이 기사에서는 평면에 점 투영을 생성하는 방법과 이 투영의 좌표를 결정하는 방법에 대한 질문에 대한 답변을 찾을 수 있습니다. 이론적인 부분에서는 투영의 개념에 의존할 것입니다. 용어를 정의하고 그림과 함께 정보를 제공하겠습니다. 예제를 풀면서 습득한 지식을 통합해 봅시다.
투영, 투영 유형
공간적 그림을 보는 편의를 위해 이러한 그림을 묘사한 그림이 사용됩니다.
정의 1
평면에 인물 투영– 공간적 그림 그리기.
분명히 투영을 구성하는 데 사용되는 여러 규칙이 있습니다.
정의 2
투사– 구성 규칙을 사용하여 평면에 공간 도형의 그림을 구성하는 과정입니다.
투영면- 이미지가 구성되는 평면입니다.
특정 규칙의 사용에 따라 투영 유형이 결정됩니다. 본부또는 평행한.
평행 투영의 특별한 경우는 수직 투영 또는 직교 투영입니다. 기하학에서는 주로 사용됩니다. 이러한 이유로 "수직"이라는 형용사 자체는 종종 연설에서 생략됩니다. 기하학에서는 단순히 "그림의 투영"이라고 말하며 이는 수직 투영 방법을 사용하여 투영을 구성하는 것을 의미합니다. 물론 특별한 경우에는 다른 사항이 합의될 수도 있습니다.
평면에 그림을 투영하는 것은 본질적으로 이 그림의 모든 점을 투영한다는 사실에 주목합시다. 따라서 도면에서 공간도형을 연구하기 위해서는 점을 평면에 투영하는 기본적인 기술을 습득하는 것이 필요하다. 아래에서 이야기 할 내용.
기하학에서 평면 투영에 대해 말할 때 수직 투영을 사용하는 것을 의미하는 경우가 가장 많다는 것을 기억해 봅시다.
점을 평면에 투영하는 것에 대한 정의를 얻을 수 있는 기회를 제공하는 구성을 만들어 보겠습니다.
3차원 공간이 주어지고 그 안에 평면 α와 평면 α에 속하지 않는 점 M1이 있다고 가정해 보겠습니다. 주어진 점 M을 지나는 직선을 그리세요 에이주어진 평면 α에 수직. 우리는 직선 a와 평면 α의 교차점을 H 1로 표시하며, 이는 점 M 1에서 평면 α로 낮아지는 수직선의 기초 역할을 합니다.
주어진 평면 α에 속하는 점 M 2가 주어지면 M 2는 평면 α에 대한 투영 역할을 합니다.
정의 3
- 이것은 점 자체(주어진 평면에 속하는 경우)이거나 주어진 점에서 주어진 평면으로 떨어진 수직의 밑면입니다.
평면에 점을 투영하는 좌표 찾기, 예
3차원 공간에 다음이 주어집니다: 직각 좌표계 O x y z, 평면 α, 점 M 1 (x 1, y 1, z 1). 주어진 평면에 점 M 1을 투영하는 좌표를 찾는 것이 필요합니다.
해법은 점을 평면에 투영하는 위에 주어진 정의에서 분명히 따릅니다.
점 M 1 을 평면 α에 투영하는 것을 H 1 로 표시하겠습니다. 정의에 따르면, H 1은 주어진 평면 α와 점 M 1을 통해 그려진 직선 a(평면에 수직)의 교차점입니다. 저것들. 우리에게 필요한 점 M1의 투영 좌표는 직선 a와 평면 α의 교차점 좌표입니다.
따라서 평면에 대한 점 투영 좌표를 찾으려면 다음이 필요합니다.
평면 α의 방정식을 구합니다(지정되지 않은 경우). 여기서는 평면 방정식의 유형에 관한 기사가 도움이 될 것입니다.
점 M 1을 통과하고 평면 α에 수직인 직선 a의 방정식을 결정합니다(주어진 평면에 수직인 주어진 점을 통과하는 직선 방정식에 대한 주제를 연구합니다).
