M 1, M 2, M 3 점을 같은 선에 놓지 마십시오. 알려진 바와 같이, 이러한 세 개의 점은 특정 평면 p를 고유하게 정의합니다(그림 199).
평면의 방정식을 유도해보자 아르 자형. M을 공간의 임의의 점이라고 가정합니다. 분명히 점 M은 평면에 속합니다. 아르 자형다음과 같은 경우에만 벡터
\(\overrightarrow(M_(1)M)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_2)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_3)\)은 동일 평면에 있습니다. 세 벡터의 동일 평면성에 대한 필요 충분 조건은 혼합 곱이 0과 같다는 것입니다(§ 23*, 정리 2). 따라서 같은 직선 위에 있지 않은 세 점을 지나는 평면의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
(\(\overrightarrow(M_(1)M)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_2)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_3)\)) = 0. (1)
점 M 1, M 2 및 M 3이 직사각형 직교 좌표계의 좌표로 주어지면 방정식 (1)을 좌표로 작성할 수 있습니다.
M을 1( 엑스 1 ; 와이 1 ; 지 1), M 2 ( 엑스 2 ; ~에 2 ; 지 2), M3( 엑스 3 ; ~에 3 ; 지 3) - 포인트 데이터. 평면 p 상의 임의의 점 M의 좌표를 다음과 같이 나타내자. 엑스, 와이그리고 지. 방정식 (1)에 포함된 벡터의 좌표를 찾아보겠습니다.
\(\overrightarrow(M_(1)M)\) = ( x - x 1 ; y - y 1 ; z - z 1),
\(\overrightarrow(M_(1)M_2)\) = ( 엑스 2 - x 1 ; 와이 2 -와이 1 ; 지 2 - z 1),
\(\overrightarrow(M_(1)M_3)\) = ( 엑스 3 - x 1 ; ~에 3 -와이 1 ; 지 3 - z 1).
세 벡터의 혼합 곱은 벡터의 좌표를 포함하는 선인 3차 행렬식과 같습니다. 따라서 좌표의 방정식 (1)은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
$$ \begin(vmatrix) x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end(vmatrix)= 0 \;\; (2)$$
세 점 A를 지나는 평면의 방정식을 구해 보겠습니다. ㅏ; 0; 0),B(0; 비; 0), C(0; 0; 와 함께), 어느 ㅏ =/= 0, 비 =/= 0, 씨=/= 0. 이 점들은 좌표축 위에 있습니다(그림 200).
방정식 (2)에서 가정 엑스 1 = ㅏ, ~에 1 = 0, 지 1 = 0, 엑스 2 = 0, ~에 2 = 비, 지 2 = 0, 엑스 3 = 0, ~에 3 = 0, 지 3 = 와 함께, 우리는 얻는다
$$ \begin(vmatrix) x-a & y & z \\ -a & b & 0 \\ -a & 0 & c \end(vmatrix)=0 $$
행렬식을 첫 번째 행의 요소로 확장하면 방정식을 얻습니다.
기원전(x-a) + 에이시 + abz = 0
bcx + asu + abz = abc,
엑스 / ㅏ + 와이 / 비 + 지 / 씨 = 1. (3)
방정식 (3)은 다음과 같습니다. 세그먼트의 평면 방정식, 숫자부터 에, 비그리고 와 함께좌표축에서 평면이 절단되는 세그먼트를 나타냅니다.
일. M 1 (-1; 4; -1), M 2 (-13; 2; -10), M 3 (6; 0; 12) 점을 통과하는 평면의 방정식을 작성하십시오. 결과 방정식을 단순화합니다. 세그먼트 단위로 주어진 평면의 방정식을 구합니다.
이 경우 방정식 (2)는 다음과 같이 작성됩니다.
$$ \begin(vmatrix) x+1 & y-4 & z+1 \\ -12 & -2 & -9 \\ 7 & -4 & 13 \end(vmatrix)=0 $$
이것이 이 평면의 방정식이다. 첫 번째 행을 따라 행렬식을 확장하면 다음을 얻습니다.
62(엑스+ 1) +93(와이- 4)+ 62 (지 + 1) = 0,
2엑스 + 3와이 + 2지 - 12 = 0.
항을 12로 나누고 방정식의 자유 항을 오른쪽으로 이동하면 이 평면의 방정식을 세그먼트로 얻습니다.
$$ \frac(x)(-6)+\frac(y)(4)+\frac(z)(6)=1 $$
방정식에서 이 평면은 길이가 각각 축 6, 4 및 6인 좌표 축에서 세그먼트를 절단한다는 것이 분명합니다. 오음의 가로좌표가 있는 점에서 평면과 교차합니다. OU- 양의 세로 좌표, 축이 있는 지점에서 온스-긍정적인 지원이 있는 시점에서.
