이는 힘과 어깨의 곱과 같습니다.
힘의 순간은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.
어디 에프- 힘, 엘- 힘의 어깨.
힘의 어깨- 이것은 힘의 작용선에서 신체의 회전축까지의 최단 거리입니다. 아래 그림은 축을 중심으로 회전할 수 있는 강체를 보여줍니다. 이 몸체의 회전축은 그림의 평면에 수직이며 문자 O로 지정된 점을 통과합니다. 힘의 어깨 피트여기 거리가 있어요 엘, 회전축에서 힘의 작용선까지. 이렇게 정의됩니다. 첫 번째 단계는 힘의 작용선을 그리는 것입니다. 그런 다음 몸체의 회전축이 통과하는 점 O에서 힘의 작용선에 수직인 선을 내립니다. 이 수직선의 길이는 주어진 힘의 팔로 밝혀졌습니다.
힘의 순간은 힘의 회전 작용을 특징으로 합니다. 이 동작은 힘과 영향력에 따라 달라집니다. 레버리지가 클수록 획득하기 위해 더 적은 힘을 가해야 합니다. 원하는 결과, 즉 동일한 힘의 순간입니다(위 그림 참조). 그렇기 때문에 손잡이를 잡는 것보다 경첩 근처로 문을 밀어서 문을 여는 것이 훨씬 더 어렵고, 짧은 렌치를 사용하는 것보다 긴 것으로 너트를 푸는 것이 훨씬 쉽습니다.
힘의 모멘트의 SI 단위는 1 N의 힘의 모멘트로 간주되며, 그 팔은 1 m - 뉴턴 미터(N·m)와 같습니다.
순간의 규칙.
회전할 수 있는 강체 고정축, 힘의 순간이 가해지면 평형 상태에 있습니다. 남 1시계 방향으로 돌리면 힘의 순간과 같습니다 중 2 , 시계 반대 방향으로 회전합니다.
적률의 법칙은 1687년 프랑스 과학자 P. Varignon이 공식화한 역학 정리 중 하나의 결과입니다.
몇 가지 힘.
동일한 직선 위에 있지 않은 두 개의 동일하고 반대 방향의 힘이 물체에 작용하는 경우, 그러한 물체는 평형 상태에 있지 않습니다. 왜냐하면 임의의 축에 대한 이들 힘의 결과 모멘트가 0이 아니기 때문입니다. 두 힘 모두 같은 방향으로 향하는 모멘트를 갖고 있습니다. 물체에 동시에 작용하는 두 가지 힘을 다음과 같이 부릅니다. 몇 가지 힘. 몸체가 축에 고정되어 있으면 한 쌍의 힘이 작용하여 회전합니다. 자유 물체에 몇 가지 힘이 가해지면 자유 물체는 축을 중심으로 회전합니다. 몸의 무게중심을 통과하는 모습, 그림 비.
한 쌍의 힘의 모멘트는 쌍의 평면에 수직인 모든 축에 대해 동일합니다. 총 순간 중커플은 항상 제품과 동일세력 중 하나 에프먼 곳으로 엘힘 사이에서라고 불리는 부부의 어깨, 어떤 세그먼트에 관계없이 엘, 쌍의 어깨 축 위치를 공유합니다.
결과가 0인 여러 힘의 순간은 서로 평행한 모든 축에 대해 동일하므로 신체에 대한 이러한 모든 힘의 작용은 동일한 한 쌍의 힘의 작용으로 대체될 수 있습니다. 순간.
점과 축에 대한 힘의 순간 결정. 점을 기준으로 힘 팔의 결정. 힘의 순간의 속성에 대한 공식화 및 증명. 힘 팔과 힘 계수의 곱 형태로 순간의 절대값을 표현합니다.
콘텐츠작용선이 이 점을 통과하는 힘으로부터 점 O 주위의 모멘트는 0과 같습니다.
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연속선이 한 지점에서 교차하는 힘에도 동일하게 적용됩니다. 이 경우, 작용 선의 교차점은 힘의 합을 적용하는 지점으로 간주됩니다.
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힘의 순간은 유사 벡터아니면 뭐가 똑같나요? 축 벡터.
