여기서 전면에 떠오르는 것은 정확히 우리가 지금까지 대부분 제쳐두었던 것, 즉 동일한 카디널리티의 집합에 존재하는 순서 관계가 이러한 집합을 어떻게 구별하는지에 대한 질문입니다. 결국, 우리가 지금까지 가정했던 가장 일반적인 형태의 일대일 매핑은 이러한 모든 관계를 위반했습니다. 사각형을 세그먼트에 매핑하는 것을 기억하세요! 나는 특히 집합론의 두 번째 부분의 중요성을 강조하고 싶습니다. 결국 이 가르침은 새롭고 보다 일반적인 개념의 도입을 통해 수학에서 오랫동안 사용되어 온 차이점을 제거하는 것을 목표로 할 수 없습니다. 오히려 이 가르침은 일반적인 개념의 도움을 받아 이러한 차이점을 가장 깊은 본질에서 인식하는 데 도움이 될 수 있고 또 그래야 합니다.
셀 수 있는 집합의 서수 유형입니다.
이제 우리의 목적은 잘 알려진 예를 통해 집합의 요소가 특정 순서로 배열될 수 있는 다양한 개념을 설명하는 것입니다. 셀 수 있는 집합으로 시작한다면, 우리는 그러한 집합의 요소 배열에 대한 완전히 다른 세 가지 예를 이미 알고 있습니다. 서로 너무 다르기 때문에 우리가 본 것처럼 카디널리티의 평등이 특별하고 어떤 경우에도 자명하지 않은 것으로 구성됩니다. 정리; 이는 다음 세트입니다:
1) 자연수의 집합;
2) 모든 (음수 및 양수) 정수의 집합;
3) 모든 유리수 집합과 모든 대수 집합.
이 세 집합의 요소 배열은 하나의 공통 속성을 가지며, 이로 인해 집합의 선형 순서라고 합니다. 이 속성은 다음과 같습니다. 두 요소 중 하나가 항상 다른 요소보다 앞에 옵니다. 즉, 대수적으로 표현하면 어떤 요소가 더 작고 더 큰지 항상 알 수 있으며, 더 나아가 세 요소 a, b, c 중 요소 a가 요소 b보다 앞에 있고 요소 b가 요소 c보다 앞에 있으면 a가 항상 요소 c보다 앞에 옵니다(만약 이면
그러나 반면에 고려된 예에는 다음과 같은 특징적인 차이가 있습니다. 첫 번째 세트에는 다른 모든 요소보다 앞에 있는 첫 번째 요소(0)가 있지만 다른 모든 요소 뒤에 오는 마지막 요소는 없습니다. 두 번째 세트에는 첫 번째 요소도 마지막 요소도 없습니다. 하지만 이 두 세트 모두 공통점이 있습니다. 즉, 모든 요소 바로 뒤에는 가장 가까운 특정 요소가 오고, 모든 요소 바로 앞에는 특정 다른 요소가 옵니다.
대조적으로, 세 번째 집합은 위에서 본 것처럼 항상 두 요소 사이에 무한히 많은 다른 요소를 가지고 있습니다. 우리는 집합의 이러한 속성을 "모든 곳의 밀집 집합"이라는 용어로 표시했습니다. 따라서 특히 a와 b 사이에 있는 모든 유리수 또는 대수 중에서 이러한 숫자 자체를 제외하면 가장 작은 것도 가장 큰 것도 없습니다. 숫자. 따라서 이 세 집합의 요소를 배열하는 방식, 즉 순서형은 집합 자체는 동일한 카디널리티를 가지더라도 서로 다릅니다. 우리는 이것과 연결할 수 있습니다 - 그리고 이것은 실제로 집합 이론의 대표자들에 의해 수행됩니다 - 일반적으로 가능한 모든 순서 유형의 셀 수 있는 집합에 대한 질문입니다.
