직선 사이의 각도는 같습니다. 평면의 직선에 관한 가장 간단한 문제입니다. 선의 상대적 위치입니다.

직선 사이의 각도

문제 1 $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $와 $\left\( 선 사이의 각도의 코사인을 구합니다. \begin(array )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(array)\right $.공간에 두 개의 라인이 있다고 가정합니다: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ 및 $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. 공간에서 임의의 점을 선택하고 이를 통해 데이터와 평행한 두 개의 보조 선을 그려 보겠습니다. 이 선들 사이의 각도는 보조선에 의해 형성된 두 개의 인접한 각도 중 하나입니다. 직선 사이의 각도 중 하나의 코사인은 잘 알려진 공식 $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2) )^(2) +n_( 2)^(2) +p_(2)^(2) ) ) $. 값이 $\cos \phi >0$이면 다음을 얻습니다.

예각

$\cos \phi인 경우 줄 사이

\ \ \

첫 번째 줄의 표준 방정식: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.

두 번째 줄의 표준 방정식은 매개변수 방정식에서 얻을 수 있습니다.

따라서 이 직선의 표준 방정식은 $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $입니다.

우리는 다음을 계산합니다:

\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ 왼쪽(-3\오른쪽)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\왼쪽(-1\오른쪽)^(2) +3^(2) ) = \ frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \약 0.9449.\]

문제 2

첫 번째 선은 주어진 점 $A\left(2,-4,-1\right)$ 및 $B\left(-3,5,6\right)$를 통과하고, 두 번째 선은 주어진 점 $를 통과합니다. C\왼쪽(1,-2,8\오른쪽)$ 및 $D\왼쪽(6,7,-2\오른쪽)$. 이 선들 사이의 거리를 찾으십시오.

특정 선이 $AB$ 및 $CD$ 선과 수직이고 각각 $M$ 및 $N$ 지점에서 교차한다고 가정합니다. 이러한 조건에서 세그먼트 $MN$의 길이는 $AB$와 $CD$ 선 사이의 거리와 같습니다.

두 선 사이의 거리를 나타내는 선분이 $AB$ 선상의 $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ 점을 통과한다고 가정합니다.

벡터 $\overline(AM)$을 구성합니다.

\[\overline(AM)=\left(x_(M) -2\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\left(-4\right)\right)\cdot \ bar(j)+\left(z_(M) -\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(M) -2\right)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\right)\cdot \bar(k).\]

$\overline(AB)$ 및 $\overline(AM)$ 벡터는 동일하므로 동일 선상에 있습니다.

벡터 $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ 그리고 $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$는 동일선상에 있고 그 좌표는 다음과 같습니다. 비례하면 $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\ 그것은 y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.

$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, 여기서 $m $는 나눗셈의 결과입니다.

여기에서 우리는 다음을 얻습니다: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.

마침내 점 $M$의 좌표에 대한 표현식을 얻습니다.

벡터 $\overline(CD)$를 구성합니다:

\[\overline(CD)=\left(6-1\right)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar(j)+\ 왼쪽(-2-8\오른쪽)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]

두 선 사이의 거리를 나타내는 선분이 $CD$ 선 위의 $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ 점을 통과한다고 가정합니다.

벡터 $\overline(CN)$을 구성합니다.

\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\right)\right)\cdot \ bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+ \left(y_(N) +2\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k).\]

$\overline(CD)$ 및 $\overline(CN)$ 벡터는 일치하므로 동일선상에 있습니다. 벡터의 공선성 조건을 적용합니다.

$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$, 여기서 $n $는 나눗셈의 결과입니다.

여기서 우리는 다음을 얻습니다: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.

마침내 점 $N$의 좌표에 대한 표현식을 얻습니다.

벡터 $\overline(MN)$을 구성합니다.

\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \right)\cdot \bar (j)+\left(z_(N) -z_(M) \right)\cdot \bar(k).\]

점 $M$ 및 $N$의 좌표에 대한 표현식을 대체합니다.

