0.2와 같은 십진수; 1.05; 3.017 등 듣는 대로 기록됩니다. 0 포인트 2, 우리는 분수를 얻습니다. 1.500분의 1은 분수를 얻습니다. 3.17,000분의 1이 분수입니다. 소수점 앞의 숫자는 분수의 전체 부분입니다. 소수점 이하의 숫자는 미래 분수의 분자입니다. 소수점 이하 한 자리 숫자가 있으면 분모는 10이 되고, 두 자리 숫자가 있으면 100, 세 자리 숫자가 있으면 1000 등이 됩니다. 일부 결과 분수는 줄어들 수 있습니다. 우리의 예에서는 
분수를 소수로 변환하기
이는 이전 변환의 반대입니다. 소수특징이 뭔가요? 분모는 항상 10, 100, 1000, 10000 등입니다. 공통 분수에 이와 같은 분모가 있으면 문제가 없습니다. 예를 들어, 또는
예를 들어 분수가 . 이 경우 분수의 기본 속성을 사용하여 분모를 10, 100 또는 1000으로 변환해야 합니다.... 이 예에서는 분자와 분모에 4를 곱하면 다음과 같은 분수를 얻을 수 있습니다. 형식으로 작성 십진수 0,12.
일부 분수는 분모를 변환하는 것보다 나누기가 더 쉽습니다. 예를 들어,
일부 분수는 소수로 변환할 수 없습니다!
예를 들어,
대분수를 가분수로 변환하기
예를 들어, 대분수는 가분수로 쉽게 변환될 수 있습니다. 이렇게 하려면 전체 부분에 분모(하단)를 곱하고 분자(상단)와 더하고 분모(하단)는 변경하지 않고 그대로 두어야 합니다. 그건
대분수를 가분수로 변환할 때 분수 덧셈을 사용할 수 있다는 것을 기억하세요.
가분수를 대분수로 변환(전체 부분 강조 표시)
가분수는 전체 부분을 강조 표시하여 대분수로 변환할 수 있습니다. 예를 살펴보겠습니다. 우리는 "23"에 "3"을 곱한 정수 횟수를 결정합니다. 또는 계산기로 23을 3으로 나누면 소수점 이하의 정수가 원하는 숫자입니다. 이것은 "7"입니다. 다음으로, 미래 분수의 분자를 결정합니다. 결과 "7"에 분모 "3"을 곱하고 분자 "23"에서 결과를 뺍니다. 
이는 마치 최대량인 "3"을 제거하면 분자 "23"에서 남은 여분을 찾는 것과 같습니다. 분모는 변경하지 않고 그대로 둡니다. 모든 작업이 완료되었습니다. 결과를 기록하세요.
유리식과 분수는 전체 대수 과정의 초석입니다. 이러한 표현을 사용하여 단순화하고 인수분해하는 방법을 배우는 사람들은 본질적으로 모든 문제를 해결할 수 있습니다. 표현을 변환하는 것은 심각한 방정식, 부등식 또는 심지어 단어 문제의 필수적인 부분이기 때문입니다.
이 비디오 튜토리얼에서는 약식 곱셈 공식을 올바르게 사용하여 유리식과 분수를 단순화하는 방법을 살펴보겠습니다. 언뜻 보면 아무것도 없는 이 공식을 살펴보겠습니다. 동시에 우리는 판별식을 통해 이차 삼항식을 인수분해하는 간단한 기술을 반복할 것입니다.
제 뒤에 있는 공식에서 이미 짐작하셨겠지만, 오늘 우리는 축약된 곱셈 공식, 더 정확하게는 공식 자체가 아니라 복잡한 유리식을 단순화하고 줄이기 위해 공식을 사용하는 방법을 연구할 것입니다. 그러나 예제를 해결하기 전에 다음 공식을 자세히 살펴보거나 기억해 봅시다.
- $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — 제곱의 차이;
- $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$는 합계의 제곱입니다.
- $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ — 제곱 차이;
- $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$는 세제곱의 합입니다.
- $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$는 큐브의 차이입니다.
나는 또한 우리의 학교 시스템교육은 이 주제를 연구하는 방식으로 구성됩니다. 유리수식은 물론 근, 모듈까지 모든 학생들이 동일한 문제를 안고 있는데, 이제 이에 대해 설명하겠습니다.
사실은 약식 곱셈 공식과 그에 따른 분수 감소 동작(8학년 어딘가)을 공부하기 시작할 때 교사가 다음과 같이 말합니다. 걱정하지 마세요. 우리는 고등학교 때 이 주제를 두 번 이상 다시 다룰 것입니다. 이 문제는 나중에 조사해 보겠습니다." 그렇다면 9~10학년이 되면서 같은 교사가 유리분수를 푸는 방법을 아직 모르는 같은 학생들에게 다음과 같이 설명합니다. “지난 2년 동안 어디에 있었나요? 이것은 8학년 때 대수학 시간에 공부한 것입니다! 여기서 불분명한 것은 무엇입니까? 너무 뻔해요!”
그러나 그러한 설명은 일반 학생들에게는 더 쉬워지지 않습니다. 그들은 여전히 머리가 혼란스러워서 지금 당장 두 가지를 분석하겠습니다. 간단한 예, 이를 바탕으로 실제 문제에서 이러한 표현식을 분리하는 방법을 살펴보고 이를 통해 축약된 곱셈 공식을 도출하고 이를 적용하여 복잡한 유리식을 변환하는 방법을 알아볼 것입니다.