연속체의 연속성. 이제 연속체 전력 세트를 고려해 보겠습니다. 여기서 우리는 선형 순서를 갖는 하나의 집합, 즉 모든 실수의 연속체를 알고 있습니다. 그러나 이와 함께 2차원 및 다차원의 경우 "선형"이라고 부르는 것과 다른 요소 배열을 가진 집합의 예가 있습니다. 따라서 집합의 경우 두 점의 상대적 위치를 결정하려면 하나가 아닌 부등식 유형의 두 관계가 필요합니다.
여기서는 1차원 연속체의 연속성 개념을 분석하는 것이 가장 중요합니다. 이 개념이 실제로 집합에 내재된 순서의 단순한 속성에만 기초하고 있다는 발견은 기본 수학적 개념을 설명하는 데 있어서 집합론의 첫 번째 놀라운 장점입니다. 즉, 연속체 줄기의 모든 속성이 후자가 다음 두 가지 속성을 갖는 선형 순서 집합이라는 사실에서 비롯됩니다.
1. 집합을 A, B의 두 부분으로 나누지만 모든 요소가 이 부분 중 하나에 속하고 A 부분에 포함된 모든 요소가 B 부분의 모든 요소보다 우선하는 방식으로 나누면 다음 중 하나가 됩니다. A에는 마지막 요소가 있고 B에는 첫 번째 요소가 있습니다.
무리수에 대한 데데킨트의 정의를 기억하면 이 속성을 다음과 같이 표현할 수 있습니다. 집합의 모든 "섹션"은 해당 요소 중 하나에 의해 생성됩니다.
2. 집합의 두 요소 사이에는 무한히 많은 다른 요소가 있습니다.
이 두 번째 속성은 연속체뿐만 아니라 모든 유리수의 셀 수 있는 집합도 소유합니다. 첫 번째 속성은 이러한 순서 집합 간의 중요한 차이를 나타냅니다. 이 두 가지 속성을 모두 갖는 선형 순서 집합은 연속성으로 인해 연속체를 유지하는 모든 정리를 증명하는 것이 실제로 가능하기 때문에 집합 이론에서는 연속 집합이라고 합니다.
나는 또한 이러한 연속성의 속성이 소위 "기본" 칸토어 급수를 기반으로 다소 다르게 공식화될 수도 있다는 점을 지적하고 싶습니다. 주 계열은 세트 자체에서 또는 세트의 일부 요소 a가 주 계열의 첫 번째 경우에 다음과 같은 경우 주 계열의 극한 요소라고 불리는 주어진 세트의 요소의 셀 수 있는 시퀀스입니다. 항상 주어진 세트에 있는 임의의 요소보다 큰 요소가 a까지 있지만 요소가 전혀 없습니다. bblpih 두 번째 경우에서 제한 요소 뒤에 위치한 적어도 하나의 요소는 유사하게 결정됩니다. 집합이 그 구성에 포함된 모든 기본 계열이 극한 요소에 해당하는 속성을 갖는 경우, 반대로 집합의 모든 요소가 집합으로부터 격리된 일부 기본 계열의 극한 요소인 경우 해당 집합을 닫힌 집합이라고 합니다. 그런 다음 세트를 밀도라고 합니다. 연속체의 힘을 갖는 집합의 연속성은 본질적으로 이 두 가지 속성의 조합으로 구성됩니다.
그 과정에서 미적분과 적분에 대해 이야기할 때 우리는 또 다른 연속체, 즉 연속체에 대해서도 이야기했다는 점을 여기서 상기시키고 싶습니다.
베로네제(Veronese)는 실제로 무한히 작은 양을 추가하여 일반적인 연속체에서 발생합니다. 이런 방식으로 선형 순서 집합도 얻을 수 있지만, 그럼에도 불구하고 이 연속체는 물론 일반적인 연속체와는 완전히 다른 유형의 배열을 갖습니다. 모든 기본 계열이 극한 요소를 갖는다는 정리는 여기에 더 이상 적용되지 않습니다.
1.1. 집합론의 기본 개념과 정의
이산 수학의 모든 개념은 기본 개념 중 하나이며 독일 수학자 G. Cantor가 처음으로 공식화한 집합 개념을 사용하여 정의할 수 있습니다.
아래에 많은하나의 전체로 생각되는 정의되고 구별 가능한 개체의 모음으로 이해됩니다.
