변수가 많은 함수의 개념

n-변수가 있고 특정 x 집합의 각 x 1, x 2 ... x n이 정의와 연관되어 있다고 가정합니다. 번호 Z이면 많은 변수의 함수 Z = f (x 1, x 2 ... x n)가 세트 x에 제공됩니다.

X – 기능 정의 영역

x 1, x 2 ... x n – 독립 변수(인수)

Z – 기능 예: Z=P x 2 1 *x 2 (실린더 부피)

Z=f(x;y) – 2개 변수의 함수(x 1, x 2가 x,y로 대체됨)를 생각해 보세요. 결과는 많은 변수의 다른 기능과 유사하게 전달됩니다. 2개의 변수의 기능을 결정하는 영역은 코드 전체(오) 또는 일부입니다. 2변수 함수의 값의 개수는 3차원 공간의 한 면이다.

그래프 구성 기술: - 표면의 단면을 정사각형으로 고려 || 좌표 사각형.

예: x = x 0, zn. 정사각형 X || 0уz y = y 0 0хz 함수 유형: Z=f(x 0 ,y); Z=f(x,y 0)

예: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

포물선 둘러싸기(중심(0,1)

두 변수 함수의 극한과 연속성

Z=f(x;y)가 주어지면 임의의 작은 집합에 대해 A는 t.(x 0 ,y 0)에서 함수의 극한입니다. 숫자 E>0은 양수 b>0이며, 모든 x에 대해 y는 |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z=f(x;y)는 t에서 연속입니다. (x 0 ,y 0) 다음과 같은 경우: - 이 t에서 정의됩니다.; - 결승전이 있어요 x 0으로, y는 y 0으로 경향이 있는 x에서 제한됩니다. - 이 한도 = 값

t의 함수(x 0 ,y 0), 즉 limf(x;y)=f(x 0 ,y 0)

함수가 각각 연속인 경우 t. mn-va X이면 이 영역에서 연속입니다.

미분 함수, 그 기하학적 의미. 대략적인 값에 미분을 적용합니다.

dy=f'(x)Δx – 미분 함수

dy=dx, 즉 y=x인 경우 dy=f ’(x)dx

지질학적 관점에서 함수의 미분은 가로축이 x 0인 지점에서 함수 그래프에 그려진 접선의 세로 좌표의 증가입니다.

Dif-l은 대략적인 계산에 사용됩니다. 공식에 따른 함수의 값: f(x 0 +Δx)~f(x 0)+f'(x 0)Δx

Δx가 x에 가까울수록 결과가 더 정확해집니다.

1차 및 2차 부분도함수

1차 도함수(부분이라고 함)

A. x, y를 영역 X의 특정 지점에서 독립 변수 x 및 y의 증분으로 둡니다. 그런 다음 z = f(x+ x, y+ y) = f(x,y)와 동일한 값을 합계라고 합니다. x 0, y 0 지점에서 증가합니다. 변수 x를 고정하고 변수 y에 증가분 y를 제공하면 zу = f(x,y,+ y) – f(x,y)를 얻습니다.

변수 y의 편미분은 유사하게 결정됩니다. 즉,

2변수 함수의 편미분은 1변수 함수와 동일한 규칙을 사용하여 구합니다.

차이점은 변수 x에 대해 함수를 미분할 때 y는 const로 간주되고, y, x에 대해 미분할 때는 const로 간주된다는 점입니다.

격리된 const는 덧셈/뺄셈 연산을 사용하여 함수에 연결됩니다.

바인딩된 const는 곱셈/나눗셈 연산을 통해 함수에 연결됩니다.

격리된 const의 파생물 = 0

1.4.2변수의 완전한 미분함수와 그 응용

z = f(x,y)라고 하면

tz = - 전체 증분이라고 함

2차 편도함수

2개 변수의 연속 함수의 경우 2차 혼합 편도함수가 일치합니다.

최대 및 최소 함수의 부분 도함수를 결정하기 위해 부분 도함수를 적용하는 것을 극값이라고 합니다.

A. 이 이웃의 모든 x와 y에 대해 f(x,y)가 되는 세그먼트가 있는 경우 점을 최대 또는 최소 z = f(x,y)라고 합니다.

T. 2개의 변수로 구성된 함수의 극값이 주어지면 이 지점의 편도함수 값은 0과 같습니다. 즉 ,

1차 편도함수를 고정 또는 임계라고 부르는 지점입니다.

따라서 2변수 함수의 극점을 찾기 위해서는 충분한 극값 조건이 사용됩니다.

함수 z = f(x,y)가 두 번 미분 가능하고 고정점이라고 가정하면,

1) 및 최대A<0, minA>0.

1.4.(*)완전 차동. 미분의 기하학적 의미. 대략적인 계산에 미분 적용

A. 함수 y = f(x)가 특정 이웃 지점에서 정의되도록 합니다. 함수 f(x)는 이 점에서의 증분이 다음과 같은 경우 점에서 미분 가능하다고 합니다. , 이는 (1) 형식으로 표시됩니다.

여기서 A는 고정점 x에서 와 독립적인 상수 값이고 에서는 극소입니다. 상대적으로 선형인 함수 A는 한 점에서 함수 f(x)의 미분이라고 하며 df() 또는 dy로 표시됩니다.

