평면에서 호까지의 거리를 구합니다. 점에서 평면까지의 거리. 일반 평면 방정식을 정규 형식으로 축소

비행기가 있게 해주세요 .
법선을 그려보자
좌표 O의 원점을 통해 주어진다. – 법선에 의해 형성된 각도
좌표축으로. . 허락하다
– 일반 세그먼트의 길이 비행기와 교차할 때까지. 법선의 방향 코사인이 알려져 있다고 가정 .

, 우리는 평면의 방정식을 유도
허락하다
)는 평면 위의 임의의 점입니다. 단위 법선 벡터에는 좌표가 있습니다. 벡터의 투영을 구해보자

정상으로. 시점부터중

그럼 비행기에 속해 이것은 주어진 평면의 방정식입니다. .

정상

점에서 평면까지의 거리 ,시점부터*
비행기를 주자 – 공간의 점, 디

– 비행기로부터의 거리. 정의. 편차 전철기중* + – 공간의 점,), 비행기에서 숫자라고합니다 ( 만약에* 중 법선의 양의 방향이 가리키는 평면의 반대편에 위치 – 공간의 점,, 및 숫자(-

), 점이 평면의 반대편에 있는 경우:. 정리 비행기를 보자 유닛 노멀 포함

, 우리는 평면의 방정식을 유도 시점부터*
정규 방정식으로 주어진다: 만약에– 공간의 점 편차 t.

* 비행기에서 표현은 다음과 같습니다.증거.
프로젝션 t. * 우리는 보통으로 표시합니다. 큐 전철기포인트 편차

비행기에서 동등하다규칙. 찾으려면 편차 만약에티. 만약에* * 평면에서 좌표 t를 평면의 일반 방정식으로 대체해야 합니다. .

. 한 점에서 평면까지의 거리는 이다.

일반 평면 방정식을 정규 형식으로 축소

동일한 평면을 두 방정식으로 정의합니다.

일반 방정식

정규 방정식.

두 방정식 모두 동일한 평면을 정의하므로 계수는 비례합니다.

처음 세 등식을 제곱하고 더해 보겠습니다. 여기에서 우리는 찾을 것입니다

. (10)

– 정규화 인자:

평면의 일반 방정식에 정규화 인자를 곱하여 평면의 정규 방정식을 얻습니다.

"비행기" 주제에 관한 문제의 예.예시 1. 평면의 방정식 만들기
특정 지점을 통과

(2,1,-1)이고 평면에 평행합니다.해결책 :
. 평면에 수직 . 평면이 평행하므로 법선은 또한 원하는 평면에 수직입니다. . 주어진 점 (3)을 통과하는 평면의 방정식을 사용하여 평면에 대해 얻습니다.

방정식:

답변:예시 2. 원점에서 평면으로 떨어진 수직선의 밑면
. 평면의 방정식 찾기 .

(2,1,-1)이고 평면에 평행합니다.. 벡터
비행기는 정상이야 . 점 시점부터 0 비행기에 속합니다. 주어진 점(3)을 통과하는 평면의 방정식을 사용할 수 있습니다.

방정식:

예시 3.평면 구성 , 포인트를 통과

그리고 평면에 수직 :.

그러므로 어느 시점에는 시점부터 (엑스, 와이, 지) 비행기에 속했다 , 세 개의 벡터가 필요합니다
동일 평면에 있었습니다:

=0.

행렬식을 밝히고 결과 표현식을 일반 방정식 (1)의 형태로 만드는 것이 남아 있습니다.

예시 4.비행기 일반 방정식으로 주어진다:

포인트 편차 찾기
주어진 비행기에서.

(2,1,-1)이고 평면에 평행합니다.. 평면의 방정식을 정규형으로 나타내자.

결과 정규 방정식에 점의 좌표를 대입해 보겠습니다. 전철기.

방정식:
.

실시예 5.평면이 세그먼트와 교차합니까?

(2,1,-1)이고 평면에 평행합니다.. 자르다 AB비행기를 넘어, 편차 그리고 비행기에서 다른 기호가 있어야 합니다.

실시예 6.한 점에서 세 평면의 교차점.

이 시스템에는 고유한 솔루션이 있으므로 세 평면에는 하나의 공통점이 있습니다.

실시예 7.주어진 두 평면으로 형성된 2면각의 이등분선을 찾습니다.