직선 a와 평면 α의 교차점 좌표를 찾습니다(기사-평면과 선의 교차점 좌표 찾기). 얻은 데이터는 점 M 1을 평면 α에 투영하는 데 필요한 좌표가 됩니다.
실제 사례를 통해 이론을 살펴보겠습니다.
실시예 1
점 M 1 (-2, 4, 4)을 평면 2 x – 3 y + z - 2 = 0에 투영하는 좌표를 결정합니다.
해결책
보시다시피, 평면의 방정식이 우리에게 주어집니다. 컴파일할 필요가 없습니다.
점 M 1을 통과하고 주어진 평면에 수직인 직선 a의 표준 방정식을 적어 보겠습니다. 이러한 목적을 위해 직선 a의 방향 벡터 좌표를 결정합니다. 선 a는 주어진 평면에 수직이므로 선 a의 방향 벡터는 평면 2 x - 3 y + z - 2 = 0의 법선 벡터입니다. 따라서, a → = (2, - 3, 1) – 직선 a의 방향 벡터.
이제 우리는 점 M 1 (-2, 4, 4)을 통과하고 방향 벡터를 갖는 공간의 선의 표준 방정식을 작성합니다. a → = (2 , - 3 , 1) :
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1
필요한 좌표를 찾으려면 다음 단계는 직선 x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1과 평면의 교차점 좌표를 결정하는 것입니다. 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . 이러한 목적을 위해 우리는 표준 방정식두 개의 교차 평면의 방정식:
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0
방정식 시스템을 만들어 보겠습니다.
3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2
그리고 Cramer의 방법을 사용하여 문제를 해결해 보겠습니다.
Δ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 Δ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = Δ x Δ = 0 - 28 = 0 Δ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = Δ y Δ = - 28 - 28 = 1 Δ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = Δ z Δ = - 140 - 28 = 5
따라서 주어진 평면 α에서 주어진 점 M 1의 필요한 좌표는 (0, 1, 5)입니다.
답변: (0 , 1 , 5) .
실시예 2
안에 직사각형 시스템 3차원 공간의 좌표 O x y z에는 점 A(0, 0, 2)가 주어집니다. B(2, - 1, 0); C(4, 1, 1) 및 M 1(-1, -2, 5). 평면 A B C에 대한 투영 M 1의 좌표를 찾는 것이 필요합니다.
해결책
우선, 주어진 세 점을 통과하는 평면의 방정식을 작성합니다.
x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0
적어보자 파라메트릭 방정식평면 A B C에 수직인 점 M 1을 통과하는 직선 a. 평면 x – 2 y + 2 z – 4 = 0은 좌표 (1, - 2, 2)를 갖는 법선 벡터를 갖습니다. 벡터 a → = (1, - 2, 2) – 직선 a의 방향 벡터.
이제 선 M 1의 점 좌표와 이 선의 방향 벡터 좌표를 사용하여 공간에서 선의 매개변수 방정식을 작성합니다.
그런 다음 평면 x – 2 y + 2 z – 4 = 0과 직선의 교차점 좌표를 결정합니다.
x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ
이를 위해 평면 방정식을 다음과 같이 대체합니다.
x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ
이제 매개변수 방정식 x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ를 사용하여 λ = - 1에 대한 변수 x, y 및 z의 값을 찾습니다. x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3
따라서 점 M 1을 평면 A B C에 투영하면 좌표가 (-2, 0, 3)됩니다.
답변: (- 2 , 0 , 3) .
좌표 평면과 좌표 평면에 평행한 평면에 점을 투영하는 좌표를 찾는 문제에 대해 별도로 살펴보겠습니다.
점 M 1 (x 1, y 1, z 1)과 좌표 평면 O x y, O x z 및 O y z가 주어집니다. 이 평면에 대한 이 점의 투영 좌표는 각각 (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) 및 (0, y 1, z 1)입니다. 주어진 좌표 평면에 평행한 평면도 고려해 보겠습니다.
C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B
그리고 주어진 점 M 1을 이 평면에 투영하면 좌표가 x 1, y 1, - DC, x 1, - D B, z 1 및 - DA, y 1, z 1인 점이 됩니다.
