정의
진동 주파수($\nu$)는 진동을 특징짓는 매개변수 중 하나입니다. 이는 진동 주기($T$)의 역수입니다.
\[\nu =\frac(1)(T)\left(1\right).\]
따라서 진동 주파수는 단위 시간당 진동의 반복 횟수와 동일한 물리량입니다.
\[\nu =\frac(N)(\Delta t)\left(2\right),\]
여기서 $N$은 완전한 진동 운동의 수입니다. $\Delta t$는 이러한 진동이 발생한 시간입니다.
순환 발진 주파수($(\omega )_0$)는 다음 공식으로 주파수 $\nu $와 관련됩니다.
\[\nu =\frac((\omega )_0)(2\pi )\left(3\right).\]
국제 단위계(SI)의 주파수 단위는 헤르츠 또는 역초입니다.
\[\왼쪽[\nu \오른쪽]=с^(-1)=Hz.\]
스프링 진자
정의
스프링 진자하중이 부착된 탄성 스프링으로 구성된 시스템이라고 합니다.
하중의 질량이 $m$이고 스프링의 탄성 계수가 $k$라고 가정합니다. 이러한 진자의 스프링 질량은 일반적으로 고려되지 않습니다. 하중의 수평 이동을 고려하면(그림 1), 시스템이 평형 상태에서 벗어나 자체 장치에 방치되면 탄성력의 영향을 받아 움직입니다. 이 경우 마찰력을 무시할 수 있다고 종종 믿어집니다.
스프링 진자의 진동 방정식
자유롭게 진동하는 스프링 진자는 조화 진동자의 예입니다. 진동이 작으면 Hooke의 법칙이 충족되고 하중의 운동 방정식은 다음과 같이 작성됩니다.
\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\left(4\right),\]
여기서 $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$는 용수철 진자의 진동 주기 주파수입니다. 방정식 (4)의 해는 다음 형식의 사인 또는 코사인 함수입니다.
여기서 $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$는 스프링 진자의 진동 주기 주파수이고, $A$는 진동의 진폭입니다. $((\omega )_0t+\varphi)$ - 진동 단계; $\varphi $ 및 $(\varphi )_1$는 진동의 초기 단계입니다.
용수철 진자의 진동 주파수
공식 (3)과 $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$로부터 스프링 진자의 진동 주파수는 다음과 같습니다.
\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(6\right).\]
공식 (6)은 다음과 같은 경우에 유효합니다:
- 진자의 스프링은 무중력으로 간주됩니다.
- 스프링에 부착된 하중은 절대적으로 강체입니다.
- 비틀림 진동이 없습니다.
식 (6)은 하중의 질량이 감소하고 스프링의 탄성계수가 증가함에 따라 스프링 진자의 진동 주파수가 증가함을 보여줍니다. 스프링 진자의 진동 주파수는 진폭에 의존하지 않습니다. 진동이 작지 않으면 스프링의 탄성력이 Hooke의 법칙을 따르지 않으며 진폭에 대한 진동 주파수의 의존성이 나타납니다.
솔루션 문제의 예
실시예 1
운동.용수철 진자의 진동 주기는 $T=5\cdot (10)^(-3)s$입니다. 이 경우 진동 주파수는 얼마입니까? 이 질량의 진동 주기 주파수는 얼마인가?
해결책.발진 주파수는 발진 주기의 역수이므로 문제를 해결하려면 다음 공식을 사용하면 충분합니다.
\[\nu =\frac(1)(T)\left(1.1\right).\]
필요한 빈도를 계산해 보겠습니다.
\[\nu =\frac(1)(5\cdot (10)^(-3))=200\ \left(Hz\right).\]
순환 주파수는 다음과 같이 주파수 $\nu $와 관련됩니다.
\[(\omega )_0=2\pi \nu \ \left(1.2\right).\]
순환 주파수를 계산해 보겠습니다.
\[(\omega )_0=2\pi \cdot 200\about 1256\ \left(\frac(rad)(s)\right).\]
답변.$1)\ \nu =200$Hz. 2) $(\omega )_0=1256\ \frac(rad)(s)$
실시예 2
운동.탄성 스프링(그림 2)에 걸려 있는 하중의 질량은 $\Delta m$만큼 증가하는 반면, 주파수는 $n$만큼 감소합니다. 첫 번째 하중의 질량은 얼마입니까?