, 우리는 평면의 방정식을 유도 그리고 - 어떤 점의 편차
첫 번째와 두 번째 비행기에서.

이등분면 중 하나(좌표의 원점이 있는 각도에 해당)에서 이러한 편차는 크기와 부호가 동일하고 다른 평면에서는 크기가 같고 부호가 반대입니다.

이것이 첫 번째 이등분선의 방정식입니다.

이것이 두 번째 이등분선의 방정식입니다.

실시예 8.주어진 두 점의 위치 결정 그리고 이 평면에 의해 형성된 2면각에 상대적입니다.

, 우리는 평면의 방정식을 유도
. 결정: 하나의 인접 또는 수직 모서리에 점이 있습니다. 그리고 .

에이). 만약에 그리고 한쪽에 누워 그리고로부터 , 그런 다음 동일한 2면체 각도에 놓입니다.

비). 만약에 그리고 한쪽에 누워 그리고 와는 다르다 , 인접한 모서리에 놓입니다.

다섯). 만약에 그리고 반대편에 누워 그리고 , 수직 모서리에 놓입니다.

좌표계 3

비행기의 선 8

첫 번째 주문 라인. 비행기로 곧장. 10

직선 사이의 각도 12

13행의 일반 방정식

불완전한 1차 방정식 14

"세그먼트 단위"의 직선 방정식 14

두 선의 방정식에 대한 공동 연구 15

15행에 보통

두 직선 사이의 각도 16

16행의 정식 방정식

라인 17의 매개변수 방정식

라인의 정규(정규화된) 방정식 18

지점에서 라인 19까지의 거리

20행 연필의 방정식

"평면 위의 선" 주제에 관한 문제의 예 22

벡터 24의 벡터 곱

외적의 성질 24

기하학적 특성 24

대수적 속성 25

인수의 좌표를 통해 벡터곱 표현하기 26

세 벡터의 혼합곱 28

기하학적 의미 혼합제품 28

벡터좌표를 통해 혼합제품 표현하기 29

문제 해결의 예

, 공모전 "수업 발표"

수업: 11

수업 프레젠테이션

뒤로 앞으로

주목! 슬라이드 미리보기는 정보 제공의 목적으로만 제공되며 프레젠테이션의 모든 기능을 나타내지 않을 수도 있습니다. 관심이 있으시면 이 작품, 정식 버전을 다운로드하세요.

목표:

학생들의 지식과 기술의 일반화 및 체계화;
분석, 비교, 결론 도출 기술 개발.

장비:

멀티미디어 프로젝터;
컴퓨터;
문제 텍스트가 있는 시트

수업 진행

I. 조직적 순간

II. 지식 업데이트 단계(슬라이드 2)

점에서 평면까지의 거리가 어떻게 결정되는지 반복합니다.

III. 강의(슬라이드 3-15)

수업시간에 우리가 살펴보겠습니다. 다양한 방법한 점에서 평면까지의 거리를 구하는 것.

첫 번째 방법: 단계별 계산

M점에서 평면 α까지의 거리:
– 점 M을 통과하고 평면 α와 평행한 직선 a 위에 있는 임의의 점 P로부터 평면 α까지의 거리와 같습니다.
– 는 점 M을 통과하고 평면 α와 평행한 평면 β 위에 있는 임의의 점 P로부터 평면 α까지의 거리와 같습니다.

우리는 다음과 같은 문제를 해결할 것입니다:

№1. 입방체 A...D 1에서 점 C 1에서 평면 AB 1 C까지의 거리를 구합니다.

세그먼트 O 1 N의 길이 값을 계산하는 것이 남아 있습니다.

№2. 모든 모서리가 1인 정육각형 프리즘 A...F 1에서 점 A에서 평면 DEA 1까지의 거리를 찾습니다.

다음 방법: 볼륨 방식.

피라미드 ABCM의 부피가 V와 같으면 점 M에서 ΔABC를 포함하는 평면 α까지의 거리는 공식 ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =로 계산됩니다.
문제를 해결할 때 우리는 두 가지 다른 방식으로 표현되는 한 그림의 부피 동일성을 사용합니다.

다음 문제를 해결해 보겠습니다.

№3. 피라미드 DABC의 모서리 AD는 기본 평면 ABC에 수직입니다. A에서 변 AB, AC, AD의 중간점을 통과하는 평면까지의 거리를 구합니다.

