이 기사에서는 물리학의 중요한 부분인 "회전 운동의 운동학과 역학"에 대해 설명합니다.
회전 운동 운동학의 기본 개념
고정 축 주위의 재료 점의 회전 운동은 궤적이 축에 수직인 평면에 위치한 원이고 중심이 회전 축에 있는 운동입니다.
회전 운동 단단한- 회전 운동의 법칙에 따라 몸의 모든 지점이 동심원(중심이 같은 축에 있음)으로 움직이는 운동입니다. 재료 포인트.
임의의 강체 T가 도면 평면에 수직인 O축을 중심으로 회전한다고 가정합니다. 이 몸체에서 점 M을 선택해 회전하면 이 점은 O축 주위에 반경이 있는 원을 나타냅니다. 아르 자형.
일정 시간이 지나면 반경은 원래 위치를 기준으로 각도 Δψ만큼 회전합니다.
오른쪽 나사의 방향(시계 방향)이 양의 회전 방향으로 간주됩니다. 시간에 따른 회전 각도의 변화를 강체의 회전 운동 방정식이라고 합니다.
Φ = Φ(티).
ψ가 라디안으로 측정되는 경우(1 rad는 반경과 동일한 길이의 호에 해당하는 각도), 재료 점 M이 시간 Δt에서 통과하는 원호 ΔS의 길이는 다음과 같습니다.
ΔS = Δψr.
등속 회전 운동의 운동학의 기본 요소
짧은 시간 동안 물질점의 움직임을 측정한 것 dt기본 회전 벡터 역할을 합니다. d∅.
물질 점 또는 몸체의 각속도는 기본 회전 벡터와 이 회전 지속 시간의 비율에 의해 결정되는 물리량입니다. 벡터의 방향은 O축을 따라 오른쪽 나사의 법칙에 따라 결정될 수 있습니다. 스칼라 형식에서는 다음과 같습니다.
Ω = dψ/dt.
만약에 Ω = dψ/dt = const,이러한 운동을 등속 회전 운동이라고 합니다. 이를 통해 각속도는 공식에 의해 결정됩니다.
Ω = Φ/t.
예비 공식에 따르면 각속도의 차원은
[Ω] = 1rad/s.
신체의 균일한 회전 운동은 회전 주기로 설명할 수 있습니다. 회전 주기 T는 물체가 회전 축을 중심으로 한 바퀴 완전히 회전하는 시간([T] = 1초)을 결정하는 물리량입니다. 각속도 공식에서 t = T, ψ = 2 π(반지름 r의 1회전)를 취하면
Ω = 2π/T,
따라서 회전 기간을 다음과 같이 정의합니다.
T = 2π/Ω.
단위 시간당 몸체가 만드는 회전 수를 회전 주파수 ν라고 하며 이는 다음과 같습니다.
ν = 1/T.
주파수 단위: [ν]= 1/s = 1s -1 = 1Hz.
각속도와 회전 주파수에 대한 공식을 비교하면 다음 양을 연결하는 표현식을 얻습니다.
Ω = 2πν.
고르지 않은 회전 운동의 운동학의 기본 요소
고정 축 주위의 강체 또는 재료 점의 불균일한 회전 운동은 시간에 따라 변하는 각속도를 특징으로 합니다.
벡터 ε 각속도의 변화율을 특성화하는 를 각가속도 벡터라고 합니다.
ε = dΩ/dt.
몸이 회전하면서 가속되면, dΩ/dt > 0, 벡터는 Ω와 동일한 방향으로 축을 따라 방향을 갖습니다.
회전운동이 느린 경우 - dΩ/dt< 0 이면 벡터 ε과 Ω는 반대 방향으로 향합니다.
논평. 불균등한 회전 운동이 발생하면 벡터 Ω의 크기뿐만 아니라 방향(회전축이 회전할 때)도 변경될 수 있습니다.
병진 운동과 회전 운동을 특징짓는 양 사이의 관계
반경의 회전 각도와 그 값을 갖는 호 길이는 다음 관계에 의해 관련되는 것으로 알려져 있습니다.
ΔS = Δψr.
그런 다음 회전 운동을 수행하는 재료 점의 선형 속도
υ = ΔS/Δt = Δψr/Δt = Ωr.
회전 병진 운동을 수행하는 물질점의 수직 가속도는 다음과 같이 정의됩니다.
a = υ 2 /r = Ω 2 r 2 /r.
