2. 방정식 등식에 문자가 포함된 경우 등식을 방정식이라고 합니다.
방정식은 이 문자의 일부 값에 대해 참일 수 있습니다.
다른 의미로는 올바르지 않습니다.
예를 들어 방정식 x + 6 = 7
x = 1이면 참
x = 2이면 거짓입니다.
3.
등가 방정식 선형 방정식은 ax + by + c = 0입니다.
예: 5x – 4y + 6 = 0.
y를 표현해보자:
⇒ 4y = 5x + 6 ⇒ y =
| 5x+6 |
| 4 |
⇒ y = 1.25x + 1.5.
첫 번째 방정식과 동일한 결과 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
y = kx + m,
여기서: x - 독립 변수(인수);
y - 종속변수(함수);
k와 m은 계수(매개변수)입니다.
4 등가 방정식
두 방정식은 다음과 같습니다. 동등한 (동등한), 모든 해의 집합이 일치하거나 둘 다 해가 없는 경우 를 나타냅니다.
5/1차 방정식.
1차 방정식은 다음과 같은 형식으로 축소될 수 있습니다.
도끼+B = 0,
어디 엑스– 변수, ㅏ그리고 비– 일부 숫자 및 ㅏ ≠ 0.
여기에서 값을 도출하는 것은 쉽습니다. 엑스:
비
x = - -
ㅏ
이것이 의미이다 엑스방정식의 근본입니다.
1차 방정식에는 근이 하나 있습니다.
2차 방정식.
2차 방정식은 다음과 같은 형식으로 축소될 수 있습니다.
도끼 2 + bx + c = 0,
어디 엑스– 변수, 에이, 비, 씨– 일부 숫자 및 ㅏ ≠ 0.
2차 방정식의 근 수는 판별식에 따라 다릅니다.
D > 0이면 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.
D = 0이면 방정식에는 하나의 근이 있습니다.
만약 D< 0, то уравнение корней не имеет.
2차 방정식은 2개 이상의 근을 가질 수 없습니다.
(판별기가 무엇인지, 방정식의 근을 찾는 방법에 대해서는 "이차 방정식의 근에 대한 공식. 판별기" 및 "이차 방정식을 푸는 또 다른 방법" 섹션을 참조하세요.)
3차 방정식.
3차 방정식은 다음과 같은 형식으로 축소될 수 있습니다.
도끼 3 + bx 2 + CX + 디 = 0,
어디 엑스– 변수, 에이, 비, 씨, 디– 일부 숫자 및 ㅏ ≠ 0.
3차 방정식은 3개 이하의 근을 가질 수 있습니다.
4차 방정식.
4차 방정식은 다음과 같은 형식으로 축소될 수 있습니다.
도끼 4 + bx 3 + CX 2 + dx + 전자 = 0,
어디 엑스– 변수, 에이 비 씨 디이– 일부 숫자 및 ㅏ ≠ 0.
3차 방정식은 4개 이하의 근을 가질 수 있습니다.
요약:
1) 다섯 번째, 여섯 번째 등의 방정식 위의 다이어그램을 따르면 학위는 독립적으로 쉽게 파생될 수 있습니다.
2) 방정식 N- 학위는 더 이상 가질 수 없습니다 N뿌리
6/변수가 하나인 방정식은 변수가 하나만 포함된 방정식입니다. 방정식의 근(또는 해)은 방정식이 진정한 수치 동일성이 되는 변수의 값입니다.
1. 8/-11/시스템 선형 방정식: 기본 개념선형 방정식 시스템.
일관되지 않고 불확실한 선형 방정식 시스템. 선형 방정식 세트. 일관되고 일관성이 없는 선형 방정식 세트입니다.
선형 방정식 시스템의 연합이다 N각각 다음을 포함하는 선형 방정식 케이변수. 다음과 같이 작성되었습니다.