우리는 방의 의자 세트, 보로네시에 사는 사람들, 그룹의 학생, 자연수 세트, 알파벳 문자, 시스템 상태 등에 대해 이야기할 수 있습니다. 동시에 우리는 다음에 대해 이야기할 수 있습니다. 집합의 요소가 서로 구별될 수 있는 경우에만 집합입니다. 예를 들어, 물 한 컵에 많은 방울이 있다고 말할 수는 없습니다. 각 방울을 명확하고 명확하게 표시하는 것이 불가능하기 때문입니다.
집합을 구성하는 개별 개체를 집합의 요소라고 합니다. 따라서 숫자 3은 자연수 집합의 요소이고 문자 b는 러시아 알파벳 문자 집합의 요소입니다.
집합에 대한 일반적인 지정은 집합의 요소가 나열되는 한 쌍의 중괄호( )입니다. 특정 세트를 표시하기 위해 다른 대문자가 사용됩니다. 에이, 에스, 엑스...또는 아래 첨자가 있는 대문자 에이 1 , 에이 2. 일반적으로 집합의 요소를 지정하기 위해 다양한 소문자를 사용합니다. 에이, 에스, 엑스...또는 아래 첨자가 있는 소문자 에이 1 , 에이 2 ...
요소라는 것을 나타내기 위해 에이 에스, 집합의 구성원 기호 О가 사용됩니다. 기록 에이Î 에스요소를 의미한다. 에이세트에 속해요 에스, 그리고 항목 엑스Ï 에스요소를 의미한다. 엑스세트에 속하지 않습니다 에스. 녹음으로 엑스 1 , 엑스 2 ,... ...,xnÎ 에스쓰기의 약어로 사용 엑스 1일 에스, 엑스 2 Î 에스,..., xnÎ 에스.
일반적으로 집합의 모든 요소는 서로 다른 것으로 간주됩니다. 반복되는 요소로 구성된 집합을 다중 집합이라고 합니다. 다중 집합은 조합론에서 중요한 역할을 합니다. 다음에서는 다양한 요소로 구성된 집합을 살펴보겠습니다.
숫자 집합에는 다음 표기법을 사용합니다.
– 자연수의 집합, 즉
– 정수 세트, 즉 = (0, ±1, ±2, …);
– 유리수 집합, =( / \ , О ; ¹ 0);
– 실수 집합;
– 복소수의 집합.
집합은 유한할 수도 있고 무한할 수도 있습니다. 집합의 요소 수가 유한하면, 즉 자연수가 있으면 집합을 유한이라고 합니다. N, 이는 세트의 요소 수입니다. 세트라고 합니다 끝없는, 무한한 수의 요소가 포함된 경우. 유한 집합의 요소 수는 다음과 같습니다. 힘=로 표시됩니다. N, 설정된 경우 엑스포함 N강요.
집합론에서 중요한 개념은 공집합(empty set)의 개념이다. 빈 세트단일 요소를 포함하지 않는 집합입니다. 빈 세트는 기호로 표시됩니다. 예:
{엑스Î 아르 자형 | 엑스 2 -엑스+1=0}=
빈 집합의 개념은 설명을 사용하여 집합을 정의할 때 매우 중요한 역할을 합니다. 따라서 공집합의 개념 없이, 우리는 주어진 그룹에 우수한 구성원이 있는지 또는 이것이 방정식에는 실제 뿌리가 있습니다. 빈 세트를 도입하면 해당 그룹에 우수한 학생들이 있는지 여부에 대해 걱정하지 않고 그룹 내 많은 우수한 학생들과 함께 완벽하게 침착하게 운영할 수 있습니다. 조건부로 빈 집합을 유한 집합으로 분류하겠습니다.
고려 중인 모든 요소를 포함하는 집합을 집합이라고 합니다. 만능인또는 우주지정되어 있으며 유.
