고조파 진동은 인수에 대한 의존성이 사인 또는 코사인 함수의 특성을 갖는 모든 양의주기적인 변화 현상입니다. 예를 들어 수량은 다음과 같이 조화롭게 진동하고 시간이 지남에 따라 변경됩니다.
여기서 x는 변화하는 양의 값이고, t는 시간이고, 나머지 매개변수는 일정합니다. A는 진동의 진폭, Ω는 진동의 순환 주파수, 는 진동의 전체 위상, 은 진동의 초기 위상입니다.
차동 형태의 일반화된 고조파 진동
(이 미분 방정식에 대한 중요한 해결책은 순환 주파수를 갖는 조화 진동입니다)
진동의 종류
영향을 받아 자유 진동이 발생합니다. 내부 세력시스템이 평형 위치에서 제거된 후 시스템. 자유 진동이 조화를 이루려면 다음이 필요합니다. 진동 시스템선형적이었고(선형 운동 방정식으로 설명됨) 에너지 소산이 없었습니다(후자는 감쇠를 유발함).
강제 진동은 외부 주기력의 영향으로 발생합니다. 조화를 이루려면 진동 시스템이 선형(선형 운동 방정식으로 설명됨)이고 외부 힘 자체가 시간이 지남에 따라 조화 진동으로 변하는 것(즉, 이 힘의 시간 의존성이 정현파임)이면 충분합니다. .
고조파 방정식
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방정식 (1)
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시간 t에 대한 변동 값 S의 의존성을 제공합니다. 이것은 명시적인 형태의 자유 조화 진동 방정식입니다. 그러나 일반적으로 진동 방정식은 이 방정식을 다르게 표현한 것으로 이해됩니다. 미분 형태. 명확성을 위해 방정식 (1)을 다음 형식으로 취하겠습니다.
시간에 관해 두 번 미분해 보겠습니다.
다음과 같은 관계가 성립함을 알 수 있습니다.
이는 자유 조화 진동 방정식(미분 형태)이라고 합니다. 방정식 (1)은 미분 방정식 (2)의 해입니다. 식 (2)는 2차 미분방정식이므로 완전한 해를 얻기 위해서는 두 가지 초기 조건이 필요하다(즉, 식 (1)에 포함된 상수 A와 결정; 예를 들어, t = 0에서 진동 시스템의 위치와 속도입니다.
수학 진자는 진동자로서, 균일한 중력장에 있는 무중력, 신장할 수 없는 실이나 무중력 막대 위에 위치한 물질 점으로 구성된 기계 시스템입니다. 자유 낙하 가속도 g를 갖는 균일한 중력장에 움직이지 않고 매달려 있는 길이 l의 수학 진자의 작은 자연 진동 주기는 다음과 같습니다.
진자의 진폭과 질량에 의존하지 않습니다.
물리적 진자는 이 물체의 질량 중심이 아닌 지점을 기준으로 모든 힘의 장에서 진동하는 고체 몸체인 진동자입니다. 고정축, 힘의 작용 방향에 수직이고 이 몸체의 질량 중심을 통과하지 않습니다.
고조파 진동- 그 동안의 진동 물리량고조파(정현파, 코사인) 법칙에 따라 시간이 지남에 따라 변합니다. 조화 진동 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
X(t) = A∙cos(Ωt+ψ)
또는
X(t) = A∙sin(Ωt+ψ)
X - 시간 t에서의 평형 위치로부터의 편차
A - 진동 진폭, 치수 A는 치수 X와 일치합니다.
Ω - 순환 주파수, rad/s(초당 라디안)
ψ - 초기 단계, rad
t - 시간, s
T - 진동 기간, s
f - 발진 주파수, Hz(헤르츠)
π는 대략 3.14, 2π=6.28과 같은 상수입니다.
진동 주기, 주파수(헤르츠) 및 순환 주파수는 관계식으로 관련되어 있습니다.
