정의를 따르면 한 지점에서 함수의 미분은 함수 Δ 증분 비율의 한계입니다. 와이인수 증분 Δ 엑스:

모든 것이 명확한 것 같습니다. 하지만 이 공식을 사용하여 함수의 도함수를 계산해 보세요. 에프(엑스) = 엑스 2 + (2엑스+ 3) · 이자형 엑스죄 엑스. 정의에 따라 모든 작업을 수행하면 몇 페이지의 계산 후에는 잠들게됩니다. 따라서 더 간단하고 효과적인 방법이 있습니다.

우선, 우리는 다양한 기능 중에서 소위 기본 기능을 구별할 수 있다는 점에 주목합니다. 이는 상대적으로 간단한 표현으로, 그 파생어가 오랫동안 계산되고 표로 작성되었습니다. 이러한 함수는 파생 함수와 함께 기억하기 매우 쉽습니다.

기본 함수의 도함수

기본 기능은 아래 나열된 모든 기능입니다. 이러한 함수의 파생어는 암기해야 합니다. 게다가 암기하는 것도 전혀 어렵지 않습니다. 그래서 초등학생입니다.

그래서 파생상품 기본 기능:

이름	기능	유도체
끊임없는	에프(엑스) = 기음, 기음 ∈ 아르 자형	0(예, 0입니다!)
유리수 지수를 사용한 거듭제곱	에프(엑스) = 엑스 N	N · 엑스 N − 1
공동	에프(엑스) = 죄 엑스	코사인 엑스
코사인	에프(엑스) = 왜냐하면 엑스	-죄 엑스(마이너스 사인)
접선	에프(엑스) = TG 엑스	1/코사인 2 엑스
코탄젠트	에프(엑스) = CTG 엑스	- 1/죄 2 엑스
자연로그	에프(엑스) = 로그 엑스	1/엑스
임의 로그	에프(엑스) = 로그 에이 엑스	1/(엑스에 에이)
지수함수	에프(엑스) = 이자형 엑스	이자형 엑스(아무것도 변하지 않았습니다)

기본 함수에 임의의 상수를 곱하면 새 함수의 도함수도 쉽게 계산됩니다.

(기음 · 에프)’ = 기음 · 에프 ’.

일반적으로 상수는 도함수의 부호에서 제외될 수 있습니다. 예를 들어:

(2엑스 3)' = 2 · ( 엑스 3)' = 2 3 엑스 2 = 6엑스 2 .

분명히 기본 기능을 서로 추가하고, 곱하고, 나누는 등 훨씬 더 많은 기능을 수행할 수 있습니다. 이것이 더 이상 특별히 기본적이지는 않지만 특정 규칙에 따라 차별화되는 새로운 기능이 나타나는 방식입니다. 이러한 규칙은 아래에서 설명됩니다.

합과 차이의 미분

기능을 부여하자 에프(엑스) 그리고 g(엑스), 그 파생물이 우리에게 알려져 있습니다. 예를 들어 위에서 설명한 기본 기능을 사용할 수 있습니다. 그러면 다음 함수의 합과 차의 미분을 찾을 수 있습니다.

1. (에프 + g)’ = 에프 ’ + g ’
2. (에프 − g)’ = 에프 ’ − g ’

따라서 두 함수의 합(차)의 도함수는 도함수의 합(차)과 같습니다. 더 많은 용어가 있을 수 있습니다. 예를 들어, ( 에프 + g + 시간)’ = 에프 ’ + g ’ + 시간 ’.

엄밀히 말하면 대수학에는 '뺄셈'이라는 개념이 없습니다. '부정적 요소'라는 개념이 있습니다. 그러므로 차이점은 에프 − g합계로 다시 쓸 수 있습니다. 에프+ (−1) g, 그러면 합계의 미분이라는 공식 하나만 남습니다.

에프(엑스) = 엑스 2 + 죄 x; g(엑스) = 엑스 4 + 2엑스 2 − 3.

기능 에프(엑스)는 두 가지 기본 함수의 합이므로 다음과 같습니다.

에프 ’(엑스) = (엑스 2 + 죄 엑스)’ = (엑스 2)' + (죄 엑스)’ = 2엑스+ 왜냐하면 x;

우리는 함수에 대해서도 비슷하게 추론합니다. g(엑스). (대수학의 관점에서) 이미 세 가지 용어가 있습니다.

g ’(엑스) = (엑스 4 + 2엑스 2 − 3)’ = (엑스 4 + 2엑스 2 + (−3))’ = (엑스 4)’ + (2엑스 2)’ + (−3)’ = 4엑스 3 + 4엑스 + 0 = 4엑스 · ( 엑스 2 + 1).

답변:
에프 ’(엑스) = 2엑스+ 왜냐하면 x;
g ’(엑스) = 4엑스 · ( 엑스 2 + 1).

제품의 파생물

수학은 논리 과학이므로 많은 사람들은 합계의 도함수가 도함수의 합과 같으면 곱의 도함수는 다음과 같다고 믿습니다. 스트라이크">파생상품의 곱과 같습니다. 하지만 망할! 제품의 파생상품은 완전히 다른 공식을 사용하여 계산됩니다. 즉:

(에프 · g) ’ = 에프 ’ · g + 에프 · g ’

공식은 간단하지만 종종 잊어버립니다. 그리고 학생뿐만 아니라 학생도 마찬가지입니다. 결과적으로 문제가 잘못 해결되었습니다.

일. 함수의 도함수 찾기: 에프(엑스) = 엑스 3코사인 x; g(엑스) = (엑스 2 + 7엑스- 7) · 이자형 엑스 .

기능 에프(엑스)는 두 가지 기본 함수의 산물이므로 모든 것이 간단합니다.

에프 ’(엑스) = (엑스 3코 엑스)’ = (엑스 3)' 왜냐하면 엑스 + 엑스 3 (cos 엑스)’ = 3엑스 2코 엑스 + 엑스 3 (− 죄 엑스) = 엑스 2 (3cos 엑스 − 엑스죄 엑스)

기능 g(엑스) 첫 번째 승수는 조금 더 복잡하지만 일반적인 구성표는 변경되지 않습니다. 분명히, 함수의 첫 번째 요소는 g(엑스)는 다항식이고 그 도함수는 합의 도함수입니다. 우리는:

g ’(엑스) = ((엑스 2 + 7엑스- 7) · 이자형 엑스)’ = (엑스 2 + 7엑스- 7)' · 이자형 엑스 + (엑스 2 + 7엑스− 7) · ( 이자형 엑스)’ = (2엑스+ 7) · 이자형 엑스 + (엑스 2 + 7엑스- 7) · 이자형 엑스 = 이자형 엑스· (2 엑스 + 7 + 엑스 2 + 7엑스 −7) = (엑스 2 + 9엑스) · 이자형 엑스 = 엑스(엑스+ 9) · 이자형 엑스 .