많은 사람들이 처음으로 고등 대수학을 접할 때 방정식의 수가 변수의 수와 반드시 일치해야 한다고 잘못 믿습니다. 학교 대수학에서는 이런 일이 일반적으로 발생하지만, 고등 대수학에서는 일반적으로 그렇지 않습니다.
연립방정식 풀기일련의 숫자입니다( 케이 1 , 케이 2 , ..., 케이엔), 이는 시스템의 각 방정식에 대한 해입니다. 즉, 변수 대신에 이 방정식을 대입하면 엑스 1 , 엑스 2 , ..., xn올바른 수치 평등을 제공합니다.
따라서 연립방정식을 푼다는 것은 모든 해의 집합을 찾거나 이 집합이 비어 있음을 증명하는 것을 의미합니다. 방정식의 수와 미지수의 수가 일치하지 않을 수 있으므로 세 가지 경우가 가능합니다.
1. 시스템이 일관성이 없습니다. 모든 솔루션 세트가 비어 있습니다. 시스템을 해결하기 위해 어떤 방법을 사용하더라도 쉽게 감지되는 다소 드문 경우입니다.
2. 시스템은 일관되고 정의되어 있습니다. 정확히 하나의 솔루션이 있습니다. 학교 시절부터 잘 알려진 클래식 버전입니다.
3. 시스템은 일관되고 정의되지 않습니다. 무한히 많은 솔루션을 가지고 있습니다. 이것은 가장 어려운 선택입니다. "시스템에 무한한 솔루션 세트가 있음"을 나타내는 것만으로는 충분하지 않습니다. 이 세트가 어떻게 구성되어 있는지 설명하는 것이 필요합니다.
변하기 쉬운 x 나는~라고 불리는 허용됨, 시스템의 하나의 방정식에만 포함되고 계수가 1인 경우. 즉, 나머지 방정식에서 변수의 계수는 x 나는 0과 같아야 합니다.
각 방정식에서 하나의 허용 변수를 선택하면 전체 방정식 시스템에 대해 허용되는 변수 세트를 얻습니다. 이 형식으로 작성된 시스템 자체도 해결이라고 합니다. 일반적으로 말하면 하나의 동일한 원래 시스템이 허용되는 다른 시스템으로 축소될 수 있지만 지금은 이에 대해 걱정하지 않습니다. 허용되는 시스템의 예는 다음과 같습니다.
두 시스템 모두 가변 분해형입니다. 엑스 1 , 엑스 3 및 엑스 4 . 그러나 동일한 성공을 거두더라도 두 번째 시스템이 상대적으로 허용된다고 주장할 수 있습니다. 엑스 1 , 엑스 3 및 엑스 5 . 마지막 방정식을 다음 형식으로 다시 작성하면 충분합니다. 엑스 5 = 엑스 4 .
이제 좀 더 일반적인 경우를 고려해 보겠습니다. 우리가 모든 것을 가질 수 있기를 케이그 중 변수 아르 자형허용됩니다. 그렇다면 두 가지 경우가 가능합니다:
1. 허용되는 변수의 수 아르 자형총 변수 수와 같습니다. 케이: 아르 자형 = 케이. 우리는 시스템을 다음으로부터 얻습니다. 케이방정식 아르 자형 = 케이허용되는 변수. 그러한 시스템은 결합적이고 명확합니다. 엑스 1 = 비 1 , 엑스 2 = 비 2 , ..., xk = ㄴㅋ;
2. 허용되는 변수의 수 아르 자형전체 변수 수보다 작음 케이: 아르 자형 < 케이. 나머지 ( 케이 − 아르 자형) 변수를 자유라고 부릅니다. 허용되는 변수를 쉽게 계산할 수 있는 어떤 값이든 사용할 수 있습니다.
따라서 위 시스템에서 변수는 엑스 2 , 엑스 5 , 엑스 6(첫 번째 시스템의 경우) 및 엑스 2 , 엑스 5개(두 번째)는 무료입니다. 자유 변수가 있는 경우는 정리로 더 잘 공식화됩니다.
