평행사변형은 두 변이 쌍으로 평행한 사각형입니다.
이 그림에서는 마주보는 변과 각이 서로 같습니다. 평행사변형의 대각선은 한 점에서 교차하고 이등분합니다. 평행사변형의 면적에 대한 공식을 사용하면 변, 높이 및 대각선을 사용하여 값을 찾을 수 있습니다. 특별한 경우에는 평행사변형을 표시할 수도 있습니다. 직사각형, 정사각형 및 마름모로 간주됩니다.
먼저 평행사변형의 넓이를 높이와 낮추는 면으로 계산하는 예를 살펴보겠습니다.
이 사례는 전형적인 사례로 간주되며 추가 조사가 필요하지 않습니다. 두 변의 면적과 그 사이의 각도를 계산하는 공식을 고려하는 것이 좋습니다. 계산에도 동일한 방법이 사용됩니다. 변과 그 사이의 각도가 주어지면 면적은 다음과 같이 계산됩니다. 
변 a = 4 cm, b = 6 cm인 평행사변형이 주어졌다고 가정합니다. 그 사이의 각도는 α = 30°입니다. 해당 지역을 찾아봅시다: 
대각선을 통한 평행사변형의 면적
대각선을 사용한 평행사변형의 면적 공식을 사용하면 값을 빠르게 찾을 수 있습니다.
계산을 위해서는 대각선 사이의 각도 크기가 필요합니다.
대각선을 사용하여 평행사변형의 면적을 계산하는 예를 고려해 보겠습니다. 대각선 D = 7cm, d = 5cm로 평행사변형을 놓으면 그 사이의 각도는 α = 30°입니다. 데이터를 공식으로 대체해 보겠습니다. 
대각선을 통해 평행사변형의 면적을 계산하는 예는 8.75라는 훌륭한 결과를 제공했습니다.
대각선을 통한 평행사변형의 면적에 대한 공식을 알면 세트를 풀 수 있습니다 흥미로운 작업. 그 중 하나를 살펴보겠습니다.
일: 92제곱미터 면적의 평행사변형이 주어졌습니다. 점 F는 BC 변의 중앙에 위치합니다. 평행사변형에 놓이게 될 사다리꼴 ADFB의 면적을 구해 봅시다. 먼저, 조건에 따라 우리가 받은 모든 것을 그려봅시다.
해결책을 살펴보겠습니다. 
우리의 조건에 따르면 ah =92이므로 사다리꼴의 면적은 다음과 같습니다. 
평행사변형의 면적을 찾는 방법을 배우기 전에 평행사변형이 무엇인지, 그리고 높이가 무엇인지 기억해야 합니다. 평행사변형은 반대쪽 변이 쌍으로 평행한(평행선 위에 있는) 사각형입니다. 이 변을 포함하는 선의 반대쪽 임의의 점에서 그은 수직선을 평행사변형의 높이라고 합니다.
정사각형, 직사각형 및 마름모는 평행사변형의 특별한 경우입니다.
평행사변형의 면적은 (S)로 표시됩니다.
평행사변형의 면적을 구하는 공식
S=a*h, 여기서 a는 밑면이고, h는 밑면에 그려지는 높이입니다.
S=a*b*sinα, 여기서 a와 b는 밑변이고 α는 밑변 a와 b 사이의 각도입니다.
S =p*r, 여기서 p는 반주위이고, r은 평행사변형에 내접하는 원의 반지름입니다.
벡터 a와 b로 구성된 평행사변형의 면적은 주어진 벡터의 곱의 계수와 같습니다. 즉,
예 1을 생각해 봅시다: 변이 7cm이고 높이가 3cm인 평행사변형이 주어지면 평행사변형의 면적을 찾는 방법에 대한 해법이 필요합니다.
따라서 S= 7x3입니다. S=21. 답: 21cm 2.
예제 2를 생각해 보세요. 밑변이 6cm와 7cm이고 밑변 사이의 각도도 60도라고 가정합니다. 평행사변형의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 해결에 사용되는 공식:
따라서 먼저 각도의 사인을 찾습니다. 사인 60 = 0.5, 각각 S = 6*7*0.5=21 답: 21cm 2.
이 예제가 문제 해결에 도움이 되기를 바랍니다. 그리고 가장 중요한 것은 공식에 대한 지식과 세심함입니다.
평행사변형은 기하학 과정(단면 평면 측정)의 문제에서 자주 발견되는 기하학적 도형입니다. 이 사변형의 주요 특징은 반대 각도가 같고 두 쌍의 평행한 반대면이 있다는 것입니다. 평행사변형의 특별한 경우는 마름모, 직사각형, 정사각형입니다.
