Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма
Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ - область допустимых значений переменных).
Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:
То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться.
Почему так?
Начнем с простого: допустим, что. Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили, всегда получается. Более того, не существует ни для какого. Но при этом может равняться чему угодно (по той же причине - в любой степени равно). Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.
Похожая проблема у нас и в случае: в любой положительной степени - это, а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что).
При мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня: . Например, (то есть), а вот не существует.
Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.
Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например, не существует, так как ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому тоже не существует).
В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:
Решим уравнение.
Вспомним определение: логарифм - это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. И по условию, эта степень равна: .
Получаем обычное квадратное уравнение: . Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна, а произведение. Легко подобрать, это числа и.
Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?
Это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень - «сторонний».
Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:
Тогда, получив корни и, сразу отбросим корень, и напишем правильный ответ.
Пример 1 (попробуй решить самостоятельно):
Найдите корень уравнения. Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.
Решение:
В первую очередь напишем ОДЗ:
Теперь вспоминаем, что такое логарифм: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент? Во вторую. То есть:
Казалось бы, меньший корень равен. Но это не так: согласно ОДЗ корень - сторонний, то есть это вообще не корень данного уравнения. Таким образом, уравнение имеет только один корень: .
Ответ: .
Основное логарифмическое тождество
Вспомним определение логарифма в общем виде:
Подставим во второе равенство вместо логарифм:
Это равенство называется основным логарифмическим тождеством . Хотя по сути это равенство - просто по-другому записанное определение логарифма :
Это степень, в которую нужно возвести, чтобы получить.
Например:
Реши еще следующие примеры:
Пример 2.
Найдите значение выражения.
Решение:
Вспомним правило из раздела : , то есть, при возведении степени в степень показатели перемножаются. Применим его:
Пример 3.
Докажите, что.
Решение:
Свойства логарифмов
К сожалению, задачи не всегда такие простые - зачастую сперва нужно упростить выражение, привести его к привычному виду, и только потом будет возможно посчитать значение. Это проще всего сделать, зная свойства логарифмов . Так что давай выучим основные свойства логарифмов. Каждое из них я буду доказывать, ведь любое правило проще запомнить, если знать, откуда оно берется.
Все эти свойства нужно обязательно запомнить, без них большинство задач с логарифмами решить не получится.
А теперь обо всех свойствах логарифмов подробнее.
Свойство 1:
Доказательство:
Пусть, тогда.
Имеем: , ч.т.д.
Свойство 2: Сумма логарифмов
Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения: .
Доказательство:
Пусть, тогда. Пусть, тогда.
Пример: Найдите значение выражения: .
Решение: .
Только что выученная формула помогает упростить сумму логарифмов, а не разность, так что сразу эти логарифмы не объединить. Но можно сделать наоборот - «разбить» первый логарифм на два:А вот обещанное упрощение:
.
Зачем это нужно? Ну например: чему равно?
Теперь очевидно, что.
Теперь упрости сам:
Задачи:
Ответы:
Свойство 3: Разность логарифмов:
Доказательство:
Все точно так же, как и в пункте 2:
Пусть, тогда.
Пусть, тогда. Имеем:
Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:
Пример посложнее: . Догадаешься сам, как решить?
Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению - такое сразу не упростить.
Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!
Это - . Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить.
Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов :
Ответ для проверки:
Упрости сам.
Примеры
Ответы.
Свойство 4: Вынесение показателя степени из аргумента логарифма:
Доказательство: И здесь тоже используем определение логарифма:пусть, тогда. Имеем: , ч.т.д.
Можно понять это правило так:
То есть степень аргумента выносится вперед логарифма, как коэффициент.
Пример: Найдите значение выражения.
Решение: .
Реши сам:
Примеры:
Ответы:
Свойство 5: Вынесение показателя степени из основания логарифма:
Доказательство: Пусть, тогда.
Имеем: , ч.т.д.
Запоминаем: из основания
степень выносится как обратное
число, в отличии от предыдущего случая!
Свойство 6: Вынесение показателя степени из основания и аргумента логарифма:
Или если степени одинаковые: .
Свойство 7: Переход к новому основанию:
Доказательство: Пусть, тогда.
Имеем: , ч.т.д.
Свойство 8: Замена местами основания и аргумента логарифма:
Доказательство: Это частный случай формулы 7: если подставить, получим: , ч.т.д.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Пример 4.
Найдите значение выражения.
Используем свойство логарифмов № 2 - сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения:
Пример 5.
Найдите значение выражения.
Решение:
Используем свойство логарифмов № 3 и № 4:
Пример 6.
Найдите значение выражения.
Решение:
Используем свойство № 7 - перейдем к основанию 2:
Пример 7.