따라서 식 (1)은 다음과 같이 쓸 수 있다. ().

식 (1)에서 함수의 미분은 dy = A 형식을 갖습니다. 모든 선형 함수와 마찬가지로 모든 값에 대해 정의됩니다. 함수의 증가는 +가 함수 f(x)의 정의 영역에 속하는 것에 대해서만 고려되어야 합니다.

미분 작성의 편의를 위해 그 증가분을 dx로 표시하고, 독립변수 x의 미분이라 부른다. 따라서 미분은 dy = Adx로 작성됩니다.

함수 f(x)가 특정 간격의 각 지점에서 미분 가능한 경우 해당 미분은 두 변수(점 x와 변수 dx)의 함수입니다.

T. 함수 y = g(x)가 어떤 점에서 미분 가능하려면 이 점에서 도함수를 갖는 것이 필요하고 충분합니다.

(*)증거. 필요성.

함수 f(x)가 해당 점에서 미분 가능하다고 가정합니다. 즉, . 그 다음에

따라서 도함수 f'()가 존재하고 A와 같습니다. 따라서 dy = f'()dx

적절.

도함수 f'()가 있다고 가정합니다. 즉 =f'(). 그러면 곡선 y = f(x)는 접선 세그먼트입니다. 점 x에서 함수의 값을 계산하려면 f()와 f'()/를 찾는 것이 어렵지 않도록 그 근처의 점을 선택하십시오.

두 변수의 함수의 편도함수입니다.
솔루션의 개념과 예시

이 수업에서 우리는 두 변수의 기능에 대해 계속해서 알아보고 아마도 가장 일반적인 주제별 작업인 찾기를 고려할 것입니다. 1차 및 2차 편도함수와 함수의 총 미분. 파트타임 학생은 원칙적으로 2학기 1학년에 부분도함수를 접하게 됩니다. 더욱이 내 관찰에 따르면 부분 파생 상품을 찾는 작업은 거의 항상 시험에 나타납니다.

아래 자료를 효과적으로 공부하려면 필요한한 변수의 함수에 대한 "일반적인" 파생어를 어느 정도 자신있게 찾을 수 있습니다. 파생상품을 올바르게 처리하는 방법을 수업에서 배울 수 있습니다. 파생 상품을 찾는 방법은 무엇입니까?그리고 복잡한 함수의 파생. 또한 기본 함수와 미분 규칙의 미분 표가 필요합니다. 인쇄된 형태로 제공되는 것이 가장 편리합니다. 페이지에서 참고 자료를 얻을 수 있습니다 수학 공식 및 표.

두 변수의 함수 개념을 빠르게 반복해 보겠습니다. 최소한으로 제한하려고 노력하겠습니다. 두 변수의 함수는 일반적으로 다음과 같이 작성됩니다. 변수는 호출됩니다. 독립변수또는 인수.

예: – 두 변수의 기능.

때로는 표기법이 사용됩니다. 편지 대신 편지를 사용하는 작업도 있습니다.

기하학적 관점에서 볼 때 두 변수의 함수는 3차원 공간(평면, 원통, 구, 포물면, 쌍곡면 등)의 표면을 가장 자주 나타냅니다. 그러나 사실 이것은 분석적 기하학에 더 가깝고 우리의 의제는 수학적 분석입니다. 대학 선생님은 결코 제가 글을 쓰도록 허락하지 않았으며 저의 "강점"입니다.

1차와 2차의 편도함수를 찾는 문제로 넘어가겠습니다. 커피를 몇 잔 마시고 믿을 수 없을 정도로 어려운 내용을 듣고 있는 분들을 위한 좋은 소식이 있습니다. 부분 도함수는 하나의 변수 함수의 "보통" 도함수와 거의 동일합니다..

부분 도함수의 경우 모든 미분 규칙과 기본 함수의 도함수 표가 유효합니다. 지금 당장 알게 될 몇 가지 작은 차이점이 있습니다.

...예, 그런데 이 주제를 위해 제가 만들었습니다. 작은 PDF 책, 이를 통해 단 몇 시간 만에 "이빨을 박을" 수 있습니다. 하지만 이 사이트를 사용하면 확실히 동일한 결과를 얻을 수 있습니다. 단지 조금 느려질 수도 있습니다.

실시예 1

함수의 1차 및 2차 편도함수 찾기

먼저 1차 부분도함수를 구해보겠습니다. 두 가지가 있습니다.

명칭:
또는 - "x"에 관한 편도함수
또는 - "y"에 대한 편도함수

부터 시작해 보겠습니다. "x"에 대한 편도함수를 찾으면 변수는 상수(상수)로 간주됩니다..