이러한 유형의 다각형의 면적을 계산하는 방법은 여러 가지가 있습니다. 각각을 살펴보겠습니다.
변과 높이를 알면 평행사변형의 넓이 구하기
평행사변형의 면적을 계산하려면 변의 값과 높이의 길이를 사용할 수 있습니다. 이 경우, 얻은 데이터는 알려진 면(그림의 기본)과 그림의 측면을 마음대로 사용할 수 있는 경우 모두에 대해 신뢰할 수 있습니다. 이 경우 다음 공식을 사용하여 필요한 값을 얻습니다.
S = a * h (a) = b * h (b),
- S는 결정되어야 하는 영역이고,
- a, b – 알려진(또는 계산된) 측면,
- h는 그 위에서 낮아진 높이입니다.
예: 평행사변형의 밑변 값은 7cm이고 반대쪽 꼭지점에서 수직선의 길이는 3cm입니다.
해결책:S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.
두 변과 그 사이의 각도를 알고 있으면 평행사변형의 면적을 구합니다.
도형의 두 변의 크기와 두 변 사이에 형성되는 각도의 정도를 알고 있는 경우를 생각해 봅시다. 제공된 데이터를 사용하여 평행사변형의 면적을 찾을 수도 있습니다. 이 경우 수식 표현식은 다음과 같습니다.
S = a * c * sinα = a * c * sinβ,
- a – 쪽,
- c – 알려진(또는 계산된) 기반,
- α, β – 변 a와 c 사이의 각도.
예: 평행사변형의 밑변은 10cm이고 변은 4cm 적습니다. 그림의 둔각은 135°입니다.
해결책: 두 번째 변의 값을 10 – 4 = 6cm로 결정합니다.
S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.
대각선과 그 사이의 각도를 알고 있는 경우 평행사변형의 면적을 구합니다.
주어진 다각형의 대각선 값과 교차점의 결과로 형성되는 각도가 있으면 그림의 면적을 결정할 수 있습니다.
S = (d1*d2)/2*sinγ,
S = (d1*d2)/2*sinψ,
S는 결정될 영역이고,
d1, d2 – 알려진(또는 계산으로 계산된) 대각선,
γ, ψ – 대각선 d1과 d2 사이의 각도.
평행사변형의 면적에 대한 공식의 도출은 주어진 평행사변형과 면적이 동일한 직사각형을 구성하는 것으로 귀결됩니다. 평행사변형의 한 변을 밑변으로 삼고, 밑변을 포함하는 직선의 반대쪽 임의의 점에서 그은 수직선을 평행사변형의 높이라고 합니다. 그러면 평행사변형의 면적은 밑변과 높이의 곱과 같습니다.
정리.평행사변형의 면적은 밑변과 높이의 곱과 같습니다.
증거. 면적이 있는 평행사변형을 생각해 보세요. 측면을 기준으로 높이를 그려보겠습니다(그림 2.3.1). 이를 증명하는 것이 필요합니다.
그림 2.3.1
먼저 직사각형의 넓이도 동일하다는 것을 증명해 보겠습니다. 사다리꼴은 평행사변형과 삼각형으로 구성됩니다. 한편, 직사각형 NVSC와 삼각형으로 구성된다. 그러나 직각삼각형은 빗변이 같고 날카로운 모서리(그들의 빗변은 평행사변형의 반대쪽과 같고 각도 1과 2는 평행선과 횡단면의 교차점에서 해당 각도와 같습니다) 따라서 면적은 같습니다. 따라서 평행사변형과 직사각형의 넓이도 같습니다. 즉 직사각형의 넓이도 같습니다. 직사각형의 면적에 관한 정리에 따르면, 그 이후로는.
정리가 입증되었습니다.
예 2.3.1.
원은 변과 예각이 있는 마름모 형태로 새겨져 있습니다. 꼭지점이 원과 마름모의 변의 접촉점인 사변형의 면적을 결정합니다.
해결책:
마름모에 새겨진 원의 반경(그림 2.3.2). 사각형은 직사각형이고 각도는 원의 직경에 달려 있기 때문입니다. 그 영역은 어디(각도의 반대쪽)입니다. 
그림 2.3.2
그래서, 
답변:
예제 2.3.2.
대각선이 3cm와 4cm인 마름모가 주어지면 둔각의 꼭지점에서 높이가 그려지고 사변형의 면적을 계산합니다.
