이 비디오에서 우리는 동일한 알고리즘을 사용하여 풀 수 있는 전체 선형 방정식 세트를 분석할 것입니다. 이것이 바로 이 방정식이 가장 단순하다고 불리는 이유입니다.
먼저 정의해 보겠습니다. 선형 방정식은 무엇이며 가장 간단한 방정식은 무엇입니까?
선형 방정식은 단 하나의 변수만 있고 1차까지만 있는 방정식입니다.
가장 간단한 방정식은 구성을 의미합니다.
다른 모든 선형 방정식은 알고리즘을 사용하여 가장 간단한 것으로 축소됩니다.
- 괄호가 있으면 확장하세요.
- 변수가 포함된 용어를 등호의 한쪽으로 이동하고, 변수가 없는 용어를 다른 쪽으로 이동합니다.
- 등호의 왼쪽과 오른쪽에 유사한 용어를 지정하십시오.
- 결과 방정식을 변수 $x$의 계수로 나눕니다.
물론 이 알고리즘이 항상 도움이 되는 것은 아닙니다. 사실은 때때로 이러한 모든 기계 작업 후에 변수 $x$의 계수가 0과 같은 것으로 판명된다는 것입니다. 이 경우 두 가지 옵션이 가능합니다.
- 방정식에는 해가 전혀 없습니다. 예를 들어, $0\cdot x=8$과 같은 결과가 나올 때, 즉 왼쪽은 0이고 오른쪽은 0이 아닌 숫자입니다. 아래 영상에서는 이러한 상황이 가능한 몇 가지 이유를 살펴보겠습니다.
- 해결책은 모두 숫자입니다. 이것이 가능한 유일한 경우는 방정식이 $0\cdot x=0$ 구조로 축소된 경우입니다. 우리가 무엇을 $x$로 대체하더라도 여전히 "0은 0과 같습니다"라는 결과가 나올 것이라는 점은 매우 논리적입니다. 올바른 수치 평등.
이제 실제 사례를 사용하여 이 모든 것이 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.
방정식 풀기의 예
오늘 우리는 선형 방정식을 다루고 있으며 가장 간단한 방정식만 다루고 있습니다. 일반적으로 선형 방정식은 정확히 하나의 변수를 포함하는 등식을 의미하며 1차까지만 진행됩니다.
이러한 구성은 거의 같은 방식으로 해결됩니다.
- 우선, 괄호가 있으면 확장해야 합니다(마지막 예에서와 같이).
- 그런 다음 비슷한 것을 결합하십시오.
- 마지막으로 변수를 분리합니다. 즉, 변수와 연결된 모든 것, 즉 변수가 포함된 용어를 한쪽으로 옮기고 변수 없이 남아 있는 모든 것을 다른 쪽으로 옮깁니다.
그런 다음 원칙적으로 결과 평등의 양쪽에 비슷한 것을 가져와야하며 그 후에 남은 것은 "x"계수로 나누는 것뿐입니다. 그러면 최종 답을 얻을 수 있습니다.
이론적으로는 멋지고 단순해 보이지만 실제로는 경험이 풍부한 고등학생이라도 매우 간단한 선형 방정식에서 공격적인 실수를 할 수 있습니다. 일반적으로 괄호를 열거나 "플러스"와 "마이너스"를 계산할 때 오류가 발생합니다.
또한 선형 방정식에는 해가 전혀 없거나 해가 전체 수직선인 경우도 있습니다. 어떤 숫자라도. 오늘 수업에서 이러한 미묘함을 살펴 보겠습니다. 그러나 우리는 이미 이해했듯이 바로 시작하겠습니다. 간단한 작업.
간단한 선형 방정식을 푸는 방식
먼저, 가장 간단한 선형 방정식을 풀기 위한 전체 체계를 다시 한 번 작성하겠습니다.
- 대괄호가 있으면 확장합니다.
- 우리는 변수를 분리합니다. 즉, "X"가 포함된 모든 항목을 한쪽으로 이동하고 "X"가 포함되지 않은 모든 항목을 다른 쪽으로 이동합니다.
- 비슷한 용어를 제시합니다.
- 모든 것을 "x" 계수로 나눕니다.
물론 이 계획이 항상 작동하는 것은 아닙니다. 여기에는 특정 미묘함과 트릭이 있으며 이제 우리는 이에 대해 알게 될 것입니다.
간단한 선형 방정식의 실제 예 풀기
과제 1번
첫 번째 단계에서는 괄호를 열어야 합니다. 하지만 이 예에는 없으므로 이 단계를 건너뜁니다. 두 번째 단계에서는 변수를 분리해야 합니다. 참고: 우리 얘기 중이야개별 용어에 대해서만. 적어 봅시다:
우리는 왼쪽과 오른쪽에 비슷한 용어를 제시하지만 여기서는 이미 수행되었습니다. 따라서 우리는 네 번째 단계인 계수로 나누는 단계로 넘어갑니다.
