러시아 연방 일반 및 전문 교육부

시립 교육 기관

12호 체육관

구성

주제: 방정식과 이를 해결하는 방법

완료자 : 10 학년 "A"학생

크루트코 예브게니

확인자: 수학 교사 Iskhakova Gulsum Akramovna

튜멘 2001

계획................................................. ................................................. ...... ................................ 1

소개................................................. ....... ................................................. ............. ................. 2

주요 부분................................................ ................................................. ...... ............... 삼

결론................................................. ................................................. ...... ............... 25

애플리케이션................................................. ................................................. ....... ................ 26

사용된 문헌 목록.......................................................................... .......................................... 29

계획.

소개.

역사적 참고자료.

방정식. 대수 방정식.

a) 기본 정의.

b) 선형방정식과 이를 푸는 방법.

c) 이차 방정식과 이를 해결하는 방법.

d) 이항 방정식과 이를 푸는 방법.

e) 삼차 방정식과 이를 해결하는 방법.

f) 이차 방정식 및 이를 해결하는 방법.

g) 4차 방정식과 이를 해결하는 방법.

g) 고차 방정식 및 이를 해결하는 방법.

h) 유리대수방정식 및 그 방법

i) 불합리 방정식과 이를 해결하는 방법.

j) 부호 아래에 미지수가 포함된 방정식.

절대값과 이를 해결하는 방법.

초월 방정식.

a) 지수 방정식과 이를 푸는 방법.

b) 대수방정식 및 이를 해결하는 방법.

소개

종합학교에서 받는 수학교육은 현대인의 일반교육과 일반문화의 필수적인 구성요소이다. 현대인을 둘러싼 거의 모든 것이 어떻게든 수학과 연결되어 있습니다. 그리고 최근 물리학, 공학, 정보 기술의 발전은 미래에도 상황이 동일하게 유지될 것이라는 점에 의심의 여지가 없습니다. 따라서 많은 실제 문제를 해결하는 것은 해결 방법을 배워야 하는 다양한 유형의 방정식을 푸는 것으로 귀결됩니다.

본 연구는 위의 주제에 대해 연구한 자료를 요약하고 체계화하려는 시도이다. 가장 쉬운 것부터 시작하여 난이도에 따라 자료를 정리했습니다. 여기에는 학교 대수학 과정에서 우리에게 알려진 방정식 유형과 추가 자료가 모두 포함됩니다. 동시에 학교 과정에서는 공부하지 않지만 고등 교육 기관에 입학 할 때 지식이 필요할 수 있는 방정식의 유형을 보여 주려고 노력했습니다. 내 작업에서 방정식을 풀 때 나는 실제 솔루션에만 국한되지 않고 복잡한 솔루션도 표시했습니다. 그렇지 않으면 방정식이 단순히 풀리지 않는다고 믿기 때문입니다. 결국 방정식에 실근이 없다고 해서 해가 없다는 의미는 아닙니다. 아쉽게도 시간이 부족하여 제가 가지고 있는 자료를 모두 발표할 수는 없었지만, 여기에 제시된 자료라 하더라도 많은 질문이 생길 수 있습니다. 내 지식이 대부분의 질문에 답하기에 충분하기를 바랍니다. 그래서 자료를 소개하기 시작합니다.

수학은... 순서를 드러낸다.

대칭성과 확실성,

이것이 가장 중요한 유형의 아름다움입니다.

아리스토텔레스.

역사적 참고자료

현자들이 처음으로 알 수 없는 수량을 포함하는 평등에 대해 생각하기 시작한 그 먼 시대에는 아마도 동전이나 지갑이 없었을 것입니다. 하지만 거기에는 더미는 물론, 냄비와 바구니도 있었는데, 알 수 없는 개수의 물건을 담을 수 있는 보관 캐시 역할에 딱 맞는 것들이었습니다. "우리는 2/3, 1/2, 7분의 1을 더해 37이 되는 더미를 찾고 있습니다..."라고 기원전 2천년에 이집트 서기관 아메스가 가르쳤습니다. 메소포타미아, 인도, 중국, 그리스의 고대 수학 문제에서는 알 수 없는 양이 정원에 있는 공작새의 수, 무리에 있는 황소의 수, 재산을 분할할 때 고려하는 것들의 총합을 표현했습니다. 비밀 지식에 입문한 서기관, 관리 및 성직자는 회계 과학에 대해 잘 훈련되어 그러한 작업에 매우 성공적으로 대처했습니다.

우리에게 도달한 소식통에 따르면 고대 과학자들은 양을 알 수 없는 문제를 해결하기 위한 몇 가지 일반적인 기술을 가지고 있었습니다. 그러나 파피루스나 점토판에는 이러한 기술에 대한 설명이 포함되어 있지 않습니다. 저자는 때때로 "보세요!", "이것을 해보세요!", "올바른 것을 찾았습니다."와 같은 엉성한 설명으로 수치 계산을 제공했습니다. 이러한 의미에서 예외는 그리스 수학자 알렉산드리아의 디오판토스(3세기)의 "산술"입니다. 이는 솔루션을 체계적으로 표현하여 방정식을 구성하는 문제 모음입니다.

그러나 널리 알려진 최초의 문제 해결 매뉴얼은 9세기 바그다드 과학자의 작품이었다. 무함마드 빈 무사 알콰리즈미. 이 논문의 아랍어 이름인 "Kitab al-jaber wal-mukabala"( "복원 및 반대의 책")에서 "al-jabr"이라는 단어는 시간이 지남에 따라 잘 알려진 단어 "algebra"로 바뀌었고 작업은 알콰리즈미의 이론 자체가 방정식 풀이 과학 발전의 출발점이 되었습니다.

방정식 대수 방정식

기본 정의

대수학에서는 항등식과 방정식이라는 두 가지 유형의 평등이 고려됩니다.

신원포함된 문자의 모든 (허용 가능한) 값에 대해 유지되는 동등성입니다. 신원을 기록하기 위해 기호와 함께 기호도 사용됩니다.

방정식그 안에 포함된 문자의 특정 값에 대해서만 적용되는 동등성입니다. 문제의 조건에 따라 방정식에 포함된 문자는 동일하지 않을 수 있습니다. 일부는 허용되는 모든 값을 취할 수 있습니다. 매개변수또는 계수방정식은 일반적으로 라틴 알파벳의 첫 글자로 표시됩니다:, , ... - 또는 색인과 함께 제공되는 동일한 문자: , , ... 또는 , , ...); 가치를 찾아야 할 다른 사람들을 호출합니다. 알려지지 않은(일반적으로 라틴 알파벳의 마지막 문자: , , , ... - 또는 색인이 있는 동일한 문자: , , ... 또는 , , ...)로 지정됩니다.

일반적으로 방정식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

미지수의 수에 따라 방정식을 미지수가 1개, 2개 등인 방정식이라고 합니다.

방정식을 항등식으로 바꾸는 미지수의 값, 솔루션이라고 함방정식

방정식을 푼다는 것은 방정식의 많은 해를 찾거나 해가 없음을 증명하는 것을 의미합니다. 방정식 유형에 따라 방정식의 해 집합은 무한, 유한 또는 비어 있을 수 있습니다.

방정식의 모든 해가 방정식의 해라면 방정식은 방정식의 결과라고 말하고 다음과 같이 씁니다.

두 개의 방정식

~라고 불리는 동등한, 각각이 다른 것의 결과인 경우 작성하십시오.

따라서 두 방정식의 해 집합이 일치하면 두 방정식은 동일한 것으로 간주됩니다.

방정식에 대한 해 집합이 방정식에 대한 해 집합의 합집합과 일치하는 경우 방정식은 두 개(또는 그 이상) 방정식과 동일한 것으로 간주됩니다.

몇 가지 동등한 방정식:

방정식은 원래 방정식의 허용 가능한 값 집합에서 고려된 방정식과 동일합니다.

두 방정식과 동일하며 .

방정식은 방정식과 동일합니다.

홀수 n에 대한 방정식은 방정식과 동일하며, 짝수 n에 대해서는 두 방정식 and와 동일합니다.

대수 방정식형태의 방정식이라고 불린다.

여기서 는 하나 이상의 변수에서 n차 다항식입니다.

미지수가 하나인 대수 방정식는 다음 형식의 방정식으로 축소되는 방정식이라고 합니다.