특정 세트로 작업하려면 해당 세트를 정의할 수 있어야 합니다. 집합을 정의하는 방법에는 열거와 설명이라는 두 가지 방법이 있습니다. 열거로 집합을 지정하는 것은 집합을 구성하는 모든 요소를 열거하는 것과 같습니다. 따라서 그룹의 우수한 학생 집합은 우수한 학생인 학생을 나열하여 지정할 수 있습니다(예: Ivanov, Petrov, Sidorov). 항목을 단축하려면 엑스={엑스 1 , 엑스 2 , ...,xn) 때로는 많은 지수가 도입되기도 합니다. 나={1, 2,..., N) 그리고 쓰세요 엑스={x 나는}, 나Î 나. 이 방법은 소수의 요소를 포함하는 유한 집합을 고려할 때 편리하지만 때로는 (2, 4, 6, 8...)과 같이 무한 집합을 지정하는 데에도 사용할 수 있습니다. 당연히 그러한 표기법은 줄임표가 의미하는 바가 매우 명확하다면 적용 가능합니다.
집합을 지정하는 기술적인 방법은 집합의 모든 요소가 소유하는 특징적인 속성을 나타내는 것입니다. 이것은 표기법을 사용합니다
엑스={엑스 | 엑스재산을 가지고 있다 큐(엑스)}.
괄호 안의 표현은 다음과 같습니다. 모든 요소의 집합 엑스, 이는 속성을 가지고 있습니다. 큐(엑스). 그렇다면 만약 중- 그룹의 학생 세트, 그 다음 세트 에이이 그룹의 우수한 학생들은 다음과 같은 형식으로 작성됩니다. 에이={엑스Î 중 | 엑스- 그룹의 우수한 학생),
다음과 같이 읽습니다. 에이요소로 구성 엑스세트 중, 다음과 같은 속성을 가지고 있습니다. 엑스그룹의 우수한 학생입니다.
어떤 세트에서 요소를 가져왔는지 의심할 여지가 없는 경우 엑스, 소속 표시 엑스많은 중당신은 그것을 할 필요가 없습니다. 동시에 많은 에이형태로 작성됩니다
A=( 엑스 | 엑스-그룹의 우수한 학생).
다음은 설명 방법을 사용하여 집합을 정의하는 몇 가지 예입니다. 엑스 | 엑스– 짝수) – 짝수의 집합
{엑스 | 엑스 2 –1=0) – (+1, –1)을 설정합니다.
허락하다 지 – 정수 세트. 그 다음에 ( 엑스Î 지 | 0<엑스£7)은 세트(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)입니다.
홀수의 집합은 다음과 같이 정의될 수 있습니다( 엑스| 엑스=2케이일부에게는 +1 케이Î 지}.
속성을 사용하여 집합을 정의하는 방법에는 몇 가지 위험이 따릅니다. 속성을 "잘못" 지정하면 모순이 발생할 수 있기 때문입니다. 가장 전형적인 역설 중 하나인 러셀의 역설을 살펴보겠습니다. 자신의 요소가 아닌 모든 집합의 집합을 고려하십시오. 이제 집합인지 물어보자 에게당신의 요소? 만약에 에게Î 에게이면 집합을 정의하는 속성이 충족되어야 합니다. 에게, 즉. 에게Ï 에게, 이는 모순으로 이어집니다. 만약에 에게Ï 에게, 그러면 속성 정의 이후 에게, 우리는 다음과 같은 결론에 도달했습니다. 에게Î 에게, 그리고 이는 가정과 모순됩니다. 따라서 모든 속성이 집합의 의미 있는 정의로 이어지는 것은 아닙니다.
또한 세트는 특성 함수를 사용하여 지정할 수 있으며 그 값은 (예 또는 아니오) 여부를 나타냅니다. 엑스세트의 요소 엑스 :
모든 요소의 경우 = 0입니다. = 1.
예. 우주를 보자 유={a,b,c,d,e) 세트가 정의됩니다 엑스={a,c,d), 그 다음에
임의 세트의 경우 엑스그리고 와이두 가지 유형의 관계를 정의할 수 있습니다. 평등의 관계와 포용의 관계.
두 세트가 동일한 요소를 포함하는 경우 동일한 것으로 간주됩니다. 허용되는 지정 엑스=와이, 만약에 엑스그리고 와이동등하고, 엑스 와이- 그렇지 않으면.