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
그래서 우리는 답을 얻었습니다.
작업 번호 2
이 문제에서 괄호를 볼 수 있으므로 확장해 보겠습니다.
왼쪽과 오른쪽 모두 거의 동일한 디자인을 볼 수 있지만 알고리즘에 따라 행동해 보겠습니다. 변수 분리:
다음은 유사한 것들입니다:
이것은 어떤 뿌리에서 작동합니까? 답변 : 무엇이든. 따라서 $x$는 임의의 숫자라고 쓸 수 있습니다.
작업 번호 3
세 번째 선형 방정식이 더 흥미롭습니다.
\[\왼쪽(6-x \오른쪽)+\왼쪽(12+x \오른쪽)-\왼쪽(3-2x \오른쪽)=15\]
여기에는 여러 개의 괄호가 있지만 어떤 것도 곱해지지 않고 단순히 다른 기호가 앞에 붙습니다. 그것들을 분석해보자:
우리는 이미 알려진 두 번째 단계를 수행합니다.
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
수학을 해보자:
우리는 마지막 단계를 수행합니다. 모든 것을 "x"계수로 나눕니다.
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
선형 방정식을 풀 때 기억해야 할 사항
너무 단순한 작업을 무시한다면 다음과 같이 말하고 싶습니다.
- 위에서 말했듯이 모든 선형 방정식에 해가 있는 것은 아닙니다. 때로는 단순히 근이 없는 경우도 있습니다.
- 뿌리가 있더라도 그 중 0이 있을 수 있습니다. 이는 아무런 문제가 없습니다.
0은 다른 숫자와 동일합니다. 어떤 식으로든 차별해서는 안 되며, 0이 나온다면 뭔가 잘못했다고 가정해서는 안 됩니다.
또 다른 기능은 괄호 열기와 관련이 있습니다. 참고: 앞에 "마이너스"가 있으면 이를 제거하지만 괄호 안의 기호는 다음과 같이 변경됩니다. 반대. 그런 다음 표준 알고리즘을 사용하여 열 수 있습니다. 위의 계산에서 본 내용을 얻게 됩니다.
이 간단한 사실을 이해하면 고등학교에서 그런 일을 당연하게 여기는 어리석고 해로운 실수를 피하는 데 도움이 될 것입니다.
복잡한 선형 방정식 풀기
더 복잡한 방정식으로 넘어 갑시다. 이제 구성이 더욱 복잡해지고 다양한 변환을 수행할 때 이차 함수가 나타납니다. 그러나 저자의 계획에 따라 선형 방정식을 풀면 변환 과정에서 이차 함수를 포함하는 모든 단항식이 확실히 취소되기 때문에 이것을 두려워해서는 안됩니다.
예 1
분명히 첫 번째 단계는 괄호를 여는 것입니다. 이 작업을 매우 신중하게 수행해 보겠습니다.
이제 개인 정보 보호에 대해 살펴보겠습니다.
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
다음은 유사한 것들입니다:
그것은 명백하다 주어진 방정식해결책이 없으므로 답변에 다음과 같이 작성하겠습니다.
\[\varnothing\]
아니면 뿌리가 없습니다.
예 2
우리는 동일한 작업을 수행합니다. 첫 번째 단계:
변수가 있는 모든 것을 왼쪽으로 이동하고 변수가 없는 경우 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.
다음은 유사한 것들입니다:
분명히 이 선형 방정식에는 해가 없으므로 다음과 같이 작성하겠습니다.
\[\varnothing\],
아니면 뿌리가 없습니다.
솔루션의 뉘앙스
두 방정식 모두 완전히 풀렸습니다. 이 두 표현을 예로 사용하여 우리는 가장 단순한 선형 방정식에서도 모든 것이 그렇게 단순하지 않을 수 있다는 것을 다시 한 번 확신했습니다. 근은 하나일 수도 있고 없을 수도 있고 무한히 많을 수도 있습니다. 우리의 경우 두 개의 방정식을 고려했는데 둘 다 단순히 뿌리가 없습니다.
그러나 저는 또 다른 사실, 즉 괄호를 사용하여 작업하는 방법과 그 앞에 빼기 기호가 있는 경우 여는 방법에 주목하고 싶습니다. 다음 표현을 고려해보세요.
개봉하기 전에 모든 항목에 "X"를 곱해야 합니다. 참고: 곱하기 각 개별 용어. 내부에는 두 개의 용어가 있습니다. 각각 두 개의 용어와 곱셈입니다.
그리고 이러한 겉보기에는 기본적이지만 매우 중요하고 위험한 변환이 완료된 후에야 그 뒤에 빼기 기호가 있다는 관점에서 괄호를 열 수 있습니다. 예, 예: 이제 변환이 완료되면 괄호 앞에 빼기 기호가 있다는 것을 기억합니다. 이는 아래의 모든 것이 단순히 기호를 변경한다는 것을 의미합니다. 동시에 괄호 자체가 사라지고 가장 중요한 것은 전면 "마이너스"도 사라진다는 것입니다.