여기서 n은 음이 아닌 정수입니다. 다항식의 계수 , , , ..., , 을 호출합니다. 계수(또는 매개변수) 방정식은 주어진 것으로 간주됩니다. x라고 불린다 알려지지 않은그리고 그것이 우리가 찾고 있는 것입니다. 숫자 n이 호출됩니다. 도방정식

대수 방정식을 항등식으로 변환하는 미지의 x 값을 뿌리(덜 자주 결정) 대수 방정식.

미리 만들어진 공식을 사용하여 풀 수 있는 방정식에는 여러 가지 유형이 있습니다. 이는 1차 및 2차 방정식과 F(x) 형식의 방정식입니다. 여기서 F는 표준 함수(제곱 또는 지수 함수, 로그, 사인, 코사인, 탄젠트 또는 코탄젠트) 중 하나입니다. 이러한 방정식은 가장 간단한 것으로 간주됩니다. 삼차 방정식에 대한 공식도 있지만 가장 간단한 것으로 간주되지는 않습니다.

따라서 방정식을 풀 때의 주요 임무는 방정식을 가장 간단한 것으로 줄이는 것입니다.

아래 나열된 모든 방정식에는 방정식의 왼쪽과 오른쪽을 미지수의 두 개의 동일한 함수로 표시하는 자체 그래픽 솔루션도 있습니다. 그런 다음 먼저 한 함수로 그래프를 구성한 다음 다른 함수로 구성하고 두 그래프의 교차점이 원래 방정식의 해를 제공합니다. 모든 방정식의 그래픽 솔루션 예가 부록에 나와 있습니다.

일차 방정식

일차 방정식 1차 방정식이라고 합니다.

여기서 a와 b는 실수입니다.

선형 방정식은 항상 단일 근을 가지며, 이는 다음과 같이 구됩니다.

방정식 (1)의 양쪽에 숫자를 더하면 방정식을 얻습니다.

방정식 (1)과 같습니다. 방정식 (2)의 양쪽을 값으로 나누면 방정식 (1)의 근을 얻습니다.

이차 방정식

2차 대수 방정식.

, (3)

여기서 , 는 실수라고 불리는 실수입니다. 이차 방정식. 이면 이차 방정식 (3)이 호출됩니다. 주어진 .

이차 방정식의 근은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

라는 표현이 판별력이 있는이차 방정식.

여기서:

이면 방정식에는 두 개의 서로 다른 실수근이 있습니다.

이면 방정식은 다중도 2의 하나의 실수 근을 갖습니다.

이면 방정식에는 실수 근이 없지만 두 개의 복소수 켤레 근이 있습니다.

, ,

이차 방정식(3)의 특정 유형은 다음과 같습니다.

1) 축소된 2차 방정식(if )은 일반적으로 다음 형식으로 작성됩니다.

주어진 이차 방정식의 근은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

. (4)

이 공식은 대수 기호의 발전에 지대한 공헌을 한 16세기 후반 프랑스 수학자 이름을 딴 비에타의 공식이라고 불립니다.

2) 짝수 번째 계수를 갖는 이차 방정식은 일반적으로 다음과 같이 작성됩니다.

( - 정수).

다음 공식을 사용하여 이 이차 방정식의 근을 계산하는 것이 편리합니다.

. (5)

공식 (4)와 (5)는 완전한 이차 방정식의 근을 계산하기 위한 특별한 유형의 공식입니다.

축소된 이차 방정식의 근

Vieta 공식에 의한 계수와 관련됩니다.

주어진 이차 방정식에 실수 근이 있는 경우 Vieta의 공식을 사용하면 이차 방정식 근의 부호와 상대 크기를 모두 판단할 수 있습니다. 즉:

이면 두 근이 모두 음수입니다.

이면 두 근이 모두 양수입니다.

, 이면 방정식은 서로 다른 부호의 근을 가지며 음의 근은 양의 근보다 절대값이 더 큽니다.

, 이면 방정식의 부호가 서로 다르고 음수 근이 절대값에서 양수 근보다 작습니다.

다시 이차방정식을 다시 써보자

(6)

그리고 우리는 계수와 자유 항을 통해 이차 방정식 (6)의 근을 유도하는 또 다른 방법을 보여줄 것입니다. 만약에

그런 다음 이차 방정식의 근은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

, .

이는 원래 방정식을 다음과 같이 변환하고 공식 (7)을 고려하여 얻을 수 있습니다.

그러므로 참고하세요

그러나 공식 (7)로부터 결국

+를 넣으면

그러므로 참고하세요

하지만 결국에는

이항방정식

형태의 n차 방정식

~라고 불리는 이항 방정식. 있음 및 교체)

근의 산술 값은 어디에 있습니까? 방정식 (8)은 방정식으로 축소됩니다.

홀수 n에 대한 이항 방정식은 하나의 실수 근을 갖습니다. 복소수 집합에서 이 방정식은 n개의 근을 갖습니다(이 중 하나는 실수이고 복소수입니다).

( 0, 1, 2, ..., ). (9)

실수 집합의 짝수 n에 대한 이항 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. , 그리고 복소수 집합에는 공식 (9)에 의해 계산된 n개의 근이 있습니다.

n에 대한 이항 방정식은 하나의 실수 근을 가지며, 근의 복소수 집합에서는 다음 공식으로 계산됩니다.

( 0, 1, 2, ..., ). (10)

n에 대한 이항방정식에는 실수근이 없습니다. 복소수 집합에서 방정식은 공식(10)에 의해 계산된 근을 갖습니다.

n의 특정 값에 대한 이항 방정식의 근 세트에 대한 간략한 요약을 제공합니다.

방정식에는 두 개의 실수 근이 있습니다.

방정식에는 두 개의 실수근과 두 개의 복소근이 있습니다.

방정식에는 실제 뿌리가 없습니다. 복잡한 뿌리: .

방정식에는 하나의 실수근과 두 개의 복소근이 있습니다.

방정식에는 실제 뿌리가 없습니다. 복잡한 뿌리:

, .

3차 방정식

바빌로니아와 고대 인도의 수학자들이 이차 방정식을 풀 수 있었다면 삼차 방정식, 즉 형태의 방정식

깨지기 힘든 너트로 판명되었습니다. 15세기 말. 로마 대학의 수학 교수와 밀라노 Luca Pacioli는 그의 유명한 교과서 "산술, 기하학, 관계 및 비례성에 대한 지식의 합계"에서 삼차 방정식을 풀기 위한 일반적인 방법을 찾는 문제를 제곱 문제와 동등한 수준으로 설정했습니다. 동호회. 그러나 이탈리아 대수학자들의 노력으로 그러한 방법이 곧 발견되었습니다.

단순화부터 시작해보자

일반형의 삼차방정식인 경우

로 나눈 다음 계수는 1이 됩니다. 따라서 앞으로는 방정식에서 진행할 것입니다.

이차 방정식의 해가 합의 제곱 공식에 기초한 것처럼, 삼차 방정식의 해는 합의 세제곱 공식에 기초합니다.

계수의 혼동을 피하기 위해 여기를 다음 용어로 바꾸고 재정렬해 보겠습니다.

우리는 를 적절하게 선택함으로써, 즉 를 취함으로써 이 공식의 우변이 계수 와 자유 항에서만 방정식 (11)의 좌변과 다르다는 것을 확인할 수 있습니다. 방정식 (11)과 (12)를 합산하고 유사한 방정식을 제시해 보겠습니다.

여기에 대입하면 항 c 없이 에 대한 삼차 방정식을 얻습니다.

따라서 우리는 삼차 방정식 (11)에서 적절한 대체를 사용하여 미지수의 제곱을 포함하는 항을 제거할 수 있음을 보여주었습니다. 따라서 이제 다음 형식의 방정식을 풀겠습니다.

. (13)

카르다노 공식

합계 큐브 공식을 다시 살펴보되 다르게 작성해 보겠습니다.

이 항목을 방정식 (13)과 비교하고 둘 사이의 연결을 설정해 보십시오. 힌트가 있어도 쉽지 않습니다. 우리는 알파벳 기호도 모르고 삼차방정식을 푼 르네상스 수학자들에게 경의를 표해야 합니다. 우리의 공식으로 대체해 봅시다:

이제 명확해졌습니다. 방정식 (13)의 근본을 찾으려면 방정식 시스템을 푸는 것으로 충분합니다.