단순 유리 분수 줄이기
과제 1번
\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]
우리가 가장 먼저 배워야 할 것은 원래의 표현식에서 정확한 제곱 등을 선택하는 것입니다. 높은 학위, 이를 바탕으로 수식을 적용할 수 있습니다. 살펴보자:
이러한 사실을 고려하여 표현식을 다시 작성해 보겠습니다.
\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x \right))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \right)\left(3 ((y)^(2))+4x \right))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]
답: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.
문제 2번
두 번째 작업으로 넘어가겠습니다.
\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]
분자에 상수가 포함되어 있으므로 여기서는 단순화할 것이 없습니다. 그러나 두 변수가 포함된 다항식을 인수분해하는 방법을 배울 수 있도록 이 문제를 정확하게 제안했습니다. 대신에 아래의 다항식이 있다면 어떻게 확장할까요?
\[((x)^(2))+5x-6=\왼쪽(x-... \오른쪽)\왼쪽(x-... \오른쪽)\]
방정식을 풀고 점 대신에 넣을 수 있는 $x$를 찾아보겠습니다.
\[((x)^(2))+5x-6=0\]
\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]
\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]
삼항식을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\left(x-1 \right)\left(x+6 \right)\]
우리는 이차 삼항식을 사용하는 방법을 배웠습니다. 그래서 이 비디오 강의를 녹화해야 했습니다. 하지만 $x$와 상수 외에 $y$도 있으면 어떻게 될까요? 이를 계수의 또 다른 요소로 고려해 보겠습니다. 표현식을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.
\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]
\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]
\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]
정사각형 구성의 확장을 작성해 보겠습니다.
\[\왼쪽(x-y \오른쪽)\왼쪽(x+6y \오른쪽)\]
따라서 원래 표현식으로 돌아가서 변경 사항을 고려하여 다시 작성하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]
그러한 기록은 우리에게 무엇을 주는가? 아무것도, 줄일 수 없기 때문에 어떤 것으로도 곱하거나 나눌 수 없습니다. 그러나 이 분수가 더 복잡한 표현의 필수적인 부분으로 밝혀지면 그러한 확장이 유용할 것입니다. 그래서 보자마자 이차 삼항식(추가 매개변수가 부담되든 없든 상관없이) 항상 요인으로 고려하도록 노력하세요.
솔루션의 뉘앙스
유리식 변환에 대한 기본 규칙을 기억하십시오.
- 모든 분모와 분자는 축약된 곱셈 공식이나 판별식을 통해 인수분해되어야 합니다.
- 다음 알고리즘에 따라 작업해야 합니다. 축약된 곱셈의 공식을 보고 분리하려고 할 때 먼저 모든 것을 가능한 가장 높은 정도로 변환하려고 합니다. 그 후, 우리는 괄호에서 총 학위를 꺼냅니다.
- 매우 자주 매개변수가 포함된 표현식을 접하게 됩니다. 다른 변수는 계수로 표시됩니다. 우리는 이차 확장 공식을 사용하여 이를 찾습니다.
따라서 유리수 분수를 본 후 가장 먼저 해야 할 일은 축약된 곱셈 또는 판별 공식을 사용하여 분자와 분모를 모두 선형 표현식으로 인수분해하는 것입니다.
이러한 유리식 몇 가지를 살펴보고 인수분해해 보겠습니다.
더 복잡한 예제 해결
과제 1번
\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]
우리는 각 용어를 다시 작성하고 분해하려고 합니다.
다음 사실을 고려하여 전체 유리식을 다시 작성해 보겠습니다.
\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))((\left(2x \right))^(3))+ ((\왼쪽(3년 \오른쪽))^(3)))=\]
\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right))=-1\]
답: $-1$.
문제 2번
\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]
모든 분수를 살펴보겠습니다.
\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\왼쪽(x-2 \오른쪽))^(2))\]
변경 사항을 고려하여 전체 구조를 다시 작성해 보겠습니다.
\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]
\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \왼쪽(x-2 \오른쪽))\]
답: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.
솔루션의 뉘앙스
방금 배운 내용은 다음과 같습니다.
- 모든 제곱 삼항식을 인수분해할 수 있는 것은 아닙니다. 특히 이는 합계 또는 차이 큐브의 일부로 자주 발견되는 합계 또는 차이의 불완전 제곱에 적용됩니다.
- 상수, 즉 변수가 없는 일반 숫자도 확장 과정에서 활성 요소로 작용할 수 있습니다. 첫째, 괄호에서 벗어날 수 있고, 둘째, 상수 자체가 거듭제곱의 형태로 표현될 수 있습니다.
- 모든 요소를 고려한 후에 반대 구성이 나타나는 경우가 매우 많습니다. 이러한 분수는 매우 조심스럽게 줄여야 합니다. 왜냐하면 위 또는 아래에서 분수를 지울 때 $-1$라는 추가 요소가 나타나기 때문입니다. 이는 정확히 두 분수가 반대라는 사실의 결과입니다.
복잡한 문제 해결
\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]
각 용어를 개별적으로 고려해 보겠습니다.
첫 번째 분수:
\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]
\[((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)\]
두 번째 분수의 전체 분자를 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]
이제 분모를 살펴보겠습니다.