해결책:
마름모의 면적(그림 2.3.3).
그래서, 
답변:
예제 2.3.3.
사각형의 넓이는 사각형의 대각선과 변이 같고 평행한 평행사변형의 넓이를 구합니다.
해결책:
과(그림 2.3.4) 이후 는 평행사변형 이고, 그러므로 입니다.
그림 2.3.4
마찬가지로, 우리는 그것이 따르는 것을 얻습니다.
답변:.
2.4 삼각형의 면적
삼각형의 면적을 계산하는 몇 가지 공식이 있습니다. 학교에서 공부하는 것들을 살펴 보겠습니다.
첫 번째 공식은 평행사변형의 면적에 대한 공식을 따르며 정리의 형태로 학생들에게 제공됩니다.
정리.삼각형의 면적은 밑변과 높이의 곱의 절반과 같습니다.
증거.삼각형의 면적을 이라고 하자. 삼각형의 밑변을 잡고 높이를 그립니다. 이를 증명해보자:
그림 2.4.1
그림과 같이 삼각형을 평행사변형으로 만들어 봅시다. 삼각형은 세 변(평행사변형의 공통 변과 반대 변)이 동일하므로 면적이 동일합니다. 따라서 면적 S 삼각형 ABC평행사변형 면적의 절반, 즉 
정리가 입증되었습니다.
이 정리에서 나오는 두 가지 추론에 학생들의 주의를 끄는 것이 중요합니다. 즉:
정사각형 직각삼각형다리의 곱의 절반과 같습니다.
두 삼각형의 높이가 같으면 해당 면적은 밑변으로 연결됩니다.
이 두 가지 결과가 재생됩니다 중요한 역할다양한 종류의 문제를 해결하는 데. 이를 바탕으로 문제 해결에 폭넓게 적용할 수 있는 또 다른 정리가 증명되었습니다.
정리. 한 삼각형의 각도가 다른 삼각형의 각도와 같으면 그 면적은 같은 각도를 둘러싸는 변의 곱으로 관련됩니다.
증거. 각도가 같은 삼각형의 면적을 와 이라고 합시다.
그림 2.4.2
다음을 증명해 보겠습니다. 
.
삼각형을 추가해 보겠습니다. 정점이 정점과 정렬되고 측면이 각각 광선과 겹치도록 삼각형 위에 배치합니다.
그림 2.4.3
삼각형은 높이가 같으니... 따라서 삼각형도 공통 높이를 갖습니다. 결과 평등을 곱하면 다음을 얻습니다. 
.
정리가 입증되었습니다.
두 번째 공식.삼각형의 면적은 두 변의 곱과 그 사이의 각도 사인의 절반과 같습니다.이 공식을 증명하는 방법에는 여러 가지가 있는데, 그 중 하나를 사용하겠습니다.
증거.기하학에는 삼각형의 면적이 밑면의 곱의 절반이고 높이가 밑면에 의해 낮아진다는 잘 알려진 정리가 있습니다.
예각삼각형의 경우. 둔각의 경우. 호, 그러므로 
. 따라서 두 경우 모두입니다. 대신 대체 기하학 공식삼각형의 면적, 우리는 삼각형의 면적에 대한 삼각법 공식을 얻습니다.
정리가 입증되었습니다.
세 번째 공식삼각형의 면적에 대해 - 서기 1세기에 살았던 고대 그리스 과학자 알렉산드리아의 헤론의 이름을 딴 헤론의 공식. 이 공식을 사용하면 삼각형의 변을 알면서 삼각형의 면적을 찾을 수 있습니다. 추가 공사나 각도 측정을 할 필요가 없어 편리합니다. 그 결론은 우리가 고려한 두 번째 삼각형 면적 공식과 코사인 정리를 기반으로 합니다.
이 계획의 실행을 진행하기 전에 다음 사항에 유의하십시오.
우리는 정확히 같은 방식으로 다음을 수행합니다.
이제 코사인을 and로 표현해 보겠습니다.
삼각형의 모든 각도는 더 크거나 작기 때문에. 수단, 
.
이제 우리는 급진적 표현의 각 요소를 개별적으로 변환합니다. 우리는:
이 식을 면적 공식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
"삼각형의 영역"이라는 주제는 다음에서 매우 중요합니다. 학교 과정수학. 삼각형은 기하학적 도형 중 가장 단순한 형태입니다. 이는 학교 기하학의 "구조적 요소"입니다. 대부분의 기하학적 문제는 삼각형을 푸는 데서 나옵니다. 규칙적이고 임의적인 n각형의 넓이를 구하는 문제도 예외는 아닙니다.