참고: 이것은 매우 중요한 점! 결과 시스템을 작성하는 방법에 따라 동일한 변수가 허용되거나 해제될 수 있습니다. 대부분의 고등 수학 교사들은 변수를 사전순으로 작성하는 것을 권장합니다. 오름차순 지수. 그러나 귀하가 이 조언을 따를 의무는 없습니다.
정리. 시스템의 출처인 경우 N방정식 변수 엑스 1 , 엑스 2 , ..., xr- 허용되며, xr + 1 , xr + 2 , ..., xk- 무료인 경우:
1. 자유변수의 값을 설정하면 ( xr + 1 = t r + 1 , xr + 2 = t r + 2 , ..., xk = ㅋㅋㅋ), 그런 다음 값을 찾습니다. 엑스 1 , 엑스 2 , ..., xr, 우리는 해결책 중 하나를 얻습니다.
2. 두 솔루션에서 자유 변수의 값이 일치하면 허용되는 변수의 값도 일치합니다. 즉, 솔루션은 동일합니다.
이 정리의 의미는 무엇입니까? 해결된 방정식 시스템에 대한 모든 해를 얻으려면 자유 변수를 분리하는 것으로 충분합니다. 그런 다음 자유 변수에 다른 값을 할당하면 기성 솔루션을 얻을 수 있습니다. 그게 전부입니다. 이 방법으로 시스템의 모든 솔루션을 얻을 수 있습니다. 다른 해결책은 없습니다.
결론: 해결된 방정식 시스템은 항상 일관됩니다. 해결된 시스템의 방정식 수가 변수 수와 같으면 시스템은 양호하고, 적으면 양립할 수 없습니다.
여러 방정식이 형성됩니다. 방정식 세트
2. 12,13/ 선형 부등식./ 엄격한 불평등과 비엄격한 불평등이란 무엇입니까? 불평등?방정식을 사용하면 "="("같음") 기호가 다른 기호( > ;≥ ; < ; ≤ ; ≠ ) 그리고 부등식이 얻어집니다.) 방정식은 선형, 2차, 분수, 지수, 삼각, 로그 등 무엇이든 될 수 있습니다. 등등. 따라서 우리의 불평등은 선형, 이차 등이 될 것입니다.
불평등 아이콘에 대해 알아야 할 사항은 무엇입니까? 아이콘이 있는 불평등 더 (> ), 또는 더 적은 (< )라고 불린다. 엄격한.아이콘 포함 그 이상 또는 같음 (≥ ), 작거나 같음 (≤ )라고 불린다. 엄격하지 않음.상 같지 않다 (≠ )은 눈에 띄지만 항상 이 아이콘이 있는 예제를 풀어야 합니다. 그리고 우리가 결정할 것입니다.)
아이콘 자체는 솔루션 프로세스에 큰 영향을 미치지 않습니다. 하지만 결정이 끝나고 최종 답을 선택할 때 아이콘의 의미가 본격적으로 나타납니다! 이것이 아래 예에서 볼 수 있는 내용입니다. 농담도 좀 있고...
평등과 마찬가지로 불평등도 존재한다 신실한 것과 불충실한 것.여기에서는 모든 것이 간단하고 트릭이 없습니다. 5라고 해보자 > 2는 진정한 불평등이다. 5 < 2 - 올바르지 않습니다.
선형, 2차, 분수, 지수, 삼각 및 기타 불평등은 다양한 방식으로 해결됩니다. 각 유형에는 고유한 방법과 특수 기술이 있습니다. 하지만! 이 모든 특별한 기술을 사용할 수 있습니다 누군가에게만 표준보기불평등.저것들. 모든 종류의 불평등이 먼저 이루어져야 합니다. 준비하다당신의 방법을 사용하십시오.
3. 14,16/부등식의 기본 속성/. 두 가지 부등식이 있는 작업.
