이는 표현식을 단순화하는 가장 기본적인 방법 중 하나입니다. 이 방법을 적용하려면 덧셈에 대한 곱셈의 분배 법칙을 기억해 두세요. (이 단어를 두려워하지 마세요. 여러분은 이 법칙을 확실히 알고 있지만 그 이름을 잊어버렸을 수도 있습니다.)
법칙에 따르면 두 숫자의 합에 세 번째 숫자를 곱하려면 각 항에 이 숫자를 곱하고 결과 결과를 더해야 합니다. 즉, .
반대 연산도 수행할 수 있는데, 우리가 관심을 갖는 것은 바로 이 역 연산입니다. 샘플에서 볼 수 있듯이 공통인자 a는 괄호에서 빼낼 수 있습니다.
예를 들어 및 와 같은 변수와 숫자를 사용하여 유사한 작업을 수행할 수 있습니다.
예, 이것은 숫자 분해에 대한 이전 예제와 마찬가지로 매우 기본적인 예제입니다. 숫자는 다음과 같이 나눌 수 있다는 것을 모두가 알고 있기 때문입니다. 그러나 더 복잡한 표현식이 있으면 어떻게 될까요?
예를 들어 숫자가 무엇으로 나누어지는지 어떻게 알 수 있나요? 아니요. 계산기를 사용하면 누구나 할 수 있지만 계산기가 없으면 어렵나요? 그리고 이것에는 나눗셈의 징후가 있습니다. 이러한 징후는 실제로 알 가치가 있으며, 공통 인수를 괄호에서 꺼낼 수 있는지 여부를 빠르게 이해하는 데 도움이 될 것입니다.
분열의 징후
그것들을 기억하는 것은 그다지 어렵지 않습니다. 대부분은 이미 여러분에게 친숙할 것이며, 일부는 새로운 유용한 발견이 될 것입니다. 자세한 내용은 표에 나와 있습니다.
참고: 표에는 4의 나눗셈 테스트가 누락되어 있습니다. 마지막 두 자리가 4로 나누어지면 전체 숫자는 4로 나누어집니다.
음, 간판은 어때요? 기억해두시길 권합니다!
글쎄, 표현으로 돌아가 보겠습니다. 아마도 그는 괄호에서 그것을 꺼낼 수 있고 그것으로 충분할까요? 아니요, 수학자들은 단순화하는 경향이 있습니다. 견뎌낸 모든 것을 견뎌내십시오!
따라서 게임에서는 모든 것이 명확하지만 표현의 숫자 부분은 어떻습니까? 두 숫자 모두 홀수이므로 나눌 수 없습니다.
가분성 테스트를 사용할 수 있습니다. 숫자를 구성하는 숫자의 합이 같고, 다음으로 나누어진다는 것은 다음으로 나누어진다는 뜻입니다.
이것을 알면 안전하게 열로 나눌 수 있으며, 나누기의 결과로 우리는 얻습니다 (가분성 기호가 유용합니다!). 따라서 y와 마찬가지로 대괄호에서 숫자를 꺼낼 수 있으며 결과적으로 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
모든 것이 올바르게 확장되었는지 확인하려면 곱셈을 통해 확장을 확인할 수 있습니다!
또한 일반 승수는 다음과 같이 수행될 수 있습니다. 힘의 표현. 예를 들어, 여기에 공통 승수가 보이나요?
이 표현식의 모든 멤버에는 xes가 있습니다. xes를 제거하고 모두 다음으로 나눕니다. 다시 꺼내서 무슨 일이 일어났는지 살펴보세요.
2. 약식 곱셈 공식
축약된 곱셈 공식은 이미 이론적으로 언급되어 있습니다. 그것이 무엇인지 기억하는 데 어려움이 있다면 기억을 새로 고쳐야 합니다.
글쎄, 당신이 자신이 매우 똑똑하다고 생각하고 그러한 정보 구름을 읽기에는 너무 게으르다면 계속 읽고 공식을 살펴보고 즉시 예를 들어보십시오.
이 분해의 본질은 눈앞의 표현에서 특정 공식을 알아차리고 적용하여 무언가의 산물을 얻는 것, 그것이 분해의 전부입니다. 다음은 공식입니다:
이제 위 공식을 사용하여 다음 표현식을 인수분해해 보세요.
일어난 일은 다음과 같습니다.
아시다시피, 이 공식은 매우 효과적인 인수분해 방법입니다. 항상 적합한 것은 아니지만 매우 유용할 수 있습니다.
3. 그룹화 또는 그룹화 방법
다음은 또 다른 예입니다.