수행된 작업에 대한 설명:

(1) 편도함수를 찾을 때 가장 먼저 하는 일은 결론을 내리는 것입니다. 모두소수 아래 괄호 안의 기능 아래첨자와 함께.

주의, 중요합니다!솔루션 중에 아래 첨자를 잃지 않습니다. 이 경우 가 없는 곳에 "획"을 그리면 교사는 최소한 과제 옆에 이를 넣을 수 있습니다(부주의를 위해 즉시 요점의 일부를 물어뜯음).

(2) 우리는 미분의 법칙을 사용합니다 , . 이와 같은 간단한 예의 경우 두 규칙을 모두 한 단계로 쉽게 적용할 수 있습니다. 첫 번째 항에 주의하세요: 이후 상수로 간주되며 모든 상수는 도함수 기호에서 제외될 수 있습니다., 그런 다음 대괄호로 묶습니다. 즉, 이 상황에서는 일반 숫자보다 나을 것이 없습니다. 이제 세 번째 용어를 살펴 보겠습니다. 여기서는 반대로 꺼낼 것이 없습니다. 상수이기 때문에 상수이기도 하며 이러한 의미에서는 마지막 항인 "7"보다 나을 것이 없습니다.

(3) 우리는 표 형식의 파생 상품과 를 사용합니다.

(4) 단순화시키거나 제가 말하고 싶은 대로 답을 "조정"해 봅시다.

지금 . "y"에 대한 편도함수를 찾으면 변수는 다음과 같습니다.상수로 간주됨(상수).

(1) 우리는 동일한 차별화 규칙을 사용합니다 , . 첫 번째 항에서는 도함수의 부호에서 상수를 빼내고, 두 번째 항에서는 이미 상수이기 때문에 아무 것도 빼낼 수 없습니다.

(2) 기본 함수의 도함수 표를 사용합니다. 표의 모든 "X"를 정신적으로 "I"로 바꿔 보겠습니다. 즉, 이 표는 (실제로 거의 모든 문자에 대해) 동일하게 유효합니다. 특히 우리가 사용하는 공식은 다음과 같습니다: 및 .

부분 파생 상품의 의미는 무엇입니까?

본질적으로 1차 편도함수는 다음과 같습니다. "보통" 파생물:

- 이것 기능, 이는 특징 변화율각각 및 축 방향으로 기능합니다. 예를 들어 다음 함수는 "상승"과 "경사"의 가파른 특징을 나타냅니다. 표면가로축 방향으로, 이 함수는 세로축 방향으로 동일한 표면의 "릴리프"에 대해 알려줍니다.

! 메모 : 여기서는 방향을 의미합니다. 평행한좌표축.

더 나은 이해를 위해 평면의 특정 지점을 고려하고 해당 지점의 함수("높이") 값을 계산해 보겠습니다.
– 이제 당신이 여기(표면 위에) 있다고 상상해 보세요.

주어진 지점에서 "x"에 대한 편도함수를 계산해 보겠습니다.

"X" 파생 상품의 음수 부호는 다음을 알려줍니다. 감소하는가로축 방향의 한 지점에서 기능합니다. 즉, 작은 것을 만들면 (무한)축의 끝을 향해 나아가다 (이 축과 평행), 그런 다음 표면의 경사를 따라 내려갑니다.

이제 우리는 세로축 방향으로 "지형"의 특성을 알아냅니다.

"y"에 대한 도함수는 양수이므로 축 방향의 한 지점에서 함수는 다음과 같습니다. 증가하다. 간단히 말해서 여기서 우리는 오르막길을 기다리고 있습니다.

또한, 한 점에서의 부분 도함수는 다음을 특징으로 합니다. 변화율해당 방향으로 기능합니다. 결과값이 클수록 모듈로– 표면이 가파르고 그 반대일수록 0에 가까울수록 표면은 더 평평해집니다. 따라서 이 예에서는 가로축 방향의 "기울기"가 세로축 방향의 "산"보다 가파릅니다.

그러나 그것은 두 개의 개인 경로였습니다. 우리가 있는 시점에서 보면, (그리고 일반적으로 주어진 표면의 어느 지점에서나)우리는 다른 방향으로 움직일 수 있습니다. 따라서 표면의 "풍경"에 대해 알려주는 일반적인 "내비게이션 지도"를 만드는 데 관심이 있습니다. 가능하다면모든 지점에서 이 함수의 정의 영역사용 가능한 모든 경로를 따라. 다음 강의 중 하나에서 이 내용과 기타 흥미로운 내용에 대해 이야기하겠습니다. 지금은 문제의 기술적인 측면으로 돌아가겠습니다.

기본 적용 규칙을 체계화하겠습니다.

1) 에 대해 미분하면 변수는 상수로 간주됩니다.

2) 다음과 같이 차별화를 할 때, 상수로 간주됩니다.

3) 기본 함수의 도함수 규칙과 표는 미분을 수행하는 모든 변수(또는 기타 변수)에 대해 유효하고 적용 가능합니다.