Ω=2πf , T=2π/Ω , f=1/T , f=Ω/2π
이러한 관계를 기억하려면 다음을 이해해야 합니다.
각 매개변수 Ω, f, T는 다른 매개변수를 고유하게 결정합니다. 진동을 설명하려면 다음 매개변수 중 하나를 사용하는 것으로 충분합니다.
주기 T는 한 번의 진동 시간이며 진동 그래프를 그리는 데 사용하는 것이 편리합니다.
순환 주파수 Ω - 진동 방정식을 작성하는 데 사용되며 수학적 계산이 가능합니다.
주파수 f - 단위 시간당 진동 수는 모든 곳에서 사용됩니다. 헤르츠 단위로 라디오 수신기가 조정되는 주파수와 작동 범위를 측정합니다. 휴대폰. 악기를 조율할 때 현이 진동하는 빈도는 헤르츠 단위로 측정됩니다.
식 (Ωt+ψ)을 진동 위상이라고 하며, 값 ψ는 시간 t=0에서의 진동 위상과 같기 때문에 초기 위상이라고 합니다.
사인 및 코사인 함수는 변의 비율을 나타냅니다. 직각삼각형. 따라서 많은 사람들은 이러한 기능이 조화 진동과 어떻게 관련되어 있는지 이해하지 못합니다. 이 관계는 균일하게 회전하는 벡터로 설명됩니다. 균일하게 회전하는 벡터의 투영은 조화 진동을 수행합니다.
아래 그림은 세 가지 고조파 진동의 예를 보여줍니다. 주파수는 같지만 위상과 진폭이 다릅니다. 
« 물리학 – 11학년
가속도는 시간에 대한 좌표의 2차 미분입니다.
점의 순간 속도는 시간에 대한 점 좌표의 미분입니다.
점의 가속도는 시간에 대한 속도의 미분이거나 시간에 대한 좌표의 2차 미분입니다.
따라서 진자의 운동 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
여기서 x"는 시간에 대한 좌표의 2차 도함수입니다.
자유 진동의 경우 좌표 엑스시간에 대한 좌표의 2차 도함수는 좌표 자체에 정비례하고 부호가 반대가 되도록 시간에 따라 변합니다.
고조파 진동
수학에서: 사인과 코사인의 2차 도함수는 함수 자체에 비례하며 반대 부호를 사용하며 다른 함수에는 이 속성이 없습니다.
그 이유는 다음과 같습니다.
자유진동을 하는 물체의 좌표는 사인 또는 코사인의 법칙에 따라 시간이 지남에 따라 변합니다.
주기적 변경사인 또는 코사인의 법칙에 따라 발생하는 시간에 따른 물리량을 호출합니다. 고조파 진동.
진동 진폭
진폭고조파 진동은 평형 위치에서 물체가 가장 크게 변위되는 계수입니다.
진폭은 초기 조건, 더 정확하게는 신체에 전달되는 에너지에 의해 결정됩니다.
신체 좌표 대 시간의 그래프는 코사인파입니다.
x = xm cos Ω 0 티
그런 다음 진자의 자유 진동을 설명하는 운동 방정식은 다음과 같습니다.
고조파 진동의 주기와 주파수.
진동할 때 신체의 움직임이 주기적으로 반복됩니다.
시스템이 하나의 완전한 진동주기를 완료하는 기간 T를 호출합니다. 진동 기간.
진동 주파수는 단위 시간당 진동 수입니다.
시간 T에 하나의 진동이 발생하면 초당 진동 수는 다음과 같습니다.
국제단위계(SI)에서는 주파수의 단위를 다음과 같이 부릅니다. 헤르츠(Hz) 독일 물리학자 G. Hertz를 기리기 위한 것입니다.
2π s의 진동 수는 다음과 같습니다.
수량 Ω 0은 진동의 순환(또는 원형) 주파수입니다.
한 주기와 동일한 시간이 지나면 진동이 반복됩니다.
빈도 자유로운 진동~라고 불리는 고유 주파수
진동 시스템.