\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right ))^(2))\]
위의 사실을 고려하여 전체 유리식을 다시 작성해 보겠습니다.
\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]
\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]
답: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.
솔루션의 뉘앙스
우리가 다시 한번 본 것처럼, 실제 유리식에서 종종 발견되는 불완전한 합의 제곱 또는 불완전한 차이의 제곱은 두려워하지 않습니다. 왜냐하면 각 요소를 변환한 후에는 거의 항상 취소되기 때문입니다. 또한 어떤 경우에도 최종 답변에서 큰 구성을 두려워해서는 안됩니다. 이것이 실수가 아닐 수도 있지만 (특히 모든 것이 인수분해된 경우) 저자는 그러한 답변을 의도했습니다.
결론적으로 한 가지 더 이야기하고 싶습니다. 복잡한 예, 이는 더 이상 유리수 분수와 직접적인 관련이 없지만 실제 테스트 및 시험에서 여러분을 기다리는 모든 것, 즉 인수분해, 공통 분모로의 축소, 유사 용어의 축소를 포함합니다. 이것이 바로 우리가 지금 할 일입니다.
유리식을 단순화하고 변환하는 복잡한 문제 해결
\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]
먼저, 첫 번째 괄호를 살펴보겠습니다. 그 안에는 서로 다른 분모를 가진 세 개의 분리된 분수가 있습니다. 따라서 가장 먼저 해야 할 일은 세 개의 분수를 모두 공통 분모로 가져오는 것입니다. 인수분해하다:
\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]
\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \right)\]
전체 구성을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x -2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))-\frac(1)(x-2)=\]
\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ 왼쪽(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]
\[=\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \right))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]
이는 첫 번째 괄호의 계산 결과입니다.
두 번째 대괄호를 다루겠습니다.
\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(x+2 \ 오른쪽)\]
변경 사항을 고려하여 두 번째 대괄호를 다시 작성해 보겠습니다.
\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\왼쪽(x-2 \오른쪽)\왼쪽(x+2 \오른쪽))\]
이제 전체 원래 구성을 적어 보겠습니다.
\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]
답: $\frac(1)(x+2)$.
솔루션의 뉘앙스
보시다시피 대답은 상당히 합리적인 것으로 나타났습니다. 그러나 참고하십시오: 이러한 대규모 계산 중에 유일한 변수가 분모에만 나타나는 경우 학생들은 이것이 분모이고 분수의 맨 아래에 있어야 한다는 사실을 잊어버리고 분자에 이 표현식을 써야 합니다. 중대한 실수입니다.
또한, 이러한 업무가 어떻게 공식화되는지에도 각별한 관심을 기울이고 싶습니다. 복잡한 계산에서는 모든 단계가 하나씩 수행됩니다. 먼저 첫 번째 대괄호를 별도로 계산한 다음 두 번째 대괄호를 별도로 계산하고 마지막에만 모든 부분을 결합하여 결과를 계산합니다. 이런 식으로 우리는 어리석은 실수로부터 자신을 보호하고 모든 계산을 신중하게 기록하며 동시에 언뜻 보일 수 있듯이 추가 시간을 낭비하지 않습니다.
VIII 유형 학교에서 학생들은 다음과 같은 분수 변환을 배웁니다: 분수를 더 큰 분수로 표현하기(6학년), 가분수를 정수 또는 대분수로 표현하기(6학년), 분수를 같은 분수로 표현하기(7학년) , 표현 대분수가분수(7학년).
가분수를 전체로 표현하기또는 대분수
I 이 자료에 대한 연구는 다음 작업으로 시작해야 합니다. 2개의 수 놓은 원을 가져와 각각을 4개의 동일한 몫으로 나누고 네 번째 몫의 수를 세십시오(그림 25). 다음으로, 이 수량을 분수(t)로 쓰는 것이 제안됩니다. 그런 다음 네 번째 부분을 서로 더하고 학생들은 그 결과가 다음과 같다고 확신합니다.
첫 번째 원. 따라서, -t= 1 . 4쿼터에 그는 계속해서 또 하나를 추가합니다. -티,그리고 학생들은 다음과 같이 적습니다: t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9
교사는 고려된 모든 경우에서 가분수를 취했고, 변환의 결과로 정수 또는 대분수를 받았다는 사실, 즉 가분수를 전체적으로 표현했다는 사실에 학생들의 주의를 환기시킵니다. 또는 대분수. 다음으로, 우리는 학생들이 어떤 산술 연산을 통해 이 변환을 수행할 수 있는지 독립적으로 결정할 수 있도록 노력해야 합니다. 생생한 예대답으로 이어지는
4 .
8 0 5 .1 7 .3 " L " 질문은 다음과 같습니다: -2-=! 및 t = 2.4" = 1t 및 t T YV : °D
에게
가분수를 정수나 대분수로 표현하려면, 분수의 분자를 분모로 나누고, 몫을 정수로 쓰고, 나머지를 분자에 쓰고, 분모는 그대로 두어야 합니다. 규칙은 번거롭기 때문에 학생들이 그것을 암기할 필요는 전혀 없습니다. 그들은 주어진 변환을 수행하는 데 관련된 단계를 일관되게 전달할 수 있어야 합니다.