그럼 그걸로 무엇을 할 건가요? 뭔가는 안과 속으로, 또 뭔가는 안과 속으로 나뉘는 것 같아요
하지만 모든 것을 하나로 나눌 수는 없습니다. 여기에는 공통인자가 없습니다, 어떻게 보더라도 요인을 고려하지 않고 무엇을 그대로 두어야합니까?
여기서는 독창성을 보여야 하며 이 독창성의 이름은 그룹화입니다!
모든 구성원이 공약수를 갖지 않는 경우에 정확하게 사용됩니다. 그룹화하려면 다음이 필요합니다. 공통 인수를 갖는 용어 그룹 찾기그리고 각 그룹에서 동일한 요인을 얻을 수 있도록 재배열합니다.
물론 재정렬할 필요는 없지만 명확성을 제공하기 위해 표현의 개별 부분을 원하는 만큼 넣는 것이 금지되지 않습니다. 표지판.
이 모든 것이 명확하지 않습니까? 예를 들어 설명하겠습니다.
다항식에서 - 우리는 용어를 넣습니다 - 용어 뒤에 - 우리는 얻습니다
처음 두 항을 별도의 괄호로 그룹화하고 세 번째와 네 번째 항도 그룹화하여 괄호에서 빼기 기호를 제거하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
이제 우리는 괄호로 표현을 나눈 두 개의 "더미"를 각각 별도로 살펴 봅니다.
요령은 가장 큰 요소를 꺼낼 수 있는 더미로 나누거나, 이 예에서와 같이 용어를 그룹화하여 괄호 안의 더미에서 요소를 제거한 후에도 여전히 동일한 표현을 갖도록 하는 것입니다. 괄호 안에.
두 괄호 모두에서 첫 번째 괄호에서 용어의 공통 인수를 꺼내고 두 번째 괄호에서 다음을 얻습니다.
그러나 이것은 분해가 아닙니다!
피당나귀분해는 곱셈으로만 남아 있어야 합니다., 그러나 지금은 다항식을 단순히 두 부분으로 나눕니다...
하지만! 이 다항식에는 공통인자가 있습니다. 이것
브래킷을 넘어 우리는 최종 제품을 얻습니다
빙고! 보시다시피 여기에는 이미 제품이 있고 괄호 외부에는 더하기나 빼기가 없으며 분해가 완료됩니다. 괄호에서 더 이상 꺼낼 것이 없습니다.
괄호에서 인수를 제거한 후 괄호 안에 동일한 표현식이 남아 있고 이를 다시 괄호에서 꺼내는 것은 기적처럼 보일 수 있습니다.
그리고 이것은 전혀 기적이 아닙니다. 사실 교과서와 통합 국가 시험의 예는 단순화 또는 작업에서 대부분의 표현이 있도록 특별히 만들어졌습니다. 채권 차압 통고올바른 접근 방식을 사용하면 버튼을 누를 때 쉽게 단순화되고 우산처럼 급격하게 접히므로 모든 표현에서 바로 그 버튼을 찾으십시오.
주의가 산만해졌습니다. 단순화로 무엇을 하고 있나요? 복잡한 다항식은 더 간단한 형태를 취했습니다.
동의하세요. 예전만큼 부피가 크지는 않나요?
4. 완전한 사각형을 선택합니다.
때로는 축약된 곱셈 공식을 적용하려면(주제 반복) 기존 다항식을 변환하여 해당 항 중 하나를 두 항의 합 또는 차이로 표시해야 합니다.
어떤 경우에 이 작업을 수행해야 하는지는 예제를 통해 배울 수 있습니다.
이 형식의 다항식은 축약된 곱셈 공식을 사용하여 전개할 수 없으므로 변환해야 합니다. 아마도 처음에는 어떤 용어를 어떤 용어로 나누어야 하는지 명확하지 않을 것입니다. 그러나 시간이 지남에 따라 축약된 곱셈의 공식이 완전히 존재하지 않더라도 즉시 확인하는 방법을 배우고 여기에 누락된 것이 무엇인지 빠르게 확인할 수 있습니다. ~ 전에 전체 수식, 그 동안 공부, 학생 또는 오히려 남학생.
제곱 차이에 대한 완전한 공식을 보려면 여기가 대신 필요합니다. 세 번째 항을 차이로 상상해 보겠습니다. 괄호 안의 표현에 차이의 제곱 공식을 적용할 수 있습니다. (제곱의 차이와 혼동하지 마세요!!!), 우리는 다음을 가지고 있습니다: , 이 표현식에 우리는 제곱의 차이 공식을 적용할 수 있습니다 (차이의 제곱과 혼동하지 마세요!!!), 우리가 얻는 방법을 상상해 보면: .