2단계. 우리는 2차 부분도함수를 찾습니다. 그 중 4개가 있습니다.

명칭:
또는 - "x"에 대한 2차 미분
또는 - "y"에 관한 2차 미분
또는 - 혼합된"x by igr"의 파생물
또는 - 혼합된"Y"의 파생어

2차 미분에는 문제가 없습니다. 간단히 말해서, 2차 도함수는 1차 도함수의 도함수입니다..

편의상 이미 찾은 1차 부분도함수를 다시 작성하겠습니다.

먼저 혼합 파생 상품을 찾아 보겠습니다.

보시다시피 모든 것이 간단합니다. 편도함수를 취하여 다시 미분하지만 이 경우에는 이번에는 "Y"를 따릅니다.

비슷하게:

실제 예에서는 다음 평등에 집중할 수 있습니다.:

따라서 2차 혼합도함수를 통해 1차 부분도함수를 올바르게 찾았는지 확인하는 것이 매우 편리합니다.

"x"에 대한 이차 도함수를 구합니다.
발명품은 없어, 가져가자 다시 "x"로 차별화합니다.

비슷하게:

찾을 때 표시해야한다는 점에 유의해야합니다. 주의력 증가, 이를 확인할 수 있는 기적적인 평등이 없기 때문입니다.

2차 도함수는 또한 폭넓은 실제 적용을 발견하며, 특히 다음을 찾는 문제에 사용됩니다. 두 변수의 함수의 극값. 그러나 모든 것에는 시간이 있습니다.

실시예 2

해당 점에서 함수의 1차 편도함수를 계산합니다. 2차 도함수를 찾아보세요.

이는 스스로 해결해야 하는 예입니다(답변은 강의 마지막에 있음). 뿌리를 구별하는 데 어려움이 있으면 수업으로 돌아가세요. 파생 상품을 찾는 방법은 무엇입니까?일반적으로 머지않아 이러한 파생 상품을 "즉시" 찾는 방법을 배우게 될 것입니다.

좀 더 복잡한 예를 살펴보겠습니다.

실시예 3

확인해 보세요. 1차 총 미분을 적어보세요.

풀이: 1차 부분도함수를 구합니다:

아래 첨자에 주의하세요: , "X" 옆에 상수라는 것을 괄호 안에 쓰는 것은 금지되지 않습니다. 이 노트는 초보자가 솔루션을 더 쉽게 탐색할 수 있도록 매우 유용할 수 있습니다.

추가 의견:

(1) 우리는 도함수의 부호 밖의 모든 상수를 취합니다. 이 경우, 및 , 따라서 해당 곱은 상수로 간주됩니다.

(2) 뿌리를 정확하게 구별하는 방법을 잊지 마십시오.

(1) 도함수의 부호에서 모든 상수를 제거합니다. 이 경우 상수는 입니다.

(2) 소수 아래에는 두 함수의 곱이 남아 있으므로 곱을 미분하는 규칙을 사용해야 합니다. .

(3) 이것이 복잡한 기능이라는 점을 잊지 마십시오(복잡한 기능 중 가장 단순하더라도). 우리는 해당 규칙을 사용합니다. .

이제 우리는 2차 혼합 파생 상품을 찾습니다.

이는 모든 계산이 올바르게 수행되었음을 의미합니다.

총 차액을 적어 보겠습니다. 고려 중인 작업의 맥락에서 두 변수 함수의 전체 미분이 무엇인지 말하는 것은 의미가 없습니다. 이와 동일한 차이점을 실제 문제에 자주 기록해야 하는 것이 중요합니다.

1차 총 미분두 변수의 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이 경우:

즉, 이미 찾은 1차 편도함수를 공식에 어리석게 대체하면 됩니다. 이와 유사한 상황에서는 분자에 미분 기호를 쓰는 것이 가장 좋습니다.

그리고 독자들의 거듭된 요청에 따라, 2차 완전 미분.

다음과 같습니다:

2차의 "한 글자" 파생어를 주의 깊게 찾아보겠습니다.

그리고 "괴물"을 적고 사각형과 제품을 조심스럽게 "부착"하고 혼합 파생 상품을 두 배로 늘리는 것을 잊지 마십시오.

뭔가 어려워 보이더라도 괜찮습니다. 미분 기법을 익힌 후에는 언제든지 파생 상품으로 돌아올 수 있습니다.

실시예 4

함수의 1차 편도함수 찾기 . 확인해 보세요. 1차 총 미분을 적어보세요.

복잡한 기능이 포함된 일련의 예를 살펴보겠습니다.

실시예 5

함수의 1차 편도함수를 구합니다.

해결책:

실시예 6

함수의 1차 편도함수 찾기 .
총 차액을 적어보세요.

이것은 스스로 해결해야 하는 예입니다(답변은 강의 마지막에 나와 있습니다). 매우 간단하기 때문에 완전한 솔루션을 제공하지는 않습니다.

위의 모든 규칙이 조합되어 적용되는 경우가 많습니다.

실시예 7

함수의 1차 편도함수 찾기 .