이 결과가 어떻게 얻어졌는지 보여드리겠습니다.
예를 들어, 점 M 1 (x 1, y 1, z 1)을 평면 A x + D = 0에 투영하는 것을 정의해 보겠습니다. 나머지 경우도 비슷하다.
주어진 평면은 좌표 평면 O y z와 평행하고 i → = (1, 0, 0)은 법선 벡터입니다. 동일한 벡터가 Oyz 평면에 수직인 선의 방향 벡터 역할을 합니다. 그런 다음 점 M 1을 통해 그려지고 주어진 평면에 수직인 직선의 매개변수 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1
이 선과 주어진 평면의 교차점의 좌표를 찾아봅시다. 먼저 등식을 A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 방정식에 대입하고 다음을 얻습니다. A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = -DA-x1
그런 다음 λ = - D A - x 1인 직선의 매개변수 방정식을 사용하여 필요한 좌표를 계산합니다.
x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1
즉, 점 M 1 (x 1, y 1, z 1)을 평면에 투영하면 좌표가 D A, y 1, z 1인 점이 됩니다.
실시예 2
점 M 1 (-6, 0, 1 2)을 좌표 평면 O x y와 평면 2 y - 3 = 0에 투영하는 좌표를 결정해야 합니다.
해결책
좌표평면 O x y는 불완전하게 일치합니다. 일반 방정식평면 z = 0. 평면 z = 0에 점 M 1을 투영하면 좌표가 (-6, 0, 0)됩니다.
평면 방정식 2 y - 3 = 0은 y = 3 2 2로 쓸 수 있습니다. 이제 점 M 1 (-6, 0, 1 2)을 y = 3 2 2 평면에 투영한 좌표를 적어보세요.
6 , 3 2 2 , 1 2
답변:(- 6 , 0 , 0) 및 - 6 , 3 2 2 , 1 2
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공간에서 점의 위치는 두 개의 직교 투영(예: 수평 및 정면, 정면 및 프로필)으로 지정될 수 있습니다. 두 개의 직교 투영법을 조합하면 점의 모든 좌표 값을 확인하고, 세 번째 투영법을 구성하고, 해당 점의 팔분원을 결정할 수 있습니다. 기술 기하학 과정의 몇 가지 일반적인 문제를 살펴보겠습니다.
점 A와 B의 복잡한 그림을 그리려면 다음이 필요합니다.
먼저 A (x, y, z) 형식으로 쓸 수 있는 점 A의 좌표를 결정해 보겠습니다. x, y 좌표를 갖는 점 A - 점 A"의 수평 투영. 점 A"에서 x, y 축에 수직을 그리고 각각 A x, A y를 찾아보겠습니다. 점 A의 x 좌표는 A x가 x 축의 양수 값 영역에 있기 때문에 더하기 기호가 있는 세그먼트 A x O의 길이와 같습니다. 도면의 규모를 고려하면 x = 10입니다. t가 음수 값 영역에 있기 때문에 y 좌표는 마이너스 기호가 있는 A y O 세그먼트의 길이와 같습니다. y 축. 도면의 축척을 고려하면 y = –30입니다. 점 A - 점 A""의 정면 투영에는 x와 z 좌표가 있습니다. A""에서 z축까지의 수직선을 내려놓고 Az를 찾아보겠습니다. A z가 z 축의 음수 값 영역에 있기 때문에 점 A의 z 좌표는 빼기 기호가 있는 A z O 세그먼트의 길이와 같습니다. 도면 배율 z = –10을 고려합니다. 따라서 점 A의 좌표는 (10, -30, -10)입니다.
