Ilya의 답변은 정확하지만 그다지 자세하지는 않습니다. 그런데 18세기에도 1은 여전히 소수로 간주되었습니다. 예를 들어 오일러(Euler)와 골드바흐(Goldbach)와 같은 위대한 수학자들이 있습니다. 골드바흐는 밀레니엄의 7가지 문제 중 하나인 골드바흐 가설의 저자입니다. 원래 공식에서는 다음과 같이 명시합니다. 우수두 소수의 합으로 표현할 수 있다. 또한 처음에는 1이 소수로 간주되었으며 다음과 같이 표시됩니다. 2 = 1+1. 이것 가장 작은 예, 가설의 원래 공식을 만족합니다. 나중에 이 표현은 수정되었고 공식은 현대적인 형태를 얻었습니다. "4로 시작하는 모든 짝수는 두 소수의 합으로 표현될 수 있습니다."
정의를 기억해 봅시다. 단순하다 자연수 p는 단지 2개의 서로 다른 자연약수(p 자체와 1)만 갖습니다. 정의에 따른 결과: 소수 p에는 단 하나의 소인수(p 자체)가 있습니다.
이제 1이 소수라고 가정해보자. 정의에 따르면 소수에는 단 하나의 소인수(소수 자체)만 있습니다. 그러면 1보다 큰 소수는 그와 다른(1로) 소수로 나누어질 수 있다는 것이 밝혀졌습니다. 그러나 서로 다른 두 소수는 서로 나누어질 수 없기 때문에 그렇지 않으면 소수가 아니라 합성수가 되며 이는 정의와 모순됩니다. 이 접근 방식을 사용하면 단위 자체라는 소수(Prime Number)가 1개만 있다는 것이 밝혀졌습니다. 그러나 이것은 터무니없는 일이다. 그러므로 1은 소수가 아니다.
1과 0은 또 다른 숫자 클래스, 즉 대수학 분야의 일부 하위 집합에서 n항 연산과 관련된 중립 요소 클래스를 형성합니다. 더욱이, 덧셈 연산과 관련하여, 1은 정수링의 생성 요소이기도 합니다.
이러한 점을 고려하면 다른 대수 구조에서 소수의 유사점을 찾는 것이 어렵지 않습니다. 1: 2, 4, 8, 16, ... 등으로 시작하여 2의 거듭제곱으로 구성된 곱셈 그룹이 있다고 가정합니다. 2는 여기서 조형요소로 작용한다. 이 그룹의 소수는 가장 작은 요소보다 크고 자신과 가장 작은 요소로만 나눌 수 있는 숫자입니다. 우리 그룹에서는 4개만이 그러한 속성을 가지고 있습니다. 우리 그룹에는 더 이상 소수가 없습니다.
2가 우리 그룹에서도 소수라면 첫 번째 단락을 참조하세요. 다시 한 번 2만이 소수라는 것이 밝혀질 것입니다.
정의 1. 소수− 자신과 1로만 나누어 떨어지는 자연수보다 큰 자연수이다.
즉, 두 개의 고유한 자연 인수만 있는 숫자는 소수입니다.
정의 2. 자신 외에 다른 약수가 있고 그 중 하나를 갖는 모든 자연수를 호출합니다. 합성수.
즉, 소수가 아닌 자연수를 합성수라고 합니다. 정의 1에서 다음과 같습니다. 합성 수자연약수가 2개 이상 있습니다. 숫자 1은 소수도 합성수도 아니기 때문에 에는 제수 1이 하나만 있고 소수에 관한 많은 정리가 1을 성립하지 않습니다.
정의 1과 2에서 1보다 큰 모든 양의 정수는 소수이거나 합성수입니다.
다음은 최대 5000까지의 소수를 표시하는 프로그램입니다. 셀을 채우고 "만들기" 버튼을 클릭한 후 몇 초간 기다립니다.
소수 테이블
성명 1. 만약에 피- 소수와 ㅏ임의의 정수, 다음 중 하나 ㅏ로 나눈 피, 또는 피그리고 ㅏ서로소수.