(1) 합을 미분하는 규칙을 사용합니다.

(2) 이 경우 첫 번째 항은 상수로 간주됩니다. 표현에는 "x"에 의존하는 것이 없고 오직 "y"에만 의존하기 때문입니다. 아시다시피, 분수가 0으로 바뀔 수 있다는 것은 언제나 좋은 일입니다.) 두 번째 항에는 제품 차별화 규칙을 적용합니다. 그건 그렇고, 이런 의미에서 함수가 대신 주어졌다면 아무것도 바뀌지 않았을 것입니다. 중요한 것은 여기서 두 가지 기능의 곱, 각각은 다음에 달려 있습니다. "엑스"이므로 제품차별화 법칙을 사용해야 합니다. 세 번째 항에는 복소 함수의 미분 규칙을 적용합니다.

(1) 분자와 분모의 첫 번째 항에 "Y"가 포함되어 있으므로 몫을 미분하는 규칙을 사용해야 합니다. . 두 번째 항은 "x"에만 의존합니다. 즉, 상수로 간주되어 0으로 변합니다. 세 번째 항에서는 복소 함수를 미분하는 규칙을 사용합니다.

용기 있게 수업을 거의 끝까지 마친 독자들을 위해 휴식을 위한 메크마토프의 오래된 일화를 말씀드리겠습니다.

어느 날 기능의 공간에 사악한 파생물이 나타나 모든 사람을 차별화하기 시작했습니다. 모든 기능이 사방으로 흩어져 있어 아무도 변신하고 싶어하지 않습니다! 그리고 단 하나의 기능만 도망가지 않습니다. 파생 상품이 그녀에게 다가가서 묻습니다.

- 나한테서 도망치지 그래?

- 하. 하지만 저는 상관하지 않습니다. 왜냐하면 나는 "e의 X승"이고 당신은 나에게 아무 짓도 하지 않을 것이기 때문입니다!

교활한 미소를 지닌 사악한 파생물이 대답합니다.

- 여기서 착각하신게 Y로 구분해드릴테니 0이 되셔야 합니다.

이 농담을 이해한 사람은 적어도 "C" 수준까지 파생 상품을 마스터한 사람입니다.

실시예 8

함수의 1차 편도함수 찾기 .

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 문제의 완전한 해결책과 예시는 수업의 마지막 부분에 있습니다.

글쎄, 그게 거의 전부입니다. 마지막으로 수학 애호가들을 위해 한 가지 예를 더 들어드리지 않을 수 없습니다. 아마추어에 관한 것이 아니며 모든 사람은 서로 다른 수준의 수학적 준비를 가지고 있습니다. 더 어려운 작업과 경쟁하기를 좋아하는 사람들이 있습니다 (그리 드물지는 않습니다). 하지만 이 강의의 마지막 예는 계산적 관점에서 볼 때 복잡하기 때문에 복잡하지 않습니다.

각 편도함수( 엑스그리고 와이)는 두 변수의 함수 중 다른 변수의 고정 값에 대한 한 변수의 함수의 일반 도함수입니다.

(어디 와이= const),

(어디 엑스= const).

따라서 부분 도함수는 다음을 사용하여 계산됩니다. 한 변수의 함수의 미분을 계산하기 위한 공식 및 규칙, 다른 변수 상수를 고려하면서.

이에 필요한 사례 분석과 최소한의 이론은 필요하지 않고 문제에 대한 해결책만 필요한 경우 다음으로 이동하십시오. 온라인 편미분 계산기 .

함수에서 상수가 어디에 있는지 추적하는 데 집중하기 어려운 경우 예제의 초안 솔루션에서 고정 값이 있는 변수 대신 임의의 숫자를 대체할 수 있습니다. 그런 다음 편도함수를 다음과 같이 빠르게 계산할 수 있습니다. 하나의 변수 함수의 일반 도함수. 최종 디자인을 완료할 때 상수(고정된 값을 갖는 변수)를 원래 위치로 되돌려 놓는 것만 기억하면 됩니다.

위에 설명된 편도함수의 속성은 시험 문제에 나타날 수 있는 편도함수의 정의를 따릅니다. 따라서 아래 정의에 익숙해지기 위해 이론적 참고 자료를 열 수 있습니다.

기능의 연속성의 개념 지= 에프(엑스, 와이) 점에서 하나의 변수의 함수에 대한 이 개념과 유사하게 정의됩니다.

기능 지 = 에프(엑스, 와이)은 다음과 같은 경우 한 점에서 연속이라고 합니다.

차이 (2)를 함수의 총 증분이라고 합니다. 지(두 인수의 증가 결과로 얻어집니다).

기능을 부여하자 지= 에프(엑스, 와이) 및 기간

기능이 변경된 경우 지인수 중 하나만 변경될 때 발생합니다. 예를 들어, 엑스, 다른 인수의 고정 값 포함 와이, 그러면 함수는 증가분을 받게 됩니다.

기능의 부분적 증가라고 함 에프(엑스, 와이) 에 의해 엑스.