답변:
에프 ’(엑스) = 엑스 2 (3cos 엑스 − 엑스죄 엑스);
g ’(엑스) = 엑스(엑스+ 9) · 이자형 엑스 .

마지막 단계에서 도함수는 인수분해됩니다. 공식적으로는 이를 수행할 필요가 없지만 대부분의 도함수는 자체적으로 계산되지 않고 함수를 검사하기 위해 수행됩니다. 즉, 도함수는 0과 동일해지고 부호가 결정되는 등의 작업이 수행됩니다. 그러한 경우에는 표현식을 인수분해하는 것이 더 좋습니다.

두 가지 기능이 있는 경우 에프(엑스) 그리고 g(엑스), 그리고 g(엑스) ≠ 0 관심 있는 집합에 대해 새로운 함수를 정의할 수 있습니다. 시간(엑스) = 에프(엑스)/g(엑스). 이러한 함수의 경우 파생물을 찾을 수도 있습니다.

약하진 않죠? 마이너스는 어디에서 왔습니까? 왜 g 2? 그래서! 이것은 가장 많은 것 중 하나입니다 복잡한 수식-병 없이는 알아낼 수 없습니다. 그러므로 공부하는 것이 좋습니다 구체적인 예.

일. 함수의 도함수 찾기:

각 분수의 분자와 분모에는 기본 함수가 포함되어 있으므로 몫의 도함수에 대한 공식만 있으면 됩니다.

전통에 따르면 분자를 인수분해해 보겠습니다. 이렇게 하면 답이 크게 단순화됩니다.

복잡한 함수가 반드시 0.5km 길이의 공식일 필요는 없습니다. 예를 들어, 다음 기능을 수행하는 것으로 충분합니다. 에프(엑스) = 죄 엑스그리고 변수를 교체하세요 엑스, 말하자면, 에 엑스 2 + ln 엑스. 그것은 잘 될 것이다 에프(엑스) = 죄 ( 엑스 2 + ln 엑스) - 이것은 복잡한 기능입니다. 파생 상품도 있지만 위에서 설명한 규칙을 사용하여 찾는 것은 불가능합니다.

어떻게 해야 하나요? 이러한 경우 변수와 미분 공식을 바꾸는 것이 도움이 됩니다. 복잡한 기능:

에프 ’(엑스) = 에프 ’(티) · 티', 만약에 엑스로 대체됩니다 티(엑스).

일반적으로 이 공식을 이해하는 상황은 몫의 미분보다 훨씬 더 슬프습니다. 그러므로 구체적인 예를 들어 설명하는 것이 더 좋습니다. 자세한 설명모든 단계.

일. 함수의 도함수 찾기: 에프(엑스) = 이자형 2엑스 + 3 ; g(엑스) = 죄 ( 엑스 2 + ln 엑스)

함수에 있는 경우 에프(엑스) 표현식 2 대신 엑스+ 3은 쉬울 거예요 엑스, 그러면 우리는 기본 함수를 얻습니다. 에프(엑스) = 이자형 엑스. 그러므로 우리는 교체를 합니다: let 2 엑스 + 3 = 티, 에프(엑스) = 에프(티) = 이자형 티. 다음 공식을 사용하여 복잡한 함수의 미분을 찾습니다.

에프 ’(엑스) = 에프 ’(티) · 티 ’ = (이자형 티)’ · 티 ’ = 이자형 티 · 티 ’

그리고 지금 - 주의! 역 교체를 수행합니다. 티 = 2엑스+ 3. 우리는 다음을 얻습니다:

에프 ’(엑스) = 이자형 티 · 티 ’ = 이자형 2엑스+ 3 (2 엑스 + 3)’ = 이자형 2엑스+ 3 2 = 2 이자형 2엑스 + 3

이제 기능을 살펴보자 g(엑스). 당연히 교체해야죠 엑스 2 + ln 엑스 = 티. 우리는:

g ’(엑스) = g ’(티) · 티’ = (죄 티)’ · 티’ = 왜냐하면 티 · 티 ’

역방향 교체: 티 = 엑스 2 + ln 엑스. 그 다음에:

g ’(엑스) = 왜냐하면 ( 엑스 2 + ln 엑스) · ( 엑스 2 + ln 엑스)' = cos ( 엑스 2 + ln 엑스) · (2 엑스 + 1/엑스).

그게 다야! 마지막 표현식에서 볼 수 있듯이 전체 문제는 미분 합을 계산하는 것으로 축소되었습니다.

답변:
에프 ’(엑스) = 2 · 이자형 2엑스 + 3 ;
g ’(엑스) = (2엑스 + 1/엑스) 왜냐하면 ( 엑스 2 + ln 엑스).

나는 수업에서 “파생상품”이라는 용어 대신 “소수”라는 단어를 자주 사용합니다. 예를 들어, 금액의 소수 합계와 동일뇌졸중. 그게 더 명확해? 글쎄요.

따라서 미분 계산은 위에서 설명한 규칙에 따라 동일한 스트로크를 제거하는 것으로 귀결됩니다. 마지막 예로, 유리수 지수를 사용하여 도함수로 돌아가 보겠습니다.

(엑스 N)’ = N · 엑스 N − 1

그 역할을 아는 사람은 거의 없습니다. N분수일 수도 있습니다. 예를 들어 루트는 다음과 같습니다. 엑스 0.5. 뿌리 아래에 멋진 것이 있다면 어떨까요? 다시 말하지만, 결과는 복잡한 기능이 될 것입니다. 그들은 그러한 구성을 다음과 같이 제공하는 것을 좋아합니다. 테스트아 그리고 시험.

일. 함수의 도함수를 구합니다:

먼저, 유리수 지수를 갖는 거듭제곱으로 근을 다시 작성해 보겠습니다.