문제를 해결할 때 좌표 방법점 M에서 평면 α까지의 거리는 공식 ρ(M; α) =를 사용하여 계산할 수 있습니다. , 여기서 M(x 0; y 0; z 0), 평면은 방정식 ax + by + cz + d = 0으로 제공됩니다.

다음 문제를 해결해 보겠습니다.

№4. 단위 입방체 A...D 1에서 점 A 1에서 평면 BDC 1까지의 거리를 구합니다.

점 A를 원점으로 하는 좌표계를 도입해 보겠습니다. y축은 모서리 AB를 따라, x축은 모서리 AD를, z축은 모서리 AA 1을 따라 전달됩니다. 그런 다음 점 B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)의 좌표
점 B, D, C 1을 통과하는 평면에 대한 방정식을 만들어 보겠습니다.

그러면 – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. 따라서 ρ =

이러한 유형의 문제를 해결하는 데 사용할 수 있는 다음 방법은 다음과 같습니다. 지원 방법 문제.

애플리케이션 이 방법정리로 공식화되는 알려진 지원 문제를 적용하는 것으로 구성됩니다.

다음 문제를 해결해 보겠습니다.

№5. 단위 입방체 A...D 1에서 점 D 1에서 평면 AB 1 C까지의 거리를 구합니다.

응용 프로그램을 고려해 봅시다 벡터 방법.

№6. 단위 입방체 A...D 1에서 점 A 1에서 평면 BDC 1까지의 거리를 구합니다.

그래서 우리는 이러한 유형의 문제를 해결하는 데 사용할 수 있는 다양한 방법을 살펴보았습니다. 하나의 방법을 선택하는 것은 특정 작업과 선호도에 따라 다릅니다.

IV. 그룹 작업

다양한 방법으로 문제를 해결해 보세요.

№1. 큐브 AD...D 1의 모서리는 와 같습니다. 꼭지점 C에서 평면 BDC 1까지의 거리를 구합니다.

№2. 모서리가 있는 정사면체 ABCD에서 점 A에서 평면 BDC까지의 거리를 구합니다.

№3. 모든 모서리가 1인 정삼각형 프리즘 ABCA 1 B 1 C 1에서 A에서 평면 BCA 1까지의 거리를 구합니다.

№4. 모든 모서리가 1인 정사각형 피라미드 SABCD에서 A에서 평면 SCD까지의 거리를 찾습니다.

V. 수업 요약, 숙제, 반사

평행성과 직각성의 조건

1°. 두 평면의 동일 평면성에 대한 조건

두 개의 평면이 주어집니다.

에이 1 엑스 + 비 1 와이 + 기음 1 지 + 디 1 = 0, N 1 = {에이 1 ; 비 1 ; 기음 1 } ≠ 0 ;(1)

에이 2 엑스 + 비 2 와이 + 기음 2 지 + 디 2 = 0, N 2 = {에이 2 ; 비 2 ; 기음 2 } ≠ 0 .(2)

언제 동일 평면에 위치합니까(즉, 평행 또는 일치)? 분명히 이는 법선 벡터가 동일 선상에 있는 경우에만 해당됩니다. 동일 평면성 기준을 적용하면 다음을 얻습니다.

문장 1.법선 벡터의 외적이 영 벡터와 동일한 경우에만 두 평면이 동일 평면에 있습니다.

[N 1 , N 2 ] = 0 .

2°. 두 평면의 일치 조건

제안 2.평면 (1)과 (2)는 네 개의 계수가 모두 비례하는 경우에만 일치합니다. 즉, 다음과 같은 숫자 λ가 있습니다.

에이 2 = λ 에이 1 , 비 2 = λ 비 1 , 기음 2 = λ 기음 1 , 디 2 = λ 디 1 . (3)

* 비행기에서 표현은 다음과 같습니다.조건 (3)을 만족시키자. 그러면 두 번째 평면의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

λ 에이 1 엑스 + λ 비 1 와이 + λ 기음 1 지 + λ 디 1 = 0.

λ ≠ 0, 그렇지 않으면 에이 2 = 비 2 = 기음 2 = 디 2 = 0, 이는 조건과 모순됩니다. N 2 ≠ 0 . 따라서 마지막 방정식은 방정식 (1)과 동일하며 이는 두 평면이 일치한다는 것을 의미합니다.

반대로 이제 이 평면들이 일치한다는 것을 알아두자. 그러면 그들의 법선 벡터는 동일선상에 있습니다. 즉, 다음과 같은 숫자 λ가 있습니다.