\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\왼쪽(-4+9\cdot m\오른쪽)\오른쪽)\cdot \bar(j)+\왼쪽(8-10\cdot n-\왼쪽(-1+7\cdot) m\오른쪽)\오른쪽)\cdot\bar(k).\]

단계를 완료하면 다음을 얻을 수 있습니다.

\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]

$AB$와 $MN$ 선이 수직이므로 해당 벡터의 스칼라 곱은 0, 즉 $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$과 같습니다.

\[-5\cdot \왼쪽(-1+5\cdot n+5\cdot m\오른쪽)+9\cdot \왼쪽(2+9\cdot n-9\cdot m\오른쪽)+7\cdot \ 왼쪽(9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \

단계를 완료하면 $m$과 $n$을 결정하는 첫 번째 방정식인 $155\cdot m+14\cdot n=86$을 얻습니다.

$CD$와 $MN$ 선이 수직이므로 해당 벡터의 스칼라 곱은 0, 즉 $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$과 같습니다.

\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]

단계를 완료하면 $m$과 $n$을 결정하는 두 번째 방정식인 $14\cdot m+206\cdot n=77$을 얻습니다.

$\left\(\begin(array)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206) 방정식을 풀어 $m$과 $n$을 찾습니다. \cdot n =77)\end(배열)\right$.

Cramer 방법을 적용합니다.

$M$ 및 $N$ 점의 좌표를 찾습니다.

\ \

마지막으로:

마지막으로 벡터 $\overline(MN)$을 작성합니다.

$\overline(MN)=\left(2.691-\left(-0.6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1.0438-0.7187\right)\cdot \bar (j)+\left (4.618-2.6701\right)\cdot \bar(k)$ 또는 $\overline(MN)=3.3125\cdot \bar(i)+0.3251\cdot \bar( j)+1.9479\cdot \bar(k)$ .

선 $AB$와 $CD$ 사이의 거리는 벡터 $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3.3125^(2) +0.3251^(2) +1.9479^( 2) ) \의 길이입니다. 약 3.8565$린. 단위

평면 위의 두 직선 l과 m을 데카르트 시스템좌표가 주어집니다 일반 방정식: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

다음 라인에 대한 법선 벡터: = (A 1 , B 1) – 라인 l,

= (A 2 , B 2) – 라인 m으로.

j를 선 l과 m 사이의 각도로 설정합니다.

서로 수직인 변의 각도는 같거나 합이 p가 되므로, 즉, cos j = .

그래서 우리는 다음 정리를 증명했습니다.

정리. j를 평면 위의 두 선 사이의 각도로 두고 이 선을 일반 방정식 A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 및 A 2 x + B 2 y + C 2에 의해 데카르트 좌표계에서 지정합니다. = 0. 그러면 cos j = .

수업 과정.

1) 다음과 같은 경우 직선 사이의 각도를 계산하는 공식을 도출하십시오.

(1) 두 줄 모두 매개변수적으로 지정됩니다. (2) 두 줄이 모두 제공됩니다 표준 방정식; (3) 한 선은 매개변수적으로 지정되고, 다른 선은 일반 방정식으로 지정됩니다. (4) 두 직선은 각도 계수를 갖는 방정식으로 주어진다.

2) j를 평면 위의 두 직선 사이의 각도로 설정하고 이 직선을 직교 좌표계에서 방정식 y = k 1 x + b 1 및 y =k 2 x + b 2 로 정의합니다.

그러면 tan j = .

3) 데카르트 좌표계의 일반 방정식으로 주어진 두 직선의 상대적 위치를 탐색하고 표를 작성하십시오.

평면 위의 한 점에서 직선까지의 거리.

데카르트 좌표계의 평면 위의 직선 l을 일반 방정식 Ax + By + C = 0으로 지정합니다. 점 M(x 0 , y 0)에서 직선 l까지의 거리를 구해 보겠습니다.

점 M에서 직선 l까지의 거리는 수직 HM의 길이입니다(H О l, HM ^ l).

벡터와 라인 l에 대한 법선 벡터는 동일선상에 있으므로 | | = | | | | 그리고 | | = .

점 H의 좌표를 (x,y)로 둡니다.