이번 강의에서는 행렬식을 사용하여 행렬식을 생성하는 방법을 살펴보겠습니다. 평면 방정식. 행렬식이 무엇인지 모른다면, 수업의 첫 부분인 "행렬과 행렬식"으로 가세요. 그렇지 않으면 오늘의 내용을 아무것도 이해하지 못할 위험이 있습니다.
세 점을 사용한 평면의 방정식
왜 평면 방정식이 필요한가요? 간단합니다. 이를 알면 문제 C2에서 각도, 거리 및 기타 헛소리를 쉽게 계산할 수 있습니다. 일반적으로 이 방정식 없이는 할 수 없습니다. 따라서 우리는 문제를 공식화합니다.
일. 같은 선상에 있지 않은 공간에 세 개의 점이 주어집니다. 좌표:
M = (x1, y1, z1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x3, y3, z3);이 세 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 만들어야 합니다. 또한 방정식은 다음과 같아야 합니다.
도끼 + By + Cz + D = 0
여기서 숫자 A, B, C 및 D는 실제로 찾아야 하는 계수입니다.
그렇다면 점의 좌표만 알면 어떻게 평면의 방정식을 구할 수 있을까요? 가장 쉬운 방법은 좌표를 방정식 Ax + By + Cz + D = 0으로 대체하는 것입니다. 쉽게 풀 수 있는 세 가지 방정식의 시스템을 얻습니다.
많은 학생들은 이 솔루션이 매우 지루하고 신뢰할 수 없다고 생각합니다. 지난해 수학통합고시에서는 계산 오류를 범할 확률이 정말 높다는 사실이 드러났다.
따라서 가장 뛰어난 교사들은 더 간단하고 우아한 솔루션을 찾기 시작했습니다. 그리고 그들은 그것을 발견했습니다! 사실, 얻은 기술은 오히려 더 높은 수학과 관련이 있습니다. 개인적으로 저는 우리가 어떤 정당성이나 증거 없이 이 기술을 사용할 권리가 있는지 확인하기 위해 전체 연방 교과서 목록을 뒤져야 했습니다.
행렬식을 통한 평면의 방정식
가사는 충분하고 본론으로 들어가겠습니다. 먼저, 행렬식과 평면 방정식이 어떻게 관련되어 있는지에 대한 정리입니다.
정리. 평면을 그려야 하는 세 점의 좌표를 다음과 같이 지정합니다. M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x3, y3, z3). 그런 다음 이 평면의 방정식은 행렬식을 통해 작성할 수 있습니다.
예를 들어 문제 C2에서 실제로 발생하는 한 쌍의 평면을 찾아보겠습니다. 모든 것이 얼마나 빨리 계산되는지 확인하세요.
A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);
우리는 행렬식을 구성하고 이를 0과 동일시합니다.
행렬식을 확장합니다.
a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;
보시다시피, 숫자 d를 계산할 때 변수 x, y 및 z가 올바른 순서가 되도록 방정식을 약간 "빗질"했습니다. 그게 다야! 평면 방정식이 준비되었습니다!
일. 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성하십시오.
A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);
우리는 즉시 점의 좌표를 행렬식으로 대체합니다.
행렬식을 다시 확장합니다.
a = 11 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;
그래서 평면의 방정식이 다시 얻어집니다! 다시 말하지만, 마지막 단계에서 우리는 더 "아름다운" 공식을 얻기 위해 기호를 변경해야 했습니다. 이 솔루션에서는 이 작업을 수행할 필요가 전혀 없지만 문제의 추가 솔루션을 단순화하기 위해 여전히 권장됩니다.
보시다시피 이제 평면의 방정식을 구성하는 것이 훨씬 쉬워졌습니다. 점을 행렬에 대입하고 행렬식을 계산하면 방정식이 준비됩니다.
이로 인해 수업이 종료될 수 있습니다. 그러나 많은 학생들은 행렬식 안에 무엇이 있는지 끊임없이 잊어버립니다. 예를 들어, 어느 줄에 x 2 또는 x 3이 포함되어 있는지, 어느 줄에 x만 포함되어 있는지 등이 있습니다. 실제로 이 문제를 해결하기 위해 각 숫자의 출처를 살펴보겠습니다.
행렬식을 포함한 공식은 어디에서 왔나요?
그렇다면 행렬식을 포함한 그러한 가혹한 방정식이 어디서 나오는지 알아봅시다. 이를 기억하고 성공적으로 적용하는 데 도움이 될 것입니다.
문제 C2에 나타나는 모든 평면은 세 개의 점으로 정의됩니다. 이러한 점은 항상 도면에 표시되거나 문제 텍스트에 직접 표시됩니다. 어쨌든 방정식을 만들려면 좌표를 적어야 합니다.
M = (x1, y1, z1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x3, y3, z3).
임의의 좌표가 있는 평면의 또 다른 점을 고려해 보겠습니다.