이 속성은 벡터 제품의 속성을 따릅니다. 벡터는 다음과 같으므로 진실(또는 극선) 벡터, 그 다음에는 벡터 제품~이다 유사 벡터. 이는 절대값과 벡터 곱이 향하는 축만 결정할 수 있음을 의미합니다. 오른쪽 나사의 법칙을 사용하여 이 축을 따라 방향을 임의로 설정했습니다. 즉, 우리는 같은 중심에서 벡터를 정신적으로 플롯합니다. 그런 다음 핸들을 한 위치에서 다른 위치로 돌립니다. 결과적으로 오른쪽 나사는 벡터가 위치한 평면에 수직인 방향으로 이동합니다. 우리는 이 방향을 벡터 곱의 방향으로 간주합니다.
그러나 왼쪽 나사 법칙을 사용하여 방향을 결정하면 벡터 곱은 반대 방향으로 향하게 됩니다. 이 경우 모순이 발생하지 않습니다. 즉, 실제로 축 벡터는 서로 반대되는 두 방향을 가질 수 있습니다. 수학 공식을 복잡하게 하지 않기 위해 올바른 나사 규칙을 사용하여 그 중 하나를 선택합니다. 이러한 이유로 의사벡터는 실제 벡터에 기하학적으로 추가될 수 없습니다. 그러나 스칼라나 벡터 곱을 사용하여 곱할 수 있습니다.
축에 대한 힘의 모멘트
정의
선택한 점에 대한 힘 모멘트의 모든 구성 요소를 알 필요는 없지만 선택한 축에 대한 힘 모멘트만 알면 되는 경우가 종종 있습니다.
축에 대한 힘의 모멘트는 이 축에 속하는 임의의 점에 대한 힘의 모멘트 벡터를 축 방향으로 투영한 것입니다.
축을 따라 향하는 단위 벡터라고 하자. 그리고 O를 그것에 속하는 임의의 점으로 둡니다. 그런 다음 축에 대한 힘의 순간은 스칼라 곱입니다.
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이 정의는 축에 속하는 임의의 두 점 O와 O'에 대해 축에 대한 이들 점 주위의 모멘트 투영이 동일하기 때문에 가능합니다. 보여드리겠습니다.
벡터 방정식을 사용해 보겠습니다.
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이 방정식을 축을 따라 지정된 단위 벡터로 스칼라 곱해 보겠습니다.
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벡터가 축과 평행하므로 . 여기에서
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즉, 이 축에 속하는 점 O와 O'를 기준으로 축에 대한 모멘트의 투영은 동일합니다.
속성
작용선이 이 축을 통과하는 힘으로 인해 축 주위의 모멘트는 0과 같습니다.
재산 증명
작용선을 따라 힘의 적용 지점을 이동합니다.
힘의 적용 지점이 힘의 작용선을 따라 이동하면 그러한 이동으로 인한 순간은 변하지 않습니다.
증거
A점에 힘을 가해 보자. 점 A를 통해 힘 벡터에 평행한 직선을 그립니다. 이 직선은 그 행동의 선입니다. 힘 적용 지점 A를 작용선에 속하는 지점 A'로 이동시켜 보겠습니다. 그 다음에
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벡터는 집중선의 두 점을 통해 그려집니다. 따라서 그 방향은 힘 벡터의 방향과 일치하거나 반대입니다. 그런 다음 , 여기서 λ는 매개변수입니다. . , 점 A'가 A를 기준으로 벡터 방향으로 이동하면. 그렇지 않으면 .
따라서 O에서 A'로 그려진 벡터의 형식은 다음과 같습니다.
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벡터 곱의 속성을 사용하여 A′ 지점에 적용된 힘의 순간을 찾아보겠습니다.
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우리는 그 순간이 변하지 않았음을 알 수 있습니다:
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속성이 입증되었습니다.
힘이 가해지는 순간의 절대값
절대값특정 지점에 대한 힘의 모멘트는 힘의 절대값과 선택한 지점에 대한 이 힘의 어깨를 곱한 것과 같습니다.
증거
점 O에 대한 순간 M의 절대값은 힘 F와 팔 d = |OD|의 곱과 같습니다. .
A점에 힘을 가해보자. 어떤 점 O에 대한 이 힘의 순간을 생각해 봅시다. 점 O, A 및 벡터는 동일한 평면에 있습니다. 그림으로 표현해보자. 점 A를 지나 벡터 방향으로 직선 AB를 그립니다. 이 직선을 힘의 작용선이라고 합니다. 점 O를 통해 수직 OD를 작용선으로 내립니다. 그리고 작용선과 수직선의 교점을 D라 하자. 그런 다음 중심 O를 기준으로 하는 힘 팔이 있습니다. 문자로 표시해 보겠습니다. 힘의 적용 지점이 작용선을 따라 움직일 수 있는 를 사용해 보겠습니다. D 지점으로 이동해 보겠습니다. 힘의 순간:
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벡터와 수직이므로 벡터 곱의 속성에 따라 순간의 절대값은 다음과 같습니다.