점 B의 좌표는 B(x, y, z)로 쓸 수 있습니다. 점 B - 점 B"의 수평 투영을 고려하십시오. x 축에 있으므로 B x = B"이고 좌표 B y = 0입니다. 점 B의 가로 좌표 x는 세그먼트 B x의 길이와 같습니다. O에는 더하기 기호가 있습니다. 도면 배율 x = 30을 고려하면 점 B의 정면 투영은 B˝ 좌표 x, z를 갖습니다. B""에서 z축까지 수직선을 그려서 Bz를 구해 보겠습니다. B z가 z 축의 음수 값 영역에 있기 때문에 점 B의 적용 z는 빼기 기호가 있는 세그먼트 B z O의 길이와 같습니다. 도면의 규모를 고려하여 z = –20 값을 결정합니다. 따라서 B의 좌표는 (30, 0, -20)입니다. 필요한 모든 구성은 아래 그림에 나와 있습니다.
점 투영 구성
평면 P 3의 점 A와 B는 다음과 같은 좌표를 갖습니다: A""" (y, z); B""" (y, z). 이 경우 A"" 및 A"""는 공통 z 좌표를 가지므로 z 축에 대해 동일한 수직 위치에 있습니다. 마찬가지로 B"" 및 B"""는 z 축에 대해 공통 수직 위치에 있습니다. 점 A의 프로필 투영을 찾기 위해 앞서 찾은 해당 좌표의 값을 y축을 따라 그립니다. 그림에서 이는 반경 A y O의 원호를 사용하여 수행됩니다. 그런 다음 점 A""에서 z축으로 복원된 수직과 교차할 때까지 A y에서 수직을 그립니다. 이 두 수직선의 교차점이 A"""의 위치를 결정합니다.
점 B"""는 이 점의 y 세로 좌표가 0이므로 z축 위에 있습니다. 이 문제에서 점 B의 프로필 투영을 찾으려면 B""에서 z 축까지 수직선을 그리면 됩니다. 이 수직선과 z축의 교차점은 B """입니다.
공간에서 점의 위치 결정
투영 평면 P 1, P 2 및 P 3으로 구성된 공간 레이아웃, 팔분원의 위치, 레이아웃을 다이어그램으로 변환하는 순서를 시각적으로 상상하면 지점 A가 III 팔분원에 위치하는지 직접 확인할 수 있습니다 , 그리고 점 B는 평면 P 2에 있습니다.
이 문제를 해결하기 위한 또 다른 옵션은 예외 방법입니다. 예를 들어 점 A의 좌표는 (10, -30, -10)입니다. 양의 가로좌표 x를 사용하면 해당 점이 처음 4개의 옥탄트에 있는지 판단할 수 있습니다. 음의 y 좌표는 해당 점이 두 번째 또는 세 번째 팔분원에 있음을 나타냅니다. 마지막으로, 음수 적용 z는 점 A가 세 번째 팔분원에 위치함을 나타냅니다. 다음 표는 위의 추론을 명확하게 보여줍니다.
| 옥탄트 | 좌표 표시 | ||
| 엑스 | 와이 | 지 | |
| 1 | + | + | + |
| 2 | + | – | + |
| 3 | + | – | – |
| 4 | + | + | – |
| 5 | – | + | + |
| 6 | – | – | + |
| 7 | – | – | – |
| 8 | – | + | – |
점 B의 좌표(30, 0, -20). 점 B의 세로 좌표가 0이므로 이 점은 투영 평면 P 2에 위치합니다. t의 양의 가로좌표와 음의 적용점은 B가 세 번째와 네 번째 팔분원의 경계에 위치함을 나타냅니다.
평면 P 1, P 2, P 3 시스템의 점 시각적 이미지 구성
정면 등각 투영을 사용하여 III 팔분원의 공간 레이아웃을 구축했습니다. 이것은 면이 P 1, P 2, P 3 평면이고 각도(-y0x)가 45°인 직사각형 삼면체입니다. 이 시스템에서는 x, y, z 축을 따른 세그먼트가 왜곡 없이 자연스러운 크기로 표시됩니다.
수평 투영 A"를 사용하여 점 A(10, -30, -10)의 시각적 이미지 구성을 시작해 보겠습니다. 이를 가로축과 세로축에 배치합니다. 해당 좌표, 점 A x와 A y를 찾으세요. A x 및 A y에서 각각 x 및 y 축으로 복원된 수직선의 교차점은 점 A의 위치를 결정합니다. A에서 "z 축에 평행한 음수 값을 향한 세그먼트 AA"를 따로 설정하여, 길이가 10이면 점 A의 위치를 찾습니다.