어떤 세트에 대해서도 쉽게 알 수 있습니다. 엑스, 와이, 지관계가 유효하다
집합의 동일성 정의에 따르면 집합의 요소 순서는 중요하지 않습니다. 예를 들어 집합 (3, 4, 5, 6)과 (4, 5, 6, 3)은 동일한 집합을 나타냅니다.
집합의 각 요소가 엑스세트의 요소입니다 와이, 그러면 그들은 이렇게 말해요 엑스에 포함됨 와이그리고 다음을 나타냅니다:
이 경우 그들은 세트라고 말합니다. 엑스~이다 하위 집합세트 와이. 특히 엑스그리고 와이일치할 수 있으므로 관계라고도 합니다. 엄격하지 않은 포함.정의에 따라 하위 집합의 일부 속성을 살펴보겠습니다.
그렇다면 그들은 이렇게 말합니다. 엑스있다 Y의 진부분집합을 나타내고, 이 경우 집합 간의 관계를 관계라고 합니다. 엄격하지 않은 포함.엄격한 포함 관계의 경우 이는 사실입니다.
하위 집합을 포함하지 않음 엑스군중 속으로 와이 X로 표시됩니다. 그러한 세트를 많은 가족또는 부울세트 엑스지정되어 있으며 피(엑스) 모든 세트에 포함되어 있으므로 .
예. 허락하다 . 그 다음에
수학적 분석은 무한함수라는 개념을 바탕으로 함수를 연구하는 수학의 한 분야입니다.
수학적 분석의 기본 개념은 다음과 같습니다. 양, 집합, 함수, 극소함수, 극한, 미분, 적분.
크기숫자로 측정하고 표현할 수 있는 모든 것을 숫자라고 합니다.
많은몇 가지 공통된 특징으로 통합된 특정 요소의 모음입니다. 집합의 요소는 숫자, 그림, 사물, 개념 등이 될 수 있습니다.
집합은 대문자로 표시되고, 집합의 요소는 소문자로 표시됩니다. 집합의 요소는 중괄호로 묶입니다.
요소라면 엑스세트에 속해요 엑스, 그런 다음 쓰세요 엑스∈엑스 (∈
- 속함).
세트 A가 세트 B의 일부인 경우 다음을 작성하십시오. A ⊂ B (⊂
- 포함).
집합은 열거형과 정의 속성을 사용하는 두 가지 방법 중 하나로 정의할 수 있습니다.
예를 들어, 다음 세트는 열거형으로 지정됩니다.- A=(1,2,3,5,7) - 숫자 집합
- Х=(x 1 ,x 2 ,...,xn ) - 일부 요소의 집합 x 1 ,x 2 ,...,xn
- N=(1,2,...,n) — 자연수 집합
- Z=(0,±1,±2,...,±n) — 정수 집합
집합 (-무한대;+무한대)이 호출됩니다. 수직선, 모든 숫자는 이 선의 한 점입니다. a를 수직선 상의 임의의 점으로 하고 δ를 양수로 놓습니다. 간격(a-δ; a+δ)은 다음과 같습니다. 점 a의 δ-이웃.
임의의 x ∈ X에 대해 부등식 x≤с (x≥c)가 유지되는 숫자 c가 있는 경우 집합 X는 위에서(아래에서) 제한됩니다. 이 경우 숫자 c를 호출합니다. 상단(하단) 가장자리집합 X. 위와 아래 모두에 경계가 있는 집합을 호출합니다. 제한된. 세트의 위쪽(아래쪽) 면 중 가장 작은(가장 큰) 면을 호출합니다. 정확한 상단(하단) 가장자리이 무리 중.