예 2.4.1.
밑변이 이고 변이 이면 이등변삼각형의 넓이는 얼마입니까?
해결책:
-이등변형,
그림 2.4.4
이등변삼각형의 속성인 중앙값과 높이를 사용해 보겠습니다. 그 다음에 
피타고라스의 정리에 따르면:
삼각형의 면적 찾기:
답변:
예 2.4.2.
직각 삼각형에서 예각의 이등분선은 반대쪽 다리를 길이 4cm와 5cm로 나누어 삼각형의 면적을 결정합니다.
해결책:
하자(그림 2.4.5). 그러면 (BD는 이등분선이므로). 여기에서 우리는 
, 즉. 수단,
그림 2.4.5
답변: 
예제 2.4.3.
이등변삼각형의 밑변이 이고 밑변에 그려진 고도의 길이가 밑변의 중간점과 변을 연결하는 선분의 길이와 같을 때 이등변삼각형의 넓이를 구합니다.
해결책:
조건에 따라 – 중간선(그림 2.4.6). 우리는 다음을 가지고 있기 때문에:
또는 
, 이제부터, 
정사각형 기하학적 도형 - 이 그림의 크기를 나타내는 기하학적 그림의 수치적 특성(이 그림의 닫힌 윤곽에 의해 제한되는 표면의 일부). 면적의 크기는 그 안에 포함된 평방 단위의 수로 표현됩니다.
삼각형 면적 공식
- 측면과 높이에 따른 삼각형의 면적에 대한 공식
삼각형의 면적삼각형의 한 변의 길이와 이 변에 그려진 고도의 길이의 곱의 절반과 같습니다. - 세 변과 외접원의 반지름을 기준으로 한 삼각형의 면적을 구하는 공식
- 세 변과 내접원의 반지름을 기준으로 한 삼각형의 면적을 구하는 공식
삼각형의 면적는 삼각형의 반둘레와 내접원의 반지름을 곱한 것과 같습니다. 여기서 S는 삼각형의 면적이고,
- 삼각형의 변의 길이,
- 삼각형의 높이,
- 측면 사이의 각도,
- 내접원의 반경,
R - 외접원의 반경,
정사각형 면적 공식
- 변의 길이에 따른 정사각형의 면적을 구하는 공식
광장 면적변의 길이의 제곱과 같습니다. - 대각선 길이를 따라 정사각형의 면적을 구하는 공식
광장 면적대각선 길이의 제곱의 절반과 같습니다.에스= 1 2 2 여기서 S는 정사각형의 면적이고,
- 정사각형의 변의 길이,
- 정사각형의 대각선 길이.
직사각형 면적 공식
- 직사각형의 면적인접한 두 변의 길이의 곱과 같습니다.
여기서 S는 직사각형의 면적이고,
- 직사각형의 변의 길이.
평행사변형 면적 공식
- 변의 길이와 높이를 기준으로 평행사변형의 면적을 구하는 공식
평행사변형의 면적 - 두 변을 기준으로 한 평행사변형의 면적과 그 사이의 각도에 대한 공식
평행사변형의 면적변의 길이에 변 사이의 각도의 사인을 곱한 것과 같습니다.a b 죄 α
여기서 S는 평행사변형의 면적이고,
- 평행사변형의 변의 길이,
- 평행사변형 높이의 길이,
- 평행사변형의 변 사이의 각도.
마름모 면적에 대한 공식
- 변의 길이와 높이를 기준으로 마름모의 면적을 구하는 공식
마름모의 면적변의 길이와 이쪽으로 낮아진 높이의 길이를 곱한 것과 같습니다. - 변의 길이와 각도에 따른 마름모의 면적 공식
마름모의 면적변의 길이의 제곱과 마름모의 변 사이의 각도의 사인을 곱한 것과 같습니다. - 대각선의 길이를 기준으로 마름모의 면적을 구하는 공식
마름모의 면적대각선 길이의 곱의 절반과 같습니다. 여기서 S는 마름모의 면적이고,
- 마름모의 변의 길이,
- 마름모 높이의 길이,
- 마름모의 측면 사이의 각도,
1, 2 - 대각선 길이.
사다리꼴 면적 공식
- 사다리꼴에 대한 헤론의 공식
여기서 S는 사다리꼴의 면적이고,
- 사다리꼴 밑면의 길이,
- 사다리꼴 변의 길이,