T = (x, y, z)
처음 세 점(예: 점 M)에서 임의의 점을 선택하고 이 점에서 나머지 세 점 각각에 벡터를 그립니다. 우리는 세 개의 벡터를 얻습니다:
MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).
이제 이 벡터로부터 정사각 행렬을 만들고 행렬식을 0으로 동일시해 보겠습니다. 벡터의 좌표는 행렬의 행이 되며 정리에 표시된 행렬식을 얻게 됩니다.
이 공식은 벡터 MN, MK 및 MT를 기반으로 만들어진 평행육면체의 부피가 0과 같음을 의미합니다. 따라서 세 벡터는 모두 같은 평면에 있습니다. 특히, 임의의 점 T = (x, y, z)가 바로 우리가 찾던 것입니다.
행렬식의 점과 선 바꾸기
행렬식에는 훨씬 더 쉽게 만드는 몇 가지 훌륭한 속성이 있습니다. 문제 C2에 대한 해결책. 예를 들어, 어느 지점에서 벡터를 그리는지는 중요하지 않습니다. 따라서 다음 행렬식은 위와 동일한 평면 방정식을 제공합니다.
행렬식의 직선을 바꿀 수도 있습니다. 방정식은 변경되지 않습니다. 예를 들어, 많은 사람들은 점 T = (x; y; z)의 좌표를 맨 위에 두고 선을 작성하는 것을 좋아합니다. 귀하에게 편리한 경우 다음을 수행하십시오.
어떤 사람들은 선 중 하나에 점을 대체해도 사라지지 않는 변수 x, y 및 z가 있다는 사실을 혼동합니다. 하지만 사라져서는 안 됩니다! 숫자를 행렬식에 대입하면 다음과 같은 구성을 얻게 됩니다.
그런 다음 수업 시작 부분에 제공된 다이어그램에 따라 행렬식을 확장하고 평면의 표준 방정식을 얻습니다.
도끼 + By + Cz + D = 0
예를 살펴보십시오. 오늘 수업의 마지막 수업입니다. 답이 평면과 동일한 방정식을 제공하는지 확인하기 위해 의도적으로 선을 바꿀 것입니다.
일. 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성하십시오.
B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).
따라서 우리는 4가지 사항을 고려합니다.
B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).
먼저 표준 행렬식을 만들고 이를 0과 동일시해 보겠습니다.
행렬식을 확장합니다.
a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
그게 다입니다. 우리는 x + y + z − 2 = 0이라는 답을 얻었습니다.
이제 행렬식의 두 줄을 재배열하고 무슨 일이 일어나는지 살펴보겠습니다. 예를 들어 변수 x, y, z가 맨 아래가 아닌 맨 위에 있는 줄을 작성해 보겠습니다.
결과 행렬식을 다시 확장합니다.
a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
우리는 x + y + z − 2 = 0과 똑같은 평면 방정식을 얻었습니다. 이는 실제로 행의 순서에 의존하지 않는다는 것을 의미합니다. 남은 것은 답을 적는 것뿐입니다.
따라서 우리는 평면의 방정식이 선의 순서에 의존하지 않는다고 확신합니다. 비슷한 계산을 수행하여 평면의 방정식이 다른 점에서 좌표를 뺀 점에 의존하지 않는다는 것을 증명할 수 있습니다.
위에서 고려한 문제에서는 점 B 1 = (1, 0, 1)을 사용했지만 C = (1, 1, 0) 또는 D 1 = (0, 1, 1)을 취하는 것이 상당히 가능했습니다. 일반적으로 알려진 좌표가 있는 모든 점은 원하는 평면에 있습니다.
다양한 방법으로 지정할 수 있습니다(점 1개와 벡터, 점 2개와 벡터, 점 3개 등). 이를 염두에 두고 평면 방정식은 다양한 형태를 가질 수 있습니다. 또한 특정 조건에 따라 평면은 평행, 수직, 교차 등이 될 수 있습니다. 이 기사에서 이에 대해 이야기하겠습니다. 평면의 일반 방정식을 만드는 방법 등을 배우게 됩니다.
방정식의 정규형
직사각형 XYZ 좌표계를 갖는 공간 R 3이 있다고 가정해 보겠습니다. 초기 점 O에서 해제될 벡터 α를 정의하겠습니다. 벡터 α의 끝을 통해 벡터에 수직인 평면 P를 그립니다.
P 위의 임의의 점을 Q = (x, y, z)로 표시하겠습니다. 점 Q의 반지름 벡터를 문자 p로 표시해 보겠습니다. 이 경우 벡터 α의 길이는 р=IαI 및 τ=(cosα,cosβ,cosγ)와 같습니다.
이는 벡터 α와 마찬가지로 측면을 향하는 단위 벡터입니다. α, β 및 γ는 각각 벡터 τ와 공간 축 x, y, z의 양의 방향 사이에 형성되는 각도입니다. 임의의 점 QϵП를 벡터 τ에 투영하는 것은 p와 동일한 상수 값입니다: (p,ϵ) = p(p≥0).