점 H가 직선 l에 속하므로 Ax + By + C = 0 (*)입니다.

벡터의 좌표 및: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - By, (*) 참조)

정리.직선 l을 일반 방정식 Ax + By + C = 0으로 데카르트 좌표계에서 지정합니다. 그런 다음 점 M(x 0 , y 0)에서 이 직선까지의 거리는 다음 공식으로 계산됩니다. r ( 남) = .

수업 과정.

1) 다음과 같은 경우 점에서 선까지의 거리를 계산하는 공식을 도출하십시오. (1) 선이 매개변수적으로 제공됩니다. (2) 정규 방정식에 라인이 제공됩니다. (3) 직선은 각도 계수를 갖는 방정식으로 주어진다.

2) 점 Q(-2,4)를 중심으로 직선 3x – y = 0에 접하는 원의 방정식을 작성합니다.

3) 선 2x + y - 1 = 0과 x + y + 1 = 0의 교차점으로 형성된 각도를 반으로 나누는 선의 방정식을 쓰십시오.

§ 27. 우주 평면의 분석적 정의

정의. 평면에 대한 법선 벡터우리는 0이 아닌 벡터를 부를 것입니다. 그 표현은 주어진 평면에 수직입니다.

논평.벡터의 적어도 하나의 표현이 평면에 수직이라면 벡터의 다른 모든 표현은 이 평면에 수직이라는 것이 분명합니다.

공간에 데카르트 좌표계를 적용해 보겠습니다.

평면이 주어지면 = (A, B, C) - 이 평면에 대한 법선 벡터인 점 M (x 0 , y 0 , z 0)은 평면 a에 속합니다.

평면 a의 임의의 점 N(x, y, z)에 대해 벡터와 직교합니다. 즉, 스칼라 곱은 0과 같습니다. = 0. 좌표에 마지막 동일성을 쓰겠습니다. A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.

-Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, Ax + By + Cz + D = 0이라고 합니다.

Ax + By + Cz + D = 0이 되는 점 K(x, y)를 취하겠습니다. D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0이므로 A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.방향이 지정된 세그먼트의 좌표 = (x - x 0, y - y 0, z - z 0)이므로 마지막 동일성은 ^, 따라서 K О a를 의미합니다.

따라서 우리는 다음 정리를 증명했습니다.

정리.데카르트 좌표계의 공간에 있는 모든 평면은 Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) 형식의 방정식으로 지정될 수 있습니다. 여기서 (A, B, C)는 이 평면에 대한 법선 벡터의 좌표입니다.

그 반대도 마찬가지입니다.

정리.데카르트 좌표계에서 Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) 형식의 방정식은 특정 평면을 지정하고 (A, B, C)는 법선 좌표입니다. 이 평면에 대한 벡터입니다.

증거.

Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 및 벡터 = (A, B, C) ( ≠ q)가 되는 점 M (x 0 , y 0 , z 0)을 선택합니다.

평면(그리고 하나만)이 벡터에 수직인 점 M을 통과합니다. 이전 정리에 따르면 이 평면은 방정식 Ax + By + Cz + D = 0으로 제공됩니다.

정의. Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) 형식의 방정식이 호출됩니다. 일반 평면 방정식.

예.

점 M(0,2,4), N(1,-1,0), K(-1,0,5)를 통과하는 평면의 방정식을 작성해 보겠습니다.

1. 평면(MNK)에 대한 법선 벡터의 좌표를 찾습니다. 왜냐하면 벡터 제품' 는 비공선형 벡터와 직교하고 , 그러면 벡터는 공선상에 있습니다.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

' = (-11, 3, -5).

따라서 법선 벡터로 벡터 = (-11, 3, -5)를 사용합니다.

2. 이제 첫 번째 정리의 결과를 사용해 보겠습니다.

이 평면의 방정식 A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, 여기서 (A, B, C)는 법선 벡터의 좌표입니다. (x 0 , y 0 , z 0) – 평면에 있는 점의 좌표(예: 점 M).

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y – 5z + 14 = 0

답: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

수업 과정.

1) 다음과 같은 경우 평면의 방정식을 쓰십시오.