에프(엑스) = (엑스 2 + 8엑스 − 7) 0,5 .

이제 교체 작업을 수행합니다. 엑스 2 + 8엑스 − 7 = 티. 다음 공식을 사용하여 파생 상품을 찾습니다.

에프 ’(엑스) = 에프 ’(티) · 티 ’ = (티 0.5)' · 티’ = 0.5 · 티−0.5 · 티 ’.

역 교체를 해보겠습니다. 티 = 엑스 2 + 8엑스− 7. 우리는:

에프 ’(엑스) = 0.5 · ( 엑스 2 + 8엑스− 7) −0.5 · ( 엑스 2 + 8엑스− 7)' = 0.5 (2 엑스+ 8) ( 엑스 2 + 8엑스 − 7) −0,5 .

마지막으로, 뿌리로 돌아가서:

복잡한 파생 상품. 대수 미분.
거듭제곱 미분 지수함수

우리는 차별화 기술을 지속적으로 개선하고 있습니다. 이 강의에서는 우리가 다룬 내용을 통합하고, 더 복잡한 도함수를 살펴보고, 특히 로그 도함수를 사용하여 도함수를 찾는 새로운 기술과 요령에 대해 알아봅니다.

준비 수준이 낮은 독자들은 해당 기사를 참고하세요. 파생 상품을 찾는 방법은 무엇입니까? 솔루션의 예, 거의 처음부터 기술을 향상시킬 수 있습니다. 다음으로 페이지를 주의 깊게 연구해야 합니다. 복잡한 함수의 파생, 이해하고 해결 모두내가 준 예. 이 레슨은 논리적으로 연속 세 번째 레슨이며, 이 레슨을 마스터한 후에는 상당히 복잡한 기능을 자신있게 차별화할 수 있습니다. “또 어디 있지?”라는 입장을 취하는 것은 바람직하지 않습니다. 그것으로 충분합니다!”, 왜냐하면 모든 예제와 솔루션은 실제 테스트에서 가져온 것이며 실제로 자주 접하게 되기 때문입니다.

반복부터 시작해 보겠습니다. 수업 중 복잡한 함수의 파생우리는 자세한 설명과 함께 여러 가지 예를 살펴보았습니다. 미분학 및 기타 섹션을 연구하는 동안 수학적 분석– 매우 자주 차별화해야 하며, 예를 아주 자세하게 설명하는 것이 항상 편리한 것은 아닙니다(항상 필요한 것도 아닙니다). 그러므로 우리는 구두로 파생 상품을 찾는 연습을 할 것입니다. 이에 대한 가장 적합한 "후보"는 가장 단순한 복잡한 함수의 파생물입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

복잡한 기능의 차별화 규칙에 따라 :

미래에 다른 마탄 주제를 공부할 때, 학생이 자동 조종 장치에서 그러한 파생어를 찾는 방법을 알고 있다고 가정하는 경우에는 그러한 상세한 기록이 대부분 필요하지 않습니다. 새벽 3시에 전화가 울리고 유쾌한 목소리가 "두 X의 탄젠트의 미분은 무엇입니까?"라고 묻는다고 상상해 봅시다. 그 다음에는 거의 즉각적이고 정중한 응답이 이어져야 합니다. .

첫 번째 예는 즉시 독립적인 결정.

실시예 1

예를 들어, 한 번의 작업으로 다음 파생어를 구두로 찾아보세요. 작업을 완료하려면 다음을 사용해야 합니다. 기본 함수의 도함수 표(아직 기억하지 못했다면). 어려운 점이 있으면 강의를 다시 읽는 것이 좋습니다 복잡한 함수의 파생.

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수업이 끝나면 답변

복잡한 파생 상품

예비 포병 준비 후에는 3-4-5 기능 중첩이 있는 예가 덜 무섭습니다. 다음 두 가지 예는 일부 사람들에게는 복잡해 보일 수 있지만, 이를 이해하면(누군가는 어려움을 겪을 것입니다) 미분학의 다른 거의 모든 것이 어린이의 농담처럼 보일 것입니다.

실시예 2

함수의 도함수 찾기

이미 언급한 바와 같이, 복잡한 함수의 미분을 찾을 때, 우선 다음이 필요합니다. 오른쪽귀하의 투자를 이해하십시오. 의심스러운 경우 유용한 기술을 상기시켜 드립니다. 예를 들어 "x"의 실험적 값을 사용하여 (정신적으로 또는 초안에서) 이 값을 "끔찍한 표현"으로 대체해 봅니다.

1) 먼저 표현식을 계산해야 합니다. 즉, 합계가 가장 깊은 임베딩임을 의미합니다.

2) 그런 다음 로그를 계산해야 합니다.

4) 그런 다음 코사인을 큐브로 만듭니다.

5) 다섯 번째 단계에서 차이점은 다음과 같습니다.

6) 그리고 마지막으로 가장 바깥쪽 함수는 제곱근입니다.

복소 함수를 미분하는 공식 가장 바깥쪽 함수부터 가장 안쪽 함수까지 역순으로 적용됩니다. 우리는 다음을 결정합니다:

오류는 없는 것 같은데..

(1) 제곱근의 미분을 구합니다.

(2) 우리는 규칙을 사용하여 차이의 미분을 구합니다.

(3) 삼중의 도함수는 0이다. 두 번째 항에서는 차수(큐브)의 미분을 취합니다.

(4) 코사인의 미분을 구합니다.

(5) 로그의 미분을 구합니다.

(6) 그리고 마지막으로 가장 깊은 임베딩의 미분을 취합니다.

너무 어려워 보일 수도 있지만 이것이 가장 잔인한 예는 아닙니다. 예를 들어 Kuznetsov의 컬렉션을 살펴보면 분석된 파생 상품의 모든 아름다움과 단순함에 감사하게 될 것입니다. 나는 학생들이 복잡한 함수의 도함수를 찾는 방법을 이해하고 있는지 또는 이해하지 못하는지 확인하기 위해 시험에서 비슷한 것을 제공하는 것을 좋아한다는 것을 알았습니다.

다음 예는 여러분이 직접 해결해 볼 수 있는 예입니다.

실시예 3

함수의 도함수 찾기

힌트: 먼저 선형성 규칙과 제품 차별화 규칙을 적용합니다.

강의가 끝나면 전체 솔루션과 답변이 제공됩니다.