,
힘의 절대값은 어디에 있는가?
모멘트 벡터는 그림의 평면에 수직입니다. 방향은 오른쪽 나사 규칙에 따라 결정됩니다. 그림의 평면에 수직인 점 O를 통과하는 나사를 힘 F의 방향으로 회전하면 나사는 우리를 향해 움직일 것입니다. 따라서 모멘트 벡터는 도면 평면에 수직이며 우리를 향합니다.
속성이 입증되었습니다.
그 점을 통과하는 힘으로 인한 점 주위의 모멘트
작용선이 이 점을 통과하는 힘으로부터 점 O 주위의 모멘트는 0과 같습니다.
증거
힘의 작용선이 점 O를 통과한다고 가정합니다. 그러면 O에 대한 이 힘의 어깨는 0과 같습니다. 에 따르면 선택한 점에 대한 힘의 순간의 절대 값은 0입니다.
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속성이 입증되었습니다.
한 지점에 가해진 힘의 합에 대한 모멘트
몸체의 한 지점에 적용된 힘의 벡터 합으로 인한 모멘트는 동일한 지점에 적용된 각 힘의 모멘트의 벡터 합과 같습니다.
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증거
힘이 A점에 가해진다고 하자. 이들 힘의 벡터 합을 이라고 하자. 점 A에 적용된 벡터 합으로부터 어떤 점 O에 대한 순간을 찾습니다. 이를 위해 벡터 제품의 속성을 적용합니다.
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속성이 입증되었습니다.
벡터 합이 0인 힘 시스템의 모멘트
힘의 벡터 합이 0인 경우:
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그러면 이러한 힘으로 인한 모멘트의 합은 모멘트가 계산되는 중심의 위치에 의존하지 않습니다.
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증거
각각의 지점에 힘을 가해 보겠습니다. 그리고 점 O와 C는 모멘트를 계산할 두 중심을 나타냅니다. 그러면 다음 벡터 방정식이 성립합니다.
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점 O에 대한 모멘트의 합을 계산할 때 이를 사용합니다.
축에 대한 힘의 모멘트는 이 축에 속하는 임의의 점에 대한 힘의 모멘트 벡터를 축 방향으로 투영한 것임을 나타냅니다. 그러한 점으로서 우리는 힘의 작용선과 축의 교차점을 취합니다. 그러나 에 따르면 이 지점에 대한 모멘트는 0과 같습니다. 따라서 이 축에 대한 투영도 0입니다.
속성이 입증되었습니다.
이 축에 평행한 힘으로 인한 축 주위의 모멘트
이 축에 평행한 힘으로 인한 축 주위의 모멘트는 0과 같습니다.
증거
O를 축 위의 임의의 점으로 설정합니다. 이 점에 대한 힘의 순간을 생각해 봅시다. 정의에 따르면:
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외적 특성에 따르면 모멘트 벡터는 힘 벡터에 수직입니다. 힘 벡터가 축에 평행하므로 모멘트 벡터는 축에 수직입니다. 따라서 점 O에 대한 모멘트를 축에 투영하는 것은 0입니다.
속성이 입증되었습니다.
축에 대한 힘의 모멘트축과 이 평면의 교차점을 기준으로 축에 수직인 평면에 힘을 투영하는 순간입니다.
축을 바라볼 때 힘이 축에 수직인 평면을 시계 반대 방향으로 회전하려는 경향이 있는 경우 축에 대한 모멘트는 양수입니다.
두 가지 경우에 축에 대한 힘의 모멘트는 0입니다.
힘이 축과 평행한 경우
힘이 축을 가로지르는 경우
작용선과 축이 동일한 평면에 있으면 축에 대한 힘의 모멘트는 0과 같습니다.
27. 축에 대한 힘의 모멘트와 점에 대한 힘의 벡터 모멘트 사이의 관계.
Mz(F)=Mo(F)*cosα축에 대한 힘의 모멘트는 축의 점에 대한 힘의 모멘트 벡터를 이 축에 투영한 것과 같습니다.