또는

을 금액으로 하고 . 을 대체함으로써 이 시스템은 매우 간단한 형태로 축소됩니다.

그런 다음 다른 방식으로 행동할 수 있지만 모든 "도로"는 동일한 이차 방정식으로 이어집니다. 예를 들어, Vieta의 정리에 따르면 축소된 이차 방정식의 근의 합은 빼기 기호가 있는 계수와 같고 곱은 자유 항과 같습니다. 그것은 다음과 같고 는 방정식의 근입니다

이 뿌리를 적어 보겠습니다.

변수 및 는 및 의 삼차근과 동일하며, 삼차방정식(13)에 대한 원하는 해는 다음 근의 합입니다.

이 공식은 다음과 같이 알려져 있습니다. 카르다노 공식 .

삼각법 솔루션

, , . (14)

"불완전한" 삼차 방정식(14)의 근 , 는 다음과 같습니다.

, ,

"불완전한" 삼차 방정식(14)이 유효하다고 가정합니다.

a) 만약 (“환원 불가능한” 경우), 그렇다면

(b) 만약 , , 그렇다면

, ,

, .

, ,

, .

모든 경우에 세제곱근의 실제 값이 사용됩니다.

이차방정식

4차 대수 방정식.

여기서 a, b, c는 다음과 같은 실수입니다. 이차방정식. 대체에 의해 방정식은 이차 방정식으로 축소됩니다. 두 개의 이항 방정식을 풀고 ( 및 해당 이차 방정식의 근입니다).

과 이면 이차방정식은 4개의 실수근을 갖습니다:

, .

, )이면 이차 방정식에는 두 개의 실수 근과 허수 켤레 근이 있습니다.

과 이면 이차 방정식은 4개의 순전히 허수 쌍별 켤레 근을 갖습니다.

, .

4차 방정식

4차 방정식을 푸는 방법은 16세기에 발견되었습니다. Gerolamo Cardano의 학생인 Ludovico Ferrari. 그것이 바로 방법이라고 불리는 것입니다. 페라리 .

3차 방정식과 2차 방정식을 풀 때와 마찬가지로 4차 방정식에서도

대체를 통해 용어를 제거할 수 있습니다. 따라서 미지수의 세제곱 계수는 0이라고 가정합니다.

Ferrari의 아이디어는 의 형식으로 방정식을 표현하는 것이었습니다. 여기서 왼쪽은 표현식의 제곱이고 오른쪽은 의 선형 방정식의 제곱이며 계수는 에 의존합니다. 그 후에는 두 개의 이차 방정식을 풀어야 합니다: 및 . 물론, 그러한 표현은 특별한 매개변수 선택을 통해서만 가능합니다. 형식으로 취하는 것이 편리합니다. 그러면 방정식은 다음과 같이 다시 작성됩니다.

. (15)

이 방정식의 우변은 의 이차 삼항식입니다. 판별식이 0일 때 완전한 정사각형이 됩니다. 즉,

, 또는

이 방정식은 분해물(즉, "허용"). 이는 상대적으로 입방체이며 Cardano의 공식을 통해 우리는 그 뿌리 중 일부를 찾을 수 있습니다. 방정식 (15)의 우변이 다음과 같은 형태를 취할 때

방정식 자체는 두 개의 이차 방정식으로 축소됩니다.

그들의 근은 원래 방정식에 대한 모든 해를 제공합니다.

예를 들어 방정식을 풀어보겠습니다.

여기서는 기성 공식이 아닌 솔루션 아이디어를 사용하는 것이 더 편리합니다. 방정식을 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.

그리고 왼쪽에 완전한 정사각형이 형성되도록 양쪽에 표현식을 추가합니다.

이제 방정식 우변의 판별식을 0으로 동일시해 보겠습니다.

또는 단순화한 후에

결과 방정식의 근 중 하나는 자유 항의 제수를 정렬하여 추측할 수 있습니다. 이 값을 대체하면 방정식을 얻습니다.

어디 . 결과 이차 방정식의 근은 다음과 같습니다. 그리고 . 물론, 일반적인 경우 복소근도 얻을 수 있습니다.

데카르트-오일러 해법

대체하여 "불완전한" 형태로 축소됩니다.

. (16)

4차 방정식(16)의 "불완전한" 방정식의 근 , , 는 다음 표현식 중 하나와 같습니다.

조건이 만족되도록 부호의 조합을 선택하는 것

여기서 , 및 는 삼차 방정식의 근입니다.

고차 방정식

라디칼의 용해성

이차방정식의 근에 대한 공식은 아주 먼 옛날부터 16세기에 알려졌습니다. 이탈리아 대수학자들은 3차 및 4차 방정식을 근수로 풀었습니다. 따라서 4차를 초과하지 않는 모든 방정식의 근은 4개의 산술 연산(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)과 1차 근 추출만을 사용하는 공식에 의해 방정식의 계수를 통해 표현된다는 것이 확립되었습니다. 방정식의 차수를 초과하지 않습니다. 더욱이, 주어진 차수()의 모든 방정식은 하나의 일반 공식으로 "제공"될 수 있습니다. 방정식의 계수를 대체하여 실수와 복소수 모두의 근을 얻습니다.

그 후 자연스럽게 질문이 생겼습니다. 5차 이상의 방정식을 풀기 위한 유사한 일반 공식이 있습니까? 이에 대한 답은 19세기 초 노르웨이 수학자 닐스 헨릭 아벨(Niels Henrik Abel)에 의해 발견되었습니다. 조금 더 일찍 이 결과가 이탈리아의 Paolo Ruffini에 의해 지적되었지만 충분히 입증되지는 않았습니다. Abel-Ruffini 정리는 다음과 같습니다.

일반적인 힘의 방정식은 근수에서는 풀 수 없습니다.

따라서 주어진 차수의 모든 방정식에 적용할 수 있는 일반 공식은 없습니다. 그러나 이것이 근호에서 특정 유형의 높은 차수의 방정식을 푸는 것이 불가능하다는 것을 의미하지는 않습니다. Abel 자신은 소위 Abelian 방정식이라고 불리는 임의적으로 높은 수준의 광범위한 방정식에 대한 그러한 솔루션을 찾았습니다. Abel-Ruffini 정리는 각 특정 대수 방정식의 근이 산술 연산 및 근수 기호를 사용하여 계수를 통해 작성될 수 있다는 사실, 특히 모든 대수 수, 즉 다음 형식의 방정식의 근

정수 계수를 사용하면 유리수를 통해 근수로 표현될 수 있습니다. 사실 이런 표현이 항상 존재하는 것은 아닙니다. 이는 프랑스의 뛰어난 수학자 Evariste Galois가 "근수 방정식의 해결 가능성 조건에 관한 회고록"(1832, 1846년 출판)에서 구성한 대수 방정식의 해결 가능성 정리에서 나온 것입니다.

우리는 응용 문제에서 방정식 근의 대략적인 값에만 관심이 있다는 점을 강조합니다. 따라서 라디칼에 대한 용해도는 일반적으로 여기서 중요한 역할을 하지 않습니다. 기성 공식을 사용한 계산에서 제공되는 것보다 미리 결정된 정확도로 방정식의 근을 찾을 수 있는 특별한 계산 방법이 있습니다.

해결된 방정식

높은 차수의 방정식은 일반적으로 근호에서는 풀 수 없지만, 3차 및 4차 방정식에 대한 Cardano와 Ferrari의 공식은 학교 대수학 교과서와 대학 입학 시험에서 작동하지 않습니다. 두번째 등급. 일반적으로 일부 기본 기술을 사용하여 방정식의 근을 찾을 수 있도록 특별히 선택됩니다.

이러한 기술 중 하나는 다항식의 유리수 근에 관한 정리를 기반으로 합니다.

기약 분수가 정수 계수를 갖는 다항식의 근인 경우, 분자는 자유 항의 제수이고 분모는 최고 계수의 제수입니다.

이를 증명하려면 방정식에 이를 대입하고 방정식에 를 곱하면 됩니다. 우리는 얻는다

마지막 항을 제외한 좌변의 모든 항은 로 나누어지므로 로 나누어지며, 과 는 상대적으로 소수이므로 의 약수이다. 에 대한 증명은 비슷합니다.