에이 2 = λ 에이 1 , 비 2 = λ 비 1 , 기음 2 = λ 기음 1 .

방정식 (2)는 이제 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

λ 에이 1 엑스 + λ 비 1 와이 + λ 기음 1 지 + 디 2 = 0.

방정식 (1)에 λ를 곱하면 첫 번째 평면의 등가 방정식을 얻습니다(λ ≠ 0이므로).

λ 에이 1 엑스 + λ 비 1 와이 + λ 기음 1 지 + λ 디 1 = 0.

몇 가지 요점을 살펴 보겠습니다 ( 엑스 0 , 와이 0 , 지 0) 첫 번째(따라서 두 번째) 평면에서 해당 좌표를 마지막 두 방정식으로 대체합니다. 우리는 올바른 평등을 얻습니다.

λ 에이 1 엑스 0 + λ 비 1 와이 0 + λ 기음 1 지 0 + 디 2 = 0 ;

λ 에이 1 엑스 0 + λ 비 1 와이 0 + λ 기음 1 지 0 + λ 디 1 = 0.

위쪽에서 아래쪽을 빼면 다음과 같습니다. 디 2 – λ 디 1 = 0, 즉 디 2 = λ 디 1, QED.

3°. 두 평면의 직각 조건

분명히 이를 위해서는 법선 벡터가 수직인 것이 필요하고 충분합니다.

제안 3.법선 벡터의 스칼라 곱이 0인 경우에만 두 평면이 수직입니다.

(N 1 , N 2) = 0 .

평면방정식을 주어보자

도끼 + 에 의해 + Cz + 디 = 0, N = {에이; 비; 기음} ≠ 0 ,

및 기간 만약에 0 = (엑스 0 , 와이 0 , 지 0). 점에서 평면까지의 거리 공식을 도출해 보겠습니다.

임의의 점을 취하자 * 우리는 보통으로 표시합니다 = (엑스 1 , 와이 1 , 지 1) 이 비행기에 누워있습니다. 해당 좌표는 평면 방정식을 충족합니다.

도끼 1 + 에 의해 1 + Cz 1 + 디 = 0.

이제 필요한 거리를 살펴보겠습니다. – 공간의 점,벡터 투영의 절대값과 같습니다. 벡터 방향으로 N (여기서는 투영을 벡터가 아닌 수치적 수량으로 간주합니다). 다음으로, 투영을 계산하기 위해 공식을 적용합니다:

거리에도 비슷한 공식이 적용됩니다. – 공간의 점,지점에서 만약에 0 = (엑스 0 , 와이 0) 일반 방정식에 의해 주어진 직선에 대한 평면 도끼 + 에 의해 + 기음 = 0.

, 공모전 "수업 발표"

수업: 11

수업 프레젠테이션

뒤로 앞으로

주목! 슬라이드 미리보기는 정보 제공의 목적으로만 제공되며 프레젠테이션의 모든 기능을 나타내지 않을 수도 있습니다. 이 작품에 관심이 있으시면 정식 버전을 다운로드하시기 바랍니다.

목표:

학생들의 지식과 기술의 일반화 및 체계화;
분석, 비교, 결론 도출 기술 개발.

장비:

멀티미디어 프로젝터;
컴퓨터;
문제 텍스트가 있는 시트

수업 진행

I. 조직적 순간

II. 지식 업데이트 단계(슬라이드 2)

점에서 평면까지의 거리가 어떻게 결정되는지 반복합니다.

III. 강의(슬라이드 3-15)

이번 단원에서는 점에서 평면까지의 거리를 구하는 다양한 방법을 살펴보겠습니다.

첫 번째 방법: 단계별 계산

우리는 다음과 같은 문제를 해결할 것입니다:

№1. 입방체 A...D 1에서 점 C 1에서 평면 AB 1 C까지의 거리를 구합니다.

세그먼트 O 1 N의 길이 값을 계산하는 것이 남아 있습니다.

№2. 모든 모서리가 1인 정육각형 프리즘 A...F 1에서 점 A에서 평면 DEA 1까지의 거리를 찾습니다.

다음 방법: 볼륨 방식.

다음 문제를 해결해 보겠습니다.

№3. 피라미드 DABC의 모서리 AD는 기본 평면 ABC에 수직입니다. A에서 변 AB, AC, AD의 중간점을 통과하는 평면까지의 거리를 구합니다.