두 번째 방정식에서도 동일한 작업을 수행합니다.
내가 이 사소하고 사소해 보이는 사실들에 주의를 기울이는 것은 우연이 아니다. 방정식을 푸는 것은 항상 수열이기 때문에 기본 변환, 간단한 작업을 명확하고 유능하게 수행할 수 없기 때문에 고등학생이 나에게 와서 그러한 간단한 방정식을 푸는 방법을 다시 배운다는 사실로 이어집니다.
물론, 이러한 기술을 자동으로 연마할 날이 올 것입니다. 더 이상 매번 변환을 너무 많이 수행할 필요가 없으며 모든 것을 한 줄에 작성하게 됩니다. 하지만 배우는 동안 각 작업을 별도로 작성해야 합니다.
훨씬 더 복잡한 선형 방정식 풀기
지금 우리가 해결하려는 작업은 가장 간단한 작업이라고 할 수는 없지만 의미는 동일합니다.
과제 1번
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
첫 번째 부분의 모든 요소를 곱해 보겠습니다.
개인정보 보호를 좀 해보자:
다음은 유사한 것들입니다:
마지막 단계를 완료해 보겠습니다.
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
여기에 우리의 최종 답변이 있습니다. 그리고 풀이 과정에서 2차 함수를 갖는 계수가 있다는 사실에도 불구하고 서로 상쇄되어 방정식이 2차 함수가 아닌 선형이 됩니다.
작업 번호 2
\[\왼쪽(1-4x \오른쪽)\왼쪽(1-3x \오른쪽)=6x\왼쪽(2x-1 \오른쪽)\]
첫 번째 단계를 주의 깊게 수행해 보겠습니다. 첫 번째 대괄호의 각 요소에 두 번째 대괄호의 각 요소를 곱합니다. 변환 후에는 총 4개의 새로운 용어가 있어야 합니다.
이제 각 항에서 곱셈을 주의 깊게 수행해 보겠습니다.
"X"가 있는 용어는 왼쪽으로, -가 없는 용어는 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
비슷한 용어는 다음과 같습니다.
다시 한번 최종 답변을 받았습니다.
솔루션의 뉘앙스
이 두 방정식에 대한 가장 중요한 참고 사항은 다음과 같습니다. 두 개 이상의 항을 포함하는 괄호를 곱하기 시작하자마자 이는 다음 규칙에 따라 수행됩니다. 첫 번째 항에서 첫 번째 항을 취하고 다음의 각 요소를 곱합니다. 두 번째; 그런 다음 첫 번째 요소에서 두 번째 요소를 가져와 유사하게 두 번째 요소의 각 요소와 곱합니다. 결과적으로 우리는 4개의 용어를 가지게 됩니다.
대수합에 대하여
이 마지막 예를 통해 나는 학생들에게 대수적 합이 무엇인지 상기시키고 싶습니다. 고전 수학에서 $1-7$은 간단한 구조를 의미합니다. 즉, 1에서 7을 빼는 것입니다. 대수학에서 이는 다음을 의미합니다. 숫자 "1"에 "마이너스 7"이라는 다른 숫자를 추가합니다. 이것이 대수합이 일반적인 산술합과 다른 점입니다.
모든 변환, 각 덧셈 및 곱셈을 수행할 때 위에서 설명한 것과 유사한 구성이 표시되기 시작하면 다항식 및 방정식으로 작업할 때 대수학에 아무런 문제가 없을 것입니다.
마지막으로, 방금 살펴본 것보다 훨씬 더 복잡한 몇 가지 예를 더 살펴보겠습니다. 이 문제를 해결하려면 표준 알고리즘을 약간 확장해야 합니다.
분수로 방정식 풀기
이러한 작업을 해결하려면 알고리즘에 한 단계를 더 추가해야 합니다. 하지만 먼저 우리의 알고리즘을 상기시켜 드리겠습니다.
- 괄호를 엽니다.
- 별도의 변수.
- 비슷한 것을 가져오세요.
- 비율로 나누어 보세요.
아아, 이 놀라운 알고리즘은 모든 효율성에도 불구하고 우리 앞에 분수가 있을 때 완전히 적절하지 않은 것으로 밝혀졌습니다. 그리고 아래에서 볼 수 있듯이 두 방정식 모두 왼쪽과 오른쪽에 분수가 있습니다.
이 경우 어떻게 일합니까? 예, 매우 간단합니다! 이렇게 하려면 첫 번째 작업 전후에 수행할 수 있는 단계, 즉 분수 제거를 알고리즘에 한 단계 더 추가해야 합니다. 따라서 알고리즘은 다음과 같습니다.
- 분수를 제거하십시오.