인수분해된 표현식은 확장 전보다 항상 더 간단하고 작아 보이지는 않지만, 이 형식에서는 기호 변경 및 기타 수학적 넌센스에 대해 걱정할 필요가 없다는 점에서 더 유연해집니다. 음, 여기 당신을 위한 것입니다 독립적인 결정, 다음 표현식을 인수분해해야 합니다.
예:
답변:
5. 이차 삼항식 인수분해
2차 삼항식을 인수로 분해하려면 분해의 추가 예를 참조하세요.
다항식을 인수분해하는 5가지 방법의 예
1. 괄호에서 공통인수를 빼냅니다. 예.
분배법칙이 무엇인지 기억하시나요? 규칙은 다음과 같습니다.
예:
다항식을 인수분해합니다.
해결책:
또 다른 예:
그것을 고려해보세요.
해결책:
전체 용어를 괄호에서 빼면 대신 괄호 안에 단위가 남습니다!
2. 약식 곱셈 공식. 예.
우리가 가장 자주 사용하는 공식은 제곱의 차이, 세제곱의 차이, 세제곱의 합입니다. 이 공식을 기억하시나요? 그렇지 않다면 긴급하게 주제를 반복하십시오!
예:
표현식을 인수분해합니다.
해결책:
이 표현에서 큐브의 차이점을 쉽게 찾을 수 있습니다.
예:
해결책:
3. 그룹화 방법. 예
때로는 인접한 항의 각 쌍에서 동일한 요인이 추출될 수 있도록 항을 바꿀 수도 있습니다. 이 공통인수를 브래킷에서 꺼내면 원래 다항식은 곱으로 바뀔 것입니다.
예:
다항식을 인수분해합니다.
해결책:
다음과 같이 용어를 그룹화해 보겠습니다.
.
첫 번째 그룹에서는 괄호에서 공통 인수를 꺼내고 두 번째 그룹에서는 - :
.
이제 공통 인수를 괄호에서 꺼낼 수도 있습니다.
.
4. 완전한 정사각형을 선택하는 방법. 예.
다항식이 두 식의 제곱의 차이로 표현될 수 있다면, 남은 것은 축약된 곱셈 공식(제곱의 차이)을 적용하는 것뿐입니다.
예:
다항식을 인수분해합니다.
해결책:예:
\begin(배열)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\underbrace(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(square\ sum\ ((\left (x+3 \right))^(2)))-9-7=((\left(x+3 \right))^(2))-16= \\
=\왼쪽(x+3+4 \오른쪽)\왼쪽(x+3-4 \오른쪽)=\왼쪽(x+7 \오른쪽)\왼쪽(x-1 \오른쪽) \\
\end(배열)
다항식을 인수분해합니다.
해결책:
\begin(배열)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(제곱\ 차이((\left(((x)^(2))-2 \right))^(2)))-4-1=((\left(((x)^ (2))-2 \오른쪽))^(2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\end(배열)
5. 이차 삼항식을 인수분해합니다. 예.
정사각형 삼항식은 다음과 같은 형식의 다항식입니다. 여기서 - 미지수, - 일부 숫자, 그리고.
이차 삼항식을 사라지게 만드는 변수의 값을 삼항식의 근이라고 합니다. 따라서 삼항식의 근은 근입니다. 이차 방정식.
정리.
예:
이차 삼항식을 인수분해해 보겠습니다.
먼저 이차 방정식을 풀어보겠습니다. 이제 이 이차 삼항식의 인수분해를 작성할 수 있습니다.
이제 당신의 의견은...
우리는 다항식을 인수분해하는 방법과 이유를 자세히 설명했습니다.
우리는 이를 실제로 수행하는 방법에 대한 많은 예를 제시하고, 함정을 지적하고, 해결책을 제시했습니다.
당신은 무엇을 말합니까?
이 기사에 대해 어떻게 생각하시나요? 이러한 기술을 사용합니까? 그들의 본질을 이해합니까?
댓글을 작성하고... 시험을 준비하세요!
지금까지 그는 당신의 인생에서 가장 중요합니다.
이번 단원에서는 이차 삼항식을 선형 인수로 인수분해하는 방법을 배웁니다. 이를 위해서는 비에타의 정리와 그 역을 기억해야 합니다. 이 기술은 이차 삼항식을 선형 인수로 빠르고 편리하게 확장하는 데 도움이 되며 표현식으로 구성된 분수의 축소도 단순화합니다.