다음 문제를 해결해 보겠습니다.

№4. 단위 입방체 A...D 1에서 점 A 1에서 평면 BDC 1까지의 거리를 구합니다.

그러면 – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. 따라서 ρ =

이러한 유형의 문제를 해결하는 데 사용할 수 있는 다음 방법은 다음과 같습니다. 지원 방법 문제.

이 방법의 적용은 정리로 공식화되는 알려진 참조 문제를 사용하는 것으로 구성됩니다.

다음 문제를 해결해 보겠습니다.

№5. 단위 입방체 A...D 1에서 점 D 1에서 평면 AB 1 C까지의 거리를 구합니다.

응용 프로그램을 고려해 봅시다 벡터 방법.

№6. 단위 입방체 A...D 1에서 점 A 1에서 평면 BDC 1까지의 거리를 구합니다.

IV. 그룹 작업

다양한 방법으로 문제를 해결해 보세요.

№1. 큐브 AD...D 1의 모서리는 와 같습니다. 꼭지점 C에서 평면 BDC 1까지의 거리를 구합니다.

№2. 모서리가 있는 정사면체 ABCD에서 점 A에서 평면 BDC까지의 거리를 구합니다.

№3. 모든 모서리가 1인 정삼각형 프리즘 ABCA 1 B 1 C 1에서 A에서 평면 BCA 1까지의 거리를 구합니다.

№4. 모든 모서리가 1인 정사각형 피라미드 SABCD에서 A에서 평면 SCD까지의 거리를 찾습니다.

V. 수업 요약, 숙제, 반성

이 기사에서는 점에서 평면까지의 거리를 결정하는 방법에 대해 설명합니다. 거리를 구할 수 있는 좌표 방법을 분석해 보겠습니다. 주어진 포인트 3차원 공간. 이를 강화하기 위해 몇 가지 작업의 예를 살펴보겠습니다.

점에서 평면까지의 거리는 점에서 점까지의 알려진 거리를 사용하여 구하며, 그 중 하나는 주어지고 다른 하나는 주어진 평면에 대한 투영입니다.

평면 χ를 갖는 점 M 1이 공간에 지정되면 평면에 수직인 직선이 점을 통해 그려질 수 있습니다. H 1은 공통 교차점입니다. 이것으로부터 우리는 세그먼트 M 1 H 1이 점 M 1에서 평면 χ로 그려진 수직이며, 여기서 점 H 1은 수직의 밑면임을 얻습니다.

정의 1

주어진 점에서 주어진 평면까지 그은 수선의 밑면까지의 거리를 호출합니다.

정의는 다양한 공식으로 작성될 수 있습니다.

정의 2

점에서 평면까지의 거리주어진 점에서 주어진 평면까지 수직선의 길이입니다.

M 1 지점에서 χ 평면까지의 거리는 다음과 같이 결정됩니다. M 1 지점에서 χ 평면까지의 거리는 주어진 지점에서 평면의 모든 지점까지 가장 작습니다. 점 H 2가 χ 평면에 위치하고 점 H 2와 같지 않으면 다음을 얻습니다. 직각삼각형 M 2 H 1 H 2 유형 , 직사각형이고 다리가 있는 곳에 M 2 H 1, M 2 H 2 – 빗변. 이는 M 1 H 1이 따른다는 것을 의미합니다.< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 M 1 지점에서 평면 χ로 그려지는 경사진 것으로 간주됩니다. 주어진 점에서 평면까지 그린 수직선은 점에서 주어진 평면까지 그린 수직선보다 작습니다. 아래 그림에서 이 경우를 살펴보자.

점에서 평면까지의 거리 - 이론, 예, 솔루션

숫자가 있습니다 기하학적 문제, 해는 점에서 평면까지의 거리를 포함해야 합니다. 이를 식별하는 방법은 다양할 수 있습니다. 해결하려면 피타고라스의 정리 또는 삼각형의 유사성을 사용하십시오. 조건에 따라 다음 항목에 명시된 점에서 평면까지의 거리를 계산해야 하는 경우 직사각형 시스템 3차원 공간의 좌표는 좌표법으로 해결됩니다. 이 단락에서는 이 방법에 대해 설명합니다.

문제의 조건에 따르면 평면 χ를 갖는 좌표 M 1 (x 1, y 1, z 1)을 갖는 3차원 공간의 점이 주어지며 M 1에서 까지의 거리를 결정해야 합니다. 비행기 χ. 해결을 위해 여러 가지 해결 방법이 사용됩니다.