정말. 만약에 피소수는 자기 자신으로만 나누어 떨어지며 다음과 같은 경우에는 1이 됩니다. ㅏ다음으로 나눌 수 없음 피, 그 다음 최대 공약수 ㅏ그리고 피은 1과 같습니다. 그러면 피그리고 ㅏ서로소수.
성명 2. 여러 개의 숫자를 곱한 경우 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3, ...은 소수로 나누어집니다. 피, 숫자 중 하나 이상 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3, ...으로 나눌 수 있음 피.
정말. 어떤 숫자도 다음으로 나눌 수 없는 경우 피, 숫자 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3, ...은 다음과 관련하여 서로소가 됩니다. 피. 그러나 결과 3()에서 그들의 제품은 다음과 같습니다. ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3, ... 또한 상대적으로 소수입니다. 피, 이는 진술의 조건과 모순됩니다. 따라서 숫자 중 적어도 하나는 다음으로 나눌 수 있습니다. 피.
정리 1. 모든 합성수는 유한한 수의 소수의 곱으로 항상 고유한 방식으로 표현될 수 있습니다.
증거. 허락하다 케이합성수, 그리고 ㅏ 1은 1과 자신과 다른 약수 중 하나입니다. 만약에 ㅏ 1은 복합이고, 그 다음에는 1과 ㅏ 1과 다른 제수 ㅏ 2. 만약에 ㅏ 2는 합성수이므로 1과 ㅏ 2와 다른 제수 ㅏ삼. 이런 식으로 추론하고 숫자를 고려하여 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , ... 감소하고 이 계열에는 유한한 수의 항이 포함되어 있으므로 소수에 도달하게 됩니다. 피 1 . 그 다음에 케이형태로 표현될 수 있다
숫자의 두 가지 분해가 있다고 가정합니다. 케이:
왜냐하면 k=p 1 피 2 피 3 ...소수로 나눌 수 있음 큐 1, 예를 들어 요인 중 하나 이상 피 1은 다음과 같이 나눌 수 있습니다. 큐 1 . 하지만 피 1은 소수이고 1과 자기 자신으로만 나누어진다. 따라서 피 1 =큐 1 (왜냐하면 큐 1 ≠1)
그런 다음 (2)에서 제외할 수 있습니다. 피 1과 큐 1:
따라서 우리는 첫 번째 확장에서 한 번 이상 인수로 나타나는 모든 소수가 두 번째 확장에서도 적어도 여러 번 나타나고 그 반대의 경우 두 번째 확장에서 인수로 나타나는 모든 소수가 나타난다고 확신합니다. 첫 번째 확장팩에서도 한 번 이상은 적어도 같은 횟수로 나타납니다. 따라서 모든 소수는 두 확장의 요소입니다. 같은 숫자시간이므로 이 두 확장은 동일합니다.
합성수의 확장 케이다음과 같은 형식으로 작성할 수 있습니다
| (3) |
어디 피 1 , 피 2, ... 다양한 소수, α, β, γ ... 양의 정수.
확장 (3)이 호출됩니다. 정식 확장숫자.
소수는 일련의 자연수에서 고르지 않게 발생합니다. 행의 일부 부분에는 더 많고 다른 부분에는 더 적습니다. 우리가 더 멀리 나아갈수록 숫자 시리즈, 덜 일반적인 소수는 다음과 같습니다. 질문이 생깁니다. 가장 큰 소수가 있습니까? 고대 그리스 수학자 유클리드는 소수가 무한히 많다는 것을 증명했습니다. 우리는 아래에 이 증거를 제시합니다.
정리 2. 소수의 개수는 무한합니다.
증거. 유한한 수의 소수가 있다고 가정하고, 가장 큰 소수를 다음이라고 하자. 피. 모든 숫자를 더 크게 생각해 봅시다 피. 진술의 가정에 따르면, 이 숫자는 합성수여야 하며 적어도 하나의 소수로 나누어져야 합니다. 이 모든 소수에 1을 더한 결과인 숫자를 선택해 봅시다:
숫자 지더 피왜냐하면 2p이미 더 피. 피은 어떤 소수로도 나누어지지 않습니다. 왜냐하면 그들 각각으로 나누면 나머지는 1이 됩니다. 따라서 우리는 모순에 도달합니다. 그러므로 소수의 개수는 무한하다.