1) 만일 
2) 전이성의 속성. 만약에
3) 진짜 부등식의 양쪽에 같은 수를 더하면 진짜 부등식이 됩니다. 즉, 만약에
4) 진정한 불평등의 한 부분에서 다른 부분으로 항을 옮겨 그 부호를 반대로 바꾸면 진정한 불평등을 얻습니다. 만약에
5) 실제 부등식의 양쪽에 동일한 양수를 곱하면 실제 부등식이 됩니다. 예를 들어,
6) 참 부등식의 양쪽에 같은 음수를 곱하고 부등호를 바꿔라반대로 결과는 진정한 불평등입니다. 예를 들어,
7) 규칙 5) 및 6)과 유사하게 같은 수로 나누는 규칙이 적용됩니다. 만약에 
데카르트-오일러 해법
대체를 수행하면 다음 형식의 방정식을 얻습니다("불완전"이라고 함).
와이 4 + 피와이 2 + 큐와이 + 아르 자형 = 0 .뿌리 와이 1 , 와이 2 , 와이 3 , 와이그러한 방정식 중 4개는 다음 표현식 중 하나와 같습니다.
다음 관계가 충족되는 방식으로 문자 조합이 선택됩니다.
,
그리고 지 1 , 지 2 및 지 3개는 뿌리 삼차방정식
페라리의 솔루션
주요 기사: 페라리 방식
4차 방정식을 다음과 같은 형식으로 표현해 보겠습니다.
ㅏ엑스 4 + 비엑스 3 + 씨엑스 2 + 디엑스 + 이자형 = 0,그 해는 다음 표현식에서 찾을 수 있습니다.
β = 0이면 해결 유 4 + α 유 2 + γ = 0그리고 대체 작업을 수행합니다. 
, 뿌리를 찾아봅시다: . 
, (모든 기호 제곱근 will do), (세 개의 복소근 중 하나가 가능함) 
두 개의 ± s는 동일한 부호를 가져야 하며 ± t는 독립적입니다. 모든 근을 찾으려면 부호 있는 조합 ± s , ± t = +,+(+,−),+(−,−)에 대해 x를 찾아야 합니다. 이중근은 2번, 삼중근은 3번, 제4근은 4번 나타납니다. 근의 순서는 세제곱근에 따라 달라집니다. 유선택된. 또한보십시오
- 쉽게 풀 수 있는 4차방정식 종류 : 2차방정식, 4차 역방정식
문학
- Korn G., Korn T. (1974) 수학 핸드북.
연결
- 페라리의 결정
위키미디어 재단. 2010.
다른 사전에 "4차 방정식"이 무엇인지 확인하세요.
4차 방정식- - [L.G. 정보 기술에 관한 영어-러시아어 사전. M.: 국영 기업 TsNIIS, 2003.] 주제 정보 기술일반적으로 EN 사차 방정식 ... 기술 번역가 가이드
4개의 근과 3개의 임계점이 있는 4차 다항식의 그래프입니다. 수학의 4차 방정식은 다음 형식의 대수 방정식입니다. 대수 방정식가장 높은 것은... ... Wikipedia
anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 = 0 형식의 방정식은 대칭 위치의 계수가 동일한 경우, 즉 k = 0에 대해 an − k = ak인 경우 역수라고 합니다. 1, ..., 엔. 목차 1 4차 방정식 ... Wikipedia
여기서 미지의 항은 4제곱입니다. 완전한 사전 외국어, 러시아어로 사용되었습니다. Popov M., 1907. 위도의 BIQUADRATE EQUATION. 비스, 두 번 및 사각형, 정사각형. 가장 큰 차수를 갖는 방정식... ... 러시아어 외국어 사전
산술과 함께 숫자에 관한 과학이 있고, 숫자를 통해 일반적으로 양에 관한 과학이 있습니다. 명확하고 구체적인 수량의 속성을 연구하지 않고 이 두 과학 모두 추상 수량의 속성을 조사합니다. 백과사전에프. 브록하우스와 I.A. 에브론
항공 엔지니어가 공기 역학, 강도 문제, 엔진 구축 및 항공기의 비행 역학(예: 이론) 분야를 연구하여 새로운 항공기를 만들거나 개선할 수 있는 일련의 응용 지식입니다. 콜리어의 백과사전
가장 오래된 수학적 활동은 계산이었습니다. 가축을 추적하고 거래를 수행하려면 계좌가 필요했습니다. 일부 원시 부족은 주로 신체의 여러 부분을 일치시켜 물건의 수를 세었는데… 콜리어의 백과사전
시대와 지역별 기술사: 신석기 혁명 고대 이집트 기술 과학과 기술 고대 인도과학 기술 고대 중국기술 고대 그리스기술 고대 로마이슬람 세계의 기술... ... 위키피디아