이제 더 작고 멋진 것으로 옮겨갈 시간입니다.
두 가지가 아닌 세 가지 기능의 곱을 보여주는 예가 흔합니다. 세 가지 요소의 곱의 파생물을 찾는 방법은 무엇입니까?

실시예 4

함수의 도함수 찾기

먼저 세 가지 기능의 곱을 두 가지 기능의 곱으로 바꾸는 것이 가능한지 살펴보겠습니다. 예를 들어, 곱에 두 개의 다항식이 있는 경우 대괄호를 열 수 있습니다. 그러나 고려중인 예에서는 차수, 지수 및 로그 등 모든 함수가 다릅니다.

그러한 경우에는 필요합니다. 순차적으로제품차별화의 법칙을 적용하다 두 배

요령은 "y"로 두 함수의 곱을 나타내고 "ve"로 로그를 나타내는 것입니다. 왜 이것이 가능합니까? 가능합니까? – 이것은 두 요소의 곱이 아니며 규칙이 작동하지 않습니까?! 복잡한 것은 없습니다.

이제 규칙을 두 번째로 적용해야 합니다. 브래킷으로:

뒤틀려 괄호 안에 무언가를 넣을 수도 있지만, 이 경우 답을 정확히 이 형식으로 남겨 두는 것이 더 낫습니다. 확인하기가 더 쉬울 것입니다.

고려된 예는 두 번째 방법으로 해결할 수 있습니다.

두 솔루션 모두 완전히 동일합니다.

실시예 5

함수의 도함수 찾기

이는 독립적인 솔루션의 예입니다. 샘플에서는 첫 번째 방법을 사용하여 해결됩니다.

분수를 사용하여 유사한 예를 살펴보겠습니다.

실시예 6

함수의 도함수 찾기

여기로 갈 수 있는 방법은 여러 가지가 있습니다:

또는 다음과 같습니다:

그러나 먼저 몫의 미분 규칙을 사용하면 해법이 더 간결하게 작성될 것입니다. , 전체 분자에 대해 다음을 수행합니다.

원칙적으로 예제는 해결되었으며, 그대로 놔두면 오류가 발생하지 않습니다. 하지만 시간이 있다면 항상 초안을 확인하여 답변을 단순화할 수 있는지 확인하는 것이 좋습니다. 분자의 표현을 다음과 같이 줄여보겠습니다. 공통분모그리고 3층 분수를 없애자:

추가 단순화의 단점은 파생어를 찾을 때가 아니라 평범한 학교 변형 중에 실수를 할 위험이 있다는 것입니다. 반면에 교사는 종종 과제를 거부하고 파생어를 "마음에 가져오도록" 요청합니다.

스스로 해결할 수 있는 간단한 예:

실시예 7

함수의 도함수 찾기

우리는 도함수를 찾는 방법을 계속해서 익혔으며 이제 미분을 위해 "끔찍한" 로그가 제안되는 전형적인 사례를 고려할 것입니다.

실시예 8

함수의 도함수 찾기

여기에서 복잡한 함수를 구별하는 규칙을 사용하여 먼 길을 갈 수 있습니다.

그러나 첫 번째 단계는 즉시 당신을 낙담하게 만듭니다. 분수 거듭 제곱에서 불쾌한 파생물을 가져온 다음 분수에서도 가져와야합니다.

그렇기 때문에 ~ 전에"정교한" 로그의 미분을 구하는 방법은 먼저 잘 알려진 학교 속성을 사용하여 단순화됩니다.

! 연습용 노트가 있다면 이 수식을 거기에 직접 복사하세요. 공책이 없다면 공과의 나머지 예가 이 공식을 중심으로 진행되므로 종이에 복사하세요.

솔루션 자체는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

함수를 변환해 보겠습니다.

파생상품 찾기:

함수 자체를 사전 변환하면 솔루션이 크게 단순화되었습니다. 따라서 미분을 위해 유사한 로그가 제안되면 항상 "분해"하는 것이 좋습니다.

이제 스스로 해결할 수 있는 몇 가지 간단한 예가 있습니다.

실시예 9

함수의 도함수 찾기

실시예 10

함수의 도함수 찾기

모든 변환과 답변은 수업이 끝나면 끝납니다.

대수 미분

로그의 파생물이 그렇게 감미로운 음악이라면 질문이 생깁니다. 어떤 경우에는 로그를 인위적으로 구성하는 것이 가능합니까? 할 수 있다! 그리고 심지어 필요합니다.

실시예 11

함수의 도함수 찾기

우리는 최근 비슷한 예를 살펴보았습니다. 무엇을 해야 할까요? 몫의 차별화 규칙을 적용한 다음 제품의 차별화 규칙을 순차적으로 적용할 수 있습니다. 이 방법의 단점은 전혀 다루고 싶지 않은 거대한 3층 건물이 완성된다는 것입니다.

그러나 이론적으로나 실제로는 로그 미분과 같은 놀라운 것이 있습니다. 로그는 양쪽에 "걸어" 인위적으로 구성할 수 있습니다.

메모 : 왜냐하면 함수는 음수 값을 가질 수 있으며 일반적으로 모듈을 사용해야 합니다. , 이는 분화의 결과로 사라질 것입니다. 그러나 기본적으로 고려되는 현재 디자인도 허용됩니다. 복잡한의미. 그러나 매우 엄격하다면 두 경우 모두 다음과 같이 예약해야 합니다..

이제 우변의 로그를 최대한 "분해"해야 합니다(눈 앞에 있는 공식?). 이 과정을 매우 자세히 설명하겠습니다.

차별화부터 시작해보자.
우리는 소수로 두 부분을 모두 마무리합니다.

오른쪽의 파생어는 매우 간단합니다. 이에 대해서는 언급하지 않겠습니다. 왜냐하면 이 텍스트를 읽고 있다면 자신 있게 처리할 수 있을 것이기 때문입니다.

왼쪽은 어떻습니까?

왼쪽에는 우리가 있습니다. 복잡한 기능. 나는 다음과 같은 질문을 예견합니다: "왜, 로그 아래에 문자 "Y"가 하나 있습니까?"