이 정리를 사용하면 유한한 수의 "후보"를 테스트하여 정수 계수가 있는 방정식의 유리근을 모두 찾을 수 있습니다. 예를 들어, 방정식의 경우

선행 계수가 1인 경우 "후보자"는 숫자 -2의 제수가 됩니다. 그 중 1, -1, 2, -2의 네 가지만 있습니다. 확인 결과 다음 숫자 중 하나만 루트인 것으로 나타났습니다.

하나의 근이 발견되면 방정식의 차수를 낮출 수 있습니다. 베주의 정리에 따르면,

다항식을 이항식으로 나눈 나머지는 , 즉

그것은 다음의 정리로부터 직접적으로 따른다:

가 다항식의 근이면 다항식은 다음으로 나누어집니다. 즉, 는 1차보다 작은 다항식입니다.

계속해서 예를 들어 다항식을 살펴보겠습니다.

요인 . 몫을 찾으려면 모서리를 사용하여 나누기를 수행할 수 있습니다.

하지만 더 쉬운 방법이 있습니다. 예제를 보면 다음과 같이 명확해집니다.

이제 남은 것은 이차 방정식을 푸는 것뿐이다. . 그 뿌리:

불확실한 계수 방법

정수 계수를 갖는 다항식에 유리수 근이 없으면 이를 정수 계수를 사용하여 더 낮은 차수의 인수로 분해해 볼 수 있습니다. 예를 들어 다음 방정식을 고려해보세요.

좌변을 알 수 없는(정의되지 않은) 계수를 갖는 두 개의 정사각형 삼항식의 곱으로 상상해 보겠습니다.

오른쪽에 있는 괄호를 열고 비슷한 내용을 입력해 보겠습니다.

이제 두 부분에서 동일한 거듭제곱으로 계수를 동일시하면 방정식 시스템을 얻습니다.

이 시스템을 일반적인 형태로 풀려는 시도는 원래 방정식을 푸는 데 다시 도움이 됩니다. 그러나 전체 뿌리가 존재한다면 선택을 통해 찾는 것이 어렵지 않습니다. 일반성을 잃지 않고 다음과 같이 가정할 수 있습니다. 그러면 마지막 방정식은 두 가지 옵션만 고려해야 함을 보여줍니다: , 및 . 이 값 쌍을 나머지 방정식에 대입하면 그 중 첫 번째 값이 원하는 확장을 제공한다고 확신합니다. 이 솔루션은 계수가 정해지지 않은 방법 .

방정식의 형식이 , 여기서 과 는 다항식인 경우 대체는 해당 해를 더 낮은 차수의 두 방정식의 해로 줄입니다: 과 .

역 방정식

역수 대수 방정식은 다음 형식의 짝수 방정식입니다.

끝에서 등간격으로 떨어진 계수는 다음과 같습니다. , 등. 이러한 방정식은 로 나눈 다음 대체하여 절반 정도의 방정식으로 줄어듭니다.

예를 들어 다음 방정식을 고려해보세요.

이를 (루트가 아니기 때문에 적법한)로 나누면 다음을 얻습니다.

그것을주의해라

따라서 양은 이차 방정식을 만족합니다.

방정식에서 찾을 수 있는 해결 방법 .

더 높은 차수의 역방정식을 풀 때 그들은 일반적으로 어떤 표현이 차수의 다항식으로 표현될 수 있다는 사실을 사용합니다.

유리 대수 방정식

합리적인대수 방정식은 다음 형식의 방정식입니다.

유리 대수 방정식의 허용 가능한 값 세트 (17)

는 조건에 의해 주어집니다. 즉, , , ..., 여기서 , , ...는 다항식 의 근입니다.

식 (17)을 푸는 방법은 다음과 같다. 방정식 풀기

우리가 그 뿌리를 나타내는 것은

우리는 다항식의 근 세트를 비교합니다. 다항식의 근이 다항식의 근이 아닌 경우, 다항식의 모든 근은 방정식 (17)의 근입니다. 다항식의 근이 다항식의 근이면 다중도에서 비교하는 것이 필요합니다. 다항식의 근의 다중도가 다항식의 근의 다중도보다 크면 이 근은 근입니다. (17) 배수는 배당금과 제수의 근의 배수 사이의 차이와 동일합니다. 그렇지 않으면, 다항식의 근은 유리 방정식(17)의 근이 아닙니다.

예 방정식의 실제 근을 찾아보자

어디 , .

다항식에는 두 개의 실수 근이 있습니다(둘 다 단순함).

다항식에는 하나의 단순근이 있습니다. 따라서 방정식에는 하나의 실수 근이 있습니다.

복소수 세트에서 동일한 방정식을 풀면 방정식에 표시된 실수 근 외에도 두 개의 복소 켤레 근이 있음을 알 수 있습니다.

불합리 방정식

근호 아래에 미지수(또는 미지수에 대한 유리대수식)가 포함된 방정식을 다음과 같이 부릅니다. 비합리적인 방정식. 초등수학에서는 무리방정식의 해를 실수 집합에서 찾을 수 있습니다.

모든 비합리 방정식은 기본 대수 연산(곱셈, 나눗셈, 방정식의 양쪽을 정수 거듭제곱으로 올리기)을 사용하여 유리 대수 방정식으로 축소될 수 있습니다. 결과적인 유리 대수 방정식은 원래의 비합리 방정식과 동일하지 않은 것으로 판명될 수 있다는 점, 즉 원래의 비합리 방정식의 근이 아닌 "추가" 근을 포함할 수 있다는 점을 명심해야 합니다. 그러므로, 결과로 나오는 유리대수방정식의 근을 찾았다면, 유리대수방정식의 근이 모두 비합리방정식의 근이 될지 여부를 확인하는 것이 필요하다.

일반적인 경우, 비합리 방정식을 풀기 위한 보편적인 방법을 나타내는 것은 어렵습니다. 왜냐하면 원래의 비합리 방정식을 변환한 결과 결과가 단지 일부 유리 대수 방정식이 아닌 것이 바람직하기 때문입니다. 주어진 비합리 방정식의 근이 있을 것이지만, 가능한 가장 작은 차수의 다항식으로 형성된 유리 대수 방정식이 있을 것입니다. 가능한 한 작은 차수의 다항식으로 형성된 유리 대수 방정식을 얻으려는 욕구는 매우 자연스러운 것입니다. 왜냐하면 유리 대수 방정식의 모든 근을 찾는 것 자체가 다소 어려운 작업으로 판명될 수 있기 때문입니다. 매우 제한된 수의 경우.

비합리적인 대수 방정식을 풀기 위해 가장 자주 사용되는 몇 가지 표준 방법을 제시하겠습니다.

1) 비합리 방정식을 푸는 가장 간단한 방법 중 하나는 방정식의 양변을 적절한 자연 거듭제곱으로 연속적으로 올려 근수를 제거하는 방법입니다. 방정식의 양쪽 변을 홀수 거듭제곱하면 결과 방정식은 원래 방정식과 동일하며, 방정식 양쪽을 짝수 거듭제곱하면 결과 방정식은 일반적으로 다음과 같습니다. 말하자면, 원래 방정식과 동일하지 않습니다. 이는 방정식의 양쪽을 올리면 쉽게 확인할 수 있습니다.

어느 정도까지. 이 작업의 결과는 방정식입니다.

그 솔루션 세트는 솔루션 세트의 통합입니다.

그리고 .

그러나 이러한 단점에도 불구하고 비합리 방정식을 유리 방정식으로 줄이는 가장 일반적인 절차는 방정식의 양쪽 변을 어느 정도(종종 짝수) 거듭제곱하는 절차입니다.

여기서 , 는 일부 다항식입니다.

실수 집합에서 근을 추출하는 작업의 정의로 인해 미지수의 허용 값은 조건에 따라 결정됩니다.

방정식 (18)의 양쪽을 제곱하면 방정식을 얻습니다.

다시 제곱하면 방정식은 대수 방정식이 됩니다.

방정식 (18)의 양쪽 변이 제곱되었기 때문에 방정식 (19)의 모든 근이 원래 방정식의 해가 될 수는 없다는 것이 밝혀질 수 있습니다. 근을 확인하는 것이 필요합니다.

2) 비합리방정식을 푸는 또 다른 예로는 새로운 미지수를 도입하는 방법이 있는데, 이를 통해 더 간단한 비합리방정식이나 유리방정식을 구하게 된다.

