아크사인, 아크코사인 - 속성, 그래프, 공식. 역삼각함수, 그래프 및 공식 역삼각함수 증명

역삼각함수와 관련된 문제는 학교 기말고사나 일부 대학의 입시에서 자주 출제됩니다. 이 주제에 대한 자세한 연구는 선택 수업이나 선택 과목. 제안된 과정은 각 학생의 능력을 최대한 개발하고 수학적 준비를 향상시키도록 고안되었습니다.

이 과정은 10시간 동안 진행됩니다:

1. arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x 기능을 수행합니다(4시간).

2.역삼각함수 연산(4시간)

3. 삼각함수에 대한 역삼각연산 (2시간)

1과(2시간) 주제: 함수 y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

목표: 이 문제를 완전히 다루었습니다.

1.함수 y = arcsin x.

a) 세그먼트의 함수 y = sin x에 대해 역(단일 값) 함수가 있는데, 이를 아크사인이라고 부르고 다음과 같이 표시하기로 동의했습니다. y = arcsin x. 역함수의 그래프는 I - III 좌표 각도의 이등분선을 기준으로 주 함수의 그래프와 대칭입니다.

함수 y = arcsin x의 속성.

1) 정의 영역: 세그먼트 [-1; 1];

2)변경영역 : 세그먼트

3)함수 y = arcsin x 홀수: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) 함수 y = arcsin x는 단조 증가합니다.

5) 그래프는 원점에서 Ox, Oy 축과 교차합니다.

예 1. a = arcsin을 구합니다. 이 예는 다음과 같이 자세히 공식화될 수 있습니다. from 범위에 있고 사인이 다음과 같은 인수 a를 찾습니다.

해결책. 사인이 와 같은 인수는 셀 수 없이 많습니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 등. 그러나 우리는 세그먼트에 있는 주장에만 관심이 있습니다. 이것이 주장일 것입니다. 그래서, .

예 2. 찾기 .해결책.예제 1과 같은 방식으로 논쟁하면, .

b) 구강 운동. 찾기: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. 답 예: , 왜냐하면 . 표현이 이해가 됩니까? ; 아크신 1.5; ?

c) 오름차순으로 정렬합니다: arcsin, arcsin (-0.3), arcsin 0.9.

II. 함수 y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (유사).

2과 (2시간) 주제: 역삼각함수와 그래프.

목적: 이 수업에서는 가치를 결정하는 기술을 개발하는 것이 필요합니다. 삼각함수, D(y), E(y) 및 필요한 변환을 사용하여 역삼각함수 그래프를 구성합니다.

이 단원에서는 정의 영역, y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos 유형의 함수 값 영역 찾기를 포함하는 연습을 완료합니다.

다음 함수의 그래프를 구성해야 합니다. a) y = arcsin 2x; b) y = 2 아크사인 2x; c) y = 아크사인;

d) y = 아크사인; e) y = 아크사인; e) y = 아크사인; g) y = | 아크신 | .

예. y = arccos를 그려봅시다.

숙제에 다음 연습을 포함할 수 있습니다. 함수 그래프 작성: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | 엑스 | .

역함수 그래프

제3과(2시간) 주제:
역삼각함수에 대한 연산.

목표: 역삼각함수에 대한 기본 관계를 도입하여 수학적 지식을 확장합니다(수학 교육에 대한 요구 사항이 증가하는 전문 분야에 입학하는 사람들에게 중요함).

수업 자료.

역삼각 함수에 대한 몇 가지 간단한 삼각 연산: 죄(아크신 x) = x, i xi ? 1; cos(arсcos x) = x, i xi? 1; tg(arctg x)= x , xIR; CTG (arcctg x) = x , x I R.

수업 과정.

a) tg(1.5 + arctg 5) = - ctg(arctg 5) = .

ctg(arctg x) = ; tg(arcctg x) = .

b) cos( + 아크사인 0.6) = - cos( 아크사인 0.6). arcsin 0.6 = a, sin a = 0.6이라고 가정합니다.

cos(아크신 x) = ; 죄(아르코스 x) = .

참고: a = arcsin x 가 만족하기 때문에 루트 앞에 "+" 기호를 사용합니다.

c) 죄(1.5 + 아크신) 답: ;

d) ctg( + arctg 3) 답: ;

e) tg( – arcctg 4) 답: .

e) cos(0.5 + arccos). 답변: .

믿다:

a) 죄 (2 아크탄 5) .

arctan 5 = a라고 하고 sin 2 a = 또는 죄 (2 아크탄 5) = ;

b) cos ( + 2 arcsin 0.8) 답: 0.28.

c) arctg + arctg.

a = 아크탄, b = 아크탄,

그러면 tg(a + b) = .

d) 죄(아르크신 + 아크신).

e) 모든 x I [-1; 1] 참 아크사인 x + 아크코사인 x = .