줄여서 순환 주파수를 간단히 주파수라고 부르는 경우가 많습니다.
시스템 특성에 대한 자유 진동의 빈도 및 기간의 의존성.
1.스프링 진자를 위해
스프링 진자의 고유 진동수는 다음과 같습니다.
스프링 강성 k가 클수록 커지고, 작을수록 본체 질량 m이 커집니다.
뻣뻣한 스프링은 몸체에 더 큰 가속도를 부여하고 몸체의 속도를 더 빠르게 변경하며 몸체가 무거울수록 힘의 영향으로 속도를 느리게 변경합니다.
진동 기간은 다음과 같습니다.
스프링 진자의 진동 주기는 진동의 진폭에 의존하지 않습니다.
2.실 진자용
고유진동수 수학 진자수직에서 나사산의 작은 편차 각도는 진자의 길이와 중력 가속도에 따라 달라집니다.
이러한 진동의 주기는 다음과 같습니다.
작은 편향 각도에서 나사 진자의 진동 기간은 진동의 진폭에 의존하지 않습니다.
진동 주기는 진자의 길이가 증가함에 따라 증가합니다. 진자의 질량에 의존하지 않습니다.
g가 작을수록 진자의 진동 주기가 길어지므로 진자 시계의 작동 속도가 느려집니다. 따라서 막대에 추 형태의 진자가 있는 시계를 지하에서 모스크바 대학교 꼭대기 층(높이 200m)으로 들어 올리면 하루에 거의 3초씩 뒤쳐집니다. 그리고 이것은 높이에 따른 자유 낙하 가속도의 감소 때문입니다.
우리는 여러 가지를 물리적으로 완전히 살펴보았습니다. 다양한 시스템, 운동 방정식이 동일한 형태로 축소되었는지 확인했습니다.
물리적 시스템 간의 차이점은 다음에서만 나타납니다. 다른 정의수량 그리고 변수의 다양한 물리적 의미에서 엑스: 이는 좌표, 각도, 전하, 전류 등이 될 수 있습니다. 이 경우 방정식 (1.18)의 구조에서 다음과 같이 양은 항상 역시간의 차원을 갖습니다.
방정식 (1.18)은 소위를 설명합니다. 고조파 진동.
조화 진동 방정식(1.18)은 선형입니다. 미분 방정식 2차 순서(변수의 2차 도함수가 포함되어 있으므로) 엑스). 방정식의 선형성은 다음을 의미합니다.
어떤 기능이 있다면 x(티)는 이 방정식의 해이고, 함수는 다음과 같습니다. CX(티)또한 그의 해결책이 될 것입니다 ( 기음– 임의의 상수);
if 함수 ×1(티)그리고 x 2(티)이 방정식의 해이고 그 합은 다음과 같습니다. x 1(티) + x 2(티)또한 동일한 방정식에 대한 해결책이 될 것입니다.
2차 방정식에는 두 개의 독립적인 해가 있다는 수학적 정리도 입증되었습니다. 선형성의 특성에 따라 다른 모든 해는 선형 조합으로 얻을 수 있습니다. 독립함수와 식 (1.18)을 만족하는지 직접미분을 통해 쉽게 검증할 수 있다. 수단, 일반 솔루션이 방정식은 다음과 같습니다:
어디 씨 1,C 2- 임의의 상수. 이 솔루션은 다른 형태로 제공될 수 있습니다. 값을 입력해보자
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관계식으로 각도를 결정합니다.
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그런 다음 일반 솔루션(1.19)은 다음과 같이 작성됩니다.
삼각법 공식에 따르면 괄호 안의 표현은 다음과 같습니다.
우리는 마침내 조화 진동 방정식의 일반 해형식:
음수가 아닌 값 에이~라고 불리는 진동 진폭, - 진동의 초기 단계. 전체 코사인 인수(조합)가 호출됩니다. 진동 단계.