- 괄호를 엽니다.
- 별도의 변수.
- 비슷한 것을 가져오세요.
- 비율로 나누어 보세요.
"분수를 제거한다"는 것은 무엇을 의미합니까? 그리고 이것이 첫 번째 표준 단계 이후와 이전에 모두 수행될 수 있는 이유는 무엇입니까? 사실, 우리의 경우 모든 분수는 분모가 숫자입니다. 어디에서나 분모는 숫자일 뿐입니다. 따라서 방정식의 양변에 이 숫자를 곱하면 분수가 제거됩니다.
예 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
이 방정식에서 분수를 제거해 보겠습니다.
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
참고: 모든 항목에 "4"가 한 번 곱해집니다. 단지 두 개의 괄호가 있다고 해서 각 괄호에 "4"를 곱해야 한다는 의미는 아닙니다. 적어보자:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
이제 확장해 보겠습니다.
변수를 격리합니다.
유사한 용어의 축소를 수행합니다.
\[-4x=-1\왼쪽| :\왼쪽(-4 \오른쪽) \오른쪽.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
최종 솔루션을 얻었으니 두 번째 방정식으로 넘어가겠습니다.
예 2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
여기서는 동일한 작업을 모두 수행합니다.
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
문제가 해결되었습니다.
사실 그게 제가 오늘 여러분에게 말하고 싶은 전부입니다.
핵심 사항
주요 결과는 다음과 같습니다.
- 선형 방정식을 푸는 알고리즘을 알아보세요.
- 괄호를 여는 기능.
- 보시면 걱정하지 마세요 이차 함수, 아마도 추가 변환 과정에서 감소할 것입니다.
- 일차방정식에는 세 가지 유형의 근이 있으며, 심지어 가장 단순한 근도 있습니다. 하나의 단일근, 전체 수직선이 근이고 근이 전혀 없습니다.
이 수업이 모든 수학을 더 깊이 이해하기 위해 간단하지만 매우 중요한 주제를 익히는 데 도움이 되기를 바랍니다. 명확하지 않은 부분이 있으면 사이트에 가서 거기에 제시된 예제를 풀어보세요. 계속 지켜봐 주시기 바랍니다. 더 많은 흥미로운 것들이 여러분을 기다리고 있습니다!
선형 방정식. 솔루션, 예.
주목!
추가사항이 있습니다
특별 조항 555의 자료.
매우 "별로..."인 사람들을 위해
그리고 "아주 많이…"라고 하시는 분들을 위해)
선형 방정식.
선형 방정식-학교 수학에서 가장 어려운 주제는 아닙니다. 그러나 훈련받은 학생조차 당황하게 할 수 있는 몇 가지 트릭이 있습니다. 알아볼까요?)
일반적으로 선형 방정식은 다음 형식의 방정식으로 정의됩니다.
도끼 + 비 = 0 어디 a와 b– 모든 숫자.
2x + 7 = 0. 여기 a=2, b=7
0.1x - 2.3 = 0 여기서는 a=0.1, b=-2.3
여기서는 12x + 1/2 = 0 a=12, b=1/2
복잡한 건 하나도 없지, 그렇지? 특히 다음 단어를 눈치채지 못한다면: "여기서 a와 b는 임의의 숫자입니다"... 그리고 눈치 채고 부주의하게 생각한다면?) 결국, 만약 a=0, b=0(모든 숫자가 가능합니까?) 그러면 다음과 같은 재미있는 표현이 나타납니다.
하지만 그게 전부는 아닙니다! 만약에 말하자면, a=0,에이 b=5,이는 완전히 평범하지 않은 것으로 밝혀졌습니다.
짜증나고 수학에 대한 자신감을 약화시키는 일이죠. 예...) 특히 시험 중에는요. 하지만 이 이상한 표현들 중에서 X도 찾아야 해요! 전혀 존재하지 않습니다. 그리고 놀랍게도 이 X는 찾기가 매우 쉽습니다. 우리는 이것을 하는 방법을 배울 것입니다. 이번 강의에서는.
모양으로 선형 방정식을 인식하는 방법은 무엇입니까? 그것은 무엇에 달려있다 모습.) 비결은 선형 방정식이 다음 형식의 방정식이 아니라는 것입니다. 도끼 + 비 = 0 , 변환 및 단순화를 통해 이 형식으로 축소할 수 있는 모든 방정식도 포함됩니다. 그리고 그것이 내려올지 말지 누가 알겠습니까?)
