Множества. Операции над множествами.Отображение множеств. Мощность множества. Элементы теории множеств Запись числовых множеств

Здесь на первый план выступает как раз то, что мы до сих пор принципиально оставляли в стороне, а именно, вопрос о том, как имеющиеся в множествах одинаковой мощности отношения порядка различают эти множества. Ведь те взаимно однозначные отображения самого общего вида, которые мы до сих пор допускали, нарушали все эти отношения - вспомните хотя бы только об отображении квадрата на отрезок! Я бы хотел особенно подчеркнуть значение именно этого второго раздела учения о множествах; ведь не может же это учение иметь своей целью устранить посредством введения новых, более общих понятий те различия, которые с давних пор вошли в обиход математики; скорее, наоборот, это учение может и должно служить тому, чтобы с помощью общих понятий познать эти различия в их самой глубокой сущности.

Порядковые типы счетных множеств.

Теперь наша цель заключается в том, чтобы проиллюстрировать на определенных, общеизвестных примерах понятие различных возможных расположений элементов множества в определенном порядке. Если начинать со счетных множеств, то мы уже знаем три совершенно разные примера расположения элементов в таких множествах, столь различные между собой, что равенство их мощностей составляло, как мы видели, особую и ни в каком случае не самоочевидную теорему; это следующие множества:

1) множество натуральных чисел;

2) множество всех (отрицательных и положительных) целых чисел;

3) множество всех рациональных чисел и множество всех алгебраических чисел.

Расположение элементов во всех этих трех множествах имеет одно общее свойство, в силу которого оно называется линейным порядком в множестве. Это свойство состоит в следующем: из каждых двух элементов какой-нибудь один всегда предшествует другому, т. е., выражаясь алгебраически, всегда известно, какой элемент меньше и какой больше, и, далее, если из трех элементов а, b, с элемент а предшествует элементу b, а элемент b - элементу с, то всегда а предшествует элементу с (если , то

Но, с другой стороны, в рассмотренных примерах имеют место такие характерные различия: в первом множестве существует первый элемент (нуль), который предшествует всем остальным, но нет последнего элемента, который следовал бы за всеми другими; во втором множестве нет ни первого, ни последнего элемента. Но в обоих этих множествах есть то общее, что за всяким элементом непосредственно следует определенный ближайший элемент, и всякому элементу непосредственно предшествует определенный другой элемент.

В противоположность этому у третьего множества между каждыми двумя элементами всегда есть, как мы уже видели выше, бесконечно много других элементов; такое свойство множества мы обозначали термином «всюду плотное множество», так что, в частности, среди всех рациональных или алгебраических чисел, лежащих между а и b, если не считать самих этих чисел, нет ни наименьшего, ни наибольшего числа. Таким образом, способы расположения элементов в этих трех множествах, т. е. их порядковые типы, различны между собой, хотя сами множества имеют одинаковые мощности. С этим можно связать - и это действительно делают представители теории множеств - вопрос о всех вообще возможных порядковых типах счетных множеств.

Непрерывность континуума. Перейдем теперь к рассмотрению множеств мощности континуума; здесь нам известно одно множество с имеющимся в нем линейным порядком, а именно, континуум всех действительных чисел. Но наряду с ним в двумерном и многомерных случаях мы имеем примеры множеств с расположением элементов, отличным от того, который мы назвали «линейным». Так, в случае множества для того чтобы определить взаимное расположение двух точек, небходимы уже не одно, а два соотношения типа неравенств.

Здесь наиболее важно проанализировать понятие непрерывности одномерного континуума; открытие того, что это понятие действительно основано только лишь на простых свойствах порядка, свойственного множеству является первой замечательной заслугой учения о множествах в деле выяснения основных математических понятий, а именно, оказывается, что все свойства непрерывности континуума проистекают из того, что последний представляет собой линейно упорядоченное множество со следующими двумя свойствами:

1. Если разделить множество на какие-либо две части А, В, но таким образом, чтобы, всякий элемент принадлежал какой-либо одной из этих частей и чтобы все элементы, входящие в часть А, предшествовали всем элементам части В, то в таком случае либо А имеет последний элемент, либо В имеет первый элемент.