그럼 이차방정식으로 돌아가 봅시다.
우리가 왼쪽에 있는 것은 이차 삼항식(quadratic trinomial)이라고 불립니다.
정리는 사실입니다:만약 - 뿌리 이차 삼항식, 그렇다면 신원은 참입니다
주요 계수는 방정식의 근입니다.
따라서 우리는 이차 방정식, 즉 이차 삼항식을 가지고 있습니다. 여기서 이차 방정식의 근은 이차 삼항식의 근이라고도 합니다. 그러므로, 만약 우리가 제곱 삼항식의 근을 가지고 있다면, 이 삼항식은 선형 인수로 분해될 수 있습니다.
증거:
증거 이 사실이전 수업에서 논의한 Vieta의 정리를 사용하여 수행됩니다.
Vieta의 정리가 우리에게 말하는 것을 기억해 봅시다:
만약 가 에 대한 이차 삼항식의 근이라면 , 그러면 .
다음 진술은 이 정리에서 나옵니다.
Vieta의 정리에 따라, 즉 이 값을 위의 공식에 대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
Q.E.D.
가 제곱 삼항식의 근이면 확장이 유효하다는 정리를 증명했다는 것을 기억하십시오.
이제 Vieta의 정리를 사용하여 근을 선택한 이차 방정식의 예를 기억해 봅시다. 이 사실로부터 입증된 정리 덕분에 다음과 같은 등식을 얻을 수 있습니다.
이제 대괄호를 열어서 이 사실의 정확성을 확인해 보겠습니다.
우리는 올바르게 인수분해했으며, 근이 있는 경우 모든 삼항식은 이 정리에 따라 공식에 따라 선형 인수로 인수분해될 수 있음을 알 수 있습니다.
그러나 어떤 방정식에 대해서도 그러한 인수분해가 가능한지 확인해 보겠습니다.
예를 들어 방정식을 생각해보십시오. 먼저 판별 기호를 확인해 보겠습니다.
그리고 우리가 배운 정리를 만족시키기 위해서는 D가 0보다 커야 하므로 이 경우 우리가 배운 정리에 따른 인수분해는 불가능하다는 것을 기억합니다.
따라서 우리는 새로운 정리를 공식화합니다. 제곱 삼항식에 근이 없으면 선형 인수로 분해될 수 없습니다.
그래서 우리는 2차 삼항식을 선형 인수로 분해할 수 있는 가능성인 비에타의 정리를 살펴보았는데 이제 몇 가지 문제를 해결해 보겠습니다.
작업 번호 1
이 그룹에서 우리는 제기된 문제와 반대되는 문제를 실제로 해결할 것입니다. 우리는 방정식을 가지고 있었고 그것을 인수분해하여 그 뿌리를 찾았습니다. 여기서는 그 반대를 하겠습니다. 이차방정식의 근이 있다고 가정해 봅시다.
반대 문제는 이것입니다: 근을 사용하여 이차 방정식을 작성합니다.
이 문제를 해결하는 방법에는 두 가지가 있습니다.
는 방정식의 근이므로, 
는 근에 숫자가 주어진 이차 방정식입니다. 이제 괄호를 열고 확인해 보겠습니다.
이것은 모든 이차 방정식이 최대 2개의 근을 가지므로 다른 근이 없는 주어진 근을 가진 이차 방정식을 만든 첫 번째 방법이었습니다.
이 방법은 역비에타 정리(Inverse Vieta theorem)를 사용합니다.
가 방정식의 근이라면 그들은 이라는 조건을 만족합니다.
축소된 이차 방정식의 경우 
, 즉, 이 경우에는 및 .
따라서 우리는 주어진 근을 갖는 이차방정식을 만들었습니다.
작업 번호 2
분수를 줄이는 것이 필요합니다.
분자에 삼항식이 있고 분모에 삼항식이 있으며, 삼항식은 인수분해될 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다. 분자와 분모를 모두 인수분해하면 그 중에서 감소할 수 있는 동일한 인수가 있을 수 있습니다.
우선, 분자를 인수분해해야 합니다.
먼저, 이 방정식이 인수분해 가능한지 확인해야 합니다. 판별식을 찾아봅시다. 이므로 부호는 곱에 따라 달라집니다(0보다 작아야 함). 이 예에서는 주어진 방정식에 근이 있습니다.
이를 해결하기 위해 Vieta의 정리를 사용합니다.