(1) 평면은 평면 3x + y + z = 0에 평행한 점 M(-2,3,0)을 통과합니다.

(2) 평면은 (Ox) 축을 포함하고 x + 2y – 5z + 7 = 0 평면에 수직입니다.

2) 주어진 세 점을 지나는 평면의 방정식을 쓰십시오.

§ 28. 반공간의 분석적 정의*

논평*. 비행기를 고치자. 아래에 반공간우리는 주어진 평면의 한쪽에 있는 점들의 집합을 이해할 것입니다. 즉, 두 점을 연결하는 선분이 주어진 평면과 교차하지 않으면 두 점이 동일한 절반 공간에 놓여 있다는 것을 이해하게 될 것입니다. 이 비행기 이름은 이 반 공간의 경계. 이 평면과 반공간의 합집합을 호출합니다. 닫힌 반공간.

데카르트 좌표계를 공간에 고정시키자.

정리.평면 a를 일반 방정식 Ax + By + Cz + D = 0으로 지정합니다. 그런 다음 평면 a가 공간을 나누는 두 개의 절반 공간 중 하나는 부등식 Ax + By + Cz + D > 0으로 지정됩니다. , 두 번째 절반 공간은 부등식 Ax + By + Cz + D로 제공됩니다.< 0.

증거.

법선 벡터 = (A, B, C)를 이 평면에 있는 점 M (x 0 , y 0 , z 0)에서 평면 a로 플로팅해 보겠습니다. = , M О a, MN ^ a. 평면은 공간을 b 1과 b 2라는 두 개의 절반 공간으로 나눕니다. 점 N이 이러한 반쪽 공간 중 하나에 속한다는 것이 분명합니다. 일반성을 잃지 않고 N О b 1 이라고 가정하겠습니다.

반공간 b 1이 부등식 Ax + By + Cz + D > 0으로 정의된다는 것을 증명해 보겠습니다.

1) 반공간 b 1 에 점 K(x,y,z)를 취합니다. 각도 Ð NMK는 벡터와 - 예각 사이의 각도이므로 이러한 벡터의 스칼라 곱은 양수입니다. > 0. 이 불평등을 좌표로 작성해 보겠습니다. A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, 즉 Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0입니다.

M О b 1이므로 Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0이므로 -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D입니다. 따라서 마지막 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. Ax + By + Cz + D > 0.

2) Ax + By + Cz + D > 0이 되는 점 L(x,y)를 선택합니다.

D를 (-Ax 0 - By 0 - C z 0)으로 대체하여 부등식을 다시 작성해 보겠습니다. (M О b 1 이후 Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

좌표가 (x - x 0,y - y 0, z - z 0)인 벡터는 벡터이므로 표현식 A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) 는 벡터와 의 스칼라 곱으로 이해될 수 있습니다. 벡터의 스칼라 곱은 양수이므로 둘 사이의 각도는 예각이고 점 L О b 1 입니다.

마찬가지로, 반공간 b 2 는 부등식 Ax + By + Cz + D로 주어진다는 것을 증명할 수 있습니다.< 0.

메모.

1) 위에 주어진 증명은 평면 a에서 점 M의 선택에 의존하지 않는다는 것이 분명합니다.

2) 동일한 반공간이 서로 다른 부등식으로 정의될 수 있다는 것은 분명합니다.

그 반대도 마찬가지입니다.

정리. Ax + By + Cz + D > 0(또는 Ax + By + Cz + D 형식)의 모든 선형 부등식< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

증거.

공간의 방정식 Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0)은 특정 평면 a를 정의합니다 (§ ... 참조). 이전 정리에서 입증된 것처럼 평면이 공간을 나누는 두 개의 반 공간 중 하나는 부등식 Ax Ax + By + Cz + D > 0으로 제공됩니다.

메모.

1) 닫힌 반공간은 엄격하지 않은 선형 부등식으로 정의될 수 있으며 데카르트 좌표계의 모든 엄격하지 않은 선형 부등식은 닫힌 절반 공간을 정의한다는 것이 분명합니다.