위 방정식은 p=0일 때 의미가 있습니다. 유일한 것은 이 경우 평면 P가 좌표 원점인 점 O(α = 0)와 교차하고 점 O에서 방출된 단위 벡터 τ는 방향에도 불구하고 P에 수직이라는 것입니다. 는 벡터 τ가 부호에 정확하게 결정된다는 것을 의미합니다. 이전 방정식은 벡터 형식으로 표현된 평면 P의 방정식입니다. 하지만 좌표로 보면 다음과 같습니다.
여기서 P는 0보다 크거나 같습니다. 우리는 공간에서 평면의 방정식을 정규 형식으로 찾았습니다.
일반 방정식
좌표의 방정식에 0이 아닌 임의의 숫자를 곱하면 바로 그 평면을 정의하는 이와 동등한 방정식을 얻습니다. 다음과 같이 보일 것입니다:
여기서 A, B, C는 동시에 0이 아닌 숫자입니다. 이 방정식을 일반 평면 방정식이라고 합니다.
비행기의 방정식. 특수한 상황들
일반적인 형태의 방정식은 추가 조건이 있는 경우 수정될 수 있습니다. 그 중 일부를 살펴보겠습니다.
계수 A가 0이라고 가정합니다. 이는 이 평면이 주어진 Ox 축과 평행하다는 것을 의미합니다. 이 경우 방정식의 형식은 Ву+Cz+D=0으로 변경됩니다.
마찬가지로 방정식의 형식은 다음 조건에서 변경됩니다.
- 첫째, B = 0이면 방정식은 Ax + Cz + D = 0으로 변경되며 이는 Oy 축에 대한 평행성을 나타냅니다.
- 둘째, C=0이면 방정식은 Ax+By+D=0으로 변환되며 이는 주어진 Oz 축에 대한 평행성을 나타냅니다.
- 세 번째로, D=0이면 방정식은 Ax+By+Cz=0처럼 보일 것입니다. 이는 평면이 O(원점)와 교차한다는 것을 의미합니다.
- 넷째, A=B=0이면 방정식은 Cz+D=0으로 변경되어 Oxy와 평행하다는 것이 입증됩니다.
- 다섯째, B=C=0이면 방정식은 Ax+D=0이 되며, 이는 Oyz에 대한 평면이 평행하다는 것을 의미합니다.
- 여섯째, A=C=0이면 방정식은 Ву+D=0 형식을 취합니다. 즉, Oxz에 병렬성을 보고합니다.
세그먼트의 방정식 유형
숫자 A, B, C, D가 0이 아닌 경우 방정식 (0)의 형식은 다음과 같습니다.
x/a + y/b + z/c = 1,
여기서 a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C입니다.
결과적으로 이 평면은 좌표 (a,0,0), Oy - (0,b,0) 및 Oz - (0,0,c)가 있는 지점에서 Ox 축과 교차한다는 점은 주목할 가치가 있습니다. ).
방정식 x/a + y/b + z/c = 1을 고려하면 주어진 좌표계를 기준으로 평면의 배치를 시각적으로 상상하는 것이 어렵지 않습니다.
법선 벡터 좌표
평면 P에 대한 법선 벡터 n은 이 평면의 일반 방정식의 계수인 좌표, 즉 n(A, B, C)를 갖습니다.
법선 n의 좌표를 결정하려면 주어진 평면의 일반 방정식을 아는 것으로 충분합니다.
일반 방정식을 사용할 때와 마찬가지로 x/a + y/b + z/c = 1 형식의 세그먼트 방정식을 사용할 때 주어진 평면의 법선 벡터의 좌표를 쓸 수 있습니다. + 1/b + 1/ 와 함께).
법선 벡터가 다양한 문제를 해결하는 데 도움이 된다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 가장 일반적인 문제로는 평면의 수직성이나 평행성을 증명하는 문제, 평면 사이의 각도 또는 평면과 직선 사이의 각도를 찾는 문제가 있습니다.
점의 좌표와 법선벡터에 따른 평면방정식의 종류
주어진 평면에 수직인 0이 아닌 벡터 n을 주어진 평면에 대한 법선이라고 합니다.
좌표 공간(직각 좌표계)에서 Oxyz가 다음과 같이 주어진다고 가정해 보겠습니다.
- 좌표가 있는 Mₒ 지점(xₒ,yₒ,zₒ);
- 영 벡터 n=A*i+B*j+C*k.
법선 n에 수직인 점 Mₒ를 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성해야 합니다.