방정식은 두 가지의 동등성을 표현하는 수학적 관계입니다. 대수적 표현. 포함된 미지의 허용 가능한 값에 대해 동일성이 참인 경우 이를 항등이라고 합니다. 예를 들어, 형식의 비율은... ... 콜리어의 백과사전
아벨 루피니(Abel Ruffini)의 정리에 따르면 일반 거듭제곱 방정식은 근수로는 풀 수 없습니다. 목차 1 세부정보... Wikipedia
목표:
- 주제에 대한 지식과 기술을 체계화하고 일반화합니다: 3차 및 4차 방정식의 해.
- 다양한 작업을 완료하여 지식을 심화하세요. 그 중 일부는 해결 유형이나 방법이 익숙하지 않습니다.
- 수학의 새로운 지평을 연구하여 수학에 대한 관심을 형성하고, 방정식의 그래프 구성을 통해 그래픽 문화를 함양합니다.
수업 유형: 합쳐졌습니다.
장비:그래픽 프로젝터.
시계:표 "Viete의 정리".
수업 중
1. 구두 계산
a) 다항식 p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0을 이항 x-a로 나눈 나머지는 무엇입니까?
b) 삼차 방정식은 몇 개의 근을 가질 수 있습니까?
c) 3차 및 4차 방정식을 어떻게 풀 수 있나요?
d) 만일 b 우수이차 방정식에서 D와 x x 2는 무엇입니까?
2. 독립적 인 일(그룹으로)
근이 알려진 경우 방정식을 작성합니다(과제에 대한 답이 코딩되어 있음). "비에타의 정리"가 사용됨
1개 그룹
근: x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6
방정식을 만들어 보세요:
B=1 -2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23
d=6-12+36-18=12; d= -12
e=1(-2)(-3)6=36
x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(이 방정식은 보드의 그룹 2에 의해 해결됩니다)
해결책 . 우리는 숫자 36의 약수 중에서 근을 찾습니다.
р = ±1;±2;±3;±4;±6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 숫자 1은 방정식을 만족하므로 =1이 방정식의 근입니다. Horner의 계획에 따르면
p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36
p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2
피 2 (x) = x 2 -3x -18=0
x 3 =-3, x 4 =6
답: 1;-2;-3;6 근 2의 합(P)
2그룹
근: x 1 = -1; 엑스 2 = 엑스 3 =2; x 4 =5
방정식을 만들어 보세요:
B=-1+2+2+5-8; b= -8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
D=-4-10+20-10= -4; d=4
e=2(-1)2*5=-20;e=-20
8+15+4x-20=0 (그룹 3은 보드에서 이 방정식을 푼다)
р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.
p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20
p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0
p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 =2; x 2 =5
답: -1;2;2;5 근의 합 8(P)
3그룹
근: x 1 = -1; x 2 =1; x 3 = -2; x 4 =3
방정식을 만들어 보세요:
В=-1+1-2+3=1;В=-1
с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
e=-1*1*(-2)*3=6
x 4 - x 3- 7x2 + x + 6 = 0(그룹 4는 나중에 보드에서 이 방정식을 푼다)
해결책. 우리는 숫자 6의 약수 중에서 전체 근을 찾습니다.