2) 볼록한 다면체는 닫힌 반 공간 (경계는 다면체의면을 포함하는 평면)의 교차점, 즉 분석적으로 선형 비엄격 부등식 시스템에 의해 정의 될 수 있습니다.

수업 과정.

1) 임의의 아핀 좌표계에 대해 제시된 두 가지 정리를 증명하십시오.

2) 그 반대가 사실입니까? 엄격하지 않은 모든 시스템은 선형 부등식볼록 다각형을 정의합니까?

운동.

1) 데카르트 좌표계의 일반 방정식으로 정의된 두 평면의 상대적 위치를 조사하고 표를 작성합니다.

각도공간의 직선 사이에서 데이터에 평행한 임의의 점을 통해 그려진 두 개의 직선으로 형성된 인접 각도를 호출합니다.

공간에 두 줄을 입력해 보겠습니다.

분명히 직선 사이의 각도 ψ는 방향 벡터와 사이의 각도로 간주될 수 있습니다. 이후 벡터 사이의 각도의 코사인 공식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

두 직선의 평행도 및 직각도 조건은 해당 방향 벡터의 평행도 및 직각도 조건과 동일하며 다음과 같습니다.

2개 연속 평행한해당 계수가 비례하는 경우에만, 즉 엘 1개의 평행 엘 2 병렬인 경우에만 .

2개 연속 수직해당 계수의 곱의 합이 0인 경우에만: .

유 선과 평면 사이의 골

똑바로하자 디- θ 평면에 수직이 아닙니다.
디'− 선의 투영 디θ 평면으로;
직선 사이의 가장 작은 각도 디그리고 디'우리가 전화할게 직선과 평면 사이의 각도.
이를 ψ=( 디,θ)
만약에 디⊥θ, 그러면 ( 디,θ)=π/2

오이→j→케이→− 직각 좌표계.
평면 방정식:

θ: 도끼+에 의해+Cz+디=0

직선은 점과 방향 벡터로 정의된다고 가정합니다. 디[중 0,피→]
벡터 N→(에이,비,기음)⊥θ
그런 다음 벡터 사이의 각도를 찾는 것이 남아 있습니다. N→ 그리고 피→, 이를 γ=( N→,피→).

각도 γ이면<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

각도가 γ>π/2이면 원하는 각도는 Φ=γ−π/2입니다.

sinΦ=sin(2π−γ)=cosγ

sinΦ=sin(γ−2π)=−cosγ

그 다음에, 직선과 평면 사이의 각도다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

sinψ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+CP 3∣ ∣ √에이 2+비 2+기음 2√피 21+피 22+피 23

질문29. 이차 형태의 개념. 이차 형태의 부호 명확성.

2차 형식 j (x 1, x 2, …, x n) n 실수 변수 x 1, x 2, …, x n형태의 합이라고 불린다.
, (1)

어디 에이 ij – 계수라고 불리는 일부 숫자. 일반성을 잃지 않으면서 다음과 같이 가정할 수 있습니다. 에이 ij = 지.

이차형은 다음과 같이 불린다. 유효한,만약에 에이 ij Î GR. 이차 형태의 행렬계수로 구성된 행렬이라고 합니다. 이차 형식(1)은 유일한 대칭 행렬에 해당합니다.
즉 A T = A. 결과적으로, 2차 형식(1)은 행렬 형식 j( 엑스) = x T 아, 어디 x티 = (엑스 1 엑스 2 … xn). (2)

그리고 반대로, 모든 대칭 행렬(2)은 변수 표기까지 고유한 이차 형태에 해당합니다.

이차 형태의 순위행렬의 순위라고 합니다. 이차형은 다음과 같이 불린다. 비퇴화,행렬이 비특이인 경우 에이. (매트릭스는 에이행렬식의 값이 0이 아닌 경우 비퇴화(non-degenerate)라고 합니다. 그렇지 않으면 이차 형식이 퇴화됩니다.

긍정적인 확실성(또는 엄밀히 말하면 긍정적인 경우)

j ( 엑스) > 0 , 누구에게나 엑스 = (엑스 1 , 엑스 2 , …, xn), 제외하고 엑스 = (0, 0, …, 0).