증거:

아크신 x = – 아크코스 x

죄(아크신 x) = 죄( – 아크코사인 x)

x = cos(아르코스 x)

스스로 해결하려면: sin(arccos), cos(arcsin), cos(arcsin()), sin(arctg(-3)), tg(arccos), ctg(arccos).

가정용 솔루션의 경우: 1) sin(arcsin 0.6 + arctan 0); 2) 아크신 + 아크신; 3) ctg( – arccos 0.6); 4) cos(2 arcctg 5); 5) 죄(1.5 – 아크신 0.8); 6) arctg 0.5 – arctg 3.

4과 (2시간) 주제: 역삼각함수 연산.

목표: 이 수업에서는 더 복잡한 표현을 변환하는 데 비율을 사용하는 방법을 보여줍니다.

수업 자료.

구두로:

a) 죄(arccos 0.6), cos(arcsin 0.8);

b) tg(arcсtg 5), ctg(arcсtg 5);

c) sin(arctg -3), cos(arcсtg());

d) tg(arccos), ctg(arccos()).

서면:

1) cos(아르크신 + 아크신 + 아크신).

2) cos(arccos 5–arccos 0.8) = cos(arccos 5) cos(arccos 0.8) + sin(arccos 5) sin(arccos 0.8) =

3) tg(-아크신 0.6) = - tg(아크신 0.6) =

독립적인 작업은 자료의 숙달 수준을 식별하는 데 도움이 됩니다.

1) tg(arctg 2 – arctg)

2) cos( - arctan2)

3) 아크신 + 아크코스

1) cos(아르크신 + 아크신)

2) 죄(1.5 - 아크탄 3)

3) arcctg3 - arctg 2

을 위한 숙제우리는 다음을 제안할 수 있습니다:

1) ctg(arctg + arctg + arctg); 2) sin 2(arctg 2 – arcctg()); 3) sin(2 arctg + tan( arcsin )); 4) 죄(2 아크탄); 5) tg((아르크신))

5과 (2시간) 주제: 삼각 함수에 대한 역삼각 연산.

목표: 삼각 함수에 대한 역삼각 연산에 대한 학생들의 이해를 형성하고 연구 중인 이론의 이해력을 높이는 데 중점을 둡니다.

이 주제를 공부할 때 기억해야 할 이론적 자료의 양은 제한되어 있다고 가정합니다.

수업 자료:

y = arcsin (sin x) 함수를 연구하고 해당 그래프를 그려서 새로운 내용을 학습할 수 있습니다.

3. 각각의 xIR은 yI와 연관되어 있습니다. 즉,<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. 함수는 홀수입니다. sin(-x) = - sin x; 아크사인(사인(-x)) = - 아크사인(사인 x).

6. y = arcsin(sin x)을 그래프로 나타내십시오.

가) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

비)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

죄 y = 죄 ( – x) = 죄 x , 0<= - x <= .

그래서,

에 y = arcsin (sin x)를 구축한 후 [- ; 0], 이 함수의 이상한 점을 고려하면 다음과 같습니다. 주기성을 사용하여 전체 수직선을 따라 계속합니다.

그런 다음 몇 가지 관계를 적어보세요. 아크신(sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos 에이 ) = 0인 경우<= a <= ; arctg (tg a) = 만약< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

그리고 다음 연습을 수행하십시오.a) arccos(sin 2).답변: 2 - ; b) 아크사인(cos 0.6) 답: - 0.1; c) arctg(tg 2) 답: 2 - ;

d) arcctg(tg 0.6). 답: 0.9; e) arccos (cos (-2)) 답: 2 - ; e) 아크신(sin(-0.6)). 답: - 0.6; g) arctg(tg2) = arctg(tg(2 - )). 답: 2 - ; h) аrcctg(tg 0.6). 답: - 0.6; - 아크탄 x; e) 아르코스 + 아르코스

역삼각함수- 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트 및 아크코탄젠트입니다.

먼저 몇 가지 정의를 해보자.

아크사인또는 사인이 숫자 a와 같은 세그먼트에 속하는 각도라고 말할 수 있습니다.

아크코사인숫자 a는 다음과 같은 숫자라고 불립니다.

아크탄젠트숫자 a는 다음과 같은 숫자라고 불립니다.

역탄젠트숫자 a는 다음과 같은 숫자라고 불립니다.

이 네 가지 새로운 함수, 즉 역삼각 함수에 대해 자세히 이야기해 보겠습니다.

기억하세요, 우리는 이미 만났어요.

예를 들어, a의 산술 제곱근은 제곱이 a와 같은 음수가 아닌 숫자입니다.

밑수 a에 대한 숫자 b의 로그는 다음과 같은 숫자 c입니다.