기본 숫자 세트
| N | (1,2,3,...,n) 모두 세트 |
| 지 | (0, ±1, ±2, ±3,...) 설정 정수.정수 집합에는 자연수 집합이 포함됩니다. |
| 큐 |
많은 유리수. 정수 외에도 분수도 있습니다. 분수는 다음 형식의 표현입니다. 피- 정수, 큐- 자연스러운. 소수 분수는 다음과 같이 쓸 수도 있습니다. 예: 0.25 = 25/100 = 1/4. 정수는 다음과 같이 쓸 수도 있습니다. 예를 들어, 분모가 "1"인 분수 형태에서는 2 = 2/1입니다. 따라서 모든 유리수는 소수 분수(유한 또는 무한 주기)로 쓸 수 있습니다. |
| 아르 자형 |
다들 많이 실수. 무리수는 무한한 비주기적인 분수입니다. 여기에는 다음이 포함됩니다. 두 집합(유리수 및 무리수)이 함께 실수(또는 실수) 집합을 형성합니다. |
집합에 단일 요소가 포함되어 있지 않으면 집합이라고 합니다. 빈 세트그리고 기록된다 Ø .
논리적 상징의 요소
표기법 ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.
수량자수량자는 수학 표현식을 작성할 때 자주 사용됩니다.
수량자그 뒤에 오는 요소를 정량적으로 특성화하는 논리적 기호라고 합니다.
- ∀- 일반 수량자, "모든 사람을 위해", "누구나"라는 단어 대신 사용됩니다.
- ∃- 존재 수량자, "존재하다", "사용 가능하다"라는 단어 대신 사용됩니다. 기호 조합 ∃!도 사용되며 이는 하나만 있는 것처럼 읽습니다.
연산 집합
둘 세트 A와 B는 동일합니다.(A=B) 동일한 요소로 구성된 경우.
예를 들어 A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2)이면 A=B입니다.
유니온별(합계)집합 A와 B는 요소가 이 집합 중 적어도 하나에 속하는 집합 A ∪ B입니다.
예를 들어 A=(1,2,4), B=(3,4,5,6)이면 A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)입니다.
교차점별(제품)집합 A와 B를 집합 A ∩ B라고 하며, 그 원소들은 집합 A와 집합 B에 모두 속합니다.
예를 들어, A=(1,2,4), B=(3,4,5,2)이면 A ∩ B = (2,4)입니다.
차이로집합 A와 B를 집합 AB라고 하며, 그 원소들은 집합 A에 속하지만 집합 B에는 속하지 않습니다.
예를 들어 A=(1,2,3,4), B=(3,4,5)이면 AB = (1,2)입니다.
대칭적 차이집합 A와 B를 집합 A Δ B라고 하며, 이는 집합 AB와 BA의 차이의 합집합, 즉 A Δ B = (AB) ∪ (BA)입니다.
예를 들어 A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6)이면 A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5,6)
집합 연산의 속성
교환성 속성A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
셀 수 있는 집합과 셀 수 없는 집합
두 집합 A와 B를 비교하기 위해 해당 요소 간에 대응 관계가 설정됩니다.
이 대응이 일대일이면 집합을 등가 또는 동일 강력, A B 또는 B A라고 합니다.
실시예 1변 BC의 점 집합과 삼각형 ABC의 빗변 AC의 거듭제곱은 동일합니다.
집합의 개념은 기본적인 수학적 개념 중 하나입니다. 이는 정의되지 않은 개념이며 예를 통해서만 설명하거나 설명할 수 있습니다. 따라서 우리는 라틴 알파벳 문자 집합, 특정 도서관의 모든 책 집합, 특정 그룹의 학생 집합, 주어진 줄의 모든 점 집합에 대해 이야기할 수 있습니다. 세트를 정의하려면 요소를 나열하거나 지정하십시오. 특성요소의 속성, 즉 주어진 세트의 모든 요소가 소유하고 있는 속성입니다.
정의 1.1.특정 세트를 구성하는 항목(객체)을 해당 세트라고 합니다. 강요.
집합은 라틴 대문자로, 집합의 요소는 소문자로 표시하는 것이 일반적입니다. 무엇 엑스세트의 요소입니다 에이, 다음과 같이 작성됩니다. ×A(엑스속한다 에이). 녹음 유형 ×A(×A)는 다음을 의미합니다. 엑스속하지 않는다 에이, 즉. 세트의 요소가 아닙니다. 에이.
집합의 요소는 일반적으로 중괄호로 작성됩니다. 예를 들어, 에이 -라틴 알파벳의 처음 세 글자로 구성된 집합은 다음과 같이 작성됩니다. A={알파벳} .