기능 변경을 고려 지인수 중 하나만 변경하면 효과적으로 한 변수의 함수로 변경됩니다.

유한한 한계가 있는 경우

그런 다음 이를 함수의 부분 도함수라고 합니다. 에프(엑스, 와이) 인수로 엑스기호 중 하나로 표시됩니다.

(4)

부분 증분도 비슷하게 결정됩니다. 지에 의해 와이:

부분도함수 에프(엑스, 와이) 에 의해 와이:

(6)

예시 1.

해결책. 변수 "x"에 대한 편도함수를 구합니다.

(와이결정된);

변수 "y"에 대한 편도함수를 구합니다.

(엑스결정된).

보시다시피, 변수가 어느 정도 고정되어 있는지는 중요하지 않습니다. 이 경우 편도함수를 찾는 변수의 요소(일반 도함수의 경우처럼)인 특정 숫자일 뿐입니다. . 고정 변수에 부분 도함수를 찾는 변수를 곱하지 않으면 일반 도함수의 경우처럼 어느 정도까지 이 외로운 상수가 사라집니다.

예시 2.주어진 함수

편도함수 찾기

(X 기준) 및 (Y 기준) 및 해당 지점의 값을 계산합니다. 에이 (1; 2).

해결책. 고정시 와이첫 번째 항의 도함수는 검정력 함수의 도함수로 구됩니다( 한 변수의 미분 함수 표):

.

고정시 엑스첫 번째 항의 도함수는 지수 함수의 도함수로 발견되고 두 번째 항은 상수의 도함수로 나타납니다.

이제 해당 지점에서 이러한 편미분 값을 계산해 보겠습니다. 에이 (1; 2):

편도함수 문제에 대한 해결책은 다음에서 확인할 수 있습니다. 온라인 편미분 계산기 .

예시 3.함수의 편도함수 찾기

해결책. 한 단계에서 우리는

(와이 엑스, 마치 사인의 인수가 5인 것처럼 엑스: 같은 방식으로 함수 기호 앞에 5가 나타납니다);

(엑스고정되어 있으며 이 경우 승수입니다. 와이).

편도함수 문제에 대한 해결책은 다음에서 확인할 수 있습니다. 온라인 편미분 계산기 .

3개 이상의 변수로 구성된 함수의 편도함수도 유사하게 정의됩니다.

각 값 집합이 ​​( 엑스; 와이; ...; 티) 세트의 독립 변수 디하나의 특정 값에 해당 유많은 사람들로부터 이자형, 저것 유변수의 함수라고 불림 엑스, 와이, ..., 티그리고 표시하다 유= 에프(엑스, 와이, ..., 티).

3개 이상의 변수로 구성된 함수의 경우 기하학적 해석이 없습니다.

여러 변수의 함수에 대한 부분 도함수도 독립 변수 중 하나만 변경되고 다른 변수는 고정된다는 가정 하에 결정 및 계산됩니다.

예시 4.함수의 편도함수 찾기

.

해결책. 와이그리고 지결정된:

엑스그리고 지결정된:

엑스그리고 와이결정된:

편도함수를 직접 찾은 다음 해를 살펴보세요.

실시예 5.

실시예 6.함수의 편도함수를 찾습니다.

여러 변수의 함수의 편도함수는 다음과 같습니다. 기계적 의미는 하나의 변수에 대한 함수의 미분과 동일합니다.는 인수 중 하나의 변경에 대한 함수의 변경 비율입니다.

실시예 8.흐름의 정량적 가치 피철도 승객은 함수로 표현할 수 있습니다

어디 피– 승객 수, N– 특파원 거주자 수, 아르 자형– 점 사이의 거리.

함수의 편도함수 피에 의해 아르 자형, 동일한

이는 승객 흐름의 감소가 동일한 거주자 수를 가진 해당 지점 사이의 거리의 제곱에 반비례한다는 것을 보여줍니다.

편미분 피에 의해 N, 동일한

승객 흐름의 증가는 지점 간 동일한 거리에 있는 정착지 주민 수의 두 배에 비례한다는 것을 보여줍니다.

편도함수 문제에 대한 해결책은 다음에서 확인할 수 있습니다. 온라인 편미분 계산기 .

완전 차동

편도함수와 해당 독립변수의 증분을 곱한 것을 편미분이라고 합니다. 편미분은 다음과 같이 표시됩니다.

모든 독립 변수에 대한 편미분의 합은 총 미분을 제공합니다. 두 개의 독립 변수의 함수에 대해 총 미분은 다음과 같이 표현됩니다.

(7)

실시예 9.함수의 완전미분 구하기

해결책. 공식(7)을 사용한 결과:

특정 정의역의 모든 점에서 전체 미분을 갖는 함수를 해당 정의역에서 미분 가능하다고 합니다.

전체 차이를 직접 찾은 다음 솔루션을 살펴보세요.

