실린더는 기하학적인 몸체, 두 개의 평행 평면과 원통형 표면으로 경계가 지정됩니다. 이 기사에서는 원통의 면적을 구하는 방법에 대해 설명하고 공식을 사용하여 몇 가지 문제를 예로 해결할 것입니다.
원통에는 상단, 하단, 측면의 세 가지 표면이 있습니다.
원기둥의 윗면과 밑면은 원으로 되어 있어 쉽게 식별할 수 있습니다.
원의 면적은 πr 2와 같다고 알려져 있습니다. 따라서 두 원(원통의 상단과 하단)의 면적에 대한 공식은 πr 2 + πr 2 = 2πr 2입니다.
세 번째, 원통의 측면은 원통의 곡선 벽입니다. 이 표면을 더 잘 상상하기 위해, 인식할 수 있는 모양이 되도록 변형해 보겠습니다. 원통이 상단 뚜껑이나 바닥이 없는 일반 깡통이라고 상상해 보세요. 캔의 상단에서 하단까지 측벽을 수직으로 절단하고(그림의 1단계) 결과 그림을 최대한 펼치도록(똑바르게) 해보겠습니다(2단계).
결과 병이 완전히 열리면 친숙한 그림(3단계)이 표시됩니다. 이는 직사각형입니다. 직사각형의 면적은 계산하기 쉽습니다. 하지만 그 전에 잠시 원래의 실린더로 돌아가 보겠습니다. 원래 원통의 꼭지점은 원이고 원주는 L = 2πr 공식으로 계산됩니다. 그림에서 빨간색으로 표시되어 있습니다.
원통의 측벽이 완전히 열리면 원주가 결과 직사각형의 길이가 되는 것을 볼 수 있습니다. 이 직사각형의 변은 원주(L = 2πr)와 원통의 높이(h)가 됩니다. 직사각형의 면적은 변의 곱과 같습니다 - S = 길이 x 너비 = L x h = 2πr x h = 2πrh. 그 결과, 원통의 측면 면적을 계산하는 공식을 얻었습니다.
원통의 측면 표면적에 대한 공식
S측 = 2πrh
원통의 총 표면적
마지막으로 세 표면의 면적을 모두 더하면 원통의 전체 표면적에 대한 공식을 얻을 수 있습니다. 원통의 표면적은 원통의 윗부분의 면적 + 원통의 밑면의 면적 + 원통의 옆면의 면적 또는 S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. 때때로 이 표현식은 공식 2πr (r + h)와 동일하게 작성됩니다.
원통의 전체 표면적에 대한 공식
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r - 원통의 반경, h - 원통의 높이
원통의 표면적을 계산하는 예
위 공식을 이해하기 위해 예제를 사용하여 원통의 표면적을 계산해 보겠습니다.
1. 원통 밑면의 반경은 2, 높이는 3입니다. 원통의 측면 면적을 결정합니다.
총 표면적은 S 측 공식을 사용하여 계산됩니다. = 2πrh
S측 = 2 * 3.14 * 2 * 34.6. 받은 총 평점: 990.
지침
우선, 피라미드의 측면은 알려진 데이터에 따라 다양한 공식을 사용하여 해당 영역을 찾을 수 있는 여러 삼각형으로 표시된다는 점을 이해하는 것이 좋습니다.
S = (a*h)/2, 여기서 h는 측면 a로 낮아진 높이입니다.
S = a*b*sinβ, 여기서 a, b는 삼각형의 변이고 β는 이들 변 사이의 각도입니다.
S = (r*(a + b + c))/2, 여기서 a, b, c는 삼각형의 변이고 r은 이 삼각형에 내접하는 원의 반경입니다.
S = (a*b*c)/4*R, 여기서 R은 원 주위에 외접하는 삼각형의 반경입니다.
S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R(삼각형이 직각인 경우);
S = S = (a²*√3)/4(삼각형이 정삼각형인 경우).
사실, 이것들은 삼각형의 넓이를 구하는 가장 기본적인 알려진 공식일 뿐입니다.
위의 공식을 사용하여 피라미드의 면인 모든 삼각형의 면적을 계산하면 이 피라미드의 면적 계산을 시작할 수 있습니다. 이것은 매우 간단하게 수행됩니다. 피라미드의 측면을 형성하는 모든 삼각형의 면적을 더해야 합니다. 이는 다음 공식으로 표현될 수 있습니다.
Sp = ΣSi, 여기서 Sp는 측면의 면적이고, Si는 측면의 일부인 i번째 삼각형의 면적입니다.
더 명확하게 하기 위해 작은 예를 고려할 수 있습니다. 측면이 정삼각형으로 형성되고 밑면에 정사각형이 있는 일반 피라미드가 주어집니다. 이 피라미드의 한 변의 길이는 17cm입니다. 이 피라미드의 옆면의 넓이를 구해야 합니다.