동시에

우리는 왜 수학자들이 새로운 기능을 "발명"해야 했는지 이해합니다. 예를 들어, 방정식의 해는 다음과 같습니다. 특별한 산술 제곱근 기호 없이는 이를 적을 수 없습니다.

예를 들어 다음 방정식의 해를 기록하려면 로그 개념이 필요하다는 것이 밝혀졌습니다. 이 방정식의 해는 7을 얻기 위해 2를 올려야 하는 지수입니다.

삼각 방정식도 마찬가지입니다. 예를 들어, 우리는 방정식을 풀고 싶습니다

그 해는 세로 좌표가 다음과 같은 삼각법 원의 점에 해당한다는 것이 분명합니다. 그리고 이것이 사인의 표 값이 아니라는 것이 분명합니다. 해결책을 기록하는 방법은 무엇입니까?

여기서 사인이 주어진 숫자 a와 같은 각도를 나타내는 새로운 함수 없이는 할 수 없습니다. 예, 모두가 이미 추측했습니다. 이것은 아크사인입니다.

사인이 동일한 세그먼트에 속하는 각도는 1/4의 아크사인입니다. 그리고 이는 삼각법 원의 오른쪽 점에 해당하는 방정식의 일련의 해가 다음과 같다는 것을 의미합니다.

그리고 우리 방정식의 두 번째 해법은 다음과 같습니다.

삼각 방정식 풀기에 대해 자세히 알아보세요. -.

아직 밝혀지지 않은 사항이 남아 있습니다. 아크사인의 정의가 이것이 세그먼트에 속하는 각도임을 나타내는 이유는 무엇입니까?

사실은 예를 들어 사인이 와 같은 각도가 무한히 많이 있다는 것입니다. 우리는 그 중 하나를 선택해야 합니다. 세그먼트에 있는 것을 선택합니다.

삼각법 원을 살펴보세요. 세그먼트에서 각 각도는 특정 사인 값에 해당하며 하나만 해당하는 것을 볼 수 있습니다. 그 반대의 경우도 세그먼트의 모든 사인 값은 세그먼트 각도의 단일 값에 해당합니다. 이는 세그먼트에서 에서 까지 값을 취하는 함수를 정의할 수 있음을 의미합니다.

정의를 다시 반복해 보겠습니다.

숫자의 아크사인은 숫자입니다. , 그렇게

지정: 아크사인 정의 영역은 세그먼트입니다.

"arcsine live on the right"라는 문구를 기억할 수 있습니다. 오른쪽뿐만 아니라 세그먼트에도 있다는 것을 잊지 마세요.

이제 함수를 그래프로 그릴 준비가 되었습니다.

평소와 같이 가로 축에 x 값을, 세로 축에 y 값을 표시합니다.

따라서 x는 -1에서 1 사이의 범위에 있기 때문입니다.

이는 함수 y = arcsin x의 정의 영역이 세그먼트라는 것을 의미합니다.

우리는 y가 세그먼트에 속한다고 말했습니다. 이는 함수 y = arcsin x의 값 범위가 세그먼트임을 의미합니다.

y=arcsinx 함수의 그래프는 선으로 둘러싸인 영역 내에 완전히 들어맞고

익숙하지 않은 함수의 그래프를 그릴 때 늘 그렇듯, 표부터 시작해 보겠습니다.

정의에 따르면 0의 아크사인은 사인이 0인 세그먼트의 숫자입니다. 이 숫자는 무엇입니까? - 이것은 0임이 분명합니다.

마찬가지로 1의 아크사인은 사인이 1인 세그먼트의 숫자입니다. 분명히 이것은

계속합니다. - 사인이 동일한 세그먼트의 숫자입니다. 네 그렇습니다

			0
			0

함수 그래프 작성

기능 속성

1. 정의의 범위

2. 값의 범위

3. 즉, 이 기능은 이상합니다. 그래프는 원점을 기준으로 대칭입니다.

4. 함수는 단조 증가합니다. - 와 같은 최소값은 에서 달성되고, 최대값은 에서 달성됩니다.

5. 함수와 의 그래프는 무엇입니까? 함수의 우분지와 함수의 그래프처럼, 혹은 지수함수와 대수함수의 그래프처럼 "같은 패턴으로 만들어졌다"고 생각하지 않나요?

일반 사인파에서 작은 조각을 잘라낸 다음 수직으로 돌리면 아크사인 그래프를 얻을 수 있다고 상상해 보세요.

이 간격의 함수에 대한 인수 값은 무엇이며, 아크사인에 대한 함수 값이 있습니다. 그렇게되어야합니다! 결국 사인과 아크사인은 서로 역함수입니다. 상호 역함수 쌍의 다른 예로는 at 및 , 지수 및 로그 함수가 있습니다.