사실은 이 "한 글자 게임"이 - 그 자체가 함수인가요?(매우 명확하지 않은 경우 암시적으로 지정된 함수 파생 ​​문서를 참조하세요.) 따라서 로그는 외부 함수이고 "y"는 내부 함수입니다. 그리고 우리는 복잡한 함수를 미분하는 규칙을 사용합니다. :

왼쪽에는 마치 마술처럼 파생 상품이 있습니다. 다음으로, 비례의 법칙에 따라 "y"를 왼쪽 분모에서 오른쪽 상단으로 옮깁니다.

이제 차별화 과정에서 어떤 종류의 "플레이어" 기능에 대해 이야기했는지 기억해 볼까요? 조건을 살펴 보겠습니다.

최종 답변:

실시예 12

함수의 도함수 찾기

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 이 유형의 예에 대한 샘플 디자인은 강의 마지막 부분에 있습니다.

로그 도함수를 사용하면 예제 4-7 중 하나를 풀 수 있었고, 또 다른 문제는 함수가 더 간단하고 아마도 로그 도함수를 사용하는 것이 그다지 타당하지 않다는 것입니다.

거듭제곱 지수 함수의 파생

우리는 아직 이 기능을 고려하지 않았습니다. 거듭제곱 지수 함수는 다음과 같은 함수입니다. 차수와 밑수는 모두 "x"에 따라 달라집니다.. 고전적인 예, 이는 교과서나 강의에서 제공됩니다.

거듭제곱 지수 함수의 미분을 찾는 방법은 무엇입니까?

방금 논의한 기술인 로그 미분을 사용할 필요가 있습니다. 우리는 양쪽에 로그를 걸어 놓습니다:

일반적으로 오른쪽의 로그 아래에서 차수를 가져옵니다.

결과적으로 오른쪽에는 표준 공식에 따라 차별화되는 두 가지 함수의 곱이 있습니다. .

이를 위해 파생 항목을 찾고 두 부분을 획으로 묶습니다.

추가 조치는 간단합니다.

마지막으로:

변환이 완전히 명확하지 않은 경우 예제 11의 설명을 주의 깊게 다시 읽으십시오.

실제 작업에서 거듭제곱 지수 함수는 논의된 강의 예제보다 항상 더 복잡합니다.

실시예 13

함수의 도함수 찾기

우리는 로그 미분을 사용합니다.

오른쪽에는 "x"와 "로그 x의 로그"(다른 로그가 로그 아래에 중첩되어 있음)라는 두 요소의 상수와 곱이 있습니다. 우리가 기억하는 것처럼 미분할 때 방해가 되지 않도록 미분 기호에서 상수를 즉시 이동하는 것이 좋습니다. 물론 우리는 익숙한 규칙을 적용합니다. :

우리는 가장 간단한 파생 상품을 분석하고 미분 규칙과 일부에 대해서도 알게 되었습니다. 기술적 방법파생 상품 찾기. 따라서 함수의 도함수에 능숙하지 않거나 이 기사의 일부 내용이 완전히 명확하지 않은 경우 먼저 위 강의를 읽어보세요. 진지한 자세로 임해주시기 바랍니다. 자료가 단순하지는 않지만, 그래도 간단하고 명확하게 전달하도록 노력하겠습니다.

실제로, 복잡한 함수의 도함수를 매우 자주 다루어야 합니다. 도함수를 찾는 작업이 주어지면 거의 항상 그렇습니다.

복잡한 함수를 구별하기 위한 규칙(5번)을 표에서 살펴보겠습니다.

그것을 알아 봅시다. 우선, 항목에 주목합시다. 여기에는 두 가지 함수가 있습니다. 그리고 비유적으로 말하면 이 함수는 함수 내에 중첩되어 있습니다. 이러한 유형의 함수(한 함수가 다른 함수 내에 중첩된 경우)를 복합 함수라고 합니다.

함수를 호출하겠습니다. 외부 기능, 및 기능 – 내부(또는 중첩) 함수.

! 이러한 정의는 이론적인 것이 아니므로 과제의 최종 설계에 나타나서는 안 됩니다. 나는 단지 여러분이 자료를 더 쉽게 이해할 수 있도록 비공식적인 표현인 "외부 기능", "내부" 기능을 사용합니다.

상황을 명확히 하려면 다음을 고려하십시오.

실시예 1

함수의 도함수 찾기

사인 아래에는 문자 "X"뿐만 아니라 전체 표현식이 있으므로 테이블에서 바로 파생 상품을 찾는 것은 작동하지 않습니다. 또한 여기서는 처음 네 가지 규칙을 적용하는 것이 불가능하다는 점을 알 수 있습니다. 차이가 있는 것 같지만 사실은 사인이 "조각으로 찢어질" 수 없다는 것입니다.

이 예에서 함수는 복잡한 함수이고 다항식은 다음과 같다는 것이 내 설명을 통해 이미 직관적으로 분명해졌습니다. 내부 기능(투자) 및 – 외부 기능.

첫 번째 단계복잡한 함수의 도함수를 찾을 때 해야 할 일은 어떤 기능이 내부 기능이고 어떤 기능이 외부 기능인지 이해.

경우에 간단한 예사인 아래에 다항식이 포함되어 있다는 것이 분명해 보입니다. 하지만 모든 것이 명확하지 않다면 어떨까요? 어떤 기능이 외부 기능이고 어떤 기능이 내부 기능인지 정확하게 결정하는 방법은 무엇입니까? 이를 위해 정신적으로 또는 초안으로 수행할 수 있는 다음 기술을 사용하는 것이 좋습니다.

계산기에서 표현식의 값을 계산해야 한다고 가정해 보겠습니다(하나 대신 어떤 숫자도 있을 수 있음).

무엇을 먼저 계산해볼까요? 가장 먼저다음 작업을 수행해야 합니다. 따라서 다항식은 내부 함수가 됩니다.

둘째찾아야 하므로 사인은 외부 함수입니다.

우리 후에 매진내부 기능과 외부 기능으로 복잡한 기능의 차별화 규칙을 적용할 때입니다. .

결정을 시작해 보겠습니다. 수업에서 파생 상품을 찾는 방법은 무엇입니까?파생물에 대한 솔루션 설계는 항상 다음과 같이 시작된다는 것을 기억합니다. 표현식을 괄호로 묶고 오른쪽 상단에 획을 표시합니다.