\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.1\right).\]
첫 번째 부하의 경우 주파수는 다음과 같습니다.
\[(\nu )_1=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.2\right).\]
두 번째 로드의 경우:
\[(\nu )_2=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m+\Delta m))\ \left(2.2\right).\]
문제 $(\nu )_2=\frac((\nu )_1)(n)$의 조건에 따라 $\frac((\nu )_1)((\nu )_2) 관계를 찾습니다. \frac((\nu )_1)((\nu )_2)=\sqrt(\frac(k)(m)\cdot \frac(m+\Delta m)(k))=\sqrt(1+\frac (\델타m)(m))=n\ \left(2.3\right).$
방정식 (2.3)에서 필요한 하중 질량을 구해 보겠습니다. 이를 위해 식 (2.3)의 양변을 제곱하고 $m$을 표현해 보겠습니다.
답변.$m=\frac(\델타m)(n^2-1)$
정의 1
전체 시스템이 평형 위치에서 제거된 후에만 내부 힘의 영향으로 자유 진동이 발생할 수 있습니다.
조화 법칙에 따라 진동이 발생하려면 물체를 평형 위치로 되돌리는 힘이 평형 위치에서 물체의 변위에 비례하고 변위의 반대 방향으로 향해야 합니다.
F(t) = m a(t) = - m Ω 2 x(t) .
관계에 따르면 Ω는 고조파 진동의 주파수입니다. 이 속성은 Hooke 법칙의 적용 범위 내에서 탄성력의 특징입니다.
F y p r = - k x .
정의 2
조건을 만족하는 모든 자연의 힘을 힘이라고 한다. 준탄성.
즉, 그림 2에 표시된 것처럼 끝이 고정된 강성 k의 스프링에 질량 m이 부착된 하중입니다. 2. 1, 마찰이 없는 상태에서 조화로운 자유진동을 수행할 수 있는 시스템을 구성한다.
정의 3
스프링에 가해지는 추를 선형 고조파 발진기라고 합니다.
그림 2 . 2 . 1 . 스프링에 가해지는 하중의 진동. 마찰이 없습니다.
원형 주파수
원형 주파수 Ω 0 는 뉴턴의 제2법칙 공식을 적용하여 구합니다.
m a = - k x = m Ω 0 2 x .
그래서 우리는 다음을 얻습니다:
정의 4
주파수 Ω 0이 호출됩니다. 진동 시스템의 고유 주파수.
스프링 T에 가해지는 하중의 고조파 진동 기간은 다음 공식에 의해 결정됩니다.
T = 2 π Ω 0 = 2 π m k .
스프링 하중 시스템의 수평 배열로 인해 중력은 지지 반력에 의해 보상됩니다. 스프링에 하중을 걸 때 중력의 방향은 하중의 이동선을 따릅니다. 늘어난 스프링의 평형 위치는 다음과 같습니다.
x 0 = m g k , 진동은 새로운 평형 상태 주변에서 발생합니다. 위 식에서 고유 진동수 Ω 0 및 진동 주기 T에 대한 공식은 유효합니다.
정의 5
몸체 a의 가속도와 좌표 x 사이의 기존 수학적 연결을 고려할 때 진동 시스템의 동작은 엄격한 설명이 특징입니다. 가속도는 시간 t에 대한 몸체 좌표 x의 2차 미분입니다.
스프링에 하중이 가해지는 뉴턴의 제2법칙은 다음과 같이 설명됩니다.
m a - m x = - k x 또는 x ¨ + Ω 0 2 x = 0, 여기서 자유 주파수 Ω 0 2 = k m.
물리적 시스템이 x ¨ + Ω 0 2 x = 0 공식에 의존하는 경우 다양한 진폭으로 자유로운 진동 조화 운동을 수행할 수 있습니다. 이는 x = x m cos(Ω t + ψ0)을 사용하기 때문에 가능합니다.