상호 역함수의 그래프는 직선을 기준으로 대칭임을 기억하세요.

마찬가지로 함수를 정의하면 각 각도 값이 자체 코사인 값에 해당하는 세그먼트만 필요하며, 코사인을 알면 각도를 고유하게 찾을 수 있습니다. 세그먼트가 우리에게 적합합니다

숫자의 아크코사인은 숫자입니다. , 그렇게

기억하기 쉽습니다. "아크 코사인은 위에서부터 발생합니다." 위에서뿐만 아니라 해당 세그먼트에서도 발생합니다.

지정: 아크코사인 정의 영역은 세그먼트입니다.

분명히 세그먼트는 각 코사인 값이 한 번만 사용되기 때문에 선택되었습니다. 즉, -1부터 1까지의 각 코사인 값은 간격의 단일 각도 값에 해당합니다.

아크코사인은 짝수 함수도 홀수 함수도 아닙니다. 그러나 우리는 다음과 같은 명백한 관계를 사용할 수 있습니다.

함수를 그려보자

단조로운 함수 섹션, 즉 각 값을 정확히 한 번만 취하는 함수 섹션이 필요합니다.

세그먼트를 선택해 보겠습니다. 이 세그먼트에서 함수는 단조롭게 감소합니다. 즉, 집합 간의 대응은 일대일입니다. 각 x 값에는 해당하는 y 값이 있습니다. 이 세그먼트에는 코사인에 반대되는 함수, 즉 y = arccosx 함수가 있습니다.

아크코사인의 정의를 이용하여 표를 채워봅시다.

간격에 속하는 숫자 x의 아크 코사인은 간격에 속하는 숫자 y가 됩니다.

이는 ;

왜냐하면 ;

왜냐하면 ,

			0
					0

아크 코사인 그래프는 다음과 같습니다.

기능 속성

1. 정의의 범위

2. 값의 범위

이 함수는 일반적인 형태입니다. 즉, 짝수도 홀수도 아닙니다.

4. 기능이 급격히 감소하고 있습니다. 함수 y = arccosx는 와 같은 가장 큰 값인 at 을 취하고, 가장 작은 값인 0은 at 을 취합니다.

5. 기능과 은 서로 반대입니다.

다음은 아크탄젠트(arctangent)와 아크코탄젠트(arccotangent)입니다.

숫자의 아크탄젠트는 숫자입니다. , 그렇게

명칭: . 아크탄젠트의 정의 영역은 간격입니다.

아크탄젠트 정의에서 간격의 끝(점)이 제외되는 이유는 무엇입니까? 물론, 이 지점에서의 접선은 정의되지 않았기 때문입니다. 이 각도의 탄젠트와 같은 숫자는 없습니다.

아크탄젠트 그래프를 만들어 봅시다. 정의에 따르면, 숫자 x의 아크탄젠트는 다음과 같은 간격에 속하는 숫자 y입니다.

그래프를 작성하는 방법은 이미 명확합니다. 아크탄젠트는 탄젠트의 역함수이므로 다음과 같이 진행합니다.

x와 y 사이의 대응이 일대일인 함수 그래프의 섹션을 선택합니다. 이것이 간격 C입니다. 이 섹션에서 함수는 에서 까지의 값을 취합니다.

그러면 역함수, 즉 함수는 전체 수직선이 되는 정의 영역을 가지며, 값의 범위는 간격이 됩니다.

수단,

하지만 x의 값이 무한히 커지면 어떻게 될까요? 즉, x가 +무한대 경향을 보일 때 이 함수는 어떻게 동작합니까?

우리는 스스로에게 다음과 같은 질문을 던질 수 있습니다. 구간 내 어느 숫자에 대해 탄젠트 값이 무한대를 향하는 경향이 있습니까? - 분명히 이건

이는 무한히 큰 x 값에 대해 아크탄젠트 그래프가 수평 점근선에 접근한다는 것을 의미합니다.

마찬가지로, x가 마이너스 무한대에 접근하면 아크탄젠트 그래프는 수평 점근선에 접근합니다.

그림은 함수의 그래프를 보여줍니다.

기능 속성

1. 정의의 범위

2. 값의 범위

3. 기능이 이상해요.

4. 기능이 엄격하게 증가하고 있습니다.

6. 함수와 상호 역수입니다. 물론 함수가 구간에서 고려되는 경우입니다.

마찬가지로 역탄젠트 함수를 정의하고 그래프를 그립니다.

숫자의 역탄젠트는 숫자입니다. , 그렇게

기능 그래프:

기능 속성

1. 정의의 범위

2. 값의 범위

3. 함수는 일반적인 형태, 즉 짝수도 홀수도 아닙니다.

4. 기능이 급격히 감소하고 있습니다.

5. 이 함수의 직접 및 수평 점근선.