이 정리는 보다 일반적인 정리의 특별한 경우입니다.
정리 3. 산술적 진행을 해보자
그러면 다음에 포함된 임의의 소수 N, 에 포함되어야 합니다. 중따라서 N다른 사람은 들어갈 수 없다 소인수, 에는 포함되지 않습니다. 중그리고 게다가 이러한 주요 요인은 N다음보다 더 이상 포함되지 않습니다. 중.
그 반대도 마찬가지입니다. 숫자의 모든 소인수가 N숫자에 적어도 여러 번 포함됨 중, 저것 중로 나눈 N.
성명 3. 허락하다 ㅏ 1 ,ㅏ 2 ,ㅏ 3,...에 포함된 다양한 소수 중그래서
어디 나=0,1,...α , 제이=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . 그것을주의해라 αi받아들인다 α +1 값, β j는 받아들인다 β +1 값, γ k는 받아들인다 γ +1 값, ... .
이 기사에서 우리는 탐구할 것이다 소수와 합성수. 먼저 소수와 합성수에 대한 정의를 제시하고 예도 제시하겠습니다. 그 후에 우리는 소수가 무한히 많다는 것을 증명할 것입니다. 다음으로 소수표를 작성하고, 특히 에라토스테네스의 체라고 불리는 방법에 주목하면서 소수표를 작성하는 방법을 고찰하겠습니다. 결론적으로, 주어진 숫자가 소수 또는 합성수임을 증명할 때 고려해야 할 주요 사항을 강조하겠습니다.
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소수와 합성수 - 정의 및 예
소수와 합성수의 개념은 1보다 큰 수를 의미합니다. 이러한 정수는 양의 약수의 수에 따라 소수와 합성수로 나뉩니다. 그래서 이해하려면 소수와 합성수의 정의, 제수와 배수가 무엇인지 잘 이해해야 합니다.
정의.
소수양의 약수 두 개, 즉 자신과 1만 있는 정수, 큰 단위입니다.
정의.
합성수 3개 이상의 양의 약수가 있는 큰 정수입니다.
이와 별도로 숫자 1은 소수나 합성수에 적용되지 않습니다. 단위에는 단 하나의 양의 제수가 있는데, 이는 숫자 1 자체입니다. 이는 숫자 1을 적어도 두 개의 양의 약수가 있는 다른 모든 양의 정수와 구별합니다.
양의 정수가 이고 하나의 양의 약수가 하나만 있다는 점을 고려하면 소수와 합성수의 명시된 정의에 대한 다른 공식을 제공할 수 있습니다.
정의.
소수양의 약수가 2개만 있는 자연수입니다.
정의.
합성수두 개 이상의 양의 약수가 있는 자연수입니다.
1보다 큰 모든 양의 정수는 소수이거나 합성수입니다. 즉, 소수도 합성수도 아닌 단일 정수는 없습니다. 이는 숫자 1과 a가 항상 모든 정수 a의 약수라는 나눗셈의 특성에 따른 것입니다.
이전 단락의 정보를 바탕으로 합성수의 정의를 다음과 같이 제시할 수 있습니다.
정의.
소수가 아닌 자연수를 소수라고 한다. 합성물.
주자 소수와 합성수의 예.
합성수의 예로는 6, 63, 121, 6,697 등이 있습니다. 이 진술에도 설명이 필요합니다. 숫자 6은 양의 약수 1과 6 외에 약수 2와 3도 갖습니다. 6 = 2 3이므로 6은 진정한 합성수입니다. 63의 양수는 1, 3, 7, 9, 21, 63입니다. 숫자 121은 11·11의 곱과 같으므로 양의 약수는 1, 11, 121입니다. 그리고 6,697이라는 숫자는 1과 6,697 외에 양의 약수도 37과 181이기 때문에 합성수입니다.
