이차 삼항식을 다항식으로 분해합니다. 이차 삼항식을 인수분해하는 방법은 무엇입니까? 그룹화 방법. 예

세상은 수많은 숫자에 둘러싸여 있습니다. 모든 계산은 도움을 받아 이루어집니다.

사람들은 나중에 속지 않기 위해 숫자를 배웁니다. 교육을 받고 자신의 예산을 계산하는 데 엄청난 시간을 할애해야합니다.

수학은 정확한 과학누가 연주하는가 큰 역할인생에서. 학교에서 아이들은 숫자를 공부하고 그에 따른 행동을 합니다.

숫자에 대한 연산은 곱셈, 확장, 덧셈 등 완전히 다릅니다. 간단한 공식 외에도 수학 연구에는 더 복잡한 동작이 사용됩니다. 값을 알아내는 데 사용할 수 있는 공식이 엄청나게 많습니다.

학교에서는 대수학이 등장하자마자 단순화 공식이 학생의 삶에 추가됩니다. 두 개의 알려지지 않은 숫자가 있는 방정식이 있지만 다음을 찾으십시오. 간단한 방법으로작동하지 않습니다. 삼항식은 다음을 사용하여 세 개의 단항식을 조합한 것입니다. 간단한 방법뺄셈과 덧셈. 삼항식은 비에타의 정리와 판별식을 사용하여 해결됩니다.

이차 삼항식을 인수분해하는 공식

두 가지가 정확하고 간단한 솔루션예:

판별력이 있는;
비에타의 정리.

제곱 삼항식에는 알 수 없는 제곱이 있고 제곱이 없는 숫자도 있습니다. 문제를 해결하는 첫 번째 옵션은 Vieta의 공식을 사용합니다. 이것 간단한 공식 , 알 수 없는 숫자 앞에 오는 숫자가 최소값이 되는 경우.

숫자가 미지수 앞에 오는 다른 방정식의 경우 판별식을 통해 방정식을 풀어야 합니다. 이것은 더 복잡한 해법이지만 판별식은 비에타의 정리보다 훨씬 더 자주 사용됩니다.

처음에는 모두 찾으려면 방정식 변수예제를 0으로 올려야 합니다. 예제에 대한 해결 방법을 확인하고 숫자가 올바르게 조정되었는지 확인할 수 있습니다.

판별자

1. 방정식을 0과 동일시하는 것이 필요합니다.

2. x 앞의 각 숫자를 a, b, c라고 합니다. 첫 번째 정사각형 x 앞에는 숫자가 없으므로 1과 같습니다.

3. 이제 방정식의 해는 판별식을 통해 시작됩니다.

4. 이제 판별식을 찾았고 두 개의 x를 찾았습니다. 차이점은 어떤 경우에는 b 앞에 플러스가 붙고 다른 경우에는 마이너스가 붙는다는 점입니다.

5. 두 숫자를 풀어서 결과는 -2와 -1이었습니다. 원래 방정식으로 대체:

6. 이 예에는 두 가지 올바른 옵션이 있었습니다. 두 솔루션이 모두 적합하다면 각각은 사실입니다.

더 복잡한 방정식도 판별식을 사용하여 해결됩니다. 그러나 판별 값 자체가 0보다 작다면 이 예는 잘못된 것입니다. 검색할 때 판별식은 항상 루트에 있으며 음수 값은 루트에 있을 수 없습니다.

비에타의 정리

첫 번째 x 앞에 숫자가 오지 않는, 즉 a=1인 쉬운 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 옵션이 일치하면 Vieta의 정리를 사용하여 계산이 수행됩니다.

삼항식을 풀려면방정식을 0으로 올려야 합니다. 판별식의 첫 번째 단계와 비에타 정리는 다르지 않습니다.

2. 이제 두 방법의 차이점이 시작됩니다. 비에타의 정리는 "건식" 계산뿐만 아니라 논리와 직관도 사용합니다. 각 숫자에는 고유한 문자 a, b, c가 있습니다. 정리는 두 숫자의 합과 곱을 사용합니다.

기억하다! 숫자 b는 더할 때 항상 반대 기호를 갖지만 숫자 c는 변경되지 않습니다!

예제의 데이터 값 대체 , 우리는 다음을 얻습니다:

3. 논리의 방법을 사용하여 가장 적합한 숫자를 대체합니다. 가능한 모든 솔루션을 고려해 보겠습니다.