6. 구간에서 고려하면 함수와 는 상호 역수입니다.

역삼각함수(원형 함수, 호 함수) - 삼각 함수와 반대인 수학 함수입니다.

여기에는 일반적으로 6가지 기능이 포함됩니다.

아크사인(지정: 아크신 x; 아크신 x- 이 각도야 죄이는 다음과 같다 엑스),
아크코사인(지정: 아르코스엑스; 아르코스엑스코사인이 다음과 같은 각도입니다. 엑스등),
아크탄젠트(지정: 아크탄엑스또는 아크탄엑스),
역탄젠트(지정: arcctg x또는 아크콧x또는 아르코탄x),
아크시컨트(지정: 초각 x),
역코시컨트(지정: 아크코섹 x또는 아크스크엑스).

아크사인 (y = 아크사인 x) - 역함수 죄 (x = 죄 y . 즉, 해당 값으로 각도를 반환합니다. 죄.

아크코사인 (y = 아크코스 x) - 역함수 코사인 (x = cos y 코사인.

아크탄젠트 (y = 아크탄 x) - 역함수 tg (x = 황갈색 y), 도메인과 값 세트가 있음 . 즉, 해당 값으로 각도를 반환합니다. tg.

역탄젠트 (y = arcctg x) - 역함수 CTG (x = cot y)에는 정의 영역과 값 집합이 있습니다. 즉, 해당 값으로 각도를 반환합니다. CTG.

초각- arcsecant, 해당 시컨트 값에 따라 각도를 반환합니다.

아크코섹- 아크코시컨트, 코시컨트 값을 기준으로 각도를 반환합니다.

역삼각 함수가 지정된 지점에서 정의되지 않은 경우 해당 값은 최종 테이블에 표시되지 않습니다. 기능 초각그리고 아크코섹세그먼트 (-1,1)에서는 결정되지 않지만 아크신그리고 아르코스간격 [-1,1]에서만 결정됩니다.

역삼각함수의 이름은 해당 삼각함수 이름에 접두사 "arc-"(Lat. 호 우리를- 호). 이는 기하학적으로 역삼각 함수의 값이 하나 또는 다른 세그먼트에 해당하는 단위 원의 호 길이(또는 이 호에 해당하는 각도)와 연관되어 있다는 사실 때문입니다.

때로는 과학/공학 계산기뿐만 아니라 외국 문헌에서도 다음과 같은 표기법을 사용합니다. 죄−1, cos−1아크사인, 아크코사인 등의 경우 이는 완전히 정확하지 않은 것으로 간주됩니다. 함수를 거듭제곱하는 데 혼동이 있을 수 있습니다. −1 (« −1 »(첫 번째 거듭제곱 빼기)는 함수를 정의합니다. x = f -1 (y), 함수의 역 와이 = 에프(엑스)).

역삼각함수의 기본 관계.

여기서 공식이 유효한 간격에 주의하는 것이 중요합니다.

역삼각함수 관련 공식.

역삼각 함수의 값을 다음과 같이 표시해 보겠습니다. 아크신x, 아르코스엑스, 아르크탄엑스, 아르콧x표기법을 유지하십시오. 아크신 x, 아르코스 엑스, 아크탄엑스, 아크콧x주요 가치에 대해 이들 사이의 연결은 그러한 관계로 표현됩니다.

레슨 32-33. 역삼각함수

09.07.2015 8936 0

목표: 역삼각 함수와 삼각 방정식의 해를 작성하는 데 사용하는 방법을 고려합니다.

I. 수업의 주제와 목적을 전달합니다.

II. 새로운 자료를 학습

1. 역삼각함수

다음 예를 통해 이 주제에 대한 논의를 시작하겠습니다.

실시예 1

방정식을 풀어 봅시다: a) 죄 x = 1/2; b) 죄 x = a.

a) 세로축에 값 1/2을 플롯하고 각도를 구성합니다. x 1 그리고 x2입니다.죄 x = 1/2. 이 경우 x1 + x2 = π, x2 = π – x 1 . 삼각 함수 값 표를 사용하여 x1 = π/6 값을 찾은 다음사인 함수의 주기성을 고려하고 이 방정식의 해를 적어 보겠습니다.여기서 k ∈ Z입니다.

b) 분명히 방정식을 풀기 위한 알고리즘은죄 x = a는 이전 단락과 동일합니다. 물론 이제 a 값은 세로축을 따라 표시됩니다. 각도 x1을 어떻게든 지정해야 할 필요가 있습니다. 우리는 이 각도를 기호로 표시하기로 합의했습니다.아크신 에이. 그러면 이 방정식의 해는 다음과 같은 형식으로 작성될 수 있습니다.이 두 공식은 하나로 결합될 수 있습니다.동시에

나머지 역삼각함수도 비슷한 방식으로 도입됩니다.