집합에는 무한한 수의 요소(선 위의 점 집합, 자연수 집합), 유한한 수의 요소(학급의 학생 집합)가 포함될 수도 있고 전혀 포함되지 않을 수도 있습니다(집합 빈 교실에 있는 학생들의 모습)
정의 1.2.단일 원소를 포함하지 않는 집합을 집합이라고 합니다. 빈 세트, Ø로 표시됩니다.
정의 1.3.많은 에이~라고 불리는 하위 집합세트 비, 세트의 각 요소가 에이다수에 속한다 비. 이것은 표시됩니다 A B(에이 -하위 집합 비).
빈 집합은 모든 집합의 부분 집합으로 간주됩니다. 세트인 경우 에이집합의 부분집합이 아니다 비, 그런 다음 그들은 쓴다 A B.
정의 1.4. 2개 세트 에이그리고 비~라고 불리는 동일한, 서로의 하위 집합인 경우. 가리키다 A = B.이는 다음을 의미합니다. ×A, 저것 xB그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 만약 그리고 , 그러면 .
정의 1.5.교차로세트 에이그리고 비세트를 부르다 중, 그 요소는 동시에 두 세트의 요소입니다. 에이그리고 비.가리키다 M=A 비.저것들. ×A 비, 저것 ×A그리고 xB.
적어보세요 에이 비={엑스 | ×A그리고 xB). (노조 대신 그리고 -기호 , &).
정의 1.6.만약에 에이 비=Ø, 그러면 그들은 세트가 에이그리고 B 교차하지 마십시오.
마찬가지로 3, 4 및 유한 개수의 세트의 교집합을 정의할 수 있습니다.
정의 1.7.협회세트 에이그리고 비세트를 부르다 중, 그 요소는 이러한 세트 중 하나 이상에 속합니다. M=A 비.저것. 에이 비={엑스 | ×A또는 xB). (노조 대신 또는 -기호가 배치되어 있습니다).
세트는 비슷하게 정의됩니다 A 1 A 2 … 앤 .이는 요소로 구성되며 각 요소는 집합 중 적어도 하나에 속합니다. A 1,A 2,…,앤(한 번에 여러 개일 수도 있음) .
예제 1.8. 1) 만일 A=(1;2;3;4;5) 및 비=(1;3;5;7;9), 그런 다음 에이 비=(1;3;5) 그리고 에이 비={1;2;3;4;5;7;9}.
2) 만일 A=(2;4) 그리고 비=(3;7), 그런 다음 에이 비=Ø 및 에이 비={2;3;4;7}.
3) 만일 A=(여름철) 및 비=(30일이 있는 달) 에이 비=(6월)과 에이 비=(4월, 6월, 7월, 8월, 9월, 11월).
정의 1.9.자연스러운숫자 1,2,3,4,...가 호출되며 개체 수를 세는 데 사용됩니다.
자연수의 집합은 N, N=(1;2;3;4;…;n;…)으로 표시됩니다. 무한하며 가장 작은 요소 1이 있고 가장 큰 요소는 없습니다.
예제 1.10. 에이– 숫자 40의 자연제수 집합. 이 집합의 요소를 나열하세요. 5번이 사실인가요? A, 10A, -8A, 4A, 0A, 0A.
에이= (1,2,4,5,8,10,20,40). (V,V,N,N,N,V)
예제 1.11.특성 속성으로 정의된 집합의 요소를 나열합니다.
집합은 수학의 기본 개념이므로 다른 개념을 통해 정의되지 않습니다.
일반적으로 집합은 공통된 특성으로 결합된 개체의 모음으로 이해됩니다. 그래서 우리는 그룹의 많은 학생들, 러시아 알파벳의 많은 글자 등에 대해 이야기할 수 있습니다. 일상생활에서는 '세트'라는 단어 대신 '세트', '컬렉션', '그룹' 등의 단어가 사용된다. 세트는 일반적으로 라틴 알파벳의 대문자로 표시됩니다. 에이, 안에, 와 함께, ..., 지.