이 경우 뿌리를 다루고 있기 때문에 단순히 뿌리를 선택하는 것은 꽤 어려울 것입니다. 그러나 우리는 계수가 균형을 이룬다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 이 값을 방정식에 대체하면 다음을 얻습니다. 다음 시스템: , 즉 5-5=0입니다. 따라서 우리는 이 이차 방정식의 근 중 하나를 선택했습니다.
우리는 방정식 시스템에 이미 알려진 것을 대입하여 두 번째 근을 찾을 것입니다. .
따라서 우리는 이차 방정식의 두 근을 모두 찾았으며 그 값을 원래 방정식에 대입하여 인수분해할 수 있습니다.
원래 문제를 기억해 봅시다. 분수를 줄여야 했습니다.
를 대체하여 문제를 해결해 보겠습니다.
이 경우 분모는 0과 같을 수 없다는 점을 잊지 말아야 합니다.
이러한 조건이 충족되면 원래 분수를 형식으로 줄였습니다.
문제 3번(매개변수가 있는 작업)
이차 방정식의 근의 합은 매개변수의 어떤 값에 있습니까?
만약 뿌리가 주어진 방정식존재한다면 
, 질문: 언제.
정사각형 삼항식은 ax^2 + bx + c 형식의 다항식입니다. 여기서 x는 변수이고, a, b 및 c는 숫자이고 a ≠ 0입니다.
삼항식을 인수분해하려면 해당 삼항식의 근을 알아야 합니다. (삼항식 5x^2 + 3x- 2에 대한 추가 예)
참고: 2차 삼항식 5x^2 + 3x - 2의 값은 x 값에 따라 달라집니다. 예: x = 0이면 5x^2 + 3x - 2 = -2
x = 2이면 5x^2 + 3x - 2 = 24
x = -1이면 5x^2 + 3x - 2 = 0
x = -1에서 제곱 삼항식 5x^2 + 3x - 2는 사라지며, 이 경우 숫자 -1을 호출합니다. 제곱 삼항식의 근.
방정식의 근을 구하는 방법
이 방정식의 근을 어떻게 구했는지 설명하겠습니다. 먼저, 우리가 작업할 정리와 공식을 명확하게 알아야 합니다.
"만약 x1과 x2가 2차 삼항식 ax^2 + bx + c의 근이라면, ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)입니다."
X = (-b±√(b^2-4ac))/2a \
다항식의 근을 구하는 이 공식은 가장 원시적인 공식이며, 이를 사용하면 결코 혼동되지 않을 것입니다.
표현식은 5x^2 + 3x – 2입니다.
1. 0과 동일: 5x^2 + 3x – 2 = 0
2. 이차 방정식의 근을 찾아 이를 위해 값을 공식에 대체합니다(a는 X^2의 계수, b는 X의 계수, 자유 항, 즉 X가 없는 그림입니다) ):
제곱근 앞에 더하기 기호가 있는 첫 번째 근을 찾습니다.
Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0.4
제곱근 앞에 빼기 기호가 있는 두 번째 근:
X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1
그래서 우리는 이차 삼항식의 근을 찾았습니다. 올바른지 확인하려면 다음을 확인하세요. 먼저 첫 번째 근을 방정식에 대입한 다음 두 번째 근을 방정식에 대입합니다.
1) 5x^2 + 3x – 2 = 0
5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0
5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0
2) 5x^2 + 3x – 2 = 0
5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0
5 * 1 + (-3) – 2 = 0
5 – 3 – 2 = 0
모든 근을 대입한 후 방정식이 0이 되면 방정식이 올바르게 풀린 것입니다.
3. 이제 정리의 공식을 사용해 보겠습니다: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2). X1과 X2가 이차 방정식의 근이라는 것을 기억하세요. 따라서: 5x^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0.4) * (x- (-1))
5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0.4)(x + 1)
4. 분해가 올바른지 확인하려면 대괄호를 곱하면 됩니다.
5(x - 0.4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0.4x - 0.4) = 5(x^2 + 0.6x – 0.4) = 5x^2 + 3 – 2. 이는 정확성을 확인합니다. 결정의.
제곱 삼항식의 근을 찾는 두 번째 옵션
제곱 삼항식의 근을 찾는 또 다른 옵션은 비에트 정리의 역정리입니다. 여기서 이차 방정식의 근은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다. x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. 하지만 이 정리는 계수 a = 1, 즉 x^2 = 1 앞의 숫자인 경우에만 사용할 수 있다는 점을 이해하는 것이 중요합니다.
예: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.
우리는 x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2를 해결합니다.