행렬 에이양의 정부호 이차 형태 j ( 엑스)은 양의 정부호라고도 합니다. 따라서 양의 정부호 2차 형식은 고유한 양의 정부호 행렬에 해당하고 그 반대도 마찬가지입니다.

이차 형식 (1)은 다음과 같습니다. 부정적으로 정의됨(또는 엄격히 음수)인 경우

j ( 엑스) < 0, для любого 엑스 = (엑스 1 , 엑스 2 , …, xn), 제외하고 엑스 = (0, 0, …, 0).

위와 마찬가지로 음의 정부호 2차 형식의 행렬을 음의 정부호라고도 합니다.

결과적으로, 양의 (음의) 명확한 이차 형태 j ( 엑스)는 최소(최대) 값 j에 도달합니다( 엑스*) = 0 엑스* = (0, 0, …, 0).

대부분의 이차 형식은 부호가 한정적이지 않습니다. 즉, 양수도 아니고 음수도 아닙니다. 이러한 이차 형태는 좌표계의 원점뿐만 아니라 다른 지점에서도 0으로 변합니다.

언제 N> 2, 이차 형태의 부호를 확인하려면 특별한 기준이 필요합니다. 그들을 살펴보자.

주요 미성년자이차 형태를 미성년자라고 합니다:

즉, 이들은 1, 2, ... 순서의 미성년자입니다. N행렬 에이, 왼쪽 상단에 위치하며 마지막은 행렬의 행렬식과 일치합니다. 에이.

양의 확실성 기준 (실베스터 기준)

엑스) = x T 아양의 정부호이면 행렬의 모든 주요 마이너가 필요하고 충분합니다. 에이긍정적이었습니다. 즉, 중 1 > 0, 중 2 > 0, …, 망 > 0. 부정적인 확실성 기준 이차 형식 j( 엑스) = x T 아부정확한 경우, 짝수의 주요 부차는 양수이고 홀수 차수는 음수인 것이 필요하고 충분합니다. 즉: 중 1 < 0, 중 2 > 0, 중 3 < 0, …, (–1)N

공간에 직선을 주자 엘그리고 중. 공간의 어떤 점 A를 통해 직선을 그립니다. 엘 1 || 엘그리고 중 1 || 중(그림 138).

점 A는 임의로 선택할 수 있으며 특히 이 선 중 하나에 있을 수 있습니다. 직선이라면 엘그리고 중교차하면 A는 이 선들의 교차점으로 간주될 수 있습니다( 엘 1 = 내가그리고 중 1 =m).

평행하지 않은 선 사이의 각도 엘그리고 중교차하는 선에 의해 형성된 가장 작은 인접 각도의 값입니다. 엘 1 그리고 중 1 (엘 1 || 엘, 중 1 || 중). 평행선 사이의 각도는 0으로 간주됩니다.

직선 사이의 각도 엘그리고 중$\widehat((l;m))$로 표시됩니다. 정의에 따르면 각도로 측정하면 0°입니다. < $\widehat((l;m)) $ < 90°, 라디안이면 0 < $\widehat((l;m)) $ < π / 2 .

일.입방체 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1이 주어졌습니다(그림 139).

직선 AB와 DC 1 사이의 각도를 구합니다.

직선 AB와 DC 1이 교차합니다. 직선 DC는 직선 AB와 평행하므로 정의에 따르면 직선 AB와 DC 1 사이의 각도는 $\widehat(C_(1)DC)$와 같습니다.

따라서 $\widehat((AB;DC_1))$ = 45°입니다.

직접 엘그리고 중호출됩니다 수직, $\widehat((l;m)) $ =인 경우 π / 2. 예를 들어 큐브에서

직선 사이의 각도 계산.

공간에서 두 직선 사이의 각도를 계산하는 문제는 평면에서와 같은 방식으로 해결됩니다. 선 사이의 각도의 크기를 ψ로 표시하겠습니다. 엘 1 그리고 엘 2 및 ψ를 통해 - 방향 벡터 사이의 각도 크기 에이 그리고 비 이 직선들.