Вспоминая дедекиндово определение иррациональных чисел мы можем выразить это свойство еще так: всякое «сечение» в нашем множестве производится одним из его элементов.

2. Между любыми двумя элементами множества имеется бесконечно много других элементов.

Этим вторым свойством обладают не только континуум но и счетное множество всех рациональных чисел; первое же свойство указывает на существенное различие между этими упорядоченными множествами. Всякое линейно упорядоченное множество, обладающее обоими этими свойствами, в учении о множествах называют непрерывным по той причине, что для него действительно можно доказать все теоремы, которые имеют место для континуума в силу его непрерывности.

Я хочу указать еще на то, что эти свойства непрерывности можно формулировать также несколько иначе, а именно, исходя из так называемых «основных» рядов Кантора. Основным рядом называют такую счетную последовательность элементов данного множества, что в самом множестве либо либо Некоторый элемент а множества называют предельным элементом основного ряда, если - в первом случае - в основном ряду всегда найдутся элементы, большие всякого элемента, лежащего в данном множестве до а, но вовсе нет элементов, бблыпих хотя бы одного элемента, расположенного после аналогично определяют предельный элемент во втором случае. Если множество обладает тем свойством, что всякому входящему в его состав основному ряду соответствует в нем предельный элемент, то множество называют замкнутым-, если же, наоборот, всякий элемент множества является предельным элементом некоторого основного ряда, выделенного из него, то множество называют плотным. Непрерывность множеств, имеющих мощность континуума, состоит, существенным об» разом, в соединении обоих этих свойств.

Попутно я хочу здесь напомнить, что при беседе о дифференциальном и интегральном исчислениях мы говорили, еще и о другом континууме - о континууме

Веронезе, который возникает из обыкновенного континуума посредством присоединения актуально бесконечно малых величин. Хотя таким путем получается тоже линейно упорядоченное множество, но тем не менее этот континуум обладает, конечно, совершенно иным типом расположения, чем обычный континуум теорема о том, что всякий основной ряд имеет предельный элемент, здесь уже места не имеет.

1.1. Основные понятия и определения теории множеств

Любое понятие дискретной математики можно определить с помощью понятия множества, которое является одним из фундаментальных понятий и было сформулировано впервые немецким математиком Г. Кантором.

Под множеством понимается любая совокупность определенных и различимых между собой объектов, мыслимая как единое целое.

Можно говорить о множестве стульев в комнате, людей, живущих в г. Воронеже, студентов в группе, о множестве натуральных чисел, букв в алфавите, состояний системы и т. п. При этом о множестве можно вести речь только тогда, когда элементы множества различимы между собой. Например, нельзя говорить о множестве капель в стакане воды, так как невозможно четко и ясно указать каждую отдельную каплю.

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества. Так, число 3 – элемент множества натуральных чисел, а буква б – элемент мно­жества букв русского алфавита.

Общим обозначением множества служит пара фигур­ных скобок { }, внутри которых перечисляются элементы множества. Для обозначения конкретных множеств исполь­зуют различные прописные буквы A , S , X ... или пропис­ные буквы с индексами А 1 , А 2 . Для обозначения элементов множества в общем виде используют различные строчные буквы а , s , x ... или строчные буквы с индексами а 1 , а 2 ...

Для указания того, что некоторый элемент а S , используется символ Î принад­лежности множеству. Запись a ÎS означает, что элемент a принадлежит множеству S , а запись x ÏS означает, что элемент х не принадлежит множеству S . Записью х 1 , x 2 ,... ...,x n ÎS пользуются в качестве сокращения для записи x 1 ÎS , x 2 ÎS ,..., x n ÎS .

Как правило, считается, что все элементы множества различны. Множество с повторяющимися элементами называется мультимножеством. Мультимножества играют важную роль в комбинаторике. В дальнейшем будут рассматриваться множества с различными элементами.

Будем использовать следующие обозначения для числовых множеств:

– множество натуральных чисел, т.е.

– множество целых чисел, т.е. = {0, ±1, ±2, …};

– множество рациональных чисел, ={ / \ , Î ; ¹ 0};

– множество вещественных чисел;

– множество комплексных чисел.