처음에는우리는 외부 함수(사인)의 도함수를 찾고, 기본 함수의 도함수 표를 보고 . "x"가 복잡한 표현식으로 대체된 경우에도 모든 테이블 수식을 적용할 수 있습니다., 이 경우:

내부 기능에 유의하세요. 변하지 않았어, 우린 건드리지 않았어.

글쎄요, 그건 아주 명백해요

공식을 적용한 결과 최종 형태는 다음과 같습니다.

상수 인수는 일반적으로 표현식의 시작 부분에 배치됩니다.

오해가 있으면 종이에 답을 적고 설명을 다시 읽어보세요.

실시예 2

함수의 도함수 찾기

실시예 3

함수의 도함수 찾기

언제나 그렇듯이 우리는 다음과 같이 적습니다.

외부 기능이 있는 위치와 내부 기능이 있는 위치를 알아봅시다. 이를 위해 우리는 (정신적으로나 초안으로) 에서 표현식의 값을 계산해 봅니다. 먼저 무엇을 해야 할까요? 우선, 밑이 무엇인지 계산해야 합니다. 따라서 다항식은 내부 함수입니다.

그런 다음에만 지수화가 수행되므로 거듭제곱 함수는 외부 함수입니다.

공식에 따르면 , 먼저 외부 함수의 도함수(이 경우 차수)를 찾아야 합니다. 테이블에서 찾는 중 필요한 공식: . 우리는 다시 반복합니다: 모든 표 형식 수식은 "X"뿐만 아니라 복잡한 표현식에도 유효합니다.. 따라서 복소함수를 미분하는 규칙을 적용한 결과는 다음과 같다. 다음:

나는 외부 함수의 미분을 취하더라도 내부 함수는 변하지 않는다는 점을 다시 강조합니다.

이제 남은 것은 내부 함수의 매우 간단한 파생물을 찾고 결과를 약간 조정하는 것입니다.

실시예 4

함수의 도함수 찾기

이것은 스스로 해결해야 하는 예입니다(답변은 강의 마지막에 나와 있습니다).

복잡한 함수의 미분에 대한 이해를 강화하기 위해 설명 없이 예를 제공하고 스스로 파악하려고 노력하고 외부 기능과 내부 기능이 어디에 있는지, 작업이 이런 방식으로 해결되는 이유는 무엇입니까?

실시예 5

a) 함수의 도함수 찾기

b) 함수의 도함수 찾기

실시예 6

함수의 도함수 찾기

여기에는 뿌리가 있는데, 뿌리를 구별하기 위해서는 거듭제곱으로 표현되어야 합니다. 따라서 먼저 함수를 미분에 적합한 형식으로 가져옵니다.

함수를 분석해 보면, 세 항의 합은 내부 함수이고, 거듭제곱하는 것은 외부 함수라는 결론에 도달합니다. 복잡한 기능의 차별화 규칙을 적용합니다. :

우리는 다시 차수를 근치(근)로 표현하고 내부 함수의 도함수에 대해 합을 미분하는 간단한 규칙을 적용합니다.

준비가 된. 표현식을 괄호 안의 공통 분모로 줄이고 모든 것을 하나의 분수로 쓸 수도 있습니다. 물론 아름답지만, 번거로운 긴 파생어를 얻을 때는 이렇게 하지 않는 것이 좋습니다(혼란되기 쉽고 불필요한 실수를 하기 쉬우며 선생님이 확인하는 것이 불편할 것입니다).

실시예 7

함수의 도함수 찾기

이것은 스스로 해결해야 하는 예입니다(답변은 강의 마지막에 나와 있습니다).

때때로 복잡한 함수를 미분하는 규칙 대신에 몫을 미분하는 규칙을 사용할 수 있다는 점은 흥미롭습니다. , 그러나 그러한 해결책은 특이한 변태처럼 보일 것입니다. 전형적인 예는 다음과 같습니다.

실시예 8

함수의 도함수 찾기

여기서 몫의 미분 규칙을 사용할 수 있습니다. , 그러나 복잡한 함수의 미분 규칙을 통해 도함수를 찾는 것이 훨씬 더 수익성이 높습니다.

미분을 위한 함수를 준비합니다. 미분 기호에서 마이너스를 이동하고 코사인을 분자로 올립니다.

코사인은 내부 함수이고 지수는 외부 함수입니다.
우리의 규칙을 사용해 봅시다 :

내부 함수의 미분을 구하고 코사인을 다시 재설정합니다.

준비가 된. 고려한 예에서 표지판을 혼동하지 않는 것이 중요합니다. 그런데, 규칙을 사용하여 문제를 풀어보세요. , 답변이 일치해야 합니다.

실시예 9

함수의 도함수 찾기

이것은 스스로 해결해야 하는 예입니다(답변은 강의 마지막에 나와 있습니다).

지금까지 우리는 복잡한 함수에 중첩이 하나만 있는 경우를 살펴보았습니다. 실제 작업에서는 인형 중첩처럼 3개 또는 4~5개의 기능이 한 번에 중첩되는 파생 상품을 자주 찾을 수 있습니다.

실시예 10

함수의 도함수 찾기

이 기능의 첨부를 이해해 봅시다. 실험값을 이용하여 식을 계산해 봅시다. 계산기를 어떻게 믿을 수 있을까요?

먼저 를 찾아야 합니다. 이는 아크사인이 가장 깊은 임베딩임을 의미합니다.

그러면 이 아크사인은 제곱되어야 합니다.

그리고 마지막으로 7을 거듭제곱합니다.

즉, 이 예에는 세 가지 다른 함수와 두 개의 임베딩이 있으며 가장 안쪽 함수는 아크사인이고 가장 바깥쪽 함수는 지수 함수입니다.

결정을 시작해보자

규칙에 따르면 먼저 외부 함수의 미분을 구해야 합니다. 도함수 표를 보고 지수 함수의 도함수를 찾습니다. 유일한 차이점은 "x" 대신 이 공식의 유효성을 부정하지 않는 복잡한 표현식이 있다는 것입니다. 그래서 복소함수를 미분하는 규칙을 적용한 결과는 다음.

기능 복합형복잡한 함수의 정의에 항상 맞는 것은 아닙니다. y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 형식의 함수가 있는 경우 y = sin 2 x와 달리 복소수로 간주할 수 없습니다.