따라서 스칼라 형식으로
a = Ω2r.
회전 운동을 수행하는 접선 가속 재료 점
a = εr.
중요한 포인트의 모멘텀
질량 m i의 물질 지점 궤적의 반경 벡터와 그 운동량의 벡터 곱을 회전축을 중심으로 한 이 지점의 각운동량이라고 합니다. 벡터의 방향은 오른쪽 나사 법칙을 사용하여 결정할 수 있습니다.
물질점의 운동량 ( 나는)는 r i 및 υ i를 통해 그려진 평면에 수직으로 향하고 이들과 함께 오른쪽 삼중 벡터를 형성합니다(즉, 벡터의 끝에서 이동할 때) 나는에게 υ 오른쪽 나사는 벡터의 방향을 표시합니다 엘나).
스칼라 형식
L = m i υ i r i sin(υ i , ri).
원에서 이동할 때 반경 벡터와 선형 속도 벡터를 고려하면 i번째 재료서로 수직인 점,
sin(υ i , ri) = 1입니다.
따라서 회전 운동을 위한 물질점의 각운동량은 다음과 같은 형태를 취하게 됩니다.
L = m i υ i r i .
i번째 물질점에 작용하는 힘의 순간
힘이 작용하는 지점에 그려진 반지름 벡터의 벡터곱과 이 힘을 힘이 작용하는 모멘트라고 합니다. i번째 재료회전축을 기준으로 한 점.
스칼라 형식
M i = r i F i sin(ri , F i).
그것을 고려하면 r i sinα = l i ,M 나는 = 나는 F 나는 .
크기 엘나, 길이와 같음회전점에서 힘의 작용방향으로 수직선을 힘의 팔이라고 한다. 나는.
회전 운동의 역학
회전 운동의 동역학 방정식은 다음과 같이 작성됩니다.
M = dL/dt.
법칙의 공식화는 다음과 같습니다. 고정 축을 중심으로 회전하는 몸체의 각운동량 변화율은 몸체에 가해지는 모든 외부 힘의 이 축에 대한 결과 모멘트와 같습니다.
충격량과 관성 모멘트
i번째 물질 점에 대해 스칼라 형식의 각운동량은 다음 공식으로 제공되는 것으로 알려져 있습니다.
L i = m i υ i r i .
선형 속도 대신 각속도를 통해 표현을 대체하면 다음과 같습니다.
υ i = Ωr i ,
그러면 각운동량에 대한 표현은 다음과 같은 형식을 취하게 됩니다.
L i = m i r i 2 Ω.
크기 나는 나는 = m 나는 r 나는 2관성 모멘트라고 불리는 것은 축 i질량 중심을 통과하는 절대 강체의 재료 지점입니다. 그런 다음 재료 점의 각운동량을 작성합니다.
나는 = 나는 Ω.
우리는 절대적으로 강체의 각운동량을 이 몸체를 구성하는 재료 점의 각운동량의 합으로 씁니다.
L=IΩ.
힘의 모멘트와 관성 모멘트
회전 운동의 법칙은 다음과 같이 명시합니다.
M = dL/dt.
물체의 각운동량은 관성 모멘트를 통해 표현될 수 있는 것으로 알려져 있습니다.
L=IΩ.
M = IdΩ/dt.
각가속도가 다음 식에 의해 결정된다는 점을 고려하면
ε = dΩ/dt,
관성 모멘트를 통해 표현되는 힘의 모멘트에 대한 공식을 얻습니다.
M = Iε.
논평.힘의 모멘트를 유발하는 각가속도가 0보다 크면 힘의 모멘트는 양의 것으로 간주되고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.
슈타이너의 정리. 관성 모멘트 추가의 법칙
몸체의 회전축이 질량 중심을 통과하지 않는 경우 이 축에 대해 Steiner의 정리를 사용하여 관성 모멘트를 찾을 수 있습니다.
나는 = 나는 0 + ma 2 ,
어디 나는 0- 몸체의 초기 관성 모멘트; 중- 체중; 에이- 축 사이의 거리.
고정축을 중심으로 회전하는 시스템이 다음으로 구성되어 있는 경우 N이 유형의 시스템의 총 관성 모멘트는 다음과 같습니다. 합계와 동일모멘트, 그 구성 요소(관성 모멘트 추가 법칙).