이 점의 결론에서 나는 또한 소수와 서로소가 동일한 것이 아니라는 사실에 주목하고 싶다.
소수 테이블
소수는 향후 사용의 편의를 위해 소수 테이블이라는 테이블에 기록됩니다. 아래는 소수 테이블최대 1,000개.
“왜 우리는 소수 표를 1000개까지만 채웠는데, 기존의 모든 소수 표를 만드는 것은 불가능하지 않을까?”라는 논리적인 질문이 생긴다.
먼저 이 질문의 첫 번째 부분에 답해 보겠습니다. 소수를 사용해야 하는 대부분의 문제에서는 1,000개 이내의 소수이면 충분합니다. 다른 경우에는 특별한 솔루션 기술을 사용해야 할 가능성이 높습니다. 10,000이든 1,000,000,000이든 임의로 큰 유한 양수까지 소수 테이블을 만들 수 있지만 다음 단락에서는 소수 테이블을 만드는 방법에 대해 이야기할 것입니다. 특히 다음과 같은 방법을 살펴보겠습니다. 라고 불리는.
이제 기존의 모든 소수 테이블을 컴파일하는 가능성(또는 불가능함)을 살펴보겠습니다. 소수는 무한히 많기 때문에 모든 소수를 표로 만들 수는 없습니다. 마지막 명제는 다음 보조 정리 이후에 증명할 정리입니다.
정리.
1보다 큰 자연수의 1 이외의 가장 작은 양의 약수는 소수이다.
증거.
허락하다 a는 1보다 큰 자연수이고, b는 1이 아닌 a의 가장 작은 양의 약수입니다. b가 소수라는 것을 모순을 통해 증명해보자.
b가 합성수라고 가정해보자. 그런 다음 숫자 b의 약수가 있습니다 (b 1로 표시하겠습니다). 이는 1과 b와 다릅니다. 제수의 절대값이 다음을 초과하지 않는다는 점도 고려하면 절대값나누어질 수 있는 경우(가분성의 특성을 통해 이를 알 수 있음), 조건 1이 충족되어야 합니다.
조건에 따라 숫자 a는 b로 나누어지고, b는 b 1로 나누어진다고 말했기 때문에, 나눗셈의 개념을 통해 a=b q 및 b=b가 되는 정수 q와 q 1의 존재에 대해 이야기할 수 있습니다. 1 q 1 , 여기서 a= b 1 ·(q 1 ·q) 입니다. 두 정수의 곱은 정수이며, a=b 1 ·(q 1 ·q) 등식은 b 1이 숫자 a의 약수임을 나타냅니다. 위의 불평등을 고려하여 1
이제 우리는 소수가 무한히 많다는 것을 증명할 수 있습니다.
정리.
소수의 개수는 무한합니다.
증거.
이것이 사실이 아니라고 가정해 봅시다. 즉, n개의 소수만이 있고, 이들 소수는 p 1, p 2, ..., p n이라고 가정하자. 표시된 것과 다른 소수를 항상 찾을 수 있음을 보여드리겠습니다.
p 1 ·p 2 ·...·p n +1과 동일한 숫자 p를 고려하십시오. 이 숫자는 각 소수 p 1, p 2, ..., p n과 다르다는 것이 분명합니다. 숫자 p가 소수이면 정리가 증명됩니다. 이 숫자가 합성수라면 이전 정리에 따라 이 숫자의 소수가 존재합니다(p n+1로 나타냄). 이 제수가 p 1, p 2, ..., p n 숫자와 일치하지 않음을 보여 드리겠습니다.
그렇지 않다면, 가분성의 특성에 따라 곱 p 1 ·p 2 ·...·p n은 p n+1로 나누어질 것입니다. 그러나 숫자 p는 또한 p n+1로 나누어질 수 있으며, 이는 합 p 1 ·p 2 ·...·p n +1과 같습니다. p n+1은 이 합의 두 번째 항을 나누어야 하며 이는 1과 같지만 이는 불가능합니다.