р = ±1;±2;±3;±6
p 4 (1)=1-1-7+1+6=0
p 3 (x) = x 3 - 7x -6
р 3 (-1) = -1+7-6=0
p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 =3
답: -1;1;-2;3 근의 합 1(O)
4그룹
근: x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3
방정식을 만들어 보세요:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36
× 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(이 방정식은 보드의 그룹 5에서 해결됩니다)
해결책. 우리는 숫자 -36의 약수 중에서 전체 근을 찾습니다.
р = ±1;±2;±3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0
p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0
p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3
답: -2; -2; -삼; 3 근의 합-4(F)
5개 그룹
근: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4
방정식 쓰기
4개+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(이 방정식은 보드의 그룹 6에서 해결됩니다)
해결책 . 우리는 숫자 24의 약수 중에서 근을 찾습니다.
р = ±1;±2;±3
p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0
p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O
p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0
답: -1;-2;-3;-4 합계-10(I)
6개 그룹
근: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8
방정식 쓰기
B=1+1-3+8=7;b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24= -43; d=43
x 4 - 7x 3- 13x2 + 43엑스 - 24 = 0 (이 방정식은 보드의 그룹 1에서 해결됩니다)
해결책 . 우리는 숫자 -24의 약수 중에서 전체 근을 찾습니다.
p 4 (1)=1-7-13+43-24=0
피 3 (1)=1-6-19+24=0
피 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0
x 3 =-3, x 4 =8
답: 1;1;-3;8 합계 7(L)
3. 매개변수를 사용하여 방정식 풀기
1. 방정식 x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0을 풉니다. 근 중 하나가 (-1)과 같은 경우
답을 오름차순으로 쓰세요
R=P3(-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
조건에 따라 x 1 = - 1; 디=1+15=16
P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0
x 2 = -1-4 = -5;
x 3 = -1 + 4 = 3;
답변: - 1; 삼
오름차순: -5;-1;3. (b N S)
2. 이항식 x-1과 x +2로 나눈 나머지가 같은 경우 다항식 x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6의 모든 근을 찾습니다.
풀이: R=P 3 (1) = P 3 (-2)
P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a
P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a
x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18
x 2 (x-3)-6(x-3) = 0
(x-3)(x 2 -6) = 0
3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x 2 =0; x 4 =0
a=0; x=0; x=1
a>0; x=1; x=a ± √a
2. 방정식 작성
1개 그룹. 뿌리: -4; -2; 1; 7;
2그룹. 뿌리: -3; -2; 1; 2;
3그룹. 뿌리: -1; 2; 6; 10;
4그룹. 뿌리: -3; 2; 2; 5;
5개 그룹. 뿌리: -5; -2; 2; 4;
6개 그룹. 뿌리: -8; -2; 6; 7.
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먼저 권력의 기본 공식과 그 속성을 기억해 봅시다.
숫자의 곱 ㅏ자체적으로 n번 발생하면 이 표현식을 a a … a=an으로 쓸 수 있습니다.
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (an) m = nm
5. a n b n = (ab) n
7. an / a m = an - m
전원 또는 지수 방정식 – 변수가 거듭제곱(또는 지수)이고 밑이 숫자인 방정식입니다.
지수 방정식의 예:
이 예에서는 숫자 6이 밑수이며 항상 아래쪽에 있습니다. 엑스학위 또는 지표.
지수 방정식의 더 많은 예를 들어보겠습니다.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
이제 지수 방정식이 어떻게 해결되는지 살펴 보겠습니다.
간단한 방정식을 생각해 봅시다:
2 x = 2 3
이 예는 머리 속에서도 풀 수 있습니다. x=3임을 알 수 있다. 결국, 왼쪽과 오른쪽이 같아지려면 x 대신 숫자 3을 넣어야 합니다.