공간에서 임의의 점을 선택하고 이를 M(x y, z)로 표시합니다. 임의의 점 M (x,y,z)의 반경 벡터를 r=x*i+y*j+z*k로 하고 점 Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ*의 반경 벡터를 지정합니다. i+yₒ *j+zₒ*k. 벡터 MₒM이 벡터 n에 수직인 경우 점 M은 주어진 평면에 속합니다. 스칼라 곱을 사용하여 직교성 조건을 작성해 보겠습니다.
[MₒM, n] = 0.
MₒM = r-rₒ이므로 평면의 벡터 방정식은 다음과 같습니다.
이 방정식은 다른 형태를 가질 수 있습니다. 이를 위해 스칼라 곱의 속성을 사용하고 방정식의 왼쪽을 변환합니다. = - . 이를 c로 표시하면 다음 방정식을 얻습니다. - c = 0 또는 = c는 평면에 속하는 주어진 점의 반경 벡터의 법선 벡터에 대한 투영의 불변성을 나타냅니다.
이제 평면 = 0의 벡터 방정식을 작성하는 좌표 형식을 얻을 수 있습니다. r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k이고 n =이기 때문입니다. A*i+B *j+С*k, 다음과 같습니다.
법선 n에 수직인 점을 통과하는 평면에 대한 방정식이 있음이 밝혀졌습니다.
A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.
두 점의 좌표와 평면에 동일선상에 있는 벡터에 따른 평면 방정식의 유형
임의의 두 점 M' (x',y',z') 및 M″ (x″,y″,z″)와 벡터 a (a′,a″,a‴)를 정의해 보겠습니다.
이제 기존 점 M' 및 M″뿐만 아니라 주어진 벡터 a에 평행한 좌표 (x, y, z)를 가진 모든 점 M을 통과하는 주어진 평면에 대한 방정식을 만들 수 있습니다.
이 경우 벡터 M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) 및 M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′)는 벡터와 동일 평면에 있어야 합니다. a=(a′,a″,a‴), 이는 (M′M, M″M, a)=0을 의미합니다.
따라서 우주에서의 평면 방정식은 다음과 같습니다.
세 점을 교차하는 평면의 방정식 유형
같은 선에 속하지 않는 (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴)라는 세 개의 점이 있다고 가정해 보겠습니다. 주어진 세 점을 지나는 평면의 방정식을 작성하는 것이 필요합니다. 기하학 이론에서는 이런 종류의 평면이 실제로 존재한다고 주장하지만 이는 유일하고 독특한 평면입니다. 이 평면은 점 (x′,y′,z′)과 교차하므로 방정식의 형태는 다음과 같습니다.
여기서 A, B, C는 동시에 0과 다릅니다. 또한 주어진 평면은 (x″,y″,z″) 및 (x‴,y‴,z‴)라는 두 개의 점을 더 교차합니다. 이와 관련하여 다음 조건이 충족되어야 합니다.
이제 우리는 미지수 u, v, w를 사용하여 동종 시스템을 만들 수 있습니다.
우리의 경우 x, y, z는 식 (1)을 만족하는 임의의 점이다. 방정식 (1)과 방정식 (2) 및 (3)의 시스템이 주어지면 위 그림에 표시된 방정식 시스템은 벡터 N (A,B,C)에 의해 충족되며 이는 중요합니다. 이것이 바로 이 시스템의 행렬식이 0인 이유입니다.
우리가 얻은 식 (1)은 평면의 방정식이다. 정확히 3개 지점을 통과하는데, 이를 확인하기 쉽습니다. 이를 위해서는 행렬식을 첫 번째 행의 요소로 확장해야 합니다. 행렬식의 기존 속성에 따르면 평면은 처음에 주어진 세 점 (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴)과 동시에 교차합니다. . 즉, 우리에게 할당된 과제를 해결했습니다.
평면 사이의 이면각
2면각은 하나의 직선에서 나오는 두 개의 반면으로 형성된 공간 기하학적 도형입니다. 즉, 이는 이러한 반면에 의해 제한되는 공간의 일부입니다.
다음 방정식을 사용하는 두 개의 평면이 있다고 가정해 보겠습니다.
우리는 벡터 N=(A,B,C) 및 N1=(A1,B1,C1)이 주어진 평면에 따라 수직이라는 것을 알고 있습니다. 이와 관련하여 벡터 N과 N1 사이의 각도 Φ는 이들 평면 사이에 위치한 각도(2면체)와 같습니다. 스칼라 곱의 형식은 다음과 같습니다.
NN1=|N||N1|cos ψ,
바로 왜냐하면
cosΦ= NN1/|N||N1|=(AA1+BB1+CC1)/((√(A²+B²+C²))*(√(A1)²+(B1)²+(C1)²)).
0≤Φ≤π라는 점을 고려하면 충분합니다.