강체의 회전 운동.회전 운동은 회전축이라고 불리는 특정 직선 위에 있는 모든 점이 움직이지 않는 강체의 운동입니다.
회전 운동 중에 신체의 다른 모든 지점은 회전 축에 수직인 평면에서 움직이며 중심이 이 축에 있는 원을 나타냅니다.
회전하는 몸체의 위치를 결정하기 위해 우리는 z축을 통해 두 개의 절반 평면을 그립니다. 즉, 고정된 절반 평면 I과 강체에 연결되고 강체와 함께 회전하는 절반 평면 II입니다(그림 2.4). 그러면 어느 순간의 신체 위치는 각도에 따라 고유하게 결정됩니다. j이 반평면 사이에 해당 기호를 사용하여 몸체의 회전 각도라고 합니다.
물체가 회전할 때 회전 각도 j는 시간에 따라 변합니다. 즉, 시간 t의 함수입니다.
이 방정식은 방정식강체의 회전 운동.
강체 회전 운동의 주요 운동학적 특성은 각속도 w와 각가속도 e입니다.
D시간 동안이라면 티= t1 + 티몸체가 Dj = j1 –j만큼 회전하면 이 기간 동안 몸체의 평균 각속도는 다음과 같습니다.
(1.16)
물체의 각속도 값을 결정하려면 지금은시간 티시간 간격 D에 대한 회전 각도 Dj의 증가 비율의 한계를 찾아 보겠습니다. 티후자는 0이 되는 경향이 있으므로:
(2.17)
따라서 주어진 시간에 신체의 각속도는 시간에 대한 회전 각도의 1차 도함수와 수치적으로 동일합니다. 각속도 w의 부호는 몸체 j의 회전 각도 부호와 일치합니다. w > j에서 0 > 0, 그 반대로 j인 경우 < 0. 그러면 w < 0. 각속도의 차원은 일반적으로 1/s이므로 라디안은 차원이 없습니다.
각속도는 벡터 w로 표현될 수 있습니다. , 그 수치는 시계 반대 방향으로 회전이 일어나는 것을 볼 수 있는 방향으로 몸체의 회전 축을 따라 향하는 dj/dt와 같습니다.
시간에 따른 신체의 각속도 변화는 각가속도 e로 특징지어집니다. 각속도의 평균값을 찾는 것과 유사하게 평균 가속도 값을 결정하는 표현식을 찾을 수 있습니다.
(2.18)
그런 다음 주어진 시간에 강체의 가속도는 다음 식으로 결정됩니다.
(2.19)
즉, 주어진 시간에 몸체의 각가속도는 각속도의 1차 도함수 또는 시간에 대한 몸체 회전 각도의 2차 도함수와 같습니다. 각가속도의 차원은 1/s 2입니다.
강체의 각가속도는 각속도와 마찬가지로 벡터로 표현될 수 있습니다. 각가속도 벡터는 솔리드 상단의 가속 동작 중에 각속도 벡터와 방향이 일치하고 느린 동작 중에는 반대 방향으로 향합니다.
강체 전체의 운동 특성을 확립한 후 개별 점의 운동을 연구해 보겠습니다. 몇 가지 점을 생각해 봅시다. 중회전축 r로부터 거리 h에 위치한 솔리드 바디(그림 2.3).
몸체가 회전할 때 점 M은 회전축을 중심으로 하고 이 축에 수직인 평면에 놓인 반경 h의 원형 점을 나타냅니다. 시간 dt 동안 기본 몸체 휘핑이 각도 dj에서 발생하는 경우 , 그럼 가리켜 중동시에 궤적을 따라 기본적인 움직임을 만듭니다. dS = h*dj ,. 그런 다음 점 M의 속도는 다음 식으로 결정됩니다.
(2.20)
속도는 점 M의 선형 속도 또는 원주 속도라고 합니다.
따라서 회전하는 강체에 있는 한 점의 선속도는 몸체의 각속도와 이 점에서 회전축까지의 거리의 곱과 수치적으로 동일합니다. 신체의 모든 지점에 대해 각속도 w; 동일한 값을 갖는 경우 선형 속도 공식에 따르면 회전체 점의 선형 속도는 회전축으로부터의 거리에 비례합니다. 강체 점의 선형 속도는 점에 의해 설명되는 원에 접선 방향으로 향하는 벡터 n입니다. 중.