시각적 이미지즉, B(30, 0, -20)는 비슷한 방식으로 구성됩니다. 즉, x 및 z 축을 따라 P 2 평면에서 해당 좌표를 플롯해야 합니다. B x와 B z로부터 재구성된 수직선의 교차점은 점 B의 위치를 결정합니다.
찾다 예각벡터로 구성된 평행사변형의 대각선 사이
5) 벡터 c = 42의 3근인 경우, 벡터 a와 b 사이 각도의 이등분선을 따라 향하는 벡터 c의 좌표를 결정합니다. a=(2;-3;6), b=(-1;2; -2)
다음과 같이 단위 벡터 e_a를 다음과 같이 찾아봅시다.
마찬가지로 e_b = b/|b|,
그러면 원하는 벡터는 벡터 합계 e_a+e_b와 동일한 방식으로 지정됩니다. (e_a+e_b)는 마름모의 대각선입니다. 각도의 이등분선.
(e_a+e_b)=d를 나타내자.
이등분선을 따라 향하는 단위 벡터를 찾아봅시다: e_c = d/|d|
만약 |c| = 3*sqrt(42)이면 c = |c|*e_c입니다. 그게 다야.
찾다 선형 의존성동일 평면이 아닌 4개의 벡터 사이: p=a+b; q=b-c; r=a-b+c; s=b+(1/2)*c
처음 세 등식에서 `a,b,c`를 `p,q,r`로 표현해 보세요(두 번째와 세 번째 방정식을 추가하여 시작). 그런 다음 마지막 방정식의 `b`와 `c`를 `p,q,r` 측면에서 찾은 표현식으로 바꿉니다.
13) x + y + 2z – 3 = 0 평면에 수직인 점 A(2, -1, 4)와 B(3, 2, -1)을 통과하는 평면의 방정식을 구합니다.필요한 평면 방정식의 형식은 Ax + By + Cz + D = 0이며 이 평면(A, B, C)에 대한 법선 벡터입니다. 벡터 (1, 3, -5)는 평면에 속합니다. 원하는 평면에 수직인 우리에게 주어진 평면은 법선 벡터(1, 1, 2)를 갖습니다. 왜냐하면 점 A와 B는 두 평면에 속하고 평면이 서로 수직인 경우 법선 벡터는 (11, -7, -2)입니다. 왜냐하면 점 A가 원하는 평면에 속하면 해당 좌표는 이 평면의 방정식을 충족해야 합니다. 즉 11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0; D = -21. 전체적으로 우리는 평면의 방정식을 얻습니다: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.
14) 벡터에 평행한 선을 통과하는 평면의 방정식.
원하는 평면이 선 (x-x2)/a2 = (y-y2)/b2와 평행한 선 (x-x1)/a1 = (y-y1)/b1 = (z-z1)/c1을 통과하도록 합니다. = (z -z2)/c2 .
그러면 평면의 법선 벡터는 다음 선의 방향 벡터의 벡터 곱입니다.
좌표를 보자 벡터 제품(알파벳). 원하는 평면이 점 (x1;y1;z1)을 통과합니다. 평면이 통과하는 법선 벡터와 점에 따라 원하는 평면의 방정식이 결정됩니다.
A·(x-x1) + B·(y-y1) + C·(z-z1) = 0
17) 직선 3x - 7y + 14 = 0에 수직인 점 A(5, -1)을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
18) 주어진 평면 M(4,3,1) x+3y+5z-42=0에 수직인 점 M을 지나는 직선의 방정식을 쓰십시오.
(x - x0) / n = (y - y0) / m = (z - z0) / p
M(x0,y0,z0) - 포인트 M(4,3,1)
(n, m, p) - 주어진 표면(1, 3, 5)에 대한 법선 벡터라고도 알려진 직선의 방향 벡터(계수) 변수 x,y,z평면 방정식에서)
평면에 대한 점의 투영 찾기
점 M(1,-3,2), 평면 2x+5y-3z-19=0
한 점을 통과하는 주어진 평면에 대한 수직선이 복원되고 평면과 수직선의 교차점이 구성될 때 구성됩니다.