따라서, 미리 정해진 소수 중 임의의 개수에 포함되지 않는 새로운 소수가 항상 발견될 수 있음이 입증되었다. 그러므로 소수는 무한히 많다.
따라서 무한한 수의 소수가 있다는 사실로 인해 소수 테이블을 컴파일할 때 항상 위에서부터 특정 숫자(보통 100, 1,000, 10,000 등)로 제한해야 합니다.
에라토스테네스의 체
이제 소수 테이블을 만드는 방법에 대해 논의하겠습니다. 100까지의 소수로 구성된 테이블을 만들어야 한다고 가정해 보겠습니다.
이 문제를 해결하는 가장 확실한 방법은 2부터 시작하여 100으로 끝나는 양의 정수를 순차적으로 검사하여 1보다 크고 테스트되는 숫자보다 작은 양의 약수가 있는지 확인하는 것입니다. 제수의 절대값이 배당금의 절대값(0이 아닌 값)을 초과하지 않음). 그러한 제수가 발견되지 않으면 테스트되는 숫자는 소수이며 소수 테이블에 입력됩니다. 그러한 제수가 발견되면 테스트되는 숫자는 소수 테이블에 입력되지 않습니다. 그 후, 다음 숫자로 전환이 발생하며, 제수의 존재 여부도 유사하게 확인됩니다.
처음 몇 단계를 설명해 보겠습니다.
우리는 숫자 2부터 시작합니다. 숫자 2에는 1과 2 외에 양의 약수가 없습니다. 그러므로 간단하므로 소수표에 입력합니다. 여기서는 2가 가장 작은 소수라고 말해야 합니다. 3번으로 넘어가겠습니다. 1과 3 이외의 가능한 양의 약수는 숫자 2입니다. 하지만 3은 2로 나누어지지 않으므로 3은 소수이므로 소수표에도 포함되어야 합니다. 4번으로 넘어가겠습니다. 1과 4 이외의 양의 약수는 숫자 2와 3이 될 수 있습니다. 확인해 보겠습니다. 숫자 4는 2로 나눌 수 있으므로 4는 합성수이므로 소수 표에 포함될 필요가 없습니다. 4는 가장 작은 합성수라는 점에 유의하세요. 5번으로 넘어가겠습니다. 숫자 2, 3, 4 중 적어도 하나가 약수인지 확인합니다. 5는 2, 3, 4로 나누어지지 않으므로 소수이므로 소수표에 적어야 합니다. 그런 다음 숫자 6, 7 등으로 최대 100까지 전환됩니다.
소수 테이블을 컴파일하는 이러한 접근 방식은 이상적이지 않습니다. 어떤 식으로든 그는 존재할 권리가 있습니다. 정수 테이블을 구성하는 이 방법을 사용하면 나눗셈 기준을 사용할 수 있으므로 제수를 찾는 프로세스 속도가 약간 빨라집니다.
이라는 소수 테이블을 만드는 더 편리한 방법이 있습니다. 이름에 있는 "체"라는 단어는 우연이 아닙니다. 이 방법의 작업은 에라토스테네스의 체를 통해 전체 숫자와 큰 단위를 "체질"하여 단순한 단위와 복합 단위를 분리하는 데 도움이 되기 때문입니다.
최대 50까지의 소수 표를 작성할 때 에라토스테네스의 체를 살펴보겠습니다.
먼저 숫자 2, 3, 4, ..., 50을 순서대로 적어보세요.
쓰여진 첫 번째 숫자 2는 소수입니다. 이제 2번부터 두 개의 숫자만큼 순차적으로 오른쪽으로 이동하고 컴파일되는 숫자 표의 끝에 도달할 때까지 이 숫자에 줄을 그어 지웁니다. 이렇게 하면 2의 배수인 모든 숫자가 지워집니다.
2 다음에서 지워지지 않은 첫 번째 숫자는 3입니다. 이 숫자는 소수입니다. 이제 3번부터 (이미 줄이 그어진 숫자를 고려하여) 3개의 숫자만큼 지속적으로 오른쪽으로 이동하여 줄을 그어 지웁니다. 이렇게 하면 3의 배수인 모든 숫자가 지워집니다.