이 기사에서는 복잡한 기능의 개념과 그 식별을 보여줍니다. 결론에 나오는 해법의 예를 통해 도함수를 찾기 위한 공식을 사용해 보겠습니다. 도함수표와 미분법칙을 사용하면 도함수를 찾는 시간이 크게 단축됩니다.

기본 정의

정의 1

복합 함수는 인수가 함수이기도 한 함수입니다.

f(g(x))로 표시됩니다. 함수 g(x)는 인수 f(g(x))로 간주됩니다.

정의 2

함수 f가 있고 코탄젠트 함수인 경우 g(x) = ln x는 함수입니다. 자연로그. 우리는 복소 함수 f(g(x))가 arctg(lnx)로 작성된다는 것을 알았습니다. 또는 g (x) = x 2 + 2 x - 3이 전체 유리 함수로 간주되는 4승 함수인 함수 f를 사용하면 f (g (x)) = (x 2 + 2x - 3) 4 .

분명히 g(x)는 복소수일 수 있습니다. y = sin 2 x + 1 x 3 - 5의 예에서 g 값이 분수의 세제곱근을 갖는다는 것이 분명합니다. 이 표현식은 y = f(f 1 (f 2 (x)))로 표시될 수 있습니다. f는 사인 함수이고, f 1은 아래에 위치한 함수입니다. 제곱근, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - 분수 유리 함수.

정의 3

중첩 정도는 다음에 의해 결정됩니다. 자연수 y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) 로 작성됩니다.

정의 4

함수 합성의 개념은 문제의 조건에 따라 중첩된 함수의 수를 의미합니다. 해결하려면 다음 형식의 복잡한 함수의 미분을 찾는 공식을 사용하십시오.

(f(g(x)))" = f"(g(x))g"(x)

예

실시예 1

y = (2 x + 1) 2 형태의 복소 함수의 도함수를 구합니다.

해결책

조건은 f가 제곱 함수이고 g(x) = 2 x + 1이 선형 함수로 간주됨을 보여줍니다.

복잡한 함수에 미분 공식을 적용하고 다음과 같이 작성해 보겠습니다.

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

함수의 원래 형태를 단순화하여 도함수를 찾는 것이 필요합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

여기에서 우리는 그것을 가지고 있습니다

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

결과는 동일했습니다.

이러한 유형의 문제를 풀 때 f 및 g(x) 형식의 함수가 위치하는 위치를 이해하는 것이 중요합니다.

실시예 2

y = sin 2 x 및 y = sin x 2 형식의 복소 함수의 도함수를 찾아야 합니다.

해결책

첫 번째 함수 표기법에 따르면 f는 제곱 함수이고 g(x)는 사인 함수입니다. 그러면 우리는 그것을 얻습니다

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

두 번째 항목은 f가 사인 함수이고 g(x) = x 2가 표시됨을 보여줍니다. 전력 함수. 우리는 복잡한 함수의 곱을 다음과 같이 작성합니다.

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

도함수 y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))의 공식은 y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x)) )) )) · . . . fn "(엑스)

실시예 3

함수 y = sin(ln 3 a r c t g (2 x))의 도함수를 구합니다.

해결책

이 예는 함수의 위치를 ​​작성하고 결정하는 것이 어렵다는 것을 보여줍니다. 그러면 y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))))는 f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x)가 사인 함수임을 나타냅니다. 3도까지, 로그와 밑 e를 갖는 함수, 아크탄젠트 및 선형 함수.

복잡한 함수를 정의하는 공식으로부터 우리는 다음을 얻습니다:

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 "(f 4 (x)) f 4 "(x)

우리는 찾아야 할 것을 얻습니다.

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) 도함수 표에 따른 사인의 도함수로 f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))를 거듭제곱 함수의 미분으로 계산하면 f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a rc t g (2 x) = 3 ln 2 a rc t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x)))를 대수 도함수로 계산하면 f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) 입니다.
4. f 3 " (f 4 (x))를 아크탄젠트의 미분으로 계산하면 f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2입니다.
5. 도함수 f 4 (x) = 2 x를 찾을 때 지수가 1인 거듭제곱 함수의 도함수 공식을 사용하여 도함수의 부호에서 2를 제거한 다음 f 4 "(x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

우리는 중간 결과를 결합하여 다음을 얻습니다.

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

이러한 기능의 분석은 중첩 인형을 연상시킵니다. 파생 테이블을 사용하여 차별화 규칙을 항상 명시적으로 적용할 수는 없습니다. 복잡한 함수의 도함수를 찾기 위해 공식을 사용해야 하는 경우가 많습니다.

복잡한 외관과 복잡한 기능에는 약간의 차이가 있습니다. 이를 구별할 수 있는 명확한 능력이 있으면 파생 상품을 찾는 것이 특히 쉬울 것입니다.

실시예 4

그러한 예를 드는 것을 고려할 필요가 있다. y = t g 2 x + 3 t g x + 1 형식의 함수가 있는 경우 g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 형식의 복소 함수로 간주할 수 있습니다. . 분명히, 복소 도함수에 대한 공식을 사용해야 합니다:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 형식의 함수는 t g x 2, 3 t g x 및 1의 합을 갖기 때문에 복소수로 간주되지 않습니다. 그러나 t g x 2는 복소 함수로 간주되므로 g(x) = x 2 형식의 거듭제곱 함수와 탄젠트 함수인 f를 얻습니다. 이렇게하려면 금액별로 차별화하십시오. 우리는 그것을 얻습니다

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3코사인 2x

복잡한 함수 (t g x 2) "의 미분을 찾는 것으로 넘어 갑시다.

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

우리는 y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x를 얻습니다.

복합 유형의 함수는 복합 함수에 포함될 수 있으며, 복합 함수 자체는 복합 유형 기능의 구성 요소가 될 수 있습니다.

실시예 5

예를 들어, y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) 형식의 복소 함수를 생각해 보세요.

이 함수는 y = f(g(x))로 표시될 수 있습니다. 여기서 f의 값은 밑이 3인 로그의 함수이고 g(x)는 h(x) = 형식의 두 함수의 합으로 간주됩니다. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 및 k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . 분명히, y = f(h(x) + k(x))입니다.

함수 h(x)를 생각해 보세요. 이것은 l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 대 m (x) = e x 2 + 3 3의 비율입니다.

l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x)는 두 함수 n (x) = x 2 + 7과 p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , 여기서 p(x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x)))은 수치 계수 3을 갖는 복소 함수이고, p 1은 세제곱 함수이고, 코사인 함수로 p 2, 선형 함수로 p 3 (x) = 2 x + 1.