고체 펠의 회전축에서 특정 지점까지의 거리 중점 M의 반경 벡터 h로 간주하면 점 v의 선형 속도 벡터는 각속도 벡터의 벡터 곱으로 표현될 수 있습니다. 승반경 벡터 h:
V = w * h (2/21)
과연 그 결과는 벡터 제품(2.21)은 w*h의 곱과 크기가 동일한 벡터이며 두 요소가 있는 평면에 수직인 방향(그림 2.5)이며 첫 번째 요소와 두 번째 요소의 가장 가까운 조합이 관찰되는 방향입니다. 시계 반대 방향으로 발생합니다. 즉, 점 M의 궤적에 접합니다.
따라서 벡터 곱(2.21)으로 인한 벡터는 크기와 방향이 점 M의 선형 속도 벡터에 해당합니다.
쌀. 2.5
가속도에 대한 표현을 찾으려면 에이점 M, 점의 속도에 대한 식(2.21)을 시간에 따라 미분합니다.
(2.22)
dj/dt=e, dh/dt = v를 고려하여 식 (2.22)를 다음과 같은 형식으로 작성합니다.
여기서 аг와 аn은 각각 접선 성분과 법선 성분입니다. 최대 가속회전 운동 중 신체의 점은 표현식으로 결정됩니다.
신체 점의 총 가속도(접선 가속도)의 접선 구성요소는 속도 벡터의 크기 변화를 특성화하며 가속 운동 중 속도 벡터 방향 또는 반대 방향으로 신체 점의 궤적에 접선 방향으로 향합니다. 슬로우 모션 중 방향. 강체의 회전 운동 중 몸체 점의 접선 가속도 벡터의 크기는 다음 식으로 결정됩니다.
(2,25)
전체 가속도의 일반 성분(일반 가속도) 에이"솔리드 바디를 페인팅할 때 점의 속도 벡터 방향이 변경되어 발생합니다. 수직 가속도에 대한 식 (2.24)에서 다음과 같이 이 가속도는 반경 h를 따라 점이 이동하는 원의 중심을 향합니다. 강체의 회전 운동 중 점의 수직 가속도 벡터의 계수는 식 (2.20)을 고려하여 결정됩니다.
고정 축(회전축)을 중심으로 강체 회전회전축 위에 놓인 신체의 점이 전체 이동 시간 동안 움직이지 않는 움직임을 호출합니다.
회전축을 공간에서 어떤 방향으로도 가질 수 있는 축으로 설정합니다. 축의 한 방향은 양의 방향으로 간주됩니다(그림 28).
회전축을 통해 고정된 평면과 회전체에 연결된 이동 가능한 평면을 그립니다. 초기 순간에 두 평면이 일치한다고 가정합니다. 그런 다음, 움직이는 평면과 회전체 자체의 위치는 평면 사이의 2면각과 이러한 평면에 위치하고 회전축에 수직인 직선 사이의 해당 선형 각도에 의해 결정될 수 있습니다. 각도라고 합니다 몸의 회전 각도.
선택한 기준 시스템을 기준으로 한 신체의 위치는 방정식이 주어지면 언제든지 완전히 결정됩니다.
두 번 미분 가능한 시간 함수는 어디에 있습니까? 이 방정식은 고정 축을 중심으로 한 강체의 회전 방정식.
고정 축을 중심으로 회전하는 몸체는 각도라는 하나의 매개변수만 지정하여 위치가 결정되므로 자유도가 1입니다.
각도는 시계 반대 방향으로 플롯되면 양수로 간주되고, 축의 양수 방향에서 볼 때 반대 방향에서는 음수로 간주됩니다. 고정 축을 중심으로 회전하는 동안 몸체 점의 궤적은 회전축에 수직인 평면에 위치한 원입니다.
고정 축을 중심으로 한 강체의 회전 운동을 특성화하기 위해 각속도와 각가속도의 개념을 소개합니다. 신체의 대수적 각속도임의의 순간에 이 순간의 회전 각도의 시간에 대한 1차 미분이라고 합니다. . 몸체가 시계 반대 방향으로 회전하면 시간이 지남에 따라 회전 각도가 증가하므로 양수이고, 몸체가 시계 방향으로 회전하면 회전 각도가 감소하므로 음수입니다.
각속도 모듈은 으로 표시됩니다. 그 다음에
신체의 대수적 각가속도대수 속도의 시간에 대한 1차 도함수라고 합니다. 즉 회전 각도의 2차 미분입니다. 우리는 각가속도 모듈을 다음으로 표시합니다.