알려진 삼각함수 값으로부터 각도의 크기를 결정해야 하는 경우가 매우 많습니다. 이러한 문제는 다중 값입니다. 삼각 함수가 동일한 값과 같은 수많은 각도가 있습니다. 따라서 삼각함수의 단조성을 바탕으로 각도를 고유하게 결정하기 위해 다음과 같은 역삼각함수를 도입합니다.

숫자 a의 아크사인(arcsin , 그 사인은 a와 같습니다. 즉

숫자의 아크코사인에이(아르코스 a)는 코사인이 a와 같은 구간으로부터의 각도 a입니다.

숫자의 아크탄젠트 a(아크트그 a) - 간격으로부터의 각도 a그 탄젠트는 a와 같습니다. 즉tg a = a.

숫자의 역탄젠트 a(arcctg a)는 구간 (0; π)로부터의 각도 a이며, 그 코탄젠트는 a와 같습니다. 즉 ctg a = a.

실시예 2

찾아보자:

역삼각 함수의 정의를 고려하여 다음을 얻습니다.

실시예 3

계산해보자

각도 a = 아크사인(arcsin) 3/5, 정의에 따라죄 a = 3/5이고 . 그러므로 우리는 찾아야 한다.코사인 에이. 기본 삼각법 항등식을 사용하면 다음을 얻습니다.cos a ≥ 0이라는 점을 고려합니다. 따라서,

기능 속성	기능
기능 속성	y = 아크사인 x	y = 아크코스 x	y = 아크탄 x	y = arcctg x
정의 영역	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-무한대; +무한대)	x ∈ (-무한대 +무한대)
값의 범위	y ∈ [ -π/2 ; π /2 ]	와이 ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0;π)
둥가	이상한	짝수도 홀수도 아닌	이상한	짝수도 홀수도 아닌
함수 0(y = 0)	x = 0에서	x = 1에서	x = 0에서	y ≠ 0
부호 일관성의 간격	x ∈ (0; 1]의 경우 y > 0, ~에< 0 при х ∈ [-1; 0)	x ∈ [-1에 대해 y > 0; 1)	x ∈ (0; +무한대)에 대해 y > 0, ~에< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0(x ∈(-무한대; +무한대))
단조	증가	내림차순	증가	내림차순
삼각함수와의 관계	죄 y = x	왜냐하면 y = x	tg y = x	CTG y = x
일정

역삼각함수의 정의 및 기본 속성과 관련된 보다 일반적인 예를 몇 가지 들어보겠습니다.

실시예 4

함수의 정의역을 찾아보자

함수 y가 정의되기 위해서는 부등식을 만족해야 합니다.이는 불평등 시스템과 동일합니다.첫 번째 부등식의 해는 구간 x입니다.∈ (-무한대; +무한대), 초 -이 간격 불평등 시스템에 대한 해결책이므로 함수 정의 영역입니다.

실시예 5

기능이 변화하는 영역을 찾아보자

함수의 동작을 고려해 봅시다지 = 2x - x2(그림 참조).

z ∈임이 분명하다 (-무한대; 1]. 인수를 고려하면지 아크 코탄젠트 함수는 우리가 얻은 테이블 데이터에서 지정된 한계 내에서 다양합니다.그래서 변화의 영역

실시예 6

함수 y =임을 증명해 보겠습니다.아크트그 x 홀수. 허락하다그러면 tg a = -x 또는 x = - tg a = tg (- a)이고, 따라서 - a = arctan x 또는 a = - arctan 엑스. 따라서 우리는즉, y(x)는 홀수 함수입니다.

실시예 7

모든 역삼각함수를 통해 표현해보자

허락하다 그것은 분명하다 그러다가

각도를 소개하자면 왜냐하면 저것

그러므로 마찬가지로 그리고

그래서,

실시예 8

함수 y =의 그래프를 만들어 봅시다. cos(아크신x).

a = arcsin x를 나타내자. x = sin a 및 y = cos a, 즉 x 2를 고려해 봅시다. + y2 = 1, x에 대한 제한(x∈ [-1; 1]) 및 y(y ≥ 0). 그러면 함수 y =의 그래프가 나타납니다. cos(아르크신 x)는 반원이다.

실시예 9

함수 y =의 그래프를 만들어 봅시다.아크코스(cos x ).

cos 함수부터 x 간격 [-1; 1], 함수 y는 전체 수치 축에 정의되고 세그먼트 에 따라 달라집니다. y=라는 점을 명심하자.아크코스(cosx) = 세그먼트의 x; 함수 y는 주기가 2π인 짝수 주기입니다. 함수에 다음과 같은 속성이 있다는 점을 고려하면왜냐하면 x 이제 그래프를 쉽게 만들 수 있습니다.