Множества бывают конечными и бесконечными. Мно­жество называют конечным, если число его элементов ко­нечно, т. е. если существует натуральное число n , являю­щееся числом элементов множества. Множество называют бесконечным , если оно содержит бесконечное число эле­ментов. Количество элементов конечного множества называется мощностью и обозначается =n , если множество X содержит n элементов.

Важным понятием теории множеств является понятие пустого множества. Пустым множеством называют мно­жество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множествообозначают символом Например:

{x ÎR | x 2 -x +1=0}=

Понятие пустого множества играет очень важную роль при задании множеств с помощью описания. Так, без по­нятия пустого множества мы не могли бы говорить о мно­жестве отличников группы или о множестве вещественных корней квадратного уравнения, не убедившись предвари­тельно, есть ли вообще в данной группе отличники или имеет ли данное уравнение вещественные корни. Введение пустого множества позволяет совершенно спокойно опери­ровать с множеством отличников группы, не заботясь о том, есть или нет в рассматриваемой группе отличники. Пустое множество будем условно относить к конечным множествам.

Множество, содержащие все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется универсальным или универсумом и обозначается U .

Для того чтобы оперировать с конкретными множест­вами, нужно уметь их задавать. Существуют два способа задания множеств: перечисление и описание. Задание мно­жества способом перечисления соответствует перечислению всех элементов, составляющих множество. Так, множество отличников группы можно задать, перечислив студентов, которые учатся на отлично, например {Иванов, Петров, Сидоров}. Для сокращения записи Х ={х 1 , х 2 , ...,х n } иногда вводят множество индексов I ={1, 2,..., n } и пишут X ={x i }, i ÎI . Такой способ удобен при рассмотрении конечных множеств, содержащих не­большое число элементов, но иногда он может применяться и для задания бесконечных множеств, например {2, 4, 6, 8...}. Естественно, что такая запись применима, если вполне ясно, что понимается под многоточием.

Описательный способ задания множества состоит в том, что указывается характерное свойство, которым обладают все элементы множества. При этом используется запись

X ={x | x обладает свойством Q (x )}.

Выражение в скобках читается: множество всех элементов х , которые обладают свойством Q (x ). Так, если М - множество сту­дентов группы, то множество A отличников этой группы запишется в виде А ={х ÎМ | х – отличник группы},

что читается следующим образом: множество А состоит из элементов х множества М , обладающих тем свойством, что х является отличником группы.

В тех случаях, когда не вызывает сомнений, из какого множества берутся элементы х , указание о принадлежно­сти х множеству М можно не делать. При этом множест­во А запишется в виде

А={х | х – отличник группы}.

Приведем несколько примеров задания множеств мето­дом описания: {x | x – четное} – множество четных чисел;

{х | х 2 –1=0} – множество {+1, –1}.

Пусть Z – множество целых чисел. Тогда {x ÎZ | 0<x £7} есть множество {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Множество нечетных чисел можно определить как {x | x =2k +1 для некоторого k ÎZ }.

Способ задания множества с помощью свойств таит некоторые опасности, поскольку «неправильно» заданные свойства могут привести к противоречию. Приведем один из наиболее типичных парадоксов – парадокс Рассела. Рассмотрим множество всех множеств, которые не являются своими собственными элементами: . Спросим теперь, является ли множества К своим элементом? Если К ÎК , то должно выполняться свойство, задающее множество К , т.е. К ÏК , что приводит к противоречию. Если К ÏК , то, поскольку выполняется свойство, задающее К , приходим к тому, что К ÎК , а это противоречит предположению. Таким образом, не всякое свойство приводит к осмысленному заданию множества.

Кроме того, множество можно задать с помощью характеристической функции, значения которой указывают является ли (да или нет) х элементом множества Х :

Заметим, что для любых элементов = 0; = 1.

Пример. Пусть на универсуме U ={a,b,c,d,e } определено множество X ={a,c,d }, тогда

Для произвольных множеств X и Y можно определить два типа отношений – отношение равенства и отношение включения.

Два множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Принято обозначение X =Y , если X и Y равны, и X Y – иначе.

Легко видеть, что для любых множеств X , Y , Z справедливы соотношения

Из определения равенства множеств вытекает, что по­рядок элементов в множестве несуществен. Так, например, множества {3, 4, 5, 6} и {4, 5, 6, 3} представляют собой одно и то же множество.