우리는 m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x)가 두 함수 q (x) = e x 2와 r (x) = 3 3의 합이라는 것을 알았습니다. 여기서 q (x) = q 1 (q 2 (x))는 복소 함수이고, q 1은 지수 함수이고, q 2 (x) = x 2는 거듭제곱 함수입니다.

이는 h(x) = l(x) m(x) = n(x) + p(x) q(x) + r(x) = n(x) + 3p1(p2(p3)을 나타냅니다. (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) = s (x) t (x) 형식의 표현식으로 이동하면 함수가 복소수 s (x) 형식으로 표시된다는 것이 분명합니다. = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) 유리수 t (x) = x 2 + 1, 여기서 s 1은 제곱 함수이고 s 2 (x) = ln x는 밑이 e인 로그입니다. .

따라서 표현식은 k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) 형식을 취합니다.

그러면 우리는 그것을 얻습니다

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

함수의 구조를 바탕으로 미분할 때 표현을 단순화하기 위해 어떤 수식을 어떻게 사용해야 하는지 명확해졌습니다. 이러한 문제와 그 해법의 개념에 익숙해지기 위해서는 함수를 미분하는 지점, 즉 함수의 파생물을 찾는 지점으로 전환할 필요가 있습니다.

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복소 함수의 미분 공식에 대한 증명이 제공됩니다. 복잡한 함수가 하나 또는 두 개의 변수에 의존하는 경우를 자세히 고려합니다. 임의의 개수의 변수에 대해 일반화가 이루어집니다.

콘텐츠

참조: 복소 함수의 미분 공식을 사용하는 예

기본 공식

여기에서는 복소 함수의 도함수에 대한 다음 공식의 유도를 제공합니다.
그렇다면
.
그렇다면
.
그렇다면
.

하나의 변수에서 복잡한 함수 파생

변수 x의 함수를 다음 형식의 복소 함수로 표현하겠습니다.
,
어떤 기능이 있는 곳. 이 함수는 변수 x의 일부 값에 대해 미분 가능합니다.
함수는 변수의 값으로 미분 가능합니다.
(1) .

그런 다음 복소수(복합) 함수는 x 지점에서 미분 가능하며 그 도함수는 다음 공식에 의해 결정됩니다.
;
.

공식 (1)은 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

증거
;
.
다음 표기법을 소개하겠습니다.

여기에는 변수 및 의 함수가 있고, 변수 및 의 함수가 있습니다.
;
.

그러나 계산이 복잡해지지 않도록 이러한 함수의 인수는 생략하겠습니다.
.
함수 와 는 각각 점 x 와 에서 미분 가능하므로 이 점에는 다음과 같은 한계인 이러한 함수의 파생물이 있습니다.
.
다음 기능을 고려하십시오.
.

변수 u의 고정값에 대해 는 의 함수입니다.
.
다음 기능을 고려하십시오.
.

그것은 분명하다

.

그 다음에

함수는 한 점에서 미분 가능한 함수이므로 그 점에서는 연속입니다. 그렇기 때문에

이제 우리는 파생 상품을 찾습니다.
,
공식이 입증되었습니다.
.
결과

변수 x의 함수가 복소함수의 복소함수로 표현될 수 있는 경우
그 파생물은 공식에 의해 결정됩니다
.
여기에 , 및 몇 가지 미분 가능한 함수가 있습니다.
.
이 공식을 증명하기 위해 복소 함수를 미분하는 규칙을 사용하여 순차적으로 도함수를 계산합니다.
.
여기에 , 및 몇 가지 미분 가능한 함수가 있습니다.
.

복잡한 기능을 고려하십시오

그 파생물 원래 기능을 고려하십시오..

두 변수에서 복잡한 함수 파생
,
이제 복잡한 함수가 여러 변수에 의존하게 하십시오. 먼저 살펴 보겠습니다.
두 변수의 복잡한 함수의 경우
변수 x에 의존하는 함수를 다음 형식의 두 변수의 복소 함수로 표현하겠습니다.
(2) .

공식 (1)은 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

어디
;
.
변수 x의 일부 값에 대해 미분 가능한 함수가 있습니다.
;
.
- 점 , 에서 미분 가능한 두 변수의 함수.
;
.

그런 다음 복소 함수는 점의 특정 근처에서 정의되고 다음 공식에 의해 결정되는 도함수를 갖습니다.
(3) .
변수 x의 일부 값에 대해 미분 가능한 함수가 있습니다.

함수 와 는 점에서 미분 가능하기 때문에 이 점의 특정 부근에서 정의되고, 점에서 연속이며, 그 도함수는 다음과 같은 한계에 따라 존재합니다.
;

여기
및 의 고정 값에 대해 및 은 변수 및 의 함수입니다.
;
.
그들은 다음과 같은 점에서 제로화되는 경향이 있습니다.
;
.

이후 및 , 다음

. :
.
기능 증가:



.

그 다음에

(3)을 다음과 같이 바꾸자:

여러 변수에서 복잡한 함수 파생

위의 결론은 복소함수의 변수 개수가 2개 이상인 경우로 쉽게 일반화될 수 있다. 예를 들어 f가세 가지 변수의 함수
,
이제 복잡한 함수가 여러 변수에 의존하게 하십시오. 먼저 살펴 보겠습니다.
, 저것
, 변수 x의 일부 값에 대해 미분 가능한 함수가 있습니다.
- 점 , , 에서 세 변수의 미분 함수.
(4)
.
그런 다음 함수의 미분 가능성 정의로부터 다음을 얻습니다.
; ; ,
왜냐하면 연속성으로 인해
;
;
.

저것
.

(4)를 극한으로 나누고 전달하면 다음을 얻습니다. 그리고 마지막으로 생각해 봅시다..
가장 일반적인 경우
,
이제 복잡한 함수가 여러 변수에 의존하게 하십시오. 먼저 살펴 보겠습니다.
변수 x의 함수를 다음 형식의 n 변수의 복소 함수로 표현하겠습니다.
변수 x의 일부 값에 대해 미분 가능한 함수가 있습니다.
, , ... , .
다음 기능을 고려하십시오.
.

- 한 점에서 n개 변수의 미분 함수