어떤 경우에는 선형 방정식이 명확하게 인식될 수 있습니다. 1차와 숫자에 대한 미지수만 있는 방정식이 있다고 가정해 보겠습니다. 그리고 방정식에는 분수를 다음으로 나눈 값 알려지지 않은 , 이것은 중요합니다! 그리고 나누기 숫자,또는 숫자 분수 - 환영합니다! 예를 들어:
이것은 선형 방정식입니다. 여기에는 분수가 있지만 정사각형, 정육면체 등에 x가 없고 분모에도 x가 없습니다. 아니요 x로 나누기. 그리고 여기에 방정식이 있습니다
선형이라고 할 수 없습니다. 여기서 X는 모두 1차이지만 다음과 같은 경우도 있습니다. x를 사용한 표현식으로 나누기. 단순화 및 변환 후에는 선형 방정식, 이차 방정식 또는 원하는 모든 것을 얻을 수 있습니다.
일부 복잡한 예에서는 선형 방정식을 거의 풀 때까지 이를 인식하는 것이 불가능하다는 것이 밝혀졌습니다. 이것은 속상하다. 하지만 과제에서는 원칙적으로 방정식의 형태를 묻지 않죠? 과제는 방정식을 요구합니다 결정하다.이것이 나를 행복하게 한다.)
선형 방정식 풀기. 예.
선형 방정식의 전체 해는 방정식의 동일한 변환으로 구성됩니다. 그건 그렇고, 이러한 변환(두 개!)이 솔루션의 기초입니다. 수학의 모든 방정식.즉, 해결책은 어느방정식은 바로 이러한 변환으로 시작됩니다. 선형 방정식의 경우 방정식(해)은 이러한 변환을 기반으로 하며 완전한 답으로 끝납니다. 링크를 따라가는 것이 합리적이죠?) 또한 거기에는 선형 방정식을 푸는 예도 있습니다.
먼저 가장 간단한 예를 살펴보겠습니다. 어떤 함정도 없이. 이 방정식을 풀어야 한다고 가정해 보겠습니다.
x - 3 = 2 - 4x
이것은 선형 방정식입니다. X는 모두 1제곱이므로 X로 나누는 일은 없습니다. 그러나 사실 그것이 어떤 방정식인지는 우리에게 중요하지 않습니다. 우리는 그것을 해결해야 합니다. 여기의 계획은 간단합니다. 방정식의 왼쪽에 X가 있는 모든 것을 모으고, 오른쪽에 X(숫자)가 없는 모든 것을 모으세요.
이렇게 하려면 전송해야 합니다. - 물론 기호가 바뀌면서 왼쪽으로 4x - 3 - 오른쪽으로. 그런데 이것은 방정식의 첫 번째 동일한 변환.놀란? 이는 귀하가 링크를 따르지 않았지만 헛된 일임을 의미합니다...) 우리는 다음을 얻습니다.
x + 4x = 2 + 3
다음은 유사한 것입니다.
완전한 행복을 위해서는 무엇이 필요합니까? 예, 왼쪽에 순수한 X가 있습니다! 5개가 가는 길입니다. 도움을 받아 다섯 마리를 제거하세요 방정식의 두 번째 동일한 변환.즉, 방정식의 양변을 5로 나눕니다. 준비된 답을 얻습니다.
물론 기본적인 예입니다. 워밍업을 위한 것입니다.) 여기서 동일한 변형을 기억한 이유가 명확하지 않습니까? 좋아요. 황소의 뿔을 잡자.) 좀 더 확실한 것을 결정하자.
예를 들어 방정식은 다음과 같습니다.
어디서부터 시작할까요? X가 있는 경우 - 왼쪽으로, X가 없는 경우 - 오른쪽으로? 가능합니다. 긴 길을 따라 작은 발걸음. 아니면 보편적이고 강력한 방법으로 즉시 수행할 수도 있습니다. 물론 무기고에 동일한 방정식 변환이 있는 경우.
나는 당신에게 중요한 질문을 합니다: 이 방정식에서 가장 마음에 들지 않는 점은 무엇입니까?
100명 중 95명은 이렇게 대답할 것입니다. 분수 ! 대답은 정확합니다. 그러니 그들을 제거합시다. 그러므로 우리는 즉시 다음과 같이 시작합니다. 두 번째 정체성 변화. 분모가 완전히 줄어들도록 왼쪽 분수에 무엇을 곱해야 합니까? 맞습니다. 3시죠. 그리고 오른쪽은요? 4. 하지만 수학을 사용하면 양변에 다음을 곱할 수 있습니다. 같은 번호. 어떻게 나갈 수 있나요? 양변에 12를 곱해 봅시다! 저것들. ~에 공통분모. 그러면 셋과 넷이 모두 줄어들 것이다. 각 부분을 곱해야한다는 것을 잊지 마십시오 전적으로. 첫 번째 단계는 다음과 같습니다.
대괄호 확장:
주의하세요! 분자 (x+2)괄호 안에 넣었어요! 분수를 곱하면 분자 전체가 곱해지기 때문이죠! 이제 분수를 줄일 수 있습니다:
나머지 대괄호를 확장합니다.