Если каждый элемент множества X является элементом множества Y , то говорят, что X включено в Y и обозначают :

В этом случае говорят, что множество X является подмножеством множества Y . В частности X и Y могут совпадать, поэтому называется также отношением нестрогого включения. Отметим некоторые свойства подмножества, вытекающее из его определения:

Если и , то говорят, что X есть собственное подмножество Y и обозначают , отношение между множествами в этом случае называется отношением нестрогого включения. Для отношения строгого включения справедливо

Невключение подмножества X в множество Y обозначается X . Такое множество называется семейством множества или булеаном множества X и обозначается P (X ) Так как включено в любое множество, то .

Пример. Пусть . Тогда

Математическим анализом называется раздел математики, занимающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно малой функции.

Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.

Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X , то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Например, перечислением заданы следующие множества:

• А={1,2,3,5,7} — множество чисел
• Х={x 1 ,x 2 ,...,x n } — множество некоторых элементов x 1 ,x 2 ,...,x n
• N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел
• Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел

Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой , а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а .

Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным . Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

Основные числовые множества

N	{1,2,3,...,n} Множество всех
Z	{0, ±1, ±2, ±3,...} Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных.
Q	Множество рациональных чисел . Кроме целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь — это выражение вида , где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем "один": 2 = 2/1. Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической.
R	Множество всех вещественных чисел . Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся: Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел.

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø .

Элементы логической символики

Запись ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Квантор

При записи математических выражений часто используются кванторы.

Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.

• ∀- квантор общности , используется вместо слов "для всех", "для любого".
• ∃- квантор существования , используется вместо слов "существует", "имеется". Используется также сочетание символов ∃!, которое читается как существует единственный.

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства операций над множествами

Свойства перестановочности

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Счетные и несчетные множества

Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.

Если это соответствие взаимооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А В или В А.

Пример 1

Множество точек катета ВС и гипотенузы АС треугольника АВС являются равномощными.

Понятие множества является одним из основных математических понятий. Это неопределяемое понятие, его можно только описать или пояснить на примерах. Так, можно говорить о множестве букв в латинском алфавите, множество всех книг в данной библиотеке, множестве студентов в данной группе, множестве всех точек данной линии. Чтобы задать множество, достаточно перечислить элементы или указать характеристические свойства элементов, т.е. такое свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они.

Определение 1.1. Предметы (объекты), составляющие некоторое множество, называются его элементами .

Множество принято обозначать прописными латинскими буквами, а элементы множества – строчными буквами. То, что x является элементом множества A , записывается так: x A (x принадлежит A ). Запись вида x A (x A ) означает, что x не принадлежит A , т.е. не является элементом множества A .

Элементы множества принято записывать в фигурных скобках. Например, если A – множество, состоящее из первых трех букв латинского алфавита, то его записывают так: A= {a,b,c }.

Множество может содержать бесконечно много элементов (множество точек прямой, множество натуральных чисел), конечное число элементов (множество школьников в классе), либо вообще не содержать ни одного элемента (множество студентов пустой аудитории).

Определение 1.2. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством , обозначается Ø.

Определение 1.3. Множество A называется подмноже-ством множества B , если каждый элемент множества A принадлежит и множеству B . Это обозначается A B (A – подмножество B ).

Пустое множество считают подмножеством любого множества. Если множество A не является подмножеством множества B , то пишут A B.

Определение 1.4. Два множества A и B называют равными , если являются подмножествами друг друга. Обозначают A = B. Это означает, что если x A , то x B и наоборот, т.е. если и , то .

Определение 1.5. Пересечение множеств A и B называют множество M , элементы которого являются одновременно элементами обоих множеств A и B. Обозначают M= A B. Т.е. x A B , то x A и x B.

Записывают A B= { x | x A и x B }. (Вместо союза и – ставятся знаки , &).

Определение 1.6. Если A B= Ø, то говорят, что множества A и B не пересекаются.

Аналогично можно определить пересечение 3-х, 4-х и любого конечного числа множеств.

Определение 1.7. Объединением множеств A и B называют множество M , элементы которого принадлежат хотя бы одному из данных множеств.Обозначают M=A B. Т.о. A B= { x | x A или x B }. (Вместо союза или – ставится знак ).

