 같이 가정할 수 있다. 행동의 정상성의 고전적 원리의 양자역학적 유도.

양자장 이론에서는

양자장 이론에서는 고정 작용의 원리도 성공적으로 적용됩니다. 여기서 라그랑지 밀도에는 해당 양자장의 연산자가 포함됩니다. 본질적으로 (고전적인 한계와 부분적으로 준 고전적인 것을 제외하고) 행동의 정상성의 원리에 대해 말하는 것이 아니라 이러한 필드의 구성 또는 위상 공간의 궤적을 따른 파인만 통합에 대해 말하는 것이 더 정확하지만-사용 방금 언급한 라그랑지 밀도.