실제로 교차하는 두 평면은 두 개의 각도(2면체), 즉 Ø 1 및 Ø 2를 형성합니다. 그 합은 π(Φ 1 + Φ 2 = π)와 같습니다. 코사인의 경우 절대 값은 동일하지만 부호가 다릅니다. 즉 cos Φ 1 = -cos Φ 2입니다. 방정식 (0)에서 A, B 및 C를 각각 숫자 -A, -B 및 -C로 바꾸면 우리가 얻는 방정식은 동일한 평면, 유일한 평면, 방정식 cos의 각도 ψ를 결정합니다. Φ= NN 1 /| N||N 1 | π-ψ로 대체됩니다.
수직면의 방정식
각도가 90도인 평면을 수직이라고 합니다. 위에 제시된 자료를 사용하여 다른 평면에 수직인 평면의 방정식을 찾을 수 있습니다. 두 개의 평면(Ax+By+Cz+D=0 및 A1x+B1y+C1z+D=0)이 있다고 가정해 보겠습니다. cosΦ=0이면 수직이라고 말할 수 있습니다. 이는 NN1=AA1+BB1+CC1=0을 의미합니다.
평행 평면 방정식
공통점을 포함하지 않는 두 평면을 평행이라고 합니다.
조건(그 방정식은 이전 단락과 동일)에 수직인 벡터 N과 N1이 동일선상에 있다는 것입니다. 이는 다음과 같은 비례 조건이 충족됨을 의미합니다.
A/A1=B/B1=C/C1.
비례 조건을 확장하면 - A/A1=B/B1=C/C1=DD1,
이는 이들 평면이 일치함을 나타냅니다. 이는 방정식 Ax+By+Cz+D=0 및 A1x+B1y+C1z+D1=0이 하나의 평면을 설명함을 의미합니다.
점에서 평면까지의 거리
방정식 (0)으로 주어지는 평면 P가 있다고 가정해 보겠습니다. 좌표가 (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ인 점에서 그 점까지의 거리를 구해야 합니다. 이렇게 하려면 평면 P의 방정식을 정규 형식으로 가져와야 합니다.
(ρ,v)=р(р≥0).
이 경우, ρ(x,y,z)는 P에 위치한 점 Q의 반경 벡터이고, p는 영점에서 벗어난 수직 P의 길이이며, v는 단위 벡터입니다. 방향 가.
P에 속하는 어떤 점 Q = (x, y, z)의 차이 ρ-ρ° 반경 벡터와 주어진 점 Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ)의 반경 벡터는 다음과 같은 벡터입니다. v에 대한 투영의 절대값은 Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ)에서 P까지 찾아야 하는 거리 d와 같습니다.
D=|(ρ-ρ 0,v)|, 그러나
(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).
그래서 그것은 밝혀졌습니다
d=|(ρ 0 ,v)-р|.
따라서 결과 표현식의 절대 값, 즉 원하는 d를 찾습니다.
매개변수 언어를 사용하면 다음과 같은 분명한 사실을 얻을 수 있습니다.
d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).
주어진 점 Q 0이 좌표 원점과 같이 평면 P의 반대편에 있는 경우 벡터 ρ-ρ 0과 v 사이에는 다음이 있습니다.
d=-(ρ-ρ0,v)=(ρ0,v)-р>0.
좌표 원점과 함께 점 Q 0이 P의 같은 쪽에 위치하는 경우 생성된 각도는 예각입니다.
d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.
그 결과, 첫 번째 경우에는 (ρ 0 ,v)>р, 두 번째 경우에는 (ρ 0 ,v)<р.
접평면과 그 방정식
접촉점 M°에서 표면에 대한 접선 평면은 표면의 이 점을 통해 그려진 곡선에 대한 가능한 모든 접선을 포함하는 평면입니다.
이러한 유형의 표면 방정식 F(x,y,z)=0을 사용하면 접점 Mº(xº,yº,zº)에서 접평면의 방정식은 다음과 같습니다.
F x (x°,y°,z°)(x- x°)+ F x (x°, y°, z°)(y- y°)+ F x (x°, y°,z°)(z-z°)=0.
z=f(x,y) 형식으로 표면을 지정하면 접평면은 다음 방정식으로 설명됩니다.
z-z° =f(x°, y°)(x- x°)+f(x°, y°)(y- y°).
두 평면의 교차점
좌표계(직사각형)에는 Oxyz가 위치하며 교차하고 일치하지 않는 두 개의 평면 П′ 및 П″가 제공됩니다. 직교 좌표계에 위치한 모든 평면은 일반 방정식에 의해 결정되므로 P' 및 P″는 방정식 A′x+B′y+C′z+D′=0 및 A″x로 제공된다고 가정합니다. +B″y+ С″z+D″=0. 이 경우 평면 P'의 법선 n'(A',B',C')과 평면 P'의 법선 n"(A",B",C")이 있습니다. 평면이 평행하지 않고 일치하지 않기 때문에 이러한 벡터는 동일선상에 있지 않습니다. 수학이라는 언어를 사용하면 이 조건을 다음과 같이 쓸 수 있습니다: n′≠ n″ ← (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. P′와 P″의 교차점에 있는 직선을 문자 a로 표시합니다. 이 경우 a = P′ ∩ P″입니다.
a는 (공통) 평면 P' 및 P″의 모든 점 집합으로 구성된 직선입니다. 이는 선 a에 속하는 모든 점의 좌표가 방정식 A′x+B′y+C′z+D′=0 및 A″x+B″y+C″z+D″=0을 동시에 충족해야 함을 의미합니다. . 이는 점의 좌표가 다음 방정식 시스템의 부분 솔루션이 됨을 의미합니다.