하나의 변수로 구성된 함수의 경우와 마찬가지로 특정 영역에서 함수의 미분 가능성은 이 영역에서의 연속성을 의미하지만 그 반대는 아닙니다.

증명 없이 함수의 미분가능성에 대한 충분조건을 공식화해 보겠습니다.

정리.기능의 경우 지= 에프(엑스, 와이) 연속 부분 도함수가 있습니다

주어진 지역에서, 이 지역에서 미분 가능하며 그 미분은 식(7)으로 표현됩니다.

한 변수의 함수의 경우와 마찬가지로 함수의 미분은 함수 증분의 주요 선형 부분이므로 여러 변수의 함수의 경우 총 미분은 다음과 같습니다. 독립 변수의 증분에 대한 주요 선형, 함수의 전체 증분의 일부입니다.

두 변수의 함수의 경우 함수의 총 증분은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

(8)

여기서 α와 β는 과 에서 극미량입니다.

고차 편도함수

부분 도함수 및 함수 에프(엑스, 와이) 자체는 동일한 변수의 일부 함수이며, 차례로 다른 변수에 대한 도함수를 가질 수 있으며 이를 고차 부분 도함수라고 합니다.

부분 도함수는 여러 변수의 함수와 관련된 문제에 사용됩니다. 찾기 규칙은 단일 변수의 함수와 정확히 동일하지만 유일한 차이점은 미분 시 변수 중 하나가 상수(상수)로 간주되어야 한다는 것입니다.

공식

두 변수 $ z(x,y) $의 함수에 대한 편미분은 $ z"_x, z"_y $ 형식으로 작성되며 공식을 사용하여 찾습니다.

1차 편도함수

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

2차 편도함수

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

혼합 파생상품

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

복소 함수의 편도함수

a) $ z (t) = f(x(t), y(t)) $라고 하면 복소 함수의 미분은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

b) $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $라고 하면 함수의 부분 도함수는 다음 공식으로 구됩니다.

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

암시적 함수의 편도함수

a) $ F(x,y(x)) = 0 $, 그러면 $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) $ F(x,y,z)=0 $라고 하면 $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

솔루션의 예

실시예 1

1차 편도함수 찾기 $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

해결책

$ x $에 대한 편미분을 찾기 위해 $ y $를 상수 값(숫자)으로 간주합니다. $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ $y$에 대한 함수의 편미분을 찾기 위해 $y$를 상수로 정의합니다. $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ 문제를 해결할 수 없다면 저희에게 보내주세요. 상세한 솔루션을 제공해드리겠습니다. 계산 진행 상황과 이득 정보를 볼 수 있습니다. 이렇게 하면 적시에 선생님으로부터 성적을 받는 데 도움이 될 것입니다!

답변

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

실시예 2

2차 함수의 편도함수 찾기 $ z = e^(xy) $

해결책

먼저 1차 도함수를 찾아야 하며, 이를 알면 2차 도함수를 찾을 수 있습니다. $y$를 상수로 둡니다. $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = 예^(xy) $$ 이제 $ x $를 상수 값으로 설정해 보겠습니다. $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ 1차 도함수를 알면 마찬가지로 2차 도함수를 찾을 수 있습니다. $y$를 상수로 설정합니다. $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + 너희^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ $ x $를 상수로 설정합니다. $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ 이제 남은 것은 혼합 파생 상품을 찾는 것입니다. $ z"_x $를 $ y $로 차별화할 수 있고 $ z"_y $를 $ x $로 차별화할 수 있습니다. 왜냐하면 $ z""_(xy) = z""_(yx) $ 정리에 따르기 때문입니다. $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = 너희^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

답변

$$ z"_x = 너희^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

실시예 4

$ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $이 암시적 함수 $ F(x,y,z) = 0 $을 정의한다고 가정합니다. 1차 부분도함수를 찾아보세요.

해결책

$ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ 형식으로 함수를 작성하고 도함수를 찾습니다. $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

답변

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

부분 도함수를 찾는 것이 단일 변수 함수의 "일반적인" 도함수를 찾는 것과 어떻게 다른지 요약해 보겠습니다.

1) 편도함수를 구하면, 저것 변하기 쉬운 상수로 간주됩니다.

2) 편도함수를 구할 때, 저것 변하기 쉬운 상수로 간주됩니다.

3) 기본 함수의 도함수 규칙과 표는 모든 변수에 대해 유효하고 적용 가능합니다( , 또는 기타) 차별화가 수행됩니다.

2단계. 우리는 2차 부분도함수를 찾습니다. 그 중 4개가 있습니다.

명칭:

또는 - "x"에 관한 2차 미분

또는 – “Y”에 대한 2차 파생

또는 - 혼합된"x igrek"의 파생물

또는 - 혼합된파생어 "by igrek x"

2차 미분의 개념에는 복잡한 것이 없습니다. 간단히 말해서, 2차 도함수는 1차 도함수의 도함수입니다.

명확성을 위해 이미 찾은 1차 편도함수를 다시 작성하겠습니다.

먼저 혼합 파생 상품을 찾아 보겠습니다.