몇 가지 유용한 평등을 살펴보겠습니다.

실시예 10

함수의 최소값과 최대값을 찾아보자나타내자 그 다음에 함수를 구해보자 이 함수는 해당 지점에서 최소값을 가집니다. z = π/4이며 이는 다음과 같습니다. 함수의 가장 큰 가치는 그 지점에서 달성됩니다. z = -π/2이며 동일합니다. 따라서,

실시예 11

방정식을 풀어보자

그 점을 고려해보자 그러면 방정식은 다음과 같습니다.또는 어디 아크탄젠트의 정의에 따라 다음을 얻습니다.

2. 간단한 삼각 방정식 풀기

예제 1과 유사하게 가장 간단한 삼각 방정식에 대한 해를 얻을 수 있습니다.

방정식	해결책


tgx=a
CTG x = 에이

실시예 12

방정식을 풀어보자

사인 함수가 홀수이므로 방정식을 다음 형식으로 작성합니다.이 방정식의 해법:우리는 그것을 어디서 찾을 수 있나요?

실시예 13

방정식을 풀어보자

주어진 공식을 사용하여 방정식의 해를 기록합니다.그리고 우리는 찾을 것이다

방정식을 풀 때 특별한 경우(a = 0; ±1)에 유의하세요.죄 x = a와 cos x = 일반 공식을 사용하지 않고 단위원을 기반으로 해를 작성하는 것이 더 쉽고 편리합니다.

방정식 sin x = 1 해

방정식의 경우 sin x = 0 해 x = π k;

방정식 sin x = -1 해

cos 방정식의 경우 x = 1 해 x = 2π케이;

방정식 cos x = 0 솔루션의 경우

방정식 cos x = -1 솔루션의 경우

실시예 14

방정식을 풀어보자

이 예에는 방정식의 특별한 경우가 있으므로 적절한 공식을 사용하여 해를 작성합니다.우리는 그것을 어디서 찾을 수 있나요?

III. 통제 질문(정면 조사)

1. 역삼각함수의 주요 속성을 정의하고 나열합니다.

2. 역삼각함수 그래프를 그려보세요.

3. 간단한 삼각 방정식을 푼다.

IV. 레슨 할당

§ 15, No. 3 (a, b); 4(c, d); 7(a); 8(a); 12(나); 13(a); 15(c); 16(a); 18(a, b); 19(c); 21;

§ 16, No. 4 (a, b); 7(a); 8(나); 16(a, b); 18(a); 19(c, d);

§ 17, No. 3 (a, b); 4(c, d); 5 (a, b); 7(c, d); 9(나); 10 (a, c).

V. 숙제

§ 15, No. 3 (c, d); 4 (a, b); 7(다); 8(나); 12(a); 13(b); 15(g); 16(나); 18(c, d); 19(g); 22;

§ 16, No. 4 (c, d); 7(나); 8(a); 16(c, d); 18(나); 19(a, b);

§ 17, No. 3 (c, d); 4 (a, b); 5(c, d); 7(a, b); 9(g); 10 (b, d).

6. 창의적인 작업

1. 함수의 정의역을 찾으세요:

답변:

2. 함수의 범위를 찾으십시오.

답변:

3. 함수를 그래프로 표현합니다.

Ⅶ. 수업 요약

역삼각함수는 삼각함수의 역수인 수학 함수입니다.

함수 y=arcsin(x)

숫자 α의 아크사인은 사인이 α와 같은 구간 [-π/2;π/2]의 숫자 α입니다.
함수 그래프
구간 [-π/2;π/2]의 함수 у= sin⁡(x)는 순증가하고 연속적입니다. 그러므로 역함수(inverse function)를 가지며, 엄격하게 증가하고 연속됩니다.
함수 y= sin⁡(x)(여기서 x ∈[-π/2;π/2])에 대한 역함수는 아크사인이라고 하며 y=arcsin(x)로 표시됩니다. 여기서 x∈[-1;1 ].
따라서 역함수의 정의에 따르면 아크사인 정의 영역은 세그먼트 [-1;1]이고 값 집합은 세그먼트 [-π/2;π/2]입니다.
x ∈[-1;1]인 함수 y=arcsin(x)의 그래프는 x∈[-π/2;π인 경우 y= sin(⁡x) 함수의 그래프와 대칭입니다. /2], 좌표각 1/4과 3/4의 이등분선에 대해.

함수 범위 y=arcsin(x).

예 1.

arcsin(1/2)을 찾으시겠습니까?

함수 arcsin(x)의 값 범위는 [-π/2;π/2] 구간에 속하므로 π/6 값만 적합합니다. 따라서 arcsin(1/2) =π/입니다. 6.
답:π/6

예 2.
arcsin(-(√3)/2)을 찾으시겠습니까?