식 (1.19)과 (1.23)은 완전히 동일하므로 단순성을 고려하여 어느 식이든 사용할 수 있습니다. 두 솔루션 모두 시간의 주기적인 함수입니다. 실제로 사인과 코사인은 마침표를 갖는 주기적입니다. . 따라서 고조파 진동을 수행하는 시스템의 다양한 상태가 일정 시간 후에 반복됩니다. 티*, 그 동안 진동 단계는 다음의 배수인 증분을 받습니다. :
그것은 다음과 같습니다
이번 중 가장 적은 시간
~라고 불리는 진동 기간 (그림 1.8) 및 - 그의 순환 (순환) 빈도.
쌀. 1.8.
그들은 또한 사용합니다 빈도 변동
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따라서 원형 주파수는 진동 수와 같습니다. 초
따라서 당시 시스템의 경우 티변수의 값을 특징으로 함 x(티),그러면 변수는 일정 기간 후에 동일한 값을 갖게 됩니다(그림 1.9). 즉,
시간이 지나면 자연스럽게 같은 의미가 반복되겠죠 2T, ZT등.
쌀. 1.9. 진동주기
일반 솔루션에는 두 개의 임의 상수( C1, C2또는 에이, 에이), 그 값은 두 가지로 결정되어야합니다 초기 조건. 일반적으로 (반드시 그런 것은 아니지만) 해당 역할은 변수의 초기 값에 의해 수행됩니다. x(0)그리고 그 파생물.
예를 들어 보겠습니다. 조화 진동 방정식의 해(1.19)가 용수철 진자의 운동을 설명한다고 가정합니다. 임의의 상수 값은 진자를 평형 상태에서 벗어나게 하는 방식에 따라 달라집니다. 예를 들어, 스프링을 멀리 당겼습니다. 그리고 초기 속도 없이 공을 던졌습니다. 이 경우
대체 티 = 0(1.19)에서 상수의 값을 찾습니다. C 2
따라서 솔루션은 다음과 같습니다.
시간에 따른 미분을 통해 하중의 속도를 구합니다.
여기로 교체 티 = 0, 상수 찾기 C 1:
마지막으로
(1.23)과 비교하면, 는 진동의 진폭이고 초기 위상은 0입니다.
이제 다른 방법으로 진자의 균형을 깨뜨려 보겠습니다. 하중을 쳐서 초기 속도를 얻되 충격 중에는 거의 움직이지 않도록 합시다. 그런 다음 다른 초기 조건이 있습니다.
우리 솔루션은 다음과 같습니다
부하의 속도는 법에 따라 변경됩니다.
여기를 대체해 보겠습니다.
진동 이는 주기성이 크거나 작은 시스템이 반복적으로 평형 위치를 통과하는 프로세스입니다.
진동 분류:
에이) 본질적으로 (기계적, 전자기적, 농도 변동, 온도 등);
비) 형태에 따라 (단순 = 조화; 복합, 단순 조화 진동의 합);
다섯) 빈도에 따라 = 주기적(엄격히 정의된 기간(기간) 후에 시스템 특성이 반복됨) 및 비주기적;
G) 시간과 관련하여 (감쇠되지 않음 = 일정한 진폭; 감쇠됨 = 진폭 감소)
G) 에너지에 – 무료(외부에서 시스템에 일회성 에너지 입력 = 일회성 외부 영향) 강제(외부에서 시스템으로의 에너지의 다중(주기적) 입력 = 주기적인 외부 영향); 자체 진동(일정한 소스로부터 에너지 공급을 조절하는 시스템의 능력으로 인해 발생하는 감쇠되지 않은 진동).
진동 발생 조건.
a) 진동 시스템(현수 진자, 스프링 진자, 진동 회로 등)의 존재
b) 시스템을 적어도 한 번 평형 상태에서 벗어날 수 있는 외부 에너지원의 존재
c) 준탄성 복원력(즉, 변위에 비례하는 힘)이 시스템에 나타납니다.
d) 시스템에 관성(관성 요소)이 존재합니다.