해결책: 이 피라미드의 가장자리 길이가 알려져 있으며 그 면이 정삼각형이라는 것이 알려져 있습니다. 따라서 측면에 있는 모든 삼각형의 모든 변은 17cm라고 말할 수 있습니다. 따라서 이러한 삼각형의 면적을 계산하려면 다음 공식을 적용해야 합니다.
S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137cm²
피라미드의 바닥에는 사각형이 있는 것으로 알려져 있습니다. 따라서 주어진 정삼각형은 4개가 있음이 분명합니다. 그런 다음 피라미드의 측면 표면적은 다음과 같이 계산됩니다.
125.137cm² * 4 = 500.548cm²
답: 피라미드의 측면 표면적은 500.548cm²입니다.
먼저 피라미드의 측면 면적을 계산해 봅시다. 측면은 모든 측면의 면적의 합입니다. 정다각형(즉, 밑면에 정다각형이 있고 꼭지점이 이 다각형의 중심에 투영된 피라미드)을 다루는 경우 전체 측면을 계산하려면 다음의 둘레를 곱하면 충분합니다. 밑면(즉, 밑면 피라미드에 있는 다각형의 모든 변의 길이의 합)을 옆면의 높이(또는 변심이라고도 함)로 나누고 결과 값을 2로 나눕니다. Sb = 1/2P* h, 여기서 Sb는 측면의 면적, P는 밑면의 둘레, h는 측면(변심)의 높이입니다.
앞에 임의의 피라미드가 있는 경우 모든 면의 면적을 별도로 계산한 다음 합산해야 합니다. 피라미드의 측면은 삼각형이므로 삼각형 면적 공식 S=1/2b*h를 사용합니다. 여기서 b는 삼각형의 밑변이고 h는 높이입니다. 모든 면의 면적이 계산되면 남은 것은 이를 더하여 피라미드 측면의 면적을 구하는 것뿐입니다.
그런 다음 피라미드 바닥의 면적을 계산해야 합니다. 계산 공식의 선택은 피라미드의 밑면에 있는 다각형(즉, 모든 변의 길이가 같은 다각형) 또는 불규칙형에 따라 달라집니다. 정사각형 정다각형둘레에 다각형에 새겨진 원의 반경을 곱하고 결과 값을 2로 나누어 계산할 수 있습니다. Sn = 1/2P*r, 여기서 Sn은 다각형의 면적, P는 둘레, r은 다각형에 새겨진 원의 반지름입니다.
잘린 피라미드는 피라미드와 밑면에 평행한 단면으로 구성된 다면체입니다. 피라미드의 측면 표면적을 찾는 것은 전혀 어렵지 않습니다. 그것은 매우 간단합니다. 면적은 변심으로 밑면 합계의 절반을 곱한 것과 같습니다. 잘린 피라미드의 측면 표면적을 계산하는 예를 고려해 보겠습니다. 정사각형 피라미드가 있다고 가정합니다. 밑면의 길이는 b = 5cm, c = 3cm입니다. Apothem a = 4cm 피라미드의 측면 면적을 구하려면 먼저 밑면의 둘레를 구해야 합니다. 큰 밑면에서는 p1=4b=4*5=20 cm와 같고, 작은 밑면에서는 공식은 다음과 같습니다: p2=4c=4*3=12 cm 따라서 면적은 다음과 같습니다. : s=1/2(20+12)*4=32/2*4=64cm.
피라미드는 다면체로, 그 중 하나의 면(밑면)은 임의의 다각형이고 나머지 면(변)은 공통 꼭지점을 갖는 삼각형입니다. 각도의 수에 따라 피라미드의 밑면은 삼각형(사면체), 사각형 등이 됩니다.
피라미드는 밑면이 다각형인 다면체이고, 나머지 면은 공통 꼭지점을 갖는 삼각형이다. 변심점은 꼭지점에서 그려지는 일반 피라미드의 측면 높이입니다.
임의의 피라미드의 측면 표면적은 측면 면적의 합과 같습니다. 일반 피라미드의 경우 이 영역을 표현하기 위한 특별한 공식을 제공하는 것이 합리적입니다. 그럼, 밑면에 변이 a인 정n각형이 있는 정뿔뿔이 있다고 가정해 보겠습니다. h를 옆면의 높이라고 하자. 변심피라미드. 한 측면의 면적은 1/2ah이고 피라미드의 측면 전체 면적은 n/2ha와 같습니다. na는 피라미드 밑면의 둘레이므로 찾은 공식을 쓸 수 있습니다. 형식:
측면 표면적일반 피라미드의 크기는 변심과 밑면 둘레의 절반의 곱과 같습니다.
에 관하여 총 표면적, 그런 다음 기본 영역을 측면 영역에 추가하기만 하면 됩니다.