이제 이 결정을 공식화하는 방법을 살펴보겠습니다.
2 x = 2 3
엑스 = 3
그러한 방정식을 풀기 위해 우리는 제거했습니다. 동일한 근거(즉, 2) 남은 것을 적었습니다. 이것이 도입니다. 우리는 우리가 찾고 있던 답을 얻었습니다.
이제 우리의 결정을 요약해 보겠습니다.
지수 방정식을 풀기 위한 알고리즘:
1. 확인해야 할 사항 똑같다방정식의 밑이 오른쪽과 왼쪽에 있는지 여부. 이유가 동일하지 않은 경우 이 예를 해결할 수 있는 옵션을 찾고 있습니다.
2. 베이스가 같아진 후, 같게 하다학위를 취득하고 결과로 나온 새로운 방정식을 푼다.
이제 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
간단한 것부터 시작해 보겠습니다.
왼쪽과 오른쪽에 있는 베이스는 숫자 2와 같습니다. 이는 베이스를 버리고 그 힘을 동일하게 할 수 있음을 의미합니다.
x+2=4 가장 간단한 방정식이 얻어집니다.
x=4 – 2
x=2
답: x=2
다음 예에서는 밑이 3과 9로 서로 다른 것을 볼 수 있습니다.
3 3x - 9 x+8 = 0
먼저 9를 오른쪽으로 이동하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
이제 동일한 기반을 만들어야 합니다. 우리는 9=3 2라는 것을 알고 있습니다. 거듭제곱 공식(an) m = a nm을 사용해 보겠습니다.
3 3x = (3 2) x+8
9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16을 얻습니다.
3 3x = 3 2x+16 이제 왼쪽과 오른쪽에서 볼 수 있습니다. 오른쪽밑수는 동일하고 3과 같습니다. 이는 밑수를 버리고 차수를 동일시할 수 있음을 의미합니다.
3x=2x+16 가장 간단한 방정식을 얻습니다.
3x - 2x=16
x=16
답: x=16.
다음 예를 살펴보겠습니다.
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
먼저, 베이스 2번과 4번 베이스를 살펴보겠습니다. 그리고 우리는 그것들이 동일해야 합니다. 우리는 공식 (an) m = a nm을 사용하여 4개를 변환합니다.
4 x = (2 2) x = 2 2x
그리고 우리는 또한 하나의 공식 a n a m = a n + m을 사용합니다:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
방정식에 추가:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
우리는 같은 이유로 예를 들었습니다. 하지만 다른 숫자 10과 24는 우리를 어떻게 해야 할까요? 자세히 살펴보면 왼쪽에 2 2x가 반복되어 있음을 알 수 있습니다. 답은 다음과 같습니다. 괄호 안에 2 2x를 넣을 수 있습니다.
2 2x (2 4 - 10) = 24
괄호 안의 표현식을 계산해 보겠습니다.
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
전체 방정식을 6으로 나눕니다.
4=2 2를 상상해 봅시다:
2 2x = 2 2 염기는 동일하므로 이를 버리고 각도를 동일시합니다.
2x = 2는 가장 간단한 방정식입니다. 2로 나누면 이렇게 됩니다.
엑스 = 1
답: x = 1.
방정식을 풀어 봅시다:
9 x – 12*3 x +27= 0
변환해보자:
9 x = (3 2) x = 3 2x
우리는 방정식을 얻습니다.
3 2x - 12 3 x +27 = 0
우리의 밑수는 동일하며 3과 같습니다. 이 예에서 처음 3개는 두 번째(단지 x)보다 두 배(2x)의 차수를 가짐을 알 수 있습니다. 이런 경우에는 해결할 수 있습니다. 교체 방법. 숫자를 가장 작은 각도로 바꿉니다.
그러면 3 2x = (3 x) 2 = t 2
방정식의 모든 x 거듭제곱을 t로 바꿉니다.