학생들에게 정수 또는 대분수를 사용하여 가분수를 표현하는 방법을 소개하기 전에 정수를 나머지가 있는 정수로 나누는 방법을 검토하는 것이 좋습니다.
“꽃병에는 오렌지 4분의 9개가 들어있습니다. 스콜| 이 부분들로 전체 오렌지를 만들 수 있나요? 몇 쿼터나 남을까요?
“상자 뚜껑을 만들려면 카드 한 장씩
35는 16등분으로 나누어집니다. 갖다 -^. 얼마나 많은 것이 온전한가!
판지 시트를 잘랐나요? 16분의 1 컷은 몇 번째입니까! 다음 작품부터? 등.
정수와 대분수 표현하기가분수
학생들에게 이 새로운 변화를 소개하려면 먼저 다음과 같은 문제를 해결해야 합니다.
“길이가 같은 정사각형 모양의 천 2개. > 4등분으로 잘라주세요. 그러한 각 부분에서 스카프가 꿰매어졌습니다. 스카프는 몇 개나 받았나요? 기록: 2= - 1 4^-, 2= -% ]
와인 샀어? 적어보세요: 1개의 * 원이 있었고 이제 * 원이 있습니다. 이는 다음을 의미합니다.
따라서 시각적이고 실용적인 기반을 바탕으로 더 많은 예를 고려합니다. 고려 중인 예에서 학생들은 원래 숫자(대분수 또는 정수)와 변환 후 얻은 숫자(가분수)를 비교하라는 요청을 받습니다.
학생들에게 정수와 대분수를 가분수로 표현하는 규칙을 소개하려면 대분수와 가분수의 분모를 비교하고 분자를 구하는 방법에 주의를 기울여야 합니다. 예를 들어 :
1 2"=?, 1 = 2" 및 ^, 총계 ^ 3 ^=?, 3=-^- 및 ^, 총계
-^-가 됩니다. 결과적으로 규칙이 공식화되었습니다.
가분수로 표현하려면 분모에 정수를 곱하고, 곱에 분자를 더한 다음 그 합을 분자로 쓰고, 분모는 그대로 두어야 합니다.
먼저 학생들에게 하나를 가분수로 표현한 다음 분모를 나타내는 다른 정수, 대분수만 표현하도록 교육해야 합니다.
분수의 주요 속성 1
[증가하는 동안 분수의 불변성의 개념
1개의 구성원 축소, 즉 분자와 분모는 VIII 유형 학교의 학생들이 큰 어려움을 겪고 마스터하게 될 것입니다. 이러한 이해는 시각적이고 교훈적인 자료를 사용하여 소개되어야 합니다.
“학생들이 교사의 활동을 관찰할 뿐만 아니라 교훈적인 자료를 적극적으로 활용하고 관찰과 실제 활동을 바탕으로 특정 결론과 일반화에 도달하는 것이 중요합니다.
예를 들어, 교사는 순무 전체를 가져다가 2등분으로 나누고 이렇게 묻습니다. “순무 전체를 나누면 무엇을 얻었나요?
반으로? (2 반.) * 순무를 표시합니다. 자르자(쪼개어)
순무의 절반을 2등분으로 나눕니다. 우리는 무엇을 얻게 될까요? -와이. 적어보자:
tt=-t- 이 분수의 분자와 분모를 비교해 보겠습니다. 몇시에
분자가 몇 배나 늘어났나요? 분모가 몇 배나 늘어났나요? 분자와 분모가 모두 몇 번이나 증가했나요? 분수가 바뀌었나요? 왜 변하지 않았나요? 주식은 어떻게 되었나요? 더 커지거나 작아졌나요? 숫자가 늘었는지 줄었는지
그런 다음 모든 학생들은 원을 2개의 동일한 부분으로 나누고, 각 절반은 2개의 동일한 부분으로 나누고, 각 분기는 다른 부분으로 나눕니다.
2개의 동일한 부분 등을 기록하고 다음과 같이 적습니다: "o^A^tr^tgg 및 m - L- 그런 다음 분수가 변경되었는지 여부에 따라 분수의 분자와 분모가 몇 번이나 증가했는지 확인합니다. 그런 다음 세그먼트를 그리고 순차적으로 3 , 6, 12 등분으로 나누고 다음과 같이 작성하십시오.
1 21 4 분수 -^과 -^, -^과 -^를 비교할 때,
분수 tg의 분자와 분모는 같은 횟수만큼 증가하지만 분수는 이것으로부터 변하지 않습니다.
여러 가지 예를 고려한 후 학생들은 다음 질문에 대답해야 합니다. "분자가 "보통 분수"라는 주제에 대한 일부 지식이 제외되면 분수가 변경됩니까? 커리큘럼수학에서는 교정 학교 VIII 유형이지만 정신 지체 아동을위한 학교, 수학 학습에 어려움을 겪는 아동을위한 평준화 수업에서 학생들에게 전달됩니다. 이 교과서에는 이 자료를 연구하는 방법론이 제공되는 단락이 있습니다.
별표(*)로 표시됩니다.
분자와 분모를 같은 횟수로 줄이는 것을 고려할 때 비슷한 예가 제공됩니다(분자와 분모는 같은 수로 나뉩니다). 예를 들어 cr>"
( 4 \ 8등분으로 나누어 원의 8분의 4 I -o- ]
주식을 확대하면 네 번째 주식을 가져오고 주식을 확대하면 2개가 됩니다.