예가 아니라 순수한 기쁨입니다!) 이제 초등학교 때의 주문을 기억해 봅시다. X가 있는 경우 - 왼쪽으로, X가 없는 경우 - 오른쪽으로!그리고 다음 변환을 적용합니다.
다음은 유사한 것들입니다:
그리고 두 부분을 25로 나눕니다. 즉, 두 번째 변환을 다시 적용합니다.
그게 다야. 답변: 엑스=0,16
참고: 원래의 혼란스러운 방정식을 좋은 형식으로 만들기 위해 두 개만 사용했습니다(단 두 개!). 정체성 변화– 동일한 숫자로 방정식의 부호 변경 및 곱셈 나눗셈을 사용하여 왼쪽에서 오른쪽으로 번역합니다. 이것은 보편적인 방법입니다! 우리는 이런 식으로 일할 것입니다 어느 방정식! 물론 누구나. 그래서 나는 계속해서 똑같은 변형을 지루하게 반복하고 있다.)
보시다시피 선형 방정식을 푸는 원리는 간단합니다. 우리는 방정식을 취하고 다음과 같이 단순화합니다. 정체성 변화응답을 받기 전에. 여기서 주요 문제는 솔루션의 원리가 아니라 계산에 있습니다.
하지만... 가장 기본적인 일차방정식을 푸는 과정에서 당신을 몹시 혼미하게 만들 정도로 놀라운 일이 일어납니다...) 다행히도 그러한 놀라운 일은 딱 두 가지밖에 없습니다. 그것들을 특별한 경우라고 부르자.
선형 방정식 풀기의 특별한 경우.
첫 번째 놀라움.
다음과 같은 매우 기본적인 방정식을 발견했다고 가정해 보겠습니다.
2x+3=5x+5 - 3x - 2
약간 지루해서 X를 사용하여 왼쪽으로 이동하고 X 없이 오른쪽으로 이동합니다... 기호를 변경하면 모든 것이 완벽합니다... 우리는 다음을 얻습니다.
2x-5x+3x=5-2-3
우리는 세어보고... 이런!!! 우리는 다음을 얻습니다:
이러한 평등 자체는 반대할 수 없습니다. 0은 정말 0입니다. 그런데 X가 없어졌어요! 그리고 우리는 답을 적어야 합니다. x는 무엇입니까?그렇지 않으면 해결 방법이 중요하지 않습니다. 그렇죠...) 교착 상태인가요?
침착한! 이러한 의심스러운 경우에는 가장 일반적인 규칙이 도움이 될 것입니다. 방정식을 푸는 방법? 방정식을 푼다는 것은 무엇을 의미합니까? 이는 다음을 의미합니다. 원래 방정식에 대입하면 올바른 동등성을 제공하는 x의 모든 값을 찾아보세요.
하지만 우리에겐 진정한 평등이 있어요 이미효과가 있었어요! 0=0, 얼마나 더 정확할까요?! x가 어떤 일이 일어나는지 알아내는 것이 남아 있습니다. X의 어떤 값이 대체될 수 있나요? 원래의방정식 여전히 0으로 줄어들까요?어서 해봐요?)
예!!! X로 대체 가능 어느!어느 것을 원하시나요? 5 이상, 0.05 이상, -220 이상입니다. 그들은 여전히 줄어들 것입니다. 믿을 수 없다면 확인해 보세요.) X의 값을 다음과 같이 대입합니다. 원래의방정식과 계산. 항상 순수한 진실(0=0, 2=2, -7.1=-7.1 등)을 얻게 됩니다.
귀하의 답변은 다음과 같습니다. x - 임의의 숫자.
답은 다양한 수학적 기호로 쓰여질 수 있으며 본질은 변하지 않습니다. 이것은 완전히 정확하고 완전한 답변입니다.
두 번째 놀라움.
동일한 기본 선형 방정식을 사용하여 숫자 하나만 변경해 보겠습니다. 이것이 우리가 결정할 사항입니다:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
동일한 동일한 변환 후에 흥미로운 결과를 얻을 수 있습니다.
이와 같이. 우리는 선형 방정식을 풀고 이상한 평등을 얻었습니다. 말하기 수학적 언어, 우리는 얻었다 거짓 평등.그리고 말하기 간단한 언어로, 이것은 사실이 아닙니다. 날뛰다. 그럼에도 불구하고, 이 넌센스는 다음과 같은 이유가 됩니다. 올바른 결정방정식.)
다시 우리는 다음을 기반으로 생각합니다. 일반 규칙. 원래 방정식에 x를 대입하면 우리는 무엇을 얻게 될까요? 진실평등? 예, 없습니다! 그런 X는 없습니다. 무엇을 넣어도 다 줄어들고 넌센스만 남게 된다.)
귀하의 답변은 다음과 같습니다. 해결책이 없습니다.
이것은 또한 완전히 완전한 답변입니다. 수학에서는 그러한 답이 종종 발견됩니다.