내접 및 외접 구와 공. 피라미드에 새겨진 구의 중심은 피라미드의 내부 2면각의 이등분면의 교차점에 있다는 점에 유의해야 합니다. 피라미드 근처에 설명된 구의 중심은 피라미드 모서리의 중간점을 통과하고 이에 수직인 평면의 교차점에 있습니다.
잘린 피라미드.피라미드를 밑면과 평행한 평면으로 자르면 절단면과 밑면 사이에 둘러싸인 부분을 피라미드라고 합니다. 잘린 피라미드.그림은 피라미드를 보여줍니다. 절단 평면 위에 있는 부분을 버리면 잘린 피라미드가 생성됩니다. 버려진 작은 피라미드는 정점에 동질성의 중심이 있는 큰 피라미드와 동질적이라는 것이 분명합니다. 유사성 계수는 높이의 비율과 같습니다: k=h 2 /h 1, 측면 가장자리 또는 두 피라미드의 기타 해당 선형 치수. 우리는 유사한 도형의 면적이 선형 차원의 제곱과 유사하다는 것을 알고 있습니다. 따라서 두 피라미드의 밑면 영역(즉, 잘린 피라미드의 밑면 영역)은 다음과 같이 관련됩니다.
여기서 S1은 밑변의 면적이고, S2는 잘린 피라미드의 윗밑면의 면적이다. 같은 관계에서는 측면피라미드 볼륨에도 비슷한 규칙이 있습니다.
유사한 신체의 부피선형 차원의 큐브처럼 관련되어 있습니다. 예를 들어, 피라미드의 부피는 높이와 밑면의 면적의 곱으로 관련되며, 이로부터 우리의 규칙이 즉시 얻어집니다. 이는 완전히 일반적인 성격을 가지며 부피는 항상 길이의 3승 크기를 갖는다는 사실에서 직접적으로 파생됩니다. 이 규칙을 사용하여 밑면의 높이와 면적을 통해 잘린 피라미드의 부피를 표현하는 공식을 유도합니다.
높이가 h이고 밑면적이 S1과 S2인 잘린 피라미드가 있다고 가정합니다. 전체 피라미드로 확장한다고 상상하면 전체 피라미드와 작은 피라미드 사이의 유사 계수는 S 2 /S 1 비율의 근으로 쉽게 찾을 수 있습니다. 잘린 피라미드의 높이는 h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k)로 표현됩니다. 이제 우리는 잘린 피라미드의 부피를 얻었습니다(V 1 및 V 2는 전체 피라미드와 작은 피라미드의 부피를 나타냄).
잘린 피라미드의 부피 공식
밑면의 둘레 P 1 및 P 2와 변심점 a의 길이를 통해 규칙적인 잘린 피라미드의 측면 표면 S에 대한 공식을 도출해 보겠습니다. 우리는 부피 공식을 도출할 때와 똑같은 방식으로 추론합니다. 우리는 피라미드를 윗부분으로 보완합니다. P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1입니다. 여기서 k는 유사 계수이고, P 1과 P 2는 밑면의 둘레이고, S 1과 S 2입니다. 전체 결과 피라미드의 측면 표면 영역과 이에 따른 상단 부분입니다. 측면 표면에 대해 (a 1과 a 2는 피라미드의 변종, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))
정절두뿔의 측면 표면적에 대한 공식
정삼각형 피라미드에서 SABC R- 갈비뼈 중간 AB, 에스- 맨 위.
다음과 같이 알려져 있습니다. SR = 6, 측면 표면적은 다음과 같습니다. 36
.
세그먼트의 길이 찾기 기원전.
그림을 그려보자. 일반 피라미드에서 측면은 이등변삼각형입니다.
분절 S.R.- 중앙값이 베이스로 낮아져 측면 높이가 낮아집니다.
정삼각형 피라미드의 측면 표면적은 면적의 합과 같습니다
세 개의 동일한 측면 S측 = 3S ABS. 여기에서 S ABS = 36: 3 = 12- 얼굴 부위.
삼각형의 면적은 밑변과 높이의 곱의 절반과 같습니다
S ABS = 0.5 AB SR. 면적과 높이를 알면 밑면의 측면을 찾습니다. AB = 기원전.
12 = 0.5AB 6
12 = 3AB
AB = 4
답변: 4
반대쪽에서 문제에 접근할 수 있습니다. 베이스 쪽을 보자 AB = BC = 에이.
그 다음에는 얼굴 부위 S ABS = 0.5 AB SR = 0.5 a 6 = 3a.
세 면의 각각의 면적은 다음과 같습니다. 3a, 세 면의 면적이 같다 9a.
문제의 조건에 따르면 피라미드의 옆면의 면적은 36이다.
S측 = 9a = 36.
여기에서 a = 4.
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