이제 제품의 어떤 숫자가 하나를 제공하는지 생각하는 것이 중요합니다. 당연히 이 1 * 1 그리고 -1 * (-1) . 이 숫자 중에서 우리는 x1 + x2 = 2라는 표현식에 해당하는 숫자를 선택합니다. 물론 이것은 1 + 1입니다. 따라서 방정식의 근본을 찾았습니다: x1 = 1, x2 = 1. 이것은 우리가 확인하기 쉽습니다. x^2를 - 2x + 1 = 0이라는 표현으로 대체하세요.
제품을 얻기 위해 다항식을 확장하는 것은 때때로 혼란스러워 보일 수 있습니다. 하지만 그 과정을 단계별로 이해한다면 그리 어렵지는 않습니다. 이 기사에서는 이차 삼항식을 인수분해하는 방법을 자세히 설명합니다.
많은 사람들은 제곱 삼항식을 인수분해하는 방법과 이것이 수행되는 이유를 이해하지 못합니다. 처음에는 쓸데없는 운동처럼 보일 수도 있습니다. 그러나 수학에서는 아무 것도 이루어지지 않습니다. 표현을 단순화하고 계산을 쉽게 하기 위해서는 변환이 필요합니다.
형식의 다항식 – ax²+bx+c, 이차삼항식이라고 부른다."a"라는 용어는 음수 또는 양수여야 합니다. 실제로 이 식을 이차방정식이라고 합니다. 따라서 때때로 그들은 이차 방정식을 확장하는 방법을 다르게 말합니다.
흥미로운!다항식은 가장 큰 차수인 정사각형 때문에 정사각형이라고 불립니다. 그리고 삼항식은 3개의 구성 요소로 인해 발생합니다.
다른 유형의 다항식:
- 선형 이항식(6x+8);
- 3차 4항식(x³+4x²-2x+9).
이차 삼항식 인수분해하기
먼저 표현식이 0과 같으면 근 x1과 x2의 값을 찾아야 합니다. 뿌리가 없을 수도 있고, 하나 또는 두 개의 뿌리가 있을 수도 있습니다. 근의 존재는 판별식에 의해 결정됩니다. D=b²-4ac라는 공식을 암기해야 합니다.
결과 D가 음수이면 근이 없습니다. 양성이면 뿌리가 2개 있는 것입니다. 결과가 0이면 루트는 1입니다. 근은 공식을 사용하여 계산됩니다.
판별식을 계산할 때 결과가 0이면 모든 공식을 사용할 수 있습니다. 실제로 공식은 -b / 2a로 축약됩니다.
다양한 판별 값에 대한 공식이 다릅니다.
D가 양수인 경우:
D가 0인 경우:
온라인 계산기
인터넷에는 온라인 계산기. 인수분해를 수행하는 데 사용할 수 있습니다. 일부 리소스에서는 솔루션을 단계별로 볼 수 있는 기회를 제공합니다. 이러한 서비스는 주제를 더 잘 이해하는 데 도움이 되지만, 주제를 잘 이해하려고 노력해야 합니다.
유용한 비디오: 이차 삼항식 인수분해하기
예
우리는 당신을 초대합니다 간단한 예, 이차 방정식을 인수분해하는 방법.
실시예 1
이는 D가 양수이기 때문에 결과가 두 개의 x라는 것을 분명히 보여줍니다. 이를 공식으로 대체해야 합니다. 근이 음수로 판명되면 공식의 부호가 반대로 변경됩니다.
우리는 이차 삼항식을 인수분해하는 공식인 a(x-x1)(x-x2)를 알고 있습니다. 값을 괄호 안에 넣습니다: (x+3)(x+2/3). 거듭제곱의 용어 앞에는 숫자가 없습니다. 이것은 거기에 하나가 있다는 것을 의미합니다.
실시예 2
이 예는 근이 하나인 방정식을 푸는 방법을 명확하게 보여줍니다.
결과 값을 다음과 같이 대체합니다.
실시예 3
주어진 값: 5x²+3x+7
먼저 이전 사례와 마찬가지로 판별식을 계산해 보겠습니다.
D=9-4*5*7=9-140= -131.
판별식은 음수이므로 뿌리가 없음을 의미합니다.
결과를 받은 후 괄호를 열어 결과를 확인해야 합니다. 원래의 삼항식이 나타나야 합니다.
대체 솔루션
어떤 사람들은 차별자와 결코 친구가 될 수 없었습니다. 이차 삼항식을 인수분해하는 또 다른 방법이 있습니다. 편의상 방법을 예로 들어 설명합니다.