첫 번째 방법

이 방법은 점 M1에서 평면 χ에 대한 수직선의 기준이 되는 점 H1의 좌표를 사용하여 점에서 평면까지의 거리를 찾는 것을 기반으로 합니다. 다음으로 M1과 H1 사이의 거리를 계산해야 합니다.

두 번째 방법으로 문제를 해결하려면 주어진 평면의 정규 방정식을 사용하십시오.

두 번째 방법

조건에 따라 H 1은 점 M 1에서 평면 χ로 낮아진 수직의 밑면입니다. 그런 다음 점 H 1의 좌표 (x 2, y 2, z 2)를 결정합니다. M 1에서 χ 평면까지 필요한 거리는 M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 공식으로 구합니다. 여기서 M 1 (x 1, y 1, z 1) 및 H 1 (x 2, y 2, z 2). 문제를 해결하려면 점 H 1의 좌표를 알아야 합니다.

우리는 H 1이 χ 평면에 수직인 점 M 1을 통과하는 선 a와 χ 평면의 교차점이라는 것을 알고 있습니다. 주어진 평면에 수직인 주어진 점을 통과하는 직선에 대한 방정식을 작성하는 것이 필요합니다. 그러면 우리는 점 H 1의 좌표를 결정할 수 있을 것입니다. 선과 평면의 교차점의 좌표를 계산해야 합니다.

좌표가 M 1 (x 1, y 1, z 1)인 점에서 χ 평면까지의 거리를 찾는 알고리즘:

정의 3

점 M 1을 통과하는 직선 a의 방정식을 작성하는 동시에
χ 평면에 수직;
점인 H 1 점의 좌표(x 2 , y 2 , z 2)를 찾아 계산합니다.
직선 a와 평면 χ의 교차점;
M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 공식을 사용하여 M 1에서 χ까지의 거리를 계산합니다.

세 번째 방법

주어진 직각 좌표계 O x y z에 평면 χ가 있으면 cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 형식의 평면의 정규 방정식을 얻습니다. 여기에서 우리는 평면 χ에 그려진 점 M 1 (x 1 , y 1 , z 1)과의 거리 M 1 H 1을 얻습니다. 이는 공식 M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos로 계산됩니다. γ z - p . 이 공식은 정리에 의해 확립되었으므로 유효합니다.

), 점이 평면의 반대편에 있는 경우:

점 M 1 (x 1, y 1, z 1)이 3차원 공간에 주어지고 cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 형식의 평면 χ 정규 방정식을 갖는 경우, 그런 다음 점에서 평면까지의 거리를 계산합니다. M 1 H 1은 공식 M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p에서 얻습니다. x = x 1, y = y 1 , z = z 1.

증거

정리의 증명은 점에서 선까지의 거리를 찾는 것입니다. 여기에서 우리는 M 1에서 χ 평면까지의 거리가 원점에서 χ 평면까지의 거리와 반경 벡터 M 1의 수치 투영 사이의 차이의 계수라는 것을 얻습니다. 그런 다음 M 1 H 1 = n p n → O M → - p라는 표현을 얻습니다. 평면 χ의 법선 벡터는 n → = cos α, cos β, cos γ 형식을 가지며 길이는 1과 같습니다. n p n → O M →는 벡터 O M → = (x 1, y 1 , z 1) 벡터 n → 에 의해 결정된 방향으로.

스칼라 벡터 계산 공식을 적용해 보겠습니다. 그런 다음 n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → 형식의 벡터를 찾기 위한 표현식을 얻습니다. 왜냐하면 n → = cos α , cos β , cos γ이기 때문입니다. · z 및 O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . 쓰기의 좌표 형태는 n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , 그러면 M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 형식을 취합니다. 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . 정리가 입증되었습니다.

여기에서 우리는 점 M 1 (x 1, y 1, z 1)에서 평면 χ까지의 거리가 cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0을 x, y, z 좌표 대신 평면의 정규 방정식의 왼쪽 x 1, y 1 및 z 1, 점 M 1과 관련하여 절대값얻은 값.

좌표가 있는 점에서 주어진 평면까지의 거리를 찾는 예를 살펴보겠습니다.

실시예 1

좌표가 M 1 (5, - 3, 10)인 점에서 평면 2 x - y + 5 z - 3 = 0까지의 거리를 계산합니다.