이면 대수적 각속도는 시간에 따라 증가하므로 물체는 그 순간에 양의 방향(시계 반대 방향)으로 빠르게 회전합니다. 와 에서 몸체는 가속 회전한다. 부정적인 측면. 이면 양의 방향으로 회전이 느립니다. 음의 방향으로 느린 회전이 발생하는 경우.
자연과 기술에서 우리는 샤프트나 기어와 같은 고체의 회전 운동을 자주 접하게 됩니다. 물리학에서 이러한 유형의 모션을 설명하는 방법, 이에 사용되는 공식 및 방정식, 이러한 문제 및 기타 문제를 이 기사에서 다룹니다.
회전이란 무엇입니까?
우리 각자는 어떤 종류의 움직임에 대해 이야기하고 있는지 직관적으로 알고 있습니다. 회전은 몸체나 재료의 점이 특정 축을 중심으로 원형 경로로 이동하는 과정입니다. 기하학적 관점에서 볼 때 강체는 이동 중에도 거리가 변하지 않는 직선입니다. 이 거리를 회전 반경이라고 합니다. 다음에서는 이를 문자 r로 표시하겠습니다. 회전축이 몸체의 질량 중심을 통과하는 경우 이를 자체 축이라고 합니다. 자체 축을 중심으로 한 회전의 예는 행성의 해당 움직임입니다. 태양계.
회전이 일어나기 위해서는 구심력으로 인해 발생하는 구심 가속도가 있어야 합니다. 이 힘은 신체의 질량 중심에서 회전축으로 향합니다. 구심력의 성격은 매우 다를 수 있습니다. 따라서 우주 규모에서 그 역할은 중력에 의해 수행됩니다. 몸체가 실로 고정되면 후자의 장력은 구심력이 됩니다. 신체가 자체 축을 중심으로 회전할 때 구심력의 역할은 신체를 구성하는 요소(분자, 원자) 사이의 내부 전기화학적 상호작용에 의해 수행됩니다.
구심력이 없으면 물체는 직선으로 움직일 것임을 이해해야 합니다.
회전을 설명하는 물리량
첫째, 이는 동적 특성이다. 여기에는 다음이 포함됩니다.
- 각운동량 L;
- 관성 모멘트 I;
- 힘의 순간 M.
둘째, 운동학적 특성입니다. 그것들을 나열해 봅시다:
- 회전 각도 θ;
- 각속도 Ω;
- 각가속도 α.
각 수량에 대해 간략하게 설명하겠습니다.
각운동량은 다음 공식에 의해 결정됩니다.
p는 선형 운동량, m은 물질 점의 질량, v는 선형 속도입니다.
재료 점의 관성 모멘트는 다음 식을 사용하여 계산됩니다.
어떤 신체에도 복잡한 모양 I의 값은 재료 점의 관성 모멘트의 적분 합으로 계산됩니다.
힘의 순간 M은 다음과 같이 계산됩니다.
여기서 F는 외력이고 d는 적용 지점에서 회전축까지의 거리입니다.
이름에 "모멘트"라는 단어가 포함된 모든 수량의 물리적 의미는 해당 선형 수량의 의미와 유사합니다. 예를 들어, 힘의 순간은 적용된 힘이 회전체 시스템에 전달되는 능력을 보여줍니다.
운동학적 특성은 다음 공식에 의해 수학적으로 결정됩니다.
이러한 표현에서 알 수 있듯이 각도 특성은 선형 특성(속도 v 및 가속도 a)과 의미가 유사하며 원형 궤적에만 적용할 수 있습니다.
회전 역학
물리학에서 강체의 회전 운동에 대한 연구는 역학과 운동학이라는 두 가지 역학 분야를 사용하여 수행됩니다. 역학부터 시작해 보겠습니다.
역학은 회전체 시스템에 작용하는 외부 힘을 연구합니다. 강체의 회전 운동 방정식을 즉시 작성하고 그 구성 요소를 분석해 봅시다. 따라서 이 방정식은 다음과 같습니다.