4 2 1이 두 번째입니다. 그 중 1 개가있을 것입니다. : ~일 = -디--%-팔로어 비교!I
이 분수의 분자와 분모를 사용하여 다음 질문에 답합니다.<>분자와 분모는 몇 번 감소합니까? 분수가 바뀌나요?
좋은 가이드는 12, 6, 3등분으로 나누어진 줄무늬입니다(그림 26).
N
12 6 3 그림. 26
고려한 예를 바탕으로 학생들은 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다. 분수의 분자와 분모를 동일한 숫자로 나누면(동일한 횟수만큼 감소) 분수는 변경되지 않습니다. 그런 다음 일반화 된 결론이 제공됩니다 - 분수의 주요 속성 : 분수의 분자와 분모가 같은 횟수만큼 증가하거나 감소하면 분수는 변경되지 않습니다.VIII 유형 학교에서 학생들은 다음과 같은 분수 변환을 배웁니다: 분수를 더 큰 분수로 표현하기(6학년), 가분수를 정수 또는 대분수로 표현하기(6학년), 분수를 같은 분수로 표현하기(7학년) , 대분수를 가분수로 표현합니다(7학년).
정수 또는 대분수로 가분수 표현하기
이 자료에 대한 연구는 작업으로 시작해야 합니다. 2개의 동일한 원을 가져와 각각을 4개의 동일한 몫으로 나누고 네 번째 몫의 수를 계산합니다(그림 25). 다음으로 이 금액을 분수로 쓰는 것이 제안됩니다. 그러면 네 번째 박자는
그들은 서로 옆에 배치되고 학생들은 그들이 완전한 원을 형성했다고 확신합니다. 따라서 4분기에 다음을 추가합니다.
다시 순차적으로 학생들은 다음과 같이 적습니다.
교사는 고려된 모든 경우에서 가분수를 취했고, 변환의 결과로 정수 또는 대분수를 받았다는 사실, 즉 가분수를 전체적으로 표현했다는 사실에 학생들의 주의를 환기시킵니다. 또는 대분수. 다음으로, 학생들이 이 변환을 수행할 수 있는 산술 연산을 독립적으로 결정할 수 있도록 노력해야 합니다. 질문에 대한 답으로 이어지는 생생한 예는 다음과 같습니다. 결론:
가분수를 정수나 대분수로 표현하려면, 분수의 분자를 분모로 나누고, 몫을 정수로 쓰고, 나머지를 분자에 쓰고, 분모는 그대로 두어야 합니다. 규칙은 번거롭기 때문에 학생들이 그것을 암기할 필요는 전혀 없습니다. 그들은 주어진 변환을 수행하는 데 관련된 단계를 일관되게 전달할 수 있어야 합니다.
학생들에게 정수 또는 대분수를 사용하여 가분수를 표현하는 방법을 소개하기 전에 정수를 나머지가 있는 정수로 나누는 방법을 검토하는 것이 좋습니다.
학생들을 위한 새로운 변화의 통합은 다음과 같은 실용적인 문제를 해결함으로써 촉진됩니다.
“꽃병에는 오렌지 4분의 9개가 들어있습니다. 이 부분들로 전체 오렌지를 몇 개나 만들 수 있나요? 몇 쿼터나 남을까요?”
정수와 대분수를 가분수로 표현하기
학생들에게 이 새로운 변화를 소개하려면 먼저 다음과 같은 문제를 해결해야 합니다.
“정사각형 모양의 동일한 길이의 천 2개를 4등분으로 절단했습니다. 그러한 각 부분에서 스카프가 꿰매어졌습니다. 스카프는 몇 개나 받았나요? .
다음으로, 교사는 학생들에게 다음 과제를 완료하도록 요청합니다. “전체 원과 첫 번째 원과 크기가 같은 원의 또 다른 절반을 가져옵니다. 전체 원을 반으로 자릅니다. 반쪽이 몇 개 있었나요? 적어 보세요. 그것은 원이었고, 원이 되었습니다.
따라서 시각적이고 실용적인 기반을 바탕으로 더 많은 예를 고려합니다. 고려 중인 예에서 학생들은 원래 숫자(대분수 또는 정수)와 변환 후 얻은 숫자(가분수)를 비교하라는 요청을 받습니다.
학생들에게 정수와 대분수를 가분수로 표현하는 규칙을 소개하려면 대분수와 가분수의 분모를 비교하고 분자를 구하는 방법에 주의를 기울여야 합니다. 예를 들어 :
15/4이 됩니다. 결과적으로 규칙이 공식화됩니다. 대분수를 가분수로 표현하려면 분모에 정수를 곱하고 곱에 분자를 더한 다음 그 합계를 분자로 쓰고 분모는 변경하지 않고 남겨 두어야 합니다.
먼저 학생들에게 하나를 가분수로 표현한 다음, 분모를 나타내는 다른 정수, 그리고 대분수만 표현하도록 훈련해야 합니다.
분수 1의 기본 속성
분수의 불변성 개념은 분수의 구성원, 즉 분자와 분모를 동시에 증가시키거나 감소시키는 것이 VIII 유형 학교의 학생들에게 큰 어려움을 안겨줍니다. 이 개념은 시각적이고 교훈적인 자료를 통해 소개되어야 하며 학생들이 교사의 활동을 관찰하는 것뿐만 아니라 교사와 적극적으로 협력하는 것이 중요합니다. 교훈적인 자료관찰과 실제 활동을 바탕으로 그들은 특정한 결론과 일반화에 도달했습니다.