이와 같이. 이제 (선형뿐만 아니라) 방정식을 푸는 과정에서 X가 사라져도 전혀 혼란스럽지 않기를 바랍니다. 이미 익숙한 일이다.)
이제 우리는 선형 방정식의 모든 함정을 다루었으므로 이를 해결하는 것이 합리적입니다.
이 사이트가 마음에 드신다면...
그건 그렇고, 당신을 위한 몇 가지 흥미로운 사이트가 더 있습니다.)
예제 풀이를 연습하고 자신의 레벨을 알아볼 수 있습니다. 즉시 검증으로 테스트합니다. 배우자 - 관심을 가지고!)
함수와 파생상품에 대해 알아볼 수 있습니다.
Makarova T.P., GBOU 중등 학교 번호 618 교육 "방정식" 5학년
2가지 버전의 "방정식" 주제에 대한 5학년 교육
마카로바 타티아나 파블로브나,
모스크바 618번 중등학교 교사
조건부: 5학년
이 교육은 "방정식"이라는 주제에 대한 학생들의 지식과 기술을 테스트하는 것을 목표로 합니다. 이 교육은 N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhova 및 기타 5학년 교과서를 대상으로 합니다. – M .: Mnemosyne, 2013. – 288 p. 이 테스트에는 동일한 난이도의 두 가지 병렬 옵션이 포함되어 있으며 각각 9개의 과제(4개의 객관식 과제, 3개의 단답형 과제, 2개의 확장 솔루션 과제)가 있습니다.
이 교육은 연방 주 규정을 완전히 준수합니다. 교육 수준(2세대) 교실 통제를 할 때 사용할 수 있으며, 5학년 학생들도 사용할 수 있습니다. 독립적인 작업주제에.
시험을 완료하는 데 15~25분의 수업 시간이 할당됩니다. 열쇠가 포함되어 있습니다.
"방정식"이라는 주제로 5학년을 위한 교육입니다. 옵션 1.
№p/p
운동
답변
방정식을 풀어보세요
574
1124
1114
1024
방정식의 근을 찾아보세요
(156-엑스 )+43=170.
1) 방정식의 근본은 문자의 값입니다.
2) 방정식의 근본 (23 – 엑스) – 21 = 2는 자연수가 아닙니다.
3) 미지수를 찾으려면 피감수에서 그 차이를 빼야 합니다.
4) 방정식 엑스 – 엑스= 0에는 정확히 하나의 루트가 있습니다.
Petya는 숫자를 생각했습니다. 이 숫자에 43을 더하고 결과 금액에 77을 더하면 258이 됩니다. Petya는 어떤 숫자를 염두에 두었나요?
1) (엑스 + 43) – 77 = 258
2) (엑스 + 43) + 77 = 258
3) (엑스 – 43) + 77 = 258
4) (엑스 – 43) – 77 = 258
방정식을 푼다: (5· 와 함께 – 8) : 2 = 121: 11.
방정식을 푼다: 821 – ( 중 + 268) = 349.
숫자의 가치를 찾아보세요 에이, 8인 경우 에이 + 9엑스= 60 및 엑스=4.
방정식을 사용하여 문제를 해결합니다. 도서관에는 수학에 관한 125권의 책이 있었습니다. 학생들이 여러 권의 책을 가져간 다음 3권을 반납하면 총 116권의 책을 가져갔습니까?
방정식을 푼다:
456 + (엑스 – 367) – 225 =898
"방정식"이라는 주제로 5학년을 위한 교육입니다. 옵션 2.
№p/p
운동
답변
1부. 객관식 과제
방정식을 풀어보세요 
525
1081
535
1071
방정식의 근을 찾아보세요
942 – (와이 + 142) = 419.
391
481
1219
381
번호를 입력하세요. 진실한 진술:
1) 방정식은 값을 찾아야 하는 문자를 포함하는 등식입니다.
2) 모두 자연수방정식의 근본이다
3) 방정식의 근은 방정식에서 올바른 수치식이 얻어지는 문자의 값입니다.
4) 알려지지 않은 피제수를 찾으려면 몫에 제수를 추가해야 합니다.
Dasha는 숫자를 생각했습니다. 이 숫자에 43을 더하고 결과 금액에서 77을 빼면 258이 됩니다. Dasha는 어떤 숫자를 염두에 두었나요?
1) (엑스 + 43) – 77 = 258
2) (엑스 + 43) + 77 = 258
3) (엑스 – 43) + 77 = 258
4) (엑스 – 43) – 77 = 258
2부. 단답형 과제
방정식을 푼다: 63: (2· 엑스 – 1) = 21: 3.
방정식을 푼다: 748 – ( 비 +248) = 300.
숫자의 가치를 찾아보세요 에이, 7인 경우 에이 – 3엑스= 41 및 엑스=5.