주어진 값: x²+3x-10
우리는 괄호 2개((_)(_)를 얻어야 한다는 것을 알고 있습니다. 표현식이 다음과 같을 때: x²+bx+c, 각 괄호의 시작 부분에 x: (x_)(x_)를 넣습니다. 나머지 두 숫자는 "c"를 제공하는 곱입니다. 즉, 이 경우 -10입니다. 이것이 어떤 숫자인지 알아내는 유일한 방법은 선택을 통해서입니다. 대체된 숫자는 나머지 용어와 일치해야 합니다.
예를 들어, 다음 숫자를 곱하면 -10이 됩니다.
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. 아니요.
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. 아니요.
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. 아니요.
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. 적합합니다.
이는 x2+3x-10 표현식의 변환이 (x-2)(x+5)와 같다는 것을 의미합니다.
중요한!표시를 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
복잡한 삼항식의 확장
"a"가 1보다 크면 어려움이 시작됩니다. 그러나 모든 것이 보이는 것만 큼 어렵지는 않습니다.
인수분해하려면 먼저 인수분해할 수 있는 것이 있는지 확인해야 합니다.
예를 들어, 3x²+9x-30이라는 표현식이 있습니다. 여기서 숫자 3은 괄호에서 제외됩니다.
3(x²+3x-10). 결과는 이미 잘 알려진 삼항식입니다. 답은 다음과 같습니다: 3(x-2)(x+5)
정사각형 안의 항이 음수인 경우 어떻게 분해하나요? 이 경우 괄호에서 숫자 -1이 제거됩니다. 예: -x²-10x-8. 그러면 표현식은 다음과 같습니다.
이 계획은 이전 계획과 거의 다릅니다. 몇 가지 새로운 것이 있습니다. 2x²+7x+3이라는 표현이 주어진다고 가정해 보겠습니다. 답은 (_)(_) 안에 채워야 하는 괄호 2개 안에도 적혀 있습니다. 두 번째 괄호에는 x가 기록되고 첫 번째 괄호에는 남은 내용이 기록됩니다. (2x_)(x_)와 같습니다. 그렇지 않으면 이전 구성표가 반복됩니다.
숫자 3은 숫자로 지정됩니다.
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
우리는 이 숫자를 대입하여 방정식을 푼다. 마지막 옵션이 적합합니다. 이는 2x²+7x+3 표현식의 변환이 (2x+1)(x+3)과 같다는 것을 의미합니다.
기타 사례
표현식을 변환하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 두 번째 방법을 사용하면 방정식을 풀 필요가 없습니다. 그러나 용어를 제품으로 변환할 가능성은 판별식을 통해서만 확인됩니다.
공식을 사용할 때 어려움이 없도록 이차 방정식을 푸는 연습을 하는 것이 좋습니다.
유용한 비디오: 삼항식 인수분해하기
결론
어떤 방식으로든 사용할 수 있습니다. 하지만 자동으로 될 때까지 두 가지를 모두 연습하는 것이 좋습니다. 또한, 자신의 삶을 수학과 연결시키려는 사람들에게는 이차 방정식을 잘 풀고 다항식을 인수분해하는 방법을 배우는 것이 필요합니다. 다음의 모든 수학적 주제는 이에 기초하여 만들어졌습니다.
이번 단원에서는 이차 삼항식을 선형 인수로 인수분해하는 방법을 배웁니다. 이를 위해서는 비에타의 정리와 그 역을 기억해야 합니다. 이 기술은 이차 삼항식을 선형 인수로 빠르고 편리하게 확장하는 데 도움이 되며 표현식으로 구성된 분수의 축소도 단순화합니다.
그럼 이차방정식으로 돌아가 봅시다.
우리가 왼쪽에 있는 것은 이차 삼항식(quadratic trinomial)이라고 불립니다.
정리는 사실입니다:가 이차 삼항식의 근이라면, 항등식은 성립합니다
주요 계수는 방정식의 근입니다.
따라서 우리는 이차 방정식, 즉 이차 삼항식을 가지고 있습니다. 여기서 이차 방정식의 근은 이차 삼항식의 근이라고도 합니다. 그러므로, 만약 우리가 제곱 삼항식의 근을 가지고 있다면, 이 삼항식은 선형 인수로 분해될 수 있습니다.
증거:
이 사실의 증명은 이전 수업에서 논의한 Vieta의 정리를 사용하여 수행됩니다.
Vieta의 정리가 우리에게 말하는 것을 기억해 봅시다:
만약 가 에 대한 이차 삼항식의 근이라면 , 그러면 .
다음 진술은 이 정리에서 나옵니다.