수학의 숫자 집합에는 특별한 표기법이 채택됩니다.
N– 자연수의 집합;
N 0 – 음수가 아닌 정수의 집합;
지– 정수 세트;
큐– 유리수 세트;
아르 자형– 실수 집합.
집합을 구성하는 객체를 해당 요소라고 합니다. 예를 들어, 9월은 해당 연도의 월 집합 요소이고, 숫자 5는 자연수 집합의 요소입니다. 집합의 요소는 일반적으로 라틴 알파벳의 소문자로 표시됩니다. 집합의 요소는 집합일 수 있습니다. 이것은 연구소의 많은 그룹에 대해 말할 수 있습니다. 이 집합의 요소는 그룹이며, 이는 다시 학생 집합입니다.
집합과 그 요소 사이의 연결은 "속하다"라는 단어를 사용하여 표현됩니다. "요소 에이세트에 속해요 에이"는 다음과 같이 쓰여 있습니다. 에이 에이, 이 항목은 다르게 읽을 수 있습니다: “ 에이– 세트의 요소 에이", "많은 에이요소를 포함합니다 에이" 에이"요소 에이"는 다음과 같이 쓰여 있습니다. 에이 에이세트에 속하지 않습니다 에이(그렇지 않으면: " 에이", "많은 에이세트의 요소가 아닙니다. 에이»).
요소를 포함하지 않습니다
단일 원소를 포함하지 않는 집합을 빈 집합이라고 하며 기호 로 표시합니다. 빈 세트가 하나뿐입니다. 공집합의 예로는 방정식의 자연근 집합인 태양 위의 사람들의 집합이 있습니다. 엑스+ 8 = 0.
집합은 유한할 수도 있고 무한할 수도 있습니다.
자연수가 존재하는 경우 집합을 유한이라고 합니다. N, 세트의 모든 요소에 1부터 번호를 매길 수 있습니다. N. 그렇지 않으면 집합을 무한이라고 합니다. 유한 집합의 예로는 숫자의 집합이 있고, 무한 집합의 예로는 자연수 집합이 있습니다.
§ 2. 집합을 정의하는 방법
어떤 객체에 대해 그것이 이 집합에 속하는지 또는 속하지 않는지 말할 수 있는 경우 집합은 주어진 것으로 간주됩니다.
세트는 모든 요소를 나열하여 정의할 수 있습니다. 기록 와 함께= (a, b, c, d)는 다음을 의미합니다. 와 함께요소 a, b, c, d를 포함합니다.
각 요소는 세트에 한 번만 나타납니다. 예를 들어, "mathematics"라는 단어의 다양한 문자는 (m, a, t, e, i, k)와 같이 작성됩니다.
이 방법은 적은 수의 요소를 포함하는 유한 집합에 적용할 수 있습니다.
경우에 따라 이 방법을 사용하여 무한 집합을 지정할 수 있습니다. 예를 들어, 자연수 집합은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. N= (1, 2, 3, 4, ...). 이 녹음 방법은 줄임표 아래 숨겨진 세트의 녹음 부분이 분명한 경우에만 가능합니다.
집합을 정의하는 또 다른 방법은 다음과 같습니다. 해당 요소의 특징적인 속성을 나타냅니다. 특징적 속성은 집합에 속한 모든 요소가 갖는 속성이며, 집합에 속하지 않는 단일 요소는 아닙니다.
요소의 서로 다른 특성을 나타냄으로써 동일한 집합을 정의할 수 있습니다. 예를 들어, 11로 나누어지는 두 자리 숫자 집합과 두 개의 동일한 숫자로 작성된 처음 100번째 자연수 집합에는 동일한 요소가 포함됩니다.
이 지정 방법을 사용하면 집합을 다음과 같이 작성할 수 있습니다. 먼저 중괄호 안에 요소의 지정을 쓴 다음 수직선을 그린 다음 이 집합의 요소가 갖는 속성을 씁니다. 예를 들어, 많은 에이 5보다 작은 자연수는 다음과 같이 쓰여집니다. 에이 = {엑스 엑스N, 엑스 < 5}.