예를 들어, 교사는 순무 한 개를 똑같은 크기로 두 개로 나누고 이렇게 묻습니다. “순무 한 개를 반으로 나누면 무엇을 얻었나요? (2개 반.) 순무를 보여주세요. 순무의 절반을 같은 크기로 2등분합니다. 우리는 무엇을 얻게 될까요? 작성해 봅시다: 이 분수의 분자와 분모를 비교해 보겠습니다. 몇시에
분자가 몇 배나 늘어났나요? 분모가 몇 배나 늘어났나요? 분자와 분모가 모두 몇 번이나 증가했나요? 분수가 바뀌었나요? 왜 변하지 않았나요? 주식은 어떻게 되었나요? 더 커지거나 작아졌나요? 주식수가 늘어났나요, 줄어들었나요?
그런 다음 모든 학생들은 원을 2개의 동일한 부분으로 나누고, 각 절반은 2개의 동일한 부분으로 나누고, 각 분기는 2개의 동일한 부분으로 나누고 다음과 같이 적습니다.
분수의 분자와 분모가 몇 번 증가했는지, 분수가 변경되었는지 확인합니다. 그런 다음 세그먼트를 그려서 순차적으로 3, 6, 12등분으로 나누고 기록합니다.
분수를 비교할 때 
그것은 밝혀졌다
분수의 분자와 분모는 같은 횟수만큼 증가하지만 분수는 변하지 않습니다.
여러 가지 예를 고려한 후 학생들은 다음 질문에 대답해야 합니다. "분자가 바뀌면 분수가 변경됩니까?"
"보통 분수"라는 주제에 대한 일부 지식은 유형 VIII 교정 학교의 수학 커리큘럼에서 제외되지만 지체 아동을 위한 학교의 학생들에게 전달됩니다. 정신 발달, 수학 학습에 어려움을 겪는 아이들을 위한 레벨링 수업에서. 이 교과서에서 이 자료를 공부하는 방법을 제공하는 단락에는 별표(*)가 표시되어 있습니다.
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그리고 분수의 분모에 같은 수를 곱하면(같은 횟수만큼 증가)?” 또한 학생들에게 스스로 예를 들어보라고 요청해야 합니다.
분자와 분모를 같은 횟수로 줄이는 것을 고려할 때 비슷한 예가 제공됩니다(분자와 분모는 같은 수로 나뉩니다). 예를 들어, 원을 8개의 동일한 부분으로 나누고, 원의 8분의 4를 취하고,
주식을 확대하면 네 번째 주식을 가져오고 주식을 확대하면 두 번째 주식을 가져갑니다. 순차적으로 비교됩니다
이 분수의 분자와 분모를 사용하여 다음 질문에 답합니다. “분자와 분모는 몇 번이나 감소합니까? 분수가 바뀌나요?*.
좋은 가이드는 12, 6, 3등분으로 나누어진 줄무늬입니다(그림 26).
고려한 예를 바탕으로 학생들은 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다. 분수의 분자와 분모를 동일한 숫자로 나누면(동일한 횟수만큼 감소) 분수는 변경되지 않습니다. 그런 다음 일반화 된 결론이 제공됩니다 - 분수의 주요 속성 : 분수의 분자와 분모가 같은 횟수만큼 증가하거나 감소하면 분수는 변경되지 않습니다.
분수 줄이기
먼저 학생들이 이러한 분수 변환을 준비할 수 있도록 준비해야 합니다. 아시다시피, 분수를 줄인다는 것은 분수의 분자와 분모를 같은 숫자로 나누는 것을 의미합니다. 그러나 제수는 답에 기약분수를 제공하는 숫자여야 합니다.
학생들이 분수를 줄이는 법을 배우기 한 달에서 한 달 반 전에 준비 작업이 수행됩니다. 구구단에서 같은 숫자로 나눌 수 있는 두 가지 답을 지정하라는 요청을 받습니다. 예를 들면 다음과 같습니다. “4로 나누어 떨어지는 두 개의 숫자를 말해보세요.” (먼저 학생들은 표에서 1을 본 다음 암기하여 이 숫자의 이름을 지정합니다.) 숫자와 이를 4로 나눈 결과를 모두 지정합니다. 그런 다음 교사는 학생들에게 분수, 3을 제공합니다.
예를 들어, 분자와 분모에 대한 제수를 선택합니다(이러한 작업을 수행하는 기본은 곱셈표입니다).
어떤 테이블을 봐야 할까요? 5와 15는 어떤 숫자로 나눌 수 있나요?) 분수의 분자와 분모를 같은 숫자로 나누어도 분수의 크기는 변하지 않은 것으로 나타났습니다. 원), 분수만 커졌습니다. 분수의 종류가 더 간단해졌습니다. 학생들은 분수를 줄이는 규칙에 대한 결론을 내리게 됩니다.
유형 VIII 학교 학생들은 종종 분수의 분자와 분모를 모두 나누는 가장 큰 숫자를 찾는 것이 어렵다는 것을 알게 됩니다. 따라서 4/12 = 2/6과 같은 성격의 오류가 종종 관찰됩니다. 즉, 학생은 가장 큰 공통점을 찾지 못했습니다.