정의 6x ¨ + Ω 0 2 x = 0 형식의 방정식이 호출됩니다. 자유 진동 방정식. 물리적 특성은 진동의 고유 진동수 Ω 0 또는 주기 T만 결정할 수 있습니다.
진폭 x m 과 초기 위상 Φ 0 은 초기 순간의 평형 상태에서 벗어나게 하는 방법을 사용하여 구합니다.
실시예 1
평형 위치에서 거리 Δ l까지 변위된 하중이 있고 t = 0과 같은 시간 순간에 하중은 초기 속도 없이 낮아집니다. 그러면 xm = Δl, Φ0 = 0입니다. 하중이 평형 위치에 있으면 푸시 중에 초기 속도 ± υ 0이 전송되므로 x m = m k υ 0, Φ 0 = ± π 2입니다.
초기 위상 Φ 0의 진폭 x m은 초기 조건의 존재에 의해 결정됩니다.
그림 2. 2. 2. 스프링에 가해지는 하중의 자유 진동 모델.
기계적 진동 시스템은 각각에 탄성 변형력이 존재한다는 점에서 구별됩니다. 그림 2. 2. 그림 2는 비틀림 진동을 수행하는 고조파 발진기의 각도 아날로그를 보여줍니다. 디스크는 수평으로 위치하며 질량 중심에 부착된 탄성 스레드에 매달려 있습니다. 각도 θ로 회전하면 탄성 비틀림 변형 힘의 순간 M y p p가 발생합니다.
내 y p r = - x θ .
이 표현은 비틀림 변형에 대한 Hooke의 법칙과 일치하지 않습니다. 값 x는 스프링 강성 k와 유사합니다. 디스크의 회전 운동에 대한 뉴턴의 제2법칙을 기록하는 형식은 다음과 같습니다.
I ε = M y p p = - x θ 또는 I θ ¨ = - x θ, 여기서 관성 모멘트는 I = IC로 표시되고 ε은 각가속도입니다.
마찬가지로 스프링 진자의 공식도 다음과 같습니다.
Ω 0 = x I , T = 2 π I x .
비틀림 진자의 사용은 기계식 시계에서 볼 수 있습니다. 나선형 스프링을 이용하여 탄성력의 모멘트를 만들어 내는 것을 밸런서라고 합니다.
그림 2. 2. 삼. 비틀림 진자.
텍스트에 오류가 있으면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.
), 한쪽 끝은 단단히 고정되어 있고 다른 쪽 끝은 질량 m의 하중이 있습니다.
거대한 몸체에 탄성력이 작용하여 평형 위치로 돌아가면 이러한 몸체를 스프링 진자라고 합니다. 진동은 외부 힘의 영향으로 발생합니다. 외부 힘이 작용을 멈춘 후에도 계속되는 진동을 자유 진동이라고 합니다. 외부 힘의 작용으로 인해 발생하는 진동을 강제라고 합니다. 이 경우 힘 자체를 강제라고 합니다.
가장 간단한 경우, 스프링 진자는 스프링으로 벽에 부착되어 수평면을 따라 움직이는 강체입니다.
외부 힘과 마찰력이 없는 경우 이러한 시스템에 대한 뉴턴의 제2법칙은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
시스템이 외부 힘의 영향을 받는 경우 진동 방정식은 다음과 같이 다시 작성됩니다.
, 어디 에프엑스(f(x))- 이는 하중의 단위 질량과 관련된 외부 힘의 결과입니다.계수로 진동 속도에 비례하는 감쇠의 경우 씨:
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위키미디어 재단. 2010.