그렇다면 만약

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90°(그림 206.6), ø = 180° - ψ. 분명히 두 경우 모두 cos ψ = |cos ψ|가 동일합니다. 공식에 따르면 (0이 아닌 벡터 a와 b 사이의 각도의 코사인은 다음과 같습니다. 스칼라 곱이 벡터를 길이의 곱으로 나눈 값)

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

따라서,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

표준 방정식으로 선을 제공하십시오.

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; 그리고 \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

그런 다음 선 사이의 각도 ψ는 공식을 사용하여 결정됩니다.

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

선 중 하나(또는 둘 다)가 비정규 방정식으로 제공되는 경우 각도를 계산하려면 이 선의 방향 벡터 좌표를 찾은 다음 공식 (1)을 사용해야 합니다.

작업 1.선 사이의 각도 계산

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;및\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

직선의 방향 벡터에는 좌표가 있습니다.

a = (-√2 ; √2 ; -2), 비 = (√3 ; √3 ; √6 ).

공식 (1)을 사용하여 우리는 다음을 찾습니다.

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

따라서 두 선 사이의 각도는 60°입니다.

작업 2.선 사이의 각도 계산

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) 및 \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(건) $$

가이드 벡터 뒤에 에이 첫 번째 줄에서는 법선 벡터의 벡터 곱을 취합니다. N 1 = (3; 0; -12) 및 N 2 = 이 선을 정의하는 (1; 1; -3) 평면. $=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) $ 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

마찬가지로 두 번째 직선의 방향 벡터를 찾습니다.

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

그러나 공식 (1)을 사용하여 원하는 각도의 코사인을 계산합니다.

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

따라서 두 선 사이의 각도는 90°입니다.

작업 3.삼각형 피라미드 MABC에서 모서리 MA, MB 및 MC는 서로 수직입니다(그림 207).

길이는 각각 4, 3, 6입니다. 점 D는 중간 [MA]입니다. CA와 DB 사이의 각도 ψ를 구합니다.

CA와 DB를 직선 CA와 DB의 방향 벡터라고 하자.

M점을 좌표의 원점으로 삼자. 방정식의 조건에 따라 A(4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D(2; 0; 0)가 있습니다. 따라서 $\overrightarrow(CA)$ = (4; - 6;0), $\overrightarrow(DB)$= (-2; 0; 3)입니다. 공식 (1)을 사용해 보겠습니다.

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

코사인표를 사용하면 직선 CA와 DB 사이의 각도가 약 72°임을 알 수 있습니다.

정의.두 직선이 y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2로 주어지면 이 직선 사이의 예각은 다음과 같이 정의됩니다.

k 1 = k 2이면 두 선은 평행합니다. k 1 = -1/ k 2이면 두 직선은 수직입니다.

정리. Ax + Bу + C = 0 및 A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 선은 계수 A 1 = λA, B 1 = λB가 비례할 때 평행합니다. C 1 = λC이면 선이 일치합니다. 두 선의 교차점 좌표는 이 선의 방정식 시스템에 대한 해로 구됩니다.

통과하는 선의 방정식 이 지점

주어진 선에 수직

정의.점 M 1 (x 1, y 1)을 통과하고 직선 y = kx + b에 수직인 직선은 다음 방정식으로 표현됩니다.

점에서 선까지의 거리

정리.점 M(x 0, y 0)이 주어지면 선 Ax + Bу + C = 0까지의 거리는 다음과 같이 결정됩니다.

증거.점 M 1 (x 1, y 1)을 점 M에서 주어진 직선으로 떨어뜨린 수직선의 밑면으로 설정합니다. 그런 다음 점 M과 M 1 사이의 거리:

(1)

좌표 x 1 및 y 1은 방정식 시스템을 풀어 찾을 수 있습니다.

시스템의 두 번째 방정식은 통과하는 선의 방정식입니다. 주어진 포인트 M 0은 주어진 직선에 수직입니다. 시스템의 첫 번째 방정식을 다음 형식으로 변환하면:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

그런 다음 해결하면 다음을 얻습니다.

이러한 표현식을 방정식 (1)로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

정리가 입증되었습니다.