3부. 세부적인 솔루션이 포함된 작업
방정식을 사용하여 문제를 해결합니다. 창고에는 197대의 기계가 있었습니다. 일부가 판매되고 86대가 더 들여온 후에도 창고에는 여전히 115대의 기계가 남아 있었습니다. 총 몇 대의 기계가 판매되었습니까?
이럴 때 가장 중요한 스킬 중 하나는 5학년 입학간단한 방정식을 푸는 능력입니다. 아직 5학년이 얼마 남지 않았기 때문에 국민 학교, 그렇다면 학생이 풀 수 있는 방정식의 종류가 그리 많지 않습니다. 원하는 경우 풀 수 있어야 하는 모든 기본 유형의 방정식을 소개합니다. 물리학 및 수학 학교에 입학하다.
유형 1: "구근"
다음은 다음과 같은 경우에 접할 가능성이 가장 높은 방정식입니다. 어느 학교에든 입학또는 별도의 과제로 5학년 동아리를 운영합니다. 다른 변수와 쉽게 구별할 수 있습니다. 변수는 한 번만 존재합니다. 예를 들어, 또는.
이 문제는 매우 간단하게 해결됩니다. 알 수 없는 곳으로 "도착"하고 주변에 있는 불필요한 모든 것을 점차적으로 "제거"하면 됩니다. 마치 양파 껍질을 벗기는 것처럼 이름이 붙여진 것입니다. 이를 해결하려면 두 번째 수업에서 배운 몇 가지 규칙을 기억하세요. 모두 나열해 보겠습니다.
덧셈
- 항1 + 항2 = 합계
- 항1 = 합계 - 항2
- 항2 = 합계 - 항1
빼기
- 피감수 - 감수 = 차이
- 피감수 = 감수 + 차이
- 감산 = 빼기 - 차이
곱셈
- 요인1 * 요인2 = 곱
- 요인1 = 곱: 요인2
- 요인2 = 곱: 요인1
분할
- 피제수: 제수 = 몫
- 배당금 = 제수 * 몫
- 제수 = 피제수: 몫
이러한 규칙을 적용하는 방법에 대한 예를 살펴보겠습니다.
나누어져 있으니 참고하세요 
에 그리고 우리는 를 받습니다. 이 상황에서 우리는 제수와 몫을 알고 있습니다. 피제수를 찾으려면 제수에 몫을 곱해야 합니다.
우리는 우리 자신과 조금 더 가까워졌습니다. 이제 우리는 그것을 봅니다 
가 추가되어 밝혀졌습니다. 이는 용어 중 하나를 찾으려면 합계에서 알려진 용어를 빼야 함을 의미합니다.
그리고 미지의 또 다른 "레이어"가 제거되었습니다! 이제 우리는 제품의 알려진 값()과 하나의 알려진 승수()가 있는 상황을 봅니다.
이제 상황은 "감산 - 감산 = 차이"입니다.
그리고 마지막 단계 - 유명한 작품() 및 승수 중 하나 () 
유형 2: 괄호가 있는 방정식
이 유형의 방정식은 문제에서 가장 자주 발견됩니다. 모든 문제의 90%는 다음과 같습니다. 5학년 입학. 같지 않은 "양파 방정식"여기서 변수는 여러 번 나타날 수 있으므로 이전 단락의 방법을 사용하여 해결하는 것은 불가능합니다. 일반적인 방정식: 또는
가장 큰 어려움은 괄호를 올바르게 여는 것입니다. 이 작업을 올바르게 수행한 후에는 유사한 용어(숫자를 숫자로, 변수를 변수로)로 줄여야 하며 그 후에 가장 간단한 결과를 얻습니다. "양파 방정식"우리가 해결할 수 있는 것입니다. 하지만 가장 먼저 해야 할 일이 있습니다.
확장 괄호. 이 경우 사용해야 할 몇 가지 규칙을 제시하겠습니다. 그러나 실습에서 알 수 있듯이 학생은 70-80개의 문제가 완료된 후에야 괄호를 올바르게 열기 시작합니다. 기본 규칙은 다음과 같습니다. 괄호 밖의 모든 인수에 괄호 안의 각 항을 곱해야 합니다. 그리고 괄호 앞의 빼기 기호는 그 안에 있는 모든 표현식의 기호를 변경합니다. 따라서 공개의 기본 규칙은 다음과 같습니다. 
유사한 것 가져오기. 여기에서는 모든 것이 훨씬 쉽습니다. 등호를 통해 용어를 전송하여 한쪽에는 알 수 없는 용어만 있고 다른 쪽에는 숫자만 있는지 확인해야 합니다. 기본 규칙은 다음과 같습니다. 통해 전송된 각 용어는 기호를 변경합니다. 함께 있으면 함께 되고 그 반대도 마찬가지입니다. 성공적인 전송 후에는 미지수의 총 개수, 변수와 등호 반대편의 총 개수를 계산하고 간단한 문제를 풀어야 합니다. "양파 방정식".