Найдите значение выражения.
Решение:
Как тебе статья?
Если ты читаешь эти строки, значит ты прочитал всю статью.
И это круто!
А теперь расскажи нам как тебе статья?
Научился ты решать логарифмы? Если нет, то в чем проблема?
Пиши нам в комментах ниже.
И, да, удачи на экзаменах.
На ЕГЭ и ОГЭ и вообще в жизни
Логарифмом положительного числа N по основанию ( b > 0, b 1 ) называется показатель степени x , в которую нужно возвести b , чтобы получить N .
Обозначение логарифма:
Эта запись равнозначна следующей: b x = N .
П р и м е р ы: log 3 81 = 4 , так как 3 4 = 81 ;
Log 1/3 27 = – 3 , так как (1/3) - 3 = 3 3 = 27 .
Вышеприведенное определение логарифма можно записать в виде тождества:
Основные свойства логарифмов.
1) log b = 1 , так как b 1 = b .
b
2) log 1 = 0 , так как b 0 = 1 .
b
3) Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:
log ( ab ) = log a + log b .
4) Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя:
log ( a / b ) = log a – log b .
5) Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания:
log ( b k ) = k · log b .
Следствием этого свойства является следующее: логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, делённому на степень корня:
6) Если в основании логарифма находится степень, то величину, обратную показателю степени, можно вынести за знак лога рифма:
Два последних свойства можно объединить в одно:
7) Формула модуля перехода (т. e . перехода от одного основания логарифма к другому основанию):
В частном случае при N = a имеем:
Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10. Он обозначается lg , т.е. log 10 N = lg N . Логарифмы чисел 10, 100, 1000, ... p авны соответственно 1, 2, 3, …, т.е. имеют столько положительных
единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001, ... p авны соответственно –1, –2, –3, …, т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей ( считая и нуль целых ). Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой . Целая часть логарифма называется характеристикой . Для практического при менения десятичные логарифмы наиболее удобны.
Натуральным
логарифмом
называется логарифм по основанию
е
.
Он обозначается
ln
, т.е.
log
e
N
=
ln
N
.
Число
е
является иррациональным, его
приближённое
значение 2.718281828.
Оно
является пределом, к которому стремится число
(1 + 1
/
n
)
n
при
неограниченном возрастании
n
(см. первый замечательный предел
).
Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при проведении различного рода операций, связанных с
анализом функций.
Вычисление логарифмов по основанию
е
осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию.
Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.
А теперь — собственно, определение логарифма:
Логарифм по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a , чтобы получить число x .
Обозначение: log a x = b , где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.
Например, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log 2 64 = 6, поскольку 2 6 = 64.
Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log 2 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке . Потому что 2 2 < 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:
Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень , в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.
С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:
- Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
- Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!
Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log 2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1 .
Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.
Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:
- Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
- Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
- Полученное число b будет ответом.
Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.
Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:
Задача. Вычислите логарифм: log 5 25
- Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- Составим и решим уравнение:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2; - Получили ответ: 2.
Задача. Вычислите логарифм:
Задача. Вычислите логарифм: log 4 64
- Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- Составим и решим уравнение:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3; - Получили ответ: 3.
Задача. Вычислите логарифм: log 16 1
- Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- Составим и решим уравнение:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0; - Получили ответ: 0.
Задача. Вычислите логарифм: log 7 14
- Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1 < 14 < 7 2 ;
- Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
- Ответ — без изменений: log 7 14.
Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. И если такие множители нельзя собрать в степени с одинаковыми показателями, то и исходное число не является точной степенью.
Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 — точная степень;
35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 — опять не точная степень;
Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.
Десятичный логарифм
Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.
Десятичный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x . Обозначение: lg x .
Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.
Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x
= log 10 x
Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.
Натуральный логарифм
Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.
Натуральный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию e , т.е. степень, в которую надо возвести число e , чтобы получить число x . Обозначение: ln x .
Многие спросят: что еще за число e
? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e
= 2,718281828459...
Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e
— основание натурального логарифма:
ln x
= log e
x
Таким образом, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.
Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.
Приведены основные свойства натурального логарифма, график, область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление функции ln x посредством комплексных чисел.
СодержаниеОбратная функция
Обратной для натурального логарифма является экспонента .
Если , то
Если , то .
Производная ln x
Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x
:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Интеграл
Интеграл вычисляется интегрированием по частям :
.
Итак,
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексной переменной z
:
.
Выразим комплексную переменную z
через модуль r
и аргумент φ
:
.
Используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
.
Аргумент φ
определен не однозначно. Если положить
,
где n - целое,
то будет одним и тем же числом при различных n
.
Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.
Разложение в степенной ряд
При имеет место разложение:
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