예. 선 사이의 각도를 결정합니다. y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgψ = ; Φ= p /4.

예. 선 3x – 5y + 7 = 0과 10x + 6y – 3 = 0이 수직임을 보여줍니다.

해결책. k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1이므로 선은 수직입니다.

예. 주어진 삼각형의 정점은 A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1)입니다. 꼭지점 C에서 끌어낸 높이의 방정식을 구합니다.

해결책. 우리는 변 AB의 방정식을 찾습니다: ; 4 x = 6 y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

필요한 높이 방정식의 형식은 Ax + By + C = 0 또는 y = kx + b입니다. k = . 그러면 y = . 왜냐하면 높이는 점 C를 통과하고 그 좌표는 다음 방정식을 충족합니다. 여기서 b = 17. 총계: .

답: 3 x + 2 y – 34 = 0.

주어진 방향으로 주어진 점을 통과하는 선의 방정식. 주어진 두 점을 지나는 선의 방정식. 두 직선 사이의 각도. 두 직선의 평행성과 직각성의 조건. 두 선의 교차점 결정

1. 주어진 점을 지나는 선의 방정식 에이(엑스 1 , 와이 1) 주어진 방향에서, 경사에 의해 결정됨 케이,

와이 - 와이 1 = 케이(엑스 - 엑스 1). (1)

이 방정식은 한 점을 통과하는 선의 연필을 정의합니다. 에이(엑스 1 , 와이 1) 이를 빔 중심이라고 한다.

2. 두 점을 지나는 선의 방정식: 에이(엑스 1 , 와이 1) 그리고 비(엑스 2 , 와이 2) 다음과 같이 작성되었습니다.

주어진 두 점을 통과하는 직선의 각도 계수는 공식에 의해 결정됩니다.

3. 직선 사이의 각도 에이그리고 비첫 번째 직선이 회전해야 하는 각도입니다. 에이두 번째 선과 일치할 때까지 시계 반대 방향으로 두 선의 교차점을 중심으로 비. 기울기가 있는 방정식으로 두 직선이 주어지면

와이 = 케이 1 엑스 + 비 1 ,

와이 = 케이 2 엑스 + 비 2 , (4)

그 사이의 각도는 공식에 의해 결정됩니다

분수의 분자에서 첫 번째 선의 기울기는 두 번째 선의 기울기에서 뺍니다.

직선의 방정식이 다음과 같이 주어지면 일반적인 견해

에이 1 엑스 + 비 1 와이 + 기음 1 = 0,

에이 2 엑스 + 비 2 와이 + 기음 2 = 0, (6)

그들 사이의 각도는 공식에 의해 결정됩니다

4. 두 라인의 병렬성 조건:

a) 선이 각도 계수를 사용하여 방정식 (4)로 주어지면 필요하고 충분조건이들의 평행성은 각도 계수의 동일성으로 구성됩니다.

케이 1 = 케이 2 . (8)

b) 선이 일반 형식 (6)의 방정식으로 제공되는 경우 평행성에 대한 필요 충분 조건은 방정식에서 해당 현재 좌표에 대한 계수가 비례한다는 것입니다.

5. 두 직선의 직각도 조건은 다음과 같습니다.

a) 선이 각도 계수를 갖는 식 (4)로 주어지는 경우, 직각도에 대한 필요 충분 조건은 각도 계수의 크기가 반대이고 부호가 반대라는 것입니다.

이 조건은 다음 형식으로도 작성할 수 있습니다.

케이 1 케이 2 = -1. (11)

b) 선의 방정식이 일반 형식 (6)으로 주어지면 직각도(필요 및 충분) 조건은 등식을 충족해야 합니다.

에이 1 에이 2 + 비 1 비 2 = 0. (12)

6. 두 선의 교차점 좌표는 방정식 (6) 시스템을 풀어 구합니다. 라인 (6)은 다음과 같은 경우에만 교차합니다.

1. 점 M을 통과하는 선의 방정식을 쓰십시오. 그 중 하나는 주어진 직선 l에 평행하고 다른 하나는 수직입니다.