보시다시피 모든 것이 간단합니다. 편도함수를 취하여 다시 미분하지만 이 경우에는 이번에는 "Y"를 따릅니다.

비슷하게:

실제 예의 경우, 모든 부분 도함수가 연속적일 때 다음 등식이 성립합니다.

따라서 2차 혼합도함수를 통해 1차 부분도함수를 올바르게 찾았는지 확인하는 것이 매우 편리합니다.

"x"에 대한 이차 도함수를 구합니다.

발명품은 없어, 가져가자 다시 "x"로 차별화합니다.

비슷하게:

찾을 때 표시해야한다는 점에 유의해야합니다. 주의력 증가, 확인할 놀라운 평등이 없기 때문입니다.

실시예 2

함수의 1차 및 2차 편도함수 찾기

이것은 스스로 해결해야 하는 예입니다(답변은 강의 마지막에 나와 있습니다).

약간의 경험이 있으면 예제 1과 2의 부분 파생물을 구두로 해결할 수 있습니다.

더 복잡한 예로 넘어가겠습니다.

실시예 3

확인해 보세요. 1차 총 미분을 적어보세요.

풀이: 1차 부분도함수를 구합니다:

아래 첨자에 주의하세요: , "X" 옆에 상수라는 것을 괄호 안에 쓰는 것은 금지되지 않습니다. 이 노트는 초보자가 솔루션을 더 쉽게 탐색할 수 있도록 매우 유용할 수 있습니다.

추가 의견:

(1) 우리는 도함수의 부호 밖의 모든 상수를 취합니다. 이 경우, 및 , 따라서 해당 곱은 상수로 간주됩니다.

(2) 뿌리를 정확하게 구별하는 방법을 잊지 마십시오.

(1) 도함수의 부호에서 모든 상수를 제거합니다. 이 경우 상수는 입니다.

(2) 소수 아래에는 두 함수의 곱이 남아 있으므로 곱을 미분하는 규칙을 사용해야 합니다. .

(3) 이것이 복잡한 기능이라는 점을 잊지 마십시오(복잡한 기능 중 가장 단순하더라도). 우리는 해당 규칙을 사용합니다. .

이제 우리는 2차 혼합 파생 상품을 찾습니다.

이는 모든 계산이 올바르게 수행되었음을 의미합니다.

총 차액을 적어 보겠습니다. 고려 중인 작업의 맥락에서 두 변수 함수의 전체 미분이 무엇인지 말하는 것은 의미가 없습니다. 이와 동일한 차이점을 실제 문제에 자주 기록해야 하는 것이 중요합니다.

두 변수 함수의 1차 총 미분 형식은 다음과 같습니다.

이 경우:

즉, 이미 찾은 1차 부분도함수를 공식에 대입하면 됩니다. 이와 유사한 상황에서는 분자에 미분 기호를 쓰는 것이 가장 좋습니다.

실시예 4

함수의 1차 편도함수 찾기 . 확인해 보세요. 1차 총 미분을 적어보세요.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 문제의 완전한 해결책과 예시는 수업의 마지막 부분에 있습니다.

복잡한 기능과 관련된 일련의 예를 살펴보겠습니다.

실시예 5

함수의 1차 편도함수를 구합니다.

(1) 복소함수 미분의 법칙을 적용한다 . 수업에서 복잡한 함수의 파생매우 중요한 점을 기억해야 합니다. 테이블을 사용하여 사인(외부 함수)을 코사인으로 바꾸면 임베딩(내부 함수)이 생깁니다. 변하지 않는다.

(2) 여기서는 근의 속성을 사용합니다. , 도함수의 부호에서 상수를 빼내고 미분에 필요한 형태로 근을 제시합니다.

비슷하게:

1차 완전 미분을 적어 보겠습니다.

실시예 6

함수의 1차 편도함수 찾기 .

총 차액을 적어보세요.

이것은 스스로 해결해야 하는 예입니다(답변은 강의 마지막에 나와 있습니다). 매우 간단하기 때문에 완전한 솔루션을 제공하지는 않습니다.

위의 모든 규칙이 조합되어 적용되는 경우가 많습니다.

실시예 7

함수의 1차 편도함수 찾기 .

(1) 우리는 합의 미분의 법칙을 사용합니다.

(2) 이 경우 첫 번째 항은 상수로 간주됩니다. 표현에는 "x"에 의존하는 것이 없고 오직 "y"에만 의존하기 때문입니다.

(알다시피, 분수가 0으로 바뀔 수 있다는 것은 언제나 좋은 일입니다.)

두 번째 항에는 제품 차별화 규칙을 적용합니다. 그건 그렇고, 함수가 대신 제공되었다면 알고리즘에는 아무 것도 변경되지 않았을 것입니다. 여기서 중요한 점은 다음과 같습니다. 각각 "x"에 의존하는 두 함수의 곱이므로 제품 차별화 규칙을 사용해야 합니다. 세 번째 항에는 복소 함수의 미분 규칙을 적용합니다.