직선과 평면;
평면과 선의 교차점
주어진 평면에 대한 수직선이 복원되고, 한 점에서 평면으로 낮아지고, 평면과 수직선의 교차점이 구축되면 구축됩니다. 이러한 구성은 직각삼각형 방법을 사용하여 점에서 평면까지의 거리를 결정할 때 수행됩니다.
주어진 예측: 포인트 에이(아`, 아") 그리고 비행기 α (αH, αV). 한 지점으로부터의 거리 구하기 에이비행기로 α 직각삼각형법을 사용한다.
HTML 테이블 코드, 예
그래픽 작업 2번에서는 문제 4번이 세그먼트의 두 지점에 대해 구성됩니다. EF: 그래픽 작업 2
직선 m을 기준으로 대칭인 점 B의 다이어그램을 구성합니다.
다음은 이 문제를 해결하는 여러 가지 방법 중 하나입니다.
1. 주어진 직선 m에 평행한 방향 S의 경사 투영을 사용합니다.
a) 점 A를 통과하는 선 n을 그리고 nH, mH 및 nV, mV의 흔적을 찾습니다.
b) 생성기 nH, mH 및 nV, mV의 평행 직선 흔적에서 평면 α의 흔적을 찾습니다.
c) 평면 α의 동일한 추적에서 직선 m에 대해 대칭인 직선 k의 추적 kH 및 kV를 찾습니다.
2. 점 A를 통해 평면 α의 평행선 m, n 및 k에 수직인 평면 β를 그립니다.
a) 점 A를 통해 β 평면의 수평 평면과 정면 평면을 그립니다.
b) 수평면과 정면면 β의 흔적을 찾습니다.
c) 수평 h와 정면 f의 흔적을 통해 평면 β의 흔적을 그립니다.
3. 직선 k가 평면 β와 만나는 점 B를 찾습니다.
a) 1 - 2 평면 α와 β의 교차선을 찾습니다.
b) 직선 1-2와 직선 k의 교차점에서 원하는 점 B를 찾습니다.
두 투영면에 점 투영하기
직선 세그먼트 AA 1의 형성은 임의의 평면 H에서 점 A의 이동 결과로 나타낼 수 있으며 (그림 84, a), 직선 세그먼트 AB의 이동으로 평면의 형성 (그림 .84, b).
포인트 - 메인 기하학적 요소선과 표면, 따라서 물체의 직사각형 투영에 대한 연구는 점의 직사각형 투영 구성으로 시작됩니다.
두 개의 수직 평면, 즉 투영 V의 정면 (수직) 평면과 투영 H의 수평 평면으로 형성된 2 면각의 공간에 점 A를 배치합니다 (그림 85, a).
투영 평면의 교차선은 직선이며 투영 축이라고 하며 문자 x로 지정됩니다.
여기서 V 평면은 직사각형으로 표시되고 H 평면은 평행사변형으로 표시됩니다. 이 평행사변형의 경사면은 일반적으로 수평면에 대해 45° 각도로 그려집니다. 경사면의 길이는 실제 길이의 0.5와 같습니다.
점 A에서 수직선은 평면 V 및 H로 낮아집니다. 투영 평면 V 및 H와 수직선의 교차점 a" 및 a는 점 A의 직사각형 투영입니다. 공간의 그림 Aaa x a"는 직사각형입니다. 시각적 이미지에서 이 직사각형의 측면 aax는 2배로 줄어듭니다.
x 평면의 교차선을 중심으로 V를 회전시켜 H 평면을 V 평면과 정렬해 보겠습니다. 결과는 A 지점의 포괄적인 그림입니다(그림 85, b).
복잡한 도면을 단순화하기 위해 투영 평면 V와 H의 경계는 표시되지 않습니다 (그림 85, c).