숫자는 1과 2입니다. 더하면 3이 되고, 곱하면 4가 되지 않습니다. 맞지 않습니다.
값 2와 -2. 곱하면 -4가 되지만 더하면 0이 됩니다. 적합하지 않습니다.
숫자 4와 -1. 곱셈에는 음수 값이 포함되므로 숫자 중 하나에 마이너스가 있음을 의미합니다. 덧셈과 곱셈에 적합합니다. 올바른 옵션입니다.

4. 남은 것은 숫자를 배치하여 선택한 옵션이 올바른지 확인하는 것입니다.

5. 온라인 확인 덕분에 -1이 예제의 조건에 맞지 않으므로 잘못된 솔루션이라는 것을 알게 되었습니다.

예시에서 음수 값을 추가할 때는 괄호 안에 숫자를 넣어야 합니다.

수학에는 항상있을 것입니다 간단한 작업그리고 복잡합니다. 과학 자체에는 다양한 문제, 정리 및 공식이 포함됩니다. 지식을 올바르게 이해하고 적용하면 계산의 어려움이 사소해질 것입니다.

수학은 지속적인 암기가 필요하지 않습니다. 솔루션을 이해하고 여러 공식을 배우는 방법을 배워야 합니다. 점차적으로 논리적 결론에 따라 유사한 문제와 방정식을 해결하는 것이 가능합니다. 그러한 과학은 언뜻 보면 매우 어려워 보일 수 있지만, 숫자와 문제의 세계에 뛰어든다면 당신의 견해는 더 나은 방향으로 극적으로 바뀔 것입니다.

기술 전문성항상 세계에서 가장 많이 찾는 것으로 남아 있습니다. 이제 세상에는 현대 기술, 수학은 모든 분야에서 없어서는 안될 속성이되었습니다. 우리는 항상 기억해야 한다 유익한 특성수학.

괄호를 사용하여 삼항식 확장하기

일반적인 방법을 해결하는 것 외에도 괄호로 분해하는 또 다른 방법이 있습니다. Vieta 공식을 사용하여 사용됩니다.

1. 방정식을 0과 동일시합니다.

도끼 2 +bx+c= 0

2. 방정식의 근본은 동일하게 유지되지만 이제 0 대신 확장 공식을 괄호 안에 사용합니다.

도끼 2 +bx+c =a (엑스 – 엑스 1) (엑스 – 엑스 2)

2 엑스 2 – 4 엑스 – 6 = 2 (엑스 + 1) (엑스 – 3)

4. 해 x=-1, x=3

정사각형 삼항식다음 형식의 다항식이라고 합니다. 도끼 2 +BX +기음, 어디 엑스– 변수, 에이,비,기음– 일부 숫자 및 ≠ 0.

계수 에이~라고 불리는 고위 계수, 기음 – 무료 회원 이차 삼항식.

이차 삼항식의 예:

2 x 2 + 5x+4(여기 에이 = 2, 비 = 5, 기음 = 4)

x 2 – 7x + 5(여기 에이 = 1, 비 = -7, 기음 = 5)

9x 2 + 9x – 9(여기 에이 = 9, 비 = 9, 기음 = -9)

계수 비또는 계수 기음또는 두 계수가 동시에 0일 수 있습니다. 예를 들어:

5 x 2 + 3엑스(여기a = 5,b = 3,c = 0이므로 방정식에 c 값이 없습니다.

6x2 – 8 (여기a = 6, b = 0, c = -8)

2x2(여기a = 2, b = 0, c = 0)

다항식이 사라지는 변수의 값을 호출합니다. 다항식의 근.

이차 삼항식의 근을 찾으려면도끼 2 + BX + 기음, 우리는 그것을 0과 동일시해야 합니다 -
즉, 이차방정식을 푼다.도끼 2 + BX + c = 0("2차 방정식" 섹션 참조).

이차 삼항식 인수분해하기

예:

삼항식 2를 인수분해해 봅시다. 엑스 2 + 7x – 4.

우리는 다음을 봅니다: 계수 에이 = 2.

이제 삼항식의 근을 찾아봅시다. 이를 위해 우리는 그것을 0으로 동일시하고 방정식을 푼다.

2엑스 2 + 7x – 4 = 0.

그러한 방정식을 푸는 방법 - "근의 공식"섹션을 참조하십시오. 이차 방정식. 판별식." 여기에서 계산 결과를 즉시 설명하겠습니다. 우리의 삼항식에는 두 가지 뿌리가 있습니다:

x 1 = 1/2, x 2 = –4.