숫자 4와 12의 제수. 따라서 처음에는 점진적인 나눗셈을 허용할 수 있습니다. 즉, 동시에 분수의 분자와 분모를 어떤 숫자로 먼저 나눈 다음 어떤 숫자로 나눈 다음 분자를 어떤 숫자로 나누었는지 물어보세요. 분모는 즉시 분수로 나눌 수 있습니다 이와 같은 질문은 학생들이 점차적으로 분수의 분자와 분모의 최대공약수를 찾는 데 도움이 됩니다.
가져오기가장 낮은 공통 분모로 분수*
분수를 가장 낮은 공통 분모로 줄이는 것은 그 자체로 끝나는 것이 아니라, 분수를 비교하고 분모가 다른 분수를 더하고 빼는 연산을 수행하는 데 필요한 변환으로 간주되어야 합니다.
학생들은 분자는 같지만 분모가 다른 분수, 분모는 같지만 분자가 다른 분수를 비교하는 데 이미 익숙합니다. 그러나 그들은 분자와 분모가 다른 분수를 비교하는 방법을 아직 모릅니다.
학생들에게 새로운 변환의 의미를 설명하기 전에 예를 들어 다음 작업을 완료하여 다루는 내용을 반복해야 합니다.
분수 비교 2/5,2/7,2/3 분수를 비교하는 규칙을 말해보세요.
동일한 분자.
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분수 비교 분수 비교의 법칙을 말해 보세요.
같은 분모를 가지고 있습니다.
분수 비교 학생들이 분수를 비교하는 것은 어렵습니다.
분자와 분모가 다르기 때문에 서로 다릅니다. 이러한 분수를 비교하려면 해당 분수의 분자나 분모를 동일하게 만들어야 합니다. 일반적으로 분모는 동일한 분수로 표현됩니다. 즉, 분수는 가장 낮은 공통 분모로 축소됩니다.
학생들은 분수를 같은 부분으로 표현하는 방법을 배워야 합니다.
먼저, 분모가 다른 분수를 고려하지만, 한 분수의 분모가 다른 분수의 분모에 의해 나머지 없이 나누어지기 때문에 다른 분수의 분모가 될 수도 있는 분수입니다.
예를 들어, 분수에서 분모는 숫자 8과 2입니다.
이러한 분수를 동일한 부분으로 표현하기 위해 교사는 작은 분모에 숫자 2, 3, 4 등을 순차적으로 곱하고 첫 번째 분수의 분모와 같은 결과를 얻을 때까지 이 작업을 수행할 것을 제안합니다. 예를 들어, 2에 2를 곱하면 4가 됩니다. 두 분수의 분모는 다시 다릅니다. 다음으로 2에 3을 곱하면 6이 됩니다. 숫자 6도 적합하지 않습니다. 2에 4를 곱하면 8이 됩니다. 이 경우 분모는 동일합니다. 분수가 변하지 않게 하려면 분수의 분자에도 4를 곱해야 합니다(분수의 기본 속성에 따라). 분수를 구해봅시다 이제 분수는 등분수로 표현됩니다. 그들의
비교하고 작업을 수행하는 것은 쉽습니다.
큰 분모를 작은 분모로 나누어 분수 중 하나의 작은 분모에 곱해야 하는 숫자를 찾을 수 있습니다. 예를 들어, 8을 2로 나누면 4라는 숫자가 나옵니다. 분수의 분모와 분자에 이 숫자를 곱해야 합니다. 즉, 여러 분수를 같은 부분으로 표현하려면 더 큰 분모를 더 작은 분모로 나누고, 몫에 분모를 곱하고, 더 작은 분모를 가진 분수의 분자를 곱해야 한다는 뜻입니다. 예를 들어, 이러한 분수를 가져오려면 분수가 제공됩니다.
가장 낮은 공통 분모에는 12:6=2, 2x6=12, 306이 필요합니다.
2x1=2. 분수는 다음과 같은 형식을 취합니다. 그러면 12:3=4, 4x3=12, 4x2=8입니다. 분수는 다음과 같은 형식을 취합니다. 따라서 분수는 그에 따라 형식을 취합니다. 즉, 다음과 같이 표현됩니다.
nymi를 균등하게 공유합니다.
분수를 공통 최소 분모로 줄이는 기술을 개발할 수 있는 연습이 수행됩니다.
예를 들어 분수의 동일한 부분으로 표현해야 합니다.
학생들이 큰 분모를 작은 분모로 나눈 몫을 잊지 않도록 하는 것이 좋습니다.
더 작은 분모로 분수를 덮어 씁니다. 예를 들어,
그런 다음 더 큰 분모가 더 작은 분모로 나누어지지 않으므로 분수가 아닌 분수를 고려합니다.
이 분수에 공통적입니다. 예를 들어, 분모 8은 다음이 아닙니다.