예 2. 비합리 방정식 풀기

이 방정식의 유효한 값 세트는 다음과 같습니다.

넣어 , 치환 후에 우리는 방정식을 얻습니다

또는 등가 방정식

에 대한 이차 방정식으로 간주될 수 있습니다. 이 방정식을 풀면,

따라서 원래 비합리 방정식의 해 집합은 다음 두 방정식의 해 집합의 합집합입니다.

, .

각 방정식의 양쪽 변을 입방체로 올리면 두 개의 유리 대수 방정식을 얻습니다.

, .

이 방정식을 풀면 이 비합리 방정식에는 단일 근이 있음을 알 수 있습니다.

결론적으로, 우리는 비합리 방정식을 풀 때 방정식의 양쪽을 자연 거듭제곱으로 올리고, 비합리 방정식의 해를 유리 대수 방정식의 해로 줄이려고 하여 방정식 풀이를 시작해서는 안 된다는 점에 유의합니다. 먼저 방정식의 해를 상당히 단순화할 수 있는 동일한 변환을 수행하는 것이 가능한지 확인해야 합니다.

. (20)

이 방정식에 허용되는 값 세트는 다음과 같습니다. 이 방정식을 다음과 같이 변환해 보겠습니다.

방정식에는 해결책이 없습니다.

방정식이 다음과 같이 쓰여질 수 있을 때

이 방정식에 해가 없으면 방정식의 허용 가능한 값 집합에 속하는 임의의 에 대해 방정식 왼쪽의 표현식은 양수입니다.

방정식에 해가 있을 때

방정식에 대해 허용되는 해 세트가 조건에 의해 결정된다는 점을 고려하여 최종적으로 다음을 얻습니다.

비합리 방정식 (20)을 풀면 다음과 같은 결과가 나올 것입니다.

다른 모든 값의 경우 방정식에는 해가 없습니다. 즉 해의 집합은 빈 집합입니다.

절대값 기호 아래에 미지수가 포함된 방정식

절대값 기호가 있는 미지수를 포함하는 방정식은 모듈러스 정의를 사용하여 절대값 기호가 없는 방정식으로 축소될 수 있습니다. 예를 들어 방정식을 풀면

(21)

추가 조건을 사용하여 두 방정식을 푸는 것으로 줄어듭니다.

1) 이면 식 (21)은 다음과 같은 형태로 축소된다.

. (22)

이 방정식의 해법: , . 조건은 2차 방정식(22)의 두 번째 근에 의해 충족되고, 숫자 3은 방정식(21)의 근이 된다.

2) 이면 식 (21)은 다음과 같은 형태로 축소된다.

이 방정식의 근본은 숫자입니다. 그리고 . 첫 번째 루트 는 조건을 만족하지 않으므로 이 방정식(21)의 해가 아닙니다.

따라서 방정식 (21)의 해는 숫자 3과 가 됩니다.

절대값 기호 아래에 미지수를 포함하는 방정식의 계수는 방정식의 해가 수치 축의 특정 간격에 속하는 미지수의 모든 값이 되는 방식으로 선택할 수 있습니다. 예를 들어 방정식을 풀어 봅시다.

. (23)

숫자 축 Ox를 살펴보고 그 위에 점 0과 3을 표시해 보겠습니다(절대값 기호 아래 함수의 0). 이 점들은 수직선을 세 개의 간격으로 나눕니다(그림 1).

1) 식 (23)을 다음과 같은 형태로 축소하면

구간에서 마지막 방정식에는 해가 없습니다.

마찬가지로 식 (23)을 다음과 같은 형태로 축소하면

그 간격에는 해결책이 없습니다.

2) 식 (23)을 다음과 같은 형태로 축소하면

즉, 정체성으로 변합니다. 따라서 모든 값은 방정식 (23)의 해입니다.

초월 방정식

대수 변환을 사용하여 대수 방정식으로 줄일 수 없는 방정식을 호출합니다. 초월 방정식 ).

가장 간단한 초월 방정식은 지수 방정식, 대수 방정식, 삼각 방정식입니다.

지수 방정식

지수 방정식미지수가 특정 상수 밑수에 대한 지수에만 나타나는 방정식입니다.

해가 대수 방정식의 해로 감소되는 가장 간단한 지수 방정식은 다음 형식의 방정식입니다.

여기서 및 은 양수입니다. 지수 방정식 (24)는 대수 방정식과 동일합니다

가장 간단한 경우, 지수 방정식 (24)는 다음과 같은 해를 갖습니다.

다음 형식의 지수 방정식에 대한 해 집합

다음과 같이 발견되는 다항식은 어디에 있습니까?

새로운 변수가 도입되고 방정식 (25)는 미지수에 대한 대수적으로 풀립니다. 그 후, 원래 방정식(25)을 푸는 것은 형식(24)의 가장 간단한 지수 방정식을 푸는 것으로 축소됩니다.

예 1. 방정식 풀기

방정식을 형식으로 작성

새로운 변수를 도입하여 변수에 대한 삼차 방정식을 얻습니다.

이 삼차 방정식이 하나의 유리근과 두 개의 무리근을 가지고 있음을 쉽게 확인할 수 있습니다: 및 .

따라서 원래 방정식을 푸는 것은 가장 간단한 지수 방정식을 푸는 것으로 축소됩니다.

나열된 마지막 항목에는 솔루션 방정식이 없습니다. 첫 번째 및 두 번째 방정식에 대한 솔루션 세트:

가장 간단한 지표 방정식 중 일부는 다음과 같습니다.

1) 형태의 방정식

2) 형태의 방정식

대체는 이차 방정식으로 감소됩니다.

3) 형태의 방정식

대체는 이차 방정식으로 감소됩니다.

로그 방정식

대수방정식은 미지수가 로그 함수에 대한 인수로 나타나는 방정식입니다.

가장 간단한 로그 방정식은 다음 형식의 방정식입니다.

, (26)

여기서 1과 다른 양수는 실수입니다. 대수 방정식 (26)은 대수 방정식과 동일합니다.

가장 간단한 경우, 로그 방정식(26)은 다음의 해를 갖습니다.

다음 형식의 로그 방정식에 대한 해 세트 , 여기서 지정된 미지수의 다항식은 다음과 같이 구됩니다.

새로운 변수가 도입되고 방정식 (25)는 에 대한 대수 방정식으로 풀립니다. 그 후, (25) 형식의 가장 간단한 로그 방정식이 풀립니다.

예 1. 방정식 풀기

미지수에 대해 이 방정식은 2차 방정식입니다.

이 방정식의 근은 다음과 같습니다. , .

로그 방정식 풀기

우리는 대수 방정식 (27)에 대한 해를 구합니다: , .

어떤 경우에는 대수 방정식의 해를 대수 방정식과 단순 로그 방정식의 순차 해로 줄이기 위해 먼저 방정식에 포함된 로그를 적절하게 변환해야 합니다. 이러한 변환은 두 수량의 로그 합을 이러한 수량의 곱의 로그로 변환하는 것, 한 밑을 갖는 로그에서 다른 밑을 갖는 로그로의 전환 등일 수 있습니다.

예 2. 방정식 풀기

이 방정식의 해를 대수 방정식과 단순 로그 방정식의 순차 해로 축소하려면 먼저 모든 로그를 한 밑으로(여기서는 밑이 2로) 줄여야 합니다. 이를 위해 우리는 공식을 사용합니다

그 덕분에 . 방정식 (28)에 동일한 값을 대입하면 방정식을 얻습니다.

대사 이 방정식은 미지수에 대한 이차 방정식으로 축소됩니다.

이 이차 방정식의 근은 다음과 같습니다. , . 우리는 방정식을 풀고 :

예 3. 방정식 풀기

두 수량의 로그 사이의 차이를 이들 수량의 몫의 로그로 변환:

이 방정식을 가장 간단한 로그 방정식으로 줄입니다.

결론

다른 과학과 마찬가지로 수학은 사회 발전과 함께 가만히 있지 않고 사람들의 견해가 바뀌고 새로운 생각과 아이디어가 떠오릅니다. 그리고 이런 의미에서 20세기도 예외는 아니었습니다. 컴퓨터의 출현으로 방정식을 푸는 방법이 조정되어 훨씬 쉬워졌습니다. 그러나 컴퓨터가 항상 가까이에 있지 않을 수도 있으므로(시험, 테스트) 최소한 방정식을 푸는 가장 중요한 방법에 대한 지식이 필요합니다. 일상생활에서 방정식을 사용하는 경우는 거의 없습니다. 그들은 경제의 여러 부문과 거의 모든 최신 기술에 적용되었습니다.