3 다음에서 지워지지 않은 첫 번째 숫자는 5입니다. 이 숫자는 소수입니다. 이제 숫자 5에서 5개의 숫자만큼 지속적으로 오른쪽으로 이동하고(이전에 지워진 숫자도 고려합니다) 줄을 그어 지웁니다. 이렇게 하면 5의 배수인 모든 숫자가 지워집니다.
다음으로 7의 배수, 11의 배수 등의 숫자를 지웁니다. 더 이상 지울 숫자가 없으면 프로세스가 종료됩니다. 아래는 에라토스테네스의 체를 사용하여 얻은 50까지의 소수의 완성된 표입니다. 교차되지 않은 숫자는 모두 소수이고, 교차된 숫자는 모두 합성수입니다.
또한 에라토스테네스의 체를 사용하여 소수 표를 작성하는 과정의 속도를 높이는 정리를 공식화하고 증명해 봅시다.
정리.
1과 다른 합성수 a의 가장 작은 양수 제수는 를 초과하지 않습니다. 여기서 는 a에서 입니다.
증거.
1과 다른 합성수 a의 가장 작은 약수를 문자 b로 표시하겠습니다(이전 단락의 시작 부분에서 증명된 정리에 따라 숫자 b는 소수입니다). 그런 다음 a=b·q를 만족하는 정수 q가 있습니다(여기서 q는 정수 곱셈의 규칙을 따르는 양의 정수입니다). (b>q의 경우 b가 a의 최소 약수라는 조건이 위반됩니다. , q는 또한 a=q·b 등식으로 인해 숫자 a의 약수이기 때문입니다. 부등식의 양쪽에 양수와 1보다 큰 정수를 곱함으로써(우리는 이것을 할 수 있습니다), 우리는 , which 와 를 얻습니다.
에라토스테네스의 체에 관해 입증된 정리는 우리에게 무엇을 제공합니까?
첫째, 소수 b의 배수인 합성수를 지우려면 다음과 같은 숫자로 시작해야 합니다(부등식에서 유래). 예를 들어, 2의 배수인 숫자를 지우려면 숫자 4로 시작해야 하고, 3의 배수는 숫자 9, 5의 배수는 숫자 25 등으로 시작해야 합니다.
둘째, 에라토스테네스의 체를 사용하여 n까지의 소수 표를 작성하는 것은 소수의 배수인 모든 합성수가 를 초과하지 않을 때 완전한 것으로 간주될 수 있다. 우리의 예에서는 n=50(최대 50의 소수 표를 만들고 있기 때문에)이므로 에라토스테네스의 체는 소수 2, 3, 5, 7의 배수인 모든 합성수를 제거해야 합니다. 50의 산술 제곱근을 초과하지 마십시오. 즉, 더 이상 소수 11, 13, 17, 19, 23 등 최대 47의 배수인 숫자를 검색하고 지울 필요가 없습니다. 왜냐하면 이미 더 작은 소수 2의 배수로 지울 것이기 때문입니다. , 3, 5 및 7.
이 숫자는 소수인가요, 합성인가요?
일부 작업에서는 주어진 숫자가 소수인지 합성수인지 알아내야 합니다. 일반적인 경우, 이 작업은 결코 간단하지 않습니다. 특히 문자 수가 상당히 많은 숫자의 경우에는 더욱 그렇습니다. 대부분의 경우에는 문제를 해결하기 위한 구체적인 방법을 찾아야 합니다. 그러나 우리는 간단한 경우에 대해 생각의 흐름에 방향을 제시하려고 노력할 것입니다.
물론, 주어진 숫자가 합성수임을 증명하기 위해 가분성 테스트를 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 일부 나눗셈 테스트에서 주어진 숫자가 1보다 큰 양의 정수로 나누어진다는 사실이 밝혀지면 원래 숫자는 합성수입니다.
예.
898,989,898,989,898,989가 합성수임을 증명하시오.