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흔들리는 추- 진동을 통해 시계 메커니즘의 움직임을 조절하는 장치입니다. 봄 진자. 진자와 스프링으로 구성된 시계의 조절 부분입니다. 진자 스프링이 발명되기 전에는 시계가 하나의 진자로 구동되었습니다.... ... 시계 사전
흔들리는 추- (1) 수학적 (또는 단순) (그림 6) 확장 불가능한 실 (또는 막대)의 고정 지점에 자유롭게 매달려있는 작은 크기의 몸체, 그 질량은 고조파를 수행하는 몸체의 질량에 비해 무시할 수 있습니다 (보다) ... ... 대형 폴리테크닉 백과사전
애플리케이션의 동작에 따라 수행되는 솔리드 바디입니다. 진동력 약. 고정점 또는 축. 수학을 수학이라고 한다 무게가 없고 늘어나지 않는 실(또는 막대) 위의 고정된 지점에 매달려 있고 힘의 영향을 받는 물질 지점... ... 큰 백과사전 폴리테크닉 사전
스프링 진자가 있는 시계- 스프링 진자 - 시계의 조절 부분으로 중소형 시계(휴대용 시계, 탁상시계 등)에도 사용됩니다. ... 시계 사전 - 진자와 해머 끝에 부착된 작은 나선형 스프링입니다. 스프링 진자는 시계를 조절하며 그 정확성은 부분적으로 진자 스프링의 품질에 따라 달라집니다... 시계 사전
GOST R 52334-2005: 중력 탐사. 용어 및 정의- 용어 GOST R 52334 2005: 중력 탐사. 용어 및 정의 원본 문서: (중량) 측량 육상에서 수행되는 중량 측량. 다양한 문서의 용어 정의: (중량) 조사 95... ... 규범 및 기술 문서 용어에 대한 사전 참고서
탄성력의 작용을 받는 신체의 위치 에너지는 평형 위치에서 신체 변위의 제곱에 비례합니다.
여기서 k는 스프링 강성입니다.자유로운 기계적 진동으로 인해 운동 에너지와 위치 에너지가 주기적으로 변경됩니다. 물체가 평형 위치에서 최대로 벗어나면 속도와 운동 에너지가 사라집니다. 이 위치에서 진동체의 위치 에너지는 최대값에 도달합니다. 수평 스프링에 가해지는 하중의 경우 위치 에너지는 스프링의 탄성 변형 에너지입니다.
움직이는 물체가 평형 위치를 지날 때 속도는 최대가 됩니다. 이 순간 최대 운동 에너지와 최소 위치 에너지를 갖습니다. 운동에너지의 증가는 위치에너지의 감소로 인해 발생합니다. 더 움직이면 운동 에너지 등의 감소로 인해 위치 에너지가 증가하기 시작합니다.
따라서 고조파 진동 중에 운동 에너지가 위치 에너지로 주기적으로 변환되거나 그 반대의 경우도 발생합니다.
진동 시스템에 마찰이 없으면 자유 진동 중 총 기계적 에너지는 변하지 않습니다.
스프링 무게의 경우:
신체의 진동 운동은 시작 버튼을 사용하여 시작됩니다. 중지 버튼을 사용하면 언제든지 프로세스를 중지할 수 있습니다.
특정 시점에서 진동하는 동안 위치 에너지와 운동 에너지 사이의 관계가 그래픽으로 표시됩니다. 감쇠가 없으면 진동 시스템의 전체 에너지는 변하지 않고 물체가 평형 위치에서 최대로 편향될 때 위치 에너지가 최대값에 도달하며 물체가 평형 위치를 통과할 때 운동 에너지가 최대값을 갖습니다. 위치.
탄성력의 작용으로 인한 거대한 몸체의 진동생기
설명
거대한 물체에 탄성력이 작용하여 평형 위치로 돌아가면 물체는 이 위치를 중심으로 진동합니다.
이러한 몸체를 스프링 진자라고 합니다. 진동은 외부 힘의 영향으로 발생합니다. 외부 힘이 작용을 멈춘 후에도 계속되는 진동을 자유 진동이라고 합니다. 외부 힘의 작용으로 인해 발생하는 진동을 강제라고 합니다. 이 경우 힘 자체를 강제라고 합니다.
가장 간단한 경우, 스프링 진자는 스프링으로 벽에 부착된 수평면을 따라 움직이는 강체입니다(그림 1).