예시적인 예로, 수학 진자의 움직임을 생각해 보세요. 수학 진자가늘고 늘어나지 않는 실에 매달려 있는 작은 몸체라고 하는데, 그 질량은 몸체의 질량에 비해 무시할 수 있습니다. 평형 위치에서 진자가 수직으로 매달릴 때 중력의 힘은 실의 장력과 균형을 이룹니다. 
. 진자가 평형 위치에서 특정 각도만큼 벗어날 때 α
중력의 접선 성분이 나타납니다 에프=-
mg
죄α.
이 공식에서 빼기 기호는 접선 성분이 진자의 편향과 반대 방향으로 향함을 의미합니다. 그녀는 복귀 세력입니다. 작은 각도 α(약 15-20o)에서 이 힘은 진자의 변위에 비례합니다. 준탄성이며 진자의 진동은 조화적입니다.
진자가 벗어나면 특정 높이까지 올라갑니다. 그에게는 일정한 위치 에너지가 공급됩니다( 이자형 땀 = 으앙). 진자가 평형 위치로 이동하면 위치 에너지가 운동 에너지로 변환됩니다. 진자가 평형 위치를 통과하는 순간, 잠재력은 0과 같고, 운동에너지최고. 질량의 존재로 인해 중(질량은 물질의 관성 및 중력 특성을 결정하는 물리량입니다.) 진자는 평형 위치를 통과하고 반대 방향으로 벗어납니다. 시스템에 마찰이 없으면 진자의 진동은 무한정 계속됩니다.
고조파 진동 방정식의 형식은 다음과 같습니다.
x(t) = x 중 코사인(ω 0 t+φ 0 ),
어디 엑스– 평형 위치에서 신체의 변위;
엑스 중 (에이) – 진동의 진폭, 즉 최대 변위 계수,
ω 0 – 진동의 순환(또는 원형) 주파수,
티- 시간.
코사인 기호 아래의 수량 φ = ω 0 티 + Φ 0 ~라고 불리는 단계고조파 진동. 위상은 오프셋을 결정합니다. 지금은시간 티. 위상은 각도 단위(라디안)로 표현됩니다.
~에 티= 0 φ = φ 0 , 그렇기 때문에 φ 0 ~라고 불리는 초기 단계.
진동계의 특정 상태가 반복되는 기간을 다음과 같이 부릅니다. 진동 기간티.
진동 주기에 반비례하는 물리량을 다음과 같이 부릅니다. 진동 주파수: 
. 진동 주파수 ν
단위 시간당 몇 번의 진동이 발생하는지 보여줍니다. 주파수 단위 – 헤르츠(Hz) –초당 하나의 진동.
진동 주파수 ν
순환 주파수와 관련된 ω
진동주기 티비율: 
.
즉, 원형주파수는 2π 단위의 시간 동안 발생하는 완전한 진동의 수입니다.
그래픽적으로 고조파 진동은 종속성으로 표현될 수 있습니다. 엑스~에서 티 그리고 벡터 다이어그램 방법.
벡터 다이어그램 방법을 사용하면 고조파 진동 방정식에 포함된 모든 매개변수를 명확하게 표현할 수 있습니다. 실제로 진폭 벡터의 경우 에이 각도로 위치 φ 축으로 엑스, 축에 투영 엑스다음과 같습니다: x = 아코스(φ ) . 모서리 φ 그리고 초기 단계가 있습니다. 벡터의 경우 에이~으로 순환시키다 각속도Ω 0은 진동의 원형 주파수와 같으며 벡터 끝의 투영은 축을 따라 이동합니다. 엑스다음과 같은 값을 취합니다. -에이에게 +A, 이 투영의 좌표는 법에 따라 시간이 지남에 따라 변경됩니다. 엑스(티) = 에이코사인(ω 0 티+ φ) . 진폭 벡터가 한 바퀴 완전히 회전하는 데 걸리는 시간은 주기와 같습니다. 티고조파 진동. 초당 벡터 회전 수는 진동 주파수와 같습니다. ν .