28. 힘의 체계를 주어진 중심으로 가져오는 것에 관한 정역학의 주요 정리(푸앵소의 정리). 힘 시스템의 주요 벡터와 주요 순간.
일반적으로 모든 공간적 힘 시스템은 신체의 특정 지점(감소 중심)에 적용되고 이 힘 시스템의 주요 벡터와 동일한 하나의 힘과 한 쌍의 힘으로 구성된 등가 시스템으로 대체될 수 있습니다. , 그 순간은 선택된 내전 센터에 대한 모든 힘의 주요 순간과 같습니다.
힘 시스템의 주요 벡터벡터라고 불림 아르 자형, 다음 힘의 벡터 합과 같습니다.
아르 자형 = 에프 1 + 에프 2 + ... + 에프 n= 에프나.
힘의 평면 시스템의 경우 주요 벡터는 이러한 힘의 작용 평면에 있습니다.
세력 시스템의 주요 포인트중심 O에 상대적인 벡터를 벡터라고 합니다. 엘 O, 점 O에 대한 이러한 힘의 벡터 모멘트의 합과 같습니다.
엘오= 중영형( 에프 1) + 중영형( 에프 2) + ... + 중영형( 에프엔) = 중영형( 에프나).
벡터 아르 자형중심 O의 선택에 의존하지 않으며 벡터 엘중심의 위치가 바뀌면 일반적으로 O도 바뀔 수 있습니다.
푸앵소의 정리: 임의의 공간적 힘 시스템은 고체 상태를 방해하지 않고 힘 시스템의 주요 벡터를 갖는 하나의 힘과 주요 모멘트를 갖는 한 쌍의 힘으로 대체될 수 있습니다. 주 벡터는 고체에 작용하는 모든 힘의 기하학적 합이며 힘의 작용 평면에 위치합니다. 주 벡터는 좌표축의 투영을 통해 고려됩니다.
고체 몸체의 특정 지점에 적용된 주어진 중심에 힘을 가져오려면 다음이 필요합니다. 1) 힘의 계수를 변경하지 않고 주어진 중심에 자신과 평행한 힘을 전달합니다. 2) 주어진 중심에서 한 쌍의 힘을 적용합니다. 이 힘의 벡터 모멘트는 새로운 중심에 대해 전달된 힘의 벡터 모멘트와 같습니다. 이 쌍을 부착된 쌍이라고 합니다.
감소 중심 선택에 대한 주요 순간의 의존성. 새 축소 중심에 대한 주모멘트는 이전 축소 중심에 대한 주 모멘트와 주 벡터에 의해 새 축소 중심과 기존 축소 중심을 연결하는 반경 벡터의 벡터 곱의 기하합과 같습니다.
29 공간적 힘체계 축소의 특수 사례
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주 벡터 및 주 모멘트 값 |
캐스팅 결과 |
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포스 시스템한 쌍의 힘으로 감소되며, 그 순간은 주요 순간과 같습니다(힘 시스템의 주요 순간은 감소 중심 O의 선택에 의존하지 않습니다). |
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힘의 시스템은 중심 O를 통과하는 것과 동일한 합력으로 감소됩니다. |
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힘의 시스템은 주 벡터와 동일하고 평행하며 멀리 떨어져 있는 결과로 축소됩니다. 합력의 작용선 위치는 축소 중심 O에 대한 모멘트 방향이 중심 O에 대한 방향과 일치해야 합니다. |
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힘의 시스템은 힘과 이 힘에 수직인 평면에 있는 한 쌍의 힘의 조합인 다이나(전동 나사)로 축소됩니다. |
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솔리드 바디에 적용되는 힘 시스템은 균형을 이루고 있습니다. |
, 그리고 벡터는 수직이 아닙니다
30. 역동성 감소.역학에서 역학은 고체에 작용하는 일련의 힘과 힘 쌍()이라고 하며, 여기서 힘은 힘 쌍의 작용 평면에 수직입니다. 한 쌍의 힘의 벡터 모멘트를 사용하여 역동성을 힘과 한 쌍의 힘의 벡터 모멘트와 평행한 힘의 조합으로 정의할 수도 있습니다.
중심 나선형 축의 방정식좌표의 원점으로 취한 감소 중심에서 좌표축에 투영된 주 벡터와 주요 포인트투영으로 힘 시스템이 감소 중심 O 1(그림 30)으로 이동하면 주 벡터와 주 모멘트 벡터를 사용하여 리나마를 형성하는 다이나가 얻어집니다. 평행하므로 스칼라 계수 k 0에서만 다를 수 있습니다. 주요 순간 이후로 우리는 관계를 만족시킵니다.