는 6으로 나누어집니다. 이 경우 더 큰 분모인 8에 숫자가 순차적으로 곱해집니다. 숫자 시리즈, 2부터 시작하여 나머지 없이 분모 8과 6으로 나누어지는 숫자를 얻을 때까지. 분수가 데이터와 동일하게 유지되려면 그에 따라 분자에 동일한 숫자를 곱해야 합니다. 에-
3 5 예를 들어 분수 tg와 *가 동일한 비율로 표현되도록,
더 큰 분모인 8에 2(8x2=16)를 곱합니다. 16은 6으로 나누어지지 않습니다. 즉, 8에 다음 숫자 3을 곱합니다(8x3=24). 24는 6과 8로 나누어집니다. 이는 24가 이들 분수의 공통 분모임을 의미합니다. 그러나 분수를 동일하게 유지하려면 분모가 증가하는 것과 동일한 횟수만큼 분자를 증가시켜야 하며 8은 3배 증가합니다. 즉, 이 분수 3의 분자는 3배 증가합니다.
분수는 분모 6이 4배 증가한 형태를 취합니다. 따라서 5번째 분수의 분자는 4배 증가해야 합니다. 분수는 다음과 같은 형식을 취합니다.
따라서 우리는 학생들을 일반적인 결론(규칙) 분수를 등분으로 표현하는 알고리즘을 소개합니다. 예를 들어, 두 개의 분수 3/4와 5/7이 주어지면
1. 최소 공통 분모 찾기: 7x2=14, 7x3=21,
7x4=28. 28은 4와 7로 나누어집니다. 28은 최소 공통 분모입니다.
분수 보유자
2. 추가 요인 찾기: 28:4=7,
3. 분수 위에 적어 봅시다:
4. 분수의 분자에 추가 요소를 곱합니다.
3x7=21, 5x4=20.
이는 동일한 분모를 가진 분수를 얻음을 의미합니다.
우리는 분수를 공통 최소 분모로 줄였습니다.
경험에 따르면 학생들은 분수를 사용한 다양한 산술 연산을 공부하기 전에 분수 변환에 익숙해지는 것이 좋습니다. 예를 들어 분모가 같은 분수의 덧셈과 뺄셈을 배우기 전에 분수를 약식으로 나타내거나 가분수를 정수나 대분수로 바꾸는 방법을 가르치는 것이 좋습니다.
하나 또는 두 가지 변환을 모두 수행해야 합니다.
“분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈” 주제 이전에 학생들과 함께 분수를 가장 낮은 공통분모로 줄이는 공부를 하고, “분수에 정수의 곱셈과 나눗셈”이라는 주제 이전에 대분수를 가분수로 바꾸는 공부를 하는 것이 가장 좋습니다.
공통 분수의 덧셈과 뺄셈
1. 분모가 같은 분수의 덧셈과 뺄셈.
Alysheva T.V.가 실시한 연구. 1은 동일한 분모를 가진 일반 분수의 덧셈과 뺄셈 연산을 공부할 때 학생들에게 이미 알려진 덧셈과 뺄셈을 통한 비유를 사용하는 것이 타당함을 나타냅니다.
양을 측정한 결과 얻은 숫자, 연역법을 사용한 연구 활동, 즉 "일반에서 특정까지"입니다.
먼저, 값과 길이의 측정 이름을 가진 숫자의 덧셈과 뺄셈이 반복됩니다. 예를 들어 8 루블입니다. 20K ± 4r. 15k. 구두 덧셈과 뺄셈을 수행할 때 첫 번째 루블을 추가(뺄셈)한 다음 코펙을 추가해야 합니다.
3m 45cm ± 2m 24cm - 미터를 먼저 더한 다음(빼고) 센티미터를 더합니다.
분수를 더하고 뺄 때 다음 사항을 고려하세요. 일반적인사례: 대분수(분모는 동일함)를 사용하여 이러한 작업을 수행합니다. 이 경우 다음을 수행해야 합니다. "정수를 더(빼기)한 다음 분자와 분모는 동일하게 유지됩니다." 이것 일반 규칙분수를 더하고 빼는 모든 경우에 적용됩니다. 특별한 경우가 점진적으로 도입됩니다: 분수와 대분수를 더한 다음 정수와 대분수를 더합니다. 그 후에는 더 어려운 뺄셈 사례가 고려됩니다. 1) 분수의 대분수: 2) 전체의 대분수:
매우 간단한 뺄셈 사례를 숙지한 후 학생들은 피감수 변환이 필요한 더 어려운 사례(예: 하나의 전체 단위 또는 여러 단위에서 뺄셈)를 접하게 됩니다.
첫 번째 경우, 단위는 감수의 분모와 동일한 분모를 갖는 분수로 표시되어야 합니다. 두 번째 경우에는 정수에서 하나를 가져와 감수의 분모와 함께 가분수 형태로 쓰면 피감수에 대분수를 얻습니다. 뺄셈은 일반 규칙에 따라 수행됩니다.
마지막으로 가장 많이 고려되는 어려운 경우빼기: 대분수에서 분수 부분의 분자가 감산의 분자보다 작습니다. 이 경우 일반 규칙이 적용될 수 있도록 피감수를 변경해야 합니다. 즉, 피감수에서는 전체에서 한 단위를 가져와서 분할합니다.
5분의 1에서 우리는 예제를 얻습니다.
다음과 같은 형식을 취합니다. 이미 해당 솔루션에 적용할 수 있습니다.
일반 규칙.
용법 연역법분수의 덧셈과 뺄셈을 배우면 일반화, 비교, 미분, 개별 계산 사례 포함 등의 능력을 키우는 데 도움이 됩니다. 공통 시스템분수 연산에 대한 지식.