Аналогично определяется и множество A 1 A 2 … A n . Оно состоит из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A 1 , A 2 ,…, A n (а может быть, и нескольким сразу).

Пример 1.8. 1) если A= {1;2;3;4;5} и B= {1;3;5;7;9}, то A B= {1;3;5} и A B= {1;2;3;4;5;7;9}.

2) если A= {2;4} и B= {3;7}, то A B= Ø и A B= {2;3;4;7}.

3) если A= {летние месяцы} и B= {месяцы, в которых 30 дней}, то A B= {июнь} и A B= {апрель; июнь; июль; август; сентябрь; ноябрь}.

Определение 1.9. Натуральными называются числа 1,2,3,4,…, используемые для счета предметов.

Множество натуральных чисел обозначается N, N={1;2;3;4;…;n;…}. Оно является бесконечным, имеет наименьший элемент 1 и не имеет наибольшего элемента.

Пример 1.10. A – множество натуральных делителей числа 40. Перечислить элементы этого множества. Верно ли, что 5 A, 10 A, -8 A, 4 A, 0 A, 0 A.

A = {1,2,4,5,8,10,20,40}. (В,В,Н,Н,Н,В)

Пример 1.11. Перечислите элементы множеств, заданных характеристическими свойствами.

Множество – основное понятие математики и поэтому не определяется через другие.

Обычно под множеством понимают совокупность предметов, объединенных по общему признаку. Так, можно говорить о множестве студентов в группе, множестве букв русского алфавита и т.д. В повседневной жизни вместо слова «множество» употребляют слова «набор», «коллекция», «группа» и т.д. Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А , В , С , ..., Z .

Для числовых множеств в математике приняты специальные обозначения:

N – множество натуральных чисел;

N 0 – множество целых неотрицательных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами. Например, сентябрь является элементом множества месяцев в году, число 5 – элемент множества натуральных чисел. Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита. Элементами множества могут быть множества. Так можно говорить о множестве групп института. Элементы этого множества – группы, являющиеся в свою очередь множествами студентов.

Связь между множеством и его элементом выражают при помощи слова «принадлежит». Высказывание «Элемент а принадлежит множеству А » записывают так: а  А , причем эта запись может быть прочитана иначе: «а – элемент множества А », «множество А содержит элемент а ». Высказывание «Элемент а не принадлежит множеству А » записывают так: а  А (иначе: «а не является элементом множества А », «множество А не содержит элемент а »).

Если в обыденной речи слово «множество» связывают с большим числом предметов, то в математике этого не требуется. Множество может содержать один элемент, не содержать ни одного элемента.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом . Существует лишь одно пустое множество. Примерами пустого множества могут служить множество людей на Солнце, множество натуральных корней уравнения х + 8 = 0.

Множества могут быть конечными и бесконечными.

Множество называется конечным, если существует натуральное число п , такое, что все элементы множества можно перенумеровать числами от 1 до п . в противном случае множество называют бесконечным. Примером конечного множества является множество цифр, бесконечного – множество натуральных чисел.

§ 2. Способы задания множеств

Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

Множество можно задать, перечислив все его элементы. Запись С = {а, б, в, г} обозначает, что множество С содержит элементы а, б, в, г.

Каждый элемент входит в множество только один раз. Например, множество различных букв в слове «математика» запишется так: {м, а, т, е, и, к}.

Данный способ применим для конечных множеств, которые содержат небольшое число элементов.

Иногда, используя данный способ, можно задать и бесконечное множество. Например, множество натуральных чисел может быть представлено в виде: N = {1, 2, 3, 4, ...}. Такой способ записи возможен лишь тогда, когда из записанной части множества видно, что скрывается под многоточием.

Другой способ задания множеств состоит в следующем: указывают характеристическое свойство его элементов. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Случается, что одно и то же множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество двузначных чисел, делящихся на 11 и множество натуральных чисел первой сотни, записанных двумя одинаковыми цифрами, содержат одни и те же элементы.

При данном способе задания множество может быть записано так: в фигурных скобках пишут сначала обозначение элемента, затем проводят вертикальную черту, после которой записывают свойство, которым обладают элементы данного множества. Например, множество А натуральных чисел, меньших 5, запишется так: А = {х х N , х < 5}.