를 대체하면, 우리는 다음을 얻습니다.
역학이 x, y, z로 얻어지는 점 O 1의 좌표를 나타냅니다. 그런 다음 좌표축의 벡터 투영은 x, y, z 좌표와 같습니다. 이를 고려하면 (*)는 다음과 같은 형식으로 표현될 수 있습니다.
나 어디. j,k는 좌표축의 단위벡터이고, 벡터곱 *은 행렬식으로 표현된다. 벡터 방정식(**)은 3개의 스칼라 방정식과 동일하며, 버린 후에는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
x, y, z 좌표에 대한 결과 선형 방정식은 중심 나선형 축인 직선 방정식입니다. 결과적으로, 힘의 체계가 역동성으로 축소되는 지점에 직선이 존재합니다.
정의
점 O(그림 1)에서 힘이 벡터 자체에 적용되는 점까지 그려지는 반경-벡터()의 벡터 곱을 점 O에 대한 힘의 순간()이라고 합니다.
그림 1에서 점 O와 힘 벡터() 및 반경 벡터는 그림의 평면에 있습니다. 이 경우 힘의 순간 벡터()는 도면의 평면에 수직이고 우리에게서 멀어지는 방향을 갖습니다. 힘의 순간의 벡터는 축 방향입니다. 힘 모멘트 벡터의 방향은 힘의 방향으로 점 O를 중심으로 회전하고 벡터가 오른손잡이 시스템을 생성하는 방식으로 선택됩니다. 힘의 순간의 방향과 각가속도일치합니다.
벡터의 크기는 다음과 같습니다.
여기서 는 반경과 힘 벡터 방향 사이의 각도이고, 는 점 O를 기준으로 한 힘 팔입니다.
축에 대한 힘의 모멘트
축에 대한 힘의 모멘트는 다음과 같습니다. 물리량, 선택한 축의 지점에 대한 힘의 순간 벡터를 이 축에 투영하는 것과 같습니다. 이 경우 포인트 선택은 중요하지 않습니다.
힘의 주요 순간
점 O에 대한 일련의 힘의 주요 모멘트를 벡터(힘의 모멘트)라고 합니다. 합계와 동일동일한 지점에 대해 시스템에 작용하는 모든 힘의 모멘트:
이 경우 점 O를 힘 시스템의 감소 중심이라고 합니다.
힘을 가져오는 서로 다른 두 중심(O 및 O')에 대한 하나의 힘 시스템에 대해 두 개의 주요 모멘트( 및 )가 있는 경우 다음 표현으로 관련됩니다.
여기서 는 점 O에서 점 O'로 그려지는 반경 벡터이며 힘 시스템의 주요 벡터입니다.
일반적인 경우, 고체에 대한 임의의 힘 시스템의 작용 결과는 힘 시스템의 주요 순간 및 힘 시스템의 주요 벡터의 신체에 대한 작용과 동일합니다. 감소 중심(점 O)에 적용됩니다.
회전 운동 역학의 기본 법칙
회전하는 물체의 각운동량은 어디에 있습니까?
고체의 경우 이 법칙은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.
여기서 I는 몸체의 관성 모멘트이고, 는 각가속도입니다.
토크 단위
SI 시스템의 힘 모멘트 측정의 기본 단위는 다음과 같습니다. [M]=N·m
GHS에서: [M]=din cm
문제 해결의 예
예
운동.그림 1은 회전축 OO"를 가진 몸체를 보여줍니다. 주어진 축에 대해 몸체에 적용되는 힘의 순간은 0과 같습니다. 힘의 축과 벡터는 그림의 평면에 있습니다.
해결책.문제 해결의 기초로 힘의 순간을 결정하는 공식을 사용합니다.
벡터 제품에서(그림에서 볼 수 있음) 힘 벡터와 반경 벡터 사이의 각도도 0(또는)과 다르므로 벡터 곱(1.1)은 0이 아닙니다. 이는 힘의 순간이 0과 다르다는 것을 의미합니다.
답변.
예
운동. 각속도회전하는 강체의 변화는 그림 2의 그래프에 따라 변합니다. 그래프에 표시된 지점 중 신체에 가해지는 힘의 순간이 0이 되는 지점은 어디입니까?