결과적으로, 이 방정식 시스템의 (일반) 해는 P'와 P'의 교차점 역할을 하는 선의 각 점의 좌표를 결정하고 직선을 결정하는 것으로 나타났습니다. a 공간의 Oxyz(직사각형) 좌표계.
평면의 일반 방정식을 얻기 위해 주어진 점을 통과하는 평면을 분석해 보겠습니다.
우주에는 이미 우리에게 알려진 세 개의 좌표축이 있다고 가정해 보겠습니다. 황소, 아야그리고 온스. 종이가 편평하게 유지되도록 용지를 잡습니다. 평면은 시트 자체가 되며 모든 방향으로 계속됩니다.
허락하다 피우주의 임의의 평면. 이에 수직인 모든 벡터를 호출합니다. 법선 벡터 이 비행기로. 당연히 우리는 0이 아닌 벡터에 대해 이야기하고 있습니다.
비행기의 어떤 지점이라도 알려지면 피그리고 이에 대한 일부 법선 벡터를 사용하면 이 두 가지 조건에 의해 공간의 평면이 완전히 정의됩니다.(주어진 점을 통해 주어진 벡터에 수직인 단일 평면을 그릴 수 있습니다). 평면의 일반 방정식은 다음과 같습니다.
따라서 평면의 방정식을 정의하는 조건은 다음과 같습니다. 자신을 얻으려면 평면 방정식, 위와 같은 형태로 비행기에 탑승 피임의의 가리키다 중 가변 좌표 엑스, 와이, 지. 이 점은 다음과 같은 경우에만 평면에 속합니다. 벡터 벡터에 수직(그림 1). 이를 위해 벡터의 수직성 조건에 따라 이러한 벡터의 스칼라 곱이 0과 같아야 하는 것이 필요하고 충분합니다.
벡터는 조건에 따라 지정됩니다. 공식을 사용하여 벡터의 좌표를 찾습니다. 
:
.
이제 벡터 공식의 스칼라 곱을 사용하여 
, 스칼라 곱을 좌표 형식으로 표현합니다.
시점부터 남(x; y; z)평면에서 임의로 선택한 경우 마지막 방정식은 평면에 있는 모든 점의 좌표로 충족됩니다. 피. 포인트의 경우 N, 주어진 평면에 누워 있지 않습니다. 평등 (1)이 위반됩니다.
예시 1.한 점을 통과하고 벡터에 수직인 평면에 대한 방정식을 작성하세요.
해결책. 공식 (1)을 사용하여 다시 살펴보겠습니다.
이 공식에서 숫자는 ㅏ , 비그리고 씨벡터 좌표 및 숫자 엑스0 , 와이0 그리고 지0 - 지점의 좌표.
계산은 매우 간단합니다. 이 숫자를 공식에 대입하여 다음을 얻습니다.
곱셈이 필요한 모든 것을 곱하고 (문자가 없는) 숫자만 더합니다. 결과:
.
이 예에서 요구되는 평면 방정식은 가변 좌표에 대한 1차 일반 방정식으로 표현되는 것으로 나타났습니다. x, y, z평면의 임의의 지점.
따라서 다음 형식의 방정식은
~라고 불리는 일반 평면 방정식 .
예시 2.직사각형 직교 좌표계에서 다음 방정식으로 주어진 평면을 구성합니다. 
.
해결책. 평면을 구성하려면 동일한 직선 위에 있지 않은 세 개의 점(예: 평면과 좌표축의 교차점)을 아는 것이 필요하고 충분합니다.
이 포인트를 찾는 방법은 무엇입니까? 축과의 교차점을 찾으려면 온스, 문제 설명에 제공된 방정식에서 X와 Y를 0으로 대체해야 합니다. 엑스 = 와이= 0 . 그러므로 우리는 얻는다 지= 6. 따라서 주어진 평면은 축과 교차합니다. 온스그 시점에 ㅏ(0; 0; 6) .
같은 방법으로 평면과 축의 교차점을 찾습니다. 아야. ~에 엑스 = 지= 0 우리는 얻습니다 와이= −3, 즉 요점 비(0; −3; 0) .