대괄호에서 계수 값을 꺼내서 근의 값을 공식에 대입해 보겠습니다. 에이, 그리고 우리는 다음을 얻습니다:

2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

얻은 결과는 계수 2에 이항식을 곱하여 다르게 쓸 수 있습니다. 엑스 – 1/2:

2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

문제가 해결되었습니다. 삼항식이 인수분해되었습니다.

이러한 전개는 근이 있는 모든 이차 삼항식에 대해 얻을 수 있습니다.

주목!

이차 삼항식의 판별식이 0이면 이 삼항식은 하나의 근을 갖지만 삼항식을 분해할 때 이 근은 두 근의 값, 즉 동일한 값으로 간주됩니다. 엑스 1과엑스 2 .

예를 들어, 삼항식의 근은 3과 같습니다. 그러면 x 1 = 3, x 2 = 3입니다.

이차방정식의 근의 합과 곱을 구해 봅시다. 위 방정식의 근에 대해 공식 (59.8)을 사용하여 다음을 얻습니다.

(첫 번째 동일성은 명백하고, 두 번째 동일성은 독자가 독립적으로 수행할 간단한 계산 후에 얻어집니다. 두 숫자의 합에 차이를 곱하는 공식을 사용하는 것이 편리합니다.)

다음이 입증되었습니다.

비에타의 정리. 위 이차방정식의 근의 합은 부호가 반대인 두 번째 계수와 같고 그 곱은 자유항과 같습니다.

비환원 이차 방정식의 경우, 식(60.1)의 표현을 식(60.1)으로 대체하고 다음 형식을 취해야 합니다.

예 1. 근을 사용하여 이차 방정식을 작성합니다.

해결책, a) 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

예 2. 방정식 자체를 풀지 않고 방정식 근의 제곱의 합을 구합니다.

해결책. 뿌리의 합과 곱이 알려져 있습니다. 제곱근의 합을 다음과 같은 형태로 표현해보자.

그리고 우리는 얻습니다

Vieta의 공식에서 공식을 얻는 것은 쉽습니다.

이차 삼항식을 인수분해하는 규칙을 표현합니다.

실제로 공식(60.2)을 다음 형식으로 작성해 보겠습니다.

이제 우리는

그것이 우리가 얻어야 했던 것입니다.

위의 Vieta 공식 파생은 대수학 과정을 통해 독자에게 친숙합니다. 고등학교. 베주의 정리와 다항식의 인수분해를 사용하여 또 다른 결론을 내릴 수 있습니다(문단 51, 52).

그러면 방정식의 근을 다음과 같이 놓으십시오. 일반 규칙(52.2) 방정식 왼쪽의 삼항식은 인수분해됩니다.

이 동일한 등식의 오른쪽에 괄호를 열면 다음을 얻습니다.

및 계수의 비교 동등한 정도 Vieta 공식(60.1)을 제공합니다.

이 유도의 장점은 방정식에도 적용할 수 있다는 것입니다. 더 높은 학위근을 통해 방정식의 계수에 대한 표현식을 얻기 위해(근 자체를 찾지 않고!) 예를 들어, 주어진 삼차 방정식의 근이

본질은 평등(52.2)에 따라 우리가 다음을 찾는 것입니다.

(우리의 경우 등식의 오른쪽에 있는 괄호를 열고 다양한 각도에서 계수를 수집하면 다음을 얻습니다.

이번 단원에서는 이차 삼항식을 선형 인수로 인수분해하는 방법을 배웁니다. 이를 위해서는 비에타의 정리와 그 역을 기억해야 합니다. 이 기술은 이차 삼항식을 선형 인수로 빠르고 편리하게 확장하는 데 도움이 되며 표현식으로 구성된 분수의 축소도 단순화합니다.

그럼 이차방정식으로 돌아가 봅시다.

우리가 왼쪽에 있는 것은 이차 삼항식(quadratic trinomial)이라고 불립니다.

정리는 사실입니다:가 이차 삼항식의 근이라면, 항등식은 성립합니다

주요 계수는 방정식의 근입니다.

따라서 우리는 이차 방정식, 즉 이차 삼항식을 가지고 있습니다. 여기서 이차 방정식의 근은 이차 삼항식의 근이라고도 합니다. 그러므로, 만약 우리가 제곱 삼항식의 근을 가지고 있다면, 이 삼항식은 선형 인수로 분해될 수 있습니다.

증거:

증거 이 사실이전 수업에서 논의한 Vieta의 정리를 사용하여 수행됩니다.

Vieta의 정리가 우리에게 말하는 것을 기억해 봅시다:

만약 가 에 대한 이차 삼항식의 근이라면 , 그러면 .

다음 진술은 이 정리에서 나옵니다.

Vieta의 정리에 따라, 즉 이 값을 위의 공식에 대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

Q.E.D.

가 제곱 삼항식의 근이면 확장이 유효하다는 정리를 증명했다는 것을 기억하십시오.

이제 Vieta의 정리를 사용하여 근을 선택한 이차 방정식의 예를 기억해 봅시다. 이 사실로부터 입증된 정리 덕분에 다음과 같은 등식을 얻을 수 있습니다.

이제 대괄호를 열어서 이 사실의 정확성을 확인해 보겠습니다.

우리는 올바르게 인수분해했으며, 근이 있는 경우 모든 삼항식은 이 정리에 따라 공식에 따라 선형 인수로 인수분해될 수 있음을 알 수 있습니다.

그러나 어떤 방정식에 대해서도 그러한 인수분해가 가능한지 확인해 보겠습니다.

예를 들어 방정식을 생각해보십시오. 먼저 판별 기호를 확인해 보겠습니다.

그리고 우리가 배운 정리를 만족시키기 위해서는 D가 0보다 커야 하므로 이 경우 우리가 배운 정리에 따른 인수분해는 불가능하다는 것을 기억합니다.

따라서 우리는 새로운 정리를 공식화합니다. 제곱 삼항식에 근이 없으면 선형 인수로 분해될 수 없습니다.

그래서 우리는 2차 삼항식을 선형 인수로 분해할 수 있는 가능성인 비에타의 정리를 살펴보았는데 이제 몇 가지 문제를 해결해 보겠습니다.

작업 번호 1

이 그룹에서 우리는 제기된 문제와 반대되는 문제를 실제로 해결할 것입니다. 우리는 방정식을 가지고 있었고 그것을 인수분해하여 그 뿌리를 찾았습니다. 여기서는 그 반대를 하겠습니다. 이차방정식의 근이 있다고 가정해 봅시다.

반대 문제는 이것입니다: 근을 사용하여 이차 방정식을 작성합니다.

이 문제를 해결하는 방법에는 두 가지가 있습니다.

는 방정식의 근이므로, 는 근에 숫자가 주어진 이차 방정식입니다. 이제 괄호를 열고 확인해 보겠습니다.

이것은 모든 이차 방정식이 최대 2개의 근을 가지므로 다른 근이 없는 주어진 근을 가진 이차 방정식을 만든 첫 번째 방법이었습니다.

이 방법은 역비에타 정리(Inverse Vieta theorem)를 사용합니다.

가 방정식의 근이라면 그들은 이라는 조건을 만족합니다.

축소된 이차 방정식의 경우 , 즉, 이 경우에는 및 .

따라서 우리는 주어진 근을 갖는 이차방정식을 만들었습니다.

작업 번호 2

분수를 줄이는 것이 필요합니다.

분자에 삼항식이 있고 분모에 삼항식이 있으며, 삼항식은 인수분해될 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다. 분자와 분모를 모두 인수분해하면 그 중에서 감소할 수 있는 동일한 인수가 있을 수 있습니다.

우선, 분자를 인수분해해야 합니다.

먼저, 이 방정식이 인수분해 가능한지 확인해야 합니다. 판별식을 찾아봅시다. 이므로 부호는 곱에 따라 달라집니다(0보다 작아야 함). 이 예에서는 주어진 방정식에 근이 있습니다.

이를 해결하기 위해 Vieta의 정리를 사용합니다.

이 경우 뿌리를 다루고 있기 때문에 단순히 뿌리를 선택하는 것은 꽤 어려울 것입니다. 그러나 우리는 계수가 균형을 이룬다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 이 값을 방정식에 대체하면 다음을 얻습니다. 다음 시스템: , 즉 5-5=0입니다. 따라서 우리는 이 이차 방정식의 근 중 하나를 선택했습니다.

우리는 방정식 시스템에 이미 알려진 것을 대입하여 두 번째 근을 찾을 것입니다. .

따라서 우리는 이차 방정식의 두 근을 모두 찾았으며 그 값을 원래 방정식에 대입하여 인수분해할 수 있습니다.

원래 문제를 기억해 봅시다. 분수를 줄여야 했습니다.

를 대체하여 문제를 해결해 보겠습니다.

이 경우 분모는 0과 같을 수 없다는 점을 잊지 말아야 합니다.

이러한 조건이 충족되면 원래 분수를 형식으로 줄였습니다.

문제 3번(매개변수가 있는 작업)

이차 방정식의 근의 합은 매개변수의 어떤 값에 있습니까?

만약 뿌리가 주어진 방정식존재한다면 , 질문: 언제.