(2,1,-1)이고 평면에 평행합니다.

두 가지 방법으로 문제를 해결해 보겠습니다.

첫 번째 방법은 선 a의 방향 벡터를 계산하는 것으로 시작됩니다. 조건에 따라 주어진 방정식 2 x - y + 5 z - 3 = 0은 평면의 방정식이라는 것을 알 수 있습니다. 일반적인 견해, n → = (2, - 1, 5)는 주어진 평면의 법선 벡터입니다. 주어진 평면에 수직인 직선 a의 방향 벡터로 사용됩니다. 적어야 함 표준 방정식좌표가 2, - 1, 5인 방향 벡터를 사용하여 M 1 (5, - 3, 10)을 통과하는 공간의 직선.

방정식은 x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5가 됩니다.

교차점을 결정해야 합니다. 이렇게 하려면 방정식을 시스템으로 부드럽게 결합하여 표준 방정식에서 교차하는 두 선의 방정식으로 이동합니다. 이 지점 H1을 보자. 우리는 그것을 얻습니다

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

그런 다음 시스템을 활성화해야 합니다.

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

가우스 시스템 솔루션 규칙을 살펴보겠습니다.

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

우리는 H 1 (1, - 1, 0)을 얻습니다.

주어진 지점에서 평면까지의 거리를 계산합니다. 우리는 점 M 1 (5, - 3, 10)과 H 1 (1, - 1, 0)을 취하고 다음을 얻습니다.

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

두 번째 해결책은 먼저 주어진 방정식 2 x - y + 5 z - 3 = 0을 정규 형식으로 가져오는 것입니다. 정규화 인자를 결정하고 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30을 얻습니다. 여기에서 평면 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0의 방정식을 유도합니다. 방정식의 좌변은 x = 5, y = - 3, z = 10을 대입하여 계산되며 M 1 (5, - 3, 10)에서 2 x - y + 5 z -까지의 거리를 취해야 합니다. 3 = 0 모듈로. 우리는 다음과 같은 표현을 얻습니다.

남 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

답: 2 30.

χ 평면이 평면 지정 방법 섹션에 있는 방법 중 하나로 지정되면 먼저 χ 평면의 방정식을 구하고 임의의 방법을 사용하여 필요한 거리를 계산해야 합니다.

실시예 2

3차원 공간에서는 좌표가 M 1(5, - 3, 10), A(0, 2, 1), B(2, 6, 1), C(4, 0, - 1)인 점이 지정됩니다. M 1에서 평면 A B C까지의 거리를 계산합니다.

(2,1,-1)이고 평면에 평행합니다.

먼저 좌표 M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

문제에는 이전 문제와 유사한 해결책이 있습니다. 이는 M 1 지점에서 평면 A B C까지의 거리가 2 30의 값을 갖는다는 것을 의미합니다.

답: 2 30.

평면의 주어진 점으로부터 또는 평행한 평면까지의 거리를 찾는 것은 공식 M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p를 적용하여 더 편리합니다. . 이것으로부터 우리는 평면의 정규 방정식이 여러 단계를 거쳐 얻어짐을 얻습니다.

실시예 3

좌표 M 1 (-3, 2, - 7)이 있는 주어진 점에서 좌표 평면 O x y z 및 방정식 2 y - 5 = 0으로 주어진 평면까지의 거리를 찾습니다.

(2,1,-1)이고 평면에 평행합니다.

좌표 평면 O y z는 x = 0 형식의 방정식에 해당합니다. Oyz 평면의 경우 정상입니다. 따라서 x = - 3 값을 표현식의 왼쪽에 대입하고 좌표 M 1 (-3, 2, -7)이 있는 점에서 평면까지의 거리의 절대값을 취해야 합니다. 우리는 -3 = 3과 같은 값을 얻습니다.

변환 후 평면 2 y - 5 = 0의 정규 방정식은 y - 5 2 = 0 형식을 취합니다. 그런 다음 좌표가 M 1 (-3, 2, -7)인 점에서 평면 2 y - 5 = 0까지 필요한 거리를 찾을 수 있습니다. 대입하고 계산하면 2 - 5 2 = 5 2 - 2가 됩니다.

방정식: M 1 (-3, 2, - 7)에서 O y z까지 필요한 거리는 3의 값을 갖고, 2 y - 5 = 0까지의 값은 5 2 - 2입니다.

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