그리고 마지막으로 평면과 축의 교차점을 찾습니다. 황소. ~에 와이 = 지= 0 우리는 얻습니다 엑스= 2, 즉 점 씨(2; 0; 0) . 우리 솔루션에서 얻은 세 가지 점을 기반으로 ㅏ(0; 0; 6) , 비(0; -3; 0) 및 씨(2; 0; 0) 주어진 평면을 구성합니다.
이제 고려해 봅시다 일반 평면 방정식의 특별한 경우. 이는 방정식 (2)의 특정 계수가 0이 되는 경우입니다.
1. 언제 디= 0 방정식 
점의 좌표 때문에 원점을 통과하는 평면을 정의합니다. 0
(0; 0; 0)은 이 방정식을 만족시킵니다.
2. 언제 A= 0 방정식 
축에 평행한 평면을 정의합니다. 황소, 이 평면의 법선 벡터는 축에 수직이므로 황소(축에 투영 황소 0과 같습니다). 마찬가지로, 비= 0면 
축에 평행 아야, 그리고 언제 C= 0면 
축에 평행 온스.
3. 언제 A=D= 0 방정식은 축을 통과하는 평면을 정의합니다. 황소, 축과 평행하기 때문에 황소 (A=디= 0). 마찬가지로 평면은 축을 통과합니다. 아야, 축을 통과하는 평면 온스.
4. 언제 A=B= 0 방정식은 좌표 평면에 평행한 평면을 정의합니다. xOy, 축과 평행하기 때문에 황소 (ㅏ= 0) 및 아야 (비= 0). 마찬가지로 평면은 평면과 평행하다. yOz, 비행기는 비행기입니다 xOz.
5. 언제 A=B=D= 0 방정식(또는 z = 0) 좌표 평면을 정의합니다 xOy, 평면과 평행하기 때문에 xOy (A=B= 0) 원점( 디= 0). 마찬가지로, Eq. 와이 =공간의 0은 좌표 평면을 정의합니다. xOz, 그리고 방정식 x = 0 - 좌표평면 yOz.
예시 3.평면의 방정식 만들기 피, 축을 통과 아야그리고 기간.
해결책. 따라서 비행기는 축을 통과합니다. 아야. 그러므로 그녀의 방정식에서 와이= 0이고 이 방정식의 형식은 입니다. 계수를 결정하려면 ㅏ그리고 씨점이 평면에 속한다는 사실을 활용하자 피 .
따라서 그 좌표 중에는 우리가 이미 유도한 평면방정식()에 대입할 수 있는 것이 있다. 점의 좌표를 다시 살펴보겠습니다.
중0 (2; −4; 3) .
그 중 엑스 = 2 , 지= 3 . 우리는 이를 일반 방정식으로 대체하고 특정 사례에 대한 방정식을 얻습니다.
2ㅏ + 3씨 = 0 .
2를 남겨주세요 ㅏ방정식의 왼쪽에서 3을 이동합니다. 씨오른쪽으로 가면 우리는 얻을 수 있습니다
ㅏ = −1,5씨 .
찾은 값 대체 ㅏ방정식에 우리는
또는 .
이는 예제 조건에 필요한 방정식입니다.
평면방정식 문제를 직접 풀고 해를 살펴보세요.
예시 4.평면이 방정식으로 주어지는 경우 좌표 축 또는 좌표 평면에 대해 평면(두 개 이상인 경우 평면)을 정의합니다.
테스트 중에 발생하는 일반적인 문제에 대한 해결책은 "평면상의 문제: 평행성, 직각성, 한 지점에서 세 평면의 교차점" 교과서에 나와 있습니다.
세 점을 통과하는 평면의 방정식
이미 언급했듯이 평면을 구성하기 위한 필요충분조건은 한 점과 법선 벡터 외에 같은 선상에 있지 않은 세 점이기도 합니다.
같은 선상에 있지 않은 세 개의 다른 점 , 및 가 주어져 있다고 하자. 표시된 세 점이 같은 선 위에 있지 않기 때문에 벡터는 동일 선상에 있지 않습니다. 따라서 평면의 모든 점은 점과 동일한 평면에 있으며, 벡터 , 및 
동일 평면, 즉 그때 그리고 그때만 이 벡터의 혼합 제품 0과 같습니다.
좌표의 혼합 곱에 대한 표현식을 사용하여 평면의 방정식을 얻습니다.
(3)
행렬식을 밝힌 후 이 방정식은 (2) 형식의 방정식이 됩니다. 평면의 일반 방정식.
실시예 5.동일한 직선 위에 있지 않은 주어진 세 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성하십시오.
그리고 직선의 일반 방정식이 발생하는 경우 특수한 경우를 결정합니다.
해결책. 공식 (3)에 따르면 다음과 같습니다.
일반 평면 방정식. 점에서 평면까지의 거리
평면의 정규 방정식은 방정식이며 다음과 같은 형식으로 작성됩니다.