관성 모멘트 I가 있는 시스템에 작용하여 각가속도 α가 나타나는 현상입니다. I 값이 작을수록 특정 순간 M의 도움으로 짧은 시간 내에 시스템을 고속으로 회전시키는 것이 더 쉬워집니다. 예를 들어 금속 막대를 축에 수직으로 회전시키는 것보다 축을 따라 회전하는 것이 더 쉽습니다. 그러나 동일한 막대는 끝을 통과하는 것보다 질량 중심을 통과하고 수직인 축을 중심으로 회전하기가 더 쉽습니다.
수량 L 보존의 법칙
이 양은 위에서 소개되었으며 각운동량이라고 합니다. 이전 단락에 제시된 강체의 회전 운동 방정식은 종종 다른 형식으로 작성됩니다.
외력 M의 순간이 dt 시간 동안 시스템에 작용하면 시스템의 각운동량은 dL만큼 변경됩니다. 따라서 힘의 순간이 0이면 L = const입니다. 이것이 수량 L의 보존 법칙입니다. 이를 위해 선형 속도와 각속도 간의 관계를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
L = m*v*r = m*Ω*r 2 = I*Ω.
따라서 토크가 없을 때 각속도와 관성 모멘트의 곱은 일정한 값입니다. 이 물리적 법칙은 피겨 스케이터가 공연이나 경기에서 사용합니다. 인공위성, 자체 축을 중심으로 회전해야 합니다. 대기권 밖.
구심 가속도
위에서 강체의 회전 운동을 연구할 때 이 양은 이미 설명되었습니다. 구심력의 성격도 언급되었습니다. 여기서는 이 정보를 보완하고 이 가속도를 계산하기 위한 해당 공식을 제시합니다. 그것을 c로 표시하자.
구심력은 축에 수직으로 작용하여 축을 통과하므로 토크가 발생하지 않습니다. 즉, 이 힘은 회전의 운동학적 특성에 전혀 영향을 미치지 않습니다. 그러나 구심 가속도가 발생합니다. 이를 결정하는 두 가지 공식은 다음과 같습니다.
따라서 각속도와 반경이 클수록 몸체를 원형 경로로 유지하기 위해 적용해야 하는 힘도 커집니다. 놀라운 예이것 물리적 과정회전하는 동안 차가 미끄러지는 것입니다. 마찰력이 그 역할을 하는 구심력이 원심력(관성특성)보다 작아지면 스키드가 발생합니다.
세 가지 주요 운동학적 특성이 기사 위에 나열되어 있습니다. 솔리드 바디는 다음 공식으로 설명됩니다.
θ = Ω*t => Ω = 상수, α = 0;
θ = Ω 0 *t + α*t 2 /2 => Ω = Ω 0 + α*t, α = const.
첫 번째 줄에는 시스템에 작용하는 외부 힘 모멘트가 없다고 가정하는 균일 회전 공식이 포함되어 있습니다. 두 번째 줄에는 원 안의 균일한 가속 운동에 대한 공식이 포함되어 있습니다.
양의 가속도뿐만 아니라 음의 가속도에서도 회전이 발생할 수 있습니다. 이 경우 두 번째 줄의 수식에서는 두 번째 항 앞에 빼기 기호를 넣어야 합니다.
문제 해결의 예
1000N*m의 힘의 순간이 금속 샤프트에 10초 동안 작용했습니다. 샤프트의 관성 모멘트가 50kg * m 2라는 것을 알면 언급된 힘의 모멘트가 샤프트에 전달되는 각속도를 결정해야 합니다.
기본 회전 방정식을 사용하여 샤프트의 가속도를 계산합니다.
이 각가속도는 t = 10초 동안 샤프트에 작용했기 때문에 각속도를 계산하기 위해 균일 가속 운동에 대한 공식을 사용합니다.
Ω = Ω0 + α*t = M/I*t.
여기서 Ω 0 = 0(힘 M이 작용할 때까지 샤프트는 회전하지 않았습니다).
우리는 수량의 수치를 평등으로 대체하고 다음을 얻습니다.
Ω = 1000/50*10 = 200rad/s.
이 숫자를 일반적인 초당 회전수로 변환하려면 2*pi로 나누어야 합니다. 이 작업을 수행하면 샤프트가 31.8rpm의 주파수로 회전한다는 것을 알 수 있습니다.
강체 운동학
점의 운동학과 대조적으로 강체의 운동학은 두 가지 주요 문제를 해결합니다.
움직임을 지정하고 신체 전체의 운동학적 특성을 결정합니다.
신체 포인트의 운동학적 특성 결정.
운동학적 특성을 지정하고 결정하는 방법은 신체 동작 유형에 따라 다릅니다.