값의 범위는 arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2]이므로 -π/3 값만 적합합니다. 따라서 arcsin(-(√3)/2) =- π입니다. /3.

함수 y=arccos(x)

숫자 α의 아크코사인은 코사인이 α와 같은 구간에서 나온 숫자 α입니다.

함수 그래프

세그먼트의 함수 y= cos(⁡x)는 엄격하게 감소하고 연속적입니다. 따라서 역함수(inverse function)를 가지며, 엄격하게 감소하고 연속됩니다.
함수 y= cos⁡x(여기서 x ∈)에 대한 역함수는 다음과 같습니다. 아크코사인 y=arccos(x)로 표시되며, 여기서 x ∈[-1;1]입니다.
따라서 역함수의 정의에 따르면 아크코사인의 정의 영역은 세그먼트 [-1;1]이고 값 집합은 세그먼트입니다.
함수 y=arccos(x)의 그래프는 x ∈[-1;1]이 이등분선을 기준으로 x ∈인 함수 y= cos(⁡x)의 그래프와 대칭입니다. 1쿼터와 3쿼터의 좌표 각도.

함수 범위 y=arccos(x).

예 번호 3.

arccos(1/2)를 찾으시나요?

값의 범위는 arccos(x) x∈이므로 π/3 값만 적합합니다. 따라서 arccos(1/2) =π/3입니다.
예 번호 4.
arccos(-(√2)/2)를 찾으시겠습니까?

함수 arccos(x)의 값 범위는 구간에 속하므로 3π/4 값만 적합합니다. 따라서 arccos(-(√2)/2) = 3π/4입니다.

답: 3π/4

함수 y=arctg(x)

숫자 α의 아크탄젠트는 탄젠트가 α와 동일한 구간 [-π/2;π/2]의 숫자 α입니다.

함수 그래프

탄젠트 함수는 연속적이고 구간(-π/2;π/2)에서 엄격하게 증가합니다. 그러므로 연속적이고 엄격하게 증가하는 역함수를 갖습니다.
함수 y= tan⁡(x)의 역함수, 여기서 x∈(-π/2;π/2); 아크탄젠트라고 하며 y=arctg(x)로 표시됩니다. 여기서 x∈R입니다.
따라서 역함수의 정의에 따르면 아크탄젠트 정의 영역은 간격 (-무한대;+무한대)이고 값 집합은 간격입니다.
(-π/2;π/2).
x∈R인 함수 y=arctg(x)의 그래프는 x ∈ (-π/2;π/2)인 함수 y= tan⁡x의 그래프와 대칭입니다. 1/4과 3/4의 좌표 각도의 이등분선입니다.

함수 y=arctg(x)의 범위.

예 5 번?

아크탄((√3)/3)을 구하세요.

값의 범위는 arctg(x) x ∈(-π/2;π/2)이므로 π/6 값만 적합합니다. 따라서 arctg((√3)/3) =π/6입니다.
예 번호 6.
arctg(-1)을 찾으시겠습니까?

값의 범위는 arctg(x) x ∈(-π/2;π/2)이므로 -π/4 값만 적합합니다. 따라서 arctg(-1) = - π/4입니다.

함수 y=arcctg(x)

숫자 α의 아크 코탄젠트는 코탄젠트가 α와 같은 구간 (0;π)의 숫자 α입니다.

함수 그래프

구간 (0;π)에서 코탄젠트 함수는 엄격하게 감소합니다. 게다가 이 간격의 모든 지점에서 연속적입니다. 따라서 구간 (0;π)에서 이 함수는 역함수를 가지는데, 이는 엄격하게 감소하고 연속적입니다.
함수 y=ctg(x)(여기서 x ∈(0;π))에 대한 역함수는 아크코탄젠트라고 하며 y=arcctg(x)로 표시됩니다. 여기서 x∈R입니다.
따라서 역함수의 정의에 따르면 아크코탄젠트의 정의 영역은 R이 되고 값 집합은 간격(0;π)이 됩니다. 함수 y=arcctg(x)의 그래프입니다. 여기서 x∈R은 1/4과 3/4의 좌표 각도의 이등분선을 기준으로 함수 y=ctg(x) x∈(0 ;π)의 그래프에 대칭입니다.

함수 범위 y=arcctg(x).

예 번호 7.
arcctg((√3)/3)을 찾으시겠습니까?

값의 범위는 arcctg(x) x ∈(0;π)이므로 π/3 값만 적합합니다. 따라서 arccos((√3)/3) =π/3입니다.

예 번호 8.
arcctg(-(√3)/3)를 찾으시겠습니까?

값의 범위는 arcctg(x) x∈(0;π)이므로 2π/3 값만 적합합니다. 따라서 arccos(-(√3)/3) = 2π/3입니다.

편집자: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna