숫자 – 유형, 개념 및 연산, 자연 및 기타 유형의 숫자.
숫자는 다음을 정의하는 역할을 하는 수학의 기본 개념입니다. 정량적 특성, 번호 매기기, 물체와 그 부분의 비교. 숫자에는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 지수화 등 다양한 산술 연산을 적용할 수 있습니다.
연산에 포함된 숫자를 피연산자라고 합니다. 수행되는 작업에 따라 다른 이름이 부여됩니다. 일반적으로 동작 방식은 다음과 같이 표현될 수 있다.<операнд1> <знак операции> <операнд2> = <результат>.
나누기 연산에서 첫 번째 피연산자를 피제수(나누는 숫자의 이름)라고 합니다. 두 번째(나누는 기준)는 제수이고 결과는 몫입니다(피제수가 제수보다 몇 배나 큰지 표시).
숫자의 종류
나눗셈 연산에는 다양한 숫자가 포함될 수 있습니다. 나눗셈의 결과는 정수 또는 분수일 수 있습니다. 수학에는 다음과 같은 종류의 숫자가 있습니다.
- 자연수는 계산에 사용되는 숫자입니다. 그 중에서 눈에 띄는 부분은 소수, 두 개의 약수(하나와 자기 자신)만 가집니다. 1을 제외한 다른 모든 것은 합성이라고 불리며 2개 이상의 약수를 가집니다(소수의 예: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19 등).
- 정수는 음수, 양수, 0으로 구성된 집합입니다. 하나의 정수를 다른 정수로 나눌 때 몫은 정수 또는 실수(분수)가 될 수 있습니다. 그중에서 우리는 완전수의 하위 집합을 구별할 수 있습니다. 금액과 동일자기 자신을 제외한 모든 약수(1 포함). 고대 그리스인들은 완전수 4개만을 알고 있었습니다. 완전수의 수열: 6, 28, 496, 8128, 33550336... 지금까지 단 하나의 홀수 완전수도 알려져 있지 않습니다.
- 유리수(Rational) - 분수 a/b로 표현 가능합니다. 여기서 a는 분자이고 b는 분모입니다(이러한 숫자의 몫은 일반적으로 계산되지 않습니다).
- 실수(real) – 정수와 분수 부분을 포함합니다. 집합에는 유리수와 무리수(비주기적 무한 소수로 표현 가능)가 포함됩니다. 이러한 숫자의 몫은 일반적으로 실수 값입니다.
산술 연산(나눗셈) 수행과 관련된 몇 가지 기능이 있습니다. 올바른 결과를 얻으려면 이를 이해하는 것이 중요합니다.
- 0으로 나눌 수 없습니다(수학에서는 이 연산이 의미가 없습니다).
- 정수 나누기는 결과적으로 정수 부분만 계산되는 연산입니다(소수 부분은 삭제됨).
- 정수 나누기의 나머지를 계산하면 연산이 완료된 후 남은 정수를 결과로 얻을 수 있습니다(예를 들어 17을 2로 나누면 정수 부분은 8이고 나머지는 1입니다).
실수의 개념: 실수- (실수), 음수가 아닌 숫자 또는 음수 또는 0입니다. 실수는 각 물리량의 측정값을 표현하는 데 사용됩니다.
진짜, 또는 실수기하학을 측정해야 할 필요성에서 비롯되었습니다. 물리량평화. 또한 근 추출 작업 수행, 로그 계산, 대수 방정식 풀기 등을 수행합니다.
계산의 발달과 함께 자연수, 전체의 일부를 관리해야 하는 유리수, 그리고 연속적인 수량을 측정하기 위해 실수(실수)를 사용합니다. 따라서 고려되는 숫자의 확장은 유리수 외에도 다음과 같은 다른 요소로 구성된 실수 집합으로 이어졌습니다. 무리수.
실수의 집합(표시 아르 자형)은 유리수와 무리수를 함께 모은 집합입니다.
실수로 나눈합리적인그리고 비합리적인.
실수 집합이 표시되고 종종 호출됩니다. 진짜또는 수직선. 실수는 간단한 개체로 구성됩니다. 전체그리고 유리수.
비율로 쓸 수 있는 숫자입니다.중는 정수이고, N- 자연수는유리수.
모든 유리수는 유한 분수 또는 무한 주기 소수로 쉽게 표현될 수 있습니다.
예,
무한소수, 은 소수점 이하 자릿수가 무한한 소수입니다.
형태로 표현할 수 없는 숫자는 무리수.
예:
모든 무리수는 무한한 비주기 소수 분수로 쉽게 표현될 수 있습니다.
예,
유리수와 무리수 생성 실수의 집합입니다.모든 실수는 좌표선의 한 점에 해당합니다. 수직선.
숫자 세트의 경우 다음 표기법이 사용됩니다.
- N- 한 무리의 자연수;
- 지- 정수 세트;
- 큐- 유리수 세트;
- 아르 자형- 실수 세트.
무한 소수 분수 이론.
실수는 다음과 같이 정의됩니다. 무한소수, 즉.:
±a 0 ,a 1a 2 …an …
여기서 ±는 기호 + 또는 −, 숫자 기호 중 하나입니다.
0은 양의 정수이고,
a 1 ,a 2 ,…an ,…은 소수점 이하 자릿수입니다. 즉, 강요 숫자 세트 {0,1,…9}.
무한 소수는 다음과 같이 수직선의 유리점 사이에 있는 숫자로 설명될 수 있습니다.
±a 0 ,a 1a 2 …an그리고 ±(a 0 ,a 1a 2 …an +10 −n)모든 n=0,1,2,…
실수를 무한 소수 분수로 비교하는 것은 장소별로 발생합니다. 예를 들어, 2개의 양수가 주어졌다고 가정합니다:
α =+a 0 ,a 1a 2 …an …
β =+b 0 ,b 1b 2 …bn …
만약에 0 0,저것 α<β ; 만약에 0 > 0저것 α>β . 언제 a 0 =b 0다음 카테고리의 비교로 넘어 갑시다. 등. 언제 α≠β , 이는 유한한 수의 단계 후에 첫 번째 숫자가 발견됨을 의미합니다. N, 그렇게 앤 ≠b 앤. 만약에 앤 앤, 저것 α<β ; 만약에 n >b n저것 α>β .
하지만 그 숫자에 주의를 기울이는 것은 지루한 일이다. a 0 ,a 1 a 2 …an (9)=a 0 ,a 1a 2 …an +10 −n .따라서 비교되는 숫자 중 하나의 레코드가 특정 숫자부터 시작하여 마침표가 9인 주기 소수점 분수인 경우 해당 레코드는 마침표가 0인 해당 레코드로 대체되어야 합니다.
무한한 숫자를 사용한 산술 연산 소수이는 유리수를 사용하여 해당 작업을 계속해서 수행하는 것입니다. 예를 들어, 실수의 합 α 그리고 β 실수입니다 α+β , 이는 다음 조건을 만족합니다.
∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(아'⩽ α ⩽ ㅏ'')∧ (비'⩽ β ⩽ 비'')⇒ (a'+b'⩽ α + β ⩽ a''+b'')
무한 소수점 이하 분수의 곱셈 연산도 비슷하게 정의됩니다.
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"최단 경로" - 이중 그래프의 경로입니다. 두 가지 다른 그래프의 예. 방향성 그래프. 방향성 그래프의 예. 접근성. 정점 A에서 정점 D까지의 최단 경로입니다. 알고리즘에 대한 설명입니다. 계층적 목록의 장점 가중치 그래프. 그래프의 경로입니다. 프로그래프 프로그램. 인접한 정점과 가장자리. 최고 학위. 인접 행렬. 가중치 그래프의 경로 길이입니다. 인접 행렬의 예. 최단 경로 찾기.
"삼각법의 역사" - 야콥 베르누이. 운영 기술 삼각함수. 다면체 측정의 교리. 레너드 오일러. 16세기부터 현재까지 삼각법의 발전. 학생은 삼각함수를 세 번 만나야 합니다. 지금까지 삼각법이 형성되고 발전되었습니다. 건설 공통 시스템삼각법 및 관련 지식. 시간이 흐르고 삼각법이 학생에게 돌아옵니다.
숫자, 특히 자연수를 이해하는 것은 가장 오래된 수학 "기술" 중 하나입니다. 많은 문명, 심지어 현대 문명에서도 자연을 설명하는 데 있어 숫자의 중요성이 매우 크기 때문에 특정 신비로운 속성을 숫자에 돌렸습니다. 하지만 현대 과학그리고 수학은 이러한 "마법의" 속성을 확인하지 않으므로 정수론의 중요성은 부인할 수 없습니다.
역사적으로 다양한 자연수가 먼저 나타난 다음 상당히 빠르게 분수와 양의 무리수가 추가되었습니다. 실수 집합의 하위 집합 뒤에 0과 음수가 도입되었습니다. 마지막 집합인 복소수 집합은 현대 과학의 발전과 함께 등장했습니다.
현대 수학에서는 숫자를 입력하지 않습니다. 역사적 질서, 꽤 가깝지만.
자연수 $\mathbb(N)$
자연수 집합은 종종 $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $로 표시되며 $\mathbb(N)_0$을 표시하기 위해 종종 0으로 채워집니다.
$\mathbb(N)$는 모든 $a,b,c\in \mathbb(N)$에 대해 다음 속성을 사용하여 덧셈(+) 및 곱셈($\cdot$) 연산을 정의합니다.
1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ $\mathbb(N)$ 집합은 덧셈과 곱셈 연산에서 닫혀 있습니다.
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ 교환성
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ 연관성
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ 분배성
5. $a\cdot 1=a$는 곱셈의 중립 요소입니다.
$\mathbb(N)$ 집합에는 덧셈이 아닌 곱셈을 위한 중립 요소가 포함되어 있으므로 이 집합에 0을 추가하면 덧셈을 위한 중립 요소가 포함됩니다.
이 두 가지 연산 외에도 "보다 작음" 관계($
1. $a b$ 삼분법
2. $a\leq b$ 및 $b\leq a$이면 $a=b$ 비대칭입니다.
3. $a\leq b$ 및 $b\leq c$이면 $a\leq c$는 전이적입니다.
4. $a\leq b$이면 $a+c\leq b+c$
5. $a\leq b$이면 $a\cdot c\leq b\cdot c$
정수 $\mathbb(Z)$
정수의 예:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
$a$ 및 $b$가 알려진 자연수이고 $x$가 알려지지 않은 자연수인 방정식 $a+x=b$를 풀려면 새로운 연산인 뺄셈(-)을 도입해야 합니다. 이 방정식을 만족하는 자연수 $x$가 있으면 $x=b-a$입니다. 그러나 이 특정 방정식은 $\mathbb(N)$ 집합에 대한 해를 반드시 가질 필요는 없으므로 실용적인 고려 사항은 그러한 방정식에 대한 해를 포함하도록 자연수 집합을 확장해야 합니다. 이로 인해 정수 세트 $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$가 도입됩니다.
$\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$이므로 이전에 소개된 연산 $+$ 및 $\cdot$와 관계 $1을 가정하는 것이 논리적입니다. $0+a=a+0=a$ 추가할 중립 요소가 있습니다.
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ $a$에 대해 반대 숫자 $-a$가 있습니다.
속성 5.:
5. $0\leq a$ 및 $0\leq b$이면 $0\leq a\cdot b$
$\mathbb(Z)$ 집합은 뺄셈 연산, 즉 $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$에서도 닫혀 있습니다.
유리수 $\mathbb(Q)$
유리수의 예:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$
이제 $a\cdot x=b$ 형식의 방정식을 생각해 보세요. 여기서 $a$와 $b$는 알려진 정수이고 $x$는 알려지지 않은 정수입니다. 해가 가능하려면 나눗셈 연산($:$)을 도입해야 하며 해는 $x=b:a$, 즉 $x=\frac(b)(a)$ 형식을 취합니다. . $x$가 항상 $\mathbb(Z)$에 속하지 않는다는 문제가 발생하므로 정수 집합을 확장해야 합니다. 이는 $\frac(p)(q)$ 요소가 있는 유리수 $\mathbb(Q)$ 세트를 소개합니다. 여기서 $p\in \mathbb(Z)$ 및 $q\in \mathbb(N)$입니다. 집합 $\mathbb(Z)$는 각 요소 $q=1$인 부분 집합이므로 $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$와 덧셈과 곱셈의 연산은 다음 식에 따라 이 집합으로 확장됩니다. $\mathbb(Q)$ 집합에서 위의 모든 속성을 유지하는 다음 규칙:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$
구분은 다음과 같이 소개됩니다.
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$
$\mathbb(Q)$ 집합에서 방정식 $a\cdot x=b$는 각 $a\neq 0$에 대해 고유한 해를 갖습니다(0으로 나누기는 정의되지 않음). 이는 역요소 $\frac(1)(a)$ 또는 $a^(-1)$가 있음을 의미합니다.
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$
$\mathbb(Q)$ 집합의 순서는 다음과 같이 확장될 수 있습니다.
$\frac(p_1)(q_1)
$\mathbb(Q)$ 집합에는 한 가지 중요한 속성이 있습니다. 두 유리수 사이에는 무한히 많은 다른 유리수가 있으므로 자연수와 정수의 집합과 달리 인접한 두 유리수는 없습니다.
무리수 $\mathbb(I)$
무리수의 예:
$\sqrt(2) \대략 1.41422135...$
$\pi\약 3.1415926535...$
임의의 두 유리수 사이에는 무한히 많은 다른 유리수들이 있기 때문에 유리수 집합이 너무 조밀해서 더 이상 확장할 필요가 없다고 잘못된 결론을 내리기 쉽습니다. 피타고라스도 당시에는 그런 실수를 저질렀습니다. 그러나 그의 동시대인들은 유리수 집합에 대한 방정식 $x\cdot x=2$ ($x^2=2$)의 해를 연구할 때 이미 이 결론을 반박했습니다. 이러한 방정식을 풀려면 제곱근 개념을 도입해야 하며, 이 방정식의 해는 $x=\sqrt(2)$ 형식을 갖습니다. $a$는 알려진 유리수이고 $x$는 알 수 없는 유리수인 $x^2=a$와 같은 방정식은 항상 유리수 집합에 대한 해법을 갖고 있는 것은 아니며 다시 확장할 필요성이 발생합니다. 세트. 무리수 집합이 발생하고 $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$...와 같은 숫자가 이 집합에 속합니다.
실수 $\mathbb(R)$
유리수 집합과 무리수 집합의 합집합이 실수 집합입니다. $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$이므로, 도입된 산술 연산 및 관계가 새 집합에서 해당 속성을 유지한다고 가정하는 것이 다시 논리적입니다. 이에 대한 공식적인 증명은 매우 어렵기 때문에 위의 속성은 산술 연산실수 집합의 관계는 공리로 도입됩니다. 대수학에서는 이러한 객체를 필드(field)라고 부르므로 실수 집합을 순서 필드(ordered field)라고 합니다.
실수 집합의 정의가 완전하려면 $\mathbb(Q)$와 $\mathbb(R)$ 집합을 구별하는 추가 공리를 도입할 필요가 있습니다. $S$가 실수 집합의 비어 있지 않은 부분 집합이라고 가정합니다. $\forall x\in S$가 $x\leq b$를 보유하는 경우 $b\in \mathbb(R)$ 요소를 집합 $S$의 상한이라고 합니다. 그런 다음 집합 $S$가 위에 제한되어 있다고 말합니다. 집합 $S$의 최소 상한을 상한(supremum)이라고 하며 $\sup S$로 표시합니다. 하한, 아래로 제한된 집합 및 무한 $\inf S$의 개념도 유사하게 소개됩니다. 이제 누락된 공리는 다음과 같이 공식화됩니다.
비어 있지 않고 실수 집합의 상한 부분 집합에는 상한값이 있습니다.
위와 같은 방식으로 정의된 실수의 필드가 고유하다는 것도 증명할 수 있습니다.
복소수$\mathbb(C)$
복소수의 예:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ 여기서 $i = \sqrt(-1)$ 또는 $i^2 = -1$
복소수 집합은 실수의 모든 순서쌍, 즉 $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$을 나타냅니다. 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 정의됩니다.
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
복소수를 작성하는 데는 여러 형태가 있는데, 그 중 가장 일반적인 것은 $z=a+ib$입니다. 여기서 $(a,b)$는 실수 쌍이고 숫자 $i=(0,1)$입니다. 허수단위라고 합니다.
$i^2=-1$임을 보여주는 것은 쉽습니다. $\mathbb(R)$ 집합을 $\mathbb(C)$ 집합으로 확장하면 다음을 정의할 수 있습니다. 제곱근이것이 복소수 집합의 도입 이유가 되었습니다. $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$에 의해 주어진 집합 $\mathbb(C)$의 부분 집합이 모든 것을 만족한다는 것을 보여주는 것도 쉽습니다. 실수에 대한 공리이므로 $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$ 또는 $R\subset\mathbb(C)$.
덧셈과 곱셈 연산에 관한 집합 $\mathbb(C)$의 대수적 구조는 다음과 같은 특성을 갖습니다.
1. 덧셈과 곱셈의 교환성
2. 덧셈과 곱셈의 연관성
3. $0+i0$ - 추가를 위한 중립 요소
4. $1+i0$ - 곱셈을 위한 중립 요소
5. 곱셈은 덧셈에 대해 분배적입니다.
6. 덧셈과 곱셈 모두에 대한 단일 역원이 있습니다.
숫자는 객체를 수량화하는 데 사용되는 추상화입니다. 숫자는 사람들이 사물을 세어야 할 필요성과 관련하여 원시 사회에서 발생했습니다. 시간이 지나면서 과학이 발전하면서 숫자는 가장 중요한 수학적 개념으로 변했습니다.
문제를 해결하고 다양한 정리를 증명하려면 어떤 유형의 숫자가 있는지 이해해야 합니다. 숫자의 기본 유형에는 자연수, 정수, 유리수, 실수가 포함됩니다.
정수- 이것은 물체의 자연적인 계산이나 오히려 번호를 매겨서 얻은 숫자입니다(“첫 번째”, “두 번째”, “세 번째”...). 자연수 집합은 라틴 문자로 표시됩니다. N (당신은 기반으로 기억할 수 있습니다 영어 단어자연스러운). 라고 할 수 있다 N ={1,2,3,....}
정수– 이는 세트(0, 1, -1, 2, -2, ....)의 숫자입니다. 이 세트는 자연수, 음의 정수(자연수의 반대), 숫자 0(영)의 세 부분으로 구성됩니다. 정수는 라틴 문자로 표시됩니다. 지 . 라고 할 수 있다 지 ={1,2,3,....}.
유리수는 분수로 표현되는 숫자입니다. 여기서 m은 정수이고 n은 자연수입니다. 라틴 문자는 유리수를 나타내는 데 사용됩니다. 큐 . 모든 자연수와 정수는 유리수입니다.
실수연속적인 수량을 측정하는 데 사용되는 숫자입니다. 실수 집합은 라틴 문자 R로 표시됩니다. 실수에는 유리수와 무리수가 포함됩니다. 무리수는 유리수를 사용하여 다양한 연산(예: 근 취하기, 로그 계산)을 수행한 결과로 얻어지지만 유리수가 아닌 숫자입니다.
1. 숫자 체계.
숫자 체계는 숫자의 이름을 지정하고 쓰는 방법입니다. 숫자를 표현하는 방식에 따라 위치형(소수점)과 비위치형(로마자)로 구분됩니다.
PC는 2자리, 8자리, 16자리 숫자 체계를 사용합니다.
차이점: 16번째 숫자 체계로 숫자를 쓰는 것은 다른 쓰기에 비해 훨씬 짧습니다. 더 적은 비트 깊이가 필요합니다.
위치 번호 체계에서 각 숫자는 번호의 위치에 관계없이 일정한 값을 유지합니다. 위치 숫자 체계에서 각 숫자는 그 의미를 결정할 뿐만 아니라 숫자에서 차지하는 위치에 따라 달라집니다. 각 숫자 체계는 기본을 특징으로 합니다. 밑수는 주어진 숫자 체계에서 숫자를 쓰는 데 사용되는 다양한 숫자의 수입니다. 베이스는 인접한 위치로 이동할 때 동일한 숫자의 값이 몇 번 변경되는지 보여줍니다. 컴퓨터는 2자리 숫자 시스템을 사용합니다. 시스템의 기본은 임의의 숫자일 수 있습니다. 모든 위치의 숫자에 대한 산술 연산은 10자리 숫자 체계와 유사한 규칙에 따라 수행됩니다. 2번은 산술 계산을 수행하기 위해 컴퓨터에서 구현되는 이진 산술을 사용합니다.
이진수의 덧셈:0+0=1;0+1=1;1+0=1;1+1=10
빼기:0-0=0;1-0=1;1-1=0;10-1=1
곱셈:0*0=0;0*1=0;1*0=0;1*1=1
컴퓨터는 8자리 숫자 체계와 16자리 숫자 체계를 널리 사용합니다. 이진수를 단축하는 데 사용됩니다.
2. 세트의 개념.
"집합"의 개념은 수학의 기본 개념이며 정의가 없습니다. 모든 집합의 생성 성격은 다양하며, 특히 주변 물체, 살아있는 자연등등
정의 1: 집합을 구성하는 객체를 객체라고 합니다. 이 세트의 요소. 집합을 표시하기 위해 라틴 알파벳의 대문자가 사용됩니다. 예를 들어 X, Y, Z 및 해당 요소는 중괄호 안에 쉼표로 구분되어 기록됩니다. 소문자, 예: (x,y,z).
집합과 그 요소에 대한 표기법의 예:
X = (x 1, x 2,…, x n) – n개의 요소로 구성된 집합입니다. 요소 x가 집합 X에 속하면 xÎX로 작성되어야 하며, 그렇지 않으면 요소 x는 집합 X에 속하지 않으며 xÏX로 작성되어야 합니다. 추상 세트의 요소는 예를 들어 숫자, 기능, 문자, 모양 등이 될 수 있습니다. 수학에서는 어느 부분에서나 집합의 개념이 사용됩니다. 특히, 우리는 특정한 실수 집합을 제공할 수 있습니다. 부등식을 만족하는 실수 x의 집합:
· a ≤ x ≤ b 라고 합니다. 분절로 표시되며 ;
a ≤ x< b или а < x ≤ b называется 절반 세그먼트다음으로 표시됩니다: ;
· ㅏ< x < b называется 간격(a,b)로 표시됩니다.
정의 2: 유한한 수의 요소를 갖는 집합을 유한이라고 합니다. 예. X = (x 1 , x 2 , x 3 ).
정의 3: 세트 이름은 다음과 같습니다. 끝없는, 무한한 수의 요소로 구성된 경우. 예를 들어, 모든 실수의 집합은 무한합니다. 예시 항목. X = (x 1, x 2, ...).
정의 4: 원소가 하나도 없는 집합을 공집합이라 하고 기호 Æ로 표시한다.
집합의 특징은 권력의 개념이다. 힘은 요소의 수입니다. 일대일 대응이 있는 경우 집합 Y=(y 1 , y 2 ,...)는 집합 X=(x 1 , x 2 ,...)와 동일한 카디널리티를 갖습니다. y= f(x ) 이 세트의 요소 사이. 이러한 세트는 동일한 카디널리티를 갖거나 동일한 카디널리티를 갖습니다. 빈 세트에는 카디널리티가 0입니다.
3. 세트를 지정하는 방법.
집합은 해당 요소에 의해 정의된다고 믿어집니다. 세트가 주어지고,어떤 물체에 대해 말할 수 있다면 그것은 이 세트에 속하거나 속하지 않습니다. 다음과 같은 방법으로 세트를 지정할 수 있습니다.
1) 집합이 유한하면 모든 요소를 나열하여 정의할 수 있습니다. 그래서 세트라면 ㅏ요소로 구성 2, 5, 7, 12 , 그런 다음 그들은 쓴다 A = (2, 5, 7, 12).세트의 요소 수 ㅏ같음 4 , 그들이 적다 n(A) = 4.
그러나 집합이 무한하다면 그 요소는 열거될 수 없습니다. 열거형으로 집합을 정의하기 어렵고, 유한집합을 다음과 같이 정의하는 것은 어렵습니다. 큰 수강요. 이러한 경우 세트를 지정하는 또 다른 방법이 사용됩니다.
2) 집합은 그 원소들의 특징적인 성질을 나타냄으로써 특정될 수 있다. 특징적인 재산- 이는 세트에 속한 모든 요소가 갖는 속성이며, 이에 속하지 않는 단일 요소는 아닙니다. 예를 들어 두 자리 숫자의 집합 X를 생각해 보세요. 이 집합의 각 요소가 갖는 속성은 "to be"입니다. 두 자리 숫자" 이 특징적인 속성을 통해 개체가 집합 X에 속하는지 또는 속하지 않는지 여부를 결정할 수 있습니다. 예를 들어, 이 세트에는 숫자 45가 포함되어 있습니다. 두 자리 숫자이고 숫자 4는 집합 X에 속하지 않습니다. 왜냐하면 이는 모호하지 않으며 두 값을 가지지 않습니다. 요소의 서로 다른 특성을 나타냄으로써 동일한 집합을 정의할 수 있습니다. 예를 들어, 정사각형 집합은 변이 같은 직사각형 집합과 직각을 가진 마름모 집합으로 정의될 수 있습니다.
집합 요소의 특징적인 속성이 기호 형식으로 표현될 수 있는 경우 해당 표기가 가능합니다. 세트인 경우 안에보다 작은 모든 자연수로 구성됩니다. 10, 그럼 그들은 쓴다 B = (x N | x<10}.
두 번째 방법은 보다 일반적이며 유한 세트와 무한 세트를 모두 지정할 수 있습니다.
4. 숫자 세트.
숫자 - 요소가 숫자인 집합입니다. 숫자 세트는 실수 R의 축에 지정됩니다. 이 축에서 스케일이 선택되고 원점과 방향이 표시됩니다. 가장 일반적인 숫자 세트:
· - 자연수 집합;
· - 정수 세트;
· - 유리수 또는 분수의 집합;
· - 실수의 집합입니다.
5. 세트의 힘. 유한 집합과 무한 집합의 예를 들어보세요.
세트 사이에 일대일 또는 일대일 대응, 즉 쌍별 대응이 있는 경우 세트를 동등하게 강력하고 동등하다고 합니다. 한 세트의 각 요소가 다른 세트의 단일 요소와 연관되고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 반면, 한 세트의 다른 요소는 다른 세트의 다른 요소와 연관됩니다.
예를 들어, 30명의 학생 그룹이 있고 30개의 티켓이 포함된 더미에서 각 학생에게 시험 티켓 한 장을 준다면, 30명의 학생과 30장의 티켓으로 구성된 쌍별 대응은 일대일입니다.
세 번째 세트가 동일한 두 세트의 동일한 카디널리티는 동일한 카디널리티를 갖습니다. 집합 M과 N이 동일한 카디널리티를 갖는 경우, 이들 집합 M과 N 각각의 모든 부분집합의 집합도 동일한 카디널리티를 갖습니다.
주어진 집합의 부분집합은 각 요소가 주어진 집합의 요소인 집합입니다. 따라서 자동차 세트와 트럭 세트는 자동차 세트의 하위 집합이 됩니다.
실수 집합의 거듭제곱은 연속체의 거듭제곱이라고 하며 문자 "alef"로 표시됩니다. א . 가장 작은 무한 영역은 자연수 집합의 카디널리티입니다. 모든 자연수 집합의 카디널리티는 일반적으로 (alef-zero)로 표시됩니다.
거듭제곱은 종종 기수라고 불립니다. 이 개념은 독일 수학자 G. Cantor에 의해 도입되었습니다. 집합이 기호 문자 M, N으로 표시되면 기수는 m, n으로 표시됩니다. G. Cantor는 주어진 집합 M의 모든 부분 집합 집합이 집합 M 자체보다 더 큰 카디널리티를 가짐을 증명했습니다.
모든 자연수의 집합과 같은 집합을 셀 수 있는 집합(countable set)이라고 합니다.
6. 지정된 세트의 하위 세트.
세트에서 여러 요소를 선택하고 별도로 그룹화하면 이는 세트의 하위 세트가 됩니다. 하위 집합을 얻을 수 있는 조합은 다양합니다. 조합 수는 원래 집합의 요소 수에 따라 달라집니다.
두 개의 집합 A와 B가 있다고 가정합니다. 집합 B의 각 요소가 집합 A의 요소이면 집합 B를 A의 부분 집합이라고 합니다. 표시: B ⊂ A. 예.
집합 A=1;2;3의 부분집합은 몇 개입니까?
해결책. 우리 세트의 요소로 구성된 하위 세트. 그런 다음 하위 집합의 요소 수에 대한 4가지 옵션이 있습니다.
하위 집합은 1개 요소, 2, 3개 요소로 구성될 수 있으며 비어 있을 수 있습니다. 요소를 순차적으로 적어 보겠습니다.
1개 요소의 하위 집합: 1,2,3
2개 요소의 하위 집합: 1,2,1,3,2,3.
3개 요소의 하위 집합: 1,2,3
빈 집합도 우리 집합의 부분집합이라는 사실을 잊지 마세요. 그런 다음 3+3+1+1=8개의 하위 집합이 있음을 발견합니다.
7. 세트 작업.
특정 연산은 대수학의 실수 연산과 일부 측면에서 유사하게 집합에서 수행될 수 있습니다. 그러므로 우리는 집합 대수학(set algebra)에 관해 이야기할 수 있습니다.
협회(연결) 세트 ㅏ그리고 안에집합 중 적어도 하나에 속하는 모든 요소로 구성된 집합(기호적으로 로 표시됨)입니다. ㅏ또는 안에. 양식에서 엑스집합의 합집합은 다음과 같이 작성됩니다
해당 항목에는 "통일"이라고 적혀 있습니다. ㅏ그리고 안에" 또는 " ㅏ, 와 결합 안에».
집합 연산은 오일러 원(때때로 "벤-오일러 다이어그램"이라는 용어가 사용됨)을 사용하여 그래픽으로 시각적으로 표현됩니다. 세트의 모든 요소가 ㅏ원 안에 집중될 것입니다. ㅏ및 세트의 요소 안에- 서클 내에서 안에, 오일러 원을 이용한 통합 연산은 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다
실시예 1. 많은 사람들의 연합 ㅏ= (0, 2, 4, 6, 8) 짝수 숫자 및 집합 안에= (1, 3, 5, 7, 9) 홀수 숫자는 십진수 체계의 모든 숫자 집합 = =(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)입니다.
8. 세트의 그래픽 표현. 오일러-벤 다이어그램.
오일러-벤 다이어그램은 집합을 기하학적으로 표현한 것입니다. 다이어그램의 구성은 보편적 집합을 나타내는 큰 직사각형을 그리는 것으로 구성됩니다. 유, 그리고 그 안에는 집합을 나타내는 원(또는 다른 닫힌 그림)이 있습니다. 모양은 문제에서 요구하는 가장 일반적인 방식으로 교차해야 하며 그에 따라 레이블을 지정해야 합니다. 다이어그램의 서로 다른 영역 내부에 있는 점은 해당 세트의 요소로 간주될 수 있습니다. 구성된 다이어그램을 사용하면 특정 영역을 음영 처리하여 새로 형성된 세트를 나타낼 수 있습니다.
집합 작업은 기존 집합에서 새 집합을 얻는 것으로 간주됩니다.
정의. 협회세트 A와 B는 세트 A, B 중 적어도 하나에 속하는 모든 요소로 구성된 세트입니다(그림 1).
정의. 건너서세트 A와 B는 세트 A와 세트 B 모두에 동시에 속하는 모든 요소로 구성된 세트입니다(그림 2).
정의. 차이로집합 A와 B는 B에 포함되지 않은 A의 모든 요소 집합입니다(그림 3).
정의. 대칭적 차이세트 A와 B는 세트 A에만 속하거나 세트 B에만 속하는 이러한 세트의 요소 세트입니다(그림 4).
집합의 데카르트(또는 직접) 곱ㅏ그리고 비다음과 같은 형식의 결과 쌍 세트( 엑스,와이) 집합의 첫 번째 요소가 다음과 같은 방식으로 구성됩니다. ㅏ, 쌍의 두 번째 요소는 세트에서 나옵니다. 비. 일반적인 명칭:
ㅏ× 비={(엑스,와이)|엑스∈ㅏ,와이∈비}
3개 이상의 세트로 구성된 제품은 다음과 같이 구성할 수 있습니다.
ㅏ× 비× 씨={(엑스,와이,지)|엑스∈ㅏ,와이∈비,지∈씨}
형태의 제품 ㅏ× ㅏ,ㅏ× ㅏ× ㅏ,ㅏ× ㅏ× ㅏ× ㅏ등. 학위로 작성하는 것이 일반적입니다. ㅏ 2 ,ㅏ 3 ,ㅏ 4 (차수의 밑은 승수 집합, 지수는 제품 수). 그들은 "데카르트 정사각형"(큐브 등)과 같은 항목을 읽습니다. 주요 세트에 대한 다른 판독값이 있습니다. 예를 들어 R N"er nnoe"로 읽는 것이 관례입니다.
속성
데카르트 곱의 몇 가지 속성을 고려해 보겠습니다.
1. 만일 ㅏ,비유한 집합이라면 ㅏ× 비- 최종. 반대로, 요소 집합 중 하나가 무한하다면 그 곱의 결과도 무한 집합이 됩니다.
2. 데카르트 곱의 요소 수는 요소 집합의 요소 수를 곱한 것과 같습니다(물론 유한한 경우). | ㅏ× 비|=|ㅏ|⋅|비| .
3. np ≠(앤) 피- 첫 번째 경우에는 데카르트 곱의 결과를 차원 1×의 행렬로 고려하는 것이 좋습니다. n.p., 두 번째 - 크기의 행렬 N× 피 .
4. 교환법칙은 만족되지 않습니다. 왜냐하면 데카르트 곱 결과의 요소 쌍은 다음과 같이 정렬됩니다. ㅏ× 비≠비× ㅏ .
5. 결합 법칙이 충족되지 않습니다. ( ㅏ× 비)× 씨≠ㅏ×( 비× 씨) .
6. 세트의 기본 작업에는 분산성이 있습니다. ( ㅏ∗비)× 씨=(ㅏ× 씨)∗(비× 씨),∗∈{∩,∪,∖}
10. 발화의 개념. 초등 및 복합 진술.
성명참(I-1) 또는 거짓(F-0)이라고 말할 수 있지만 둘 다일 수는 없는 진술 또는 선언문입니다.
예를 들어, "오늘 비가 내립니다.", "Ivanov가 물리학 실험실 작업 2번을 완료했습니다."
초기 진술이 여러 개인 경우 그 중에서 다음을 사용하십시오. 논리적 공용체 또는 입자 우리는 새로운 진술을 형성할 수 있는데, 그 진리값은 원래 진술의 진리값과 새로운 진술의 구성에 참여하는 특정 접속사와 입자에만 의존합니다. "and", "or", "not", "if..., then", "그러므로", "then and only then"이라는 단어와 표현은 이러한 접속사의 예입니다. 원래 진술은 다음과 같습니다. 단순한 , 그리고 특정 논리적 접속사의 도움을 받아 이들로부터 구성된 새로운 진술 - 합성물 . 물론 "단순"이라는 단어는 원래 진술의 본질이나 구조와는 아무런 관련이 없으며 원래 진술 자체는 상당히 복잡할 수 있습니다. 이러한 맥락에서 "단순"이라는 단어는 "원본"이라는 단어와 동의어입니다. 중요한 것은 간단한 진술의 진리값이 알려져 있거나 주어진 것으로 가정된다는 것입니다. 어쨌든 그들은 어떤 식으로든 논의되지 않습니다.
“오늘은 목요일이 아니다”와 같은 진술은 서로 다른 두 개의 단순한 진술로 구성되지는 않지만, “오늘은 목요일이다”라는 다른 진술의 진리값에 따라 진리값이 결정되므로 구성의 통일성을 위해 복합어로 간주되기도 합니다. ”
예시 2.다음 명령문은 구성 요소로 간주됩니다.
나는 Moskovsky Komsomolets를 읽었고 Kommersant를 읽었습니다.
그가 그렇게 말했다면 그것은 사실이다.
태양은 별이 아닙니다.
날씨가 화창하고 기온이 25도를 넘으면 기차나 자동차로 도착합니다
화합물에 포함된 간단한 명령문 자체는 완전히 임의적일 수 있습니다. 특히, 그 자체가 복합적일 수 있습니다. 아래에 설명된 기본 유형의 복합문은 이를 구성하는 단순문과 독립적으로 정의됩니다.
11. 명세서에 대한 작업.
1. 부정 연산.
발언을 부정함으로써 ㅏ ("아니다"라고 읽는다 ㅏ", "그건 사실이 아니야. ㅏ"), 이는 다음과 같은 경우에 해당됩니다. ㅏ거짓과 거짓일 때 ㅏ- 진실.
서로를 부정하는 진술 ㅏ그리고 호출된다 반대.
2. 결합 연산.
접속사진술 ㅏ그리고 안에로 표시된 진술이라고 불린다. A B("라고 읽는다 ㅏ그리고 안에"), 두 진술이 모두 있는 경우에만 실제 값이 결정됩니다. ㅏ그리고 안에사실이다.
명제들의 결합을 논리적 곱이라고 부르며 종종 다음과 같이 표시됩니다. AB.
성명을 발표하자 ㅏ- “3월의 기온은 다음과 같습니다. 0℃+에 7C"라고 말하면서 안에- "비쳅스크에 비가 내립니다." 그 다음에 A B“3월 기온은 다음과 같습니다. 0℃+에 7C비테브스크에는 비가 내리고 있어요.” 이 접속사는 진술이 있으면 참이 됩니다. ㅏ그리고 안에진실. 온도가 낮았다고 밝혀지면 0℃아니면 Vitebsk에 비가 내리지 않았나요? A B거짓이 될 것입니다.
3 . 분리 작업.
분리진술 ㅏ그리고 안에성명을 불렀다 A B (ㅏ또는 안에) 이는 진술 중 적어도 하나가 참이고 거짓인 경우에만 참입니다. 두 진술이 모두 거짓인 경우입니다.
명제들의 분리를 논리합이라고도 합니다. A+B.
성명서 " 4<5 또는 4=5 " 사실이다. "라는 발언 이후 4<5 "는 사실이고 진술은 " 4=5 » – 거짓이면 A B"라는 진정한 진술을 나타냅니다. 4 5 ».
4 . 암시의 작동.
암시적으로진술 ㅏ그리고 안에성명을 불렀다 A B("만약에 ㅏ, 저것 안에", "에서 ㅏ~해야 한다 안에"), 그 값은 false입니다. ㅏ사실이지만 안에거짓.
암시적으로 A B성명 ㅏ~라고 불리는 기초,또는 전제와 진술 안에 – 결과,또는 결론.
12. 진술의 진실표.
진리표는 논리 함수에 포함된 모든 가능한 논리 변수 집합과 함수 값 사이의 대응 관계를 설정하는 표입니다.
진리표는 다음 용도로 사용됩니다.
복잡한 진술의 진실성을 계산합니다.
진술의 동등성을 확립합니다.
동어반복의 정의.