이 연구에서는 방정식을 푸는 모든 방법과 모든 유형이 제시되지는 않았지만 가장 기본적인 것만 제시되었습니다. 내 에세이가 특정 방정식을 푸는 데 좋은 참고 자료가 될 수 있기를 바랍니다. 결론적으로 나는 이 에세이를 쓸 때 모든 종류의 방정식을 보여주겠다는 목표를 세웠던 것이 아니라, 내가 가지고 있는 자료만을 제시했다는 점에 주목하고 싶다.

사용된 문헌 목록

머리. 에드. M. D. Aksenova. 어린이를 위한 백과사전. 11권. 수학. – M.: Avanta+, 1998. – 688p.

Tsypkin A.G. Ed. S. A. 스테파노바. 중등학교 수학 수첩. – M .: Nauka, 1980.- 400p.

G. 콘과 T. 콘. 과학자와 엔지니어를 위한 수학 핸드북. – M .: Nauka, 1970.- 720 p.

) 아래에 받아들일 수 있는등식에 포함된 문자에 대해 수행되는 모든 작업이 가능한 문자의 수치 값이 이해됩니다. 예를 들어 등식에 포함된 문자의 유효한 값은

다음과 같습니다. 을 위한 ; ~을 위해, ~을 위해

) a와 b의 부호가 다르면 입니다.

) 이 사건은 논의된 사건과 유사합니다.

) 아래에 대수적 변환방정식

다음 변환을 이해합니다.

1) 방정식의 양쪽에 동일한 대수식을 추가합니다.

2) 방정식의 양쪽에 동일한 대수식을 곱합니다.

3) 방정식의 양쪽을 유리수 거듭제곱으로 올립니다.

러시아 연방 일반 및 전문 교육부

시립 교육 기관

12호 체육관

구성

주제: 방정식과 이를 해결하는 방법

완료자 : 10 학년 "A"학생

크루트코 예브게니

확인자: 수학 교사 Iskhakova Gulsum Akramovna

튜멘 2001

계획................................................. ................................................. ...... ................................ 1

소개................................................. ....... ................................................. ............. ................. 2

주요 부분................................................ ................................................. ...... ............... 삼

결론................................................. ................................................. ...... ............... 25

애플리케이션................................................. ................................................. ....... ................ 26

사용된 문헌 목록.......................................................................... .......................................... 29

계획.

소개.

역사적 참고자료.

방정식. 대수 방정식.

a) 기본 정의.

b) 선형방정식과 이를 푸는 방법.

c) 이차 방정식과 이를 해결하는 방법.

d) 이항 방정식과 이를 푸는 방법.

e) 삼차 방정식과 이를 해결하는 방법.

f) 이차 방정식 및 이를 해결하는 방법.

g) 4차 방정식과 이를 해결하는 방법.

g) 고차 방정식 및 이를 해결하는 방법.

h) 유리대수방정식 및 그 방법

i) 불합리 방정식과 이를 해결하는 방법.

j) 부호 아래에 미지수가 포함된 방정식.

절대값과 이를 해결하는 방법.

초월 방정식.

a) 지수 방정식과 이를 푸는 방법.

b) 대수방정식 및 이를 해결하는 방법.

소개

수학은... 순서를 드러낸다.

대칭성과 확실성,

이것이 가장 중요한 유형의 아름다움입니다.

아리스토텔레스.

역사적 참고자료

방정식 대수 방정식

기본 정의

대수학에서는 항등식과 방정식이라는 두 가지 유형의 평등이 고려됩니다.

신원포함된 문자의 모든 (허용 가능한) 값에 대해 유지되는 동등성입니다. 기호와 함께 신원을 기록하려면

기호도 사용됩니다.

방정식그 안에 포함된 문자의 특정 값에 대해서만 적용되는 동등성입니다. 문제의 조건에 따라 방정식에 포함된 문자는 동일하지 않을 수 있습니다. 일부는 허용되는 모든 값을 취할 수 있습니다. 매개변수또는 계수방정식은 일반적으로 라틴 알파벳의 첫 글자로 표시됩니다.

, , ... - 또는 색인과 함께 제공되는 동일한 문자: , , ... 또는 , , ...); 가치를 찾아야 할 다른 사람들을 호출합니다. 알려지지 않은(일반적으로 라틴 알파벳의 마지막 문자: , , , ... - 또는 색인이 있는 동일한 문자: , , ... 또는 , , ...)로 지정됩니다.

일반적으로 방정식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

( , , ..., ) .

미지수의 수에 따라 방정식을 미지수가 1개, 2개 등인 방정식이라고 합니다.

방정식을 항등식으로 바꾸는 미지수의 값, 솔루션이라고 함방정식

방정식의 모든 해가

방정식의 해이다

대수방정식의 종류와 해결방법

수학에 관심이 있는 학생의 경우, 더 높은 차수의 대수 방정식을 풀 때 나머지를 이항 x -  또는 ax + b로 나누어 근을 빠르게 찾는 효과적인 방법은 Horner 방식입니다.

Horner의 계획을 고려하십시오.

P(x)를 x – 로 나눌 때 불완전한 몫을 표시해 보겠습니다.

Q(x) = b 0 x n -1 + b 1 x n -2 + ... + b n -1이고 나머지는 bn입니다.

P(x) = Q (x)(x–) + b n이므로 등식이 성립합니다.

0 xn + а 1 x n -1 + … + а n = (b 0 x n -1 + b 1 x n -2 + … + b n -1)(х– ) + bn

오른쪽의 괄호를 열고 왼쪽과 오른쪽의 동일한 x 거듭제곱에 대한 계수를 비교해 보겠습니다. 우리는 a 0 = b 0 이고 1  k  n에 대해 관계 a k = b k -  b k -1이 성립함을 얻습니다. b 0 = a 0 및 b k = a k +  b k -1, 1  k  n이 됩니다.

다항식 Q (x)의 계수 계산과 나머지 b n을 테이블 형식으로 작성합니다.

ㅏ n-1

ㅏ N

b 0 = 0

b 1 = a 1 +  b 0

b 2 = a 2 +  b 1

b n-1 = a n-1 +  b n-2

b n = a n +  b n-1

예 1. 다항식 2x 4 – 7x 3 – 3x 2 + 5x – 1을 x + 1로 나눕니다.

해결책. 우리는 Horner의 계획을 사용합니다.

2x 4 – 7x 3 – 3x 2 + 5x – 1을 x + 1로 나누면 2x 3 – 9x 2 + 6x – 1이 됩니다.

답: 2 x 3 – 9x 2 + 6x – 1

예 2. P(3)를 계산합니다. 여기서 P(x) = 4x 5 – 7x 4 + 5x 3 – 2x + 1

해결책. Bezout의 정리와 Horner의 계획을 사용하여 다음을 얻습니다.

답: P(3) = 535

운동

Horner의 다이어그램을 사용하여 다항식을 나눕니다.

4x 3 – x 5 + 132 – x + 2의 8x 2;

2) 다항식을 나눕니다

2x 2 – 3x 3 – x + x 5 + 1 on x + 1;

3) x = 7에 대해 다항식 P 5 (x) = 2x 5 – 4x 4 – x 2 + 1의 값을 구합니다.

1.1. 정수 계수를 사용하여 방정식의 유리수 근 찾기

정수 계수를 갖는 대수 방정식의 유리수 근을 찾는 방법은 다음 정리에 의해 제공됩니다.

정리:정수 계수가 있는 방정식에 유리수 근이 있으면 자유 항의 제수를 최고 계수의 제수로 나눈 몫입니다.

증거: 0 x n + 1 x n -1 + … + n = 0

x = p/라고 하자 q는 유리수 근이고, q, p는 서로소입니다.

분수 p/q를 방정식에 대입하고 분모에서 벗어나면 다음을 얻습니다.