티 2 - 12티+27 = 0
우리는 이차 방정식을 얻습니다. 판별식을 통해 풀면 다음을 얻습니다.
D=144-108=36
티 1 = 9
t2 = 3
변수로 돌아가기 엑스.
t 1을 취하십시오:
티 1 = 9 = 3 x
그건,
3×=9
3×=3 2
x 1 = 2
루트가 하나 발견되었습니다. 우리는 t 2에서 두 번째 것을 찾고 있습니다:
티 2 = 3 = 3 x
3×=3 1
x 2 = 1
답: x 1 = 2; x 2 = 1.
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Cardano가 삼차 방정식을 푸는 방법을 발표한 직후, 그의 학생들과 추종자들은 4차 일반 방정식을 삼차 방정식으로 줄이는 방법을 찾았습니다. L. Ferrari의 가장 간단한 방법을 제시해 보겠습니다.
방법을 제시할 때 다음과 같은 기본 보조정리를 사용해야 합니다.
보조정리. 하기 위해 이차 삼항식는 선형 이항식의 제곱이므로 판별식이 0과 같아야 충분합니다.
증거. 필요성. 허락하다 . 그런 다음 충분함. 그러면
제시된 방법의 아이디어는 방정식의 왼쪽을 두 제곱의 차이로 표현하는 것입니다. 그런 다음 2차 요소의 두 가지 요소로 분해될 수 있으며 방정식의 해는 두 가지 요소의 해로 이어질 것입니다. 이차 방정식. 목표를 달성하기 위해 왼쪽을 다음 형식으로 표현해 보겠습니다.
여기서 y는 보조 미지수이며 대괄호 안의 표현이 선형 이항식의 제곱이 되도록 선택해야 합니다. 보조정리 덕분에 조건을 만족하는 데 필요하고 충분합니다.
이 조건은 y에 대한 3차 방정식입니다. 괄호를 열면 다음과 같은 형식으로 변환됩니다.
이 방정식의 근 중 하나가 되기를 바랍니다. 그러면 조건이 만족되므로 유지됩니다.
일부 k와 I의 경우. 원래 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
각 요소를 0으로 동일시하면 원래 방정식의 네 가지 근을 찾을 수 있습니다.
한 가지 더 언급해 보겠습니다. 첫 번째 요소의 근을 이라고 하고, 두 번째 요인의 근을 이라고 합시다. 그런 다음 이러한 평등을 추가하면 다음을 얻습니다.
따라서 우리는 4차 원래 방정식의 근으로 보조 삼차 방정식의 근에 대한 표현식을 얻었습니다.
예. 방정식을 풀어보세요. 위에서 설명한 방법에 따라 왼쪽을 변환합니다.
이제 . 형성 후에 우리는 방정식을 얻습니다.
이 방정식의 근원 중 하나가 숫자라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이를 원래 방정식의 변환된 좌변에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
요소를 0으로 동일시하면 다음을 얻습니다.
4차보다 높은 방정식의 경우 상대적으로 특정한 형태의 일부 클래스의 방정식이 알려져 있습니다. 대수적 해법라디칼로, 즉 산술 연산의 결과와 근을 추출하는 동작의 형태로 나타납니다. 그러나 해결책을 제시하려는 시도 일반 방정식 5급 이상은 19세기 초까지 성공하지 못했습니다. 루피니와 아벨은 4차 이상의 일반 방정식에 대한 이러한 종류의 해가 불가능하다는 것을 증명하지 못했습니다. 마침내 1830년에 뛰어난 프랑스 수학자 E. 갈루아(E. Galois)는 필요한 것을 찾아냈습니다. 충분한 조건(검증하기 매우 어렵습니다) 라디칼에서 특정 방정식의 풀이성에 대한 것입니다. 동시에 Galois는 당시에는 새로운 순열 그룹 이론을 만들고 사용했습니다.