해결책.
이 숫자의 자릿수의 합은 9·8+9·9=9·17이다. 9·17에 해당하는 수는 9로 나누어 떨어지므로 9로 나누어지면 원래의 숫자도 9로 나누어진다고 말할 수 있습니다. 그러므로 복합적이다.
이 접근법의 중요한 단점은 나눗셈 기준이 숫자의 소수를 증명하는 것을 허용하지 않는다는 것입니다. 따라서 숫자가 소수인지 합성인지 테스트할 때는 다르게 진행해야 합니다.
가장 논리적인 접근 방식은 주어진 숫자의 가능한 모든 제수를 시도하는 것입니다. 가능한 제수 중 어느 것도 주어진 숫자의 실제 제수가 아닌 경우 이 숫자는 소수가 되고, 그렇지 않으면 합성수가 됩니다. 이전 단락에서 증명된 정리에 따르면 주어진 수 a의 약수는 를 초과하지 않는 소수 중에서 찾아야 합니다. 따라서 주어진 숫자 a는 소수(소수 표에서 편리하게 가져온)로 순차적으로 나누어 숫자 a의 제수를 찾을 수 있습니다. 제수가 발견되면 숫자 a는 합성수입니다. 를 초과하지 않는 소수 중에서 a의 약수가 없으면 a는 소수이다.
예.
숫자 11 723 단순 또는 복합?
해결책.
11,723의 약수가 소수가 될 수 있는 수까지 알아봅시다. 이를 위해 평가해 봅시다.
그것은 꽤 분명하다 
, 200 2 =40,000 및 11,723 이후<40 000
(при необходимости смотрите статью 숫자의 비교). 따라서 11,723의 가능한 소인수는 200보다 작습니다. 이것은 이미 우리의 작업을 훨씬 쉽게 만들어줍니다. 이것을 모른다면 200이 아닌 11,723까지의 모든 소수를 조사해야 할 것입니다.
원하는 경우 더 정확하게 평가할 수 있습니다. 108 2 =11,664이고 109 2 =11,881이므로 108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
. 따라서 109보다 작은 소수는 잠재적으로 주어진 숫자 11,723의 소인수입니다.
이제 숫자 11,723을 소수 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71로 순차적으로 나누겠습니다. , 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107. 숫자 11,723을 쓰여진 소수 중 하나로 나누면 합성수가 됩니다. 작성된 소수 중 어느 하나로도 나누어지지 않으면 원래 숫자는 소수입니다.
우리는 이 단조롭고 단조로운 분할 과정 전체를 설명하지 않을 것입니다. 바로 11,723이라고 가정해 보겠습니다.
하나는 소수인가요? 아니요, 하나는 소수가 아닙니다.
0은 소수인가요? 아니요, 0은 소수가 아닙니다.
2는 소수인가요? 예, 2는 소수입니다. 2는 유일한 짝수이다.
3은 소수인가요? 예, 3은 소수입니다.
5는 소수인가요? 예, 5는 소수입니다.
7은 소수인가요? 예, 7은 소수입니다.
9는 소수인가요? 아니요, 9는 소수가 아닙니다. 결국 9는 그 자체로, 1과 3으로 나누어집니다.
11은 소수인가요? 예, 11은 소수입니다.
13은 소수인가요? 예, 13은 소수입니다.
15는 소수인가요? 아니요, 15는 소수가 아닙니다. 결국 15는 그 자체로, 1, 3, 5로 나누어질 수 있습니다.
17은 소수인가요? 예, 17은 소수입니다.
19는 소수인가요? 예, 19는 소수입니다.
20은 소수인가요? 아니요, 20은 소수가 아닙니다. 결국 20은 그 자체로, 1, 2, 4, 5, 10으로 나누어집니다.
777은 소수인가요? 아니요, 777은 소수가 아닙니다. 결국 777은 1, 3, 7, 37로 나누어질 수 있습니다.
997은 소수인가요? 예, 997은 소수입니다.
소수(素數)란 자신과 1로만 나누어 떨어지는 자연수를 말합니다.