Vieta의 정리에 따라, 즉 이 값을 위의 공식에 대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
Q.E.D.
가 제곱 삼항식의 근이면 확장이 유효하다는 정리를 증명했다는 것을 기억하십시오.
이제 Vieta의 정리를 사용하여 근을 선택한 이차 방정식의 예를 기억해 봅시다. 이 사실로부터 입증된 정리 덕분에 다음과 같은 등식을 얻을 수 있습니다.
이제 대괄호를 열어서 이 사실의 정확성을 확인해 보겠습니다.
우리는 올바르게 인수분해했으며, 근이 있는 경우 모든 삼항식은 이 정리에 따라 공식에 따라 선형 인수로 인수분해될 수 있음을 알 수 있습니다.
그러나 어떤 방정식에 대해서도 그러한 인수분해가 가능한지 확인해 보겠습니다.
예를 들어 방정식을 생각해보십시오. 먼저 판별 기호를 확인해 보겠습니다.
그리고 우리가 배운 정리를 만족시키기 위해서는 D가 0보다 커야 하므로 이 경우 우리가 배운 정리에 따른 인수분해는 불가능하다는 것을 기억합니다.
따라서 우리는 새로운 정리를 공식화합니다. 제곱 삼항식에 근이 없으면 선형 인수로 분해될 수 없습니다.
그래서 우리는 2차 삼항식을 선형 인수로 분해할 수 있는 가능성인 비에타의 정리를 살펴보았는데 이제 몇 가지 문제를 해결해 보겠습니다.
작업 번호 1
이 그룹에서 우리는 제기된 문제와 반대되는 문제를 실제로 해결할 것입니다. 우리는 방정식을 가지고 있었고 그것을 인수분해하여 그 뿌리를 찾았습니다. 여기서는 그 반대를 하겠습니다. 이차방정식의 근이 있다고 가정해 봅시다.
반대 문제는 이것입니다: 근을 사용하여 이차 방정식을 작성합니다.
이 문제를 해결하는 방법에는 두 가지가 있습니다.
는 방정식의 근이므로, 는 근에 숫자가 주어진 이차 방정식입니다. 이제 괄호를 열고 확인해 보겠습니다.
이것은 모든 이차 방정식이 최대 2개의 근을 가지므로 다른 근이 없는 주어진 근을 가진 이차 방정식을 만든 첫 번째 방법이었습니다.
이 방법은 역비에타 정리(Inverse Vieta theorem)를 사용합니다.
가 방정식의 근이라면 그들은 이라는 조건을 만족합니다.
축소된 이차 방정식의 경우 , 즉, 이 경우에는 및 .
따라서 우리는 주어진 근을 갖는 이차방정식을 만들었습니다.
작업 번호 2
분수를 줄이는 것이 필요합니다.
분자에 삼항식이 있고 분모에 삼항식이 있으며, 삼항식은 인수분해될 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다. 분자와 분모를 모두 인수분해하면 그 중에서 감소할 수 있는 동일한 인수가 있을 수 있습니다.
우선, 분자를 인수분해해야 합니다.
먼저, 이 방정식이 인수분해 가능한지 확인해야 합니다. 판별식을 찾아봅시다. 이므로 부호는 곱에 따라 달라집니다(0보다 작아야 함). 이 예에서는 주어진 방정식에 근이 있습니다.
이를 해결하기 위해 Vieta의 정리를 사용합니다.
이 경우 뿌리를 다루고 있기 때문에 단순히 뿌리를 선택하는 것은 꽤 어려울 것입니다. 그러나 우리는 계수가 균형을 이룬다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 이라고 가정하고 이 값을 방정식에 대체하면 다음 시스템을 얻습니다. , 즉 5-5=0. 따라서 우리는 이 이차 방정식의 근 중 하나를 선택했습니다.
우리는 방정식 시스템에 이미 알려진 것을 대입하여 두 번째 근을 찾을 것입니다. .
따라서 우리는 이차 방정식의 두 근을 모두 찾았으며 그 값을 원래 방정식에 대입하여 인수분해할 수 있습니다.
원래 문제를 기억해 봅시다. 분수를 줄여야 했습니다.
를 대체하여 문제를 해결해 보겠습니다.
이 경우 분모는 0과 같을 수 없다는 점을 잊지 말아야 합니다.
이러한 조건이 충족되면 원래 분수를 형식으로 줄였습니다.
문제 3번(매개변수가 있는 작업)
이차 방정식의 근의 합은 매개변수의 어떤 값에 있습니까?
이 방정식의 근이 존재한다면, , 질문: 언제.