스프링 진자
쌀. 1
신체의 직선 운동은 시간에 따른 좌표의 의존성으로 설명됩니다.
x = x(티). (1)
문제의 신체에 작용하는 모든 힘을 알고 있다면 뉴턴의 제2법칙을 사용하여 이러한 의존성을 확립할 수 있습니다.
md 2 x /dt 2 = SF , (2)
여기서 m은 체질량입니다.
방정식 (2)의 오른쪽은 물체에 작용하는 모든 힘의 x축 투영의 합입니다.
고려중인 경우, 주요 역할은 탄성력에 의해 수행되며, 이는 보수적이며 다음과 같이 표현될 수 있습니다.
F(x) = - dU(x)/dx, (3)
여기서 U = U(x)는 변형된 스프링의 위치 에너지입니다.
x를 스프링의 연장이라고 하자. 스프링의 상대적 신장률이 작은 값에서, 즉 다음과 같은 조건을 충족한다면:
½ x ½<< l ,
여기서 l은 변형되지 않은 스프링의 길이입니다.
다음 관계는 대략적으로 참입니다.
U(x) = k x 2 /2, (4)
여기서 계수 k를 스프링 강성이라고 합니다.
이 공식에서 탄성력에 대한 다음 식을 따릅니다.
F(x) = - kx. (5)
이 관계를 Hooke의 법칙이라고 합니다.
탄성력 외에도 평면을 따라 이동하는 물체에 마찰력이 작용할 수 있으며 이는 경험식으로 만족스럽게 설명됩니다.
F tr = - r dx /dt , (6)
여기서 r은 마찰 계수입니다.
공식 (5)와 (6)을 고려하면 방정식 (2)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
md 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = F(t), (7)
여기서 F(t)는 외력입니다.
Hooke 힘(5)만 몸체에 작용하면 몸체의 자유 진동은 조화를 이룰 것입니다. 이러한 몸체를 조화 스프링 진자(harmonic spring pendulum)라고 합니다.
이 경우 뉴턴의 제2법칙은 다음 방정식으로 이어집니다.
d 2 x /dt 2 + w 0 2 x = 0, (8)
w 0 = sqrt(k/m) (9)
진동 주파수.
방정식 (8)에 대한 일반적인 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
x(t) = A cos(w 0 t + a), (10)
여기서 진폭 A와 초기 위상 a는 초기 조건에 의해 결정됩니다.
문제의 몸체가 탄성력(5)에 의해서만 작용할 때 총 기계적 에너지는 시간이 지나도 변하지 않습니다.
mv 2 / 2 + k x 2 /2 = const. (열하나)
이 진술은 조화 용수철 진자의 에너지 보존 법칙의 내용을 구성합니다.
평형 위치로 되돌리는 탄성력 외에도 마찰력이 거대한 몸체에 작용한다고 가정합니다. 이 경우, 특정 시점에 자극된 신체의 자유 진동은 시간이 지남에 따라 감소하고 신체는 평형 위치로 돌아가는 경향이 있습니다.
이 경우 뉴턴의 제2법칙(7)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
m d 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = 0, (12)
여기서 m은 체질량입니다.
방정식 (12)에 대한 일반적인 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
x(t) = a exp(- b t )cos (w t + a ), (13)
w = sqrt(w o 2 - b 2 ) (14)
진동 주파수
b = r / 2m (15)
진동 감쇠 계수, 진폭 a 및 초기 위상 a는 초기 조건에 의해 결정됩니다. 함수 (13)은 소위 감쇠 진동을 설명합니다.
스프링 진자의 총 기계적 에너지, 즉 운동에너지와 위치에너지의 합
E = m v 2 /2 + kx 2 / 2 (16)
법률에 따라 시간이 지남에 따라 변경됩니다.
dE/dt = P, (17)
여기서 P = - rv 2 - 마찰력의 힘, 즉 단위 시간당 에너지가 열로 변환됩니다.
타이밍 특성
개시 시간(-3부터 -1까지 로그);
수명(1부터 15까지의 로그 tc)
저하 시간(-3에서 3까지의 로그 td)
최적의 개발 시간(-3에서 -2까지의 로그 tk)