0r n + a 1 p n -1 q + … + an -1 pq n -1 + a n q n = 0 (1)

(1)을 두 가지 방법으로 다시 작성해 보겠습니다.

a n q n = р(– а 0 р n -1 – а 1 р n -2 q – … – а n -1 q n -1) (2)

0r n = q (– а 1 р n -1 –… – а n -1 рq n -2 – а n q n -1) (3)

등식 (2)로부터 a n q n은 p로 나누어질 수 있으며, 이후 qn과 p가 서로소이면, n은 p로 나누어집니다. 마찬가지로, 등식 (3)으로부터 a 0은 q로 나누어질 수 있습니다. 정리가 입증되었습니다.

예 1. 방정식 2x 3 – 7x 2 + 5x – 1 = 0을 풉니다.

해결책. 방정식에는 정수근이 없습니다. 방정식의 유리수 근을 찾습니다. 기약분수 p /q를 방정식의 근으로 하면 p는 자유항의 제수 중에서 발견됩니다. 즉, 숫자  1 및 선행 계수의 양의 제수 중 q: 1; 2.

저것들. 방정식의 유리근은 숫자  1,  1/2 중에서 찾아야 하며 P 3 (x) = 2x 3 – 7x 2 + 5x – 1, P 3 (1)  0, P 3 (–1)을 나타냅니다.  0,

P 3 (1/2) = 2/8 – 7/4 + 5/2 – 1 = 0, 1/2가 방정식의 근입니다.

2x 3 – 7x 2 + 5x – 1 = 2x 3 – x 2 – 6 x 2 + 3x + 2x – 1 = 0.

우리는 다음을 얻습니다: x 2 (2x – 1) – 3x (2x – 1)+ (2x – 1) = 0; (2x – 1)(x 2 – 3x + 1) = 0.

두 번째 요소를 0으로 동일시하고 방정식을 풀면 다음을 얻습니다.

답변:
,

수업 과정

방정식 풀기:

6x 3 – 25x 2 + 3x + 4 = 0;

6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + 2x + 1 = 0;

3x 4 – 8x 3 – 2x 2 + 7x – 1 = 0;

1.2. 역방정식 및 해법

정의.미지수에 대한 정수 거듭제곱을 갖는 방정식은 왼쪽 끝에서 등거리에 있는 계수가 서로 동일한 경우 반복이라고 합니다. 형태의 방정식

ㅏ xn + bxn -1 + cxn -2 + … + cx 2 + bx + a = 0

홀수차의 역방정식

ㅏ x 2 n +1 + bx 2 n + cx 2 n -1 + … + cx 2 + bx + a = 0

항상 근 x = – 1을 갖습니다. 따라서 방정식 x + 1 = 0과  x 2 n +  x 2 n -1 + … +  x +  = 0을 결합하는 것과 같습니다. 마지막 방정식은 다음과 같습니다. 짝수의 역방정식. 따라서 임의의 차수의 역 방정식을 푸는 것은 짝수 차의 역 방정식을 푸는 것으로 축소됩니다.

어떻게 해결하나요? 짝수차의 역방정식을 주어보자

ㅏ x 2 n + bx 2 n -1 + … + dx n +1 + ex n + dx n -1 + … + bx + a = 0

x = 0은 방정식의 근이 아닙니다. 그런 다음 방정식을 xn으로 나누면 다음을 얻습니다.

ㅏ xn + bx n -1 + … + dx + e + dx -1 + … + bx 1- n + аx -n = 0

우리는 왼쪽 항을 쌍으로 그룹화합니다.

ㅏ( xn + x - n ) + b (xn -1 + x -(n -1) + … + d(x + x -1 ) + e = 0

x + x -1 = y를 대체합니다. 표현식 x 2 + x -2 = y 2 – 2를 대체한 후;

x 3 + x -3 = y 3 – 3y; x 4 + x -4 = y 4 – 4y + 2를 방정식에 넣으면 다음 방정식을 얻습니다. ~에Ау n + By n -1 +Cy n -2 + … + Ey + D = 0.

이 방정식을 풀려면 x + x -1 = y k 형식의 여러 2차 방정식을 풀어야 합니다. 여기서 k = 1, 2, ... n입니다. 따라서 우리는 원래 방정식의 근을 얻습니다.

예 1. 방정식 x 7 + x 6 – 5x 5 – 13x 4 – 13x 3 – 5x 2 + 2x + 1 = 0을 풉니다.

해결책. x = – 1은 방정식의 근입니다. Horner의 계획을 적용해 보겠습니다.

우리의 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

(x + 1)(x 6 + x 5 – 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + x + 1) = 0

1) x + 1 = 0, x = -1;

2) x 6 + x 5 – 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + x + 1 = 0 | : 3개  0; x 3 + x 2 – 6x – 7 – 6/x + 1/x 2 + 1/x 3 =0.

그룹화하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

대체품을 소개하겠습니다.
;
;
.

우리는 상대적으로 ~에방정식: y 3 – 3y + y 2 – 2 – 6y – 7 = 0;

y 3 + y 2 – 9y – 9 = 0; y 2 (y + 1) – 9 (y + 1) = 0; (y + 1)(y 2 – 9); y 1 = -1, y 2,3 =  3.

방정식 풀기
,
,
,

우리는 뿌리를 얻습니다:
,
,
,

답: x 1 = -1,
,

수업 과정

방정식을 푼다.

2x 5 + 5x 4 – 13x 3 – 13x 2 + 5x + 2 = 0;

2x 4 + 3x 3 – 16x 2 + 3x + 2 = 0;

15x 5 + 34x 4 + 15x 3 – 15x 2 – 34x – 15 = 0.

1.3. 방정식 풀이를 위한 변수 대체 방법

변수 대체 방법이 가장 일반적인 방법입니다. 가변적인 변화를 만드는 기술은 어떤 변화가 가장 합리적이고 더 빨리 성공할 수 있는지 확인하는 것입니다.

방정식이 주어지면

F(f(x)) = 0, (1)

그런 다음 알려지지 않은 y = f (x)를 대체하여 먼저 방정식으로 축소됩니다.

F(y) = 0, (2)

그런 다음 방정식 (2) y 1, y 2, ..., y n, ...에 대한 모든 해를 찾은 후 방정식 세트 f (x) = y 1, f (x) = y 2를 푸는 것으로 축소됩니다. ,..., f(x) = y 2,...

변수 대체 방법을 구현하는 주요 방법은 다음과 같습니다.

분수의 기본 속성을 사용합니다.

이항식의 제곱을 강조하는 것;

방정식 시스템으로의 전환;

쌍으로 여는 괄호;

괄호를 쌍으로 열고 방정식의 양쪽을 나눕니다.

방정식의 차수를 감소시키는 것;

이중 교체.

1.3.1. 방정식의 거듭제곱 줄이기

방정식 풀기 (x 2 + x + 2)(x 2 + x + 3) = 6 (3)

해결책. x 2 + x + 2 = y를 나타내고 y (y + 1) = 6을 취하여 후자를 풀면 y 1 = 2, y 2 = -3을 얻습니다. 이 방정식 (3)은 방정식 세트 x 2 + x + 2 = 2와 동일합니다.

x 2 + x + 2 = -3

첫 번째를 풀면 x를 얻습니다. 1 = 0, x 2 = -1. 두 번째를 풀면, 우리는 얻는다.
,

답: x 1 = 0, x 2 = -1,

1.3.2. (x + a)(x + 형식의 4차 방정식비 )(엑스 + 씨 )(엑스 + 디 ) = 중 , 여기서 a + b = c + d, 또는 a + c = b + d, 또는 a + d = b + c.

예. 방정식 풀기 (x - 1)(x - 7)(x -4)(x + 2) = 40

해결책. – 1- 4 = - 7 + 2, - 5 = - 5, 이 괄호 쌍을 곱하면 방정식 (x 2 - 5x - 14)(x 2 - 5x + 4) = 40을 얻습니다.

대체를 도입해 보겠습니다. x 2 - 5x – 14 = y, 방정식 y(y + 18) = 40, y 2 + 18y = 40, y 2 + 18y – 40 = 0을 얻습니다. y 1 = -20, y 2 = 2. 원래 변수로 돌아가서 일련의 방정식을 풉니다.

X 2 - 5x – 14 = - 20 x 1 = 2; x 2 = 3

x 2 - 5x – 14 = 2 x 3.4 =

답: x 1 = 2; x 2 = 3 x 3.4 =

1.3.3. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Ex 2 형식의 방정식,

어디 ab = cd, ac =bd, ad = bc입니다. 브래킷을 쌍으로 열고 두 부분을 x 2  0으로 나눕니다.