점 A에서 투영면까지 그린 수직선을 투영선이라고 하며, 이러한 투영선의 기준인 점 a와 a"를 점 A의 투영이라고 합니다. a"는 점 A의 정면 투영이고, a는 수평 투영입니다. A 지점의
라인 a" a는 투영 연결의 수직선이라고 합니다.
복잡한 도면에서 점의 투영 위치는 공간에서 이 점의 위치에 따라 달라집니다.
점 A가 투영 H의 수평면에 있으면 (그림 86, a) 수평 투영 a는 주어진 점과 일치하고 정면 투영 a"는 축에 위치합니다. 점 B가 정면에 위치하면 투영 평면 V의 정면 투영은 이 점과 일치하고, 수평 투영은 x축에 있으며, x축에 있는 특정 점 C의 수평 투영과 정면 투영은 이 점과 일치합니다. A, B, C 지점은 그림 86, b에 나와 있습니다.
세 개의 투영면에 점 투영하기
두 번의 투영으로 물체의 모양을 상상할 수 없는 경우에는 세 개의 투영면에 투영됩니다. 이 경우 평면 V 및 H에 수직인 프로파일 투영 평면 W가 도입됩니다. 세 투영 평면 시스템의 시각적 표현이 그림 1에 나와 있습니다. 87, 에이.
삼면체 각도(투영 평면의 교차점)의 모서리를 투영 축이라고 하며 x, y 및 z로 지정됩니다. 투영 축의 교차점을 투영 축의 시작이라고 하며 문자 O로 표시합니다. 점 A에서 투영 평면 W까지 수직선을 떨어뜨리고 수직선의 밑면을 문자 "a"로 표시합니다. 점 A의 윤곽 투영을 얻습니다.
점 A의 복잡한 그림을 얻기 위해 평면 H와 W가 평면 V와 결합되어 Ox 및 Oz 축을 중심으로 회전합니다. A 지점의 포괄적인 그림이 그림 1에 나와 있습니다. 87, b 및 c.
점 A에서 투영 평면까지의 투영 선 세그먼트를 점 A의 좌표라고 하며 x A, y A 및 z A로 지정됩니다.
예를 들어, 점 A의 좌표 z A는 세그먼트 a"a x (그림 88, a 및 b)와 동일하며 점 A에서 수평 투영 평면 H까지의 거리입니다. 점 A의 좌표 y는 다음과 같습니다. 세그먼트 aa x는 점 A에서 투영 V의 정면 평면까지의 거리입니다. 좌표 x A는 세그먼트 aa y와 동일합니다. A 지점에서 투영 W의 프로파일 평면까지의 거리입니다.
따라서 점의 투영과 투영 축 사이의 거리가 점의 좌표를 결정하며 복잡한 그림을 읽는 데 핵심이 됩니다. 점의 두 투영으로부터 점의 세 좌표를 모두 결정할 수 있습니다.
점 A의 좌표가 주어지면(예: x A = 20mm, y A = 22mm 및 z A = 25mm) 이 점에 대한 세 개의 투영을 구성할 수 있습니다.
이를 위해 좌표 O의 원점에서 Oz 축 방향으로 좌표 z A가 배치되고 정리된 세그먼트의 끝에서 좌표 a z 및 a y가 배치됩니다. . 88, a) - Ox 축에 평행한 직선을 그리고 x 좌표 A와 동일한 세그먼트에 배치합니다. 결과 점 a"와 a는 점 A의 정면 및 수평 투영입니다.
점 A의 두 투영 a"와 a를 사용하여 세 가지 방법으로 프로필 투영을 구성할 수 있습니다.
1) 좌표 O의 원점에서 반경 Oa y가 좌표와 동일한 보조 호를 그리고 (그림 87, b 및 c) 결과 점 a y1에서 Oz 축에 평행 한 직선을 그리고 누워 z A와 동일한 세그먼트에서 꺼짐;
2) a y 지점에서 Oy 축에 대해 45° 각도로 보조 직선을 그립니다(그림 88, a). a y1 지점 등을 얻습니다.
3) 좌표 O의 원점에서 Oy 축에 대해 45° 각도로 보조 직선을 그리고(그림 88, b) 점 a y1 등을 얻습니다.