이 매뉴얼에서는 세 가지 유형의 모션, 즉 병진 운동, 고정 축을 중심으로 한 회전 운동, 강체의 평면 평행 운동에 대해 설명합니다.
강체의 병진 운동
병진 운동은 신체의 두 지점을 지나는 직선이 원래 위치와 평행을 유지하는 운동입니다(그림 2.8).
정리는 다음과 같이 입증되었습니다. 병진 운동 동안 신체의 모든 지점은 동일한 궤적을 따라 움직이며 매 순간 속도와 가속도의 크기와 방향이 동일합니다(그림 2.8).
결론: 전진 운동강체는 해당 점의 움직임에 의해 결정되므로 강체의 움직임에 대한 작업과 연구는 점의 운동학으로 축소됩니다.
쌀. 2.8 그림. 2.9
고정된 축을 중심으로 한 강체의 회전 운동.
고정 축을 중심으로 한 회전 운동은 강체에 속한 두 점이 전체 운동 시간 동안 움직이지 않는 상태를 유지하는 강체의 운동입니다.
신체의 위치는 회전 각도에 따라 결정됩니다(그림 2.9). 각도 측정 단위는 라디안입니다. (라디안은 호 길이가 반지름과 같은 원의 중심각입니다. 원의 전체 각도는 2라디안을 포함합니다.)
고정 축을 중심으로 한 몸체의 회전 운동 법칙 = (t). 미분법으로 신체의 각속도와 각가속도를 결정합니다.
각속도, rad/s; (2.10)
각가속도, rad/s 2(2.11)
물체가 고정축을 중심으로 회전할 때 회전축에 있지 않은 점은 회전축을 중심으로 원을 그리며 움직입니다.
축에 수직인 평면으로 몸체를 해부하는 경우 회전축에서 점을 선택합니다. 와 함께그리고 임의의 지점 중,그럼 가리켜 중한 지점을 중심으로 설명하겠습니다. 와 함께원 반경 아르 자형(그림 2.9). 시간 동안 dt기본 회전은 각도를 통해 발생하며 점은 중거리에 대한 궤적을 따라 이동합니다. 선형 속도 모듈을 결정하겠습니다.
포인트 가속 중알려진 궤적을 사용하면 구성 요소에 따라 결정됩니다. (2.8)을 참조하세요.
식 (2.12)을 공식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
여기서: - 접선 가속도,
정상적인 가속.
평면 - 강체의 평행 운동
평면 평행 운동은 모든 점이 하나의 고정된 평면에 평행한 평면에서 이동하는 강체의 운동입니다(그림 2.10). 신체의 움직임을 연구하려면 한 부분의 움직임만 연구하면 충분합니다. 에스고정된 평면에 평행한 평면으로 이 몸체의 단면이동 에스평면에서는 a) 병진 및 회전의 두 가지 기본 동작으로 구성된 복잡한 것으로 간주될 수 있습니다. b) 움직이는(순간) 중심을 기준으로 회전합니다.
첫 번째 버전에서는단면의 이동은 해당 점(극) 중 하나의 운동 방정식과 극 주위의 단면 회전에 의해 지정될 수 있습니다(그림 2.11). 모든 단면 지점을 기둥으로 사용할 수 있습니다.
쌀. 2.10 그림. 2.11
운동 방정식은 다음과 같은 형식으로 작성됩니다.
엑스 A = 엑스 에이 (티)
와이 에이 =Y 에이 (티) (2.14)
에이 = 에이 (티)
극의 운동학적 특성은 운동 방정식으로 결정됩니다.
평면에서 움직이는 평면 도형의 임의 지점의 속도는 극의 속도로 구성됩니다(점 섹션에서 임의로 선택됨). 에이) 및 극 주위의 회전 속도(점의 회전) 안에지점 주변 에이).
움직이는 평면 도형의 한 점의 가속도는 고정된 기준 좌표계에 대한 극점의 가속도와 극점 주위의 회전 운동으로 인한 가속도로 구성됩니다.
두 번째 옵션에서는단면의 움직임은 움직이는(순간) 중심을 중심으로 회전하는 것으로 간주됩니다. 피(그림 1.12). 이 경우 단면의 임의 지점 B의 속도는 회전 운동 공식에 의해 결정됩니다.