예. (x - 1)(x - 2)(x - 8)(x - 4) = 4x 2

해결책. 첫 번째와 세 번째, 두 번째와 네 번째 괄호에 있는 숫자의 곱은 같습니다. 즉, – 8 (- 1) = (- 2)(- 4). 표시된 괄호 쌍을 곱하고 방정식 (x 2 - 9x + 8)(x 2 - 6x + 8) = 4x 2를 작성해 보겠습니다.

x = 0은 방정식의 근이 아니므로 방정식의 양변을 x로 나눕니다. 2  0, 우리는 다음을 얻습니다:
, 교체:
, 원래 방정식의 형식은 다음과 같습니다.티(티+3) =4, 티 2 + 3 티=4, 티 2 + 3 티 – 4=0, 티 1 =1, 티 2 = - 4.

원래 변수로 돌아가 보겠습니다.

x 2 - 10x + 8 = 0

x 2 - 5x + 8 = 0

첫 번째 방정식을 풀면 x를 얻습니다. 1,2 = 5 

두 번째 방정식에는 근이 없습니다.

답: x 1.2 = 5 

1.3.4. 네 번째 유형의 방정식 (ax 2 + b 1 x + c)(a x 2 + b 2 x + c) = A x 2

방정식 (ax 2 + 비 1개+ 씨)(ㅏ× 2 + 비 2 엑스 + 씨) = ㅏ x 2, 여기서 c  0, 에이  2
, 알 수 없는 항목을 교체한 후
정사각형으로 다시 작성할 수 있으며 쉽게 풀 수 있습니다.

예. (x 2 + x+ 2)(x 2 + 2x + 2) = 2x 2

해결책. 이 방정식을 x로 나누면 x = 0이 이 방정식의 근이 아니라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 2 , 우리는 방정식을 얻습니다

대사
, 우리는 방정식 (y+1)(y+2) = 2를 얻고 그것을 풀면 근 y를 얻습니다. 1 = 0; 2시에 = - 3이므로 원래 방정식은 방정식 세트와 동일합니다.

풀면 x 1 = -1을 얻습니다. x 2 = -2.

답: x 1 = -1; x 2 = -2

1.3.5. 형식 방정식: a (cx 2 + p 1 x + q) 2 + b (cx 2 + p 2 x + q) 2 = Ax 2

방정식 ㅏ(CX 2 + 피 1 엑스 + 큐) 2 + 비(CX 2 + 피 2 엑스 + 큐) 2 = 도끼 2 어디 ㅏ, 비, 씨, 큐, ㅏ그런거야 큐 0, ㅏ 0, 씨 0, ㅏ 0, 비 0에는 x = 0이라는 근이 없으므로 방정식을 x로 나눕니다. 2 , 우리는 등가 방정식을 얻습니다
, 교체 후
쉽게 풀 수 있는 이차 방정식으로 다시 작성할 수 있습니다. + 1)( x 2 – 14x + 15 = 0

엑스 2 – 7 엑스 + 15 = 0

답변:

일차 방정식대수 방정식이다. 이 방정식에서 구성 다항식의 총 차수는 1과 같습니다.

선형 방정식은 다음과 같이 표시됩니다.

일반적인 형태: ㅏ 1 엑스 1 + ㅏ 2 엑스 2 + … + nxn + 비 = 0

정식 형식: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + an x n = b.

변수가 하나인 선형 방정식.

변수가 1개인 선형 방정식은 다음 형식으로 축소됩니다.

도끼+ 비=0.

예를 들어:

2x + 7 = 0. 어디 a=2, b=7;

0.1x - 2.3 = 0.어디 a=0.1, b=-2.3;

12x + 1/2 = 0.어디 a=12, b=1/2.

뿌리의 수는 다음에 달려 있습니다. ㅏ그리고 비:

언제 ㅏ= 비=0 , 이는 방정식의 해가 무제한이라는 것을 의미합니다.

언제 ㅏ=0 , 비≠ 0 , 이는 방정식에 근이 없음을 의미합니다.

언제 ㅏ ≠ 0 , 이는 방정식에 근이 하나만 있음을 의미합니다.

두 개의 변수가 있는 선형 방정식.

변수가 있는 방정식 엑스유형의 평등입니다 A(x)=B(x), 어디 도끼)그리고 비(엑스)- 표현 엑스. 세트로 교체할 때 티가치 엑스방정식에 우리는 진정한 수치적 평등을 얻습니다. 진실 세트이 방정식 또는 주어진 방정식의 해, 이러한 모든 변수 값은 다음과 같습니다. 방정식의 뿌리.

2개 변수의 선형 방정식은 다음 형식으로 표시됩니다.

일반적인 형태: 도끼 + by + c = 0,

정식 형식: 도끼 + by = -c,

선형 함수 형식: y = kx + m, 어디 .

이 방정식의 해 또는 근은 다음과 같은 변수 값 쌍입니다. (x;y), 이를 통해 ID가 생성됩니다. 2개의 변수가 있는 선형 방정식에는 이러한 해(근)가 무제한으로 포함됩니다. 이 방정식의 기하학적 모델(그래프)은 직선입니다. y=kx+m.

방정식에 x 제곱이 포함되어 있으면 방정식이 호출됩니다.

수학. 대수학. 기하학. 삼각법

대수학: 방정식과 방정식 시스템

4.2. 방정식의 종류와 해결 방법

주어진 방정식을 모두 만족하는 변수의 값을 찾아야 하는 경우, 주어진다고 말합니다. 방정식 시스템. 중괄호는 시스템을 나타내는 데 사용됩니다.

하나의 변수 형태를 갖는 여러 방정식 방정식 세트, 작업이 변수의 모든 값을 찾는 것이라면 각 값은 이러한 방정식 중 적어도 하나의 근입니다. 대괄호는 인구를 나타내는 데 사용됩니다.

모듈러스 기호 아래에 변수가 포함된 방정식입니다.

숫자의 절대값 ㅏ다음과 같이 정의됩니다:

예: 방정식 풀기

해결책: 만약

, 저것

. 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

식에서.

우리는 찾는다 엑스= -9. 그러나 이 변수 값에서는 부등식이 유지되지 않습니다. 이는 발견된 값이 이 방정식의 근이 아님을 의미합니다., 저것

이 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.. 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

식에서.

우리는 찾는다 . 부등식은 참입니다. 즉, - 이 방정식의 근본.. 분모에 변수가 있는 방정식.

다음 형식의 방정식을 고려하세요.

. (1)

유형 (1)의 방정식에 대한 해법은 다음 진술을 기반으로 합니다. 분수는 분자가 0과 같고 분모가 0이 아닌 경우에만 분수가 0과 같습니다.

위의 식에 따라 방정식의 해는

두 단계로 수행됩니다. 먼저 방정식을 풀어야 합니다., 그리고 발견된 변수 값으로, 엑스분모 0에서. 만약 q(x) ¹ 0 , 방정식의 발견된 근는 방정식 (1)의 근본이기도 합니다. 만약에q(x) = 0, 방정식의 결과 근는 방정식 (1)의 근본이기도 합니다. 결과 시스템은 다음과 같습니다. 방정식의 영역
에프(엑스) = 지(엑스) 변수의 모든 값 집합을 호출합니다. 엑스, 이에 대한 표현식은에프엑스(f(x)), 그리고 표현식 g(x)말이 되네요.

방정식을 변환하는 과정에서 정의 영역이 확장되면 외부 근이 나타날 수 있습니다. 따라서 발견된 변수의 모든 값은 원래 방정식에 대입하거나 원래 방정식의 정의 영역을 사용하여 확인해야 합니다.

합리적인 방정식.

방정식

에프(엑스) = 지(엑스) ~라고 불리는 합리적인, 만약에 f(x) 및 g(x)-합리적인 표현. 게다가 만약에 f(x) 및 g(x)- 전체 표현, 방정식이 호출됩니다. 전체 ;표현식 중 하나 이상이면에프(엑스), 지(엑스)분수이면 유리 방정식에프(엑스) = 지(엑스) ~라고 불리는 분수 .

유리 방정식을 풀려면 다음이 필요합니다.