순간 중심 주위의 각속도 아르 자형예를 들어 A 지점과 같은 임의의 단면 지점의 속도를 알면 결정될 수 있습니다.
그림 2.12
순간 회전 중심의 위치는 다음 속성을 기반으로 결정될 수 있습니다.
점의 속도 벡터는 반경에 수직입니다.
점의 절대 속도는 점에서 회전 중심까지의 거리에 비례합니다( V= R) ;
회전 중심에서의 속도는 0입니다.
순간 중심의 위치를 결정하는 몇 가지 경우를 고려해 봅시다.
1. 평평한 도형의 두 점의 속도 방향은 알려져 있습니다(그림 2.13). 반경 선을 그려 봅시다. 순간 회전 중심 P는 속도 벡터에 그려진 수직선의 교차점에 위치합니다.
2. 점 A와 B의 속도는 알려져 있고, 벡터와 는 서로 평행하며, 선은 AB수직 (그림 2.14). 이 경우 순간 회전 중심은 선 위에 놓이게 됩니다. AB. 그것을 찾기 위해 우리는 의존성을 기반으로 속도의 비례 선을 그립니다. V= R.
3. 한 몸체가 다른 몸체의 고정된 표면 위에서 미끄러지지 않고 구릅니다(그림 2.15). 현재 물체의 접촉점은 속도가 0이고 물체의 다른 지점의 속도는 0이 아닙니다. 접선점 P는 순간 회전 중심이 됩니다.
쌀. 2.13 그림. 2.14 그림. 2.15
고려된 옵션 외에도 단면 점의 속도는 강체의 두 점 속도 투영에 대한 정리를 기반으로 결정될 수 있습니다.
정리: 강체의 두 점의 속도를 이 점을 지나는 직선에 투영하는 것은 서로 같고 방향이 동일합니다..
증명: 거리 AB변경할 수 없으므로
다섯그리고 cos는 그 이상도 그 이하도 될 수 없습니다. 다섯왜냐하면 (그림 2.16).
쌀. 2.16
출력: V 에이왜냐하면 = 다섯 안에코사인. (2.19)
복합점 이동
이전 단락에서 우리는 고정된 기준틀에 대한 점의 이동, 즉 절대 이동을 고려했습니다. 실제로는 고정된 시스템을 기준으로 움직이는 좌표계를 기준으로 한 점의 운동을 아는 문제가 있습니다. 이 경우 고정 시스템에 대한 점의 운동학적 특성을 결정하는 것이 필요합니다.
그것은 일반적으로 다음과 같이 불립니다. 움직이는 시스템에 대한 점의 이동 - 상대적인, 이동 시스템과 함께 점의 이동 - 가지고 다닐 수 있는, 고정 시스템을 기준으로 한 점의 이동 - 순수한. 속도와 가속도는 그에 따라 호출됩니다.
상대적인; 비유적인; -순수한.
속도 덧셈에 관한 정리에 따르면, 한 지점의 절대 속도는 상대 속도와 이동 속도의 벡터 합과 같습니다(그림).
속도의 절대값은 코사인 정리에 의해 결정됩니다.
그림 2.17
평행사변형 법칙에 따라 가속도가 결정됩니다. 병진 운동만으로
비병진 병진 운동의 경우 회전 또는 코리올리라고 불리는 가속의 세 번째 구성 요소가 나타납니다.
코리올리 가속도는 수치적으로 다음과 같습니다.
벡터와 벡터 사이의 각도는 어디에 있습니까?
코리올리 가속도 벡터의 방향은 N.E의 규칙에 의해 편리하게 결정됩니다. Zhukovsky: 휴대용 회전 축에 수직인 평면에 벡터를 투영하고 휴대용 회전 방향으로 투영을 90도 회전합니다. 결과 방향은 코리올리 가속도의 방향과 일치합니다.
섹션의 자제력에 대한 질문
1. 운동학의 주요 임무는 무엇입니까? 운동학적 특성의 이름을 지정하십시오.
2. 점의 움직임을 지정하고 운동학적 특성을 결정하는 방법을 설명합니다.
3. 고정축을 중심으로 한 병진, 회전, 신체의 평면 평행 운동의 정의를 제시하십시오.
4. 몸체의 병진, 고정 축을 중심으로 한 회전 및 평면 평행 이동 중에 강체의 모션은 어떻게 결정되며, 이러한 몸체 이동 중에 점의 속도와 가속도는 어떻게 결정됩니까?
